1

Лекция 1

Дифференциальные уравнения

первого порядка

2

Понятие дифференциального уравнения и его

решения

• Обыкновенным дифференциальным уравнением

1-го порядка называется выражение вида

где заданная функция, независимая

переменная, неизвестная функция, - её

производная, наличие которой обязательно.

• Решением дифференциального уравнения

называется функция определённая на

некотором интервале вместе со своей

производной и обращающее на этом интервале

уравнение в тождество

( , , ) 0,F x y y

F

( )y y x

x

( ),y y x

( , )a b

( , ( ), ( )) 0, ( , ).F x y x y x x a b

y

3

Интегральная кривая

• График решения дифференциального уравнения

называется интегральной кривой.

• Пример 1. Рассмотрим уравнение вида

• Решение уравнения:

• Интегральные кривые –

семейство парабол (рис.1)

2 0.y x

2

2

2

y x

y xdx x C

x

y

Рис.1

4

Задача Коши

• Задачей Коши для дифференциального уравнения

1-го порядка называется задача нахождения

решения этого уравнения ,

удовлетворяющего начальным условиям

где заданные значения.

• Обычно задача Коши записывается в виде

• Геометрически задача Коши является задачей о

нахождении интегральной кривой, проходящей

через заданную точку

( )y y x

0 0( ),y y x

0 0( , )x y

0 0

( , , ) 0,

( ).

F x y y

y y x

0 0 0( , ).M x y

5

Единственность решения задачи Коши

• Будем говорить, что задача Коши с начальными

условиями имеет единственное

решение , определённое на интервале

если не существует решения заданной задачи

Коши, определённого на этом же интервале, не

совпадающего с решением .

0 0( )y y x

( )y y x ( , ),a b

( )y y x

6

Контрпример.

• Пример 2. Рассмотрим дифференциальное

уравнение вида

• Легко видеть, что функции вида

являются решениями уравнения и через каждую

точку плоскости проходит бесконечно

много соответствующих интегральных кривых.

2 / 33 .y y

3

3

( ) , ,

0, ,

( ) ,

x x

y x

x x

0 0 0( , )M x y

7

Теорема существования и единственности

• Пусть функция непрерывна в открытой

области и существует непрерывная

частная производная в этой области.

Тогда для

любой точки , принадлежащей области

задача Коши

имеет единственное решение, определённое на

некотором максимальном интервале .

( , )f x y

D

f

y

0 0 0( , )M x y ,D

0 0

( , ),

( ).

y f x y

y y x

( , )a b

8

Геометрическая иллюстрация

Пусть , и в области выполняются условия

теоремы существования и единственности, тогда

через точку

проходит

единственная

интегральная

кривая.

y

x

0M D

0M D D

0M

9

Частные и общие решения

Пусть - область существования и

единственности дифференциального уравнения.

• Всякое решение задачи Коши с

начальным условием

называется частным решением.

• Семейство решений зависящее от

произвольной постоянной , называется

общим решением, если любое частное решение

содержится в общем решении.

D

0 0 0 0( ), ( , )y y x x y D

( )y y x

( , ),y x C

C

10

Особые решения

• Решение дифференциального уравнения, в каждой

точке которого нарушается единственность задачи

Коши, называется особым решением.

• Для примера 2 функция является особым

решением.

0y

11

Общий интеграл.

• Неявная функция называется

общим интегралом, если она определяет общее

решение дифференциального

уравнения.

• Дифференциальные уравнения вида

называются уравнение в дифференциалах.

( , , ) 0x y C

( , ),y x C

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

12

Геометрическое истолкование

дифференциального уравнения

• Пусть функция является решением

дифференциального уравнения . Проведём

касательную к интегральной кривой и

обозначим через угол наклона касательной к

оси . Тогда , поэтому

( )y y x( , ).y f x y

( )y y x

Ox ( )y x tg

( , ( )).tg f x y x

x

y

O D

M

( , )y f x y

13

Поле направлений

• Таким образом, угол наклона к оси

касательной к интегральной кривой определяется

правой частью диф.уравнения.

• Если в каждой точке области

определения функции построить

отрезки, составляющие с осью угол такой,

что

то получим поле направлений, определяемое

дифференциальным уравнением

Ox

( , )f x y( , )M x y

D

Ox

( , ),tg f x y

( , ).y f x y

14

Изоклины

• Кривая в которой наклон

к оси поля направлений один и тот же,

называется изоклиной.

• Пример. Для уравнения изоклинами

являются окружности

( , ) , ,f x y C C const

Ox

2 2y x y 2 2 , 0.x y k k

15

Дифференциальные уравнения, разрешимые в квадратурах

16

Если решение дифференциального уравнения явно или неявно выражается через элементарные функции или интегралы от них, то такие уравнения называются разрешимыми в квадратурах

17

Уравнения с разделяющимися переменными

• Дифференциальные уравнения вида

• называются уравнениями с разделяющимися

переменными.

• Уравнения с разделяющимися переменными в

дифференциалах имеют вид

• Пример 1.

( ) ( )y f x g y

.y

yx

( ) ( ) ( ) ( ) 01 2 1 2

M x M y dx N x N y dy

18

Математическая модель

химической реакции

Пусть масса вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени .

Известно, что скорость химической реакции пропорциональна массе :

Начальное условие

( )m m t

dmmdt

, 0.dm km kdt

(0)0

m m

t

19

Однородные уравнения

Функция называется однородной

функцией степени , если для любого

выполняется равенство

Дифференциальное уравнение вида

называется однородным, если функции

являются однородными функциями одинаковой

степени.

( , )f x y

m 0t

( , ) ( , ).mf t x t y t f x y

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

( , ), ( , )M x y N x y

20

Ещё об однородных уравнениях

Уравнение , разрешённое

относительно производной, называется однородным,

если функция является однородной

функцией нулевой степени.

• Для решения однородного уравнения вводится новая

неизвестная функция ( замена)

• Пример 1.

( , )y f x y

( , )f x y

yz

x

1 .y y

yx x

21

Пример 2.

• Найти общее решение

2 2(2 ) 0x y dx xydy

22

Линейные дифференциальные уравнения 1-го

порядка

Линейным дифференциальным уравнением 1-го

порядка называется дифференциальное

уравнение 1-го порядка вида

где функции p(x) и q(x) непрерывны на

некотором интервале (a,b).

• Областью существования и единственности

уравнения является полоса

( ) ( ),y p x y q x

.a x b

23

Линейные однородные дифференциальные

уравнения 1-го порядка

Линейное дифференциальное уравнением 1-

го порядка вида

называется однородным.

Если правая часть уравнения отлична от нуля,

то - неоднородным.

( ) 0y p x y

24

Метод вариации решения линейного

неоднородного дифференциального

уравнения.

• Найдём вначале решение однородного уравнения.

• Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид

( ) 0y p x y

( )dy p x ydx

25

• Pазделив переменные, получаем

( )

ln ( ) ln , 0,

( ) ( ).

ln ( ),

( ),

.

dy p x dxy

y x C C

где x первообразная p xy

xC

xy C R общее решениеCeоднородного уравнения

P

P

P

P

26

Решение неоднородного уравнения

• Будем разыскивать решение неоднородного

уравнения, заменив константу С на функцию C(x),

т.е.

( ).

( ) ( ),0

( )0

x

y C x y x

где y x e

P

27

• Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )) ( )0 0 0

( ) ( ) ( ) 0, . . ( )0 0 0

.

( ) ( )( ) ( ) ( ), ( ) , ( )0 ( ) (

(

)0 0

). ( ). ,

c x y x c x y x p x c x y x q x

c x y x c x y x p x y x q x

y x p x y x тк y x решение

однородного уравнения

q x q xc x y x q x c x c x dxy x y x

G Cе xт c x

.( )( )

( ) ( ( ) ) ( )0

( )0

Отсюда

где

q xпервообразная функцииy

G x

y x G x C

x

y x

28

Решение линейного уравнения методом

Бернулли

Линейное уравнение первого порядка можно решить,

сделав подстановку Бернулли

где неизвестные функции.

,y u v

,u v

29

Пример

• Решить уравнение

42 2xy y x

30

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

• Ненулевое решение уравнения Бернулли можно получить заменой

( ) ( ) ,

, 0, 1.

ny p x y q x

n R n

y

n

1 , (1 )n nz y z n y y

31

• При которой уравнение Бернулли сводится к

линейному

Второй способ решения состоит в замене

y=u v- "подстановка Бернулли".

1( ) ( ),

(1 ) ( ) ( )

y np x y q xny

n z p x z q x

32

Пример

• Решить уравнение

22 xy y y e

33

Дифференциальные уравнения в полных

дифференциалах

Если левая часть уравнения в дифференциалах

является дифференциалом некоторой функции

т.е.

то дифференциальное уравнение называется

уравнение в полных дифференциалах.

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

( , )x yA

( , ) ( , ) ( , ) ,d x y M x y dx N x y dy A

34

Односвязная область

• Область называется односвязной, если

множество точек, ограниченных непрерывной

замкнутой кривой , лежащей в , также

принадлежит . Т.е. в односвязной области нет

"дырок".

D

L DD

D L

35

Критерий уравнения в полных

дифференциалах

• Теорема. Пусть функции

непрерывны вместе со своими частными

производными

• в односвязной области . Тогда, уравнение в

дифференциалах

• является уравнением в полных дифференциалах,

если в области выполняется равенство

( , ), ( , )M x y N x y

,M N

y x

D

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

D

.M N

y x

36

Пример

• Найти общий интеграл уравнения

2 2 2 2( ) ( ) 0x xy dx x y y dy

37

Замечание

• В уравнение в дифференциалах

• переменные входят равноправно. Таким

образом, в качестве решения можно рассматривать

функции наряду с функциями .

• Пример 1

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy

,x y

( )x x y ( )y y x

0ydx xdy

38

«Перевёрнутое уравнение»

• Поэтому к интегральным кривым уравнения

• будем относить и решения перевёрнутого уравнения

• Пример 2.

( , )y f x y

1 1( , )

( , )f x y x

x f x y

2(2 )x y y y

Blow up – Взрыв решения

• Свойством blow-up называют стремление

решения дифференциального уравнения к

бесконечности на конечном промежутке

времени.

• Теория blow-up является теорией катастроф

нелинейных явлений.

39

40

Blow up – Взрыв решения

Замечание. Непрерывность правой части

уравнения

при любых может не обеспечивать

существование решения задачи Коши в

произвольной окрестности заданной точки

• Пример

( , )y f x y

x

0.x

2

(0) 1

y y

y

Решение

• Имеем , разделяя переменные|

• Поставляя начальные условия ,

получаем

• Таким образом, решение при хотя

правая часть уравнения непрерывна

вместе со своей производной во всех

точках координатной плоскости.

1 1 .2

dy dx x C yy x Cy

0, 1x y

.11,1

C yx

y 1,x2( , )f x y y

( , ) 2f x y y

В точке происходит взрыв «Blow up»

решения.

• График частного решения.

42

1x

y

x1