zweiniveausystem verschränkte zustände, epr-paradoxon ws 2015 / 16 – ulrich hohenester 11....
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Zweiniveausystemverschränkte Zustände, EPR-Paradoxon
WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 11. Vorlesung
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Das Experiment kann so erklärt werden, dass das Elektron
einen Eigendrehimpuls besitzt, der die Werte annehmen kann
Wenn sich ein Strahl von Elektronen (Silberatomen) durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegt, spaltet der Strahl in zwei Teilstrahlen auf
Stern-Gerlach-Experiment
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Elektronspin: Spin zeigt nach oben oder unten
ZweiniveausystemEs gibt eine Vielzahl von Systemen, z.B. Elektronen oder Photonen, die man(näherungsweise) durch zwei Niveaus beschreiben kann
Photonen: Horizontale oder vertikale Polarisation
i.F. benutzen wir die Sprechweise „spin up“ and „spin down“
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Zweiniveausystem : Wellenfunktion
Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist
Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“
Normierung der Wellenfunktion
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Zweiniveausystem : Wellenfunktion
Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist
Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“
Wellenfunktion für „spin left“ und „spin right“
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Zweiniveausystem : BlochkugelAlle Wellenfunktionen können auf der sogenannten Blochkugel dargestellt werden
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Wie misst man Elektronenspin ?Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in z-Richtung misst, wirddurch folgenden Operator beschrieben
„spin up“ und „spin down“ sind Eigenzustände dieses Messoperators
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Wie misst man Elektronenspin ?Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in x-Richtung misst, wirddurch folgenden Operator beschrieben
„spin right“ und „spin left“ sind Eigenzustände dieses Messoperators
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Wie misst man Elektronenspin ?Was passiert, wenn man Elektronenspin in der „falschen“ Basis misst ?
„spin right“ ist kein Eigenzustand von Stern-Gerlach-Experiment in z-Basis !!!
John von Neumann hat 1932 eine Vorschriftgegeben, wie man in diesem Fall vorgehen
muss
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von Neumannsches MesspostulatJedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator :
(1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell(2) die Eigenfunktionen sind vollständig
Die Betragsquadrat die Entwicklungskoeffizienten „spin up“ und „spin down“ lieferndie Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zugehörige Eigenwert gemessen wird
Ein Stern-Gerlach-Experiment in der z-Basis kann nur die Ergebnisse„spin up“ und „spin down“ liefern
Im obigen Beispiel wird „spin up“ und „spin down“ mit jeweils 50% - iger Wahrscheinlichkeit gemessen
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Messung in z – Basis
Messung
Ergebnis +1 mit Wahrscheinlichkeit 50% Ergebnis -1 mit Wahrscheinlichkeit 50%
Messprozess : ZweiniveausystemQuantenmechanik gibt nur Wahrscheinlichkeit für bestimmte Messung
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Messprozess : Heisenbergsche UnschärferelationKann man gleichzeitig x- und z-Komponente von Spin bestimmen ?
Spielt die Messreihenfolge eine Rolle ?
Die beiden Messoperatoren vertauschen nicht !
Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation gilt
x- und z-Komponente von Spin können nicht gleichzeitig genau bestimmt werden !!!
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„Gott würfelt nicht …“
Albert Einstein (1875 – 1955)
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Was ist, wenn das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung gar nicht zufälligis t? Wenn „verborgene Parameter“ existieren, die das Ergebnis vorausbestimmen ?
Weil wir l nicht kennen (vielleicht überhaupt nicht kennen können), sieht es so aus, als ob Ergebnis der Messung zufällig ist.
In Wirklichkeit ist Ergebnis durch Wert von l vorbestimmt.
Verborgene Parameter l
Kann man irgendwie nachprüfen, ob es solceheverborgenen Parameter tatsächlich gibt?
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Dieser Zustand wird als „verschränkt“ bezeichnet. Für ihn gilt:
Es ist der Zustand von zwei Teilchen Er besitzt den Gesamtspin Null Der Spin der Teilchen a und b ist vollkommen unbestimmt Teilchen a und b haben stets antiparallele Spins
EPR ParadoxonEinstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendesParadoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll
Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchenerzeugt werden kann
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EPR ParadoxonEinstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendesParadoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll
Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchenerzeugt werden kann
Der Zustand ist auch in der x-Basis verschränkt !!!
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Teilchen b Teilchen a
AliceBob
EPR ParadoxonWenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert.
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Messung von sz an Teilchen a Teilchen b muss entgegengesetzten Spin besitzen
Messung von sx an Teilchen b Teilchen a muss entgegengesetzten Spin besitzen
x- und z-Komponente des Spins eines Teilchens können gleichzeitigbestimmt werden ( widerspricht Heisenbergscher Unschärferelation )
AliceBob
EPR ParadoxonWenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert.
Teilchen b Teilchen a
Quantenmechanik ist unvollständig !?
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AliceBob
Q: Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit !?
A: Nein, es wird keine Information übertragen ! ( Ergebnis des Experiments zufällig )
„ … spooky action at a distance“
EPR ParadoxonBohr widersprach Einstein und meinte, dass es durch die Messung des Spinszu einem Kollaps der Wellenfunktion kommt
Nils Bohr: Messung reduziert Wellenfkt. !!!
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Verborgene Variablen versusKollaps der Wellenfunktion
Q: Kann man entscheiden, welches der beiden Modelle richtig ist ?
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John Bell, 1964:
„Wenn es verborgene Variablen gäbe, so hätte dies messbare Konsequenzen !“
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Teilchen b Teilchen a
AliceBobl l
Bellsche UngleichungNehmen wir zuerst an, dass die Theorie der verborgenen Variablen richtig ist.Wir können dann eine Korrelationsfunktion definieren
P( l ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verborgenen Variablen …
Für E gelten allgemein folgende Schranken
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In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe
die Ungleichung
Bellsche Ungleichung
Diese Ungleichung kann in der Quantenmechanik verletzt werden !!!
Bell konnte folgendendes zeigen :
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In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe
die Ungleichung
Beweis :
q.e.d.
Bellsche UngleichungBell konnte folgendendes zeigen :
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Quantenmechanik
Operator für Messung in z – Basis
Operator für Messung in q – Basis
Bellsche UngleichungNun untersuchen wir dieselbe Messabfolge in der Quantenmechanik
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Quantenmechanik
Eigenwert und Eigenzustand
Was passiert bei Messung in qa und qb Basis ?
Verschränkter Zustand
Bellsche UngleichungNehmen wir an, dass zuerst Alice den Zustand in der qa – Basis misst
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Messung von Alice
Wellenfunktion von Bob
Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat
Bellsche Ungleichung : Messung
Messung liefert entweder +1 oder -1 (mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit)
Zuerst misst Alice …
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Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat
Bellsche Ungleichung : Messung
Messung von Alice
Wellenfunktion von Bob
Zuerst misst Alice und dann Bob
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Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse
Bellsche Ungleichung : MessungWahrscheinlichkeit für unterschiedliche Messabfolgen
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Bellsche Ungleichungen sind verletzt !!!
Bellsche Ungleichung : KorrelationsfunktionWir können nun dieselbe Korrelationsfunktion wie bei der Theorie der verborgenenVariablen berechnen
Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse
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Teilchen b Teilchen a
AliceBob
Experimenteller Aufbau
A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981).
Bellsche Ungleichung : ExperimentBell hat somit ein Experiment vorgeschlagen, mit dem man überprüfen kann, obdie Theorie der verborgenen Variablen oder die Quantenmechanik richtig ist
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Bellsche Ungleichung : ExperimentVerschränkte Photonen können durchnichtlineare Prozesse (parametric down con-version) erzeugt werden
Zeilinger Gruppe
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M. A. Rowe et al., Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection, Nature 409, 791 (2001).
S
Bellsche Ungleichung : Experiment
Vorhersage der Quantenmechanik richtig… keine lokalen verborgenen Parameter !!!
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EPR Paradoxon : Konsequenzen
Die Messung an einem Teil einer verschränkten Wellenfunktion, hat zu demselbenZeitpunkt (!?) einen Einfluß auf die Wellenfunktion an einer anderen Stelle desUniversums !!!