1

微分・ベクトル解析 (1)

講師講師講師講師：：：： 幹幹幹幹浩文（浩文（浩文（浩文（A314)hjs@sys.wakayama-u.ac.jp

TA：：：： 高道高道高道高道 迅人迅人迅人迅人ＭＭＭＭ1（（（（A309））））s182030@center.wakayama-u.ac.jp

A１１１１03（（（（10：：：：50~12：：：：20））））【【【【金金金金】】】】

https://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/bibun_bekutorukaiseki2017/

2016.4.14

学部からの案内

B2, B3進路希望調査未回答者

（〆切：16日(日)17：00）

機械電子制御は2年生が多い

電子計測は３年生が多い（２年生１名）

2

3

「微分・ベクトル解析」の評価

１）出席状況（参考）

２）授業中の取り組み・積極性や学習状況

３）毎回レポートの提出状況とレポート成績

４）テスト・試験の成績

試験の成績により評価

レポート提出場所: ＢＯＸ番号： B－3期限：水曜日１３:00まで（時間厳守）

システム工学部Ａ棟3階の学科事務室前レポートＢＯＸ

4

5

すっきりわかる微分方程式とベクトル解析

（皆本晃弥 著 近代科学社） ISBN978-4-7649-1049-2

参考書：

１．なっとくする微分方程式（小寺平治 講談社）ISBN4-06-154521-3

２．常微分方程式（矢嶋信男 著 岩波書店） ISBN4-00-007774-0

３．なっとくするベクトル（小野寺嘉孝 講談社）ISBN4-06-154533-7

4. ベクトル解析（戸田盛和 著 岩波書店） ISBN4-00-007773-2

教科書：

6

科目概要科目概要科目概要科目概要

「微分方程式とベクトル解析」に関する基礎と応用について解説する

（専門科目の理論を理解するため不可欠となる数学の基礎）

位置づけ位置づけ位置づけ位置づけ

2年後期以降の力学関連や電気回路・電磁気学などの科目を学ぶ

うえで欠かせない数学の基礎

微分・ベクトル解析

力学関連

電磁気学

電気回路

電子回路

電磁波工学

………………….

構成科目間の関係

微分方程式

ベクトル解析

7

8

微分方程式：

★ 微分方程式によるモデル化と方程式の解法を理解

★１階微分方程式と２階微分方程式の基本的応用問題が解ける

「微分・ベクトル解析」の到達目標

ベクトル解析：

★ 内積・外積などベクトルの基本演算

★ スカラー場とベクトル場の微分 → grad・div・rot

★ ベクトルの微積分、線積分と面積分

★ グリーンの定理・ガウスの定理・ストークスの定理が理解でき、応用問題が解ける

ことを到達目標とする。

（勾配・発散・回転）

9

１．イントロダクション・ 微分方程式（１階微分方程式） 4/14

２．微分方程式 （２階微分方程式 - I） 4/21

３．微分方程式 （２階微分方程式 - II） 4/28 (5/5 ： 祝日)

４．ベクトルとスカラー（基本演算と内積・外積） 5/12

５．ベクトルの微分と積分 5/19

６．曲面と曲線 5/26

７．スカラー場とベクトル場の微分 （grad 勾配） 6/2

８．スカラー場とベクトル場の微分 （div 発散） 6/9

９．スカラー場とベクトル場の微分 （rot 回転） 6/16

１０．スカラー場とベクトル場の積分（線積分） 6/23

１１．スカラー場とベクトル場の積分（面積分） 6/30

1２．積分公式（グリーンの定理） 7/7

1３．積分公式（ガウスの定理） 7/14

1４．積分公式（ストークスの定理） 7/21

15. まとめと演習 7/28

スケジュール

テスト期間

8/2（水）～ 8/8（火）：

(8/4)期末テスト日（予定）

微分方程式

�� + 4� + 3 = 0, 2� + 3� = 3

� + � = 2 代数方程式

� ��� + 2

���� + 3� = ����� ,

���� + � = 0���� − � = 0

微分方程式

未知関数：� � , � � 　算用数字の代りに文字記号で表わされた変数

10

微分（常微分、偏微分、全微分）・積分

微分（differential, differentiate): 無限小の変化

�という量の無限小の変化���という量の無限小の変化��

���� 微分係数

復習

仕事：ある物体に力����が働いて、その物体が移動量� = �� − ��だけ動いたとき、この力がした仕事Wは

� = � � � = � � � ���

��

移動量 � = �� − �� = � � �� ⇒ ! � � ��� ��� = �� =

∆�∆�� � = ���� ,

���� = lim∆�→'

Δ�Δ� ,

11

���� = 3�� − 3)�

常微分

� = * � = �+ − 3)�� + 6)

12

偏微分

-.-� = 2� + 2���� + 5� ,

0*0� = 2� + 2���� + 5�

13

全微分

�*�� =

�*������ +

�*������

�* = 0*0� �� +0*0� ��

�* = 0*0� �� +0*0� ��

= 2� + 2� �� + 5 �� + 2� + 2� �� + 5 ���* ∶ *�� � , � � �

14

2階偏微分係数

0*0� = 6��

0*0� = 3�� − 3��

0�*0�� = 6�

0�*0�� = −6�

0�*0�0� = 6�

0�*0�0� = 6� 15

本日の内容

16

第１章 1階微分方程式

● 変数分離形によるモデル化

● 変数分離形

�22�

● 1階線形微分方程式

● 1階線形微分方程式によるモデル化

17

（１） 微分方程式に含まれている未知関数のうちで3階導関数4�3�が最も微分の

回数が高いものであれば，この微分方程式を3階微分方程式という。

���� + 3� + � = 0,

������ − 3

����

�+ 2� = �,

�+���+ + 2

������

�+ ���� − � = 56��

1階微分方程式

2階微分方程式

3階微分方程式

18

【代数方程式】

(算用数字の代りに文字記号で表わされた変数)

【関数方程式】functional equation

関数� = � � を 未知関数67従属変数

unknown function (or dependent variable）

用語の整理

�　を　独立変数�independent variable�という

19

� ��� + 2

���� + 3� = �����,

���� + � = 0���� − � = 0

微分方程式 (differential equation)

���� + 3� + � = 0,

������ − 3

����

�+ 2� = �,

�+���+ + 2

������

�+ ���� − � = 56��,

微分方程式の解� = � � を求めることを 「微分方程式を解く微分方程式を解く微分方程式を解く微分方程式を解く」 という。

�1�

�2�

�3�

�4�

�5�

� = � � y = y�t� 20

モデル化 ある現象を微分方程式で記述することを

微分方程式によるモデル化という

21

微分方程式 (differential equation) 分類分類分類分類

1 常微分方程式： 独立変数がただ１つのとき

2 偏微分方程式： 独立変数が2つ以上のとき

3 全微分方程式：いくつかの変数があって、いずれを独立変数、いずれを従属変数と

みることなく、ただ変数と微分の関係が与えられているとき

4 連立微分方程式（従属変数が2つ以上のもの）

���� + 3� + � = 0,

��� + ��� + ;�; = 0���� = <� − )� + =���� = >� − ?� + ℎ� � , �(�)

0�;0�� +

0�;0�� = 3�� − �,

������ + 3

���� − 4� = 0,

0;0� − 2; + �

0;0� = 0,

22

(5) 微分方程式に含まれている未知関数のうちで3階導関数4(3)が最も微分の回数が高いものであれば，この微分方程式を3階微分方程式という。

6 線形(linear)微分方程式と非線形(nonlinear)微分方程式:

Linear： 未知関数およびその導関数について1次式であるもの

Nonlinear：未知関数およびその導関数について1次式でないもの

7 同次（or 斉次）微分方程式と非同次（非斉次）微分方程式:

�B + * � � = =(�) =(�) ≡ 0=(�) ≠ 0

同次（or 斉次）微分方程式

非同次（or 非斉次）微分方程式

「線形」とは「一次の」という意味

������ − 2�

���� + E�F = 5�� + sin � log � − �KLM �

� ���� = �

(linear)

nonlinear

23

���� + 3� + � = 0,

������ − 3

����

�+ 2� = �,

�+���+ + 2

������

�+ ���� − � = 56��

常微分・非斉次・線形・1階微分方程式

常微分・非斉次・非線形・２階微分方程式

常微分・非斉次・非線形・３階微分方程式

①階数、②線形・非線形、③斉次・非斉次、

④方程式区分（常微分・偏微分・全微分）

24

一般解・特殊解・特異解 (N3) 25

�′� = 4�

2 � = 0は解であるが， 特殊解ではない

【解答】

26

27

(N5)(１)

��=(�) = * � ��

28

例題1.1 (N6)

29

P = ��

P = �� 30

変数分離形

31

(N6)(２)

Pは定数とは限らないのでP = P(�)

�B = ���� , PB = �P

��

�P�(P) = Q � �� � � ↔ P(�)

�B = PB� + P

� = P�とおくと，

PB = �B − P� =* P − P

�

32

(N15)

の一般解は

（非同次方程式）

(３)

33

１階線形微分方程式の解け方：１階線形微分方程式の解け方：１階線形微分方程式の解け方：１階線形微分方程式の解け方： (1)

第二段階 （定数変化法）

第一段階

(2)34

(1)(2)

(3)3 と(2)を(1)に代入するとうまく打ち消し合って (4)

4 を(2)に代入すると

(2)を(1)に代入すると：

35

(5)

(1)

�B = S � E! T � ��EU ! T � �� + � S(�)E! T � �� �� + V −2(�)EU ! T � ��

2 � � = � S � E! T � �� �� + V 2(�)EU ! T � ��

(a)

(b)

(a) + (b)

= S(�)

�B + 2 � � = S(�)

(5)

5 は １ 　の解であることが分かる

36(5)が（１）の一般解として成立するか

確かめてみよう

� = EU ! T � ��� S(�)E! T � �� �� + VEU ! T � ��

(1)

式（１）の同次（斉次）

方程式の一般解

式（1）非同次（非斉次）方程式の特殊解

式（１） 非同次（非斉次）方程式の一般解

＝「非同次方程式の特殊解」 ＋ 「付随する同次方程式の一般解」

(5)

37

第一段階の

(N17)

38

39

演習１．

第一段階 第二段階

解法：① 公式(1.15)にあてる方法

② 公式(1.15)の誘導過程を利用する

第一段階 第二段階

演習２． 次の微分方程式を解け. 1 + � ���� = 1 + �

演習３． 次の微分方程式を解け.

演習４

40

41

本日の宿題は

下記ＨＰで確認してください

レポート提出場所: ＢＯＸ番号： B－3

期限：水曜日１３:00まで（時間厳守）

https://www.wakayama-u.ac.jp/~hjs/

bibun_bekutorukaiseki2017/

42

本日はここまで