matematika...10 matematika • tanulói jegyzet 11. évfolyam c) a következő kifejezéseket úgy...

matematika

11. évfolyam

tanulói jegyzet

Komplex KommuniKációs és természettudományi csomag • matematiKatÁmoP-2.2.3-07/1-2f-2008-0011

Mat11_tj.indd 1 2010.08.03. 16:24:54

a kiadvány a tÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 azonosító számú projekt keretében jelenik meg.

Szerző: Lovas Margaret

lektor: Kiss jolán

Borító és tipográfia: Új Magyarország Fejlesztési Terv Arculati kézikönyv alapján

A mű egésze vagy annak részletei – az üzletszerű felhasználás eseteit ide nem értve – oktatási és tudományos célra korlátozás nélkül, szabadon felhasználhatók.

A tananyagfejlesztés módszertani irányítása: Observans Kft., Budapest, 2009.igazgató: Bertalan tamás

Tördelés: Király és Társai Kkt. • Cégvezető: Király Ildikó

Mat11_tj.indd 2 2010.08.03. 16:24:54

TarTalomjegyzék

Bevezetés .............................................................................................................................................................................5

HatvÁnyOzÁs Kiterjesztése ......................................................................................................................................6

A negatív egész kitevőjű hatvány definíciója ......................................................................................................................6

A racionális törtkitevő definíciója .......................................................................................................................................9

társtudományok feladatainak megoldása ........................................................................................................................... 11

A logaritmus definíciója ..................................................................................................................................................... 15

FüggvényvizsgÁlat.....................................................................................................................................................22

adatok rendszerezése ........................................................................................................................................................22Egyenlet felírása nélkül is megoldható feladatok .........................................................................................................22

Az adatok közötti összefüggések felírása ..........................................................................................................................24Egyenlet felírásával megoldható feladatok ...................................................................................................................24

Grafikus megoldás ............................................................................................................................................................. 27

A kapott grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabály .......................................................................................................28

Mért értékek és azok ábrázolása ........................................................................................................................................ 30

Görbeillesztés mérési adatokra .......................................................................................................................................... 35

A függvények tulajdonságai .............................................................................................................................................. 39

A természetben lejátszódó folyamatokra jellemző függvények ........................................................................................ 39

Szélsőérték feladatok megoldása grafikusan .....................................................................................................................40

Ábrázolt mért értékekre görbeillesztés ..............................................................................................................................44

FüggeléK ............................................................................................................................................................................46

A geogebra program letöltése és használata ......................................................................................................................46

A függvények jellemzői ..................................................................................................................................................... 47

Az exponenciális és logaritmusfüggvény ..........................................................................................................................48

Mat11_tj.indd 3 2010.08.03. 16:24:54

Mat11_tj.indd 4 2010.08.03. 16:24:54

PetriK tiszK tÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 5

BevezeTés

„De hol fogom én ezt használni?”Ugye mindenki feltette már magának ezt a kérdést néhány tantárgy bizonyos anyagrészei kapcsán!

Nagyon sok esetben hangzik el ez a kérdés a matematika különböző részeivel kapcsolatban is. Most azt szeretnénk megmutatni nektek, hogy a matematikának ez a rövid anyagrésze hogyan segíti az általatok választott szakmai alapozó tantárgyak feladatainak megoldását. Reméljük, hogy Ti is úgy fogjátok majd gondolni a tananyag végén, hogy valóban segítséget kaptatok a szakmai alapozó tantárgyak követelmé-nyeinek teljesítéséhez!

CélCélunk, hogy a hatványokat helyesen tudd használni fizikai ill. biológiai feladatok megoldása so- –rán.Fontos, hogy a logaritmust tudd alkalmazni a szakmai alapozó tárgyak feladatainak megoldása –során.Tudd alkalmazni a függvényekről tanultakat mérési adatokkal kapcsolatban. –

KövetelményTudj a hatványokkal biztosan számolni. –Tudj a számológéppel helyesen logaritmusértékeket keresni, hiszen erre a kémiában, fizikában, –vegyipari műveletek esetében nagy szükséged van.Ismerd a függvények grafikonját, és meg tudd állapítani a függvény tulajdonságait. –Tudj a mért értékek alapján ábrázolt grafikonról helyes értékeket leolvasni, és következtetéseket –levonni.

JelmagyarázatA tanulói jegyzetben a tananyag fontos elemeit, a példákat és a tanulási tippeket különböző ikonok jelölik.

Ikon Jelentés

A fejezet célmeghatározása. Figyelmesen olvasd el, így megismered a fejezet fó-kuszpontjait!

Az ikon fontos, jól megjegyzendő, megtanulandó ismereteket jelez.

Az ikon mellett olyan gondolatébresztő, kérdéseket, felvetéseket, problémákat ta-lálsz, amelyek megválaszolásával elmélyülhetsz a témában.

Az ismeretek elsajátítását megkönnyítik a példák. Az ikon mellett érdekességeket, példákat, gyakorlati életből vett esetleírásokat találsz.

Mat11_tj.indd 5 2010.08.03. 16:24:54

6 MATEMATIKA • TANULóI jEGyzET 11. évFOLyAM

HatvÁnyozÁs kiterjesztése

Ennek a témakörnek az a célja, hogy:tudd a negatív egész kitevőjű hatvány definícióját; –tudd a racionális törtkitevőjű hatvány definícióját; –tudd a gyökös formátumra való átírás módját; –tudd a gyökök kiszámolási lehetőségét számológép segítségével; –tudd használni a hatványozás azonosságait; –tudj a hatványokkal biztosan számolni; –ismerd a logaritmus definícióját; –tudj meghatározni logaritmus értékeket számológép segítségével. –Tudd alkalmazni a logaritmussal kapcsolatos ismereteidet a szakmai tantárgyak ese- –tében.

A negAtív egész kItevőJű hAtvány defInícIóJA

Emlékezz vissza a kilencedik évfolyamon tanultakra, a hatványozással kapcsolatban. Megtanultad a pozitív egész kitevőjű hatvány definícióját, és a hatványozásra vonatkozó azonosságokat. Már ott tanul-tad a negatív egész kitevő esetében a definíciót, de most fontosnak tartjuk átismételni. A hatványozás a permanencia elvet alkalmazva egyéb kitevőkre is értelmezhető. Ez azt jelenti, hogy az egyéb kitevős hatványokat úgy definiáljuk, hogy tulajdonságaikban a lehető leginkább hasonlítsanak a pozitív egész kitevős hatványra.

Például:

23=8 22=4 21=2 20=1 2-1=21 2-2=

41 2-3=

81

Negatív egész kitevőre Ha a nem nulla tetszőleges valós szám, -b pedig negatív egész, akkor

a ≠ 0

Mivel b pozitív egész, ez a kifejezés a korábbi definíció alapján értelmezhető

Ismétlésként nézzünk néhány egyszerű feladatot!

Mat11_tj.indd 6 2010.08.03. 16:24:54


1. felAdAtOldd meg az alábbi feladatokat!

a) Mennyivel egyenlő az alábbi hatványok értéke?6–2 =4–3 =

=

−1

51

=

−3

31

=

−3

52

b) Írd fel törtmentes alakban a következő hatványokat!

=51

=

351

32

=

=2

1b

c) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd határozd meg a hatványok értékét!72∙7-5 =

=

⋅

−− 43

31

31

=−

−

5

2

22

( ) =−− 243

Mat11_tj.indd 7 2010.08.03. 16:24:54


d) Alkalmazd a hatványozás azonosságait, majd határozd meg a hatványok értékét! végül rakd növekvő sorrendbe a kifejezéseket!

=

⋅

−− 12

52

52

3

73 −

:2

73 −

=

=

− 23

35

3

23 −

:3

34

− =

Mat11_tj.indd 8 2010.08.03. 16:24:54


A rAcIOnálIs törtkItevő defInícIóJA

A hatvány fogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

Racionális törtkitevőjű hatványap/q az a nem negatív valós szám, amelynek a q-adik hatványa ap-nel egyenlő.

p

q

qp

aa =

a > 0 p, q є z és q ≠ 0 p, q relatív prím

Ha a feladatunk pl. a 32

2 értékének meghatározása, akkor tulajdonképpen nincs semmi problémánk. A számológépünk ki tudja számolni, ezeknek a hatványoknak a közelítő értékét, amivel tulajdonképpen a konkrét feladatokat meg tudjuk oldani. viszont sok esetben előfordulhat, hogy a közelítő érték nem megfelelő a megoldás szempontjából. Ez azt jelenti, hogy ismernünk kell a hatvány pontos értékének

meghatározását. Emlékezz vissza az n-edik gyök definíciójára: ( )nn a = a ahol n є N és a nem negatív. ezek alapján:

q pqp

aa =

2. felAdAt

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Számológéppel határozd meg a következő hatványok értékét!

≅31

5 3 5 ≅

≅43

6 ≅4 36

≅35

01 ≅3 100000

≅− 54,002 ≅02 902

1

b) Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét!

31

8 =

25

4 =

21

52−

=5,09 =

52,061 − =

MAT11_Tj.indd 9 2010.08.03. 16:24:55


c) A következő kifejezéseket úgy alakítsd át, hogy ne tartalmazzanak gyökjelet!

3 2x =

4 3a =5a =

3 5

1a

=

d) Az alábbi kifejezéseket úgy alakítsd át, hogy sem negatív, sem törtkitevőt ne tartalmazzanak!

32

x =

43

−a =

( ) 32

3−

a =

32

3−

a =

A permanencia elv miatt a tanult hatványazonosságok a törtkitevős hatványokra is igazak. Nézzünk néhány feladatot az alkalmazásra!

3. felAdAt

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Számold ki az értékét!

41

211

43

61

32

947

777

⋅

⋅⋅

=

b) Írd fel 5 hatványaként!

33 7

6 534

6255

12552125

⋅

⋅⋅ =

c) Hozd egyszerűbb alakra!

8 541

21

4 3

aa

aa

⋅

⋅−

=

d) Írd fel 2 hatványaként!55 2 4222 ⋅⋅⋅ =

Mat11_tj.indd 10 2010.08.03. 16:24:55


Házi feladatMatematika Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.111. oldal 839. feladat126. oldal 928 (számológéppel) feladat

A társtudOmányOk felAdAtAInAk megOldásA

Feltehetnéd azt a kérdést, hogy miért volt arra szükség, hogy a hatványozást ennyire alaposan átismétel-jük. Már biztosan találkoztál néhány esetben olyan kémia vagy fizika feladattal, ahol a számok normál alakja miatt szükség volt az azonosságok alkalmazására, vagy tudni kellett a negatív kitevő jelentését. Most szeretnénk neked olyan feladatokat mutatni, amelyekkel még nem biztos, hogy találkoztál, de min-denképpen elő fognak fordulni középiskolai tanulmányaid során.

1. Mintafeladat

Egy kezdetben 25 cm hosszú alumínium rudat melegítünk. A hőtágulási együtthatója K10193,2 5−⋅

. Mekkora hőmérsékletváltozás kell ahhoz, hogy a megnyúlása 0,5 mm legyen?

MegoldásΔl = α∙l0∙Δtl0 = 25 cm = 0,25 mΔl = 0,5 mm = 5∙10-4 m

α = K10193,2 5−⋅

Δt =?

Fejezzük ki a Δt értékét!

Behelyettesítve: Δt = = 83,68 K = 83,68 °C

A feladatot természetesen számológéppel számoltuk ki, tehát fontos a számológép használatának is-merete.

Nézzünk néhány egyszerű feladatot!

Mat11_tj.indd 11 2010.08.03. 16:24:55


4. felAdAt

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Határozd meg az 5∙10-6 C és a -4·10-6 C nagyságú töltések távolságát, ha 0,5 N erővel vonzzák

egymást!

F = k∙2

21

rQQ ⋅

k = 9·109 2

2

CmN

b) számold ki az U23592 atommag kötési energiáját, ha az atommag tömege gk72013,390 −⋅ , a pro-

ton nyugalmi tömege ,016724,1 72 gk−⋅ a neutroné pedig gk72016747,1 −⋅ .E = (z·mp+n∙mn–M)·c2

c = 3·108 m/s (fénysebesség vákuumban)z: rendszám (protonok száma)N: neutronok számamp: proton tömegemn: neutron tömegeM: mag tömege

c) Egy 10 nF -os kondenzátor 455 kHz-en mekkora kapacitív ellenállást mutat?

Xc =

Xc: kapacitív ellenállás [Ω], f: a frekvencia [Hz], C: a kapacitás [F].

Mat11_tj.indd 12 2010.08.03. 16:24:55

PETRIK TISZK TÁMOP-2.2.3-07/1-2F-2008-0011 13

d)Egyvákuum-fotocellakatódjábólkilépőelektrondeBroglie-hullámhosszaλ=1,25∙10-9m. A kilépésimunka1,5∙10-19 J.

Mennyiakilépőelektronlendülete(impulzusa)? –Mennyiakilépőelektronmozgásienergiája? –Mekkorahullámhosszúságúfénnyelvilágítottukmegafotokatódot? –

m =9,1∙10-31 kg; c=3∙108 m/s; h=6,63∙10–34J∙s(Planck-állandó)

λ= p

h ,aholpazelektronlendülete(p = m∙v)

hf=Wki+2

21 vm ⋅⋅

Em = 2

21 vm ⋅⋅

λ=ikW

ch ⋅

Aziskolábanelőfordulófeladatokutánnézzünknéhányolyanfeladatot,amelyamindennapiéletegyesfolyamataitírjale.

5. feladat

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Sugárvédelem

Monoenergiájúγ-sugárzásintenzitásaazabszorbensvastagságátólexponenciálisanfügg,azaz,

alakú,aholLafelezővastagság,ésxarétegvastagság.Hányadrészérecsökkenti asugárzásintenzitását0,11mvastagólomréteg137Csizotópesetén,melynélafelezésirétegvas-tagságL=6,55⋅10 –3m?

b) SugárszennyezésArádiumfelezésiideje1680év.Hánymgrádiumleszatartályban3360évmúlva?

N(t)=N0∙ Tt−

2 N0=1g

MAT11_TJ.indd13 2010.08.05.12:14:33


c) meteorológiavegyük a levegő relatív molekulatömegét 29-nek (g). Határozzuk meg a barometrikus magas-ságformula felhasználásával, hogy mennyi az 1 cm3-ben levő részecskék száma 273 K-en a teljes (tengerszint magasságban levő) részecskeszámhoz viszonyítva 1, 10 és 80 km magasan!

nz = n0∙ Tk

zgm

e−

32016 ⋅=

Mm

z: a tengerszinttől mért távolság (m)m: az egy molekula tömege (kg)

k = 1,38∙ 3201 − K

J

d) madártanSopronban fészkelő sarlósfecske populáció költésbiológiájának feltárása során a fiókák kikelé-sétől a kirepülésig tartó időszakban tanulmányozták a növekedés folyamatát. A tapasztalatok alapján a növekedési folyamatot a mérések alapján felállított tapasztalati függvény írja le: W = 55∙ xe , ahol x = )8(163,0 −−− te t a fióka életkora napokban. várhatóan hány gramm lesz egy fióka tömege 20, 25 és 30 napos korában, vagyis a kirepülés előtt?

Házi feladatEgységes érettségi feladatgyűjteményMatematika i.119. oldal 840. feladat 121. oldal 850/a feladat123. oldal 861/a feladat125. oldal 875/a feladat

Mat11_tj.indd 14 2010.08.03. 16:24:55


A lOgArItmus defInícIóJA

Az előzőekben hatványokkal foglalkoztunk oly módon, hogy megadtuk a hatvány alapot és a hatvány-kitevőt, és kerestük a hatványértéket. Ebben a részben szintén a hatványokkal foglalkozunk, de most megadjuk a hatvány alapot és a hatványértéket, és keressük a hatványkitevőt. Tehát a logaritmus tulaj-donképpen hatványkitevő keresését jelenti.

ba x = xba =⇒ log

a logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet. A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevőt értjük, melyre a-t emel-

ve b-t kapjuk. A b szám a alapú logaritmusát a balog jelöli, mely tehát az egyetlen valós szám, melyre

ba ba =log

Emlékezz arra, hogy az a, a logaritmus alapja, azonos a hatványalappal. Ha az a = 10, akkor a log10 jelölés helyett a matematika az lg jelölést használja (számológépen log gomb). A számológépen biztosan láttad már azt a jelölést, hogy ln. Ez a természetes alapú logaritmus (logaritmus naturalis) jele, melynek az alapja e= 2,71828182845904. Tehát ugyanolyan logaritmusról van szó, mint az összes többi esetben, csak a speciális logaritmus alap miatt vezettek be más jelölést.

6. felAdAt

kösd össze azokat az egyenlőségeket, melyek ugyanazt fejezik ki!

log39 = 2 104 = 10 000

log51 = 0 32 = 9

lg10000 = 4 2–2 = 0,25

241log2 −= 50 = 1

7. felAdAt

határozd meg a következő kifejezések értékét!

a) =5log 22

b) =9log77

c) 10lg4 =

d) log416 =

e) log77 =

f) =81log 2

g) log81 =h) log42 =

i) =181log 9

j) log232 =

Az előző feladatban olyan logaritmus értékeket kellett meghatároznunk, amelyekhez tartozó hatvány-kitevőket „fejből” ismertük. viszont nagyon sok esetben olyan számok logaritmusára van szükségünk, melyeket számológép nélkül nem tudunk megmondani. (Persze van a függvénytáblázatban táblázat, de ennél gyorsabb a számológép.) Már említettük, hogy a log ill. ln gomb mire használható. De hogyan le-

Mat11_tj.indd 15 2010.08.03. 16:24:55


het meghatározni pl. 3log2 értékét? A modernebb számológépeken ez sem jelent gondot, hiszen tetsző-leges alapú logaritmus értéket is meg lehet velük határozni. A többi számológépen a következő módszer használható:

logab =ab

loglog ami tulajdonképpen

aglbgl -t jelent, tehát log23 = 585,1

2log3log

=

Nézzünk néhány konkrét példát!

8. felAdAt

határozd meg számológéppel a következő számok logaritmusát!

a) lg5 =

b) lg23,45 =

c) lg0,123 =

d) ln10 =

e) ln1,5 =

f) ln0,876 =

g) log4100 =

h) log0,55,5 =

i) log73,456 =

j) log31000 =

A logaritmus használatával a mennyiségek nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségek (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel skálák beve-zetését. Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is.

Iskolai tanulmányotok során, biztosan előfordult már kémia órán a pH fogalma. De ha ott még nem találkoztál vele, akkor is hallottad már pl. televízió reklámban.

Mat11_tj.indd 16 2010.08.03. 16:24:55


9. felAdAt

Olvasd le a grafikonról!

(savas: pH < 7 | semleges: pH = 7 | lúgos: pH > 7)1. Ha édességet eszünk, az ábrán látható módon változik meg a száj pH értéke.

a) 15 perccel a cukor elfogyasztása után körülbelül mennyi ez a pH érték? ..................

b) Olvasd le a kritikus pH értéket!

c) Evés után 20 perccel mennyi a pH érték? ..................

d) A grafikonon látható pH tartomány (4–7) milyen kémhatású? ..................

e) Szerinted a cukorevés után hány perc múlva áll vissza a száj

szokásos pH értéke (pH = 6,6)? ..................

Mat11_tj.indd 17 2010.08.03. 16:24:55


2. az alábbi grafikon a legfontosabb haszonnövényeink által kedvelt talaj pH-tartományát ábrá-zolja.

a) Írj példákat az ábráról az alábbi halmazokba!

Savas talajt kedvelő: ..............................................................................................................

Semleges talajt kedvelő: ........................................................................................................

Megél lúgos talajon is: ..........................................................................................................

b) A tűlevelűek milyen kémhatású talajon élnek meg? .............................................................

c) Mely növény tűri el a pH=8 kémhatást? ................................................................................

d) Megélnek-e a láp növények ott, ahol a sárgarépa is? .............................................................

e) Ha a kertünk földjének pH értéke 6, milyen növények termesztése ajánlott?

..........................................................................................................................................

Házi feladatSokszínű matematika 11.97. oldal 1., 2. feladat

Most nézzünk olyan konkrét példákat, ahol a szakmai alapozó tárgyaid használják a logaritmust. Az előző feladatban láttuk, hogy a mindennapi élet használja a pH-t, de mi is az?

a ph (pondus Hidrogenii, hidrogénion kitevő) egy dimenzió nélküli kémiai mennyiség, mely egy adott oldat kémhatását (savasságát vagy lúgosságát) jellemzi. Híg vizes olda-tokban a pH egyenlő az oxóniumion-koncentráció [H3O

+] negatív előjelű tízes alapú loga-ritmusával.pH = –lg[H3O

+]

Mat11_tj.indd 18 2010.08.03. 16:24:56


azokat az oldatokat, amelyeknek H3O+ ion koncentrációja a tiszta vízre vonatkozó értéknél nagyobb

([H3O+] > 10-7mol/dm3) savas, azokat viszont, amelyeknél ez az érték 10-7-nél kisebb, lúgos kémhatású-

nak mondjuk.pH+pOH = 14,00Nézzünk először néhány mintapéldát!

2. Mintapéldaa) Mekkora a 3,00∙10-4 mol/dm3 koncentrációjú (c) salétromsav oldat pH-ja?

HnO3⇒H++nO3

[H+] = c(HNO3) = 3,00∙10-4mol/dm3

pH = –1·lg[H+] = –1·lg(3,00·10-4) = 3,52

b) Mekkora a 2,55∙10-3 mol/dm3 koncentrációjú bárium-hidroxid oldat pH-ja?Ba(OH)2⇒Ba2++2OH−

[OH−] = 2·c(Ba/OH/2) = 2∙2,55∙10-3 mol/dm3 = 5,10∙10-4 mol/dm3

pOH = –1·lg[OH−] = –1·lg(5,10·10-3) = 2,29 pH = 14–pOH = 14–3,40 = 11,71

c) Adjuk meg annak a sósavoldatnak a koncentrációját g/dm3-ben, melynek pH-ja 3,25!HCl⇒H++Cl−

[H+] = 10-pH = 10-3,25 = 5,62∙10-4 mol/dm3

c(HCl) = 5,62·10-4 mol/dm3

cm = c∙M = 5,62∙10-4 mol/dm3∙36,46g/mol = 2,05∙10-2 g/dm3

Most következzen néhány feladat!

10. felAdAt

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Mekkora a pH-ja egy 0,1 mol/l-es HCl oldatnak?

b) Mekkora a koncentrációja egy pH = 12 NaOH oldatnak?

c) Mekkora a pH-ja a 0,01 mol/l-es NaOH oldatnak?

d) Mekkora a koncentrációja a pH = 4 HCl oldatnak?

MAT11_Tj.indd 19 2010.08.03. 16:24:56

20 matematika • tanulói jegyzet 11. évfolyam

az iskolában előforduló feladatok után nézzünk néhány olyan feladatot, amely a mindennapi élet egyes folyamatait írja le!

11. feladat

Oldd meg az alábbi feladatokat!a) Zaj- és rezgésártalmak

a decibel széles körben használatos a hang erősségének (intenzitásának) mérésére. a decibel egy „dimenzió nélküli mértékegység”, mint például a százalék.

az intenzitásszint az intenzitások arányának logaritmusa

=

0

01IIglI Bd ahol a referenciainten-

zitás: I0=10-12 W/m2.Határozd meg a következő eszközök hangjának erősségét!

Átlagos beszéd 1 m-ről 601 −=I W/m2

koncert 101 −=I W/m2

Sugárhajtású repülő 40 m-ről 01=I W/m2

Némely hang akár percek, vagy másodpercek alatt visszafordíthatatlan kárt okozhat. Van, amit hosszabb ideig kibírunk, de ezek is ugyanolyan károsak. A walkman 80-110dB hangerősségű, ám 107 dB azonnal károsítja a hallást!!!

b) Radioaktivitásjelenleg a földkéreg minden 40k atomjára 300 40ar-atom jut. a 40k-atomok kb. 11%-a bomlik 40ar-ra 1,3⋅109 év felezési idővel. Határozd meg a földkéreg életkorát abból a feltevésből kiindul-va, hogy az összes, a földön található 40ar-atom 40k-atomokból keletkezett elektronbefogással és ki tudott diffundálni a légkörbe!

0,11, ahol T felezési idő

A Földkéreg átlagos korát 3,8 · 10 9 évre teszik. Az eltérés oka, hogy a keletkezett argon jelentős része a kőzetekben fogva maradt.

mat11_tj.indd 20 2010.08.04. 13:32:57


c) ökológiaAz ökológiában meg lehet becsülni pl. egy populáció egyedszám változását.k = lg(Nk)–lg(Nv), ahol k = pillanatnyi halálozási faktor, Nk = vizsgált időszak elején az egyed-szám nv = a vizsgált időszak végén az egyedszám.Egy 1500 fős emlős populáció egyedszáma lecsökken 500-ra. Mekkora a populáció halálozási faktora?Egy populáció elterjedését a Shannon–index-szel határozzák meg. Ha az index közelít a 0-hoz a populáció veszélyeztetett. Ennek formulája:H(S) = –∑pilgpi, ahol p = egyedszám i = forrás (vagyis pl. élelemtípus) pi = olyan egyedszám, amely az adott élelmet fogyasztja (tehát pl. p1 a füvet evők, p2 a lombot evők száma összesen).Egy 100 tagú populációban 10 tag füvet eszik, 20 tag füvet és fák lombját is eszi, 70 tag pedig csak a fák lombját.Egy másik szintén 100 tagú populációban 20 tag eszik füvet, 50 tag füvet és fa lombját, 30 tag csak lombot.A 2 populáció közül melyik a veszélyeztetettebb?

d) Pénzügya mai életünkben egyre nagyobb szerepet játszik a pénz, és ennek kamatai, akár befektetési kamatról van szó, akár hitelkamatról. A betéti kamattal kapcsolatos fogalom a kamatos kamat, ami azt jelenti, hogy a betét lejáratakor a kamatot tőkésítik, és így indítják el a következő idő-szak lekötését. Formulája:

n

npaa

+⋅=

10010 ahol 0a a befektetett pénzmennyiség, p a kamatláb, n a lekötési időszakok

száma és na a felvehető összeg.viktor 16 éves korában örökölt 1,5 M Ft-ot. Szeretne majd lakást venni, de tudja jól, hogy ez az összeg kevés hozzá. Úgy gondolja, hogy egy ideig még úgysincs szüksége külön lakásra, így a pénzt beteszi bankba kamatozni 10%-os éves kamatra, 6 hónapos lekötésre. Úgy gondolja, hogy 4 M Ft-tal már érdemes lesz lakásvásárlásba fogni. Mennyi idő múlva lesz meg ez a pénzmeny-nyiség, ha a kamatot nem veszi fel?

Házi feladatEgységes érettségi feladatgyűjteményMatematika i.120. oldal 842 feladat120. oldal 847 feladat121. oldal 849 feladat123. oldal 861 feladat

Mat11_tj.indd 21 2010.08.03. 16:24:56


függvényvizsgÁlat

Ennek a témakörnek az a célja, hogy:tudd a valóságból merített szöveges feladatok esetében az algebrai megfogalmazást; –találd meg a keresett értéket; –tudj rá matematikai összefüggést felírni; –a megtalált összefüggést tudd ábrázolni; –ismerd fel a kapott grafikonhoz tartozó hozzárendelési szabályt –tudd, hogy a kapott eltérések mérési pontatlanságból adódnak. –

AdAtOk rendszerezése

A matematika egyik legnehezebb része általában mindenki számára a szöveges feladatok megoldása. Hétköznapi életünkben a problémák általában szöveges feladatok formájában kerülnek elő. Ilyen felada-tokkal, és megoldási lehetőségeikhez kapcsolódó kérdésekkel foglalkozunk az alábbiakban.

Szöveges feladatot megoldani annyit jelent, mint logikai összefüggéseket keresni a feladatok felté-teleiben szereplő ismert és ismeretlen adatok között, és az ismeretlent egy aritmetikai műveletsor, egy kifejezés, egy táblázat, egy rajzos modell, egy algoritmus, egy egyenlet, egyenlőtlenség stb. segítségével kifejezni.

egyenlet felírása nélkül is megoldható feladatokA feladatok közül sokat megoldhatunk következtetéssel, rajzzal, visszafelé okoskodással, azaz egyenlet felírása nélkül, gondolkodással.

3. MintapéldaKató néni egy kosár tojást vitt a piacra. Az első vevő megvette a tojások felét, és még egy fél tojást. A második vevő megvette a megmaradt tojások felét, és még egy fél tojást. A harmadik vevő is megvette az így megmaradt tojások felét, és még egy fél tojást. Amikor a hatodik vevő is megvette a megmaradt tojások felét, és még egy fél tojást, kiürült a kosár. Hány tojást vitt Kató néni a piacra?(Forrás: http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ag/0/13204)

MegoldásFél tojást nem lehet venni, ez a megoldás során azt fogja jelenteni, hogy mindig páratlan darabszámú tojást kellene felezni, így a még egy fél tojás miatt vesznek az emberek egész számú tojást.Amikor a hatodik vevő megvette a maradék felét és még egy felet, kiürült a kosár⇒1 db-ot vett.Tehát az ötödik után 1 maradt, aki a neki maradó rész felét és még egy felet vett⇒2 db-ot vett⇒neki 3 db maradt.Tehát a negyedik után 3 maradt, aki a neki maradó rész felét és még egy felet vett⇒4 db-ot vett⇒neki 7 db maradt.Tehát a harmadik után 7 maradt, aki a neki maradó rész felét és még egy felet vett⇒8 db-ot vett⇒neki 15 db maradt.Tehát a második után 15 maradt, aki a neki maradó rész felét és még egy felet vett⇒16 db-ot vett⇒neki 31 db maradt.Tehát az első után 31 maradt, aki a tojások felét és még egy felet vett⇒32db-ot vett⇒63 db tojást vitt Kató néni a piacra.

Mat11_tj.indd 22 2010.08.03. 16:24:56


12. felAdAt

Oldd meg a feladatokat egyenlet felírása nélkül!a) Anna, Béla és Cili kártyáznak, egy-egy játékban két győztes és egy vesztes van. Megállapodnak

abban, hogy gyufaszálra játszanak, és a vesztes mindig megduplázza a győztesek előtt lévő gyu-faszálak számát. Az első játékban Anna veszít, a másodikban Béla, a harmadikban Cili. Három játék után mindegyikük előtt 32 szál gyufa van. Hány szál gyufájuk volt a kártyázóknak a játék megkezdése előtt? (Forrás:http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ag/0/13204)

b) Andi kétszer annyi idős, mint Bandi, de 7 évvel fiatalabb, mint Csabi, hárman összesen 47 éve-sek. Hány évesek külön-külön? (Forrás: http://www.sulinet.hu/tart/cikk/ag/0/13204)

c) Alvin pici Boci csokikat visz ajándékba testvéreinek a zsebében. Annyit elárul nekik, hogy a két zsebében együtt 50 db csoki van, és ha a jobb zsebéből áttesz 14 db-ot a balba, akkor mind a két zsebében ugyanannyi csoki lesz. Hány darab csoki van a bal, illetve a jobb zsebében?

d) Egy parkolóban autók és motorok állnak, összesen 32 darab. Peti unatkozik, amíg szüleire vár és megszámolja, hogy összesen 80 kerék van a parkolóban. Hány autó és motor van külön-külön? (Nézd meg, milyen esetek fordulhatnak elő!)

Mat11_tj.indd 23 2010.08.03. 16:24:56


Az AdAtOk közöttI összefüggések felírásA

egyenlet felírásával megoldható feladatokIsmeretlent vezetünk be, azzal úgy dolgozunk, mintha az is ismert lenne. Az összefüggések megállapítá-sa után (egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer felírása) az ismeretlent kifejezzük. (vagyis megold-juk az egyenletet, egyenlőtlenséget, egyenletrendszert.)

4. MintapéldaA Mizo-nak minden nap takarítania kell a joghurt és kefir gyártásához használt üstöket. Egy üst az egyik csapon át 8 óra, a másik csapon át 13 óra alatt töltődik fel. Mennyi idő alatt telik meg, ha mindkettőt megnyitjuk?

Megoldásérdemes első lépésben a megadott adatokat valamilyen rendszerbe foglalni. Nagyon sok esetben a táblá-zat az a forma, ami átlátható, és rendszerezett. Nézzük pl. itt mit célszerű használnunk!

W t P W: elvégzendő munka –t: idő –P: teljesítmény –

i 1 881

ii 1 13311

e 1 x311

81

+

x∙

+

311

81

= 1

x∙ 401

12

= 1

x = 4,952 óraTehát, ha a két csap együtt dolgozik, akkor 4,952 óra alatt telik meg az üst.Ezek után nézzünk olyan típusú feladatokat, melyeknek a megoldásához szükség van egyenletre!

Mat11_tj.indd 24 2010.08.03. 16:24:56


13. felAdAt

Oldd meg a feladatokat egyenlet felírásával!a) 25 liter 34%-os és 32 liter 63%-os oldatot keverünk össze. Mennyi lesz a keverék koncentráció-

ja?

Oldat menny. Konc. Oldott anyag

i.

ii.

Kev.

b) Egy vasútállomásról elindul egy személyvonat 55 km/h sebességgel, majd 55 perc múlva egy gyorsvonat 100 km/h sebességgel ugyanabba az irányba. Mikor éri utol a gyorsvonat a személy-vonatot?

sebesség Út Idő

szem.

gyors

c) A sörgyári derítőbe 2 csapon engedhetjük a sört, az egyiken keresztül 4,5 óra alatt, a másikon 7 óra alatt lenne teli a derítő. A palackozóhoz vivő csövön keresztül 15 óra alatt ürül ki a derítő. Mikor lesz teli a derítő, ha mindhárom csapot megnyitjuk?

W t P

i

ii

iii

e

Mat11_tj.indd 25 2010.08.03. 16:24:56


d) Egy édesapa a kisfiával biciklizni indul a nyaralásuk alatt Pihenj falva körül. 1,5 km utat tesznek meg, majd a kisfiú elfárad. Az apa kerékpárjának a kereke 25 cm sugarú. Számold ki a gyerek-kerékpár kerekének sugarát, ha azt tudod, hogy a gyerek kerékpárjának kereke 32-vel többet fordul 100 m-en! Hányat fordulnak a biciklik kerekei a megtett úton?

Sugár Kerület Fordulatok

apa

Fia

Házi feladata) 50%-os és 70%-os töménységű sóoldatunk van. Hány litert kell ezekből összeönte-

nünk, hogy 45 liter 62%-os töménységű sóoldatunk legyen?

b) Pisti és józsi pénz szeretne keresni, és vállalják, hogy együttes munkával 6 nap alatt felássák a mezőgazdasági szakközépiskola kertészeti területét. Tudják-e a vállalásukat teljesíteni, ha külön-külön dolgozva Pisti 10 nap alatt, józsi 15 nap alatt készülne el vele?

Mat11_tj.indd 26 2010.08.03. 16:24:56


c) Sofőr úr teherautóval elindul Pécsre, de az iratait és a mobilját otthon hagyja. A felesé-ge észreveszi és fél órával később elindul a férje után személyautóval. A személykocsi átlagsebessége 70 km/h, a teherautó átlagsebessége 50 km/h. Hol és mikor éri utol a férjét?

grAfIkus megOldás

Nagyon sok esetben előfordul az, hogy olyan összefüggést találunk az adatok között, amelyet algebrai úton esetleg nem tudunk megoldani, vagy olyan kérdéssel állunk szemben, amelynek a megoldása a függvény grafikonjáról olvasható csak le. Ilyenkor célszerű felhasználni a függvényekről tanultakat.

14. felAdAt

gyűjtsd össze azokat a függvényeket, amelyekkel eddigi tanulmányaid során találkoztál!

5. MintapéldaErvin szeretné átvenni a közelükben található élelmiszerüzlet tulajdonjogát, de ehhez néhány dolgot szeretne megismerni az üzletpolitikájával kapcsolatosan. Az élelmiszerbolt napi bevétele átlagosan 150 000 Ft. Ebből 60 000 Ft származik cigaretta és szeszesital eladásából. Ez hány százaléka az összbe-vételnek? Hogyan változik ez az érték, ha az élelmiszerbolt bevétele folyamatosan nő, de a cigaretta és szeszesital eladása változatlan marad? Írd fel ezt a százalékos összefüggést!

Megoldás

A cigaretta és szeszesital árából származó bevétel az összbevételnek =15000060000 0,4 = 40%-a. a bolt

teljes bevételét x-szel jelölve, a cigaretta és szeszesital eladást %-ban megadva a következőképpen szá-

Mat11_tj.indd 27 2010.08.03. 16:24:56


moljuk ki: 10060000⋅

x. Ha a bolt bevétele nő és a cigaretta és szeszesital-eladás változatlan marad, ez a

százalékos mutató a következőképpen alakul:

Bevétel (e Ft) 200 250 300 350

cigaretta és szeszesital eladás % 30 24 20 17,14

Ez azt jelenti, hogy a növekvő összbevétel és a változatlan tejtermékeladásból származó bevétel százalékos aránya fordított arányba van, hiszen a függvény utasítása:

xx 6000000

A kAPOtt grAfIkOnhOz tArtOzó hOzzárendelésI szAbály

15. felAdAt

Oldd meg grafikusan az alábbi feladatokat!a) A nyugdíjakat évente 4,5%-kal emelik. Tíz év múlva hányszorosa lesz józsi bácsi nyugdíja a

mostaninak? Hányszorosára változik évről évre?

x

Mat11_tj.indd 28 2010.08.03. 16:24:57


b) Egy autó 100 km-en 6 l benzint fogyaszt, ha országúton közlekedik. Ha teli tankkal indul, és a tankba 45 liter benzin fér, akkor minden 10 km megtétele után mennyi marad még benne?

x

c) 3 dl 96°C-os forró teát visz be a beteg gyermekének az édesanyja. Szól kisfiának, hogy várjon egy kicsit, mert még hűlnie kell. A tea hőmérséklete percenként 8°C-kal csökken. Mennyi idő elteltével lesz a tea iható (hőmérséklete pl. 35°C-os)? Mekkora lesz a hőmérséklete 1; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6 perc múlva?

x

MAT11_Tj.indd 29 2010.08.03. 16:24:57


d) Egy lakótelep épületeinek külső hőszigetelése 3 munkáscsoportnak 6 hetébe kerül. Mennyi idő alatt szigetelik a házakat, ha 1, 2, 4, 6 stb. munkáscsoport dolgozik rajta, és mindegyiknek azonos a teljesítménye?

x

mért értékek és AzOk ábrázOlásA

Nézzünk egy olyan példát, amely azért igényelheti a grafikus megoldást, mert a közvetlen mérésnek objektív akadálya van!

6. MintapéldaAz amerikai pettyes lile 3600 km-t repül megszakítás nélkül az óceán felett Alaszkától – ahol költ – a Hawaii-szigetekig. 88 óra alatt teszi meg az utat.

A pettyes lile induláskor 200 g, ebből 70 g a zsír az energiatartalma. Célba éréskor 127 g a testtömege.a) Hány g-ot veszített tömegéből a nagy út alatt?b) Mennyi energiatartaléka maradt?c) Mekkora energiatartalékkal rendelkezik 20, 40, 65 órai repülés után?

(Forrás: www.okoiskola.hu/hirlevel/news_upload/tanarioldalak_2edb.knmatek.doc)

Megoldása) Erre a kérdésre igen egyszerű válasz adható: 200 g–127 g = 73 g

Tehát 73 g-ot veszített a tömegéből.Tulajdonképpen a másik két kérdésre adott válasz is számolható lenne, de most nézzük a grafikus megoldást!Azt feltételezzük, hogy az eltelt idő, és a pettyes lile súlycsökkenése egyenes arányban van.Feltételezzük még, hogy a tömeg és az energiatartalék ugyanolyan arányban csökken.Ez azt jelenti, hogy a koordinátarendszerben ábrázolt pontokat egyenes vonallal kell összekötni.

Mat11_tj.indd 30 2010.08.03. 16:24:57


A kapott grafikonok a következőképpen néznek ki.

A b) kérdésre adott válasz az alsó grafikonról olvasható le: 44,5 g energiatartaléka maradt. A c) kér-désre adott válasz is az alsó grafikonról olvasható le: 20, 40 ill. 65 órai repülés után 64 g, 58 g ill. 50,5 g energiatartalékkal rendelkezik. A pontos ábrázoláshoz érdemes milliméterpapírt használni, mert a kere-sett értékeket pontosabban lehet leolvasni.

Mat11_tj.indd 31 2010.08.03. 16:24:57


Házi feladat

Oldd meg grafikusan az alábbi feladatokat!

a) Egy négyzet alakú földterületet szeretnénk lucernával bevetni. Tudjuk, hogy 50 dkg mag 2,5 m2 területre elég.

Hány kg mag kell 1 m; 135 cm; 2 m; 3 m; 3 m 20 cm; 4 m; 4 m 5 dm; 5 m, 58 dm, –illetve 6 m oldalú, négyzet alakú földdarab bevetéséhez?Készíts grafikont a négyzet alakú föld oldala és a területe közötti kapcsolatról! –

x

Mat11_tj.indd 32 2010.08.03. 16:24:57


b) Egy autó álló helyzetből 120 km/h sebességre gyorsul 15 másodperc alatt egyenletesen. Hány méterre lesz a kiindulási ponttól 1; 2; 3; 3,5; 4; 5,2; 8; 10,4; és 12,5 másodperc elteltével?Ábrázold grafikonon az eltelt idő és a megtett út kapcsolatát!

x

Mat11_tj.indd 33 2010.08.03. 16:24:58


c) éva egy lakótelepi ház 8. emeletén lakik, és nem vitt magával lakáskulcsot. Áramszünet miatt a testvére nem tudja beengedni a lakásból, ezért ledobja a kulcsot évának. Egy-szer kiszámolták, hogy ablakuk a földtől 22 m magasságban található. Hány méterre van a földtől 0,1; 0,2; 0,25; 0,5; 0,8; 1,1; 1,42 illetve 1,73 másodperc elteltével? Ábrázold grafikonon az eltelt idő és a földtől való távolság kapcsolatát!

A megtett utat az

2

2tgs ⋅= képlettel számítjuk ki, ahol g ≈ 10 2s

m a gravitációs gyor-

sulás.

x

16. felAdAt

fogalmazzatok meg olyan problémákat, melynek megoldása grafikonról olvasható le!

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

Természetesen nem csak az ilyen „egyszerű” feladatok megoldására használható a grafikus megoldás, hanem pl. logaritmikus, exponenciális stb. összefüggéseket is lehet ábrázolni, és leolvasni értékeket a grafikonról.

Az iskolai gyakorlatok során is találkoztál már olyan típusú munkával, hogy el kellett végezned egy méréssorozatot, a kapott értékeket pl. táblázatba rendezted, koordinátarendszerben ábrázoltad, és a ka-pott grafikonból próbáltál meg következtetéseket levonni. Ez nem tartozik mindig a legegyszerűbb fel-adatok közé. Ennek a munkának a megkönnyebbítésében szeretnénk segíteni.

Mat11_tj.indd 34 2010.08.03. 16:24:58


görbeIllesztés mérésI AdAtOkrA

A gyakorlati életben a mérendő mennyiség valódi értékét meghatározni nem tudjuk, csak közelíthetjük. Ez azt jelenti, hogy sem az érzékszerveink sem a mérőműszerek nem tökéletesek, a kísérleti körülmé-nyek is változhatnak a mérés során, illetve a mérő személy is tévedhet a leolvasásnál. Emiatt csak adott (véges) pontossággal tudjuk meghatározni valamely jellemző értékét.

Ez annyit jelent, hogy a mérési értékekre illesztett grafikon, ill. a róla leolvasható értékek csak köze-lítik a végeredményünket, ám megoldhatóvá válik a feladat. Az eredmények pontosításával a hibaszámí-tás foglalkozik, de ez most számunkra nem fontos.

7. MintapéldaAz időjárás-előrejelzés másnapra egész napos esőt jósol. Nagyszüleid szerint nagyon kell a víz a földnek. Kíváncsiak arra, hogy vajon mennyi esik. Azért, hogy erre a kérdésre válaszolni tudjál, reggel egy üres 2 cm magasságú tálat állítasz ki az esőre, amelyben 10 percenként méred a víz magasságát. A következő értékeket méred:

Idő (perc) 10 20 30 40 50 60

Mag. (mm) 1 3 4 7 9 10

Nagyszüleid nem akarják, hogy megbetegedj, ezért nem engednek többet ki. Ennek ellenére szeretnéd megmondani nekik, hogy mennyi eső eshetett. Az eső 3,5 órát esik. Ha az eső egyenletesen esik, akkor a mért értékek egy egyenesre illeszkednek.

A grafikonról leolvasható a megoldása a feladatnak: 210 perc alatt kb. 41 mm eső esett.A feladat megoldásában látható pontatlanságok szerepelnek, hiszen a pontok nem illeszkednek egy

egyenesre, csak találtunk egy olyan egyenest, amely a legjobban közelíti a pontok helyzetét. Az elté-rések, mérési pontatlanságból adódhatnak egyrészt (időmérés, magasságmérés), ill. adódhatnak abból, hogy az eső nem teljesen egyenletesen esett. Ennek ellenére tudtunk egy viszonylag pontos választ adni a kérdésre.

Természetesen nem az a cél, hogy a pontokra találomra illesszünk közelítő görbét. Ez még talán egye-nes illesztésénél lehet viszonylag pontos, de a feladatok megoldása során sokszor szükség van a függ-

Mat11_tj.indd 35 2010.08.03. 16:24:58


vény utasítására is. viszont ha exponenciális, vagy logaritmusos görbét kell illeszteni, mert a folyamat lefolyása nem lineáris, ez már szabadkézzel nem lesz mindenkinél ugyanaz. Az utasítást viszont szinte biztosan nem tudjuk megmondani.

Ennek a problémának a megoldásában segít a „GeoGebra” nevű program, amelynek a segítségével megoldjuk az alábbi feladatot!

17. felAdAt

Oldd meg a geogebra segítségével grafikusan az alábbi feladatot!

A világ népességének növekedése (milliókban)

1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950

Ázsia 330 400 479 602 749 937 1418

Európa 100 110 140 188 266 401 535

amerika 13 13 14 25 59 144 330

afrika 100 98 95 90 95 120 198

óceánia 2 2 2 2 2 6 13

Összesen: 545 623 730 907 1171 1608 2494

Ábrázoljuk Ázsia lakosságának növekedését!Illesszünk egyenest az adatokra!Illesszünk exponenciális függvényt az adatokra!Határozzuk meg Ázsia várható népességét 2050-ben, ha lineáris, illetve ha exponenciális növeke-dést tételezünk fel!(Forrás: http://phys.dote.hu/files/oktatas/molbiol/szamitastechnika/eloadasanyagok/Meresi_ada-tok_illesztese.pdf)Nyisd meg a gépen található programot, és tanárod segítségével oldd meg a feladatot!Az alábbi grafikonokat kell kapnod!

A hozzárendelési utasítás: –11 326 617.93x + 3 450 295.42y = –17 968 412 751.31A görbe alapján 2050-ben 1524 millió fő lesz Ázsia lakossága.A hozzárendelési utasítás:0,15·e0,0046xA görbe alapján 2050-ben 1901 millió fő lesz Ázsia lakossága.

Mat11_tj.indd 36 2010.08.03. 16:24:58


A hozzárendelési utasítás: –11 326 617.93x + 3 450 295.42y = –17 968 412 751.31A görbe alapján 2050-ben 1524 millió fő lesz Ázsia lakossága.

A hozzárendelési utasítás:0,15·e0,0046xA görbe alapján 2050-ben 1901 millió fő lesz Ázsia lakossága.

18. felAdAt

Oldd meg a geogebra segítségével grafikusan az alábbi feladatot!

p (Hgcm) v (l) (cm)

1. 72,9 1,4

2. 76 1,34

3. 79,1 1,3

4. 82,2 1,25

5. 85,3 1,22

A Boyle–Mariotte-törvény igazolására fizika órán Tündéék az alábbi mérést végezték el egy du-gattyúval elzárt levegőmennyiséggel. A táblázatban szereplő értékeket mérték.Ábrázold a pontokat koordináta rendszerben! Mivel a Boyle–Mariotte-törvény azt mondja ki, hogy állandó hőmérséklet esetén a p∙V = áll., ezért a pontokra illessz hiperbolát!

A pontok ábrázolása után hetedik ikon, „Kúpszelet öt ponton keresztül”.

Mat11_tj.indd 37 2010.08.03. 16:24:58


Házi feladat

Oldd meg a GeoGebra segítségével grafikusan az alábbi feladatot!A 15. feladat táblázatát felhasználva ábrázoljuk Afrika lakosságának növekedését!Illesszünk egyenest az adatokra!Illesszünk exponenciális függvényt az adatokra!Határozzuk meg Afrika várható népességét 2050-ben, ha lineáris, illetve ha exponenciális növekedést tételezünk fel!

A feladat megoldását e-mailben küldd el tanárodnak!

A GeoGebra programot letöltheted:http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=huHa nincs internet hozzáférésed, akkor az iskolai gépről pendrive-on hazaviheted!Ha nincs számítógéped, készítsd el az iskolában a házi feladatot!

Házi feladat

Fogalmazzatok meg olyan problémákat, melynek megoldása exponenciális, vagy logarit-musfüggvény segítségével ábrázolható!

..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Segítségképpen, ha szükséges használd az internetet!www.google.huwww.wikipedia.hu

Az előző órákon láttuk, hogy a folyamatokat, mérési eredményeket ábrázolva különböző grafikonokat kapunk, melyekről már tanultunk. Azaz a grafikonok alakját és tulajdonságait is ismerjük, ám fontosnak tarjuk a függvények főbb jellemzőit átismételni.

Mat11_tj.indd 38 2010.08.03. 16:24:58


A függvények tulAJdOnságAI

19. felAdAt

gyűjtsétek össze a függvények jellemzőit!

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

A függvényjellemzők definíciója a függelékben.

A természetben leJátszódó fOlyAmAtOkrA Jellemző függvények

A természetben lejátszódó folyamatok többsége exponenciális függvénnyel, vagy logaritmusfüggvénnyel írható le. Ezért tartjuk fontosnak, hogy ennek a két függvénynek ismerjük a tulajdonságait. A természet-ben lejátszódó folyamatok időbeli lefolyását szoktuk vizsgálni, ezért nagyon fontos az a tulajdonsága a két függvénynek, hogy szigorúan monoton nő ill. csökken, azaz az idő múlásával a mért értékek mindig mások lesznek. A függvényeknek nincs szélsőértékük, tehát a lejátszódó folyamatokban vagy növekvő, vagy csökkenő értékek mérhetők. Tudjuk, hogy a radioaktív elemek bomlása exponenciális összefüg-gésben van az idővel, vagyis a sugárzó anyag mennyisége állandóan csökken, viszont az exponenciális függvény korlátossága miatt soha nem válik nullává.

A függvények képe, és jellemzésük a függelékben megtalálható!

Néhány ilyen típusú feladatot már néhány órával ezelőtt oldottunk meg, igaz akkor nem a grafikus megoldást választottuk. Nézzünk egy ilyen feladatot kicsit másképp!

MAT11_Tj.indd 39 2010.08.03. 16:24:59


20. felAdAt

dolgozz a geogebrával!a) A rádium felezési ideje 1680 év. Ábrázoljuk a sugárzó rádium mennyiségét az idő függvényében,

200 mg sugárzó rádiumot helyezünk el az atomtemetőben!

N(t) = N0∙2 Tt−

A program parancssorába a következőt kell beírni)(xf = 200*2^(-x/4)

Utána enter, és a program lerajzolja a grafikont.Ábrázold a függvényt!Ha ezek után a pont ikonra kattintasz, le tudod olvasni a megoldásokat. Természetesen a grafi-kont a pontos leolvasásokhoz mozgatni kell az utolsó ikonnal a számunkra megfelelő helyzet-be.Olvasd le a következő időpontokhoz tartozó értékeket!

Eltelt idő (év) 50 150 1500 3000 4000

Meglévő rádium mennyisége (mg)

szélsőérték felAdAtOk megOldásA grAfIkusAn

A függvények, és azok tulajdonságai segítségünkre lehetnek más típusú, pl. szélsőérték feladatok megol-dásában is. A GeoGebra segítségével nagyon egyszerű függvényeket ábrázolni, ha ismerjük a függvény hozzárendelési utasítását.

8. MintapéldaEgy 16 méter hosszú drótot téglalap alakúra szeretnénk hajlítani. Milyen hosszúak legyenek a tégla-lap oldalai, ha azt szeretnénk, hogy a téglalap területe maximális legyen? (Forrás: matek.ymmf.hu/gyakorlofeladatok/szovegesfeladatok.pdf)

Megoldása téglalap oldalai legyenek x és y. A téglalapról tudjuk, hogy kerülete 16 m, tehát: 16 = 2x+2ySzeretnénk, ha a keresett téglalap területe maximális lenne.t = x∙yEz a területfüggvény jelen pillanatban két ismeretlent tartalmaz, és még nem használtuk fel az adott kerületet. Innen fogjuk az egyik ismeretlent kifejezni.y = 8–xennek segítségével:T = x·(8–x) = 8x–x2

Írjuk be a GeoGebrába: =)(xf 8*x-x2

A következő grafikont kapjuk, melyről leolvasható a maximum helye és értéke is.

Mat11_tj.indd 40 2010.08.03. 16:24:59


Tehát 26144 mTmymx =⇒=⇒= azaz négyzetről van szó.

21. felAdAt

dolgozz a geogebrával!a) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 12 cm. Hogyan válasszuk meg a háromszög

oldalait, hogy a területe maximális legyen?

b) Egy rakétát függőlegesen felfelé lövünk ki smv 040 = kezdősebességgel. Milyen magasra repül

a rakéta, ha repülési magasságát az 20 2

tgtvy ⋅−⋅= képlet alapján határozhatjuk meg (t az in-

dulástól számított idő). Mikorra állítsuk a robbanást meghatározó időzítőt, ha a pálya legmaga-

sabb pontján kell robbantani? (2

01sm

g ≈ )?

(Forrás: matek.ymmf.hu/gyakorlofeladatok/Szovegesfeladatok.pdf)

c) Egy négyzet alapú ládikót szeretnénk készíteni. A láda aljához és tetejéhez való anyag 10 Ft/cm2, az oldalához való anyag pedig 4 Ft/cm2. Mekkorák legyenek a ládikó oldalai, ha 3000 fo-rintból maximális térfogatú ládát szeretnénk készíteni?

d) zsugori úr meg akarja jutalmazni cselédeit, és földet ígér nekik ajándékba. viszont a lehető leg-kevesebb föld tulajdonjogáról szeretne lemondani, ezért egy 20 m hosszúságú kerítésszakaszt két részre oszt, és mindkét részhez elkerít egy négyzet alakú kertet. Mekkora részekre kell osz-tania a szakaszt, hogy a négyzetek területének összege a lehető legkisebb legyen?

Mat11_tj.indd 41 2010.08.03. 16:24:59


Házi feladat

a) Egy mező egyik oldalán egyenes folyó folyik. Hogyan kerítsünk el 2000 méter kerítés-sel egy téglalap alakú kertet úgy, hogy annak területe minél nagyobb legyen, és a telek egyik oldalát a folyó határolja?

(matek.ymmf.hu/gyakorlofeladatok/Szovegesfeladatok.pdf)

b) egy plakátot kell készíteni a gólyaavatóra, amit a megadott szabvány alapján úgy kell megcsinálni, hogy a lap alján és tetején 3 cm-es, a lap jobb és bal oldalán 5 cm-es mar-gót kell hagyni a kiragasztás miatt. A plakát mérete 0,5 m2 lehet. Milyen nagyok legye-nek a papírlap méretei, hogy a nyomtatott rész területe a lehető legnagyobb legyen?

c) Hangintenzitás szint 0

01IIglLI = ,ahol I0 = 10-12 W/m2

Mértékegysége dBf(x)=10lg(x/10-12)Ábrázold a függvényt, és olvasd le a következő értékeket!

W/m2 dB

10–12 hallásküszöb

10–11 halk neszek, levélzörgés

10–10 óraketyegés (közvetlen közelről)

10–9 csöndes kert, suttogás

10–8 halk beszéd 1 m-ről

10–7 csöndes iroda

10–6 átlagos beszéd 1 m-ről

10–5 városi forgalom zaja

10–4 kiabálás 1 m-ről

10–3 fúrógép 1,5 m-ről

10–2 nagyzenekari forte

10–1 kierősített rock együttes

1 légkalapács 1 m-ről, fájdalomküszöb

10 sugárhajtású repülő 40 m-ről

Mat11_tj.indd 42 2010.08.03. 16:24:59


Házi feladat

végezd el az alábbi mérési feladatot!

a) Tegyél be a hűtőszekrénybe 1 l vizet 3 órára!Miután lehűlt, tedd az asztalra és mérd meg a hőmérsékletét!Több mérést végezz, és töltsd ki a táblázatot!

Idő (perc) 0 10 20 30 40 50 60

Hőmérséklet (°C)

b) A történelemkönyved egyik felét tedd rá egy bögrére. Így készítettünk egy lejtőt! Egy teniszlabdát engedj el a tetejéről, és mérd meg, hogy milyen messze gurul nem szőnye-ges talajon a következő időtartamok alatt!

Idő (sec) 2 4 5 6 8 10

Távolság (cm)

c) Egy kb. 2 l-es lábosban forralj fel 1 l vizet! Amikor felforrt, vedd le a tűzről és önts bele 1 dl hideg vizet! Keverd meg és mérd meg a hőmérsékletét! Újra önts bele 1 dl hideg vizet és mérj hőmérsékletet! Töltsd ki a táblázatot!

Hideg víz (dl) 0 1 2 3 4 5 6

Hőmérséklet (°C) 100

d) Nyisd ki a vízcsapot a mosogatónál, miután bedugtad a lefolyót! Mérd a víz magasságát a következő időpontokban!

Idő (perc) 0 1 2 3 4 5 6

vízmagasság (cm) 0

Mat11_tj.indd 43 2010.08.03. 16:24:59


ábrázOlt mért értékekre görbeIllesztés

22. felAdAt1. A mérési adatokat ábrázold a GeoGebrával, majd illessz rá grafikont!

2. Írd fel a hozzárendelési utasítást!

a) ..................................................................................................................................................

b) ..................................................................................................................................................

c) ..................................................................................................................................................

d)..................................................................................................................................................

3. Fogalmazz meg egy olyan kérdést, melynek megoldása a grafikonról olvasható le!

a) ..................................................................................................................................................

b) ..................................................................................................................................................

c) ..................................................................................................................................................

d)..................................................................................................................................................

4. a geogebra minden esetben teljes függvényt ábrázolt. valóban minden folyamat folyama-tosan növekvő vagy csökkenő értékekkel rendelkezik? vannak a folyamatoknál a növekedés-nek ill. a csökkenésnek korlátai? Ha igen, mik ezek a korlátok?

a) ..................................................................................................................................................

b) ..................................................................................................................................................

c) ..................................................................................................................................................

d)..................................................................................................................................................

5. Biztosan észrevettétek, hogy a pontok, és a pontokra illesztett grafikon nem minden pontban azonos. Ez a mérési pontatlanságokból adódó eltérés! Fogalmazzátok meg, hogy a mérések során milyen pontatlanságok fordulhattak elő!

a) ..................................................................................................................................................

b) ..................................................................................................................................................

c) ..................................................................................................................................................

d)..................................................................................................................................................

Rövid tananyagunk végén olyan házi feladatod lesz, mellyel a következő órai ellenőrzésre átismételheted a tanultakat.

Reméljük elértük célunkat, és a feladatsor végén Te is úgy gondolod, hogy az ellenőrző feladatsor nem fog neked problémát jelenteni!

Mat11_tj.indd 44 2010.08.03. 16:24:59


Házi feladat:

a) 24− =

=

−1

53

( )50

324

33333

−

−−

⋅−⋅⋅

=

=32

4

=⋅⋅

−

5 6

41

321

2842

b) Egy +5 μC nagyságú töltést az x = 0, egy másik, +7 μC nagyságú töltést az x = 1m po-zícióba helyezünk. Mekkora erő hat a töltések között?

c) Egy mérés során megmérték a levegő sűrűségét különböző magasságokban a földfel-szín felett. A következő adatokat kapták:

h [km] 1 2 3 4 5

ρ [kg·m–3] 1,13 1,00 0,88 0,77 0,68

Illessz az adatokra grafikont! (Forrás. http://www.szif.hu/matfiz/Fizika/felgy_fali/node50.htm)

8 km magasságban mekkora lehet a levegő sűrűsége?

d) Egységes érettségi feladatgyűjtemény Matematika I., 120. oldal 845. feladat

Mat11_tj.indd 45 2010.08.03. 16:24:59


függelék

A geOgebrA PrOgrAm letöltése és hAsználAtA

A program ingyenes és szabadon felhasználható. A program elérhető:http://www.geogebra.org/cms/index.php?lang=hu

az oldalon Letöltés menü után A GeoGebra letöltése, a megnyíló oldalon válaszd ki, hogy milyen operációs rendszerhez akarod letölteni, és indítsd el a letöltést.

Indítsd el a letöltött „exe” file-t, jelöld be: „I accept the terms of the License Agreement”. Telepítsd a programot!

A koordináta tengelyek egységének beállításaKurzor a tengelyre, jobb egérgomb, tulajdonságok. Itt mindkét tengely egységek közötti távolságát, meg-jeleníteni kívánt maximális értékeit be lehet jelölni (a minimális értéket a program kiszámolja).

A felső szerkesztési menüsorban a második ikon az új pont felvétele, ezzel tehetünk pontokat a koor-dinátasíkra. A program kiírja a kurzor mozgásának helyét.

A negyedik ikon legördülő menüjében található a legjobban illeszkedő egyenes, mellyel a felvett pon-tokat kijelölve, a program illeszti az egyenest, és kiírja a függvény utasítását automatikusan.

Ha exponenciális függvény illesztésére van szükségünk, akkor alsó sor parancs menüsorát megnyit-va szükségünk van a GörbeillesztésExp[] parancsra, amelynél a pontokat fel kell sorolni a [ ] közé. En-nek formája: }{[ ]DCBA ,,, . Beírás után enter. A program berajzolja a függvényt, és kiírja az utasítást.Az utolsó ikonban található a rajzlap mozgatása, melynek segítségével a monitoron bárhová mozgathatjuk a függvényt.

a Szerkesztés legördülő menüben: Rajzlap vágólapra másolása.Innentől akár egyszerű Word dokumentumba is illeszthető a kész grafikon.jó munkát kívánok!

Mat11_tj.indd 46 2010.08.03. 16:24:59


A függvények JellemzőI

függvény Függvénynek nevezünk minden olyan hozzárendelést, amely egy halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeli egy másik (nem feltétlenül különböző) halmaz valamely elemét.

értelmezési tar-tomány

Értelmezési tartomány az a halmaz, amelynek elemeihez rendelünk valamit hozzá.

értékkészlet Értékkészlet azon elemek halmaza, amelyeket a függvény ténylegesen használ, azaz, amelyek ténylegesen hozzárendeltetnek az értelmezési tartomány elemei-hez.

zérushely Zérushely: egy függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre f(x) = 0. A függvény grafikonjának a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel.

szélsőérték Egy függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma.Egy függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x0 helyén, ha a függvény értelmezve van x0-ban, és az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≤ f(x0).Egy függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány egy x0 helyén, ha a függvény értelmezve van x0-ban, és az értelmezési tartomány minden x elemére f(x) ≥ f(x0).

monotonitás Egy függvény a monotonitás szempontjából kétféle lehet: növekvő vagy csökkenő. Ha x1, x2 є éT úgy, hogy x1 < x2:

a függvény szigorúan monoton nő, ha f(x1) < f(x2);a függvény monoton nő, ha f(x1) ≤ f(x2);a függvény szigorúan monoton csökken, ha f(x1) > f(x2);a függvény monoton csökken, ha f(x1) ≥ f(x2).

ParitásPáratlan, ha az origóra középpontosan tükrös. )()( xfxf −−=Páros, ha az y tengelyre tükrös. )()( xfxf −=

Periodicitás Az f függvény periodikus, ha létezik olyan k є z, hogy )()( tkxfxf ⋅+= ek-kor t-t az f függvény periódusának nevezzük.

korlátosság az f függvény felülről korlátos, ha létezik Kf , melyre minden x є éT-ra

fKxf ≤)( .

az f függvény alulról korlátos, ha létezik Ka, melyre minden x є éT-ra

aKxf ≥)( .

Az f függvény korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos.

Mat11_tj.indd 47 2010.08.03. 16:24:59


Az exPOnencIálIs és lOgArItmusfüggvény

xax →

éT (Df): Rx ∈

éK (Rf): +∈ Rxf )(

zérushely: nincsSzélsőérték: nincsSzig. mon. nő ha a > 1Szig. mon. csökken ha 0 < a < 1Alulról korlátos: Ka = 0

xx alog→

éT (Df): +∈ Rx

éK (Rf): Rxf ∈)(zérushely: x = 1Szélsőérték: nincsSzig. mon. nő ha a > 1Szig. mon. csökken ha 0 < a < 1Nincs sem alsó, sem felső korlátja.

Mat11_tj.indd 48 2010.08.03. 16:25:00

matematika...10 matematika • tanulói jegyzet 11. évfolyam c) a következő kifejezéseket úgy...

Documents