Хялбар интегралчлагдах 1-р эрэмбийн дифференциал...
TRANSCRIPT
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
МАТЕМАТИК-2Ердийн дифференциал тэгшитгэл
Д.Баттөр
2010 оны 3-р сарын 24
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Агуулга
1 Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүдХувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэлАргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлШугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүдБүтэн дифференциалт тэгшитгэл
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Тодорхойлт
Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (1)
тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
Энэ тохиолдолд
y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy
dx= φ(x) · ψ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Тодорхойлт
Хэрэв өгөгдсөнy ′ = f (x , y) (1)
тэгшитгэлд f (x , y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвалхувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
Энэ тохиолдолд
y ′ = φ(x) · ψ(y), эсвэлdy
dx= φ(x) · ψ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)
dy
ψ(y)= φ(x)dx
хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд
тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫
dy
ψ(y)=
∫φ(x)dx + C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy -ийн өмнөх коэффициентзөвхөн y -ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийгагуулсан)
dy
ψ(y)= φ(x)dx
хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь∫
dy
ψ(y)=
∫φ(x)dx + C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.
- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy
⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.
Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно.
Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C
⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
y ′ = 2xy тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dy
dx= 2xy ⇒ dy
y= 2xdx
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln |y | = x2 + C
болно. Эндээс
|y | = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.
Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана.
Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд
∫φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ.
Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийннэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол
φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (2)
хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x)үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
φ(x)
r(x)dx +
s(y)
ψ(y)dy = 0
хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхийшийд ∫
φ(x)
r(x)dx +
∫s(y)
ψ(y)dy = C , C = const
хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F (x , y , c) = 0 хэлбэрийнтэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.
Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл
Жишээ
(1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Хувьсагчуудыг нь ялгавал:
dx
1 + x2+
dy
1 + y2= 0
болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
arctg x + arctg y = C
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.
t = 1x гэж авбал
f (x , y) = f(1x· x , 1
x· y)= f(1,
y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(3)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1
x гэж авбал
f (x , y) = f(1x· x , 1
x· y)= f(1,
y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(3)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
f (tx , ty) = tn · f (x , y) (∗∗)
тэнцэтгэл биелэх y ′ = f (x , y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авчүзье.t = 1
x гэж авбал
f (x , y) = f(1x· x , 1
x· y)= f(1,
y
x
)= φ
(yx
)хэлбэрт бичигдэнэ.
Тодорхойлт
y ′ = φ(yx
)(3)
хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл
(3) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.
Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.
Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үлмэдэгдэх u = u(x) функцийг
y
x= u, y = u · x , y ′ = u′ · x + u
томъёогоор орлуулга хийвэл(3) тэгшитгэл
u′ · x + u = φ(u), x · dudx
= φ(u)− u,du
φ(u)− u=
dx
x;
хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлдшилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаарu-ийг u = y/x томъёогоор олно.Хэрэв M(x , y) ба N(x , y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийнфункцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийндифференциал тэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0
хэлбэрт бичиж болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд
dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u,
x · dudx
=u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.
Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.
- f (x , y) =y2 − x2
2xy=
1
2· yx− 1
2 · yxбайгаа учраас
y = u · x орлуулга хийхэд dydx = x · dudx + u болох ба
x · dudx
+ u =u2 − 1
2u, x · du
dx=
u2 − 1
2u− u = −u2 + 1
2u;
болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыгялгавал
2udu
u2 + 1= −dx
x.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.
Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x, ⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x,
⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэнтөрлийн тэгшитгэл
Жишээ
dydx = y2−x2
2xy тэгшитгэлийг бод.- Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал
ln(u2 + 1) = − ln x + lnC , u2 + 1 =C
x;
болно.Эцэст нь u-гийн оронд yx тавибал өгөгдсөн
тэгшитгэлийн ерөнхий шийд
y2
x2+ 1 =
C
x, ⇒ x2 + y2 = C · x
хэлбэрт бичигдэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Тодорхойлт
Үл мэдэгдэх функц y(x) ба түүний уламжлал y ′(x)-ийгшугаман хэлбэрээр агуулсан
a(x) · y ′ + b(x) · y + c(x) = 0 (4)
хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Тодорхойлт
Хэрэв энэ тэгшитгэлийг a(x) 6= 0 коэффициентэд хуваавалуг тэгшитгэл
y ′ + p(x)y = f (x), энд p(x) =b(x)
a(x), f (x) = −c(x)
a(x)(5)
хэлбэрт тавигдана.
Хэрэв f (x) = 0 бол нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлf (x) 6= 0 бол нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
z ′ + p(x)z = 0, (∗′)
бодно.
Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
dz
dx= −p(x)z , dz
z= −p(x)dx ,
ln |z | = −∫
p(x)dx + lnC
z = C · e−∫p(x)dx
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
z ′ + p(x)z = 0, (∗′)
бодно.Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
dz
dx= −p(x)z , dz
z= −p(x)dx ,
ln |z | = −∫
p(x)dx + lnC
z = C · e−∫p(x)dx
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
z ′ + p(x)z = 0, (∗′)
бодно.Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
dz
dx= −p(x)z , dz
z= −p(x)dx ,
ln |z | = −∫
p(x)dx + lnC
z = C · e−∫p(x)dx
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
z ′ + p(x)z = 0, (∗′)
бодно.Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
dz
dx= −p(x)z , dz
z= −p(x)dx ,
ln |z | = −∫
p(x)dx + lnC
z = C · e−∫p(x)dx
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
(5) тэгшитгэлийн сул гишүүн f (x)-ийг орхиж, харгалзахнэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
z ′ + p(x)z = 0, (∗′)
бодно.Энэ нь ялгагдах тэгшитгэл тул
dz
dx= −p(x)z , dz
z= −p(x)dx ,
ln |z | = −∫
p(x)dx + lnC
z = C · e−∫p(x)dx
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд
y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)
хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.
(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал
φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,
φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд
y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)
хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал
φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,
φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
Одоо нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн шийд
y = φ(x) · e−∫p(x)dx (∗ ∗ ∗)
хэлбэртэй байхаар φ(x) функцийг олох зорилт тавина.(***) тэнцэтгэлээс y ′-ийг олж (5) тэгшитгэлд орлуулантавибал
φ′ · z1 + φ · z ′1 + p(x)φ · z1 = f ,
φ′ · z1 + φ · (z ′1 + p(x) · z1) = f
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба
эндээс
φ′(x) =f (x)
z1(x), φ(x) =
∫f (x)
z1(x)dx + C ,
эцсийн дүнд
y = z1(x) ·∫
f (x)
z1(x)dx + C · z1(x)
хэлбэрээр (5) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба эндээс
φ′(x) =f (x)
z1(x), φ(x) =
∫f (x)
z1(x)dx + C ,
эцсийн дүнд
y = z1(x) ·∫
f (x)
z1(x)dx + C · z1(x)
хэлбэрээр (5) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлийг бодох
z1 нь (∗′) тэгшитгэлийн шийд учраас z ′1 + p(x) · z1 = 0ба эндээс
φ′(x) =f (x)
z1(x), φ(x) =
∫f (x)
z1(x)dx + C ,
эцсийн дүнд
y = z1(x) ·∫
f (x)
z1(x)dx + C · z1(x)
хэлбэрээр (5) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.
- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөнбөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.
z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.
Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx ,
⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|,
⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Шугаман, нэгэн төрлийн биш тэгшитгэл өгөгдсөн
бөгөөд p(x) = 3, f (x) = e2x байна.z ′ + 3z = 0 тэгшитгэлийг бодъё.Хувьсагч нь ялгагдахтэгшитгэл учраас
dz
z= −3dx , ⇒ ln |z | = −3x + ln |C1|, ⇒ z = C · e−3x
Одоо өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийгy = ϕ(x) · e−3x хэлбэртэйгээр эрнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.
- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул
y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба
эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно.
Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэл
Жишээ
y ′ + 3y = e2x тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг дифференциалчлахадy ′ = ϕ′(x) · e−3x − 3ϕ(x) · e−3x болох тул y , y ′-ийн энэилэрхийллүдийг орлуулан тавьж
ϕ′(x) · e−3x = e2x , ϕ′(x) = e5x ,⇒ dϕ(x) = e5xdx
тэнцэтгэлд хүрэх ба эндээс ϕ(x) = 15e
5x + C2 гэжолдно. Өгөгдсөн нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийнерөнхий шийд
y = C (x) · e−3x =
(1
5e5x + C2
)· e−3x =
1
5e2x +C2 · e−3x
олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y
′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваана
y1−n = u(x), y′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x),
y ′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y
′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэ
Үүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y
′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.
u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y
′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Бернулли-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш тэгшитгэл
y ′ + p(x) · y = f (x) · yn, (n 6= 1) (6)
-ийг Бернулли-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Бернулли-ийн тэгшитгэлийг бодох:
(6) тэгшитгэлийг yn функцэд хуваанаy1−n = u(x), y
′
yn = u′(x)1−n орлуулга хийж, шугаман
тэгшитгэлд шилжүүлнэҮүсэх шигаман тэгшитгэлд бодож шийдийг олно.u(x) = y1−n орлуулга хийж анхны тэгшитгэлийншийдийг олно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Жишээ
y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.
- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
y ′
y2− x
y= x3
болно. 1y = u, y
′
y2 = u′
1−2 гэж орлуулбал
−u′ − xu = x3
болно. Одоо−u′ − xu = x3
тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг
хийснээр шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Жишээ
y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
y ′
y2− x
y= x3
болно. 1y = u, y
′
y2 = u′
1−2 гэж орлуулбал
−u′ − xu = x3
болно. Одоо−u′ − xu = x3
тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг
хийснээр шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Жишээ
y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
y ′
y2− x
y= x3
болно.
1y = u, y
′
y2 = u′
1−2 гэж орлуулбал
−u′ − xu = x3
болно. Одоо−u′ − xu = x3
тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг
хийснээр шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Жишээ
y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
y ′
y2− x
y= x3
болно. 1y = u, y
′
y2 = u′
1−2 гэж орлуулбал
−u′ − xu = x3
болно.
Одоо−u′ − xu = x3
тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг
хийснээр шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Жишээ
y ′ − xy = x3y2 тэгшитгэлийг бод.- Энэ тэнцэтгэлийг y2-д хуваавал
y ′
y2− x
y= x3
болно. 1y = u, y
′
y2 = u′
1−2 гэж орлуулбал
−u′ − xu = x3
болно. Одоо−u′ − xu = x3
тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох ба u = 1y орлуулгыг
хийснээр шийд олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш
y ′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7)
-ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Рикатти-ийн тэгшитгэлийг бодох:(7)-ийн тэгшитгэл нь ерөнхий тохиолдолдинтегралчлалаар шийдийг олж болохгүй ангилалдордог. Гэхдээ, хэрэв энэ тэгшитгэлийн аль нэгэн тухайншийд y1(x) нь ямар нэгэн арга замаар олдсон байвалy = y1 +
1z(x) орлуулга хийснээр шугаман тэгшитгэлд
шилжинэ:z ′ + (2py1 + q)z = −p
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Шугаман тэгшитгэлд шилжих заримтэгшитгэлүүд
Ф.Рикатти-ийн тэгшитгэл
Тодорхойлт
Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман биш
y ′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x) (7)
-ийг Рикатти-ийн тэгшитгэл гэнэ.
Рикатти-ийн тэгшитгэлийг бодох:(7)-ийн тэгшитгэл нь ерөнхий тохиолдолдинтегралчлалаар шийдийг олж болохгүй ангилалдордог. Гэхдээ, хэрэв энэ тэгшитгэлийн аль нэгэн тухайншийд y1(x) нь ямар нэгэн арга замаар олдсон байвалy = y1 +
1z(x) орлуулга хийснээр шугаман тэгшитгэлд
шилжинэ:z ′ + (2py1 + q)z = −p
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийнy ′ = f (x , y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлдуламжлалын y ′ = dy
dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөнтэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.
Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.
Тодорхойлт
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд
du(x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy
тэнцэтгэлийг хангах u(x , y) функц оршин байвал угтэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийнy ′ = f (x , y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлдуламжлалын y ′ = dy
dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөнтэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.
Тодорхойлт
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд
du(x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy
тэнцэтгэлийг хангах u(x , y) функц оршин байвал угтэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийнy ′ = f (x , y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлдуламжлалын y ′ = dy
dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөнтэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.
Тодорхойлт
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд
du(x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy
тэнцэтгэлийг хангах u(x , y) функц оршин байвал угтэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Уламжлалын хувьд бодогдсон нэгдүгээр эрэмбийнy ′ = f (x , y) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлдуламжлалын y ′ = dy
dx илэрхийллийг ашиглаж өгөгдсөнтэгшитгэлийг
M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0, (∗ ∗ ∗∗)хэлбэрт бичиж болно.Буцаагаад, (****) хэлбэрт бичигдсэнтэгшитгэлийг M(x , y) илэрхийлэлд гишүүнчлэн хуваахзамаар y ′ = f (x , y) хэлбэрт оруулж болно.
Тодорхойлт
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн хувьд
du(x , y) = M(x , y)dx + N(x , y)dy
тэнцэтгэлийг хангах u(x , y) функц оршин байвал угтэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл
du(x , y) = 0
хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.
Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:
M(x , y)dx + N(x , y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x , y)функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй бахүрэлцээтэй нөхцөл бол
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x(8)
тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино. Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал
∂u
∂x= M(x , y),
∂u
∂y= N(x , y) (9)
байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл
du(x , y) = 0
хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:
M(x , y)dx + N(x , y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x , y)функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй бахүрэлцээтэй нөхцөл бол
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x(8)
тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино. Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал
∂u
∂x= M(x , y),
∂u
∂y= N(x , y) (9)
байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл
du(x , y) = 0
хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:
M(x , y)dx + N(x , y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x , y)функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй бахүрэлцээтэй нөхцөл бол
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x(8)
тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино.
Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал
∂u
∂x= M(x , y),
∂u
∂y= N(x , y) (9)
байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тохиолдолд (****) тэгшитгэл
du(x , y) = 0
хэлбэрт бичигдэж болох ба, эндээс, шийдu(x , y) = C = const байна.Өгөгдсөн (****) тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэлбайгаа, эсэхийг шалгах:
M(x , y)dx + N(x , y)dy илэрхийлэл ямар нэгэн u(x , y)функцийн бүтэн дифференциал нь байхын зайлшгүй бахүрэлцээтэй нөхцөл бол
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x(8)
тэнцэтгэл биелэгдэхэд оршино. Энэ нөхцөл биелэгдэжбайвал
∂u
∂x= M(x , y),
∂u
∂y= N(x , y) (9)
байна.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
(9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал
u(x , y) =
∫M(x , y)dx + φ(y), (10)
ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм. Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:
∂u
∂y=
∂
∂y
(∫M(x , y)dx
)+ φ′(y) = N(x , y), (11)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
(9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал
u(x , y) =
∫M(x , y)dx + φ(y), (10)
ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм.
Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:
∂u
∂y=
∂
∂y
(∫M(x , y)dx
)+ φ′(y) = N(x , y), (11)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
(9) системийн эхний тэгшитгэлийг x-ээр интегралчлавал
u(x , y) =
∫M(x , y)dx + φ(y), (10)
ба энд байгаа φ(y) нь зөвхөн y -ээс хамаарах дурын(дифференциалчлагдах) функц юм. Одоо (10) томъёогоорилэрхийлэгдэх u(x , y) функц (9) системийн хоёрдахьтэгшитгэлд хангаж байхаар φ(y) функцийг сонгож авъя:
∂u
∂y=
∂
∂y
(∫M(x , y)dx
)+ φ′(y) = N(x , y), (11)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлээс φ′(y) -ийг олж, улмаар интегралчлахзамаар φ(y)-ийг олно.
Ингэж олдсон φ(y)-ийг (10)томъёонд орлуулж тавихад u(x , y) функц олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Энэ тэгшитгэлээс φ′(y) -ийг олж, улмаар интегралчлахзамаар φ(y)-ийг олно. Ингэж олдсон φ(y)-ийг (10)томъёонд орлуулж тавихад u(x , y) функц олдоно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x= 12xy
тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.
u =
∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x= 12xy
тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.
u =
∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x= 12xy
тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.
u =
∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- (3x2 + 6xy2) = M(x , y), (6x2y + 4y3) = N(x , y) ба
∂M(x , y)
∂y=∂N(x , y)
∂x= 12xy
тул бүтэн дифференциал тэгшитгэл байна.
u =
∫(3x2 + 6xy2)dx = x3 + 3x2y2 + φ(y)
болно.
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- Эндээс y -р уламжлал авбал
6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3
тул
φ(y) = 4
∫y3dy = y4
болно. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд
x3 + 3x2y2 + y4 = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Эндээс y -р уламжлал авбал
6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3
тул
φ(y) = 4
∫y3dy = y4
болно. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд
x3 + 3x2y2 + y4 = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Эндээс y -р уламжлал авбал
6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3
тул
φ(y) = 4
∫y3dy = y4
болно.
Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд
x3 + 3x2y2 + y4 = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(3x2 + 6xy2)dx + (6x2y + 4y3)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.- Эндээс y -р уламжлал авбал
6x2y + φ′(y) = 6x2y + 4y3
тул
φ(y) = 4
∫y3dy = y4
болно. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн шийд
x3 + 3x2y2 + y4 = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэндифференциал биш
(∂M∂y 6≡
∂N∂x
)байвал интегралчлагч
үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x , y) функцийгµ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар,олж болно.
Интегралчлагч үржигдэхүүн:1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= φ(x) гэвэл
lnµ(x) =
∫φ(x)dx
1
M
(∂N∂x− ∂M
∂y
)= ψ(y) гэвэл
lnµ(y) =
∫ψ(y)dy
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Хэрэв (****) тэгшитгэлийн зүүн тал дахь илэрхийлэл бүтэндифференциал биш
(∂M∂y 6≡
∂N∂x
)байвал интегралчлагч
үржигдэхүүн гэж нэрлэгдэх µ = µ(x , y) функцийгµ(Mdx + Ndy) илэрхийлэл бүтэн дифференциал байхаар,олж болно.Интегралчлагч үржигдэхүүн:
1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= φ(x) гэвэл
lnµ(x) =
∫φ(x)dx
1
M
(∂N∂x− ∂M
∂y
)= ψ(y) гэвэл
lnµ(y) =
∫ψ(y)dy
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =
1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =
1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =
1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =
1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2
⇒ µ(x) =1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- x2 − y = M(x , y),N(x , y) = x ба
∂M(x , y)
∂y= −1; ∂N(x , y)
∂x= 1
тул интегралчлагч үржигдэхүүнийг олъё.
φ(x) =1
N
(∂M∂y− ∂N
∂x
)= −2
x
lnµ(x) =
∫−2
xdx = −2 ln x = ln x−2 ⇒ µ(x) =
1
x2
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- µ(x) = 1x2
-р үржүүлбэл
(1− y
x2)dx +
1
xdy = 0
тэгшитгэлд шилжүүллээ.y -р интегралчибал
u =
∫1
xdy =
y
x+ φ(x)
болно. x-р дифференциалбал
1− y
x2= − y
x2+ φ′(x)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- µ(x) = 1
x2-р үржүүлбэл
(1− y
x2)dx +
1
xdy = 0
тэгшитгэлд шилжүүллээ.
y -р интегралчибал
u =
∫1
xdy =
y
x+ φ(x)
болно. x-р дифференциалбал
1− y
x2= − y
x2+ φ′(x)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- µ(x) = 1
x2-р үржүүлбэл
(1− y
x2)dx +
1
xdy = 0
тэгшитгэлд шилжүүллээ.y -р интегралчибал
u =
∫1
xdy =
y
x+ φ(x)
болно.
x-р дифференциалбал
1− y
x2= − y
x2+ φ′(x)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.- µ(x) = 1
x2-р үржүүлбэл
(1− y
x2)dx +
1
xdy = 0
тэгшитгэлд шилжүүллээ.y -р интегралчибал
u =
∫1
xdy =
y
x+ φ(x)
болно. x-р дифференциалбал
1− y
x2= − y
x2+ φ′(x)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.
-φ′(x) = 1⇒ φ(x) =
∫dx = x
болох тулy
x+ x = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.-
φ′(x) = 1
⇒ φ(x) =
∫dx = x
болох тулy
x+ x = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.-
φ′(x) = 1⇒ φ(x) =
∫dx = x
болох тул
y
x+ x = C
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
ХялбаринтегралчлагдахтэгшитгэлүүдХувьсагчууднь ялгагдахтэгшитгэлАргумент баүл мэдэгдэхфункцийнхувьд нэгэнтөрлийнтэгшитгэлШугамантэгшитгэлШугамантэгшитгэлдшилжихзаримтэгшитгэлүүдБүтэндифференциалттэгшитгэл
Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
Жишээ
(x2 − y)dx + xdy = 0 тэгшитгэлийг бод.-
φ′(x) = 1⇒ φ(x) =
∫dx = x
болох тулy
x+ x = C