Лекция 1.08 Динамика твердого тела

4.1. Геометрия масс. Для твердого тела с неподвижной точкой выражение для момента

количества движения тела вокруг мгновенной оси вращения и выражение для кинетической энергии содержат положительную скалярную величину

( )[ ]

γαβγαβγβασ

σσσ

σσσ

ZXYZXYZZYYXX

e

JJJJJJ

hmmJ

222222

222

−−−++=

==⋅−=⋅⋅= ∑∑ erreJe (4.1.1)

- момент инерции тела относительно оси, задаваемой направляющими косинусами γβα ,, , которая в сою очередь определяется компонентами тензора инерции для выбранной точки. Величиной, тесно связанной с моментом инерции, является радиус инерции ρ , определяемый равенством . 2

ee mJ ρ=Свяжем с тензором инерции геометрический образ, поверхность

( )eeeee

e JzJyJxmJ

===== γβαρ

,,eer . (4.1.2)

Эта поверхность второго порядка (4.1.3) называется эллипсоидом инерции. Для любого распределения масс момент инерции положительная ограниченная величина и

1222222 =−−−++ zxJyzJxyJzJyJxJ ZXYZXYZZYYXX

−eJ −er также положительная ограниченная величина. Среди поверхностей второго порядка ограниченны лишь эллипсоиды. Для любого эллипсоида существует такая ориентация осей, что уравнение эллипсоида имеет вид

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax

, то есть −===ZZYYXX J

cJ

bJ

a 1,1,1 222 полуоси

эллипсоида. При такой ориентации осей центробежные моменты инерции равны нулю . Таким образом, если эллипсоид не является сферой, то для любой точки пространства существует единственная ориентация осей, замечательная тем, что центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главными осями инерции для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей – главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции, называются главными центральными осями инерции. В справочниках для типичных тел, указывается расположение центра масс, ориентация главных осей, и значения главных центральных моментов инерции. По этим данным можно подсчитать момент инерции относительно любой оси:

0=== ZXYZXY JJJ

2222 mdJJJJ ZZYYXX +++= γβα , (4.1.4) где −γβα ,, направляющие косинусы оси, −m масса тела, расстояние от центра масс до оси. Это утверждение составляет содержание теоремы Гюйгенса (1629-1695)-Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, параллельной и проходящей через центр инерции, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями. Доказательство теоремы весьма тривиально.

−d

eJ ecJ e

Расстояние от оси до массы определяется выражением

, где

σAr Ae mσ

σσσσ αcos2222CACCACA rrrrr −+=

−σCr расстояние от оси проходящей через центр инерции параллельно до массы ,

Ceσm −= drCA расстояние между

осями и , Ce Ae −σα угол между отрезками . Тогда

CAC rr ,σ

22 2 2 ce A C CA C CAJ m r m r m r m r r osσ σ σ σ σ σ σσ σ σ σ

σα= = + −∑ ∑ ∑ ∑ .

С

A

me

e

d

rrc

A

σ

αr A

A

c

c

σ

σσ

Последняя сумма в этом выражении равна нулю, поскольку −= σσσ α CC dr cos координаты масс, отсчитываемые от центра инерции вдоль оси d . Итак, . (4.1.5) 2mdJJ ce += Ориентация главных осей эллипсоида (тензора) инерции может быть определена решением задачи на экстремум функции ( )1222 222222 −++−−−−++ γβαλγαβγαβγβα ZXYZXYZZYYXX JJJJJJ , где −λ неопределенный множитель

( )( )

( ) .0,0,0

=−+−−=−−+−=−−−

γλβαγβλαγβαλ

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

JJJJJJJJJ

(4.1.6)

Эти уравнения, эквивалентные векторному равенству eeJ λ=⋅ , решают также задачу об определения собственных значений и собственных векторов. Умножение собственного вектора на тензор образует новый вектор ie J ieλ коллинеарный собственному .

Матрица коэффициентов тензора инерции имеет три вещественных собственных значения и три вещественных направления вдоль ее собственных векторов взаимно ортогональны. Для собственных значений ji λλ , и соответствующих собственных векторов имеем равенства ji ee ,

iijijjjiji eeeJeeeeJe ~~~~,~~ λλ ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅ ,

где −ii e~,~λ комплексно сопряженные собственное значение и собственный вектор. Поскольку матрица коэффициентов тензора инерции вещественна и симметрична, имеем ( ) ( ) 0~~,0~~

=⋅−=⋅− iiiijiij eeee λλλλ .

Отсюда следует, что собственные значения вещественны ii λλ ~= и собственные

векторы соответствующие различным собственным значениям ортогональны. Равным собственным значениям соответствуют равные собственные векторы, образующие целую плоскость, в которой можно взять любые два ортогональных вектора в качестве собственных векторов.

Коснемся вопроса инвариантов тензора инерции. Уравнения системы (4.1.6) имеют нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю

.0

detdet

32123 =−+−=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−−−−

III

IIIIIIIII

JJJJJJJJJ

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

ZZZYZX

YZYYYX

XZXYXX

δδδ

δδ

δ

λλ

λ

Здесь введены обозначения λλδ σσ

σ −=−= ∑ 2rmD ,

ZZYYXXZZYYXXZZYYXXZZYYXX JJJIJJJIJJJI −+=−+=−+= 2,2,2 ,

, ∞→==++= ∑ NmDIIIIN

ZZYYXX ,21

σσσr

( ) ( )22 2

1λσ

σλ

λσ rr ×=−+−+−= ∑∑

N N

XYYXYYXXZXXZXXZZYZZYZZYY mmIIIIIIIIIIIII ,

=−−−+= 2223 2 XYZZZXYYYZXXZXYZXYZZYYXX IIIIIIIIIIIII

(

) [ ]( ) .61

2

222

2222

µλσµλσ

µλσµµλλσµµλλσ

µµλλσµλσ

µµλλσσµλσµλσ

rrr ×⋅=−−

−−+=

∑

∑N

N

mmmyxyxzxzxzy

zyzyxxzzyyxzyxmmm

В справедливости равенств убеждаемся прямыми вычислениям. Итак, коэффициенты уравнения не зависят от системы координат, в которой вычисляются компоненты тензора инерции.

В главных осях уравнение имеет вид ( ) ( )

( )( )( ) 0

23

=−−−==−++−+++−

ZZYYXX

ZZYYXXYYXXXXZZZZYYZZYYXX

JJJJJJJJJJJJJJJ

λλλλλλ

либо ( ) ( )

( )( )( ) 0

23

=−−−==−+++++−

ZZYYXX

ZZYYXXYYXXXXZZZZYYZZYYXX

IIIIIIIIIIIIIII

δδδδδδ

и выражения для инвариантов упрощаются ZZYYXXYYXXXXZZZZYYZZYYXX IIIIIIIIIIIDIIII =++==++= 321 ,, ,

либо ,21 DJJJJ ZZYYXX =++=

. .

,

23

222

DIJJJJDIJJJJJJJ

ZZYYXX

YYXXXXZZZZYY

==+=++=

Ось Oz называется главной и центральной если

.0,0

,0,0

====

====

∑∑

∑∑

σσ

σσσ

σ

σσσ

σσσσ

σ

ymmyxmmx

zymJzxmJ

CC

YZXZ

(4.1.6)

Отметим несколько практических фактов, определяющих главные оси инерции. Например, ось симметрии Oz является главной и центральной. Для любой массы

с координатами найдется такая же масса с координатами и условия (4.1.6) будут выполнены. Введение координат

σm σσσ zyx ,,σσσ zyx ,,−−

azzyxyyxx +=′+−=′+=′ ,cossin,sincos ϕϕϕϕ

x y

z ,

xy

z

, ,x

y

z

(винтовое перемещение вдоль оси Oz ) оставляет ось zO ′ главной и центральной:

0,0 =′=′== ′′′′ CCZYZX ymxmJJ . Таким образом, главная центральная ось остается главной и центральной относительно любой своей точки, то есть начало оси Oz можно брать в любой ее точке. Положение дух других главных осей определяется условием =′′= ∑′′ σσ

σσ yxmJ YX

( ) ( ) 0sincossincos 2222 =−+−= ∑∑ ϕϕϕϕ σσσ

σσσσ

σ yxmxym ,

откуда ( ) XXYY

XY

JJJ

yxm

yxmtg

−=

−=∑∑ 22

2 22

σσσσ

σσσσ

ϕ .

Если распределение масс имеет плоскость симметрии, то любая прямая Oz , перпендикулярная этой плоскости, является главной осью для точки пересечения этой оси и плоскости. Для любой массы с координатами

найдется такая же масса с координатами σm

σσσ zyx ,, σσσ zyx −,, и условия (4.1.6) будут выполнены. Наконец, следует отметить неравенства ,, XXZZYYZZYYXX JJJJJJ −≥≥+ ,, ZZXXYYXXZZYY JJJJJJ −≥≥+ XXZZZZZZXXZZ JJJJJJ −≥≥+ , .

4.2. Динамика твердого тела с неподвижной точкой При исследовании динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, оси связывают с твердым телом и ориентируют по главным осям его тензора инерции. Тогда в обозначениях Л.Эйлера (1701-1783) . 2222,, CrBqApTCrBqAprqp o ++=++=++= kjiKkjiωТеорема об изменении кинетического момента принимает вид

oooo M

dtd

dtd

=×+′

= KωKK. (4.2.1)

Эти уравнения в проекция на главные оси тензора инерции носят название динамических уравнений Эйлера

( )( )( ) .

,,

OZ

OY

OX

MpqABrCMrpCAqBMqrBCpA

=−+=−+=−+

(4.2.2)

Динамические уравнения Л.Эйлера следует дополнить кинематическими

уравнениями 3,2,1,0 ==×+′

= sdt

ddt

ds

ss EωEE, (4.2.3)

где ,3211 ααα kjiE ++=

.,

3213

3212

γγγβββ

kjiEkjiE

++=++=

орты неподвижной системы отсчета, представленные своими проекциями на главные оси тензора инерции. В явном виде вторая группа уравнений Л.Эйлера, имеет вид

.,,,,,

,,,

213132321

213132321

213132321

γγγγγγγγγβββββββββ

ααααααααα

pqrpqrpqrpqr

pqrpqr

−=−=−=−=−=−=

−=−=−=

(4.2.4)

Эта система уравнений избыточна. Имеем более компактную систему уравнений, определяя положение твердого тела параметрами Эйлера-Родрига-Гамильтона:

ω⋅Λ=Λ21

(4.2.5)

,2

,2

,2

,2

213

312

321

321

pqr

prq

qrp

rqp

o

o

o

o

λλλλ

λλλλ

λλλλ

λλλλ

−+=

+−=

−+=

−−−=

или

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

123

132

231

321

3

2

1

00

000

2222

λλλλ

λλλλλλλλλλλλλλλλ

λλλλ o

o

o

o

oo

pqrprqqrprqp

rqp

В некоторых случаях положение твердого тела можно определять углами. Последовательность поворотов тела на угол прецессии ψ вокруг оси , на угол нутации

OZθ вокруг нового положения оси

( )ONOX и на угол собственного вращения ϕ вокруг нового положения оси введена Л.Эйлером.

( )Oz

== ϕ,,

OZψ

ψ

θ

θ

ϕ

ϕ

ϕ

.

..

θ

ψ

XY

Z

x

y

z

N Проектируя соответствующие угловые скорости kψ = ϕθψ kiθ

на оси Oxyz , получаем ,cos,sincossin,cossinsin θψϕϕθϕθψϕθϕθψ +=−=+= rqp

.cossin,sincos

,sin

cossin

θϕϕϕ

ϕϕθθ

ϕϕψ

tgqpr

qp

qp

+−=

−=

+=

(4.2.6)

Эти уравнения имеют особенность при πθ ,0= и использовать их можно только для режимов движения, когда πθθθ <≤≤< maxmin0 . Рассмотрим еще один способ параметризации таблицы направляющих

косинусов, полагая ∑=

=3

2

ossss qqλ . (4.2.7)

Требование выполнено и никаких ограничений на параметры

нет. Таблица направляющих косинусов принимает вид

13

2 =∑=os

sλ

3,2,1,0, =sqs

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++−−

+++−

++++

++++

+++−+−

+++−

+++−

++++

+++−−+

=

23

22

21

2

23

22

21

2

23

22

21

2123

23

22

21

2213

23

22

21

2132

23

22

21

2

23

22

21

2

23

22

21

2312

23

22

21

2231

23

22

21

2321

23

22

21

2

23

22

21

2

22

22

22

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

qqqqqqqq

S

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Введем квазискорости

( )

( )( )

(( )

)

( )( ) ,2

2

,2

2

,2

2

,2

32

211233

2112333

32

133122

1331222

32

322311

3223111

32

332211

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−++−=

=−++−=

−++−=

=−++−=

−++−=

=−++−=

−−−−=

ossoo

oo

ossoo

oo

ossoo

oo

ossooo

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

qqqqqqqqq

λλλλλλλλω

λλλλλλλλω

λλλλλλλλω

ω

(4.2.8)

тогда

.2,2,2,2

3122133

1323122

2332111

332211

oo

oo

oo

ooo

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

ωωωωωωωωωωωωωωωω

++−−=−++−=+−+−=−−−−=

(4.2.9)

Используя эти формулы, получаем

,

,

,

3322331313

3222231212

3122131111

SSSS

SSSS

SSSS

o

o

o

ωωω

ωωω

ωωω

−+−=

−+−=

−+−=

,

,

,

1333312323

1233212222

1133112121

SSSS

SSSS

SSSS

o

o

o

ωωω

ωωω

ωωω

−+−=

−+−=

−+−=

.

,

,

2311323333

2211223232

2111123131

SSSS

SSSS

SSSS

o

o

o

ωωω

ωωω

ωωω

−+−=

−+−=

−+−=

Вычислим кинетическую энергию, оси, связанные с телом, считаем главными:

( ) ( )( ) ( )

.

2

23

22

21

2

2233

232

231

2223

222

221

2213

212

211

222

ωωωω

σσ

σσσ

σ

σσ

σσσσσ

σ

CBAD

zmSSSymSSS

xmSSSZYXmT

o +++=

=++++++

+++=++=

∑∑

∑∑ (4.2.10)

где ( ) CBAzyxmD ++=++= ∑ 22222 σσσσ

σ . (4.2.11)

Выражение для мощности сил, действующих на тело, определяет обобщенные силы, соответствующие независимым параметрам 3,2,1,0, =iqi :

=++== ∑=

332211

3

ωωω MMMqQN sos

s

( ) ( )

( ) ( ) .22

22

32

331221

32

213231

32

123321

32

332211

∑∑

∑∑

==

==

++−+−++

++−++−−=

osso

osso

osso

osso

qqqMqMqMqqqMqMqM

qqqMqMqMqqqMqMqM

( )

( )

( )

( ) ∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

++−=

−+=

+−=

+−−=

32

312213

32

132312

32

233211

32

332211

.2

,2

,2

,2

osso

osso

osso

osso

qqMqMqMQ

qqMqMqMQ

qqMqMqMQ

qqMqMqMQ

(4.2.12)

Введем выражение 3,2,1,0,0 ==−∂∂

−∂∂

= sQqT

qT

dtdL s

sss . Прямые вычисления

дают ∑=

==3

021

ososs DLq ω

( ) ( )

( ) ( ) ,021

,021

2131312132

1321322311

=−−+=++−−

=−−+=−++−

MCABLqLqLqLq

MBCALqLqLqLq

oo

oo

ωωω

ωωω

( ) ( ) .021

3211321123 =−−+=+−+− MABCLqLqLqLq oo ωωω

Из первого уравнения имеем constqqqos

sos

sso =−= ∑∑==

32

3

ω . Полагая

значение этой константы равным нулю, получаем . Значение

этой константы следует приравнять единице. Итак, на движении введенные параметры совпадают с параметрами Эйлера-Родрига-Гамильтона.

constqos

s =∑=

32

Перейдем к гамильтоновым переменным: 3,2,1,0,, =spq ss

( )

( )

( )

( ) ,2

,2

,2

,2

32

3122133

32

1323122

2

32

2332111

1

32

332211

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

++−−=∂∂

=

−++−=∂∂

=

+−+−=∂∂

=

−−−−=∂∂

=

ossoo

o

ossoo

ossoo

ossoo

oo

qqCqBqAqDqTp

qqCqBqAqDqTp

qqCqBqAqDqTp

qqCqBqAqDqTp

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωω

и далее ,2 332211 qpqpqpqpD ooo −−−−=ω

,2,2,2

3122133

1323122

2332111

oo

oo

oo

qpqpqpqpCqpqpqpqpBqpqpqpqpA

+−+−=++−−=−++−=

ωωω

( ) ( )

( ) ( ) .41

41

41

41

2

2312213

2132312

2233211

2332211

23

22

21

2

oooo

oooo

o

qpqpqpqpC

qpqpqpqpB

qpqpqpqpA

qpqpqpqpD

CBADT

+−+−+++−−+

+−++−+−−−−=

=+++= ωωωω

Отметим симметрию, союзное выражение кинетической энергии не меняет своего вида, если координаты и импульсы поменять местами. 4.3. Случай Эйлера . ( )0=M Движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции рассмотрел Л.Эйлер. Простейшим движением является вращение с постоянной угловой скоростью

( ) ( ) ( ) 0,0 =−=−=−=== pqABrpCAqrBCrqp . Из этих равенств следует, что стационарное вращение тела возможно только вокруг какой-либо главной оси. Эти вращения называют перманентными. В общем случае движения наличие интегралов ,, 32123211 βββααα CrBqApKCrBqApK ++=++=

и

позволяет выразить любые две скорости через третью. Положим для определенности

22222223213 rCqBpAКCrBqApK ++=→++= γγγ

2222 CrBqApT ++=CBA >> , тогда

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) .2,2

,2,2

222222

222222

CBCTBKpBAArrCBCpBAATBK

CBBpCAATCKqqCBBpCAATCK

−−−−

=−−−=−

−−−−

=−+−=−

Подстановка этих выражений для в первое уравнение системы (4.2.2) дает квадратуру

22 ,qr

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] .22

,22

2222

2222

∫ −−−−−−±=

−

−−−−−−±=p

o

o

TBKpBAApCAATCKdpA

ABCtt

TBKpBAApCAATCKpBCA

(4.3.1) Аналогичным образом

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )CAC

qBABKTArrCACqBABKTA

CAAqCBBTCKpqCBBpCAATCK

−−−−

=−+−=−

−−−−

=−+−=−

222222

222222

2,2

,2,2

и подстановка во второе уравнение (4.2.2) дает

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−−−−=

−

−−−−−−=

∫q

o

o

qBABKTAqCBBTCKdqB

ABCtt

qBABKTAqCBBTCKqCAB

2222

2222

22

,22

∓

∓

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−

−−

−−= ∫

q

o qTCKCBB

CBBTCK

KTABABq

TCKCBB

dqTCKCBB

KTACB

22

2

22

2

22

22

21

21

221

∓ .

( )( )∫

−−=

u

o ukudu

222 11β∓ (4.3.2)

где ( )( )( )( )

( ) ( )( )

( ) qTCKCBBu

CBBKTATCKBABk

KTACB 2,

22,

21

22

22

2 −−

=−−

−−=

−−=β

Наконец,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )BAB

rCACKTAqrCACqBABKTA

BAArCBCTBKprCBCpBAATBK

−−−−

=−+−=−

−−+−

=−−−=−

222222

222222

2,2

,2,2

и третье уравнение дает

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ].22

,22

2222

2222

∫ −−−−+−±=

−

−−−−+−±=r

o

o

rCACKTArCBCTBKdrC

ABCtt

rCACKTArCBCTBKrABС

(4.3.3) Нахождение решений ( ) ( ) ( )trtqtp ,, сводится к обращению эллиптического

интеграла первого рода ( )( ) ∫∫

−=

−−=

ϕ

ϕϕ

o

u

o kd

ukuduv

22222 sin111.

Результат обращения называется амплитудой и обозначается vam=ϕ . Эллиптические синус, косинус и дельта амплитуды, введенные Якоби, определяются равенствами ( ) ( ) ( ) ( )vkvсnvkvsn amcoscos,,amsinsin, ==== ϕϕ ,

( ) ( )kvsnkkdudkvdn ,1sin1, 2222 −=−== ϕϕ

.

Для эллиптических функций справедливы тождества

.,,

,1,1

2

22222

vcnvsnkdv

vdndvdnvsndv

vcndvdnvcndv

vsndvsnkvdnvcnvsn

⋅−=⋅−=⋅=

=+=+

В частном случае имеет место равенство 022 =− TBK ( ) ( )22 22 KTA

BABTCKCBB

−−

=−−

и

интеграл (4.3.2) сводится к элементарному : ( ) →+−

−=−

= ∫u

o uu

uduv

11ln

1 2

( )( )

( ) ( )( ) ( ) thv

vvvv

vvu =

−+−−

=−+−−

=expexpexpexp

2exp12exp1

.

Два других интеграла (4.3.1) и (4.3.3) сводятся к интегралу ( )( ) ( ) ( ) chvvvv

vuu

uuu

duvu

o

1expexp

22exp1

exp211ln1

2

2=

−+=

−+−

=→−+

−=−

= ∫ Неизменность вектора кинетического момента позволяет упростить решение кинематических уравнений, направив ось по вектору . Тогда проекции вектора K на главные оси тензора инерции примут вид

OZ K

( ) ( ) ( ) θϕθϕθ cos,cossin,sinsin KtCrKKtBqKKtApК zyx ======= ,

откуда ( ) ( ) ( )

θϕ

θϕθ

sincos,

sinsin,cos

KtBq

KtAp

KtCr

=== , и из (4.2.6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dtt

ttqttpt

o∫

++=

θϕϕψψ

sincossin0

Пуансо (1777-1859) предложил геометрическую интерпретацию рассмотренных движений. Вводится понятие мгновенного полюса - следа вектора мгновенной угловой скорости на поверхности эллипсоида . Радиус вектор точки

P1=⋅⋅ rJr

ωr λ=P , где →==⋅⋅=⋅⋅ 1222 TPP λλ ωJωrJr

T21=λ . Нормаль к эллипсоиду инерции в мгновенном полюсе коллинеарна постоянному вектору : K

( ) 2

2 2 2 2P

grad

T constλ

⋅ ⋅ = ⋅ →

⋅ = ⋅ = =

r J r J r

J r J ω K .

K

.

Сохраняется также проекция вектора на Prнаправление вектора (нормали к эллипсоиду в мгновенном полюсе)

constK

TKT

TKK

P ===⋅

=⋅ 2

22KωKr λ .

Итак, эллипсоид инерции с неподвижной точкой обкатывает без скольжения неподвижную плоскость, нормаль к которой коллинеарна вектору кинетического момента. Точка описывает на эллипсоиде инерции кривую, называемую полодией, а на неподвижной плоскости – герполодией.

P

ω

K

p

n

r

Мак-Куллаг обратил внимание на то, что в процессе движения тела неподвижный вектор кинетического момента проходит через линию пересечения жестко связанных с телом поверхностей

constC

KB

KA

KTconstKKKK zyxzyx =++==++=

2222222 2, ,

Пересечение этих сферы и эллипсоида возможно так как . TCKTA 22 2 ≥≥

В частном случае имеем 022 =− TBK 011 22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − zx K

CBK

AB

, откуда

следует 011 =−±− zx KCBK

AB

. Эти две плоскости проходят

через ось среднего момента инерции и пересекают эллипсоид Мак-Куллага по двум эллипсам, которые разделяют траектории на два типа: замкнутые траектории вокруг оси , соответствующие эпициклоидальному движению и замкнутые траектории вокруг оси O

Oxz , соответствующие перициклоидальному движению.

Все упрощается при наличии симметрии BA = . Из интегралов constCrAqApTconstrCqApAK =++==++= 2222222222 2,следует сохранение скоростей и кинематические уравнения (4.2.6) интегрируются:

constrconstqp Э ===+ ,222 ω

constconstqp Э ===== ϕψθϕωϕω ,,0,cos,sin Э

A

K

Cr

C>A

θ

ω

ω

ψ

ϕ

Cr

K

Aω

ω

э

θϕ

ψ

C<A

Движение по инерции симметричного твердого тела с неподвижной точкой является регулярной прецессией: тело вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ϕω =r , которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью ψω =e , вокруг неподвижной оси (вектора кинетического момента), сохраняя с ней постоянный угол . 4.4. Регулярная прецессия симметричного тела. Параметры отмеченной выше регулярной прецессии симметричного тела не произвольны, так она происходила по инерции. Для реализации произвольной регулярной прецессии к телу нужно прикладывать силы, обеспечивающие необходимый момент. Требование постоянства моментов инерции тела не будет нарушено, если введем систему координат, одна ось которой будет направлена по оси симметрии. Две другие, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси симметрии, будут оставаться главными при любом их расположении относительно тела. Такие “полу связанные” оси называют осями Резаля. Обозначим через и e k единичные векторы вдоль угловых скоростей прецессии (переносной) ψω =e и собственного вращения (относительной)

ϕω =r , то есть rree ωω kωeω == , . В плоскости векторов и e k перпендикулярно k введем орт и далее перпендикулярно плоскости - орт . Относительно базиса осей Резаля

s nkn,s, тело вращается с относительной угловой

скоростью ωkω =r , а сами оси Резаля вращаются с переносной угловой скоростью θωθω cossin eee ksω += ( −θ угол нутации между ортами k и ). e

θ

snk

ωω

er

Итак, имеем постоянный по величине вектор ( ) ( )reere CA ωθωθω ++=+⋅= cossin ksωωJΚ , расположенный во вращающейся с угловой скоростью плоскости eω ke,s, . Такой режим возможен при наличии момента

( )[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=

=−+−=×=

θωω

θωω

θωω

θθωθωωθω

cos1cos1sin

cossinsincos 2

r

ere

r

ere

eeree

CACC

CACC

AC

ωωn

nKωM (4.4.1)

Выражение (4.4.1) упрощается, если 2πθ = или имеем дело с быстро

вращающимся телом – гироскопом 1<<r

e

ωω

: re CωωM ×= . (4.4.2)

Условие 0cos1 =−

+ θωω

r

e

CAC

накладывает ограничения на параметры

свободной регулярной прецессии. Регулярная прецессия по инерции с углом нутации 2π невозможна, при 2,0cos πθθ <>< AС и при

2,0cos πθθ ><> AС . 4.5. Случай Лагранжа ( )0,0, ≠==≠= CCC zyxCBA .

Интегрируемость уравнений динамики симметричного твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести впервые исследовал Лагранж. Для этого случая помимо интеграла энергии сохраняются проекции кинетического момента на вертикаль и на ось симметрии тела. Определяя положение тела углами Л.Эйлера, в осях Резаля имеем

θ

sn

k

ω

ω

e

r

G=mg

M=mgz sinc θ

( )

( ) ,sincoscos,cos

,cossin

2 constACKconstr

CAA

Z =++=

=+=+++=

θψθϕθψϕθψ

ϕθψθθψ knsK

( ) ( ) ,cos2cossin2 2222 constmgzCAE C =++++= θϕθψθθψ

и далее ( ) ,

sincoscos,

sincos

22 θθθϕ

θθψ

ACrKr

ACrK ZZ −

−=−

=

.sin

coscos22 222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−−

=θ

θθθ

ACrK

AmgzCrE ZC (4.5.1)

Существуют такие начальные условия, при которых тело совершает регулярную прецессию (правая часть последнего уравнения равна нулю). Момент силы веса поддерживает постоянную скорость изменения вектора кинетического момента. Если эти условия не выполнены, ось симметрии совершает по углу

0=θ

θ колебания в некотором диапазоне maxmin θθθ ≤≤ .

Уравнение (4.5.1) можно привести к виду и

далее к интегралу

cba +−+−= ρρρρ 232

( )( )( ) ∫∫

−=

−−=−

ϕ

ϕϕγ

o

u

oo

kd

ukudutt

22222 sin111.

4.6. Задача С.В.Ковалевской. Во всех исследования по механике до работы С.В.Ковалевской время рассматривалось как переменное, принимающее только действительные значения. С.В.Ковалевская в своих исследования уравнений динамики тяжелого тела рассматривала время как переменное, принимающее любые значения на комплексной плоскости. Такое расширение позволило ей использовать хорошо разработанный аппарат теории функций комплексного переменного. Если интегралы однозначны и имеют существенно-особые точки, то есть не выражаются через элементарные функции, то по теореме Вейерштрасса выражение для решений через отношение целых функций невозможно. Если же интегралы однозначны и имеют подвижными особыми точками только полюсы, то возможно получить полное решение задачи составлением дифференциальных уравнений для целых функций, отношение которых дает по теореме Вейерштрасса мероморфные решения. Целые функции в свою очередь представимы степенными рядами. Эта задача разбивается на две части: во-первых, надо выделить те случаи, когда интегралы уравнений движения имеют подвижные полюсы; во-вторых, надо доказать, что в этих случаях интегралы не имеют никаких других особых точек при любом конечном времени.

С.В.Ковалевская решила обе задачи, указав метод выделения случаев, когда интегралы уравнений движения имеют подвижные полюсы, и представила решения уравнений в виде отношений целых функций. В результате исследований С.В.Ковалевской оказалось, что однозначные интегралы имеют место еще только в одном случае ( )0,2 === CzCBA . Интегрирование в случае С.В.Ковалевской представляет собой большие математические трудности, так как интегралы выражаются через гиперэллиптические функции. Это, повидимому, единственный случай, когда гиперэллиптические функции оказались необходимыми для решения конкретной механической задачи. В случае С.В.Ковалевской динамические уравнения имеют вид

23 ,2,02 γγ CC MgxrCMgxCrpqCCqrpC =−=+=− . (4.6.1) Положим δ=CMgxC , второе уравнение умножим на мнимую единицу и сложим с первым, тогда будем иметь ( ) ( ) 23 ,2 δγδγ =−+−=+ riiqpirqip . (4.6.2) Точно так же из первых двух кинематических уравнений системы 213132321 ,, γγγγγγγγγ pqrpqr −=−=−= формируем уравнение ( ) ( )iqpiiiri +++−=+ 32121 γγγγγ . (4.6.3) Исключим из (4.6.1) и (4.6.2) 3γ : умножим первое уравнение на , второе умножим на

( iqp + )δ и сложим эти уравнения. В результате получим:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]212

212 γγδγγδ iiqpiriiqp

dtd

+++−=+++

или ( ) ( )[ ] iriiqpdtd

−=+++ 212ln γγδ . (4.6.4)

Аналогичным образом получается комплексно сопряженное выражение

( ) ( )[ ] iriiqpdtd

=−+− 212ln γγδ . (4.6.4)

Складывая эти два уравнения, получаем

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0lnln 212

212 =−+−++++ γγδγγδ iiqp

dtdiiqp

dtd

или ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 221

221

2 kiiqpiiqp =−+−⋅+++ γγδγγδ (4.6.5) либо

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 21 2 1

2 22 2 21 2

2 2

2 .

p q i pq p q i pq

p q pq k

δγ δγ δγ δγ

δγ δγ

⎡ ⎤ ⎡− + + + ⋅ − + − +⎣ ⎦ ⎣

= − + + + =

2 ⎤ =⎦ (4.6.6)

Это и есть четвертый интеграл С.В.Ковалевской. Почти на сто лет позднее в 1978 году М.Абловиц, А.Рамани и Х.Фигур предложили судить об интегрируемости уравнений в частных производных по приводимости (редукции) их к обыкновенным дифференциальным уравнениям с решениями без подвижных критических точек. Точное приведение достигается поиском частных решений, отражающих групповую симметрию уравнений. Критическими особыми точками на комплексной плоскости считаются логарифмическая точка ветвления ( )ott −ln , алгебраическая точка ветвления

ott − и существенно-особая точка ( )[ ]ott −1exp .