ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 2012ნიკოლოზ ოსტაპენკო

Mლექცია 10დროითი მწკრივების ანალიზი

ბოქსი-ჯენკინსის მიდგომა და ARMAმოდელი

ARMA მოდელის აგებისათვის ბოქსმა და ჯენკინსმა შეიმუშავეს შემდეგი პროცესი”

პირველი ეტაპი – მოდელის იდენტიფიკაცია

1. ინტეგრაციის რიგის ჩამოშორება – მწკრივის სტაციონალურობის მიღწევა – “სტაციონარიზაცია”

2. ავტოკორელაციური ფინქციების (SACF და SPACF) საშუალებით ARMA (p,q) მოდელის განსაზღვრა.

მეორე ეტაპი – მოდელის კოეფიციენტების შეფასება

მესამე ეტაპი – ნარჩენობითი წევრის გამოკვლევით აგებული მოდელის ვარგისიანობის ტესტირება (შეფასება)

მეოთხე ეტაპი – მოდელის გამოყენება მომავალი პერიოდის პროგნოზირებისათვის.

ბოქსი–ჯენკინსის მიდგომა

მოდელილს იდენტიფიკაცია(სტაციონარიზაცია)განვიხოლოთ მოდელის:

თუ მაშინ პროცესი არ არის სტაციონალური და ასეთ პროცეს “შემთხვევითი ხეტიალი” ეწოდება.

თუ მაშინ პროცესი არ არის სტაციონალური და ასეთ პროცეს “ფეთქებადი” ეწოდება. მისი ავტოკორელაციური ფუნქცია ზრდადია ლაგის ზრდასტან ერთად.

სტაციონარიზაცია

პირველ შემთხვევაში სტაციონარიზაცია ხდება პირველი სხაობის აღების შემდეგ:

მეორე შემთხვევაში პირველი სხაობის აღებას არ მივავართ მწკრივის სტაციონალურობამდე

ttt XX 1

1

1

ttt yX 1

მოდელის იდენტიფიკაცია(სტაციონარიზაცია)განვიხოლოთ მოდელი:

ავიღოდთ მოდელის პირველი სხაობები:

მწკრივის ტრენდით დახასიათების ხარისხი შემცირდა ერთით

ავიღოთ მოდელის მეორე სხვაობები:

მწკრივი გათავისუფლდა ტრენდისაგან. ჩვენ ვხედავთ რომ მოდელში

აღწევს მცურავი საშუალოს პროცესი .

tt ttX 2

)(2

)1()1(

1

122

tt

ttt

t

ttttX

)2(2 2112

tttttt XXX

)2(MA

მოდელილს იდენტიფიკაცია

მოდელის იდენტიფიკაციის ეტაპზე უნდა განვსაზღვროთ რომელიღაცა კერძო შემთხვევა ARMA (ρ ,q ) კლასის მოდელებიდან ანუ უნდა განვსაზღვროთ ρ და q. პირველი ეტაპი არის მწკრივის კერძო ავტოკორელაციური (PACF) და ავტოკორელაციური (ACF) ფუნქციების ანალიზი. წარმოადგენს იულა–უოლკერის განტოლებათა სისტების ამონახსენს:

შერჩევითი ავტოკორელაცია:p

partp

p

a

kpkakakak

0),()2()1()( 21

T

tt

kT

tktt

xxk

xxxxkT

k

1

2

1

)(1

))((1

)(

მოდელილს იდენტიფიკაცია

კრამერის წესი

11

0 1

part

part

1

1

1

1

1

121

3412

231

121

121

3412

231

121

kk

k

k

k

kkk

k

k

k

partk

მოდელილს იდენტიფიკაცია

ჰიპოთეზა უარყოფილია თუ:

ჰიპოთეზა უარყოფილია თუ:

p პარამეტრის განსაზღვრა:

PACF- ოსცილირებულია თუ მონოტონურად მცირდება p ლადიდან დაწყებული. q პარამეტრის განსაზღვრა:

ACF– ოსცილირებულია თუ მონოტონურად მცირდება p ლადიდან დაწყებული

)(:0 pARxH t

)(:0 qMAxH t

pkT

partk ,

2

qkT

k ,2

მოდელილს იდენტიფიკაცია

მაგალითად T=499 0.08952

T

მოდელილს იდენტიფიკაცია

AR(2)

ARMA(1,1)

მოდელილს იდენტიფიკაცია

მოდელილს იდენტიფიკაციაკერძო ავტოკორელაციური ფუნქციის გრაფიკები ARMA (4,q)

მოდელილს იდენტიფიკაციაავტოკორელაციური ფუნქციის გრაფიკები ARMA (4,q)

მოდელილს იდენტიფიკაცია

Еvews-ში ACF–ის და PACF–ის ამონაწერებს ახლავთ Q-სტატისტიკაც, რომელც მწკრივის ტესტირებას ახდენს თეთრ ხმაურთან დაკავშირებით. არის თუ არა მწკრივი თეთრი ხმაური. არსებობს Q-სტატისტიკსი რამოდენიმე ვარიანტი. ერთ ერთ ასეთი სტატისტიკაა ლუნგა–ბოქსის(Ljung, Box) სტატისტიკა, რომელიც გამოიყენება Eviews–ის პაკეტში:

M

k kT

kTTQ

1

2 )()2(

Еvews-ში Q-სტატისტიკა მოცემულია ალბათობების მნიშვნელობებით. თუმცა აღნიშნული სტატისტიკები ARMA მოდელის იდენტიფიცირებისათვის და შეფასებისათვის არასეკმარისია და ხშირად სხვა პროცედურებს მივმართავთ.

მოდელილს იდენტიფიკაცია (ავტორეგრესიული პროცესის შეფასება)

აკაიკეს (Akaike) კრიტერიუმი

შვარცის (schwarz) კრიტერიუმი

ჰენან–კუინის (Hannan-Quinn) კრიტერიუმი

TkkAIC k

2ˆln)( 2

T

TkkSIC k

lnˆln)( 2

T

TkkHQ k

lnln2ˆln)( 2

მოდელილს იდენტიფიკაცია

მაგალითად განვიხილოთ AR მოდელი. მოცემულია რაღაც სტაციონალური მწკრივი

0.0892

T

მოდელილს კოეფიციენტების შეფასება

უმცირეს კვადრატთა მეთოდის და მაქსიმალური დასაჯერებლობის მეთოდის გამოყენებით ფასდება მოდელი.

შესაძლოა ტესტებით მიღებული შედეგაბი იყოს წინააღმდეგობრივი

მოდელილს კოეფიციენტების შეფასება

AR(3) და AR(4) შემთხვევებში მეოთხე და მესამე ლაგის კოეფიციენტები მოყვანილის მნიშვნელოვნების დონეებში

მოდელი ცვლადების კოეფიციენტები

Xt-1 Xt-2 Xt-3 Xt-4

AR(2) 1.26 -0.4

AR(3) 1.25 -0.39 P=0.87

AR(4) 1.25 -0.4 P=0.72 P=0.56

ნარჩენობითი წევრის გამოკვლევანარჩენობითი წევრის გამოკვლევა გულისხმობს იმის შემოწმებას სტაციონალურობაზე და ნორმალურობაზე . მაგალითად ნარჩენობითი წევრი ავტოკორელაციური მოდელი.

ხარკე–ბერის ტესტი – საშუალებას გვაძლევს შევაფასოთ, ნორმალურად არის თუ არა ნარჩენობითი წევრი განაწილებული. იგი გამოითვლება ექსცესის და ასიმეტრიის კოეფიციენტების გამოყენებით. და მისი განაწილება არის χ2(2).

სადაც, k-მოდელში შესაფასებელი პარამეტრების რაოდენობა.