Линейные уравнения 2-го порядка с постоянными

коэффициентамиЛекция 6

Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка

Корни характеристического уравнения

Случай 1. Если , то

характеристическое уравнение имеет два

различных действительных корня

В этом случае общее решение имеет вид

.

qpp

k 42

2

2,1

04

2

qp

Rkk 21

xkxk eCeCy 2121

Продолжение

Случай 2. Если , то характеристическое уравнение имеет одинаковые корни .

Частные решения ЛОУ выбираем так, чтобы они были линейно независимыми:

и .

Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет иметь вид .

04

2

qp

kkk 21

kxey 1kxxey 2

)( 21 xCCey kx

Продолжение

Случай 3. Если , то характеристическое уравнение имеет два

комплексно-сопряженных корня и , где

и .

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в действительной форме можно записать

в виде

04

2

qp

ik 1 ik 2 2

p

4

2pq

)sincos( 21 xCxCey x

Общее решение ЛОУ 2-го порядка в зависимости от корней

характеристического уравнения

1. Если , то

2. Если , то

3. Если , то

4. Если , то

Rkk 21xkxk eCeCy 21

21 kkk 21 )( 21 xCCey x

ik 21 ,

)sincos( 21 xCxCey x ik 21 ,

xCxCy sincos 21

Пример

Найти общее решение уравнения

.

Составим характеристическое уравнение . Его корни действительны и различны: . Поэтому общее решение

y y y12 0

y y y12 0k k1 24 3 ,

y c e c ex x 1

42

3

Пример

Решить уравнение y+4y+4y =0. Характеристическое уравнение

имеет два кратных корня , поэтому искомое общее решение

.

k k2 4 4 0 k1 2 2,

y e c c xx 21 2( )

Пример

Решить уравнение y+4y+13y =0.

Составим характеристическое уравнение . Корни этого уравнения

комплексно-сопряженные. Общее решение исходного уравнения:

.

k k2 4 13 0 k i1 2 2 4 13 2 3,

y e c x c xx 21 23 3( cos sin )

Теорема о структуре общего решения линейного дифференциального уравнения

2-го порядка

Общее решение уравнения y+py+qy = f(x), где p и q постоянные, а f(x)0 ,

равно сумме общего решения однородного уравнения y+py+qy =0

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения, т. е.

.y y y 0~

Подбор частного решения ЛНОУ по виду правой части методом

неопределенных коэффициентов

1. Пусть . Тогда частное решение ищут в виде:

а)если , то

б)если , то

в)если , то

mxaexf )(

mkmk 21 ,mxAey ~

mkmk 21 , mxxAey ~

mkmk 21 , mxAexy 2~

Продолжение

2. Пусть , где -заданный многочлен . Тогда частное решение уравнения ищут в виде:

а)если , то б)если , то в)если , то ,

где = -многочлен с неопределенными

коэффициентами.

f x P x enmx( ) ( ) P xn ( )

k m k m1 2 , ~ ( )y Q x enmx

k m k m1 2 , ~ ( )y xQ x enmx

k k m1 2 ~ ( )y x Qn x emx 2

Q xn ( )nn

nn AxAxAxA

11

10 ...

В правой части уравнения-многочлен

1.Пусть , где -заданный многочлен. Это частный случай при =0. Тогда

а)если , то

б)если , то

в)если , то

f x P xn( ) ( ) P xn ( )

f x P x enmx( ) ( ) m

k k1 20 0 , ~ ( );y Q xnk k1 20 0 , ~ ( );y xQ xnk k1 2 0 ~ ( ).y x Q xn 2

В правой части уравнения-тригонометрический полином

5. Пусть где степени многочленов и вообще говоря различны. Тогда а)если , то частное

решение ищут в виде

где степени многочленов и равны .

)sin)(cos)(()( xxQxxPexf mnx

)(xPn )(xQm

ik 21 ,

)sin)(cos)((~ xxRxxTey llx

)(xTl )(xRl),max( mnl

Продолжение

б)если , то частное решение ищут в виде:

Пример: указать вид частного решения уравнения .

Характеристическое уравнение

имеет:Д=-16 и корни

, а решение имеет вид

ik 21 ,

)sin)(cos)((~ xxRxxTxey llx

xxeyyy x 2sin52

0522 kki

ik 21

2

422,1

)2sin)(2cos)((~ xDCxxBAxxey x

Решить уравнение . . Корни этого уравнения действительны и

различны, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид .

Составим частное решение неоднородного уравнения по виду правой части: .

y y y e x3 2 3 2

k k2 3 2 0 k k1 21 2 ,

y c e c ex x0 1 2

2

f x e x( ) 3 2

Продолжение

Среди корней характеристического уравнения нет равных числу m =2. Поэтому ищем в виде: , где А – неопределенный коэффициент .

. Подставим

в уравнение. Имеем

. Далее имеем 12А=3 и А= ¼.

~y ~y Ae x 2

,2~ 2xAey ~ y Ae x2 22~, ~ , ~y y y

4 3 2 2 32 2 2 2Ae A e Ae ex x x x

y c e c e ex x x 1 2

2 21

4,

4

1~ 2xey