ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни...
DESCRIPTION
ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1 – Рачунске вежбе – Предметни наставник Мр. Оливера Васовић, дипл. геод. инж. А. В. С. РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА. Трећи угао је:. ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, a, b. Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
ПРАКТИЧНА ГЕОДЕЗИЈА 1
– Рачунске вежбе –
Предметни наставник
Мр. Оливера Васовић, дипл. геод. инж.
РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА
a
b c
А
С В
ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, .
mR2sin
c
sin
b
sin
a
0180Трећи угао је:
Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b.
sinmsinsin
cb
sinmsinsin
ca
Контрола: b cos + c cos = a
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
cosab2bac 222
Познато- b, c, cosbc2cba 222
cosac2cab 222Познато- a, c,
Познато- a, b,
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме
cosbc2cba 222
Из синусне теореме, добијамо вредност угла или .
mcba
sinsinsin m
bsin
m
barcsin
+ + = 1800 = 1800 - ( + )
cosbc2cba 22
cosbc2cba 222
sin
am
m
barcsin
= 1800 контрола
контрола
m
carcsinγ
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме
2 tg
2 tg
cb
cb
+ + = 1800 + = 1800 -
Знамо да је:
290
20
2ctg
cb
cb
290 tg
cb
cb
2tg
cb
cb
2 tg 0
Из тангенсне теореме следи:
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, .
ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме
2ctg
cb
cb
2tg
односно:
22ctg
cb
cbarctg
Имамо да је:
290
20
2ctg
cb
cbarctg
2
2
ctgcb
cbarctg
290
220
2
ctgcb
cbarctg
290
220
Страница а се рачуна применом синусне теореме:
sinsin
csin
sin
ba
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 14
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (ВЕЋЕ) СТРАНИЦЕ ОД ЊИХ - а, b, b > a).
msin
b
sin
a
m
a
sinba
sinb
asin
0180Трећи угао је:
Из синусне теореме добија се вредност угла
Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13
m
aarcsin
Из синусне теореме добија се вредност странице с.
sinmsinsin
bc
sin
am
m
barcsin= 1800 -
(
= 1800 контрола
sinmc
контрола
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Из синусне теореме следи:
sin
c
sin
b sinb
csin
sin постоји само ако је c sin≤ b (0 ≤ sin≤ 1).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
1. c sin< b. Тада постоје два решења ипри чему је:
+=1800
Како је задат угао наспрам мање странице, могући су следећи односи:
2. c sin= b. Тада је = 900
3. c sin b. Овакав троугао је немогућ (нема решење).
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
Ако важи први случај (са два решења), тада посматрамо троуглове:
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
ПРВО РЕШЕЊЕ ABC1:
sin
b
carcsinsin
b
csin 11
10
1 180 Трећи угао је:
Из синусне теореме добија се вредност странице a1.
11 sinsin
ba
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
ДРУГО РЕШЕЊЕ ABC2:
20
2 180 Трећи угао је:
Из синусне теореме добија се вредност странице a2.
22 sinsin
ba
10
20
21 180180 Знамо да је:
НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси избегава.
ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, (b < c)
sin
a
sin
b
sinsin
ba
Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи:
0180Трећи угао је:
Из синусне теореме добија се вредност странице a.
Односно из Питагорине теореме:
c2 = a2 + b2 22 bca
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
ДИРЕКЦИОНИ УГАО () је угао за који треба ротирати позитиван смер паралеле са X-осом координатног система у смеру кретања казаљке на часовнику, док се не поклопи са
страном на коју се дирекциони угао односи.
Дирекциони угао се означава са: BA , и чита као: "ни А на Б".
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
x
y0
Y B
Y B - Y = YA
X B-X
=X
A
Y A
X A
X B
B ( Y B , X )B
A ( Y A , X )A
A
B
Дате су координате тачака A(YA, XA) i B(YB, XB).
Потребно је срачунати дирекциони угао: BA и дужину: dAB
Са слике следи:
X
Y
XX
YYtg
AB
ABBA
X
YarctgB
A
22AB XYd
Дужина износи:
Koнтрола рачунања дирекционог угла:
YX
YXX
YXX
YX
XYXY
tg
tg
tgtg
tgtgtg
BA
BA
BA
BAB
A
1
1
1
1
451
4545 0
00
Koнтрола рачунања дужине:
ba
ba
AB cos
X
sin
Yd
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Зависно од положаја тачака A и B у координатном систему, вредност дирекционог угла може да износи од 00 дo 3600 ,
односно он може да се налази у првом, другом, трећем или четвртом квадранту.
Важи следеће: X
- X
Y- Y
I квадрант
+ ΔY, + Δ X
II квадрант
+ ΔY, – Δ X
III квадрант
– ΔY, – Δ X
IV квадрант
– ΔY, + Δ X
X > 0
Y > 0
Y > 0
Y < 0
Y < 0
X > 0
X < 0 X < 0
A A
AA
BB
BB+ x
- x
+ y- y 0
A
B
A
B
A
B
A
B
0
AB
ABBA 3 6 0
XXYY
a r c t g
0
AB
ABBA 1 8 0
XXYY
a r c tg
0
AB
ABBA 1 8 0
XXYY
a r c tg
AB
ABBA XX
YYa r c t g
I квадрант
II квадрантIII квадрант
IV квадрант
ДИРЕКЦИОНИ УГАО
Рачунање дирекционог угла и дужине из координата крајњих тачака се врши у Тригонометријском обрасцу број 8.
Вредност дирекционог угла AB је:
0180 BA
AB
B
ab
ba
1800
A
ba
Дирекциони угао је у IV квадранту
0360
DX
DYarctgb
a
DX
DYtg b
a
квадрантуIуугаојеba
4
DYDX
DYDXtg b
a
4
DYDX
DYDXarctgb
a4 ba
ABba
ABAB cos
DXdодносно
sin
DYdконтролаDXDYd
22
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ
ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Уколико су дате координате тачака А(YА, XА) и B(YB, XB), као и мерени углови А и B, тада се методом пресецања
напред могу срачунати координате тачке Т(YT, XT).
Дате (познате вредности) вредности су:
1. координате тачака: А(YА, XА) и B(YB, XB),
2. мерени углови: А и B,
Тражена (непозната) вредност:
1. координате тачке: Т(YT, XT).
РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД
Поступак рада:
1. Нацртати скицу координатног система са нанетим тачкама А и В.
2. Нанети на скици мерене углове А и B,
3. Срачунати вредност дирекционог угла и дужине dAB.
4. Одредити вредности оријентационих праваца А и В на основу скице конкретне ситуације.
BA
BABB
0A
BAA 360
Са слике следи:
Т (YT,XT)
Са слике следи:
= В - А
Контрола рачунања(збир углова у троуглу):
А + В + = 1800
Из синусне теореме следи:
B
AT
A
BTAB
sin
d
sin
d
sin
d
BAB
AT sinsin
dd
AAB
BT sinsin
dd
Контрола рачунања:
AATBBTAB cosdcosdd
Координате тражене тачке Т(YT, XT) се рачунају на два начина:
• помоћу тачке А:
YТ' = YА + YА = YА + dАT sinА
XТ' = XА + XА = XА + dАТ cosА
• помоћу тачке В:
YТ'' = YB + YB = YB + dBТ sinB
XТ'' = XB + XB = XB + dBТ cosB
Уколико се вредности YТ' и YТ'' , као и XТ' и XТ'' слажу у оквиру дозвољеног одступања 0,1m; тада се за дефинитивну
вредност координата тачке Т (YТ, XТ) узима аритметичка средина:
2
"Y'YY TT
T
2
"X'XX TT
T