Лекция по теоретической механике от 06.05.2020 (ПМФ)

Н.Н. Пенкина Кафедра квантовой механики Санкт-Петербургский государственный университет

Содержание лекции

Модель идеальной жидкости. Гидродинамические уравнения Эйлера.

Замкнутые системы уравнений движения для: идеальной однородной

жидкости; идеальной несжимаемой (неоднородной) жидкости; идеальной

сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов.

Основные уравнения гидростатики. Закон Архимеда.

Стационарное течение жидкости. Линии тока и трубки тока. Интеграл

Бернулли.

Модель идеальной жидкости. Гидродинамические уравнения Эйлера

Для покоящейся жидкости имеет место установленный опытным путем закон Паскаля:

�⃗�𝑛 = −𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧)�⃗⃗� (1)

Здесь �⃗�𝑛 - вектор напряжения на площадке с внешней нормалью �⃗⃗�, а величина 𝑝 одинакова для всех направлений в данной точке и носит название давления. Знак минус указывает, что при 𝑝 > 0 напряжения сжимающие. Этот закон имеет место для любой покоящейся жидкости. При движении в жидкости возникают тангенциальные напряжения, обусловленные силами внутреннего трения, которое в жидкости называется вязкостью. Если же тангенциальные напряжения не возникают и в движущейся жидкости, то такую жидкость будем называть идеальной.

Итак, модель идеальной жидкости предполагает полное пренебрежение тангенциальными напряжениями; слои идеальной жидкости свободно, без трения скользят друг относительно друга, и жидкость не оказывает никакого сопротивления изменению формы: свободно растекается или принимает форму сосуда, в который налита. Отсутствие тангенциальных напряжений для любой ориентации площадки (любого �⃗⃗�) означает, что любые три взаимно-перпендикулярных направления являются главными, и потому в любой декартовой системе координат тензор напряжений диагонален, причем

𝜎(1) = 𝜎(2) = 𝜎(3) = −𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (2)

Такой тензор называется шаровым. Итак, тензор напряжений идеальной жидкости имеет вид:

𝜎𝑖𝑘 = −𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝛿𝑖𝑘 (3)

Уравнения движения идеальной жидкости получаются из общих уравнений движения сплошной среды при подстановке туда шарового тензора напряжений и носят название гидродинамических уравнений Эйлера:

𝜌𝑑𝑣𝑖

𝑑𝑡= 𝜌𝐹𝑖 +

𝜕𝜎𝑖𝑘

𝜕𝑥𝑘 (𝑖, 𝑘 = 1, 2, 3)

𝜌𝑑𝑣𝑖

𝑑𝑡= 𝜌𝐹𝑖 −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖 (𝑖 = 1, 2, 3)

𝑑�⃗�

𝑑𝑡= 𝜌�⃗� − ∇𝑝 (4)

𝑑𝑣𝑖

𝑑𝑡=

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡+

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

=𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑥𝑣𝑥 +

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑦𝑣𝑦 +

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑧𝑣𝑧 =

𝜕𝑣𝑖

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇𝑣𝑖)

𝑑�⃗�

𝑑𝑡=

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗�

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� −

1

𝜌∇𝑝 (5)

Эти уравнения были получены Эйлером в 1755 году. Вместе с уравнением неразрывности

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝜌 𝑑𝑖𝑣 �⃗� = 0 (6)

имеем четыре уравнения и пять неизвестных: �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡). Система уравнений оказывается незамкнутой.

Замкнутые системы уравнений для идеальной жидкости

Чтобы замкнуть систему уравнений, приходится сделать некоторые дополнительные предположения о свойствах рассматриваемой идеальной жидкости.

Идеальная однородная жидкость Если жидкость однородна, то ее плотность постоянна и не подлежит определению, а система уравнений принимает вид:

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� −

1

𝜌0

∇𝑝

𝑑𝑖𝑣 �⃗� = 0 (7)

Идеальная несжимаемая (неоднородная) жидкость Несжимаемость означает, что для каждого индивидуального выделенного объема жидкости плотность сохраняется (𝑑𝜌/𝑑𝑡 = 0), однако, отсюда не следует постоянство 𝜌, так как в силу неоднородности в разных выделенных объемах плотность разная. (Однородная жидкость несжимаема по определению). Уравнение неразрывности распадается на два независимых уравнения, в результате имеем пять уравнений для пяти неизвестных:

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� −

1

𝜌∇𝑝

𝑑𝜌

𝑑𝑡= 0 (8)

𝑑𝑖𝑣 �⃗� = 0

Идеальная сжимаемая жидкость в случае баротропных процессов При движении сжимаемой жидкости во многих случаях можно считать, что

𝑝 = 𝑓(𝜌), (9)

то есть в каждой жидкой частице давление зависит только от плотности. Процессы, удовлетворяющие (9), называются баротопными. Примером баротропного процесса может служить изотермическое движение газа, подчиняющегося уравнению Клапейрона. Очевидно, что условие баротропии (если функция 𝑓(𝜌) известна) позволяет замкнуть систему уравнений, описывающих движение идеальной сжимаемой жидкости. Полная система уравнений в этом случае имеет вид:

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� −

1

𝜌∇𝑝

𝑑𝜌

𝑑𝑡+ 𝑑𝑖𝑣 �⃗� = 0 (10)

𝑝 = 𝑓(𝜌)

Основные уравнения гидростатики. Закон Архимеда

Для покоящейся жидкости �⃗� = 0, и из уравнения неразрывности

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣(𝜌�⃗�) = 0 (11)

следует:

𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0, 𝜌 = 𝜌(x, y, z) (12)

Из уравнения Эйлера при �⃗� = 0 имеем:

�⃗� = 1

𝜌∇𝑝 (13)

Если внешние массовые силы отсутствуют, то �⃗� = 0 и, следовательно, давление 𝑝 во всех точках жидкой (или газообразной) среды одинаково (закон Паскаля). В

однородном поле силы тяжести плотность внешних массовых сил �⃗� равна

ускорению свободного падения �⃗�, и уравнение (13), записанное в декартовых осях, примет вид:

𝜕𝑝

𝜕𝑥= 0

𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0 (14)

𝜕𝑝

𝜕𝑧= −𝜌𝑔

Эти уравнения легко интегрируются, если жидкость однородная (𝜌 = 𝜌0):

𝑝 = −𝜌0𝑔𝑧 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (15)

Таким образом, поверхности постоянного давления (изобары) являются горизонтальными плоскостями. Из (15) легко получить известный закон гидростатики:

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌0𝑔(ℎ − 𝑧) (16)

Здесь 𝑝0 внешнее давление, приложенное к свободной поверхности покоящейся

жидкости на высоте ℎ, 𝑝 – давление на глубине 𝑧.

Из соотношения (13) следует, что векторное поле плотности массовых сил �⃗� при равновесии не может быть произвольным. Действительно:

𝑟𝑜𝑡 �⃗� = 𝑟𝑜𝑡 1

𝜌∇𝑝 =

1

𝜌𝑟𝑜𝑡 ∇𝑝 + [∇

1

𝜌, ∇𝑝] (17)

Здесь использована формула векторного анализа

𝑟𝑜𝑡(𝑐�⃗�) = 𝑐 𝑟𝑜𝑡 �⃗� + [∇𝑐, �⃗�],

где 𝑐 и �⃗� – произвольные скаляр и вектор.

Поскольку 𝑟𝑜𝑡 ∇= 0, получим:

𝑟𝑜𝑡 �⃗� = [∇1

𝜌, ∇𝑝] = [∇

1

𝜌, ρ�⃗�] = ρ [∇

1

𝜌, �⃗�], (18)

откуда следует:

(𝑟𝑜𝑡 �⃗�, �⃗�) = 0 (19)

Это соотношение является необходимым условием для поля сил �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧), при

котором возможно равновесие. Если 𝜌 = 𝜌0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (жидкость однородна), то 𝑟𝑜𝑡�⃗� =0 (в силу(18)), и силы должны быть потенциальны. Поэтому идеальная однородная жидкость может находиться в равновесии только в потенциальном поле внешних массовых сил.

Перейдем теперь к вычислению силы, действующей со стороны покоящейся жидкости на помещенное в нее твердое тело, имеющее объем 𝑉 и ограниченное

поверхностью 𝑆. Эта сила равна:

𝐴 = ∫ �⃗�𝑛

𝑆

𝑑𝑆 (20)

Заменим твердое тело объемом вытесненной им жидкости с распределениями плотности и давления, удовлетворяющими уравнениям равновесия; тогда, очевидно, равновесие окружающей тело жидкости не нарушится. Вычисляя -ую компоненту силы (20), учтем соотношения (1) и (3), справедливые для любой покоящейся жидкости (как идеальной, так и вязкой), и применим формулу Гаусса-Остроградского:

𝐴𝑖 = ∫ 𝜎𝑖𝑘

𝑆

𝑑𝑆𝑘 = ∫(−𝑝𝛿𝑖𝑘)

𝑆

𝑑𝑆𝑘 = ∫𝜕𝜎𝑖𝑘

𝜕𝑥𝑘𝑉

𝑑𝑉 = ∫𝜕

𝜕𝑥𝑘𝑉

(−𝑝𝛿𝑖𝑘)𝑑𝑉 = − ∫𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖𝑉

𝑑𝑉 = − ∫ ∇𝑖

𝑉

𝑝𝑑𝑉 (21)

Отсюда найдем с использованием уравнения Эйлера (13) для равновесного состояния:

𝐴 = − ∫ ∇

𝑉

𝑝𝑑𝑉 = − ∫ 𝜌

𝑉

�⃗�𝑑𝑉 = − ∫ 𝜌

𝑉

�⃗�𝑑𝑉 = −�⃗⃗� (22)

Мы получили закон Архимеда: на тело, погруженное в покоящуюся жидкость, со

стороны жидкости действует подъемная сила, равная весу �⃗⃗� жидкости, вытесненной телом.

Стационарное течение жидкости. Линии тока и трубки тока. Интеграл Бернулли

Рассмотрим такое течение жидкости, при котором в каждой точке жидкой среды скорость течения остается постоянной во времени:

𝜕�⃗�

𝜕𝑡= 0 (23)

В этом случае течение называется стационарным или установившимся. Уравнение Эйлера (5) тогда принимает вид:

(�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� −1

𝜌∇𝑝 (24)

Воспользуемся формулой векторного анализа

[�⃗�, 𝑟𝑜𝑡�⃗�] = −(�⃗�, ∇)�⃗� +1

2∇𝑣2 (25)

и перепишем (24) в виде:

1

2∇𝑣2 − [�⃗�, 𝑟𝑜𝑡�⃗�] = �⃗� −

1

𝜌∇𝑝 (26)

Для дальнейших рассуждений нам понадобится понятие линий тока. Линии тока – это такие линии, касательные к которым в каждой точке совпадают в данный момент времени с направлением вектора скорости в этой точке. Через каждую точку жидкой среды проходит только одна линия тока. Если выделить в жидкости замкнутую кривую линию, то совокупность проведенных через нее линий тока образует трубку тока. При стационарном (установившемся) течении линии тока совпадают с траекториями жидких частиц.

Вернемся к уравнению (26) и рассмотрим сначала однородную жидкость (𝜌 = 𝜌0) в

однородном поле силы тяжести (�⃗� = �⃗�). Вводя потенциал силы тяжести 𝑈 = 𝜌0𝑔𝑧 (ось 𝑧 направлена вертикально вверх), запишем �⃗� = −∇(𝑔𝑧). Уравнение (26) примет вид:

1

2∇𝑣2 − [�⃗�, 𝑟𝑜𝑡�⃗�] + ∇(𝑔𝑧) +

1

𝜌∇𝑝 = 0 (27)

Спроектируем (27) на единичный вектор 𝑙 касательной к линии тока (совпадает с направлением вектора скорости). Поскольку вектор [�⃗�, 𝑟𝑜𝑡�⃗�] ортогонален �⃗�, постольку

([�⃗�, 𝑟𝑜𝑡�⃗�], 𝑙) = 0. Учтем также, что проекция градиента на некоторое направление

равна производной, взятой по этому направлению, то есть

(∇, 𝑙) = ∇𝑙

Тогда окончательно получаем:

∇𝑙 (1

2𝑣2 + 𝑔𝑧 +

𝑝

𝜌) = 0 (28)

Отсюда следует, что величина 1

2𝑣2 + 𝑔𝑧 +

𝑝

𝜌 сохраняет свое значение вдоль линии

тока:

1

2𝑣2 + 𝑔𝑧 +

𝑝

𝜌= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (29)

Значения 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 различны для разных линий тока. Уравнение (29) называется уравнением Бернулли или интегралом Бернулли (это первый интеграл уравнения Эйлера). В таком виде оно справедливо для однородной несжимаемой жидкости.

Интеграл Бернулли существует также и для сжимаемой жидкости, если рассматриваемые процессы баротропны: 𝑝 = 𝑝(𝜌). В этом случае можно ввести функцию 𝑤(𝜌), определяемую равенством

𝑤(𝜌) = ∫𝑑𝑝

𝜌= ∫

1

𝜌

𝑑𝑝

𝑑𝜌𝑑𝜌 (30)

Тогда получим

∇𝑤(𝜌) =1

𝜌∇𝑝 (31)

В формуле (29) нужно заменить 𝑝/𝜌 на функцию 𝑤(𝜌), и интеграл Бернулли для сжимаемой баротропной жидкости примет вид:

𝑣2

2+ 𝑔𝑧 + 𝑤 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (32)

Такую же замену можно произвести и в самом уравнении Эйлера:

𝑑�⃗�

𝑑𝑡= �⃗� − ∇𝑤 (33)

𝜕�⃗�

𝜕𝑡+ (�⃗�, ∇)�⃗� = �⃗� − ∇𝑤 (34)