广义相对论课堂 16弯曲时空物理时间和长度

Schwarzchild 时空2011.11.7

课程安排• 复习内容： 7.1-4 、 6 节• 新内容：物理时间和长度、 Schwarzchild

度规• 学习要求：理解史瓦西坐标与物理时间和

长度 ( 谁测量 + 怎么测量 ) 关系• 下次课：嵌入图、标正基方法

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度规 = 实对称矩阵

• 实对称矩阵 gμν=gνμ

– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν+gνμ)dxβdxα

– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν-gνμ)dxαdxβ

回顾：反问角度

为什么从 SR 到 GR 变为度规中心？

如果存在全局惯性系 ......

• 测地线偏离– 柱面、圆锥面 vs 球面

• 引力场中：– 潮汐加速度偏离– 惯性钟分离 / 靠近

• 均匀引力场– 引力钟变慢——绝对？– vs 运动钟变慢——相对于坐标时– 都是固有时 vs 固有时相对于坐标时

GR 广域 on SR 局域Gauss/Stokes 定理 vs 散 / 旋度

总能实现这两个条件，即 WEP+LLI但潮汐引力不可消除

• 条件一： g'μν(x'p)=ημν

– 局域平直时空– 势的绝对值无意义——零点任意

• 条件二：– 意义：偏导数 = 势梯度 = 引力 =0

• 条件一 + 条件二！• 非条件：二阶偏导数——不全为 0

– 意义： 20 个独立的组合（第 454 页）曲率 Einstein 方程

0x

g

pxx

广义不变性——方程形式和内容• 坐标变换

– Galilen、 Lorentz vs(匀 )加速系 =曲线坐标系

– 所有坐标系在GR中平等

– 没有更多的相对性– 动力学对称——度规– 潮汐引力 =时空曲率

张量的坐标变换定义

坐标任意，物理时间和长度？

线元意义！——落实到测量者钟尺网格——标架 reference frame

参考系

Einstein 方程简介• Riemann 曲率张量 R—— 》 Ricci 曲率标

量——》 Einstein 张量 G——g 二阶偏导数• 类似 Maxwell 方程组—— Faraday—— 四

势矢量

Einstein eq 的非线性• Metric 的方程

– 例：平直 1+Schwarzchild （ 1-2M ）

对称性解微分方程• 对称性坐标系Killing eq

• 约束场量函数形式• 例：牛顿定理

Karl Schwarzchild 1915 World War I

• Point mass + static

• Birkhoff theorem– 唯一： 1 、真空– 2 、球对称 = 转动不变– 不要求静态 = 动态

• 膨胀或收缩——塌缩、黑洞内部• 脉动

球对称 + （静态）• Weinberg: xdx, x2, dx2=dr2+r2dΩ2

• Hartle 21.4

• static—dt dxi • Gαβorthonormal basis

• B=0 asymptotic flat—vs—RW metric• A=-2M total energy

坐标：求解时、定性地知道一些• 对称性坐标系• 定性

– t– r– θ 、 Φ

坐标解的物理测量意义• 定量——线元• 对角度规 = 正交坐标系• 非对角 1 、雷达回波法 2 、标正基法

引力时间膨胀• 静态弱场——自由落体思想推论

• 补充作业—— Weinberg:Schwarzchild 线元的各向同性形式

一般度规下引力时间膨胀

类空间隔长度固有长度 vs 坐标长度

线元意义？同时线 / 面

雷达回波测距

正交时空坐标系下类空长度

• 同时线 / 面例：史瓦西长度、静止观者径向拉伸、横向挤压——嵌入图 7.7+ 习题• 雷达回波

– 光速为 1——LLI

非对角－－ Landau+Cook对角＝正交

• Landau: 不可能简单地取到同时面决定物理空间长度，因为不同地点固有时对坐标时依赖不同。

坐标任意，物理时间和长度？

线元意义！——落实到测量者钟尺网格——标架 reference frame

参考系

基准观者网格fiducial observers

• “ 共动”观者– “ 共动” =“ 静止”——空间坐标

• 标准钟 + 标准尺• 当时当地测量 =local——GR on SR