情報システム基盤学 基礎1

アルゴリズムとデータ構造

Elements of Information Systems Fundamentals1

1

アルゴリズムとデータ構造　第3 回

木 (Tree) と2 分探索木 (Binary search tree)

目次 : 今日やること

木構造 木の深さ優先探索，幅優先探索 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ

4

木構造

5

木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

深さ

親と子

祖先と子孫頂点 x を根とする部分木

葉と内点

木構造

6

木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

親と子

隣接する 2 頂点のうち ,　・根に近い方 → 親　・根から遠い方 → 子

木構造

7

木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

葉と内点

子をもたない頂点葉：

葉以外の頂点内点：

木構造

8木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

子孫と祖先

頂点 x の祖先：頂点 x から根へのパス上

に存在する点（ x は含まない）頂点 x の子

孫：頂点 x を祖先として含む頂点

木構造

9木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

頂点 x を根とする部分木頂点 x を根とする部分

木：頂点 x と x の子孫からなる木

x

深さ0深さ1

深さ2

深さ3

深さ4

木構造

10高さ“ 5” の木の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造 ：頂点

（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

深さ頂点 x の深さ：頂点 x から根へのパ

ス上にある辺の数

x

まとめ : 木構造について見てきた

11

木（根つき木）の例

木構造：上から下へ枝分かれした構造

：頂点（点）：辺

：根

r

a

e

n

mlk

jihgf

dcb

深さ

親と子

祖先と子孫頂点 x を根とする部分木

葉

12

12

5 18

2 9 15 19

17例： 12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19

A

B C

Search(A) 1.Mark A; 2.if ( A is leaf )

return;3.Search(B); 4.Search(C);5.Search(D);

深さ優先探索(depth-first search)

木の深さ優先探索

現ノードＡの最左の子ノードから順に再帰降下する探索

D

13

12

5 18

2 9 15 19

17

例： 12, 5, 18, 2, 9, 15, 19, 17

A

B C

木の幅優先探索現ノードＡの子ノードを全て検査してから次の深さの子ノードを順に検査する探索

D

A

B C

木の幅優先探索現ノードＡの子ノードを全て検査してから次の深さの子ノードを順に検査する探索

D

BFS(A) 1. enq(Q, A); 1.While (Q != Φ) do2. q = deq(Q);3. mark q;4. enq all children of q;5.end

E F G H

A, B, C, D, E, F, G, H

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

19

2 分木

20

2 分木の定義

子の数が高々 2 個の木（ちょっと特殊な

木）

2 分木

木

2 分木

21

2 分木の例その 1

2 分木の例その 2 ：完全 2 分木

（内点は 2 個の子をもつ）

2 分木の例その 3 ：これも 2

分木

2 分木の定義

子の数が高々 2 個の木（ちょっと特殊な

木）

1 = 20

完全 2 分木の頂点数について

22

2 = 21

4 = 22

8 = 23

完全 2 分木の頂点数

高さ d の完全 2 分木 は 2d – 1 個の頂点をもつ

各点は , ちょうど 2 個の子をもつので

1 つ深くなるごとに頂点数は 2 倍

2 倍

2 倍

2 倍

高さ d の完全 2 分木 の頂点の個数を n とすると

n = ∑ 2i

i = 0

d-1

= 2d – 1

高さ = “ 最大深さ + 1” と考えてください（左下の木の高さは“ 4” ）

注意：

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

23

2 分探索木

24

2 分探索木とは…

2 分木の構造をデータ構造として利用したもの各点にキー（ = 自然数）を 1

つ格納左の子を根とする部分木に , より小さなキーを格納右の子を根とする部分木に , より大きなキーを格納

2 分探索木の例：

18

10 35

5 13 23 46

3 7 20 50

小 大

2 分探索木のイメージ：

x

x より小x より大

18

10

35 23

35

2 分探索木の実装

25

2 分探索木の表し方の例

頂点を構造体で表す struct vertex { int key; struct vertex *p; struct vertex *left; struct vertex *right;};

フィールドの構成：　　・ キー フィールド　　・ 親フィールド　　・ 左の子 フィールド　　・ 右の子 フィールド18

10 35

5 13 23 46

3 7 20 50

こんな感じ

“ キー = 自然数”と考えてね !!

35

46

502073

13

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

26

2 分探索（ = 2 分探索木上での探索）

27

問題

キー k が与えられたとき , 2 分探索木上で k を探したい

アルゴリズム

キー 7 の探索：水色網かけキー 28 の探索：ピンク網かけ

18

10 35

5 13 23 46

3 7 20 50

（根からスタートして）現在の頂点のキーと k を比較

両者は等しい → 現在の頂点を返し , 終了キー k の方が大きい → 右の子へ移動キー k の方が小さい → 左の子へ移動（子がなければ NULL を返す）

繰り返し

2 分探索 : 擬似コード

28

TREE-SEARCH(x,k)

1 if x = NULL or k = key[x]

2 then return x

3 if k < key[x]

4 then return TREE-SEARCH(left[x],k)

5 else return TREE-SEARCH(right[x],k)

x: 2 分探索木上の頂点key[x]: 頂点 x がもつキーleft[x]: 頂点 x の左の子right[x]: 頂点 x の右の子

x key[x]

key[x]より小

key[x]より大

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

29

2 分探索木へデータを挿入

30

2 分探索木へのデータ挿入

2 分探索木へ点を 1 つ追加する（※ 2 分探索木の性質が失われないように！）

12

5 18

2 9 15 19

17 13

12

5 18

2 9 15 19

17

13 を挿入

根 根

2 分探索木へデータを挿入

31

2 分探索木へのデータ挿入

2 分探索木へ点を 1 つ追加する（※ 2 分探索木の性質が失われないように！）

12

5 18

2 9 15 19

17

アルゴリズム

（根からスタートして）現在の頂点のキーと k を比較

キー k の方が大きい → 右の子へ移動

キー k の方が小さい → 左の子へ移動

右の子が NULL ならば , ここに挿入繰り返し

左の子が NULL ならば , ここに挿入

13

根

挿入の擬似コード

32

TREE-INSERT(k)1 Creat a new vertex z

with key[z] ← k, left[x] ← NULL, right[x] ← NULL

2 y ← NULL, x ← root

3 while x ≠ NULL

4 do y ← x

5 if key[z] < key[x]

6 then x ← left[x]

7 else x ← right[x]

8 p[z] ← y

9 if y = NULL 　　 // 2 分木が空だったとき10 then root ← z

11 else if key[z] < key[y]

12 then left[y] ← z

13 else right[y] ← z

12

5 18

2 9 15 19

1713

根（ = root ）

x: 2 分探索木上の頂点

key[x]: 頂点 x がもつキーleft[x]: 頂点 x の左の子right[x]: 頂点 x の右の子

root: 2 分探索木の根

k = 13 の例：

xy = NULL

x

y

x

y

x

y

p[x]: 頂点 x の親

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ トライ・サフィックス木（の紹介だけ）

33

7

6

10 13

2 分探索木からデータを削除

34

2 分探索木からデータ削除

2 分探索木へ点を 1 つ削除する（※ 2 分探索木の性質が失われないように！）

15

5 16

3 12

18

20

23

根（ = root ）

13 を削除

1 2

7

6

10

15

5 16

3 12

18

20

23

根（ = root ）

1 2

なくなってる !!!

13

削除の難しさ

2 分探索木からデータ削除

2 分探索木へ点を 1 つ削除する（※ 2 分探索木の性質が失われないように！）

探索・挿入と比べるとちょっと難しい

6

10 13

35

15

5 16

3 12

18

20

23

5 を削除

1 2

6

10

15

16

3 12

18

20

231 2

ここの穴埋め

どうする !?

ポイントとなるアイデア

2 分探索木からデータ削除

2 分探索木へ点を 1 つ削除する（※ 2 分探索木の性質が失われないように！）

探索・挿入と比べるとちょっと難しい

36

ポイント子の個数で 3 つに場合分けして考

える Case 1: 子の個数が0Case 2: 子の個数が 1

Case 3: 子の個数が2

Case 1: 子の個数が 0 （簡単 ! ）

削除の仕方

（削除したい頂点を z とする）

37

1. z を削除

7

6

10 13

15

5 16

3 12

18

20

23

根（ = root ）

13 を削除

1 2

7

6

10

15

5 16

3 12

18

20

23

根（ = root ）

1 2

Case 2: 子の個数が 1 （これも簡単 ! ）

削除の仕方

（削除したい頂点を z とする）

38

1. z の子と z の親を繋げる2. z を削除

7

6

10 13

15

5 16

3 12

18

20

23

根（ = root ）

16 を削除

1 2

7

6

10

15

5

3 12 18

20

23

根（ = root ）

1 2

7

Case 3: 子の個数が 2 （ちょいムズ）

39

6

10 13

15

5 16

3 12

18

20

23

5 を削除

1 2

方針： z を削除し、 z の successor に穴埋めさせる削除の仕方

（削除したい頂点を z とする）1. key[z] の次に大きいキーをもつ頂点を探す（ y とする）2. y をいったん削除3. x を y に置き換える

z の successor

7

10 13

15

6 16

3 12

18

20

231 2

（削除後も , ちゃーんと 2 分木の性質を満たしてます）

目次 : 今日やること

木構造 2 分木・ 2 分探索木

2 分探索 頂点の挿入 頂点の削除

木の頂点の番号づけ

40

木の頂点の番号づけ（ 3 種類）

41

12

5 18

2 9 15 19

17

1. preorder （先行順）

例： 12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19

3. postorder （後行順）

例： 2, 9, 5, 17, 15, 19, 18, 12

2. inorder （中間順）

例 : 2, 5, 9, 12, 15, 17, 18, 19

深さ優先探索で , 訪れた順に番号づけ

深さ優先探索で , 左子から戻ってきたときに番号づけ（注意： 2 分木だけに定義される番号づけです）

深さ優先探索で , 最後に去っていく順に番号づけ

（課題に出します）

木の頂点の番号づけ（ 3 種類）

42

12

5 18

2 9 15 19

17

1. preorder （先行順）

例： 12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19

深さ優先探索で , 訪れた順に番号づけ

（課題に出します）

A

B C

Search(A) 1.Mark A; 2.if ( A is leaf )

return;3.Search(B); 4.Search(C);

深さ優先探索(depth-first search)

43

12

5 18

2 9 15 19

17

（課題に出します）

A

B C

Search(A) 1.Search(B); 2.Mark A;3.Search(C);

// modify it // if A is a leaf.

44

12

5 18

2 9 15 19

17

（課題に出します）

A

B C

Search(A) 1.Search(B); 2.Search(C);3.Mark A;

// modify it // if A is a leaf.

第 1 回 レポート課題課題 1

O(n^2) sort, O(n lg n) sort を作り， n = 10 から　10^4 まで実行時間を測定してみよ．整数配列の sort で良い．

** copy paste でも今回だけは良いが　擬似コードで　　分かれば　自由に　書けるはずだ．

Free Yourself

でも　行き詰ったら　基礎１ TA 　メーリングリストへ． fskiso1-2013@hpc.is.uec.ac.jp提出：　ＩＳ棟２Ｆ事務室ポストへ．コードと測定結果をＡ４印刷．

出題日 : 2013/May 1締切日 : 2013/May 15

第 2 回 レポート課題

.2 分探索木の全キーを preorder で出力するプログラムを作成してください . 余裕のある人は inorder, postorder についても同様にプログラムを作成してください。

課題2.

2 9

12

5 18

15 19

17

12, 5, 2, 9, 18, 15, 17, 19

左の 2 分木の全キーをpreorder で出力

Hint: 再帰呼出を使うと 楽に作れる

出題：　Ｈ２５年 5月 1 日締切：　同年　　 5月 22 日まで．提出先：ＩＳ棟２Ｆ事務ポスト　 ( コード，実行結果をＡ４　　用紙に出力，簡単にコメントをつける）

47

このスライドは 2010年に山中先生が作成したものを今回　大森が改訂しました．木の深さ優先探索，幅優先探索は独自作成です．　　　これから面白いところで　交代．

アルゴリズムの設計と解析 ( 上 )( 下 )　　 Aho, Hopcroft, Ullman, サイエンス社が　ほぼ全ての古典的教科書の源．

ＭＩＴ本 ( コルメン著 ) – 分厚い．翻訳が下手．Knuth本　– 難しいが Bible なので仕方ない．　　　　　　　　基本とは難しいものだと分かる．「データ構造」（星守　著，昭晃堂）　 -- 　　数理工学科向きのアルゴリズム講義の　　教科書．　見た目よりも　お勧め．