Metode Peramalan Deret Waktu

Proses pemodelan Box & Jenkins

1. Spesifikasi/identifikasi model

Penentuan model tentatif berdasarkan data contoh untukmengidentifikasi nilai 𝑝 dan 𝑞

2. Model fitting

pendugaan parameter model ARMA(p,q) yang diidentifikasi

3. Diagnostik model

memeriksa sisaan model untuk melihat kelayakan model

Untuk pengamatan 𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛 , berlaku:

dengan 𝑟𝑘 merupakan penduga bagi 𝜌𝑘 .

Jika 𝑌𝑡 adalah deret waktu yang berdistribusi normal, maka:

𝜙𝑘𝑘 = 𝐶𝑜𝑟𝑟 𝑌𝑡 , 𝑌𝑡−𝑘 𝑌𝑡−1, 𝑌𝑡−2, … , 𝑌𝑡−𝑘+1

Misal:

fungsi linear 𝛽1𝑌𝑡−1 + 𝛽2𝑌𝑡−2 +⋯+ 𝛽𝑘−1𝑌𝑡−𝑘+1 prediksi 𝑌𝑡

PACF pada lag ke-𝑘 korelasi antara galat prediksi

Persamaan yule-walker:

𝜌𝑗 = 𝜙𝑘1𝜌𝑗−1 + 𝜙𝑘2𝜌𝑗−2 +⋯+ 𝜙𝑘𝑘𝜌𝑗−𝑘 ,untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑘

catatan:

𝜌𝑗 = 𝜌−𝑗 ; 𝜌0 =1

𝜌𝑘 ACF

𝜙𝑘𝑘 PACF

𝜙𝑘𝑘 penduga bagi 𝜙𝑘𝑘

dengan:

Misal diketahui data berikut:

4, 2, 5, 1

Tentukan ACF 𝑟1, 𝑟2 dan PACF 𝜙11, 𝜙22berdasarkan data contoh di atas.

𝑟1 = 𝑡=1+14 𝑌𝑡 − 𝑌 𝑌𝑡−1 − 𝑌

𝑡=14 𝑌𝑡 − 𝑌

2

𝑟1 =2 − 3 4 − 3 + 5 − 3 2 − 3 + 1 − 3 5 − 3

4 − 3 2 + 2 − 3 2 + 5 − 3 2 + 1 − 3 2

𝑟1 =−7

10= −0.7

𝑟2 = 𝑡=2+14 𝑌𝑡 − 𝑌 𝑌𝑡−2 − 𝑌

𝑡=14 𝑌𝑡 − 𝑌

2=

5 − 3 4 − 3 + 1 − 3 2 − 3

4 − 3 2 + 2 − 3 2 + 5 − 3 2 + 1 − 3 2= 0.4

𝑌 =1

44 + 2 + 5 + 1 = 3

Persamaan Yule-Walker:

𝜌1 = 𝜙21𝜌0 + 𝜙22𝜌1 ↔ 𝜙21 = 𝜌1−𝜙22𝜌1

𝜌2 = 𝜙21𝜌1 + 𝜙22𝜌0

↔ 𝜌2 = 𝜌1−𝜙22𝜌1 𝜌1 + 𝜙22𝜌0

↔ 𝜌2 = 𝜌12 − 𝜙22𝜌1

2 + 𝜙22

↔ 𝜙22 =𝜌2 − 𝜌1

2

1 − 𝜌12

𝜙11 = 𝑟1 = −0.7

𝜙22 =𝑟2 − 𝑟1

2

1 − 𝑟12=0.4 − −0.7 2

1 − −0.7 2= −0.176

AR(𝒑) MA(𝒒)ARMA(𝑝, 𝑞),

𝑝 > 0, dan 𝑞 > 0

ACF Tails offCuts off setelah

lag qTails off

PACF

Cuts off setelah

lag p Tails off Tails off

Catatan: ACF atau PACF turun secara perlahan tidak stasioner

𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃𝑒𝑡−1

𝑌𝑡 = 𝑒𝑡 − 𝜃1𝑒𝑡−1 − 𝜃2𝑒𝑡−2

Galat baku bagi 𝑟𝑘 adalah 𝑆𝑟𝑘 =1

𝑛,

dengan n menyatakan banyaknya data contoh

Hipotesis 𝐻0: 𝜌𝑘 = 0 ditolak jika 𝑟𝑘 >

2𝑆𝑟𝑘 atau 𝑟𝑘 >2

𝑛

𝑌𝑡 = 𝜙𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡

Hipotesis 𝐻0: 𝜙𝑘𝑘 = 0 ditolak jika 𝜙𝑘𝑘 >2

𝑛

1. Cryer JD, Chan KS. 2008. Time Series Analysis with Application with R. New York: Springer.

2. Pustaka lain yang relevan.