第 6 　课时 空间直角坐标系

第6课时　空间直角坐标系

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

温故夯基·面对高考

温故夯基·面对高考

1．空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点 O为原点，

建立三条两两垂直的数轴： x轴， y轴， z轴．

这时建立了空间直角坐标系 O－ xyz，其中点

O叫做 _________． x轴， y轴， z轴统称

______．由坐标轴确定的平面叫做

__________．

坐标原点 坐标轴坐标平面

思考感悟空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？提示：八部分．

(2)右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向 x

轴正方向，食指指向 y轴正方向时，中指一定指向 z轴的 _________．(3)空间一点M的坐标为有序实数组 (x， y， z)，记作M(x， y， z)，其中 x叫做点M的 _______，y叫做点M的 _______， z叫做点M的________．2．空间两点间的距离公式设 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，

则 |AB|＝ ____________________________.

正方向

横坐标纵坐标 竖坐标

x1－x22＋y1－y22＋z1－z22

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考点突破考点突破

空间中点的坐标

设 M是空间一点，过 M分别作垂直于 x轴、y轴、 z轴的平面，分别交 x轴、 y轴、 z轴于 P 、 Q 、 R. 设点 P 、 Q 、 R 在 x轴、 y轴、 z轴上的坐标分别为 x、 y、 z，则得点M坐标为 (x， y， z)．反之，任意三个实数的有序数组 (x， y， z)，在空间可以确定一个点与之对应．

　　　　　　　　　　设正四棱锥 S－ P1P2P3P4的所有棱长均为 a，建立适当的坐标系，求点S、 P1、 P2、 P3和 P4的空间坐标．

例例 11

【思路分析】 建立空间直角坐标系

→ 确定各点坐标

【解】以正四棱锥 S－ P1P2P3P4的高为 z轴，以平行于底面相邻两边的直线为 x轴， y轴建立空间直角坐标系如图所示，其中原点 O为底面正方形的中心，

P1P2　⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在 Oz轴上，　∵ d(P1，P2)＝a，而 P1、P2、P3、P4均在 xOy平面上．　

∴ P1(a2，a2，0)，P2(－

a2，a2，0)．　

P3与 P1关于原点 O对称，　P4与 P2关于原点 O对称．　

∴ P3(－a2，－

a2，0)，P4(

a2，－

a2，0)．　

又∵ |SP1|＝|OP1|＝22 a.　

∴ 在 Rt△ SOP1中，|SO|＝　 a2－a2

2＝22 a.　

∴ S(0,0，22 a)．

【思维总结】　 正四棱锥因为底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心，故建立空间直角坐标系时，往往以底面中心为坐标原点，高所在直线为 z轴， x

轴、 y轴分别平行于底边．

空间两点间的距离

距离是几何中需要度量的基本量，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题．主要有以下几个问题： (1)求空间任意两点间的距离； (2)判断几何图形的形状； (3)利用距离公式求最值．

　　　　　　　　　已知直三棱柱ABC－ A1B1C1中，∠ BAC＝

90°， AB＝ AC＝ AA1＝ 2，M为 BC1的中点，N为 A1B1的中点，求 |MN|.

例例 22

【思路分析】　

建立空间直角坐标系 ―→

确定点M、N的坐标 ―→ 求|MN|

【解】 如图，以 A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，　则 B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，　∴ N(1,0,2)，M(1,1,1)，　∴ |MN|＝　

1－12＋0－12＋2－12 ＝ 2.

互动探究　 在例 2中其他条件不变，求点M

到正方形 A1ACC1的中心 P的距离．解：在例题中所建坐标系下，点 P的坐标为P(0,1,1)，　又 M(1,1,1)，　∴ |PM|＝ 1－02＋1－12＋1－12＝1，　即 M、P两点间的距离为 1.

“求某点关于某轴的对称点时， 关于谁对称”谁不变 ．如 (a， b， c)关于 x轴的对称

点为 (a，－ b，－ c)；求某点关于某坐“ ”标平面的对称点时， 缺哪个哪个变 ；求

“ ”某点关于原点的对称点时， 都变 ．

空间点的对称问题

　　　　　　　　　　　　求点 A(1,2，－ 1)关于 x轴及坐标平面 xOy的对称点 B、 C的坐标，以及 B、C两点间的距离．

例例 33

【思路分析】 作出对称图形

→ 得点的坐标 → 求得距离

【解】　 如图所示，过 A作 AM⊥xOy交平面于M，并延长到 C，使 CM＝ AM，则 A与 C关于坐标平面xOy对称且 C(1,2,1) .

过 A作 AN⊥x轴于 N，并延长到点 B，使 NB＝ AN，则 A与 B关于 x轴对称且 B(1，－ 2,1)．

∴ A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy对称的点 C(1,2,1)；　

A(1,2，－1)关于 x轴对称的点 B(1，－2,1)．　

∴ |BC|＝ 1－12＋－2－22＋1－12＝4.

【思维总结】　 (1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数；(2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．如M(1,3，－ 2)关于 x轴的对称点坐标为M′(1，－ 3,2)；(3)关于坐标平面的对称点，由 x， y， z，O中的三个字母表示的坐标平面，缺少哪个字母的对应坐标变为原来的相反数，其它不变．如 N(1,3，－2)关于坐标平面 xOz的对称点 N′(1，－ 3，－ 2)．

方法技巧　1．关于对称点坐标求法　

(1)P(x，y，z) ――→关于坐标平面xOy对称

P1(x，y，－z)；　

(2)P(x，y，z) ――→关于坐标平面yOz对称

P2(－x，y，z)；　

(3)P(x，y，z) ――→关于坐标平面xOz对称

P3(x，－y，z)；

方法感悟方法感悟

(4)P(x，y，z) ――→关于x轴对称

P4(x，－y，－z)；　

(5)P(x，y，z) ――→关于y轴对称

P5(－x，y，－z)；　

(6)P(x，y，z) ――→关于z轴对称

P6(－x，－y，z)；　

(7)P(x，y，z) ――→关于原点对称

P7(－x，－y，－z)．

2．空间中两点的距离　(1)平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间，即若两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，

z2)，则其中点坐标为(x1＋x22 ，

y1＋y22 ，

z1＋z22 )．　

(2)在平面内，到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么推广到空间即是到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．

失误防范1．求空间中点的坐标时，一定要分清坐标轴，否则点的坐标易求错．2．建立坐标系时，应用题目中已有中心、垂直关系，尽量使更多的点位于坐标轴上，且尽量使其关于原点对称．3．在求坐标过程中，注意不要只注意线段长度而忽视符号问题．

考向瞭望·把脉高考

考情分析考情分析

从近几年的广东高考试题来看，空间中点的对称问题、两点间的距离公式偶尔也会在高考试题中出现，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中、低档，主要考查基础知识．预测 2012年广东高考可能会考查空间中点的对称问题及两点间的距离公式，重点考查学生的空间想象能力及运算能力．

(本题满分 12分 )如图，过正方形ABCD的中心 O作 OP⊥平面 ABCD，已知正方形的边长为 2， OP＝ 2，连结AP、 BP、 CP、 DP，M、 N分别是 AB、BC的中点，以 O为原点，射线 OM、 ON、OP分别为 Ox轴、Oy轴、 Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、 F分别为 PA、 PB的中点，求 A、 B、 C、 D、E、 F的坐标．

例例

规范解答规范解答

【解】 易求出 B点坐标为(1,1,0)．　∵ A、C、D与 B点分别关于 xOz平面、　yOz平面、坐标原点对称，　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 6分　∴ A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．　又∵ E、F分别为 PA、PB的中点，且 P(0,0,2)，　

∴ E(12，－

12，1)，F(

12，12，1).　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 12分

1．点M(2，－ 3,1)关于坐标原点的对称点是 ( 　 　 )

A． (－ 2,3，－ 1) 　 　 　 　 　 　

B． (－ 2，－ 3，－ 1)

C． (2，－ 3，－ 1)

D． (－ 2,3,1)

答案： A

名师预测名师预测

2．在空间直角坐标系中，若点 B 是点A(1,2,3)在坐标平面 yOz内的射影，则|OB|的长度为( )　

A．2 3　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 14　

C. 13　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 D. 11

答案：C

3．已知 A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)，则|AB|的最小值为( )　A．3 3　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B．3 6　

C．2 3　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 D．2 6

答案： B4．已知 A(1，－ 2,1)， B(2,2,2)，点 P在 z轴上，且 |PA| ＝ |PB| ，则点 P 的坐标为________．答案： (0,0,3)

本部分内容讲解结束

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