МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ___.___

ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.В. Кавчук

СБОРНИК ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Руководство для практических занятий на базе Mathcad 6.0 Plus

Таганрог 2001

2

УДК 621.391.2(07)

Кавчук С.В. Сборник примеров и задач по теории сигналов: Руко-водство для практических занятий на базе Mathcad 6.0 Plus. Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2001. 189с.

Рассмотрены основные понятия и расчетные соотношения теории

детерминированных и случайных сигналов для практических занятий по темам: спектральное представление сигналов, анализ прохождения сигналов через линейные устройства, аналого-цифровое преобразова-ние и сжатие данных.

Приводятся примеры решения типовых задач с использованием программного обеспечения Mathcad 6.0 Plus. Дается набор типовых задач с ответами.

Руководство предназначено для улучшения качества изучения курса “Теоретические основы информационно-измерительной техники” и других дисциплин, содержащих разделы теории сигналов.

Табл. 2. Ил. 155. Библиогр.: 14 назв. Рецензент С.В. Николаев, канд. техн. наук, доцент кафедры АСНИиЭ

ТРТУ.

3

1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

1.1. Спектральные характеристики периодических сигналов

1.1.1. Основные понятия и соотношения Условие периодичности — x(t) = x(t+mT), где T — период, m - нату-

ральное число, m= 1, 2, .... Любой периодический сигнал x(t) может быть представлен тригономет-

рическим рядом Фурье

∑∑∞

=

∞

=

ϕ+ω+=ω+ω+=1k

k1k01k

1k1k0 )tkcos(Aa)tksinbtkcosa(a)t(x (1.1)

где ω π1

2= T — угловая частота 1-й или основной гармоники; a a k k0, и b —

коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

aT

x t dtt

t T

н

н

01

=

+

∫ ( ) ; aT

x t k tdtkt

t T

н

н

=

+

∫2

1( )cos ω ; bT

x t k tdtkt

t T

н

н

=

+

∫2

1( ) sin ω ;

A a bk k k= +2 2 ; ϕkk

k

arctgba

k= − =, , , ...12 3 ,

где A k — амплитуда k-й гармоники; ϕ k — фаза k-й гармоники; a 0 —

среднее значение сигнала (постоянная составляющая); k kω ω1 = — угло-

вая частота k-й гармоники; t н — момент времени, соответствующий на-

чалу периода. Зависимости A k и ϕ k от частоты ω k — это спектры амплитуд и фаз

соответственно. В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье

∑∞

−∞=

ω=k

tjkk 1eA

21)t(x & . (1.2)

Коэффициенты kA& ряда (1.2) вычисляются по формуле

∫+

ω−=Tt

t

tjkk

н

н

1 dte)t(xT2A& . (1.3)

4

Формулы (1.2) и (1.3) — пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов kj

kk eAA ϕ=& — комплексный спектр периодического сиг-

нала x(t). Совокупность действительных величин kk AA &= в зависимости

от частоты — спектр амплитуд. Совокупность величин ϕ k в зависимости от

частоты — спектр фаз. Ряд (1.2) удобно представлять в форме

∑∞

−∞=

ω=k

tjkk 1eC)t(x & , (1.4)

где ∫+

ω−==Tt

t

tjkkk

н

н

1 dte)t(xT1

2A

C&

& . (1.5)

1.1.2. Типовые примеры Пример 1.1.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала x( )t , анали-

тическое выражение которого при исходных данных V m..4 volt sec 1,

T .2 sec и t 0.1 sec имеет вид

x ( )t if.V m t t 0 <<T t 0

if.V m t t 0 <<0 t T

if.V m t .3 t 0 <<T t .2 T

otherwise0

.

График сигнала при диапазоне изменения времени

t ..,.1.5 T .1.5 TT

500.2 T представлен на рис.1.1.1.

4 2 0 2 4 6

5

5

sec

volt x( )t

t

Рис.1.1.1

Здесь: if читается как “если”; otherwise - в остальных

случаях.

5

Решение. Так как данный сигнал - периодическая функция времени, то для его спектрального представления нужно использовать или тригонометри-ческий или комплексный ряд Фурье. Найдем спектры амплитуд и фаз на ос-нове тригонометрического ряда Фурье.

Определим коэффициенты разложения сигнала на интервале t ..0 T

при угловой частоте основной (первой) гармоники ω 1.2 π

T

( =ω 1 3.142radsec

) и числе гармоник k ..1 5.

1) Постоянная составляющая

a 0.1

Td

0

Tt.V m t t 0 ,

=a 0 0 volt.

2) Косинусоидальный коэффициент (k 1)

ak.2

Td

0

Tt..V m t t 0 cos ..k ω 1 t .

Подстановка численных значений V m, T и ω 1 дает

ak.2

.2 secd

.0 sec

.2 sec

t...4voltsec

( )t .1 sec cos ...k π1

sect .

В результате интегрирования получим

ak..4 volt( )cos ( )..2 k π ..k π sin ( )..2 k π 1

( ).k2 π 2.

Например, =a1 0 volt; =a2 0 volt; =a3 0 volt; =a4 0 volt. Более удобна другая форма определения коэффициентов разложения.

Так как

ω 1.2 π

T и t 0

T2

,

то выражая t 0 и ω 1 через T, имеем

ak.2

Td

0

T

t..V m tT2

cos ..k.2 π

Tt ;

6

ak...1

2T V m

( )cos ( )..2 k π ..k π sin ( )..2 k π 1

( ).k2 π 2.

Отсюда следует, что при k>0 коэффициенты ak равны нулю. 3) Cинусоидальный коэффициент (k 1)

bk.2

Td

0

Tt..V m t t 0 sin ..k ω 1 t .

Выражая t 0 и ω 1 через T, можно получить

bk.2

Td

0

T

t..V m tT2

sin ..k.2 π

Tt ;

bk...1

2T V m

( )sin ( )..2 k π ..k π cos ( )..2 k π .k π

( ).k2 π 2.

Отсюда после упрощений следует

bk

.T V m.k π

при k>0.

Амплитуда k-й гармоники

Sk ak2 bk

2

при k 1 будет

Sk

.T V m.k π

.

Таким образом, с учетом постоянной составляющей амплитудный спектр A( )k ifC 0 k 0

ifS( )k k 0

.

Фазовый спектр

φ k atanbk

ak

.

Так как коэффициенты ak=0 и bk<0, то φ k atan ( )∞ и составит, например

для k=1, =φ 1 1.571 rad . Графики данных спектров в виде столбчатых диаграмм приведены на

рис.1.1.2 и 1.1.3.

7

0 2 4 6

2

4

номер гармоники

volt Ak

k

0 2 4 6

1

2

номер гармоники

rad φk

k

Рис.1.1.2 Рис.1.1.3 Пример 1.1.2. Построить спектры амплитуд и фаз периодического сиг-

нала x( )t , заданного в примере 1.1.1, на основе комплексного ряда Фурье при исходных данных:

V m..4 volt sec 1 ; T .2 sec; t 0

.1 sec. Решение. Аналитическое выражение сигнала на интервале, равном пе-

риоду, имеет вид x( )t .V m t t 0 , t ..0 T.

Определим согласно (1.5) комплексные коэффициенты разложения сиг-нала в ряд (1.4) на интервале t ..0 T при угловой частоте основной (пер-

вой) гармоники ω 1.2 π

T (ω 1

.π1

sec) и числе гармоник N 5.

Подстановка в (1.5) выражения для сигнала и соотношений ω 1.2 π

T,

t 0T2

дает комплексные коэффициенты разложения

C( )k .1T

d

0

T

t..V m tT2

e...j k

.2 πT

t;

C( )k ..14

j..T V m

..e...2 j k π k π .j e

...2 j k π j .k π

( ).k2 π 2.

При k=0 имеем неопределенность С 000

. Раскрывая неопределен-

ность по правилу Лопиталя

8

assume ,T V m

lim0k

..14

j..T V m

..e...2 j k π k π .j e

...2 j k π j .k π

( ).k2 π 20,

можно найти =C( )0 0 volt. Значение постоянной составляющей С 0, равное C( )0 , можно также

получить, подставляя k=0 непосредственно в формулу (1.5). Тогда постоянная составляющая

C 0.1

Td

0

T

t.V m tT2

, отсюда =C 0 0 volt.

Спектр периодического сигнала x( )t на основе комплексного ряда Фу-рье является двухсторонним, т.е. определяется на положительных и отрица-тельных частотах. Поэтому k ..N N и, например,

=C( )1 1.273j volt ; =C( )0 0 volt ; =C( )1 1.273j volt. Для нахождения амплитудного и фазового спектра найдем действитель-

ную D( )k и мнимую M ( )k части комплексного коэффициента C(k)=D(k)+jM(k):

D( )k ...14

T V m( )..sin ( )..2 k π k π cos ( )..2 k π 1

( ).k2 π 2;

M ( )k ...14

T V m( )sin ( )..2 k π ..k π cos ( )..2 k π .k π

( ).k2 π 2.

Например, при k=1 имеем =D( )1 0 volt и =M ( )1 1.273 volt. Амплитудный спектр есть модуль комплексных коэффициентов, т.е.

A( )k C( )k . Так как sin ( )..2 k π 0 и cos ( )..2 k π 1 при любых k , то для k 1 действи-тельная часть D( )k .0 volt и мнимая часть

M ( )k.T V m

..2 k π.

Тогда амплитудный спектр, определяемый как S( )k D ( )k 2 M ( )k 2, будет

S( )k .12

.T V m.k π

при k 1.

В конечном итоге с учетом особой точки k=0 (постоянной составляющей) амплитудный спектр

9

A( )k ifC 0 k 0

ifS( )k k 0

.

Фазовый спектр − это аргумент комплексных коэффициентов разложе-ния, т.е. arg ( )C( )k . Он определяется как арктангенс отношения мнимой части к действительной части комплексного коэффициента разложения, т.е.

φ ( )k atanM ( )kD ( )k

или φ ( )k atan( )..k π cos ( )..2 k π sin ( )..2 k π .k π

( )..k π sin ( )..2 k π cos ( )..2 k π 1.

Например, =φ ( )1 1.571 , =φ ( )0 0 , =φ ( )1 1.571 . Найдем значение фазы φ 0 в точке k=0, раскрывая неопределенность по

правилу Лопиталя

lim0k

atan( )..k π cos ( )..2 k π sin ( )..2 k π .k π

( )..k π sin ( )..2 k π cos ( )..2 k π 1.1

2π .

Значение предела φ 0.1

2π .

Теперь для k 1, учитывая равенства sin ( )..2 k π 0 и cos ( )..2 k π 1, можно упростить выражение для фазового спектра. В результате получим

φ ( )k atan..2 k π

0.

Итак, с учетом знака номера гармоники k, значений atan ( )∞ .12

π и

atan ( )∞ .12

π , а также особой точки k=0 выражение для фазового спек-

тра принимает вид

φ ( )k ifπ

2k 0

ifπ

2<k 0

.

Так как при любых k функция e...2 j k π равна 1, то выражение для ком-

плексных коэффициентов разложения можно упростить

10

C( )k ifC 0 k 0

if.j.T V m

..2 k πk 0

.

Графики данных спектров в виде точечных диаграмм приведены на рис.1.1.4 и 1.1.5, где пунктиром показаны огибающие спектров.

6 4 2 0 2 4 6

1

2

номер гармоники

volt C( )k

C( )k

k

Рис.1.1.4

6 4 2 0 2 4 6

2

2

номер гармоники

rad

φ( )k

φ( )k

k

Рис.1.1.5

1.1.3. Типовые задачи Задача 1.1.1. Разложить функцию x ( )t t, 0 t 1 в тригонометри-

ческий ряд Фурье на интервале ( ),0 1 .

Ответ. Коэффициенты разложения a 012

, ak 0 и bk

1.k π

.

Ряд Фурье (1.1) при числе гармоник k = 0 1 2, , имеет вид

11

x ф( )t12

.1π

= 1

2

k

sin ( )...2 k π tk

.

Задача 1.1.2. Разложить функцию x ( )t t из примера 1.1.1 в экспо-

ненциальный ряд Фурье на интервале ( ),0 1 . Ответ. Коэффициенты разложения

С012

и Сk ifС0 k 0

ifj

..2 k πk 0

.

Экспоненциальный ряд Фурье (1.4) при числе гармоник m 5 имеет вид

x ф( )t12

.j.2 π

= m

1

k

.1k

e....j k 2 π t

= 1

m

k

.1k

e....j k 2 π t .

Задача 1.1.3. Построить амплитудный спектр периодической последо-

вательности идеальных прямоугольных импульсов z(t), график которой при-веден на рис.1.1.6, на базе тригонометрического ряда Фурье.

4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

ms

volt

.1.5 volt

z( )t

.t 103

Рис.1.1.6

Ответ. При единице времени одна миллисекунда ms .10 3 sec, номе-рах гармоник k ..0 5, амплитуде U m

.1.5 volt, периоде T .2 ms, час-

тоте 1-й гармоники f 11T

и k-й гармоники fk.k f 1

амплитудный спектр

12

Ak if.12

U m k 0

if.sin ..1

2k π

( ).k πU m k 0

.

График амплитудного спектра в виде столбчатой диаграммы приведен на рис.1.1.7.

0 500 1000 1500 2000 2500

1

герц

вольт

.0.477 volt

.0.75 volt

Ak

fk

Рис.1.1.7

Задача 1.1.4. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала u(t) на выходе однополупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фу-рье. График сигнала показан на рис.1.1.8.

3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

sec

volt

U mu( )t

t

Рис.1.1.8 Ответ. Амплитудный спектр

A u( )k if.14

U m k 1

if...12

2 U mcos ( ).k π 1

.π ( )k2 1k 1

.

( )sin ω0t

13

Фазовый спектр φ u( )k ifπ

2( )cos ( ).k π 1 0

otherwise0

.

Задача 1.1.5. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала s(t) на

выходе двухполупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фу-рье. График сигнала показан на рис.1.1.9.

3 2 1 0 1 2 3

2

4

ms

volt U ms( )t

.t 103

Рис.1.1.9 Ответ. Амплитудный спектр

A s( )k.2 U m

.π .4 k2 1 .

Фазовый спектр φ s( )k atansin ( )..2 k π

( )cos ( )..2 k π 1 .

Задача 1.1.6. Найти амплитудный и фазовый спектры периодической

последовательности идеальных прямоугольных импульсов p(t), график кото-рой приведен на рис.1.1.10, на базе комплексного ряда Фурье.

0.15 0.1 0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

2

2

msvo

lt

U m

U mp( )t

.t 103

Рис.1.1.10 Ответ. Амплитудный спектр

( )sin ω0t

14

A p( )k if0 k 0

if..12

U m.2 cos ( ).k π 1 cos ( )..2 k π

.k πk 0

.

Фазовый спектр φ p( )k atan .2( )1 cos ( ).π k

( ).2 sin ( ).π k sin ( )..2 π k.

1.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов

1.2.1. Основные понятия и соотношения Спектральное представление можно обобщить на случай, когда функция

x(t) — непериодическая, т.е. T→∞. В этом случае применяется интегральное преобразование Фурье

x t F j e dt F jj t( ) ( ) [ ( )]= = −

−∞

∞

∫1

21

πω ωω Φ (обратное), где (1.6)

F j x t e dt x tj t( ) ( ) [ ( )]ω ω= =−

−∞

∞

∫ Φ (прямое). (1.7)

Здесь Ф и Ф-1 - обозначения прямого и обратного оператора Фурье . Формулы (1.6) и (1.7) — пара интегральных преобразований Фурье.

Функция F(jω) называется спектральной функцией или комплексным спектром непериодического сигнала. Она определена при положительных и отрицательных частотах.

Спектральную функцию можно представить в виде F j a jb A e j( ) ( ) ( ) ( ) ,( )ω ω ω ω ϕ ω= + = (1.8)

где A a b F j( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω= + =2 2 - спектр амплитуд;

ϕ ωωω

( ) ( )( )

= arctg ba

- спектр фаз.

1.2.2. Типовые примеры Пример 1.2.1. Найти спектр функции x( )t , заданной на интервале

-τ/2<t<τ/2, при исходных данных: U m 0.5 ; τ 2; возможная периодич-

ность повторения T .2 τ (рис.1.2.1). Аналитическое выражение функции

15

x( )t ifU mτ

2t

τ

2

otherwise0

6 4 2 0 2 4 6

1

x( )t

τ2

τ2

t

Рис.1.2.1 Решение. Поскольку функция представляет собой непериодическую

функцию времени, найдем ее спектральную функцию (комплексный спектр) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Оперируя безраз-мерными величинами, следует помнить, что спектральная функция характе-ризует спектральную плотность амплитуд и фаз элементарных комплексных

гармонических колебаний e..j ω t. Она имеет для сигнала в виде напряжения

размерность вольт × секунда. Угловая частота ω имеет размерность ради-ан/секунда.

Так как заданная функция является четной, то ее спектр должен быть вещественной функцией. Для представления вещественной функции достато-чен один график.

Интегральное преобразование Фурье

F x( )ω dτ

2

τ

2t.U m e

..j ω t .

Интегрирование дает действительную функцию

F x( )ω ..2 U m

sin ..12

ω τ

ω.

Полученное выражение запишем в компактной форме, введя определе-ние функции отсчетов

Sa ( )zsin ( )z

z.

Тогда, умножая числитель и знаменатель спектральной функции на τ/2, ее можно записать в виде

16

F x( )ω ..U m τ Sa.ω τ

2.

Эта спектральная функция при ω=0 имеет неопределенность вида 0/0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя

assume τ

lim0ω

..U m τ

sin ..12

ω τ

..12

ω τ

.U m τ , причем lim0ω

sin ..12

ω τ

..12

ω τ

1.

График спектральной функции приведен на рис.1.2.2 при T .2 τ , из-менении угловой частоты ω с шагом в долях частоты первой гармоники

ω 1.2 π

T и числе гармоник R 12 (в случае периодического продолже-

ния), а именно при ω ..,.R ω 1.R ω 1

ω 1100

.R ω 1.

20 10 0 10 20

1.U m τ

F x( )ω

.2 π

τ

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.8 Амплитудный спектр определяется как модуль спектральной функции,

т.е. A x( )ω F x( )ω .

Переход от действительной и знакопеременной спектральной функции F x( )ω к амплитудному спектру A x( )ω требует введения фазового спектра.

При взятии модуля спектральная функция изменяет фазу на 1800=π (при

M 4 и k ..1 M ) в точках ω k.( ).2 k

π

τ, когда значения <Sa

.ω τ

20.

Таким образом, фазовый спектр

17

φ x( )ω ifπ <Sa.ω τ

20

otherwise0

.

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.3 и 1.2.4.

20 10 0 10 20

1Амплитудный спектр функции x(t)

A x( )ω.2 π

τ

.4 π

τ

ω

Рис.1.2.3

20 10 0 10 20

2

4

φ x( )ω

ω

Рис.1.2.4 Отсюда следует спектральная функция в экспоненциальной форме

(рис.1.2.5)

expF x( )ω .A x( )ω e.j φ x( )ω

.

20 10 0 10 20

1.U m τ

expF x( )ω

.2 π

τ

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.5

18

Пример 1.2.2. Найти спектр синусоидальной функции z(t) , заданной на интервале -τ/2< t <τ/2, при исходных данных: амплитуда U m 0.5 ;

длительность τ 0.2 ; при N 8 частота f 0Nτ

или ω 0..2 π f 0; воз-

можная периодичность повторенияT .2 τ (рис.1.2.6 при

t ..,.0.4 T .0.4 TT

500.0.4 T).

Аналитическое выражение функции

z ( )t if.U m sin .ω 0 tτ

2t

τ

2

otherwise0

0.2 0.1 0 0.1 0.2

1

1

U m

U m

z( )t

τ2

t

Рис.1.2.6 Решение. Интегральное преобразование Фурье

F z ( )ω dτ

2

τ

2t..U m sin .ω 0 t e

..j ω t .

Представим подынтегральное выражение в экспоненциальной форме. Со-гласно формуле Эйлера, имеем

assume ω 0 complex

e..j ω 0 t

e..j ω 0 t

.2 jsin .ω 0 t .

Тогда интеграл приводится к виду

19

F z ( )ω .U m

.2 jd

τ

2

τ

2te

..j ω ω 0 t.

U m.2 j

dτ

2

τ

2te

..j ω ω 0 t.

С учетом введения функции отсчетов

Sa ( )zsin ( )z

z

после интегрирования получим

F z ( )ω ..j.U m τ

2Sa ..1

2ω ω 0 τ Sa ..1

2ω ω 0 τ .

Так как функция z(t) является нечетной, то ее спектр представляется чисто мнимой функцией Fz(ω)=jMz(ω), где мнимая часть

M z ( )ω ..U m τ

2Sa ..1

2ω ω 0 τ Sa ..1

2ω ω 0 τ .

График мнимой части спектральной функции приведен на рис.1.2.7 при

R 2 и ω ..,.R ω 0.R ω 0

ω 0200

.R ω 0.

600 400 200 0 200 400 600.U m τ

2

.U m τ

2M z( )ω

ω 0 ω 0

ω

Рис.1.2.7

Учитывая соотношение e.jπ2 j , спектральную функцию можно запи-

сать в экспоненциальной форме

F z ( )ω .M z ( )ω e.jπ2 .

Экспоненциальный множитель здесь определяет фазовый спектр

φ 1 z ( )ωπ

2.

20

Амплитудный спектр − это модуль спектральной функции, т.е. A z ( )ω F z ( )ω

или A z ( )ω M z ( )ω .

Переход от знакопеременной мнимой части M z ( )ω спектральной

функции F z ( )ω к амплитудному спектру A z ( )ω требует введения допол-

нительного фазового спектра. При взятии модуля функция M z ( )ω изменяет

фазу на 1800=π в точках, когда <M z ( )ω 0. Поэтому дополнительный фазо-вый спектр

φ 2 z ( )ω ifπ <M z ( )ω 0

otherwise0

.

Полный фазовый спектр синусоидальной функции z(t) принимает вид φ z ( )ω φ 1 z ( )ω φ 2 z ( )ω .

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.8 и

1.2.9 при R 2 и ω ..,.R ω 0.R ω 0

ω 0200

.R ω 0.

600 400 200 0 200 400 600

.U m τ

2

A z( )ω

ω 0 ω 0

ω

Рис.1.2.8

600 400 200 0 200 400 600

2

4

6.3 π2

π2

φ z( )ωω 0 ω 0

ω

Рис.1.2.9 В конечном итоге спектральную функцию можно выразить через ампли-

тудный и фазовый спектры, представив ее в экспоненциальной форме

F z ( )ω .M z ( )ω e.j φ z( )ω

.

21

Эту задачу можно также решить, используя теорему о переносе спектра. В нашем случае функция z(t) есть результат умножения функции x(t) из при-мера 1.2.2 на синусоиду sin .ω 0 t . Последняя, согласно соотношению Эйле-ра, представляется с точностью до множителя 1/2j разностью двух экспонент

e..j ω 0 t и e

..j ω 0 t. Поэтому на основании теоремы спектр функции z(t) будет

представлять собой разность двух спектров, а именно спектра функции x(t), перенесенного на частоту +ω0, и спектра функции x(t), перенесенного на час-тоту -ω0. Одновременно при переносе значения исходного спектра уменьша-ются в два раза за счет множителя 1/2j. На основании изложенного, зная спектр функции x(t)

F x( )ω ..U m τ Sa.ω τ

2 ,

спектр функции z(t) можно записать следующим образом:

F z ( )ω .1.2 j

F x ω ω 0 F x ω ω 0 .

График мнимой части спектральной функции Fz(ω), соответствующей этой форме записи, приведен на рис.1.2.10. Он аналогичен графику на рис. 1.2.7.

600 400 200 0 200 400 600.U m τ

2

.U m τ

2

Im F z( )ω

ω 0 ω 0

ω

Рис.1.2.10 Пример 1.2.3. Построить спектры амплитуд и фаз одиночного прямо-

угольного видеоимпульса P ( )t при исходных данных: амплитуда U m

.0.8 volt; длительность τ .0.1 sec; начальный момент времени

t 0.0 sec; возможная периодичность повторения T .2 τ (рис.1.2.11 при

t ..,.1.5 T .1.5 TT

500.2 T).

22

Математическая модель сигнала P ( )t ifU m 0 t τ

otherwise0

P t( )

t0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

1

sec

volt

Рис.1.2.11 Решение. Поскольку сигнал представляет собой непериодическую

функцию времени, найдем спектральную функцию (комплексный спектр) импульса P(t) на основании интегрального преобразования Фурье (1.7). Так как сигнал - нечетная функция, то его спектр должен быть комплексной функ-цией.

Интегральное преобразование Фурье

F p( )ω d0

τ

t.U m e..j ω t ;

F p( )ω .j.U m exp ( )..j ω τ U m

ω

или при записи в форме a+jb

F p( )ω .U msin ( ).ω τ

ω.j

.U m cos ( ).ω τ U mω

.

Например, =F p( ).1 sec 1 0.08 0.004j sec volt.

Отсюда следуют:

1) действительная часть D p( )ω .U msin ( ).ω τ

ω;

2) мнимая часть M p( )ω.U m cos ( ).ω τ U m

ω.

Данная спектральная функция при ω=0 имеет неопределенность вида 0/0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя

lim0ω

.U msin ( ).ω τ

ω.j

.U m cos ( ).ω τ U mω

.

23

Значение предела будет .U m τ . Таким образом, при ω=0 значение спектраль-

ной функции F0 p.U m τ .

Амплитудный спектр сигнала определяется как модуль спектральной функции, т.е.

A p( )ω F p( )ω или

A p( )ω .U msin ( ).ω τ

ω

2 .U m cos ( ).ω τ U mω

2

;

A p( )ω ..2 U mcos ( ).ω τ 1

ω.

С учетом особой точки ω=0 амплитудный спектр представляется выра-жением

A p( )ω if.U m τ ω 0

otherwise..2 U mcos ( ).ω τ 1

ω

.

Фазовый спектр (как аргумент спектральной функции)

φ p( )ω arg F p( )ω или φ p( )ω atan

M p( )ω

D p( )ω;

Подстановка действительной и мнимой частей спектральной функции дает

φ p( )ω atan( )cos ( ).ω τ 1

sin ( ).ω τ.

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.12 и 1.2.13 при изменении угловой частоты в долях частоты первой гармоники

ω 1.2 π

T в случае периодического продолжения импульсного сигнала, а

именно при

R 5 и ω ..,.R ω 1.R ω 1

ω 1250

.R ω 1.

24

200 100 0 100 200

Амплитудный спектр сигнала P(t)

радиан/секунда

вольт

x секунда

A p ( )ω

.2 π

τ

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.12

200 100 0 100 200

2

2

радиан/секунда

радиан

π2

π2

φ p( )ω

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.13 Для области физически реализуемых частот (f>0) графики амплитудного

AS p( )f A p( )..2 π f и фазового Φ S p( )f φ p( )..2 π f спектров приве-дены на рис.1.2.14 и 1.2.15 при изменении частоты в долях частоты первой

гармоники f 11T

в случае периодического продолжения импульсного сиг-

нала, а именно при R 10 и f ..,.0.01 Hz .0.01 Hzf 1100

.R f 1.

0 20 40 60

Hz

volt

* s

ec .U m τAS p( )f

2

τ1

τ

f

Рис.1.2.14

25

0 20 40 60

2

2

Hz

rad

π2

π2

Φ S p( )f

1

τ2

τ

f

Рис.1.2.15 Пример 1.2.4. Решить задачу из примера 1.2.3 на основе теоремы о

временном сдвиге. Решение. Согласно данной теореме временной сдвиг сигнала

x t t c , например, на величину t cτ

2 эквивалентен умножению в час-

тотной области его спектральной функции F x( )ω на комплексную экспо-

ненту e..j ω t c. При этом амплитудный спектр исходного сигнала x( )t не

изменяется. Изменится только спектр фаз на величину φ c( )ω .ω t c. Перенесем начало координат в середину импульса путем его временного

сдвига на величину t cτ

2. Это дает нам четную функцию P1(t) сдвинутого

сигнала (рис.1.2.16)

P1 ( )t ifU mτ

2t

τ

2

otherwise0

P1 t( )

t0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6

1

secvo

lt

Рис.1.2.16 Для четной функции импульса P1(t) его спектральная функция Fp1(ω)

будет вещественной, а для нечетной - чисто мнимой.

26

Воспользуемся решением примера 1.2.1. Из этого примера следует, что спектральная функция симметричного относительно начала координат пря-моугольного видеоимпульса с точностью до множителя .U m τ будет иметь вид функции отсчетов

Sa ( )zsin ( )z

z .

Таким образом, спектральная функция сдвинутого сигнала

F P1 ( )ω ..U m τ Sa.ω τ

2.

Вернемся к исходному сигналу, сдвинув по времени симметричный ви-

деоимпульс на величину t cτ

2. При этом на основании теоремы о времен-

ном сдвиге можно получить спектральную функцию исходного видеоимпуль-са

F P ( )ω .F P1 ( )ω e..j ω t c;

F P ( )ω .F P1 ( )ω cos .ω t c..j F P1 ( )ω sin .ω t c .

Амплитудный спектр сигнала определяется как модуль спектральной функции

A p( )ω .F P1 ( )ω cos .ω t c2 .F P1 ( )ω sin .ω t c

2 ;

A p( )ω F P1 ( )ω . Фазовый спектр (как арктангенс отношения мнимой и действительной

частей спектральной функции)

φ p( )ω atanM p( )ω

D p( )ω

или после подстановки действительной и мнимой частей

φ p( )ω atansin .ω t ccos .ω t c

.

Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рис.1.2.17 и 1.2.18 при изменении угловой частоты ω в долях частоты первой гармоники

ω 1.2 π

T в случае периодического продолжения импульсного сигнала с

периодом T, а именно при

R 5 и ω ..,.R ω 1.R ω 1

ω 1250

.R ω 1.

27

200 100 0 100 200

радиан/секунда

вольт

x секунда

A p( )ω

.2 π

τ

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.17

200 100 0 100 200

2

2

радиан/секунда

радиан

π2

π2

φ p( )ω

.2 π

τ

ω

Рис.1.2.18 Фазовые спектры на рис.1.2.13 и 1.2.18 аналогичны и соответствуют пе-

риодической форме представления линейного фазового спектра. Убедимся в этом. Выражение

φ p( )ω atansin .ω t ccos .ω t c

с учетом тригонометрического равенства

tanα

21 cos ( )α

sin ( )α

приводится при α=ωτ к виду фазовой характеристики примера 1.2.3, т.е.

φ p( )ω atan( )cos ( ).ω τ 1

sin ( ).ω τ.

С другой стороны, так как φ p( )ω atan tan .ω t c ,

то отсюда имеем линейную форму представления фазового спектра (рис.1.2.19)

φ p( )ω .ω t c.

28

200 100 0 100 200

10

10

радиан/секунда

радиан φ p( )ω

ω

Рис.1.2.19 Пример 1.2.5. Сигнал U ( )t в частотной области имеет: а) равномерный спектр амплитуд (параметры - плотность амплитуд

H ..0.5 volt sec и частота среза спектра ω c.5 sec 1)

A u( )ω ifH ω c ω ω c

otherwise0

;

б) линейный спектр фаз (параметр t 0.2 sec)

φ u( )ω if.ω t 0 ω c ω ω c

otherwise0

.

Требуется найти вид этого сигнала. Графики частотных характеристик приведены на рис.1.2.20 и 1.2.21 при

W .10 sec 1 и ω ..,W WW

200W.

10 5 0 5 10 15

1

rad / sec

volt

* se

c

HA u( )ω

ω c ω c

ω

Рис.1.2.20

29

10 5 0 5 10 15

20

20

rad / sec

rad φ u( )ω

ω

Рис.1.2.21 Решение. Спектральная функция сигнала U(t) в экспоненциальной

форме

F u( )ω .A u( )ω e.j φ u( )ω

. Вид сигнала можно найти обратным преобразованием Фурье (1.4) его

спектральной функции:

U ( )t .1.2 π

dω c

ω cω..H e

..j ω t 0 e..j ω t ;

U ( )t .H

sin .ω c t t 0.π t t 0

.

Полученное выражение можно записать в компактной форме, если ум-ножить его числитель и знаменатель на ωc и учесть определение функции отсчетов

Sa ( )zsin ( )z

z.

В результате получим

U ( )t .

.H ω cπ

Sa .ω c t t 0 .

График сигнала приведен на рис.1.2.22 при

T .5 sec и t ..,.0.4 T .0.4 TT

400.1.1 T.

30

2 0 2 4 6

1

1

sec

volt

.H ω c

πU( )t

t 0

t

Рис.1.2.22

1.2.3. Типовые задачи Задача 1.2.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала U(t) на вы-

ходе генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) при исходных данных: скорость изменения V m

..4 volt sec 1 и длительность τ .2 sec (рис.1.2.23) .

Аналитическое выражение сигнала

U ( )t if.V m tτ

20 t τ

otherwise0

.

4 2 0 2 4 6

5

5

sec

volt U( )t

τ2

t

Рис.1.2.23 Ответ. Амплитудный спектр

A u( )ω if0 ω 0

if.V m

2

B u( )ω

ω 2ω 0

, где

B u( )ω .τ 2 ω 2 ...4 sin ( ).τ ω τ ω 4 .cos ( ).τ ω ( ).τ 2 ω 2 4 .

31

Фазовый спектр

φ u( )ω atan..cos ( ).τ ω τ ω .2 sin ( ).τ ω .τ ω..sin ( ).τ ω τ ω .2 cos ( ).τ ω 2

.

Задача 1.2.2. Найти спектр косинусоидальной функции y(t) , заданной

на интервале -τ/2< t <τ/2 и показанной на рис.1.2.24, при исходных данных:

амплитуда U m 0.5 ; длительность τ 0.2 ; при N 8 частота f 0Nτ

или ω 0..2 π f 0 ; возможная периодичность повторения T .2 τ .

Аналитическое выражение функции

y ( )t if.U m cos .ω 0 tτ

2t

τ

2

otherwise0

.

0.2 0.1 0 0.1 0

1

1

y( )t

t

Рис.1.2.24 Ответ. Спектр функции y(t)

F y( )ω ..U m τ

2Sa ..1

2ω ω 0 τ .

.U m τ

2Sa ..1

2ω ω 0 τ .

Задача 1.2.3 Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульса

S( )t синусоидальной формы (рис.1.2.25) при исходных данных: амплитуда

U m.2 volt; длительность τ .10 1 sec; при N 2 частота f 0

1.N τ

(угловая частота ω 0..2 π f 0 ) и период T 0

.N τ . Аналитическое выражение сигнала:

S( )t if.U m sin .ω 0 t 0 t τ

otherwise0

.

32

0.1 0 0.1 0.2 0.3

2

sec

volt S( )t

t

Рис.1.2.25 Ответ. Амплитудный спектр

A s( )ω ....2 τ π U mcos ( ).ω τ 1

π 2 .ω 2 τ 2.

График амплитудного спектра видеоимпульса S(t) синусоидальной фор-мы приведен на рис.1.2.26 при изменении угловой частоты ω в долях несущей

частоты ω 0.2 π

T 0 в случае периодического продолжения импульсного

сигнала с периодом T0, а именно при

R 8 и ω ..,.R ω 0.R ω 0

ω 0100

.R ω 0.

300 200 100 0 100 200 300

радиан / секунда

вольт

x секунда

..2 τ U m

πA s( )ω

.6 π

.2 τ

.6 π

.2 τ

ω

Рис.1.2.26 Задача 1.2.4. Решить задачу 1.2.3 с использованием теоремы о времен-

ном сдвиге. Ответ. Амплитудный спектр

33

A s( )ω ....2 τ π U m

cos ..12

ω τ

.ω 2 τ 2 π 2.

Задача 1.2.5. Найти спектры амплитуд и фаз экспоненциального ви-

деоимпульса E ( )t , t .0 sec с амплитудой U m.1 volt и коэффициентом

затухания α .0.1 sec 1 (рис.1.2.27).

50 0 50

1

sec

volt E( )t

t

Рис.1.2.27 Математическая модель сигнала

E ( )t if.U m e.α t t 0

otherwise0

.

Ответ. Амплитудный спектр

A e( )ωU m

α 2 ω 2

.

Фазовый спектр

φ e( )ω atanω

α.

Задача 1.2.6. Найти амплитудный спектр экспоненциального радио-

импульса E1 ( )t , t .0 sec (рис.1.2.28) с параметрами: амплитуда U m

.5 volt; коэффициент затухания α .400 sec 1; несущая частота

f 0.1000 Hz (ω 0

..2 π f 0).

34

0.01 0.01 0 0.01 0.01

5

5

sec

volt E1( )t

t

Рис.1.2.28 Математическая модель сигнала

E1 ( )t if..U m e.α t sin .ω 0 t t 0

otherwise0

.

Ответ. Амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса

A e1 ( )ω .U m

21

α 2 ω ω 02

1

α 2 ω ω 02

.

График амплитудного спектра приведен на рис.1.2.29 при

q α 2 .4 ω 02, W ..15 103 sec 1 и изменении угловой частоты

ω ..,W WW

200W.

2 104 1 104 0 1 104 2 104

Амплитудный спектр сигнала E1(t)

rad / sec

volt

* se

c .U m

2

α q

( ).q αA e1( )ω

ω 0 ω 0

ω

Рис.1.2.29 Задача 1.2.7. Найти в рамках Mathcad 6.0 спектры некоторых специ-

альных функций: 1) дельта-функция δ ( )t или функция Дирака

35

Dirac ( )t if∞ t 0

otherwise0

, т.е. δ ( )t Dirac ( )t ;

2) единичный скачок ed ( )t или функция Хевисайда [спецфункция Mathcad Ф(t)]

Φ ( )t if1 t 0

otherwise0

, т.е. ed ( )t Φ ( )t ;

3) комплексная синусоида (пусть ω 0 5)

ks( )t exp ..j ω 0 t ;

4) бесконечная косинусоида при <<∞ t ∞ (и, например, A 1) bk ( )t .A cos .ω 0 t ;

5) постоянная функция p ( )t A. ПРИМЕЧАНИЕ. Все эти функции абсолютно неинтегрируемы, но путем

предельного перехода для них можно найти интегральное преобразование Фурье.

Ответ. Спектральные функции:

1) F δ ( )ω 1 - вещественна, постоянна и равна 1 на любой частоте;

2) F ed ( )ω .π Dirac ( )ωjω

, где Dirac(ω)=δ(ω) - дельта-функция в час-

тотной области; 3) F ks( )ω ..2 π Dirac ω 0 ω ;

4) F bk ( )ω ..A π Dirac ω ω 0 Dirac ω ω 0 ;

5) F p( )ω ...2 π A Dirac ( )ω . ПРИМЕЧАНИЕ. Если интеграл непосредственно не берется, то следует

использовать в Mathcad команды прямого преобразования Фурье “Fourier Transform” и обратного преобразования Фурье “Inverse Fourier Transform” меню Symbolic и Transforms.

Задача 1.2.8. Амплитудный спектр сигнала S(t) имеет параметры: а) плотность амплитуд H ..0.5 volt sec;

б) частоты среза спектра ω c1.4 sec 1 и ω c2

.3 ω c1. Амплитудный спектр описывается выражением

36

A u( )ω ifH ω c2 ω ω c1

ifH ω c1 ω ω c2

otherwise0

.

Спектр фаз равен нулю. Требуется найти вид сигнала S(t). График частотной характеристики (амплитудного спектра) приведен на

рис.1.2.30 при W .18 sec 1 и ω ..,W WW

200W.

20 10 0 10 20

1

rad / sec

volt

* se

c

HA u( )ω

ω c2ω c1

ω

Рис.1.2.30 Ответ. Сигнал

S( )t .Hsin .ω c2 t sin .ω c1 t

( ).π t,

причем при t=0 имеем

S 0.H

ω c1 ω c2π

.

График сигнала при T .5 sec и t ..,.1.0 T .1.0 TT

400.1.0 T

приведен на рис.1.2.31.

6 4 2 0 2 4 6

2

2

sec

volt

.Hω c1 ω c2

πS( )t

t

Рис.1.2.31

37

Задача 1.2.9. Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульса U ( )t специальной формы (рис.1.2.32) с параметрами: значения амплитуд U m1

.0.5 volt и U m2.2.4 U m1; длительность τ .0.5 sec; начальный

момент времени t 0.0 sec; возможная периодичность повторения T .2 τ .

Аналитическое выражение сигнала

U ( )t ifU m1 <0 tτ

4

ifU m2 <τ

4t

.3 τ

4

ifU m1.3 τ

4t τ

otherwise0

.

1 0.5 0 0.5 1 1.5

1

2

sec

volt U m2

U m1

U( )t

τ4

.3 τ4

t

Рис.1.2.32 ПРИМЕЧАНИЕ. Для решения данной задачи целесообразно использо-

вать принцип суперпозиции и теорему о временном сдвиге. Ответ. Амплитудный спектр одиночного видеоимпульса U ( )t специ-

альной формы

A u( )ω ..U m1 τ Sa.ω τ

2..U m2 U m1

τ

2Sa

.ω τ

4.

График амплитудного спектра приведен на рис.1.2.33 при

W .40 sec 1 и ω ..,.2 W .2 WW

200.2 W.

38

100 50 0 50 100

rad / sec

volt

* se

c ..12

τ U m2 U m1A u( )ω

.3 π

τ

.3 π

τ

ω

Рис.1.2.33

1.3. Энергетические характеристики сигналов

1.3.1. Основные понятия и соотношения

Пусть сигнал x tt tm m( ), , t ∈ −

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥2 2

задан на интервале наблюдения t m и

есть напряжение (или ток) на сопротивлении R = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области средняя мощность P и энергия E будут рав-ны:

Pt

x t dt x t P t x t dtm

mt

t

t

t

m

m

m

m

= = = ⋅ =

−−

∫∫1 2 2 2

2

2

2

2

( ) ( ); ( ) E , (1.9)

где обозначение x t2( ) означает усреднение по времени квадрата сигнала. Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодом

T t m= , то среднюю мощность можно находить также, исходя из спектраль-

ного представления периодического сигнала в частотной области:

P a A kk

= +=

∞

∑02 2

1

12

- для ряда (1.1); (1.10)

∑∞

=

+=1k

2k

20 A

21

4A

P & - для ряда (1.2); (1.11)

∑∞

=

+=1k

2k

20 C2CP & - для ряда (1.4). (1.12)

Часто сигнал задается на бесконечном интервале [ ]−∞ ∞, . Тогда

39

Pt

x t dt E x t dt t

m t

t

mm

m

= =→∞

− −∞

∞

∫ ∫lim ( ) ; ( )1 2

2

22 . (1.13)

Здесь различают два вида сигналов: энергетический или импульсный (E→E0=const,Р→0) и мощностной (E→∞, Р→P0=const).

Для энергетического сигнала справедливо равенство Парсеваля (или теорема Рейли)

E x t dt F j d A d= = =∞

−∞

∞

−∞

∞

∫∫∫ 2 2 2

0

12

1( ) ( ) ( )π

ω ωπ

ω ω . (1.14)

Функция F j A E( ) ( ) ( )ω ω ω2 2= = называется спектральной плотно-стью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функци-ей и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в один рад/сек.

Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Средняя мощность при t m → ∞ будет

Pt

x t dt S d S dt

m t

t

mm

m

= = =→∞

−∞

∞ ∞

−∫ ∫∫lim ( ) ( ) ( )1 1

212

02

2

πω ω

πω ω , (1.15)

где SF j

tt

t

mm

m( ) lim( )

ωω

=→∞

2

— спектральная плотность мощности.

Для количественной оценки временного сдвига детерминированных сиг-налов используют автокорреляционную функцию АКФ

B x t x t dt( ) ( ) ( )τ τ= ⋅ −−∞

∞

∫ . (1.16)

Энергетический спектр и АКФ связаны преобразованием Фурье:

E B e dj( ) ( )ω τ τωτ=−∞

∞

∫ (прямое преобразование); (1.17)

B E e dj( ) ( )τπ

ω ωωτ= −

−∞

∞

∫1

2 (обратное преобразование). (1.18)

40

1.3.2. Типовые примеры Пример 1.3.1. Требуется найти энергию и энергетический спектр пря-

моугольного видеоимпульса x( )t с амплитудой U m.0.4 volt и длитель-

ностью τ .2 sec . Оценить распределение энергии в его спектре. Математическая модель сигнала (рис.1.3.1 при T .2 τ и

t ..,.1.2 T .1.2 TT

500.1.2 T)

x ( )t ifU mτ

2t

τ

2

otherwise0

.

6 4 2 0 2 4 6

1

sec

volt x( )t

τ2

τ2

t

Рис.1.3.1 Решение. На сопротивлении R .1 Ω полная энергия импульса assume ,,U m τ R

E x.1

Rd

τ

2

τ

2tU m

2 ..1R

U m2 τ

.

Согласно решению примера 1.2.1, спектральная функция симметрично-го относительно начала координат прямоугольного видеоимпульса будет

F x( )ω ..2 U m

sin ..12

ω τ

ω или F x( )ω ..U m τ

sin.ω τ

2.ω τ

2

.

По определению энергетический спектр или спектральная плотность энергии на сопротивлении R .1 Ω есть квадрат спектральной функции, т.е.

41

E x( )ω ..U m

2 τ 2

R

sin.ω τ

2.ω τ

2

2

.

Например, =E x( ).1 sec 1 0.453 sec2 watt .

Согласно равенству Парсеваля (1.14), энергия сигнала в частотной об-ласти

assume ,,,U m τ R >τ 0

E x.1

.π Rd

0

∞

ω..U m2 τ 2

sin.ω τ

2.ω τ

2

2

..1R

τ U m2

.

Итак,

E x

.U m2 τ

R, т.е. =E x 0.32 sec watt .

Введем (пусть ω .1 sec 1) безразмерную частотную переменную w .ω τ . Тогда энергетический спектр

E x( )w ..U m

2 τ 2

R

sinw2

w2

2

.

График нормированного энергетического спектра прямоугольного ви-

деоимпульса как функция безразмерной частотной переменной w приведен на

рис.1.3.2 при w ..,0π

100.6 π .

42

0 5 10 15 20

1

безразмерная

безразмерная .E x( )w R

.U m2 τ

2

.2 π .4 π

w

Рис.1.3.2 Рисунок показывает, что энергетический спектр прямоугольного видео-

импульса носит лепестковый характер. Для многих задач представляет инте-рес доля общей энергии сигнала, содержащаяся в пределах одного, двух , трех и т.д. лепестков спектральной диаграммы на рис.1.3.2 .

Определим функцию интегрального синуса

Si( )x d

0

x

zsin ( )z

z

и введем безразмерную переменную z=w/2. При этом dω=2dz/τ. Тогда доля энергии прямоугольного видеоимпульса, заключенная в k последовательных лепестках,

E1 x( )k ..2 .U m

2 τ

.π Rd

0

.k π

zsin ( )z

( )z

2

;

E1 x( )k ..U m2 τ

( ).π 2 R

( )1 cos ( )..2 π k ...2 Si( )..2 π k π kk

.

Например, при k=1 энергия =E1 x( )1 0.289 sec watt , а при k=2 -

=E1 x( )2 0.304 sec watt . Полная энергия импульса

E x

.U m2 τ

R .

Относительная доля энергии в зависимости от числа учитываемых лепестков

=E1 x( )1

E x0.903 ; =

E1 x( )2

E x0.95 ; =

E1 x( )3

E x0.966 .

43

Пример показывает, что переход от k=1 к значению k=2, т.е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимульс, увеличивает энергию сигнала на его выходе всего на 4.7%.

Пример 1.3.2. Найти спектр мощности пилообразного напряжения U(t)

на выходе генератора при исходных данных: скорость изменения V m

..4 volt sec 1; период повторения T .2 sec. Аналитическое выражение

сигнала (рис.1.3.3 при t ..,.1.5 T .1.5 TT

500.2 T )

U ( )t if.V m t 0 t T

if.V m ( )t T T t .2 T

otherwise0

.

4 2 0 2 4 6

5

10

sec

volt U( )t

t

Рис.1.3.3 Решение. Поскольку сигнал представляет собой периодическую функ-

цию времени, то он относится к мощностным сигналам. Для таких сигналов понятие энергетического спектра теряет смысл. Здесь следует рассматривать спектр мощности.

Найдем при частоте первой гармоники ω 1.2 π

T k-й коэффициент раз-

ложения сигнала U(t) в комплексный ряд Фурье (1.4)

C( )k .1T

d0

T

t..V m t e...j k ω 1 t

.

Интегрирование дает

C u( )k .j.V m

.exp ...j k ω 1 T ..k ω 1 T j j

.T .k2 ω 12

.

При k=0 имеем неопределенность типа 0/0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим

44

assume ,,V m T ω 1

lim0k

.j.V m

.e...j k ω 1 T

..k ω 1 T j j

.T .k2 ω 12

..12

V m T

.

Следовательно, постоянная составляющая сигнала

C 0..1

2V m T

и составит =C 0 4 volt.

Так как ω1T=2π и при любом k ( например, k 1 ) e...j k 2 π 1 , то

выражение для k-го коэффициента при k 0 принимает вид

C u( )k .j.V m ( )( )..k 2 π j j

.T .k2 ω 12

или при записи в форме a+jb коэффициент

C u( )k ...2 jV m

kπ

.T ω 12

.

Таким образом, коэффициенты разложения являются чисто мнимыми величинами. Их действительная часть равна нулю.

Модуль комплексного коэффициента разложения

MC ( )k ..2V m

kπ

.T ω 12

, например, =MC ( )1 1.273 volt.

Амплитудный спектр сигнала U(t) A( )k ifC 0 k 0

ifMC ( )k k 0

.

Спектр мощности периодического пилообразного напряжения на со-противлении R .1 Ω как квадрат модуля амплитудного спектра при N 4 и k ..N N

P u( )k ifC 0

2

Rk 0

if.1R

..2V m

kπ

.T ω 12

2

k 0

.

График спектра мощности приведен на рис.1.3.4 при N 4 и k ..N N, где =P u( )0 16 watt и =P u( )1 1.621 watt .

45

4 2 0 2 4

10

20

номер гармоники

wat

t

P u( )k

k

Рис.1.3.4 На основании (1.12) доля мощности периодического пилообразного сиг-

нала, заключенная в n последовательных гармониках, будет P ( )n ifP u( )0 n 0

ifC 0

2

R.2

R= 1

n

k

MC ( )k 2 n 0

График зависимости мощности данного сигнала от числа учитываемых гармоник спектра показан на рис.1.3.5 при N 8 и n ..0 N , где

=P ( )1 19.242 watt и =P ( )8 20.952 watt .

0 2 4 6 816

18

20

22

номер гармоники

wat

t

P( )n

n

Рис.1.3.5 Полная средняя мощность PSM пилообразного напряжения U(t) assume ,,T V m R

PSM u..1

R1T

d0

Tt.V m t 2 ..1

( ).3 RT2 V m

2

.

.

46

Итак,

PSM u..1

( ).3 RT2 V m

2

и составит =PSM u 21.333 watt .

Относительная доля мощности в зависимости от числа учитываемых гармоник

=P ( )1

PSM u90.2 %

; =

P ( )2PSM u

94 % ; =

P ( )3PSM u

95.7 % .

Пример показывает, что переход от n=1 к значению n=2 , т.е. двукрат-ное расширение полосы частот устройства, через которое может проходить пилообразный видеоимульс, увеличивает энергию сигнала на его выходе все-го на 3.8%.

1.3.3. Типовые задачи Задача 1.3.1. Найти спектральную плотность энергии и полную энер-

гию пилообразного видеоимпульса U(t) при скорости изменения V m

..4 volt sec 1 и длительности T .2 sec (рис.1.3.6).

Аналитическое выражение сигнала

U ( )t if.V m t 0 t T

otherwise0

.

4 2 0 2 4 6

5

10

sec

volt U( )t

t

Рис.1.3.6 Ответ. Если обозначить

f( )ω.ω 2 T2 ...2 sin ( ).ω T ω T .2 cos ( ).ω T 2

ω 4,

то энергетический спектр на сопротивлении R .1 Ω

47

E u( )ω if..14

V m2

RT4 ω 0

if.V m

2

Rf( )ω ω 0

Полная энергия

E u..1

3

V m2

RT3

; =E u 42.667 sec watt

.

Задача 1.3.2. Найти для экспоненциального видеоимпульса E(t) из за-

дачи 1.2.5 спектральную плотность энергии и полную энергию на основе его частотного представления.

Ответ. На сопротивлении R .1 Ω спектральная плотность энергии

E e( )ω .1R

U m2

α 2 ω 2 .

Полная энергия

E e..1

.2 RU m

2 1α и составляет =E e 2 sec watt .

Задача 1.3.3. Требуется определить энергетические характеристики

видеоимпульса S(t) синусоидальной формы из задачи 1.2.3 при амплитуде

U m.2 volt, длительности τ .0.1 sec и частоте f 0

1.2 τ

(ω 0..2 π f 0).

Ответ. На сопротивлении R .1 Ω энергетический спектр

E s( )ω ...τ 2 π 2 U m

2

R( )( )cos ( ).τ ω 1 2 sin ( ).τ ω 2

( ).ω 2 τ 2 π 2 2.

Полная энергия

E s

.τ U m2

.2 R.

Задача 1.3.4. Определить на основе комплексного ряда Фурье спектр

мощности видеоимпульса S(t) синусоидальной формы из задачи 1.2.3, имею-щего амплитуду U m

.2 volt и длительность τ .0.1 sec, в случае его пе-

риодического продолжения с периодом T 0.2 τ .

48

Ответ. На сопротивлении R .1 Ω спектр мощности

P s( )k if.116

U m2

Rk 1

if..14

U m2

R( )( )cos ( ).k π 1 2 sin ( ).k π 2

.π 2 ( )k2 12

k 1

Задача 1.3.5. Требуется определить энергетические характеристики

импульсного сигнала x(t) с амплитудой U m.1.5 volt

и длительностью

τ .1 sec, вид которого показан на рис.1.3.7.

2 1 0 1 2 3

2

2График сигнала x(t)

sec

volt

U m

U m

x( )t

τ2

τ

t

Рис.1.3.7 Ответ. На сопротивлении R .1 Ω энергетический спектр

E x( )ω ..4 U m

2

R

cos ..12

ω τ 12

ω 2.

При введении определения сигнум-функции signum ( )t if1 t 0

if1 <t 0

полная энергия

E x( )τ ...1R

signum ( )τ τ U m2

и так как =signum ( )τ 1 , то

E x

.τ U m2

R.

.

49

Задача 1.3.6. Найти энергию и спектральную плотность энергии им-

пульсного сигнала U(t), рис.1.3.8, при скорости изменения фронтов импульса V m

..2 volt sec 1 и его длительности τ .2 sec.

2 0 2 4

2График сигнала U(t)

sec

volt .1 volt

.V mτ2

U( )tτ2

t

Рис.1.3.8 Ответ. На сопротивлении R .1 Ω энергетический спектр

E u( )ω if..1.16 R

V m2 τ 4 ω 0

if..1.4 R

V m2

4 ...2 sin ..12

ω τ ω τ .4 cos ..12

ω τ2

ω 4ω 0

Полная энергия

E u( )τ ...1( ).12 R

signum ( )τ τ 3 V m2

и так как =signum ( )τ 1 , то

E u..1

.12 Rτ 3 V m

2

и составит =E u 2.667 sec watt .

Задача 1.3.7. Определить на основе тригонометрического ряда Фурье

спектр мощности периодического сигнала s(t), приведенного на рис.1.3.9, где амппитуда импульса U m

.1.5 volt и его длительность τ .1 sec.

.

50

6 4 2 0 2 4 6 8

2

2График сигнала s(t)

sec

volt

U m

U m

s( )t.2 τ .2 τ

t

Рис.1.3.9 Ответ. На сопротивлении R .1 Ω спектр мощности

P sk.1

R.U m

sin ..34

k π sin ( ).k π sin ..14

k π

( ).k π

2

.

1.4. Практическая ширина спектра

1.4.1. Основные понятия и соотношения Реальные сигналы, как правило, имеют конечную длительность и поэтому

бесконечный спектр. Для практических расчетов ширину спектра можно ог-раничивать частотой среза ωc . Тогда под практической шириной спектра

понимают интервал [ ]0, ωc , внутри которого сосредоточена основная часть

энергии (или мощности) сигнала, например 90% или 99%. Ограничение спектра соответствует усечению ряда или интеграла Фурье.

Оно ведет к погрешности δ( ) ( ) ( )t x t x t= − ∗ представления исходного сигна-

ла x t( ) усеченной оценкой x t∗( ) . Наиболее удобно эту погрешность оцени-вать с помощью среднеквадратичного критерия приближения. В зависимости от вида сигнала среднеквадратичная погрешность за счет ограничения спек-тра будет

σ δ2 2

0

1= = ⇒∫t

t dt Pm

tm

( ) Δ для мощностных сигналов

(например, периодических);

51

σ δ2 2

0

1= = ⇒∫t

t dt Etm m

tm

( ) Δ для энергетических сигналов (1.19)

(например, импульсных), где ΔP P= −( )1 γ и ΔE E= −( )1 γ - соответственно средняя мощность и энер-гия отброшенной высокочастотной части спектра; γ -коэффициент, равный 0,9÷0,99; t m - длительность сигнала (например, его период).

На основании (1.10), (1.12) и (1.14) условие для выбора практической ширины спектра принимает вид:

a A Pkk

nc

02 2

1

12

+ = ⋅=

∑ γ - для тригонометрического ряда (1.1); (1.20)

PC2Ccn

1k

2k

20 ⋅γ=+ ∑

=

& - для комплексного ряда (1.4); (1.21)

1 2

0π

ω ω γ

ω

⋅ = ⋅∫ A d Ec

( ) - для интегрального преобразования Фурье, (1.22)

где ωc - частота среза (ограничения) спектра; n c - число учитываемых гармо-

ник спектра, причем ω ωс cn= ⋅ 1 .

1.4.2. Типовые примеры Пример 1.4.1. Рассчитать практическую ширину спектра периодиче-

ского линейно изменяющегося сигнала x ( )t из примера 1.1.1 при γ 0.95 и

исходных данных: скорость изменения V m..4 volt sec 1; период T .2 sec

и временной сдвиг t 0.1 sec.

Математическая модель сигнала для одного периода имеет вид

x ( )t if.V m t t 0 <<0 t T

otherwise0

.

Решение. Так как периодический сигнал относится к мощностным сиг-налам, то нужно рассматривать его среднюю за период T мощность. При вре-менном представлении сигнала его полная средняя мощность, согласно (1.9), на сопротивлении R .1 Ω будет

assume ,,,T V m t 0 R

52

P .V m

2

.T Rd

0

Ttt t 0

2 .V m

2

( ).T R.1

3T t 0

3 .13

t 03 .

Итак,

P .V m

2

.3 ( ).T Rt 0

3 t 0 T 3

и =P 5.333 watt .

Для оценки практической ширины спектра этого сигнала воспользуемся спектральным представлением на основе комплексного ряда Фурье. Согласно решению примера 1.1.2, комплексные коэффициенты разложения

C 0

.0 volt и C( )k .j

.T Vm..2 k π

(k>0).

Тогда на основании (1.21) условие для выбора практической ширины спектра (например, при n c 5) принимает вид

.γ PC 0

2

R.2

R= 1

n c

k

( )C( )k 2 .

Решим данное неравенство графически. Для этого при n c ..1 15 по-

строим (рис.1.4.1) зависимость

P γ n cC 0

2

R.2

R= 1

n c

k

( )C( )k 2 .

0 5 10 153

4

5

6

номер гармоники

wat

t

.γ P

P γ n c

12

n c

Рис.1.4.1 Из графика на рис.1.4.1 следует n c 12. Тогда частота среза в радиа-

нах за секунду

53

ω c.n c

.2 π

T , =ω c 37.699 sec 1

или частота среза в герцах f c.n c

1T

и составит =f c 6 Hz .

Пример 1.4.2. Рассчитаем практическую ширину спектра прямоуголь-

ного видеоимпульса x( )t с амплитудой U m.0.4 volt и длительностью

τ .2 sec при сохранении в спектре сигнала 90% его энергии (коэффициент γ 0.9 ).

Математическая модель сигнала (рис.1.4.2 при T .2 τ и

t ..,.1.2 T .1.2 TT

500.1.2 T )

x ( )t ifU mτ

2t

τ

2

otherwise0

.

5 0 5

1

sec

volt x( )t

τ2

τ2

t

Рис.1.4.2 Решение. Полная энергия импульса, согласно (1.13), на сопротивлении

R .1 Ω будет assume ,,U m τ R

E .1R

dτ

2

τ

2tU m

2 ..1R

U m2 τ .

Итак,

E.U m

2 τ

R, т.е. =E 0.32 sec watt .

54

Согласно решению примера 1.2.1, спектральная функция симметричного относительно начала координат прямоугольного импульса

F x( )ω ..2 U m

sin ..12

ω τ

ω.

На основании равенства Парсеваля (1.14) и условия (1.22) энергия сиг-нала, спектр которого ограничен частотой среза ωс, будет

E γ ω c.1

.π Rd

0

ω cωF x( )ω 2

или после подстановки спектральной функции

E γ ω c.

.4 U m2

.π Rd

0

ω cω.1

ω 2sin ..1

2ω τ

2.

Данный интеграл не выражается через элементарные функции. Если вве-сти определение функции интегрального синуса

Si( )x d

0

x

zsin ( )z

z ,

то интеграл приводится к табулированному виду

E γ ω c

..2 U m

2

.π R

cos .ω c τ 1

ω c.τ Si .ω c τ .

Введем (пусть, например, ω c.1 sec 1) безразмерную переменную

W.ω c τ

π . Тогда можно записать

E γ ( )W ..2 U m

2

.π Rcos ( ).π W 1

.π Wτ

.τ Si( ).π W .

Построим при W ..,0 0.02 3 зависимость (рис.1.4.3)

γ ( )W

E γ ( )W

E .

55

0 1 2 3 4

1

γ( )W

0.9

2

W

Рис.1.4.3 Из графика на рис.1.4.3 видно, что для γ 0.9 можно принять W 2. От-сюда следует формула для частоты среза

assume ,π τ

ω c

.π Wτ

.2π

τ .

Итак, частота среза ω c.2 π

τ , т.е. =ω c 3.142 sec 1

В случае выражения значений в герцах частота среза f c1τ

, т.е.

=f c 0.5 Hz. При этом энергия отброшенной высокочастотной части спектра

Δ E .( )1 γ E и составит =Δ E 0.032 sec watt . Согласно (1.19), среднеквадратическая погрешность за счет ограничения

спектра будет

σ .Δ E

τR

и составит =σ 0.126 volt.

Относительная среднеквадратическая погрешность

σ отн.

Δ EE

и составит =σ отн. 31.623 %.

Пример 1.4.3. Найти при γ 0.95 практическую ширину спектра

сигнала u ( )t , t 0 с параметрами μ ..50 volt sec 1 и α .10 sec 1. Математическая модель сигнала (рис.1.4.4 при T .1 sec и

t ..,.1.0 T .1.0 TT

400.1.0 T)

u ( )t if..μ t e.α t t 0

otherwise0

.

.

56

1 0.5 0 0.5 1

2

sec

volt u ( )t

t

Рис.1.4.4 Решение. Интегральное преобразование Фурье assume ,μ >α 0

F u( )ω d0

∞

t...μ t e.α t e

..j ω t μ

( )α 2 ...2 j α ω ω 2.

Таким образом, спектральная функция

F u( )ωμ

( )...2 j ω α ω 2 α 2.

Энергетический спектр, определяемый как квадрат модуля спектральной функции, будет

assume ,μ >α 0

F u( )ω 2 ( )μ 2

( )α 2 ω 2 2.

При частотном представлении сигнала на основании равенства Парсева-ля (1.14) полная энергия сигнала на сопротивлении R .1 Ω будет

assume ,,μ >α 0 R

E ( )α .1.π R

d

0

∞

ωμ2

( )ω 2 α 2 2.1

( ).4 Rμ 2

α 3

или в другой форме записи

E u.1

( ).4 Rμ2

α 3 и составит =E u 0.625 sec watt .

Согласно условию (1.22), энергия сигнала, спектр которого ограничен частотой среза ωс,

57

E γ ω c.1

.π Rd

0

ω cω

μ2

( )ω 2 α 2 2

или после взятия интеграла

E γ ω c.μ 2

( )..2 π R

.atanω cα

α 2 ω c2 .α ω c

.α 3 α 2 ω c2

.

Таким образом, уравнение (1.22) для расчета практической ширины

спектра, ограниченного частотой среза ωc , принимает вид

.γμ2

..4 R α 3.μ2

( )..2 π R

.atanω c

αα 2 ω c

2 .α ω c

.α 3 α 2 ω c2

.

Данное уравнение не имеет аналитического решения. Поэтому будем решать его численным методом, используя для решения спецфункцию Mathcad Find(x), где x - переменная, относительно которой решается уравне-ние (в нашем случае это ωc ). Тогда процедура решения представляется сле-

дующим образом: ω c

.1 sec 1 - начальное приближение;

GIVEN - ключевое слово, за которым должно следовать уравнение .γ E u E γ ω c ;

ω п Find ω c - определение корня уравнения, решаемого относи-

тельно переменной ω c функцией Find(x). Результатом решения является практическая ширина спектра

=ω п 18.374 sec 1 , причем ω п ω c.

Таким образом, при γ 0.95 частота среза спектра сигнала

f cω п

.2 π и составит =f c 2.924 Hz .

Пример 1.4.4. Найти практическую длительность экспоненциального

видеоимпульса с амплитудой U m.1 volt и коэффициентом затухания

α .0.1 sec 1 при коэффициенте γ 0.95 .

58

Математическая модель сигнала (рис.1.4.5 при T .50 sec и

t ..,.0.4 T .0.4 TT

500.0.4 T)

E ( )t if.U m e.α t t 0

otherwise0

.

40 20 0 20 40

1

sec

volt E( )t

t

Рис.1.4.5 Решение. Найдем практическую длительность tп=tm экспоненциально-

го видеоимпульса при γ 0.95 из условия

.γ E .1R

d0

t mt.U m

2 e.α t 2

,

где Е − полная энергия сигнала, а правая часть неравенства соответствует энергии сигнала, длительность которого ограничена величиной t m .

Возьмем интеграл правой части неравенства assume ,,R U m >α 0

.U m

2

Rd

0

t mte

..2 α t .U m

2

R.1

( ).2 αexp ..2 α t m

1( ).2 α

.

Полная энергия импульса на сопротивлении R .1 Ω при временном его представлении на основании (1.11) будет

assume ,,U m R >α 0

.1R

d0

∞

t.U m2 e

.α t 2.1

( ).2 R

U m2

α .

Таким образом, полная энергия экспоненциального видеоимпульса

E ..1( ).2 R

U m2 1

α и составит =E 5 sec watt .

59

В результате получаем уравнение

..12

γ

R

U m2

α.

U m2

R.1

( ).2 αexp ..2 α t m

1( ).2 α

;

.12

ln ( )γ 1α

- корень данного уравнения, полученный Mathcad.

Таким образом, решение этого уравнения относительно tm дает практи-ческую длительность экспоненциального видеоимпульса. Отсюда следует

t m.1

.2 αln ( )1 γ ,

численное значение =t m 14.979 sec .

При этом энергия отброшенной части сигнала Δ E .( )1 γ E и со-ставляет =Δ E 0.25 sec watt .

Относительная среднеквадратическая погрешность за счет ограничения сигнала по длительности

σ отн.

Δ EE

и составляет =σ отн. 22.361 %.

1.4.3. Типовые задачи Задача 1.4.1. Найти при коэффициенте γ 0.95 практическую шири-

ну спектра экспоненциального видеоимпульса из примера 1.4.4 с амплитудой U m

.1 volt и коэффициентом затухания α .0.1 sec 1. Ответ. Практическая ширина спектра определяется частотой среза

ω c.α tan ..γ E

..π R α

U m2

,

где E ..1( ).2 R

U m2 1

α - полная энергия импульса.

Подстановка численных значений дает =ω c 1.271 sec 1 . Задача 1.4.2. Найти при коэффициенте γ 0.95 практическую шири-

ну спектра линейно изменяющегося напряжения U(t) при исходных данных: скорость изменения V m

..4 volt sec 1, длительность τ .1 sec. Аналитическое выражение сигнала (рис.1.4.6) имеет вид

60

U ( )t if.V m tτ

20 t τ

otherwise0

.

2 1 0 1 2 3

2

2

sec

volt U ( )t

t

Рис.1.4.6 Ответ. Если ввести обозначения

A ω c

.4 cos .τ ω c..cos .τ ω c τ 2 ω c

2;

A ω c

.cos .τ ω c.τ 2 ω c

2 4 ;

B ω c

..Si .τ ω c τ 3 ω c3 ...4 sin .τ ω c τ ω c;

C ω c 4 ..3 τ 2 ω c

2, то практическая ширина спектра определяется решением уравнения

.γ.V m

2 τ 3

.12 R.

V m2

( ).6 ( ).π R

A ω c B ω c C ω c

ω c3

относительно частоты срезаωс .

Корень уравнения ω п Find ω c . Так как ω п ω c, то частота сре-за

f cω п

.2 π, т.е. =f c 6.067 Hz .

Задача 1.4.3. Найти при коэффициенте γ 0.95 практическую дли-

тельность сигнала из примера 1.4.3, но имеющего параметры μ ..2 volt sec 1

и α .0.5 sec 1. Ответ. Практическая длительность сигнала определяется решением

уравнения

61

.γμ2

..4 R α 3..1

.4 Rμ2

...2 α t m 1 ..2 α 2 t m2 e

..2 α t m 1

α 3

относительно неизвестной переменной t m .

Корень уравнения t п Find t m дает величину длительности

=t п 6.296 sec . Задача 1.4.4. Найти при коэффициенте γ 0.95 практическую шири-

ну спектра сигнала u(t) на рис 1.4.7, где параметры τ .1 sec и U m

.1.5 volt.

3 2 1 0 1 2 3 4

2

2График сигнала u(t)

sec

volt

U m

U m

u( )tτ τ

t

Рис.1.4.7 Ответ. Число сохраняемых гармоник n c 7. При этом частота среза

ω c.n c

π

τ и составляет =ω c 21.991 sec 1

или f cω c

.2 π и составляет =f c 3.5 Hz .

Задача 1.4.5. Найти при γ 0.95 и единице времени одна миллисе-

кунда (ms .10 3 sec) практическую ширину спектра сигнала u ( )t , t 0

(рис.1.4.8) с параметрами μ ..2 volt ms 1, λ .0.5 ms и α .0.2 ms 1. Математическая модель сигнала

u ( )t if..μ ( )λ t e.α t t 0

otherwise0

.

62

50 0 50

2

4

ms

volt u ( )t

.t 103

Рис.1.4.8 Ответ. Если ввести обозначение B ..2 λ 2 α 2 ..2 λ α 1, то практиче-

ская ширина спектра определяется решением уравнения

..γ μ 2

.4 RB

α 3.μ2

.2 ( ).π R

..atanω cα

α 2 ω c2 B ..α ω c ( )..2 λ α 1

.α 3 α 2 ω c2

.

Корень уравнения ω п Find ω c и составляет =ω п 381.144 sec 1 .

Так как ω п ω c, то частота среза f cω п

.2 π, т.е.

=f c 60.661 Hz .

2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ 2.1. Числовые и временные характеристики

2.1.1. Основные понятия и соотношения Математическая модель случайного сигнала - стационарный случай-

ный процесс X t( ) . В результате опыта случайная функция Х(t) принимает конкретный вид x(t). Функцию x(t) называют реализацией случайного про-цесса. Каждая реализация - это неслучайная функция. Случайный процесс

полностью определяется бесконечным набором реализаций { }x ti i

N( )

=1, т.е.

ансамблем реализаций (число реализаций N→∞). Основные характеристики случайного процесса во временной области

представления: 1) одномерная плотность вероятности p(х,t) = p(x,t+τ) = p(x) - не зависит

от момента времени t (места сечения процесса); 2) двухмерная плотность вероятности p(x1,х2,τ), где τ= t2-t1 , т.е. зависит от

величины интервала τ между двумя сечениями процесса X(t1) и X(t2);

63

3) первый момент или математическое ожидание

[ ]m M X t x p x dx1 = = ⋅−∞

∞

∫( ) ( ) , (2.1)

случайный процесс X t X t mo( ) ( )= − 1 называется центрированным.

4) момент второго порядка

[ ]m t M X t x p x t dx22 2( ) ( ) ( , ) .= = ⋅

−∞

∞

∫ (2.2)

5) второй начальный момент или дисперсия

D m M X t x m p x dx= =⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − ⋅−∞

∞

∫2

2

12

o o( ) ( ) ( ) , (2.3)

характеризует разброс случайной величины относительно среднего значения и не зависит от места сечения t.

6) корреляционный момент или корреляционная функция (КФ)

( ) [ ] [ ] 21211211 dxdx),x,x(p

2x

mx

1x

mx)t(X)t(XMR τ⋅−⋅−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡τ−⋅=τ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−43421

o43421

o

oo

, (2.4)

по известной функции R(τ) можно найти дисперсию процесса D R= ( )0 . 7) интервал корреляции τk определяется как величина

τ ρ τ τk d=∞

∫ | ( ) |0

, (2.5)

где ρ ττ

σ

τ( ) ( ) ( )= =

R RD2 - нормированная корреляционная функция. (2.6)

Различают два понятия средних значений: а) среднее к-го порядка по ансамблю - [ ]m M X tk

k= ( ) ;

б) среднее к-го порядка по времени одной реализации

x tt

x t dt tt tk

t m

k

t

t

m m

mm

m

( ) lim ( ) , , .= ∈ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥→∞

−

∫1

2 2

2

2

Стационарные случайные процессы, для которых усреднение по ансамб-лю и усреднение по времени эквивалентны, называются эргодическими.

64

Итак, для эргодических процессов имеем m x tkk= ( ) . Свойство эргодичности

позволяет дать физическое толкование некоторых числовых характеристик. Пусть х(t) есть ток или напряжение на сопротивлении R=1 Ом. Тогда:

1) m x t1 = ( ) - среднее значение или постоянная составляющая случайного сигнала;

2) m x t P22= =( ) - средняя мощность случайного сигнала;

3) m D x to o

2

2= = ( ) =P∼ - средняя мощность флюктуаций, т.е. отклонений от

постоянной составляющей; 4) σ = D - эффективное или действующее значение флюктуаций, т.е. пе-

ременной составляющей тока или напряжения.

2.1.2. Типовые примеры Пример 2.1.1. Стационарный гауссов случайный процесс X(t) с пара-

метрами σ .0.5 volt, μ .1 volt и α .0.2 sec 2 имеет нормированную кор-

реляционную функцию (НКФ) ρ ( )τ e.α τ

2 и одномерную плотность веро-

ятности в сечении процесса X(t1)

p x 1.1

.σ .2 π

expx 1 μ 2

.2 σ2

.

Требуется найти его числовые характеристики (математическое ожида-ние m1, дисперсию D) и временные характеристики (корреляционную функ-цию R(τ) и интервал корреляции τk).

Решение. Найдем, согласно (2.1), математическое ожидание процесса в сечении X(t1)

assume ,σ μ

m 1.1

.σ .2 π

d

∞

∞

x 1.x 1 exp

x 1 μ 2

.2 σ2μ .

Итак, математическое ожидание m 1 μ , т.е.

=m 1 1 volt .

Согласно (2.3), дисперсия процесса, например в сечении X(t2), будет assume ,σ μ

65

D .1

.σ .2 π

d

∞

∞

x 2.x 2 m 1

2 expx 2 μ 2

.2 σ2σ2.

Итак, дисперсия D σ2 и составляет =D 0.25 volt2.

На основании (2.6) корреляционная функция процесса R ( )τ .D exp ( ).α τ 2

или R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 . Оценим, согласно (2.5), величину интервала корреляции процесса assume ,α >α 0

τ k( )α d0

∞τexp ( ).α τ 2 .1

.2 α

π .

Следовательно, интервал корреляции

τ k.1

2π

α ; =τ k 1.982 sec .

2.1.3. Типовые задачи Задача 2.1.1. Случайный процесс U ( )t образован при параметрах

U m.2 volt

и ω 0.0.2 sec 1

реализациями вида

u ( ),t φ .U m cos .ω 0 t φ . Фазовый угол φ есть случайная величина,

равномерно распределенная на интервале [-π,π], т.е. плотность вероятности фазового угла

p ( )φ if1.2 π

π φ π

otherwise0

.

Требуется найти математическое ожидание, дисперсию и корреляцион-ную функцию данного процесса.

Ответ. Математическое ожидание =m 1 0 volt

. Дисперсия

D .12

U m2

.

Корреляционная функция

R ( )τ ..12

U m2 cos .ω 0 τ

.

66

Задача 2.1.2. Стационарный случайный процесс X t( ) имеет при пара-

метре λ .2 volt 1 экспоненциальную плотность вероятности

p ( )x if.λ e.λ x x 0

if0 <x 0

.

Требуется определить математическое ожидание и дисперсию этого про-цесса.

Ответ. Математическое ожидание m 11λ

, =m 1 0.5 volt.

Дисперсия D1

λ 2

, =D 0.25 volt2.

Задача 2.1.3. При каком соотношении между параметрами α и β (при-

мем для начала β .1 volt 1 и α .1 volt 2 ) функция

f( )xβ

1 .α x2

является плотностью распределения вероятностей стационарного случайно-го процесса X(t) в его сечении t.

Ответ. Соотношение между α и β определяется уравнением

.βπ

α

1.

Задача 2.1.4. Стационарный случайный процесс X t( ) имеет в сечении t

при параметрах β .1 volt 1 и α .2 volt 1

плотность вероятности

p ( )x .β e.α x , −∞ ∞p px .

Требуется определить допустимое соотношение между параметрами α и β, а также дисперсию данного процесса.

Ответ. Соотношение между α и β определяется уравнением .2 β

α1.

Дисперсия D .4β

α 3 и составляет =D 0.5 volt2.

Задача 2.1.5. Известно, что случайная величина на интервале от нуля

до величины d .2 volt может быть описана (пусть для начальной опреде-

ленности параметр a .2 volt 2) плотностью вероятности

67

p( )x if.a x 0 x d

otherwise0

.

Требуется найти значение параметра “a” и дисперсию случайной вели-чины.

Ответ. Параметр a 2

d2, =a 0.5 volt 2.

Дисперсия D ...136

a d4 ( )..8 a d2 ..2 a2 d4 9 , =D 0.222 volt2.

Задача 2.1.6. Стационарный центрированный гауссов случайный про-

цесс Z(t) с параметрами ε .0.5 volt, α .0.2 sec 2 и нормированной корре-

ляционной функцией ρ ( )τ exp ( ).α τ 2 имеет в сечениях Z(t1) и Z(t2) дву-

мерную плотность вероятности

p ,,z 1 z 2 τ .1

...2 π ε 2 1 ρ ( )τ 2

expz 1

2 ...2 ρ ( )τ z 1 z 2 z 22

..2 ε 2 ( )1 ρ ( )τ 2.

Найти его ненормированную корреляционную функцию R z ( )τ .

Ответ. R z ( )τ .ε 2 exp ( ).α τ 2

2.2. Спектральные характеристики 2.2.1. Основные понятия и соотношения

Пусть [ ]x t t t m( ), ,∈ 0 - реализация эргодического процесса. Для нее

подобно мощностным детерминированным сигналам можно найти спек-тральную плотность мощности (см. энергетические характеристики детерми-нированных сигналов)

SF j

tt

t

mm

m( ) lim| ( ) |

ωω

=→∞

2

.

Выражая квадрат модуля спектральной функции | ( ) | ( ) ( )*F j F j F jt t tm m m

ω ω ω2 = ⋅ через прямые преобразования Фурье функций

x t F jt m( ) ( )⇔ ω и x z) F jtm

( ( )⇔ ∗ ω при z t= − τ , можно показать, что спек-

тральная плотность мощности S(ω) эргодического процесса есть прямое пре-образование Фурье для корреляционной функции R(τ) ,т.е.

68

( )∫∞

∞−

ωτ− ττ=ω deR)(S j . (2.7)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобра-зование

( ) ( )R S e djτπ

ω ωω τ=−∞

∞

∫1

2. (2.8)

Эта пара преобразований, связывающая функции R(τ) и S(ω), называется преобразованием Хинчина - Винера. Они доказали, что такое преобразова-ние справедливо для всех стационарных процессов, а не только для эргодиче-ских.

Так как R(τ) - функция четная, то пару преобразований Хинчина - Вине-ра можно записать в другой форме:

S R d

R S d

( ) ( ) cos( ) ;

( ) ( ) cos( ) .

ω τ ω τ τ

τπ

ω ω τ ω

= ⋅

= ⋅

∞

∞

∫

∫

2

1

0

0

(2.9)

Функцию S(ω) иногда называют энергетическим спектром случайного процесса. Этот спектр не несет сведений о фазовых соотношениях. По нему нельзя восстановить реализацию процесса как функцию времени. Он показы-вает частотное распределение мощности флюктуаций случайного процесса.

По известной функции S(ω) можно найти дисперсию процесса D , т.е. среднюю мощность P ∼ ,

D P= ∼ =∞

∫1

0π

ω ωS d( ) . (2.10)

На основании (2.10) подобно (1.22) имеем условие для выбора практиче-ской ширины спектра случайного процесса:

γP ∼ = ∫1

0π

ω ω

ω

S dc

( ) . (2.11)

В технике для области физически реализуемых частот (f>0) часто при-меняют односторонний спектр мощности

⎩⎨⎧ ≥π

=.0fпри0

;0fпри)f2(S2)f(W

p (2.12)

69

2.2.2. Типовые примеры Пример 2.2.1. Найти энергетический спектр стационарного случайно-

го напряжения U(t), заданного корреляционной функцией (КФ) с параметрами σ .3 volt и α .0.2 sec 1, а именно

R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ ; =R ( ).0 sec 9 volt2. График КФ сигнала U(t) показан на рис.2.2.1 при T .8 sec и

τ ..,.2 T .2 T.2 T

400.2 T.

20 10 0 10 20

5

10

sec

volt

* vo

lt

R ( )τ

τ

Рис.2.2.1 Решение. Воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.7)

S u( )ω .σ2 d∞

0τ.e

.α τ e..j ω τ .σ2 d

0

∞

τ.e.α τ e

..j ω τ .

Тогда для области положительных времен τ имеем assume ,,σ α >α 0

S1 u( )ω .σ2 d0

∞

τ.e.α τ e

..j ω τ .jσ2

( ).j α ω.

Для области отрицательных времен τ интеграл

S2 u( )ω d∞

0τ..σ2 e

.α τ e..j ω τ

должен быть комплексно сопряжен с функцией S1 u( )ω , так как S(ω) - это

действительная функция. Следовательно, S2 u( )ω S1 u( )ω , т.е.

S2 u( )ωσ2

( )α .j ω ;

70

S2 u( )ω .σ2 ( )α .j ω

( )α 2 ω 2

- результат комлексного сопряжения.

Спектральная плотность мощности S u( )ω S1 u( )ω S2 u( )ω .

Подстановка выражений дает

S u( )ω

σ2

( )α .j ω.σ2 ( )α .j ω

( )α 2 ω 2;

S u( )ω ..2 α

σ2

( )α 2 ω 2

- результат упрощения.

Таким образом, на сопротивлении R .1 Ω для данного процесса спек-тральная плотность мощности

S u( )ω ..2 α

Rσ2

( )α 2 ω 2,

причем =S u( ).0 sec 1 90 sec watt . График энергетического спектра (точнее плотности мощности) данного

случайного сигнала приведен на рис.2.2.2 при W .3 sec 1 и

ω ..,W W.2 W50

W.

4 2 0 2 4

50

100

rad / sec

wat

t * se

c

.2 σ2

.R αS u( )ω

ω

Рис.2.2.2 Пример 2.2.2. Найти при γ 0.95 практическую ширину спектра ста-

ционарного случайного сигнала U(t), заданного при параметрах σ .3 volt и

α .0.2 sec 1 корреляционной функцией (КФ) R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ ; =R ( ).0 sec 9 volt2.

График корреляционной функции приведен на рис.2.2.1. Решение. Воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.9)

71

S u( )ω ..2 σ2 d0

∞

τ.e.α τ cos ( ).ω τ

.

Выполним в Mathcad интегрирование:

..2 σ2 d0

∞

τ.e.α τ cos ( ).ω τ

;

..2 σ2 limit ,,( ).exp ( ).α τ ( ).α cos ( ).ω τ .ω sin ( ).ω τ α

( )α 2 ω 2τ ∞ left .

Отсюда, если взять предел (limit) при τ→∞, можно получить

S u( )ω ..2 σ2 α

α 2 ω 2 .

Таким образом, для данного процесса на сопротивлении R .1 Ω спек-тральная плотность мощности

S u( )ω ..2 σ2

Rα

( )α 2 ω 2 ,

причем =S u( ).0 sec 1 90 sec watt . Результат аналогичен примеру 2.2.1. Полная мощность переменной составляющей (флюктуаций) случайного

сигнала определяется дисперсией, которая: 1) при его описании в частотной области, согласно (2.10), будет assume ,,R σ >α 0

D u( )σ .1π

d

0

∞

ω..2 σ2

Rα

( )α 2 ω 2

σ2

R

;

2) при его описании во временной области, согласно D=R(0), будет assume ,,R σ >α 0

lim0τ

.σ2

Re

.α τ σ2

R .

Итак, дисперсия D uσ2

R и средняя мощность флюктуаций P u D u,

=P u 9 watt . На основании (2.11) условие для выбора практической ширины спектра

принимает вид

72

.γσ2

R.1

πd

0

ω cω.

.2 σ2

Rα

( )α 2 ω 2;

.tan ..1

2γ π α

- результат решения уравнения.

Итак, практическая ширина спектра

ω c.α tan ..1

2γ π

и составляет =ω c 2.541 sec 1 rad . Она зависит только от параметров γ и α.

График энергетического спектра (точнее плотности мощности) данного случайного сигнала приведен на рис.2.2.3 при W .3 sec 1 и

ω ..,W W.2 W50

W.

4 2 0 2 4

50

100

rad / sec

wat

t * se

c

.2 σ2

.R αS u( )ω

ω c ω c

ω

Рис.2.2.3 Пример 2.2.3. Случайный процесс X( )t в частотной области имеет

равномерный и ограниченный по частоте спектр мощности низкочастотного вида с параметрами: спектральная плотность мощности P 0

..0.5 watt sec и

частота среза (верхняя граничная частота) спектра ω c.5 sec 1.

Математическая модель спектра мощности имеет вид S x( )ω ifP 0 ω c ω ω c

otherwise0

.

Требуется найти корреляционную функцию и дисперсию данного сигна-ла.

73

График спектральной плотности мощности приведен на рис.2.2.4 при

W .10 sec 1 и ω ..,W WW

200W.

10 5 0 5 10 15

1

rad / sec

wat

t *

sec

P 0S x( )ω

ω c ω c

ω

Рис.2.2.4 Решение. Вид КФ можно найти обратным преобразованием Фурье

(2.8) его спектра мощности, а именно assume ,,P 0 ω c τ

complex

R x( )τ .1.2 π

dω c

ω cω.P 0 e

..j ω τ ..1( ).π τ

sin .ω c τ P 0.

Таким образом,

R x( )τ .P 0sin .ω c τ

( ).π τ.

Полученное выражение можно записать в компактной форме, если ум-ножить его числитель и знаменатель на ωc и учесть определение функции отсчетов

Sa ( )zsin ( )z

z.

В результате получим

R x( )τ ..P 0 ω cπ

Sa .ω c τ .

График КФ при T .5 sec и τ ..,.1.0 T .1.0 TT

400.1.0 T приве-

ден на рис.2.2.5. Данный случайный процесс имеет знакопеременную КФ.

74

6 4 2 0 2 4 6

1

sec

wat

t * se

c.P 0 ω c

πR x( )τ

τ

Рис.2.2.5 Согласно равенству D=R(0), дисперсия процесса будет assume ,P 0 ω c

lim0τ

..P 0 ω cπ

Sa .ω c τ .P 0ω c

π, т.е.

D x.P 0

ω cπ

и составит =D x 0.796 watt

или, используя частотное описание процесса, согласно (2.10)

D x.1

πd

0

ω cωP 0 ;

D x

.P 0ω cπ

- результат интегрирования.

2.2.3. Типовые задачи Задача 2.2.1. Найти интервал корреляции и спектр плотности мощно-

сти стационарного случайного напряжения U(t) , заданного при параметрах σ .3 volt и α .0.2 sec 2

корреляционной функцией

R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 ; =R ( ).0 sec 9 volt2.

Ответ. Интервал корреляции

τ k.1

2π

α ; =τ k 1.982 sec .

На сопротивлении R .1 Ω спектральная плотность мощности

S u( )ω ..σ2 π

.R α

exp .1( ).4 α

ω 2

,

75

причем =S u( ).0 sec 1 35.67 sec watt . Задача 2.2.2. Случайный процесс Y( )t в частотной области имеет

спектр мощности резонансно-полосового вида с параметрами α .1.5 sec 1,

σ .2.5 volt и ω 0.10 sec 1. Модель спектра мощности имеет вид

S y( )ω ..σ2 α1

α 2 ω ω 02

1

α 2 ω ω 02

.

График спектральной плотности мощности приведен на рис.2.2.6. Требуется найти корреляционную функцию сигнала.

40 20 0 20 40

2

4

6

rad / sec

volt

* vo

lt *

sec

σ2

αS y( )ω

ω 0ω 0

ω

Рис.2.2.6 Ответ. Корреляционная функция R y( )τ ..σ2 ( ).exp ( ).α τ Φ ( )τ .exp ( ).α τ Φ ( )τ cos .ω 0 τ ,

где Φ(t) - функция Хевисайда. Так как составляющая .exp ( ).α τ Φ ( )τ отлична от нуля при >τ 0, а со-

ставляющая .exp ( ).α τ Φ ( )τ - при <τ 0, то полученное выражение, учитывая понятие модуля, можно окончательно записать в компактной форме

R y( )ω ..σ2 e.α τ cos .ω 0 τ .

Задача 2.2.3. Для случайного процесса U ( )t из задачи 2.1.1 найти

спектральную плотность мощности. Ответ. При введении определения функции Дирака

Dirac ( )z if∞ z 0

if0 z 0

.

76

спектральная плотность мощности

S( )ω ...1

2U m

2 π Dirac ω ω 0 Dirac ω ω 0 .

Таким образом, спектр мощности представляет собой две дельта-функции на

частотах ±ω0 с площадью 12

2⋅ ⋅U m π .

Задача 2.2.4. Случайный процесс Y( )t имеет с параметрами

α .1.5 sec 1, σ .2.5 volt и ω 0.10 sec 1

корреляционную функцию

R y( )ω ..σ2 e.α τ cos .ω 0 τ .

Требуется найти спектр мощности сигнала. Ответ. Спектральная плотность мощности

S y( )ω ..σ2 α1

α 2 ω ω 02

1

α 2 ω ω 02

.

Задача 2.2.5. Найти дисперсию и спектральную плотность мощности

стационарного случайного сигнала V(t), имеющего с параметрами σ .3 volt

и ω 0..20 π sec 1 корреляционную функцию (КФ)

R v( )τ .σ2sin .ω 0 τ

.ω 0 τ.

Ответ. При введении определения сигнум-функции signum ( )x if1 x 0

if1 <x 0 на сопротивлении R .1 Ω спектральная плотность мощности (рис.2.2.7)

S v( )ω ...12

σ2

Rπ

signum ω 0 ω signum ω 0 ω

ω 0.

77

200 0 200

1Спектр мощности сигнала V(t)

rad / sec

wat

t * se

c

.σ2

π.R ω 0

S v( )ω ω 0ω 0

ω

Рис.2.2.7 Дисперсия

D v σ2 и будет =D v 9 volt2.

Задача 2.2.6. Найти при γ 0.95 практическую ширину спектра ста-

ционарного случайного сигнала U(t), имеющего с параметрами σ .3 volt и

a .0.2 sec 2 корреляционную функцию (КФ)

R u( )τσ2

1 .a τ 2.

Ответ. Практическая ширина спектра

ω c.ln ( )γ 1 a

и составляет =ω c 1.34 sec 1 rad .

Задача 2.2.7. Найти спектральную плотность мощности стационарно-

го случайного сигнала Z(t), имеющего с параметрами σ .3 volt и

α .2 sec 1 корреляционную функцию (КФ)

R z ( )τ ..σ2 1 .α τ( ).α τ 2

3e

.α τ .

Ответ. Спектральная плотность мощности

S z ( )ω ..163

α 5 σ2

( )α 2 ω 2 3.

Задача 2.2.8. Найти дисперсию и корреляционную функцию стацио-

нарного случайного сигнала G(t), имеющего с параметрами σ .3 volt и

α .2 sec 1 спектральную плотность мощности

S g( )ω ..4 σ2 α 3

( )α 2 ω 2 2.

78

Ответ. Дисперсия D g σ2 и составляет =D g 9 volt2.

Корреляционная функция R g( )τ ..σ2 ( )1 .α τ e.α τ .

Задача 2.2.9. Случайный сигнал S(t) имеет спектральную плотность

мощности (рис.2.2.8) W ( )f if..1 watt sec .200 Hz f .400 Hz

otherwise0

.

Требуется найти вид корреляционной функции сигнала.

0 200 400 600

1

Hz

watt * sec

W ( )f

f

Рис.2.2.8 Ответ. При введении обозначений W 0

..1 watt sec, f 1.200 Hz и

f 2.400 Hz

корреляционная функция (рис.2.2.9 при ms .10 3 sec) будет

R s( )τ ..12

W 0sin ...2 π f 2 τ sin ...2 π f 1 τ

( ).π τ

,

15 10 5 0 5 10 15

200

200

График КФ сигнала S(t)

ms

wat

t

.W 0 f 2 f 1

R s( )τ

.τ 103

Рис.2.2.9

79

причем при τ=0 значение функции R s0.W 0 f 2 f 1 и составляет

=R s0 200 watt .

Задача 2.2.10. Помеха ξ(t) представляет собой "белый шум", спек-тральная плотность мощности которого S 0

..0.002 watt sec при <<∞ ω ∞ . Найти корреляционную функцию помехи и действующее значение напряже-ния помехи на сопротивлении R .100 Ω в полосе частот Δ f .250 Hz .

Ответ. Корреляционная функция помехи R ξ ( )τ .S 0 Dirac ( )τ ,

где Dirac ( )z if( ),,z 0 ∞ 0 - функция Дирака (дельта-функция). Действующее напряжение помехи

σ ξ...2 R S 0 Δ f

и составляет =σ ξ 10 volt.

3. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА

3.1. Динамические характеристики линейных устройств

3.1.1. Основные понятия и соотношения Для линейных устройств (ЛУ) справедлив принцип суперпозиции. Раз-

личают два режима работы ЛУ - статический и динамический. Для описания работы реального линейного устройства (РЛУ) в динамическом режиме служат следующие характеристики.

1. Частотные характеристики. 1.1. Комплексный коэффициент передачи или комплексная частотная

характеристика (рис.3.1.1)

Рис.3.1.1 рис.3.1.2

K jF j

F jy

x( )

( )

( )ω

ω

ω= , (3.1)

где Fx(jω) = Ф[x(t)] и Fy(jω) = Ф[y(t)] – преобразование Фурье (спектр) вход-ного x(t) и выходного y(t) сигналов соответственно.

РЛУ y(t)

Y(p)

x (t)

X(p) РЛУ

y(t)

Fy(jω)

x (t)

Fx(jω)

80

Функцию K j( )ω можно представлять в другой форме

K j P jQ K e j( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ϕ ω= + = ⋅ , (3.2)

где K K j P Q( ) | ( ) | ( ) ( )ω ω ω ω= = +2 2 - амплитудно-частотная характери-

стика (АЧХ);

ϕ ωωω

( ) ( )( )

= arctg QP

- фазочастотная характерстика ( ФЧХ).

1.2. Передаточная функция (рис.3.1.2)

K p Y pX p

( ) ( )( )

= , (3.3)

где р=c+jω - комплексная частота; X(p) = L[x(t)] - изображение по Лапласу входного сигнала; Y(p) = L[y(t)] - изображение по Лапласу выходного сигна-ла.

Передаточную функцию К(р) можно получить из комплексного коэффи-циента передачи заменой jω на р, т.е. K j K p( ) ( )ω → при j pω → .

Функция K ( )p является аналитическим продолжением частотного ко-эффициента передачи K ( )ω с мнимой оси jω вещественных частот ω на всю плоскость комплексных частот p.

Достаточно часто передаточная функция представляется отношением двух многочленов - K p M p N p( ) ( ) ( )= .

Передаточная функция линейного четырехполюсника с постоянными параметрами может быть представлена в нуль-полюсном виде

K p Kp z p z p z

p p p p p pm

n( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )= ⋅

− ⋅ − ⋅⋅⋅ −

− ⋅ − ⋅⋅⋅ −01 2

1 2, (3.3 а)

где K 0 - постоянная величина;

..z 1 z m и ..p 1 p n - нули и полюсы передаточной функции, причем чис-

ло полюсов n должно превышать число нулей m. Нули являются корнями уравнения M p( ) = 0 , а полюсы - корнями урав-

нения N p( ) = 0 . Для устойчивой цепи полюсы ..,p 1 p 2 p n должны распо-

лагаться в левой полуплоскости комплексной частоты p, образуя комплексно-сопряженные пары.

2. Временные характеристики. 2.1. Весовая или импульсная функция g(t), t>0 ⎯ это реакция (или от-

клик) устройства на дельта-функцию δ(t) или функцию Дирака Dirac(t) для Mathcad (рис.3.1.3). Для физически реализуемых устройств g(t)=0 при t<0.

81

Рис.3.1.3

Эта функция связана простым соотношением с комплексным коэффици-ентом передачи К(jω), именно

g t K j e dj t( ) ( )= ⋅−∞

∞

∫1

2πω ωω (3.4)

или в операторной форме (обратное преобразование Лапласа)

g tj

K p e dpR

p t

c jR

c jR

( ) lim ( )=⋅

⋅ ⋅→∞

−

+

∫1

2π. (3.5)

Зная в результате эксперимента весовую функцию g(t), можно определять или комплексный коэффициент передачи К(jω) или передаточную функцию К(р):

K j g t e dt K p g t e dtj t p t( ) ( ) ; ( ) ( ) .ω ω= ⋅ = ⋅−

−∞

∞−

∞

∫ ∫0

(3.6)

2.2. Переходная функция h(t), t>0 - это реакция устройства на единичную функцию 1(t) или функцию Хевисайда Ф(t) для Mathcad (рис.3.1.4). Для физи-чески реализуемых устройств h(t)=0 при t<0.

Рис.3.1.4 Связь между функциями h(t) и К(jω) определяется выражением

h(t K K jj

e dj t) ( ) ( )= +

−∞

∞

∫12

0 12π

ωω

ωω . (3.7)

Если учитывать только переменную (~) составляющую отклика (постоянной составляющей K(0)/2 пренебрегаем), то тогда связь между функциями h(t), К(jω) и К(р) принимает вид

K(jω) y(t) x (t)

0 t

g(t)∞

δ(t)

t0

K(jω) y(t) x (t) 1

1(t)

0 t

Единичный скачок

t

h(t)

0

К(0) 2

82

h(tK j

je d

h(tj

K pp

e dp

j t

R

p t

c jR

c jR

)( )

;

) lim( )

;

= ⋅

=⋅

⋅ ⋅

−∞

∞

→∞−

+

∫

∫

12

12

πω

ωω

π

ω

K j j h(t e dt

K p p h(t e dt

j t

p t

( ) ) ;

( ) ) .

ω ω ω= ⋅

= ⋅

−

−∞

∞

−∞

∫

∫0

ПРИМЕЧАНИЯ 1. Вычисление интегральных преобразований Фурье и Лапласа Это вычисление значительно облегчается при использовании методов

контурного интегрирования на плоскости комплексного переменного. При этом вычисление интеграла сводится к определению вычетов Res в полюсах подынтегральной функции.

2. Вычеты и контурные интегралы Пусть f(z) есть функция комплексной переменной z=x+jy. Пусть эта ком-

плексная функция аналитична в точке z=a, т.е. дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Корни уравнения f(z)=0 называют нулями функции f(z). Нулю порядка m соответствует m одинаковых корней уравнения f(z)=0.

Точка z=a является особой, если в самой точке z=a функция f(z) неана-литична, а в ее окрестностях - аналитична. К особым точкам относятся полю-са f(z). Точка z=a является полюсом, если lim (

z af z)

→= ∞ . Точка z=a будет

полюсом порядка r, если комплексную функцию можно представить в виде

f z)z)

z a r(

(

( )=

−

ψ, где ψ(z) аналитична и ψ( )a ≠ 0 .

Вычетом Re ( )s f a функции f(z) в точке z=a называется контурный инте-грал вида

Re ( ) ( )s f aj

f d

C

=⋅

←∫

12π

ζ ζ ,

где C- контур, окружающий точку z=a. Стрелка показывает, что интеграл берется по пути C в направлении против часовой стрелки. Тогда интегриро-вание ведется внутри контура C и вычитается эта область.

При z=∞ вычет

(3.8)

(3.8 а)

(3.9)

(3.9 а)

83

Re ( ) ( )s fj

f d

C

∞ =⋅

→∫

12π

ζ ζ ,

где интегрирование проводится по часовой стрелке и соответствует области вне контура C. Следует отметить, что Re ( ) lim [ (s f zf z)]

z∞ = −

→∞.

Если z=a≠∞ есть полюс порядка r, то вычет

[ ]Re ( )( ) !

lim ( ) (s f ar

d

dzz a f z)

z a

r

rr=

−−

→

−

−11

1

1 . (3.10)

В частности, если z=a≠∞ - простой полюс (r=1) и f(z)=M(z)/ N(z), где M(z) и N(z) - аналитические функции в точке z=a , причем M(a)≠0, N(a)=0 и N′(a)≠0, то вычет

Re ( )( )( )

s f aM aN a

=′

. (3.11)

Вычислить интеграл по замкнутому контуру, охватывающему особые точки z1, z2,...,zn, позволяет теорема о вычетах

12

1π

ζ ζ⋅

==

∑∫←

jf d s f zk

k

n

C

( ) Re ( )

или в другой форме f d j s f zkk

n

C

( ) Re ( )ζ ζ π= ⋅ ⋅=

∑∫←

21

. (3.12)

Теорема вычетов позволяет также находить некоторые определенные интегралы от функций действительной переменной t вида:

f t dt f t mt dt f t mt dt( ) ; ( ) cos( ) ; ( ) sin( )−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫ ∫ , где m≥0.

Для их вычисления следует применить формулу (3.12) к контуру, состоящему из интервала (-R,R) действительной оси и дуги CR окружности | z |=R в верх-ней полуплоскости. При R→∞, согласно леммы Жордана, можно отбросить интегралы по дуге CR .

Например, если при замене действительной переменной t на комплекс-ную переменную z функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости с уче-том действительной оси, за исключением конечного числа особых точек zk , лежащих сверху от действительной оси, и уравнение f(1/ z)=0 имеет нулевые корни кратности m≥2, то

12

1π

f t dt j s f z kk

n( ) Re ( )= ⋅

=−∞

∞

∑∫ . (3.13)

84

3. Вычисление обратного преобразования Лапласа Если F(p) − алгебраическая функция и выражается отношением двух

многочленов F(p)=M(p)/ N(p), причем степень многочлена M(p) выше степени многочлена N(p), то обратное преобразование [ ]L F p−1 ( ) равно сумме вычетов

функции F p e pt( ) ⋅ по всем особым точкам (полюсам) функции F(p). Для вычисления обратного преобразования Лапласа сначала находят

корни pk уравнения N(p)=0, которые определяют полюсы F(p). Если корни уравнения простые (r=1), то N(p)=a0(p-p1)(p-p2)⋅⋅⋅(p-pn) и обратное преобразо-вание

[ ]f t L F pM p

N pe tk

k

p t

k

nk( ) ( )

( )

( ),= =

′⋅ ≥−

=∑1

1

0 (формула обращения). (3.14)

3.1.2. Типовые примеры Пример 3.1.1. Найти частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) Г-

образного четырехполюсника (рис.3.1.5), собранного из элементов: резистора с сопротивлением R .5 K Ω , катушки индуктивности L .0.1 henry и кон-денсатора емкости C .0.2 μF .

L

Вых.C RВх.

Рис.3.1.5

Решение. Из электротехники известно, что сопротивления элементов этой схемы в операторной форме

Z r ( )p R , Z c( )p

1.p C

и Z l ( )p .p L.

Сопротивление параллельно включенных элементов R и C будет

Z rc ( )p.Z c( )p Z r ( )p

Z r ( )p Z c( )p, т.е. Z rc ( )p

R( )..p C R 1

.

Тогда в операторной форме коэффициент передачи схемы по напряже-нию

K ( )pZ rc ( )p

Z l( )p Z rc ( )p .

Подставляя выражения для операторных сопротивлений, получим

85

K ( )p

R( )..p C R 1

.p LR

( )..p C R 1

или K ( )pR

( )...p2 L R C .p L R .

Если ввести обозначения ω o1

.L C (резонансная частота) и α

1..2 R C

(коэффициент затухания), то для этой схемы, представляющей собой звено 2-го порядка, передаточная функция по напряжению может быть записана в следующем виде

K ( )pω o

2

p2 ..2 α p ω o2

.

Замена оператора Лапласа p оператором Фурье jω дает комплексный частотный коэффициент передачи по напряжению

K ( )ωR

( )...ω 2 L R C ..j ω L R .

Запись его в форме P(ω)+jQ(ω) позволяет выделить действительную и мни-мую части комплексной функции K(ω):

P ( )ω .R( )...ω 2 L R C R

( )...ω 2 L R C R2 .ω 2 L2

;

Q( )ω ..R ωL

( )...ω 2 L R C R2 .ω 2 L2

.

Согласно (3.2), амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

A( )ω K ( )ω или A P Q( ) ( ) ( )ω ω ω= +2 2 .

Подстановка выражений P(ω), Q(ω) и последующее упрощение дает

A( )ωR

...ω 4 L2 R2 C2 ....2 ω 2 L R2 C R2 .ω 2 L2

.

Для области физически реализуемых частот f>0 ( ω=2πf ) АЧХ будет A1( )f A( )..2 π f .

Согласно (3.2), фазочастотная характеристика (ФЧХ)

86

α ( )ω atan

..R ωL

( )...ω 2 L R C R2 .ω 2 L2

.R( )...ω 2 L R C R

( )...ω 2 L R C R2 .ω 2 L2

;

α ( )ω atan .ω

L

( ).R ( )..ω 2 L C 1 - результат упрощения.

Для области физически реализуемых частот f>0 (ω=2πf) ФЧХ будет

α ( )f atan .( )..2 π fL

( ).R ( )..( )..2 π f 2 L C 1 .

Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис.3.1.6 и 3.1.7 при F0 .2000 Hz

и f ..,0F0100

F0 .

0 500 1000 1500 2000

5

10

Hz

Коэфф

ициент

передачи

.R

LC

A1( )f

.ω o ( ).2 π1

f

Рис.3.1.6

0 500 1000 1500 2000

2

2

Hz

rad α( )f

f

Рис.3.1.7 Найдем коэффициент передачи на резонансной частоте: assume ,,R L C

87

lim1

.L Cω

R

...ω 4 L2 R2 C2 ....2 ω 2 L R2 C R2 .ω 2 L2

.R

LC

.

Таким образом, резонансный коэффициент передачи напряжения

K 0.R

CL

.

Данная схема при малых значениях сопротивления резистора (R<1KoM) представляет собой пассивный фильтр нижних частот, а при больших его сопротивлениях (R>10KoM) может выполнять роль полосового фильтра.

Пример 3.1.2. Найти передаточную функцию схемы на рис.3.1.8, пред-

ставляющей собой операционный усилитель ОУ c коэффициентом усиления K1 1000, охваченный однопетлевой обратной связью. Схема является инвертирующим усилителем.

C 2

R 2 -Вых.

C 1

R 1Вх.

Z 1Z 2

K 1 +

Рис.3.1.8

Элементы Z1 и Z2 - это пассивные двухполюсники, которые имеют ре-зистивно-емкостной характер с параметрами:

R1 .1 K Ω и C1 .0.001 μF ; R2 .8 K Ω и C2 .0.005 μF . Двухполюсник Z2 соединяет инвертирующий вход ОУ с его выходом,

образуя петлю отрицательной обратной связи. Решение. Пассивные RC-двухполюсники характеризуются постоянны-

ми времени T 1.R1 C1 и T 2

.R2 C2. Их операторные сопротивления Z1(p) и Z 2(p) будут

Z 1( )pR1

.p T 1 1 и Z 2( )p

R2.p T 2 1

.

Из интегральной электроники известно, что для данной схемы коэффи-циент усиления по постоянному току

88

KZ

Z

KZ

K

=−

++

2

211

11 1

.

Подстановка в это выражение операторных сопротивлений дает передаточ-ную функцию данного активного звена

K ( )pZ 2( )p

Z 2( )p

K1.Z 1( )p

1K1 1

.

Так как ОУ имеет коэффициент усиления K1>>1, то можно записать приближенное равенство

K ( )pZ 2( )p

Z 1( )p или K ( )p .R2

R1

.p T 1 1

.p T 2 1

.

Знак минус здесь отражает инверсию входного сигнала. Пример 3.1.3. Найти временные характеристики схемы на рис.3.1.9,

собранной из двух звеньев с передаточными функциями K1(p) и K2(p), а так-же элемента развязки на основе эммитерного повторителя с коэффициентом передачи K 0 1.

Рис.3.1.9

Каждое звено является инерционным звеном 1-го порядка с постоянны-ми времени T 1

.0.001 sec и T 2

.0.004 sec. Передаточные функции по напряжению таких звеньев имеют вид

K 1( )p1

1 .p T 1 и K 2( )p

11 .p T 2

.

Решение. Передаточная функция схемы в целом при последователь-ном соединении звеньев определяется как произведение их передаточных функций, т.е. K(p)=K1(p)K0K2(p). Таким образом,

K ( )pK 0

.1 .p T 1 1 .p T 2 .

Здесь p - это комплексная частота. Полагая для определенности c 1 и ω 2, определим комплексную частоту как p c .j ω .

89

Согласно (3.5), для определения импульсной характеристики g(t) схемы необходимо найти обратное преобразование Лапласа ее передаточной функ-ции. С этой целью используем в Mathcad оператор обратного преобразования Лапласа Inverce Laplace Transform в виде 1-1(*), где * - преобразуемое выра-жение. Тогда можно записать

g ( )t .1 1

K 0.1 .p T 1 1 .p T 2

.

В результате преобразования имеем

g ( )t ..K 0 T 1

exp .1T 1

t

.T 2 T 1 T 12

..T 2 K 0

exp .1T 2

t

T 22 .T 2 T 1

, t>0.

На основании (3.8) переходную характеристику h(t) схемы можно найти, выполнив обратное преобразование Лапласа нижеследующего выражения

h ( )t .1 1K 0

.p .1 .p T 1 1 .p T 2 .

В результате преобразования получим

h ( )t K 0..K 0 T 1

2

exp .1T 1

t

.T 2 T 1 T 12

..K 0 T 22

exp .1T 2

t

T 22 .T 2 T 1

;

h ( )t .K 0T 2 T 1

.T 1 e

tT 1 .T 2 e

tT 2

T 2 T 1, t>0

- после упрощения.

Графики временных характеристик показаны на рис.3.1.10 и 3.1.11 в

случае, когда единица измерения времени одна миллисекунда ms .10 3 sec , при

M .20 ms и t ..,0M

100M.

90

0 5 10 15 20

100

200

ms

1 / s

ec

g( )t

.t 103

Рис.3.1.10

0 5 10 15 20

1

ms

безразмерная

h( )t

Φ ( )t

.t 103

Рис.3.1.11 Переходную функцию можно также найти другим путем, а именно на

основании импульсной функции при подаче на вход схемы единичного скачка или функции Хевисайда Ф(t), используя интеграл свертки (3.16). Тогда

h ( )t d

0

t

τ.Φ ( )t τ..K 0 T 1 e

.1T 1

τ

.T 2 T 1 T 12

..T 2 K 0 e

.1T 2

τ

T 22 .T 2 T 1

.

Интегрирование дает

h ( )t .K 0

T 2 T 1.T 1 exp .1

T 1t .T 2 exp .1

T 2t

T 2 T 1 , t>0.

Пример 3.1.4. Найти импульсную характеристику g(t) схемы из приме-

ра 3.1.1 (рис.3.1.5), имеющей резонансную частоту ω o..7 103 sec 1 и коэф-

91

фициент затухания α .500 sec 1. Передаточная функция схемы как звена 2-го порядка имеет вид

K ( )pω o

2

p2 ..2 α p ω o2

.

Здесь p - комплексная частота. Полагая для определенности c .1 sec 1 и

ω .2 sec 1, определим ее как p c .j ω . Решение. Согласно (3.5), импульсная функция

g ( )t .1..2 π j

d

c .j ∞

c .j ∞

p.ω o

2

p2 ..2 α p ω o2

e.p t

.

Она определяется обратным преобразованием Лапласа передаточной функ-ции, т.е. g(t)=L-1[K(p)]. Вычислим это преобразование методом вычетов, используя формулу обращения (3.14).

Знаменатель передаточной функции есть полином N ( )p p2 ..2 α p ω o

2. C помощью Mathcad решим в символическом виде уравнение p2 ..2 α p ω o

2 0;

α α 2 ω o2

α α 2 ω o2

- корни уравнения.

Таким образом, функция K(p) имеет два простых (разных) полюса

p 1 α α 2 ω o2 и p 2 α α 2 ω o

2, причем

=p 1 500 + 6.982 103 j sec 1 ; =p 2 500 6.982 103 j sec 1 . Эти два полюса являются комплексно-сопряженными.

Согласно (3.12) и (3.14), вычет Res p1 ( )t функции K(p)ept в точке p1 будет

Res p1 ( )t limp 1p

.ω o

2

dd p

N ( )p

e.p t .

.

92

Вычислим предел

lim

α α 2 ω o2p

.ω o

2

dd p

p2 ..2 α p ω o2

e.p t ;

...12

j ω o2

exp .α .j ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

- результат взятия предела.

Итак, первый вычет

Res p1 ( )t ...12

j ω o2

exp .α .j ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

.

Найдем вычет Res p2 ( )t функции K(p)ept в точке p2 как

lim

α α 2 ω o2p

.ω o

2

dd p

p2 ..2 α p ω o2

e.p t ;

...12

j ω o2

exp .α .j ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

- результат взятия предела.

Итак, второй вычет

Res p2 ( )t ...12

j ω o2

exp .α .j ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

.

На основании (3.14) для t>0 импульсная функция g ( )t Res p1 ( )t Res p2 ( )t , т.е.

g ( )t ..j2

ω o2 e

.α .j ω o2

α2

t

ω o2 α 2

..j2

ω o2 e

.α .j ω o2

α2

t

ω o2 α 2

, t>0.

93

Она при A( )t.ω o

2 e.α t

ω o2 α 2

приводится к виду

g ( )t .A( )te

..j ω o2

α2

te

..j ω o2

α2

t

.2 j ,t>0.

Отсюда окончательно следует

g ( )t ..ω o2 exp ( ).α t

sin .ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

, t>0.

График импульсной функции показан на рис.3.1.12 в случае, когда еди-

ница измерения времени ms .10 3 sec, при M .10 ms и t ..,0M

100M.

0 5 10

5

5

10

ms

1 / m

s .g( )t 10 3

.A( )t 10 3

.t 103

Рис.3.1.12 Таким образом, при подаче на вход рассматриваемой схемы (рис.3.1.5),

представляющей собой последовательный колебательный контур с потерями, сигнала в виде дельта-функции Дирака на выходе получаем затухающие си-нусоидальные колебания с собственной частотой контура (СЧК)

ω счк ω o2 α 2.

3.1.3. Типовые задачи Задача 3.1.1. Требуется найти динамические характеристики интегри-

рующей RC-цепи (рис.3.1.13, где R .10 K Ω и C .200 μF ) с постоянной времени T .R C, причем =T 2 sec

.

94

C

R

Вх. Вых.

Рис.3.1.13

Ответ. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

A( )ω1

1 .ω 2 T2

.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) α ( )ω atan ( ).ω T . Импульсная функция

g ( )t .1T

exptT

, t>0.

Переходная функция h ( )t 1 e

tT, t>0.

ПРИМЕЧАНИЕ. Переходную функцию можно также записать без ука-зания временного ограничения (t>0), используя вместо него временное окно в виде функции Хевисайда Ф(t), так как она равна 1 при t>0 и 0 при t<0. В этом случае

h ( )t .1 expt

TΦ ( )t .

Подобным образом можно записывать также импульсную функцию.

Задача 3.1.2. Найти амплитудно-частотную характеристику схемы на рис.3.1.8 из примера 3.1.2.

Ответ. АЧХ

A( )ω ..ω 2 T 12 1

R2

.1 .ω 2 T 22 R1

.

Задача 3.1.3. Построить амплитудно-частотную характеристику схемы

на рис.3.1.14, имеющей следующие параметры элементов: сопротивление резистора R .0.5 K Ω ; индуктивности катушек L 1

.0.113 henry и

L 2.0.113 henry ; емкости конденсаторов C 1

.0.224 μF и

C 2.0.224 μF .

95

Рис.3.1.14

Ответ. АЧХ приведена на рис.3.1.15 и соответствует полосовому фильтру.

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

1

Hz

Величина коэффи

циента

передачи

A( )f

f

Рис.3.1.15 Задача 3.1.4. Найти методом вычетов, используя частотный коэффи-

циент передачи, импульсную характеристику g(t) схемы из примера 3.1.1 (рис.3.1.5), имеющей резонансную частоту ω o

..7 103 sec 1 и коэффициент

затухания α .500 sec 1. Частотный коэффициент передачи схемы

K ( )ωω o

2

ω 2 ...2 j α ω ω o2

.

Ответ. Результат должен быть аналогичен примеру 3.1.3, т.е.

g ( )t ..ω o2 exp ( ).α t

sin .ω o2 α 2 t

ω o2 α 2

, t>0.

96

Задача 3.1.5. Требуется найти комплексный частотный коэффициент передачи дифференцирующей RC-цепи (рис.3.1.16, где R .20 K Ω и C .0.01 μF ), если известна ее импульсная функция

g ( )t Dirac ( )t .1.R C

e

t.R C .

C

Вх. R Вых.

Рис.3.1.16

Задача 3.1.6. Дана схема интегрирующей RL-цепи (рис.3.1.17, где R .2 K Ω и L .0.1 henry ). Требуется найти ее импульсную характеристи-ку.

L

R Вых.Вх.

Рис.3.1.17

Задача 3.1.6. Дана схема дифференцирующей RL-цепи (рис.3.1.18, где R .2 K Ω и L .0.1 henry ). Требуется найти ее импульсную характеристи-ку. R

Вх. L Вых.

Рис.3.1.18

Задача 3.1.7. Найти и построить амплитудно-частотную характеристику схемы на рис.3.1.19, где сопротивление резистора R .0.5 K Ω , индуктив-ность катушки L .0.1 henry и емкость конденсатора C .0.2 μF .

Ответ. Частотный коэффициент пере-дачи

K ( )ω...j ω R C

1 ...j ω R C.

Ответ. Импульсная характеристика

g ( )t Dirac ( )t ..RL

exp .RL

t Φ ( )t .

Ответ. Импульсная характеристика

g ( )t ..RL

exp .RL

t Φ ( )t .

97

C

Вх. L R Вых.

Рис.3.1.19

Ответ. Для области физически реализуемых частот АЧХ

A( )f( )..2 π f 2

( )..2 π f 4 .2 ( )..2 π f 2

.L C1.L2 C2

( )..2 π f 2

.R2 C2

.

График АЧХ приведен на рис.3.1.20 и соответствует фильтру верхних

частот.

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

0.5

1

Амплитудно-частотная характеристика

Hz

коэффи

циент передачи

A( )f

f

Рис.3.1.20 Задача 3.1.8. Найти импульсную и переходную функции, а также ампли-

тудно-частотную характеристику активного RC-фильтра нижних частот пер-вого порядка, схема которого дана на рис.3.1.21, где сопротивления резисто-ров R .1 K Ω и емкость конденсатораC .1 μF .

98

C

K 1 +

-Вых.

R

Вх.

R

Рис.3.1.21

Ответ. Импульсная характеристика

g ( )t ..1( ).R C

exp .1( ).R C

t Φ ( )t .

Переходная характеристика

h ( )t 1 .exp .1( ).R C

t Φ ( )t .

Амплитудно-частотная характеристика

A( )ω1

1 ..ω 2 R2 C2

.

3.2. Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства

3.2.1. Основные понятия и соотношения Различают следующие основные задачи динамики.

3.2.1.1. Экспериментальное определение динамических характеристик устройства

Устройство рассматривается как “черный ящик” и оценивается его ре-акция на испытательные сигналы δ(t) и 1(t). Зная в результате эксперимента весовую функцию g(t) или переходную функцию h(t), можно на основании (3.6) или (3.9) определять или комплексный коэффициент передачи К(jω) или передаточную функцию К(р).

3.2.2.2. Определение спектра выходного сигнала Спектр выходного сигнала y(t) находится на основании (3.1). Решение

данной задачи в общем случае имеет вид [ ]F j K j F j K j Ф x tу x( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ . (3.15)

или, учитывая (3.6), [ ] [ ]F j Ф g t Ф x tу ( ) ( ) ( )ω = ⋅ . (3.16)

Выбор алгоритма решения зависит от вида заданной динамической ха-рактеристики устройства.

99

Спектр амплитуд и фаз выходного сигнала можно выразить через соот-ветствующие частотные характеристики воздействия и устройства. На осно-вании (3.2), (3.15) и (1.8) имеем

[ ]F j A e K e A e A K ey yj j

xj

xjy x x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω ω

ϕ ω α ω ϕ ω α ω ϕ ω= = =

+.

Отсюда следует A A Ky x( ) ( ) ( )ω ω ω= ; (3.17)

ϕ ω ϕ ω α ωy x( ) ( ) ( )= + . (3.18)

В случае ЛУ с переменными параметрами, когда коэффициент передачи зависит от времени и равен K t( ) , целесообразно сначала находить отклик устройства во временной области, а затем , используя прямое преобразование Фурье, спектр выходного сигнала

[ ] [ ]F j Ф y t Ф K t x ty ( ) ( ) ( ) ( )ω = = ⋅ . (3.19)

3.2.1.3. Определение выходного сигнала у(t) при заданных входном сиг-нале x(t) и характеристиках устройства К(jω) или К(р)

Эту задачу можно решать тремя методами. 1. Спектральный метод. Алгоритм решения определяется равенством

[ ] [ ] [ ]{ }y t F j F j K j K j x ty x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= = ⋅ = ⋅− − −Φ Φ Φ Φ1 1 1ω ω ω ω (3.20)

Процесс прохождения сигнала через ЛУ на основе спектрального пред-ставления сигнала поясняет схема на рис.3.2.1. Решение задачи сводится к следующему. Определяется спектр входного сигнала. Умножая его на ком-плексный коэффициент передачи, находят спектр выходного сигнала. Затем, применив обратное преобразование Фурье, получают отклик устройства.

Рис.3.2.1

2. Операторный метод. Порядок решения следует из равенства

[ ] [ ] [ ]{ }y t L Y p L X p K p L K p L x t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= = ⋅ = ⋅− − −1 1 1 (3.21) Этот метод подобен спектральному и отличается применением преобразо-

вания Лапласса. 3. Временной метод. Так как

F j F j K j F j F jy x x g( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ ,

где F jg ( )ω - спектральная функция импульсной функции g(t), то согласно

теореме о свертке

K(jω) y(t) Fy(jω) x (t) Fx(jω)

Fy(jω)= Fx(jω)•K(jω)

100

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F j F j x g t d x t g d x t g tx g

t t

ω ω τ τ τ τ τ τ⋅ ⇔ − = − = ∗∫ ∫0 0

,

где ∗ - обозначение свертки двух функций.

Следовательно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t x g t d x t g tt

= − = ∗∫ τ τ τ0

. (3.22)

3.2.1.4. Оценка динамической погрешности преобразования Качество работы реального устройства в динамическом режиме оцени-

вается динамической погрешностью, которая обычно устанавливается путем сопоставления результатов преобразования входного сигнала для идеального и реального устройства. Под динамической погрешностью во временной об-ласти понимают разность откликов реального и идеального ЛУ, т.е.

Δ( ) ( ) ( )рt y t y tе ал иде ал= − . (3.23)

Динамическую погрешность можно определить и в частотной области как преобразование Фурье функции Δ( )t , а именно

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )F j K j K j F j или p K p K p X pид x идΔ Δω ω ω ω= − = − , (3.24)

где K(jω) и Kид(jω) - комплексные частотные коэффициенты передачи соот-ветственно реального и идеального устройств. При этом [ ]Δ Δ( ) ( )t Ф F j= −1 ω .

Отсюда следует, что динамическая погрешность зависит как от характеристик устройства, так и от вида входного сигнала.

Вид комплексного коэффициента передачи идеального устройства зави-сит от характера его преобразования (масштабирование, дифференцирование, интегрирование и т.д.) и от формулировки требований, предъявляемых к опе-рации преобразования.

В технике наиболее распространенной операцией является масштабиро-вание. Масштабирующее устройство (датчик) должно обеспечивать неиска-жаемую передачу входного сигнала. Для этого достаточно, чтобы отклик был точной копией входного сигнала. При этом допускается различие в амплиту-де, так как важна форма, а не величина отклика. Кроме того, часто допускает-ся запаздывание во времени выходного сигнала относительно воздействия.

Поэтому можно считать, что сигнал x(t) передается без искажений, если отклик устройства y t K x t t( ) ( )= ⋅ − 0 , где K - масштабный коэффициент, рав-

ный частотному коэффициенту передачи K(0) на нулевой частоте, и t 0 - вре-мя запаздывания. На основании свойства временного сдвига преобразования Фурье имеем

F j K j F j K F j ey ид x xj t( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω= = −0 0 .

101

Следовательно, при масштабировании идеальное (неискажающее) уст-ройство должно иметь комплексный коэффициент передачи

K j K e K eид идj j tид( ) ( ) ( )

( )ω ω

α ω ω= ⋅ =

−0 0 . (3.25)

Отсюда следует, что АЧХ такого утройства должна быть постоянна на всех частотах и равна K(0), т.е. K Kид ( ) ( )ω = 0 . С другой стороны, ФЧХ должна

быть линейной функцией частоты, т.е. α ω ωид t( ) = − ⋅ 0 . Если запаздывание

выходного сигнала недопустимо, то ФЧХ α ωид ( ) = 0 .

3.2.1.5. Определение энергетических характеристик выходного сигнала Задача определения энергетических характеристик выходного сигнала

решается на основании теоремы Парсеваля и понятия энергетических харак-теристик в частотной области. В результате на выходе имеем:

а) спектральную плотность энергии

E F j K j F j K E K Ey y x x p x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω ω ω ω= = = =2 2 2 , (3.26)

где E x ( )ω - спектральная плотность энергии входного сигнала,

E F j Ax x x( ) ( ) ( )ω ω ω= =2 2 , и K K j Kp ( ) ( ) ( )ω ω ω= =2 2 - частотный коэф-

фициент передачи мощности; б) энергию

E F j d K E d K A dy y x x= = =∞ ∞∞

∫ ∫∫1 1 12

0

2 2 2

00π

ω ωπ

ω ω ωπ

ω ω ω( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; (3.27)

в) спектр плотности мощности

SF j

t

K j F j

tK Sy t

yt

m t

yt

mx

m

m

m

m( ) lim( )

lim( ) ( )

( ) ( )ω

ω ω ω

ω ω= = =→∞ →∞

2 2

2 , (3.28)

где Sx ( )ω - спектральная плотность мощности входного сигнала; г) среднюю мощность

P S d K S dy y x= =∞∞

∫∫1 1 2

00π

ω ωπ

ω ω ω( ) ( ) ( ) . (3.29)

Для периодических сигналов формула (3.29) с учетом (1.10) приводится к виду

P K P a K A Ky kk

x k x kx kk

= = +=

∞

=

∞

∑ ∑2

002 2 2 2

1

0 12

( ) ( ) ( ) ( )ω ω ω . (3.30)

102

3.2.1.6. Коррекция динамических характеристик устройства При разработке масштабирующих устройств для улучшения их динами-

ческих свойств стремятся по возможности получить постоянную АЧХ в ши-роком диапазоне частот. Расширение полосы пропускания устройства можно достигнуть путем включения корректирующих звеньев со специально подоб-ранной комплексной частотной характеристикой. Корректирующие звенья обычно включают последовательно и в виде отрицательной обратной связи (рис.3.2.2).

Рис.3.2.2

Условие последовательной идеальной коррекции K j K const∑ = =( )ω , где K j K j K j∑ =( ) ( ) ( )ω ω ω1 .

Отсюда следует, что последовательное корректирующее звено должно иметь комплексный коэффициент передачи вида

K j KK j1( )

( )ω

ω= . (3.31)

В случае коррекции посредством отрицательной обратной связи, когда

K j K jK j K joc

∑ =+

( ) ( )( ) ( )

ωω

ω ω1,

необходимо выполнение условия K(jω)Koc(jω)>>1. Тогда получим

K jK joc

∑ ≈( )( )

ωω

1 , (3.32)

т.е. частотные характеристики скорректированного устройства определяются звеном обратной связи. В частности, при Koc(jω)=β получим идеальную кор-рекцию путем введения отрицательной обратной связи

K j∑

≈( )ω β1 .

3.2.2. Типовые примеры Пример 3.2.1. Пусть задан идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) ,

имеющий амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) с коэффициентом передачи K 0 1.5 и частотой среза f c

.350 Hz , а также линейную фа-

зочастотную характеристику (ФЧХ) α(f)=-2πft0 с параметром t0.

K(jω) K1(jω) y(t) x(t)

“-” x(t) K(jω)

Koc(jω)

y(t)

103

Примем за единицу времени одну миллисекунду ms .10 3 sec. Пусть на вход ФНЧ подается периодическая последовательность прямоугольных импульсов x(t) с параметрами: амплитуда импульса U m

.1 volt, длитель-

ность импульса τ .2.5 ms и период следования импульсов T .4 τ .

Требуется при условии t 0τ

2 найти для выходного сигнала y(t) спек-

тры амплитуд и фаз, вид сигнала и его среднюю мощность. Решение. Аналитическое выражение АЧХ идеального ФНЧ имеет вид

K ( )f ifK 0 0 f f c

otherwise0

.

ФЧХ идеального ФНЧ α ( )f if...2 π f t 0 0 f f c

otherwise0

.

Математическая модель периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсов для трех периодов

x ( )t ifU m 0 t τ

ifU m <T t T τ

ifU m <.2 T t .2 T τ

otherwise0

Графики входного сигнала при t ..,T T .0.01 ms .3 T, а также

АЧХ и ФЧХ при f ..0 .0.5 KHz приведены на рис.3.2.3, 3.2.4 и 3.2.5.

10 0 10 20 30

1

msvo

lt x( )t

.t 103

Рис.3.2.3

104

0 500

1

2

Hz

Коэфф

ициент

передачи

K( )f

f

0 500

4

2

Hz

rad α( )f

f

Рис.3.2.4 Рис.3.2.5 Для решения этой задачи необходимо прежде всего найти спектр вход-

ного сигнала. Так как входной сигнал представляет собой периодическую функцию времени, то для его представления в частотной области можно ис-пользовать как тригонометрический ряд Фурье, так и экспоненциальный ряд Фурье. Первое разложение дает односторонний спектр (f>0), а второе - дву-сторонний (0<f<0). Поскольку заданная АЧХ-фильтра соответствует односто-роннему спектральному представлению, то для нахождения спектра входного сигнала воспользуемся тригонометрической формой ряда Фурье (1.1).

Так как при временном сдвиге амплитудный спектр не изменяется, то

сдвинем сигнал на величину t cτ

2, перенеся тем самым начало координат в

середину импульса. При этом, согласно теореме о временном сдвиге, изме-нится спектр фаз на величину φ cx ( )f ...2 π f t c.

В результате при частоте 1-й (основной) гармоники f 11T

и числе

N 10 учитываемых гармоник k ..0 N коэффициенты разложения в ряд Фурье будут следующими:

а) a 0.1

Td

τ

2

τ

2tU m

- постоянная составляющая ;

a 0..1

TU m τ

- результат интегрирования, причем =a 0 0.25 volt.

105

б) ak.2

Td

τ

2

τ

2t.U m cos .

..k 2 π

Tt

,k 0 ;

ak

..2sin ..k π

τ

T( ).k π

U m - результат интегрирования,

например, =a1 0.45 volt;

в) bk.2

Td

τ

2

τ

2t.U m sin .

..k 2 π

Tt ,k 0;

интегрирование дает bk.0 volt, как и следовало ожидать для четной функ-

ции. Итак, cпектр амплитуд входного сигнала при k 1 будет

Ak..2

sin ..k πτ

T( ).k π

U m; =A1 0.45 volt .

С учетом постоянной составляющей амплитудный спектр принимает вид A x( )k ifa 0 k 0

ifAk k 0

.

Фазовый спектр входного сигнала

φ x( )k atan

bk

ak

φ cx.k f 1

или, так как bk=0,

φ x( )k φ cx.k f 1 , т.е.φ x( )k ....2 π k f 1 t c .

На основании (3.17) спектр амплитуд выходного сигнала A y( )k .A x( )k K .k f 1 ;

При подстановке функций A k)x ( и K f( ) окончательно можно записать

106

A y( )k if.a 0 K 0 k 0

if...2sin ..k π

τ

T( ).k π

U m K 0.( )k 0 .k f 1 f c

otherwise0

Согласно (3.18), спектр фаз выходного сигнала φ y( )k α .k f 1 φ x( )k

или

φ y( )k if....2 π k f 1 t 0 t c 0 .k f 1 f c

otherwise0

.

Спектрограммы входного и выходного сигналов приведены на рис.3.2.6 и рис.3.2.7.

0 10

номер гармоники

volt A x( )k

k

0 10

1

номер гармоники

A y( )k

k

а а

0 10

10

5

номер гармоники

rad φ x( )k

k

0 10

5

номер гармоники

rad φ y( )k

k

б б Рис.3.2.6 Рис.3.2.7 Таким образом, на выходе ФНЧ будут присутствовать только постоян-

ная составляющая и первые три гармоники. Остальные частотные состав-ляющие входного спектра полностью подавляются идеальным ФНЧ, так как его коэффициент передачи на этих частотах равен нулю.

Вид выходного сигнала (рис.3.2.8) как суперпозиция выходных состав-ляющих определяется тригонометрическим рядом Фурье, включающим про-шедшие через ФНЧ составляющие входного спектра,

107

y( )t A y( )0

= 1

3

k

.A y( )k cos ....k 2 π f 1 t φ y( )k .

10 0 10 20 30

1

1

2

ms

volt y( )t

.t 103

Рис.3.2.8 На основании (3.30) средняя мощность выходного сигнала на сопротив-

лении R .1 Ω будет

P y.1

R.a 0

2 K 02 .1

.2 R= 1

3

k

...2sin ..k π

τ

T( ).k π

U m

2

K 02 .

Она составляет =P y 0.508 watt . ПРИМЕЧАНИЕ. Переход от одностороннего к двухстороннему час-

тотному представлению на основе комплексного ряда Фурье можно выпол-нить, исходя из следующего. Для экспоненциального ряда Фурье спектр ам-плитуд есть четная функция, а спектр фаз - нечетная. Поэтому односторонний спектр амплитуд входного сигнала зеркально отображается на область отри-цательных частот. Одновременно амплитуды спектральных составляющих на положительных и отрицательных частотах уменьшаются в два раза. Постоян-ная составляющая остается без изменения. Спектр фаз отображается на об-ласть отрицательных частот зеркально с одновременным изменением знака фазы каждой гармоники.

Частотные характеристики ФНЧ приводятся в соответствие двухсторон-нему частотному представлению входного сигнала. На область отрицатель-ных частот зеркально отображается АЧХ без изменений и ФЧХ с одновре-менным изменением знака фазы.

Пример 3.2.2. Примем здесь за единицу времени одну миллисекунду ms .10 3 sec. Пусть на вход идеального дифференцирующего устройства (ДУ), имеющего постоянную дифференцирования T .1 sec и частотный

108

коэффициент передачи K ( )ω ..j ω T, подается в момент времени t=0 оди-ночный прямоугольный импульс x(t) с длительностью τ .1 ms и амплиту-дой U m

.1.5 volt. Требуется определить спектр и вид выходного сигнала, используя спек-

тральный подход (3.20). Решение. Идеальное ДУ имеет АЧХ A k( )ω .ω T . Так как ФЧХ

α ( )ω atanω

0 и при ω>0 имеем atan ( )∞ , а при ω<0 - atan ( )∞ , то ФЧХ

идеального ДУ можно записать, используя в Mathcad встроенную функцию if(x,y,z), следующим образом

α ( )ω if( ),,>ω 0 atan ( )∞ atan ( )∞ или α ( )ω if ,,>ω 0π

2π

2.

Вид частотных характеристик идеального ДУ показан на рис.3.2.9 а,б

при W .0.8 sec 1 и ω ..,W WW

100W .

1 0 1

1

rad / sec

безразмерная

A k( )ω

ω

1 0 1

2

2

rad / sec

rad α( )ω

ω

а б Рис.3.2.9

Входной сигнал x ( )t .U m ( )Φ ( )t Φ ( )t τ является непериоди-

ческой функцией времени (рис.3.2.10 при t ..,0 .0.01 ms .2 ms). Поэтому для

0 2 4

1

2

ms

volt x( )t

.t 103

Рис.3.2.10

его частотного представления следует использовать интегральное преобра-зование Фурье (1.7). Тогда для вход-ного сигнала можно получить частот-ные характеристики.

1) Спектральную функцию

F x( )ω d0

τ

t.U m e..j ω t ;

109

F x( )ω .j.U m exp ( )..j ω τ U m

ω;

F x( )ω .U msin ( ).ω τ

ω.j

.U m cos ( ).ω τ U mω

.

2) Амплитудный спектр A x( )ω F x( )ω или

A x( )ω ..2 U m1 cos ( ).ω τ

ω или A x( )ω ..2 U m

sin.ω τ

2ω

.

Например, =A xπ

τ0.955 .ms volt.

3) Фазовый спектр φ x( )ω arg F x( )ω или

φ x( )ω atan( )cos ( ).ω τ 1

sin ( ).ω τ, т.е. φ x( )ω

.ω τ

2,

так как выражение в квадратных скобках равно tan(-ωτ/2). На основании (3.15) спектральная функция выходного сигнала

F y( )ω ..j.U m exp ( )..j ω τ U m

ω( )..j ω T ;

F y( )ω ..U m T ( )1 exp ( )..j ω τ - после упрощений ;

F y( )ω ..U m T ( )1 cos ( ).ω τ ...j U m T sin ( ).ω τ

Отсюда следует, что его амплитудный спектр

A y( )ω ..U m T ( )1 cos ( ).ω τ 2 ..U m T sin ( ).ω τ 2 ;

A y( )ω ...2 U m T1 cos ( ).ω τ

2 или

A y( )ω ...2 U m T sin.ω τ

2.

Фазовый спектр выходного сигнала в периодической форме

φ y( )ω atansin ( ).ω τ

( )1 cos ( ).ω τ или φ y( )ω atan cot

.ω τ

2 или

φ y( )ω atan tanπ

2

.ω τ

2.

Следовательно, в линейной форме фазовый спектр будет

- запись в форме a+jb.

110

φ 1 y( )ω ifπ

2

.ω τ

2ω 0

ifπ

2

.ω τ

2<ω 0

.

Графики амплитудного и фазового спектров выходного сигнала ДУ при-

ведены на рис.3.2.11 а,б при W .15 ms 1 и ω ..,W WW

100W . На-

пример, =A y( ).4 ms 1 2.728 sec volt.

20 0 20

5

5

rad / ms

volt

* se

c

.2 U m

A y( )ω

.ω 10 3

20 0 20

10

10

rad / ms

rad φ1 y( )ω

.ω 10 3

Рис.3.2.11,а Рис.3.2.11,б

Этот же результат можно получить и на основании (3.17) и (3.18). Форма сигнала y(t) на выходе идеального ДУ находится обратным пре-

образованием Фурье его спектральной функции Fy(ω). С этой целью исполь-зуем в Mathcad оператор обратного преобразования Фурье Inverse Fourier Transform в виде 1-1(*), где * - преобразуемое выражение и введем определе-ние дельта-функции Dirac ( )t if( ),,t 0 ∞ 0 . В Mathcad символу ∞ соот-ветствует число 10307. Тогда можно записать

y ( )t .1 1 ..U m T ( )1 exp ( )..j ω τ . В результате преобразования имеем

y ( )t ...1( ).2 π

U m T ( )..2 π Dirac ( )t ..2 π Dirac ( )t τ

или в привычной форме y ( )t ..U m T ( )Dirac ( )t Dirac ( )t τ .

График выходного сигнала показан на рис.3.2.12 при t ..,0τ

25.2 τ в

виде столбчатой диаграммы.

111

0 0.5 1 1.5 2 2.5

2 10307

2 10307

ms

volt g( )t

.τ 103

.t 103

Рис.3.2.12 Таким образом, отклик идеального ДУ на одиночный прямоугольный

видеоимпульс представляет собой две дельта-функции Дирака с площадью, равной UmT. Положительная дельта-функция соответствует переднему поло-жительному фронту импульса. Отрицательная дельта-функция- его заднему отрицательному фронту.

Пример 3.2.3. Примем за единицу времени одну миллисекунду ms .10 3 sec. Реальная дифференцирующая RC-цепь (рис.3.2.13) с элемен-тами R .20 K Ω , C .0.01 μF и постоянной времени T .R C ( =T 0.2 ms) имеет передаточную функцию

K ( )p.p T

1 .p T .

Пусть на ее вход в момент времени t=0 подается одиночный прямо-угольный видеоимпульс c длительностью τ .1 ms и амплитудой U m

.1.5 volt. Модель входного сигнала (рис.3.2.14) в форме записи, удоб-ной для символьных преобразований символьным процессором Mathcad, имеет вид

u ( )t .U m ( )Φ ( )t Φ ( )t τ . Требуется определить вид выходного сигнала, используя операторный

подход (3.21).

Рис.3.2.13

5 0 5

1

2

ms

volt u ( )t

.t 103

Рис.3.2.14

112

Решение. Входной сигнал имеет изображение

U ( )p d0

τt.U m e

.p t

;

U ( )p .U m

( )exp ( ).p τ 1p

- результат преобразования.

Изображение выходного сигнала, снимаемого с резистора, будет

U R ( )p ..U m( )1 exp ( ).p τ

p

.p T1 .p T

.

Согласно свойству временного сдвига, для преобразования Лапласа (оно

аналогично преобразованию Фурье) наличие в изображении UR(p) множителя exp ( ).p τ говорит о появлении в оригинале временного сдвига, т.е. разрыва функции, величиной τ. Поэтому выделим составляющую с временным сдви-гом, разложив изображение выходного сигнала на элементарные дроби

U R ( )p .U mT

( )1 .p T.U m

.T exp ( ).p τ

( )1 .p T .

Форма выходного сигнала определяется обратным преобразованием Ла-

пласа функции UR(p), т.е. uR(t)=L-1[UR(p)]. Найдем это преобразование ме-тодом вычетов, используя формулу обращения (3.14).

Рассмотрим первое слагаемое

U1 R ( )p.U m T

( )1 .p T .

Знаменатель функции U1R(p) есть полином N ( )p 1 .p T, имеющий один

простой корень p 11T

. Согласно (3.12) и (3.14), оригинал изображения

U1R(p) есть вычет Res1 p1 ( )t функции U1R(p)ept в точке p1. Определим в Mathcad вычет

Res1 p1 ( )t limp 1p

..U m T

dd p

( )N ( )p

e.p t .

Вычислим предел

113

assume ,U m T

lim1

Tp

..U m T

dd p

( )1 .p T

e.p t .U m exp

tT

, здесь t>0.

Итак, вычет первого слагаемого справедлив для области t>0 . Его можно записать в общем виде, введя временные ограничения с использованием в качестве временного окна функцию Хевисайда Ф(t). Тогда

Res1 p1 ( )t ..U m expt

TΦ ( )t .

Теперь рассмотрим второе слагаемое

U2 R ( )p..U m T e

.p τ

1 .p T .

Вычислим для него предел assume ,,U m T τ

lim1

Tp

..U m T e.p ( )t τ

dd p

( )1 .p T

.U m exp( )t τ

T, здесь t>τ.

Итак, вычет второго слагаемого справедлив для области t>τ . Его можно

записать, введя временные ограничения функцией окна типа Ф(t-τ), в сле-дующей форме

Res2 p1 ( )t ..U m exp( )t τ

TΦ ( )t τ

.

Так как оригинал выходного сигнала в целом определяется суммой вы-четов слагаемых изображения, то окочательно имеем

u R ( )t ..U m expt

TΦ ( )t ..U m exp

( )t τ

TΦ ( )t τ .

График сигнала на выходе дифференцирующей RC-цепи приведен на

рис.3.2.15.

114

3 2 1 0 1 2 3

2

2

ms

volt u R ( )t

.t 103

Рис.3.2.15 Если выходной сигнал снимать с конденсатора, то данная RC-цепь будет

соответствовать интегрирующей цепи. При этом напряжение на конденсаторе (рис.3.2.16)

u C( )t u ( )t u R ( )t .

3 2 1 0 1 2 3

1

2

ms

volt

U mu C( )t

u( )t

.t 103

Рис.3.2.16 ПРИМЕЧАНИЕ. При практическом использовании операторного мето-

да большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь к широко распространенным таблицам преобразований Лапласа или применяя Mathcad с операторами прямого и обратного преобразований - Laplace Transform и Inverse Laplace Transform . Например, определив произвольно p .( )2 .j 5 sec 1, и записав обратное преобразование Лапласа в виде

u R ( )t .1 1 ..U m

( )1 exp ( ).p τ

p

.p T1 .p T

,

с помощью оператора Inverse Laplace Transform можно для t>0 получить

u R ( )t ..U m T

expt

TT

.Φ ( )t τ

exp( )t τ

TT

, t>0.

Это соответствует результату, полученному методом вычетов.

115

Пример 3.2.4. Дана интегрирующая RC-цепь (рис.3.2.17) с постоянной

времени T .1 sec и импульсной характеристикой

g ( )t .1T

exptT

.

На ее вход в момент времени t=0 подается одиночный видеоимпульс экспо-ненциальной формы с амплитудой U 0

.1.5 volt и постоянной времени

T 0.2.0 sec. Модель входного сигнала (рис.3.2.18 при M .8 sec и

t ..,M MM

250M) имеет вид

x ( )t ..U 0 expt

T 0Φ ( )t .

Требуется определить вид выходного сигнала, его энергетический спектр и полную энергию.

Рис.3.2.17 Рис.3.2.18 Решение. Отклик цепи определяется для t>0 интегралом свертки (3.22)

y ( )t d

0

t

τ...U 0 expτ

T 0Φ ( )τ .1

Texp

t τ

T;

y ( )t ..U 0 T 0

expt

T 0exp .1

Tt

T 0 T , t>0 - результат интегриро-

вания. График выходного напряжения показан на рис.3.2.19 при N .10 sec и

t ..,0N

250N.

10 0 10

1

2Сигнал x(t)

ms

volt x( )t

t

116

0 5 10

1

sec

volt

.0.75 volt

y( )t

.1.36 sec

t

Рис.3.2.19 График показывает, что интегрирующая RC-цепь сглаживает входной сигнал.

На основании (1.7) спектральная функция выходного напряжения

F y( )ω d

0

∞

t...U 0 T 0e

tT 0 e

tT

T 0 Texp ( )..j ω t .

Вынося постоянный множитель за знак интеграла, ее можно привести к виду

F y( )ω ..U 0 T 0

T 0 Td

0

∞

t.e

tT 0 e

..j ω t d0

∞

t.e

tT e

..j ω t .

Для первого интеграла имеем assume >T 0 0

F1 y( )ω d0

∞

t.e

tT 0 e

..j ω t .jj .ω T 0

T 0.

Для второго интеграла - assume >T 0

F2 y( )ω d0

∞

t.e

tT e

..j ω t .jT

( )j .T ω.

Таким образом, спектральная функция выходного сигнала будет

117

F y( )ω ..U 0 T 0

T 0 T.j

j .T 0 ωT 0

.j( )j .T ω

T ;

F y( )ω .U 0T 0

.j .T 0 ω ( ).T ω j - результат упрощения.

Например, =F y( ).1 sec 1 0.3 0.9j sec volt. Амплитудный спектр как модуль спектральной функции будет assume ,,,,,,U 0 T 0 T >U 0 0 >T 0 0 >T 0 >T T 0

A y( )ω F y( )ω .U 0T 0

..T 02 ω 2 1 .T2 ω 2 1

.

Согласно (3.26), энергетический спектр как квадрат модуля спектраль-ной функции будет

assume ,,,,,,U 0 T 0 T >U 0 0 >T 0 0 >T 0 >T T 0

F y( )ω 2 .U 02

T 02

..T 02 ω 2 1 ( ).T2 ω 2 1

.

Следовательно, на сопротивлении R .1 Ω спектральная плотность энергии выходного сигнала

E y( )ω .U 0

2

R

T 02

..ω 2 T 02 1 ( ).T2 ω 2 1

.

Например, =E y( ).1 sec 1 0.9 sec2 watt . График энергетического спектра выходного сигнала приведен на

рис.3.2.20 при W .2 sec 1 и ω ..,W WW

100W.

2 1 0 1 2 3

5

10

rad / secw

att *

sec

* se

c ..U 02 T 0

2 R 1

E y( )ω

ω

Рис.3.2.20

118

На основании (3.27) при signum ( )z if( ),,>z 0 1 1 полная энергия выходного сигнала

E y ,T T 0.1

πd

0

∞

ω.U 0

2

R

T 02

..ω 2 T 02 1 ( ).T2 ω 2 1

;

E y ,T T 0...1

2U 0

2 T 02

.T 0 signum T 0.T signum ( )T

.R T2 T 02

.

Так как =signum T 0 1 и =signum ( )T 1 , то

E y

..12

U 02

R

T 02

T T 0 и составит =E y 1.5 sec watt .

Пример 3.2.5. На входе интегрирующей RC-цепи (рис.3.2.17) с посто-

янной времени T .1 sec и частотным коэффициентом передачи

K ( )ω1

1 ..j ω T

действует идеальный низкочастотный сигнал с частотой среза ω c.2 sec 1,

энергетический спектр которого равномерен и равен E 0..0.5 sec2 watt в

полосе частот 0 ω ω c. Требуется определить отношение энергий сигналов на входе и выходе. Решение. В данном случае частотный коэффициент передачи мощно-

сти assume T complex

K p( )ω .K ( )ω K ( )ω1

( )1 .ω 2 T2 2.ω 2 T2

( )1 .ω 2 T2 2

или

K p( )ω1

( )1 .ω 2 T2.

Согласно (3.27), энергия выходного сигнала assume ,,ω c E 0 T

119

E y.

E 0π

d

0

ω cω

1

( )1 .ω 2 T2.

E 0( ).π T

atan .ω c T .

Энергия входного сигнала assume ,ω c E 0

E x.1

πd

0

ω cωE 0

..1π

E 0 ω c.

Отношение этих энергий будет assume ,,ω c E 0 T

hE yE x

.1T

atan .ω c T

ω c; =h 0.554 .

Отсюда видно, что отношение h стремится к нулю с ростом как посто-янной времени T , так и верхней граничной частоты спектра ωс.

Пример 3.2.6. Пусть задан идеальный фильтр нижних частот ФНЧ с

коэффициентом передачи K 0 1.5 , временем запаздывания t 0.2 sec и

частотой среза ω c.5 sec 1. Его частотный коэффициент передачи в экспо-

ненциальной форме имеет вид K ( )ω if.K 0 exp ..j ω t 0 ω ω c

otherwise0

.

На вход ФНЧ подается сигнал δ(t) в виде дельта-функции Dirac(t) с площадью Q 0

..1 volt sec, т.е. δ(t)=Q0Dirac(t). Требуется определить вид сигнала y(t) на выходе ФНЧ. Решение. Воспользуемся спектральным методом решения. Спектраль-

ная функция входного сигнала assume Q 0

F δ ( )ω d∞

∞t..Q 0 Dirac ( )t exp ( )..j ω t Q 0.

На основании (3.19) выходной сигнал ФНЧ

120

y( )t .1.2 π

dω c

ω cω..Q 0

.K 0 e..j ω t 0 e

..j ω t ;

y ( )t ..Q 0 K 0sin .ω c t t 0

.π t t 0 - результат интегрирования.

График сигнала y(t) на выходе ФНЧ показан на рис.3.2.21 при

T .10 sec и t ..,T TT

500T

10 0 10

2

2

4

sec

volt

..U 0 K 0

πω c

y( )t

t 0

t

Рис.3.2.21 Пример 3.2.7. Пусть интегрирующая RC-цепь (рис.3.2.17) с постоян-

ной времени T .1 sec используется для масштабирования и имеет следую-щие характеристики:

1) импульсную функцию

g ( )t .1T

exptT

;

2) частотный коэффициент передачи

K ( )ω1

1 ..j ω T.

На ее вход в момент времени t=0 подается сигнал в виде линейно воз-растающей со скоростью v ..1.5 volt sec 1 функции времени x ( )t .v t.

Требуется найти функцию динамической погрешности Δ(t). Решение. Используя спектральный подход, определим отклик данного

масштабирующего устройства. Спектральная функция входного сигнала assume v

121

F x( )ω d0

∞

t..v t e..j ω t undefined .

Интеграл непосредственно в Mathcad не берется. Поэтому рассмотрим при a>0 интеграл вида

d0

∞t..v t e

.a t ;

limit ,,.v( )..a t exp ( ).a t exp ( ).a t 1

a2t ∞ left

Теперь найдем предел ( limit ) левого (left) выражения в квадратных скобках:

.v( )..a t exp ( ).a t exp ( ).a t 1

a2

- левое выражение;

.va

texp ( ).a t

v

( ).a2 exp ( ).a t

v

a2

Согласно правилу Лопиталя, предел первого слагаемого

lim∞t

d

d

2

2t( ).v t

d

d

2

2t( ).a e

.a t

0

и второго - lim∞t

dd t

( )v

dd t

( ).a2 e.a t

0.

Следовательно, зачение интеграла в целом равно v/a2. Замена величины "a" на оператор Фурье jω дает спектральную функцию входного сигнала

F x( )ωv

( ).j ω 2.

Можно также воспользоваться преобразованием Лапласа с оператором L1[x(t)]=1(*), где * - преобразуемое выражение. При этом Mathcad возвращает изображение от переменной s. Тогда изображение входного сигнала

X( )s .1 ( ).v t ;

X( )s

v

s2 .

Заменяя оператор Лапласа s оператором Фурье jω, получим спектральную функцию входного сигнала

assume v

- результат интегрирования.

- его разложение на элементарные дроби.

122

F x( )ω

v

( ).j ω 2

v

ω 2 .

На основании (3.20) выходной сигнал

y ( )t .1.2 π

d

∞

∞

ω.v e

..j ω t

.( ).j ω 2 ( )1 ..j ω T

.

Для вычисления обратного преобразования Фурье воспользуемся мето-дом вычетов, полагая ω комплексной переменной. Полюсы подынтегральной функции являются корнями уравнения

.( ).j ω 2 ( )1 ..j ω T 0;

0

0

jT

Таким образом, подынтегральная функция имеет два полюса: один по-

люс второго порядка при ω 1 0 и другой простой полюс при ω 2jT

.

Согласно (3.10), вычет Res ω 1( )t в точке ω1 будет

assume ,,v T t

lim

0ω

dd ω

..v e

..j ω t

.( ).j ω 2 ( )1 ..j ω T( )ω 2 ..j v ( )t T .

Итак, первый вычет Res ω 1( )t ..j v ( )t T .

Вычет Res ω 2( )t в точке ω2 будет

assume ,,v T t

limjT

ω

..v e

..j ω t

.( ).j ω 2 ( )1 ..j ω Tω

jT

...j v expt

TT.

Итак, второй вычет Res ω 2( )t ...j v expt

TT.

В конечном итоге, согласно (3.13), для t>0 выходной сигнал

y ( )t .j ( )..j v ( )t T ...j v exp

tT

T , t>0;

⇒ решение данного уравнения в виде век-тор-столбца трех его корней.

123

y ( )t .v t T .exp

tT

T , t>0 - результат упрощения.

К этому же результату можно прийти, вычислив интеграл свертки (3.22) сигнала x(t) и импульсной функции g(t), а именно

y ( )t d

0

t

τ...v τ1T

e

t τT ;

y ( )t .v t .T v ..T exp

tT

v , t>0.

Учитывая временные ограничения (t>0) с помощью функции временного

окна типа Хевисайда Ф(t), окончательно получим

y ( )t ..v t .T 1 expt

TΦ ( )t

; =y( ).1 sec 0.552 volt.

Для идеального устройства, не имеющего запаздывания, при масштаб-ном коэффициенте =K ( ).0 sec 1 1 имеем

assume v

y ид ( )t ..K ( ).0 sec 1 x( )t Φ ( )t ..v t Φ ( )t .

ПРИМЕЧАНИЕ. Полученная таким способом функция yид(t) является

безразмерной, так как предложение “assume v” предписывает Mathcad счи-тать величину “v” неопределенной. Поэтому при построении ее графика, со-вмещенного с размерной функцией y(t), необходимо умножить такую функ-цию на соответствующую размерность (см. рис.3.2.22) или определить эту функцию как размерную.

На основании (3.23) функция динамической погрешности

Δ ( )t ..v t .T 1 exp

tT

Φ ( )t ..v t Φ ( )t

;

Δ ( )t ...v T 1 exp

tT

Φ ( )t - результат упрощения.

Графики выходных сигналов идеального и реального устройств приве-

дены на рис.3.2.22 при

124

M .3 sec и t ..,M10

M10

M200

M.

1 0 1 2 3 4

2

4

6Графики выходных сигналов

sec

volt

y( )t

.y ид( )t volt

t

Рис.3.2.22

Для достаточно больших t (установившийся режим) погрешность Δ(t)=-vT=const

и функция y(t) запаздывает относительно x(t) на время T. Если допускается запаздывание выходного сигнала на время t 0 T, то

отклик идеального устройства assume ,v T

y1 ид ( )t ..K ( ).0 sec 1 x t t 0 Φ ( )t ..v ( )t T Φ ( )t .

Тогда динамическая погрешность принимает вид

Δ 1( )t ..v t .T 1 exp

tT

Φ ( )t ..v ( )t T Φ ( )t ;

Δ 1( )t ...v T exp

tT

Φ ( )t

- результат упрощения.

Графики динамической погрешности при недопустимости и допустимо-

сти запаздывания реального устройств приведены на рис.3.2.23 при M .4 sec и t ..,0 .0.001 M M.

125

0 1 2 3 4 5

2

2Графики динамических погрешностей

sec

volt

.v T

.v T

Δ( )t

Δ1( )t

t

Рис.3.2.23 Пример показывает, что при произвольной форме входного сигнала x(t)

объем вычислений для определения как y(t), так и Δ(t) достаточно велик. По-этому на практике часто довольствуются приближенными оценками динами-ческой погрешности.

Пример 3.2.8. Пусть имеется датчик неэлектрической величины, вы-

ходной сигнал которого является напряжением. Датчик представляет собой инерционное звено первого порядка с постоянной времени T .2 sec, харак-теризующей его инерционность, и имеет частотный коэффициент передачи

K ( )ω1

1 ..j ω T .

Такому датчику соответствует эквивалентная электрическая схема в ви-де интегрирующей RC-цепи.

Требуется уменьшить динамическую погрешность датчика в 10 раз. Для этого уменьшим его постоянную времени до величины T 0

.0.2 sec за счет расширения рабочей полосы частот (полосы пропускания) путем последова-тельного включения корректирующего звена.

Решение. Для идеальной корекции на основании (3.31) корректирую-щее звено с коэффициентом передачи на нулевой частоте K 0 1 должно иметь частотный коэффициент передачи

K 1( )ω .K 0 ( )1 ..j ω T . Однако такая функция соответствует физически нереализуемому звену.

Тем не менее можно подобрать корректирующее звено (рис.3.2.24) с ком-плексным коэффициентом передачи достаточно близким к идеальному при соответствующем выборе параметров.

126

Рис.3.2.24 Для рассматриваемой схемы введем обозначения:

1) коэффициент передачи на нулевой частоте

K 0R 2

R 1 R 2 ;

2) постоянные времени T 1.R 1 C 1 и T 0

.K 0 T 1. Тогда частотный коэффициент передачи корректирующего звена можно пред-ставить в виде

K 1( )ω .K 01 ..j ω T 11 ..j ω T 0

.

Заметим, что при ωΤ2<<1 данная функция отвечает требованию идеальной коррекции.

Частотный коэффициент передачи скорректированного датчика

K Σ ( )ω .11 ..j ω T

.K 01 ..j ω T 11 ..j ω T 0

.

Для последовательной коррекции датчика необходимо выполнить условие T=T1. Тогда коэффициент передачи скорректированного датчика будет равен

K Σ ( )ωK 0

1 ..j ω T 0.

В результате получена новая постоянная времени устройства T0=K0T1=K0T. Очевидно, при K0<1 новая постоянная T0<T. Теоретически величину T0 можно сделать сколь угодно малой, выбрав соответствующим образом значение коэффициента K0. Однако при этом уменьшается чувстви-тельность скорректированного датчика, так как она пропорциональна величи-не множителя K0. В известных пределах потерю чувствительности можно восстановить промежуточным усилением сигнала.

Пусть для начальной опреде-ленности элементы схемы на рис.3.2.24 имеют значения:

R 1.1 K Ω ;

R 2.1 K Ω ;

C 1.1 μF .

127

На основании изложенного проведем расчет последовательной коррек-ции посредством пассивной схемы на рис.3.2.24. Так как требуется постоян-ная T 0

.0.2 sec, то коэффициент

K 0T 0T

; =K 0 0.1 .

Зададимся сопротивлением резистора R 1.90 K Ω

. Тогда емкость конден-сатора

C 1T

R 1 и составит =C 1 22.222 μF .

Сопротивление второго резистора

R 2

.K 0 R 11 K 0

, =R 2 10 K Ω .

Модуль частотной характеристики датчика до коррекции assume T

K ( )ω1

1 .ω 2 T2

.

Отсюда следует АЧХ

A( )f1

1 .( )..2 π f 2 T2

.

Частотный коэффициент передачи после коррекции

K Σ ( )ω .11 ..j ω T

.K 01 ...j ω R 1 C 1

1 ...j ω K 0.R 1 C 1

.

Модуль этой частотной характеристики assume ,,,,K 0 T R 1 C 1 >K 0 0

K Σ ( )ω ..1

1 .ω 2 T2

K 01 ..ω 2 R 1

2 C 12

1 ...ω 2 K 02 R 1

2 C 12

.

Отсюда следует АЧХ A Σ ( )f K Σ ( )..2 π f .

Графики АЧХ приведены на рис.3.2.25 при константе B 1.5 и диапа-зоне изменения частоты f ..,.B Hz .( )B 0.01 Hz .B Hz .

128

2 1 0 1 2

1АЧХ датчика до и после коррекции

Hz

A Σ ( )f

A( )f

f

Рис.3.2.25 Переходная функция датчика до и после коррекции (рис.3.2.26 при

t ..,0 0.01 .4 sec) соответственно

h ( )t 1 e

tT

и h Σ ( )t .K 0 1 e

tT 0 .

0 1 2 3 4

Переходная функция до и после коррекции

sec

K 0

h Σ ( )t

.h( )t K 0

t

Рис.3.2.26

3.2.3. Типовые задачи Задача 3.2.1. Примем за единицу времени одну миллисекунду

ms .10 3 sec. На вход идеального ФНЧ без временного запаздывания c час-тотным коэффициентом передачи K 0 1.5 и частотой среза

ω c..100 π sec 1

в момент времени t=0 подается прямоугольный видеоим-

пульс с амплитудой U m.1 volt и длительностью τ .1 ms.

129

Модель входного сигнала в форме записи, удобной для символьных пре-образований символьным процессором Mathcad,

x ( )t .U m ( )Φ ( )t Φ ( )t τ . Модель ФНЧ

K ( )ω .K 0 Φ ω ω c Φ ω ω c . Требуется для выходного сигнала найти энергетический спектр и энер-

гию. Ответ. Энергетический спектр выходного сигнала

E y( )ω ....2 U m2 K 0

2 ( )cos ( ).ω τ 1

( )ω 2Φ ω ω c Φ ω ω c .

Энергия выходного сигнала

E y...2

πU m

2K 0

2

ω ccos .ω c τ 1 ..Si .ω c τ τ ω c .

Энергия составляет =E y 0.22 sec volt2.

Задача 3.2.2. Пусть имеется (рис.3.2.27, где R .50 K Ω , C .20 μF и коэффициент усиления операционных усилителей K1 → ∞) идеальное интег-рирующее устройство (ИУ) с постоянной интегрирования T .R C

(T .1 sec) и передаточной функцией K ( )p1.p T

.

C R

K 1 K 1 + +

R

Вх. Вых. - -

R

Рис.3.2.27

На вход ИУ в момент времени t=0 подается экспоненциальный видео-импульс с амплитудой U 0

.1.5 volt и постоянной времени T 0.2.0 sec.

Математическая модель входного сигнала

x ( )t ..U 0 expt

T 0Φ ( )t .

Требуется спектральным методом определить вид выходного сигнала, его энергетический спектр и полную энергию, а также коэффициент передачи мощности устройства.

130

Ответ. Коэффициент передачи мощности K p( )ω1

( ).ω 2 T2.

Энергетический спектр E y( )ω .U 02

T 02

.1 .ω 2 T 02 ( ).ω 2 T2

.

Полная энергия E y ∞ . Выходной сигнал (рис.3.2.28) имеет вид

y ( )t ...U 0 T 0

Texp .1

T 0t 1 Φ ( )t .

0 2 4 6 8 10

2

4Выходной сигнал y(t) идеального ИУ

sec

volt

y( )t

x( )t

t

Рис.3.2.28 Задача 3.2.3. Дана схема на рис.3.2.29, где элементы R .50 K Ω ,

C .20 μF и коэффициент усиления операционных усилителей K1>>1. Схе-ма имеет постоянную времени T .R C (T .1 sec) и импульсную функцию

g ( )t .1T

exp .1T

t .

K 1 K 1 + +

СR

Вх. Вых. - -

RR

R

Рис.3.2.29

131

На вход схемы в момент времени t=0 подается линейный видеоимпульс с параметрами: скорость изменения V m

..4 volt sec 1, длительность

τ .2 sec. Математическая модель входного сигнала

x ( )t ..V m tτ

2( )Φ ( )t Φ ( )t τ .

Требуется операторным методом определить вид выходного сигнала. Ответ. Выходной сигнал (рис.3.2.30)

y ( )t if..12

V m.2 T .2 t ..2 T e

.1T

tτ .τ e

.1T

tt τ

if..12

V m.e

.1T

( )t τ( )τ .2 T .e

.1T

t( ).2 T τ t τ

otherwise0

0 1 2 3 4

5

5Графики сигналов x(t) и y(t)

sec

volt

y( )t

x( )t

t

Рис.3.2.30 Задача 3.2.4. Решить задачу 3.2.3 временным методом. Задача 3.2.5. Схема на рис.3.2.29, где R .50 K Ω , C .20 μF и

K1>>1, используется для масштабирования. На вход схемы в момент времени t=0 подается линейный видеоимпульс с параметрами: скорость изменения V m

..4 volt sec 1, длительность τ .2 sec. Математическая модель входно-го сигнала

x ( )t ..V m t ( )Φ ( )t Φ ( )t τ . Требуется определить динамическую погрешность данной схемы. Ответ. Динамическая погрешность (рис.3.2.31) масштабирующего

устройства

132

Δ ( )t if..T V m 1 exp .1T

t t τ

if.V m.e

t τT τ .e

t τT T .e

tT T >t τ

otherwise0

0 1 2 3 4

5

5

10Графики сигналов и погрешности

sec

volt

y( )t

x( )t

.Δ( )t volt

t

Рис.3.2.31 Задача 3.2.6. Решить задачу 3.2.5 при условии, что схема на рис.3.2.29

используется для интегрирования. Ответ. Динамическая погрешность (рис.3.2.32) интегрирующего

устройства

Δ и( )t if..12

V m

.2 T2 ..2 T t ..2 exp .1T

t T2 t2

Tt τ

if.V m.2 T

...2 e

t τT T ( )τ T ..2 e

tT T2 τ 2 >t τ

otherwise0

133

0 1 2 3 4

10

10Графики сигналов и погрешности

sec

volt

y( )t

y ид( )t

.Δ и( )t volt

t

Рис.3.2.32 Задача 3.2.7. Пусть задан идеальный полосовой фильтр (ПФ) без вре-

менного запаздывания, имеющий коэффициент передачи H 2.0 в полосе

частот от ω c1.4 sec 1 до ω c2

.3 ω c1 ( полоса частот Δω .2 ω c1). Его частотный коэффициент передачи

K ( )ω .H Φ ω ω c1 Φ ω ω c2 .

На вход ПФ поступает с параметрами A ..2.0 volt sec , ω 0 Δω и

t 0.2 sec сигнал

x ( )t .Asin .ω 0 t t 0

.π t t 0, <<∞ t ∞ .

Требуется, используя спектральный метод, определить спектр и вид вы-ходного сигнала y(t), а также его энергетические характеристики.

Ответ. Спектральная функция выходного сигнала F y( )ω ...A H Φ ω ω c1 Φ ω ω 0 exp ..j ω t 0 . Энергетический спектр

E y( )ω ..A2 H 2 Φ ω ω c1 Φ ω ω 0 . Полная энергия

E y.

.A2 H 2

πω 0 ω c1 .

Выходной сигнал (рис.3.2.33)

y ( )t ..A Hsin .ω 0 t t 0 sin .t t 0 ω c1

.π t t 0.

134

5 0 5 10

5

5

10Вид выходного сигнала ПФ

sec

volt

..H Aω 0 ω c1

πy( )t

t 0

t

Рис.3.2.33 Задача 3.2.8. Сигнал представляет собой смещенную по уровню коси-

нусоиду. Математическая модель сигнала при параметрах A ..10 volt sec 2 и

λ .2 sec 1 имеет вид

x ( )t ..A

λ 2( )1 cos ( ).λ t Φ ( )t .

В момент времени t=0 данный сигнал подается на вход ФНЧ 1-го поряд-ка (рис.3.2.34, где элементы R .50 K Ω и C .200 μF ). Элементы схемы

выбраны так, что при коэффициенте q 20 ее постоянная времени Tqλ

.

При этом передаточная функция ФНЧ принимает вид

K ( )p1

1 .pqλ

.

Требуется операторным методом определить вид выходного сигнала. C

R

K 1 +

-Вых.

R

Вх.

Рис.3.2.34

Ответ. Выходной сигнал (рис.3.2.35)

135

y( )t .A.q2 e

.λq

t.q sin ( ).λ t cos ( ).λ t 1 q2

( ).λ 2 ( )1 q2.

0 10 20 30 40

5

5Графики сигналов x(t) и y(t)

sec

volt

y( )t

x( )t

y( )t

t

Рис.3.2.35

Задача 3.2.9. На вход полосового фильтра (ПФ) из примера 3.1.1, имеющего резонансную частоту ω 0

...2 π 103 sec 1 (f 0

.1000 Hz ) и ко-

эффициент затухания α .400 sec 1, в момент времени t=0 поступает сумма двух экспоненциальных импульсов с параметрами: амплитуда U m

.8 volt;

коэффициент затухания α .400 sec 1; несущии частоты ω 1.0.8 ω 0 и

ω 2.0.4 ω 1. Математическая модель входного сигнала

x( )t if..U m e.α t sin .ω 1 t sin .ω 2 t t 0

otherwise0

.

Требуется, используя спектральный метод, определить вид выходного сигнала y(t).

Ответ. Выходной сигнал (рис.3.2.36)

y ( )t ....2 U m ω o

2

exp ( ).α t

cos .ω o2 α 2 t

ω o2 α 2 ω 1

2

cos .ω o2 α 2 t

ω o2 ω 2

2 α 2Φ ( )t .

136

5 0 5 10

50

50Графики сигналов на входе и выходе ПФ

ms

volt

.x( )t volt

y( )t

.t 103

Рис.3.2.36

Задача 3.2.10. Дифференцирующая схема (рис.3.2.37, где элементы R .50 K Ω , C .100 μF и коэффициент усиления K1>>1) используется для дифференцирования сигнала, математическая модель которого при парамет-рах v ..1 volt sec 1

и α .0.05 sec 1 имеет вид

x ( )t ..v t e.α t, t>0.

Требуется определить вид выходного сигнала y(t) и оценить динамиче-скую погрешность данной схемы.

+

C -

Вых.

R

Вх.

R

K 1

Рис.3.2.37

Ответ. При T .R C выходной сигнал (рис.3.2.38)

y ( )t ..v T

( ).T α 1 2.e

.α t ( )..t α 2 T .α t 1 e

tT , t>0.

Динамическая погрешность (рис.3.2.38) дифференцирующей схемы

Δ д ( )t ..T v

( ).T α 1 2...T e

.α tα ( )..t α 2 T .α t .T α 2 e

tT , t>0.

137

0 50 100 150

5

5Графики сигналов и погрешности

sec

volt

y( )t

y ид( )t

Δ д( )t

t

Рис.3.2.38

Задача 3.2.11. Оценить динамическую погрешность реальной диффе-

ренцирующей схемы (рис.3.2.39, где элементы R1 .0.5 K Ω , R2 .5 K Ω и C .1 μF ) за счет схемотехнической необходимости включения резистора R1 во входной цепи операционного усилителя. Испытательным сигналом являет-ся линейно возрастающее со скоростью v ..10 volt sec 1

напряжение. Мо-дель входного сигнала

x ( )t ..v t Φ ( )t .

+

C -

Вых.

R 1

Вх.

R 2

K 1

Рис.3.2.39

Ответ. Динамическая погрешность дифференцирующей схемы

Δ д ( )t ....v R2 C exp .1( ).R1 C

t Φ ( )t .

Задача 3.2.12. Оценить динамическую погрешность реальной интегри-

рующей схемы (рис.3.2.40, где элементы R .1 K Ω и C .10 μF ) за счет конечной величины коэффициента усиления ОУ (K1 100). Испытательным

138

сигналом является скачок напряжения с амплитудой U m.1 volt. Модель

входного сигнала x ( )t .U m Φ ( )t .

СR

Вх. Вых. -K 1

+

x(t) y(t)

Рис3.2.40

Ответ. Динамическая погрешность интегрирующей схемы (рис.3.2.41)

Δ и( )t ...R C K1 ...K1 exp .1( ).R ( ).C ( )1 K1

t R C tU m

( ).R C.

0 0.5 1 1.5

200

100

100Графики сигналов и погрешности

sec

volt

y( )t

y ид( )t

Δ и( )t

t

Рис.3.2.41

Задача 3.2.13. Пусть датчик перемещений X с выходным сигналом на-пряжения имеет коэффициент преобразования K 0

..1 volt m 1, массу под-

вижной части M .0.008 kg, жесткость упругого элемента

G 0..315900 kg sec 2

и коэффициент успокоения P ..2822 kg sec 1. Датчик представляет собой инерционное звено второго порядка с пере-

даточной функцией

K ( )p .K 01

.M p2 .P p G 0.

139

При введении частоты собственных колебаний подвижной электромеханиче-

ской части ω 0G 0M

и степени успокоения αP.2 M

передаточная функ-

ция принимает вид

K ( )p .K 0ω 0

2

p2 ..2 α p ω 02.

Такому датчику соответствует эквивалентная электрическая схема за-мещения на рис.3.2.42 с элементами R .2 K Ω , L .0.253 henry и C .0.2 μF .

Требуется выполнить последовательную коррекцию датчика с помощью активного корректирующего звена (рис.3.2.42), выбрав соответствующим образом его элементы Z1 и Z2. Построить АЧХ датчика A(f) и AΣ(f) соответ-ственно до и после коррекции, а также АЧХ A1(f) корректирующего звена.

L R

C Z1Z2

-K 1+Вх. Вых.

Схема да тчика К орректирующее звено

Рис.3.2.42

Ответ. Элементы схемы коррекции

Z1 ( )p1.p C1

и Z2 ( )p R21.p C2

.p L2 .

При R2 .0.5 K Ω и C1 C2 имеем

C2 ..2 α

ω 02

1R2

( =C2 0.253 μF )

и

L2 .1( ).2 α

R2 ( =L2 0.1 henry ).

Результат коррекции без учета K0 приведен на рис.3.2.43.

140

0 500 1000 1500 2000

2

4АЧХ датчика до и после коррекции

Hz

безразмерная

A( )f

A 1( )f

A Σ ( )f

f

Рис.3.2.43 Задача 3.2.14. Выполнить коррекцию датчика из примера 3.2.8 с по-

мощью активного корректирующего звена (рис.3.2.44) на базе операционного усилителя с коэффициентом усиления K1 500 при условии получения новой постоянной времени T 0

.0.02 sec вместо T .2 sec.

-Вых.Вх.

С1R 2

K 1+R 1

Рис.3.2.44

Ответ. Задаваясь сопротивлением резистора R1 .20 K Ω , получим

C1T

R1 ( =C1 100 μF ) и

R2 ..T 0 ( )K1 1

T T 0R1

( =R2 101.212 K Ω ).

Коэффициент усиления активного звена по постоянному току при

a1

K1.R1

R21

K11

будет K y

1a

( =K y 5 ). Переходные функции

(рис.3.2.45) до и после коррекции соответственно

h ( )t 1 exptT

и h Σ ( )t .1a

1 expt

T 0.

141

0 0.5 1 1.5 20

1

Переходные функции до и после коррекции

sec

безразмерная .h Σ ( )t a

h( )t

t

Рис.3.2.45 Задача 3.2.15. В качестве линии связи длиной =l 20 km используется

кабель МК с кордельно-бумажной изоляцией, имеющий отнесенные к одному киллометру параметры: активное сопротивление проводов R 0

..32 Ω km 1,

индуктивность L 0..0.822 mH km 1, емкость C 0

...26.5 103 pF km 1 и

проводимость утечки изоляции проводов G 0...2.3 10 6 siemens km 1. Эк-

вивалентная схема замещения линии связи показана на рис.3.2.46, где R .1.28 K Ω , L .0.016 henry , C .0.53 μF и R y

.21.739 K Ω . Требу-ется выполнить коррекцию линии связи с помощью активного корректирую-щего звена на рис.3.2.46 при условии получения новой постоянной времени T0 в q раз меньше начальной, причем q 50.

LR

CВх.

Схема линии связи

R y

L1R 2

-K 1+ Вых.

К орректирующее звено

R 1

C1

Рис.3.2.46 Ответ. Задаваясь сопротивлением резистора R1 .10 K Ω , можно по-

лучить результаты коррекции на рис.3.2.47 при R2 R y R , =R2 23.019 K Ω ;

L1 ...R C R y LR1

.R y q , =L1 0.136 henry ;

142

C1...q R y

2 L C

....R C R y L R1 R y R, =C1 0.061 μF .

0 1000 2000 3000

1

2

3АЧХ какала связи до и после коррекции

Hz

безразмерная A( )f

A Σ ( )f

f

Рис.3.2.47

3.3. Прохождение случайных сигналов через линейные устройства

3.3.1. Основные понятия и соотношения Рассмотрим модель воздействия стационарных случайных сигналов на

линейные устройства (рис.3.3.1). Пусть устройство характеризуется ком-плексным частотным коэффициентом передачи K(jω) и импульсной (весовой) функцией g(t).

Рис.3.3.1

Ключ K при t<0 разомкнут и в этом случае X(t)=0 и Y(t)=0,т.е. имеем нулевые начальные условия. В момент t = 0 замыкается ключ K и на вход устройства подается стационарный процесс X(t). Начинается переходной режим. В этом режиме на выходе будет нестационарный процесс. Через время ty устанавливается стационарный режим, при котором Y(t) - стационарный процесс.

Обычно решается следующая типичная задача. Известны математиче-ское ожидание m1x и корреляционная функция Rx(τ) входного сигнала. Требу-ется найти m1y и Ry(τ) для выходного сигнала. При этом возможны два усло-вия:

1) изучение нестационарного и стационарного режимов; 2) изучение только стационарного режима.

KX(t)

t = 0

Y(t) K(jω), g(t)

143

Первое условие. Здесь для решения задачи при ненулевых начальных ус-ловиях нужно использовать дифференциальные уравнения. Для нулевых ус-ловий следует использовать весовую функцию g(t). Тогда выходной сигнал определяется интегралом свертки

( ) ( ) ( )Y t X g t dt

= −∫ τ τ τ.0

Отсюда следуют:

1) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )m t M Y t M X t g t d m g t dy x

tt

1 100

= = − = −∫∫ τ τ τ τ ; (3.33)

2) ( ) ( ) ( ) ( )R t t g t g t R d dy

t

x

t

1 2 1 1 2 20

2 1 1 20

21

, .= − − −∫∫ τ τ τ τ τ τ (3.34)

Стационарное значение функции m ty1 ( ) будет при t → ∞ . Стационарное

значение функции R t ty ( , )1 2 будет при t1 → ∞ и t 2 → ∞ . Если последова-

тельно сделать замену переменных, а именно сначала τ1 1= −t x и

τ2 2= −t y , а затем τ = −t t2 1 и z x y= + −τ , то формула (3.34) приводится к виду

R t t g x dx g t x z)R z)dzx t

xt

( , ) ( ) ( (1 10 1

1

+ = + −−

+

∫∫ττ

.

Отсюда при t1 → ∞ следует стационарное значение

R g x dx g x z)R z)dzx

( ) ( ) ( (τ ττ

= + −−∞

+∞

∫∫0

. (3.35)

Второе условие. Когда интересуются только стационарным режимом, то применяют комплексный коэффициент передачи K(jω), рис.3.3.2.

Рис.3.3.2

Спектральная плотность мощности выходного сигнала

Y(t)X(t)

K(jω) R Sx x( ) ( )τ ω⇔ S Ry y( ) ( )ω τ⇔

144

SF j

t

F j K j

ty t

y

m tx

mm m

( ) lim| ( ) |

lim| ( ) ( ) |

ωω ω ω

= =⋅

=→∞ →∞

2 2

),(K)(S|)j(K|)(St

|)j(F|lim)j(K 2

x2

xm

2y

t

2

)(Sx

m

ω⋅ω=ω⋅ω=ω

ω=

ω∞→

44 344 21 (3.36)

где K( )ω − амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства. Среднее значение выходного сигнала

m1y = K(0)⋅m1x. (3.37) Корреляционная функция

R K S e dy xj( ) ( ) ( )τ

πω ω ωω τ= ⋅ ⋅

−∞

∞

∫1

22 . (3.38)

Дисперсия выходного сигнала

D R K S dy y x= = ⋅∞

∫( ) ( ) ( ) .0 1 2

0π

ω ω ω (2.39)

В заключение следует отметить, что задача определения плотности ве-роятности выходного сигнала в общем виде не решается. В частном случае, когда Х(t) − нормальный процесс, выходной сигнал Y(t) также является нор-мальным процессом.

3.3.2. Типовые примеры Пример 3.3.1. Дана интегрирующая RC-цепь (рис.3.3.3, где элементы

схемы R .10 K Ω и C .10 μF ) с постоянной времени T .R C, т.е. =T 0.1 sec

Импульсная характеристика цепи имеет вид

g ( )t .1T

exptT

.

На ее вход в момент времени t=0 подается стационарное случайное на-пряжение X(t) с математическим ожиданием m 1x

.0.5 volt и корреляцион-

ной функцией (КФ) с параметрами σ .0.5 volt и α .0.5 sec 1 вида R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ , причем =R ( ).0 sec 0.25 volt2. Требуется найти для нестационарного режима математическое ожидание

m1y и корреляционную функцию Ry(τ) выходного процесса Y(t).

.

145

Рис.3.3.3

Решение. На основании (3.33) математическое ожидание выходного сигнала

m 1y ( )t .m 1x d

0

t

τ.1T

expt τ

T;

m 1y ( )t .m 1x 1 exp

tT

.

Итак, в случае нестационарного (переходного) режима изменение мате-матического ожидания соответствует переходной характеристике интегри-рующей RC-цепи.

Согласно (3.34) корреляционная функция выходного процесса

R y ,t 1 t 2.σ2

T2d

0

t 1

τ 2d0

t 2

τ 1..e

t 1 τ 1

T e

t 2 τ 2

T e.α τ 2 τ 1 .

Интегрирование дает

R y ,t 1 t 2..σ2 e

.t 2( )1 .α T

T 1e

t 2..α t 1 T

T e

t 2 t 1T

( ).T2 α 2 1 .

График нестационарной КФ показан на рис.3.3.4 при временном шаге

Δ .0.2 sec, индексах i ..0 20 и j ..0 10, индексированных переменных t 1i

.i Δ и t 2j

.j Δ и матричном представлении двумерной функции

R ,i j R y ,t 1it 2j

.

146

0 2 4 6 8 10

05

1015

200

0.20.4

R

Рис.3.3.4 На основании (3.35) для τ>0 стационарное значение КФ

R ( )τ .σ2

T2.d

0

∞

xe

xT d

∞

τ x

z.e

τ x z

T e.α z

.

Вычислим первый (внутренний) интеграл

f( ),τ x .e

τ x

T d∞

0

z.e

zT e

.α z d0

τ x

z.e

zT e

.α z

.

Интегрирование, подстановка пределов и взятие предела (limit) при z ∞

дают f( ),τ x ..e

( )τ x

T T..2 α T .e

.( )τ x( ).α T 1

T ( )1 .α T.( )1 .α T ( ).α T 1

.

Вычислим второй (внешний) интеграл

R ( )τ .σ2

Td

0

∞

x..e

( )τ x

T ..2 α T .e.( )τ x( ).α T 1

T ( )1 .α T.( )1 .α T ( ).α T 1

e

xT

.

Интегрирование, подстановка пределов и взятие предела (limit) при x ∞ дают

R ( )τ .σ2exp ( ).τ α ..exp .1

Tτ α T

( )1 .α 2 T2 , τ>0.

147

Учитывая свойство четности КФ, окончательно можно записать

R ( )τ .σ2exp ( ).τ α ..exp .1

Tτ α T

( )1 .α 2 T2 , τ<0 и τ>0.

Например, =R ( ).1 sec 0.152 volt2. График корреляционной функции в установившемся режиме показан на

рис.3.3.5 при B .10 sec и τ ..,B BB

100B.

10 5 0 5 10

График КФ в установившемся режиме

sec

volt

* vo

lt σ2

( )1 .α TR ( )τ

τ

Рис.3.3.5 Дисперсия в установившемся режиме

D yσ2

( )1 .α T и составляет =D y 0.238 volt2.

Пример 3.3.2. Дана схема (рис.3.3.6, где R 1.40 K Ω , R 2

.80 K Ω ,

C .25 μF и коэффициент усиления операционного усилителя K1>>1), имеющая постоянную времени T .R 2 C и частотный коэффициент переда-чи

K ( )ω .R 2

R 1

1( )1 ..j ω T

.

148

R 2

+

-Вых.

R 1

Вх. K 1

C

Рис.3.3.6

На ее вход поступает стационарное случайное напряжение X(t) с мате-матическим ожиданием m 1x

.0.5 volt и при параметрах σ .0.5 volt и

α .0.2 sec 2 с корреляционной функцией (КФ) R x( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 , причем =R x( ).0 sec 0.25 volt2.

Найти для выходного процесса Y(t) математическое ожидание m1y, спектр плотности мощности Sy(ω), корреляционную функцию Ry(τ) и дис-персию Dy.

Решение. Для определения спектральной плотности мощности входно-го процесса воспользуемся преобразованием Хинчина-Винера (2.7). Тогда имеем

assume ,,σ α >α 0

S x( )ω .σ2 d∞

∞

τ.e.α τ

2e

..j ω τ ..σ2exp .1

( ).4 αω 2

α

π

.

Частотный коэффициент передачи мощности этой схемы assume ,,>R 1 0 >R 2 0 T

K p( )ω ( )K ( )ω 2R 2

2

.R 12 ( )1 .ω 2 T2

.

Согласно (3.36), спектральная плотность мощности выходного процесса

S y( )ω ..R 2

2

R 12

.σ2 π

α

expω 2

.4 α

( )1 .ω 2 T2

.

На основании (3.37) математическое ожидание assume ,,R 1 R 2 m 1x

149

m 1y.K ( ).0 sec 1 m 1x

.R 2

R 1m 1x

.

На основании (3.38) корреляционная функция выходного процесса

R y( )τ ..1.2 π

.R 2

2

R 12

.σ2 π

α

d

∞

∞

ω.exp

ω 2

.4 α

( )1 .ω 2 T2exp ( )..j ω τ

.

В Mathcad непосредственным интегрированием, а также с помощью опе-ратора обратного преобразования Inverse Fourier Transform данный интеграл не берется. Поэтому, полагая ω комплексной переменной, будем использо-вать метод контурного интегрирования на плоскости комплексной перемен-ной (Imω,Reω) и находить значение интеграла посредством вычетов.

Полюсы подынтегральной функции являются корнями уравнения

1 .ω 2 T2 0.

.1

T2T2

.1

T2T2

Таким образом, подынтегральная функция имеет два простых комплексно-сопряженных полюса

ω 1jT

и ω 2jT

.

Полюс ω1 и контур интегрирования C← против часовой стрелки (рис.3.3.7,а) расположены в верхней полуплоскости. При этом для контурного интеграла (3.12) вычет (3.10) подынтегральной функции в точке ω1 будет соответствовать решению для случая τ>0.

а б Рис.3.3.7

⇒ решение уравнения в виде вектор-столбца его корней, причем

assume T complex

.1

T2T2 j

T.

C←

Reω

Imω

ω1

ω2 C→

Reω

Imω

ω1

ω2

150

Полюс ω2 и контур интегрирования C→ по часовой стрелке (рис.3.3.7,б) расположены в нижней полуплоскости. При этом, так как интегрирование ведется по часовой стрелке, для контурного интеграла (3.12) вычет (3.10) подынтегральной функции в точке ω2 берется с отрицательным знаком и будет соответствовать решению для случая τ<0.

Согласно (3.10), вычет Res ω 1 в точке ω1 будет

limjT

ω

..exp

ω 2

.4 α

( )1 .ω 2 T2exp ( )..j ω τ ω

jT

;

..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ α T

( ).α T2 - результат взятия предела.

Итак, в точке ω1 вычет

Res ω 1( )τ ..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ α T

( ).α T2 .

На основании (3.13) для области τ>0 корреляционная функция

R1 y( )τ ..R 2

2

R 12

.σ2 π

α

.j ..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α

или после упрощения

R1 y( )τ ....12

R 22

R 12

σ2 π

.α Texp .1

4( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α

, τ>0 .

Теперь найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 2 в точке ω2:

lim

.1

T2T2ω

..exp

ω 2

.4 α

( )1 .ω 2 T2exp ( )..j ω τ ω .1

T2T2 ;

..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α- результат взятия предела.

Итак, в точке ω2 вычет

151

Res ω 2( )τ ..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α .

На основании (3.13) при введении отрицательного знака для вычета кор-реляционная функция для области τ<0 будет

R2 y( )τ ..R 2

2

R 12

.σ2 π

α

.j ..12

jT

exp .14

( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α

или после упрощения

R2 y( )τ ....12

R 22

R 12

σ2 π

.α Texp .1

4( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α

, τ<0.

Если переменную τ взять по модулю, то оба полученных выражения для корреляционной функции можно записать одной формулой

R y( )τ ....12

R 22

R 12

σ2 π

.α Texp .1

4( )1 ...4 τ T α

( ).T2 α, τ<0 и τ>0.

Например, =R y( ).0 sec 1.354 volt2. Так как Dy=Ry(0), то дисперсия выходного сигнала будет

D y..1

( ).2 T.

R 22

R 12

.σ2 π

α

exp .14

1

( ).T2 α

, =D y 1.354 volt2.

Графики корреляционных функций входного и выходного сигналов при-

ведены на рис.3.3.8 при M .10 sec и τ ..,M MM

100M.

10 0 10

1

2КФ сигналов X(t) и Y(t)

sec

volt

* vo

lt

R x( ).0 sec

D yR y( )τ

R x( )τ

τ

Рис.3.3.8

152

Пример 3.3.3. Схема (рис.3.3.9) составлена из двух RC-звеньев, между

которыми включен развязывающий повторитель с коэффициентом передачи K 0 1 при коэффициенте усиления операционного усилителя K1>>1. Ин-

тегрирующие RC-цепи с постоянными времени T 1.0.4 sec и

T 2.0.2 sec имеют частотные коэффициенты передачи

K 1( )ω1

1 ..j ω T 1 и K 2( )ω

11 ..j ω T 2

.

R

CВх.-

K 1+

С

R

Вых.

Рис.3.3.9

На вход схемы поступает стационарный белый шум X(t) с известной спектральной плотностью мощности S 0

..0.1 volt2 sec.

Найти для выходного процесса Y(t) корреляционную функцию Ry(τ) и дисперсию Dy.

Решение. Частотный коэффициент передачи мощности Kp(ω) этой схе-мы будет

assume ,,>T 1 0 >T 2 0 K 0

K p( )ω ..K 0 K 1( )ω K 2( )ω 2K 0

2

.1 .ω 2 T 12 1 .ω 2 T 2

2.

Согласно (3.36), спектральная плотность мощности выходного процесса

S y( )ω.S 0 K 0

2

.1 .ω 2 T 12 1 .ω 2 T 2

2

.

Например, =S y( ).1 sec 1 0.083 sec volt2

. На основании (3.38) корреляционная функция выходного процесса

R y( )τ ..S 0 K 0

2

.2 πd

∞

∞

ωexp ( )..j ω τ

.1 .ω 2 T 12 1 .ω 2 T 2

2

.

153

Полагая ω комплексной переменной, будем находить значение интегра-ла с помощью теории вычетов. Полюсы подынтегральной функции являются корнями уравнения

.1 .ω 2 T 1

2 1 .ω 2 T 22 0.

.1

T 12

T 12

.1

T 12

T 12

.1

T 22

T 22

.1

T 22

T 22

Таким образом, подынтегральная функция имеет четыре простых полюса:

ω 1j

T 1 ; ω 2

jT 1

; ω 3j

T 2 и ω 4

jT 2

.

Будем определять КФ для случая τ>0, замыкая контур интегрирования C контурного интеграла (3.12) в верхней полуплоскости, где расположены полюсы ω1 и ω3. При этом значение контурного интеграла определяется со-гласно (3.13), суммой вычетов (3.10) подынтегральной функции в точках ω1 и ω3.

Найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 1 в точке ω1:

limj

T 1ω

.exp ( )..j ω τ

.1 .ω 2 T 12 1 .ω 2 T 2

2ω

jT 1

;

...12

j expτ

T 1

T 1

T 22 T 1

2

- результат взятия предела.

Итак, в точке ω1 вычет

Res ω 1( )τ ...12

j expτ

T 1

T 1

T 22 T 1

2

.

⇒ решение уравнения в виде вектор-столбца его корней, причем

assume T complex

.1

T2T2 j

T.

154

Теперь найдем, согласно (3.10), вычет Res ω 3 в точке ω3:

limj

T 2ω

.exp ( )..j ω τ

.1 .ω 2 T 12 1 .ω 2 T 2

2ω

jT 2

;

...12

j expτ

T 2

T 2

T 22 T 1

2

- результат взятия предела.

Итак, в точке ω3 вычет

Res ω 3( )τ ...12

j expτ

T 2

T 2

T 22 T 1

2

.

На основании (3.13) для области τ>0 после упрощений корреляционная функция

R1 y( )τ ...12

S 0 K 02

.expτ

T 1T 1

.expτ

T 2T 2

T 22 T 1

2

, τ>0.

Функцию корреляции при τ<0 можно получить из последней формулы заменой τ на -τ. Это следует из свойства четности корреляционной функции. Однако тот же результат может быть получен прямым расчетом вычетов в точках ω2 и ω4.

Таким образом,если переменную τ взять по модулю, то в общем случае для τ<0 и τ>0 выражение для корреляционной функции принимает вид

R y( )τ ...12

S 0 K 02

.expτ

T 1T 1

.expτ

T 2T 2

T 22 T 1

2, τ<0 и τ>0.

Например, =R y( ).0 sec 0.083 volt2. Так как Dy=Ry(0), то дисперсия выходного сигнала будет

D y..1

2S 0

K 02

T 2 T 1 , =D y 0.083 volt2.

График корреляционной функции выходного сигнала Y(t) приведен на

рис.3.3.10 при M .3 sec и τ ..,M MM

100M

155

4 2 0 2 4

sec

volt

* vo

lt ..12

S 0K 0

2

T 2 T 1R y( )τ

τ

Рис.3.3.10

3.3.3. Типовые задачи Задача 3.3.1. На вход схемы (рис.3.3.11, где злементы R .2 K Ω и

C .1 μF и коэффициент усиления K1>>1) поступает случайный сигнал в виде белого шума, спектральная плотность мощности которого S 0

..0.2 volt2 sec при <<∞ ω ∞ . Найти корреляционную функцию Ry(τ) и

действующее значение напряжения σy выходного сигнала.

R

CВх.-

K1+

С

R

Вых.

Элемент развязки

Рис.3.3.11

Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ .S 0

..4 R C..e

τ.R C 1

τ.R C

Φ ( )τ ..e

τ.R C 1

τ.R C

Φ ( )τ

или с учетом понятия модуля τ в компактной форме

R y( )τ ..S 0

..4 R Cexp

τ.R C

1τ.R C

.

Действующее значение выходного напряжения

σ yS 0

..4 R C и составит =σ y 5 volt.

156

Задача 3.3.2. Дана схема из двух звеньев на рис.3.3.11, где злементы R .2 K Ω и C .10 μF , а коэффициент усиления K1>>1. Каждое звено име-ет постоянную времени T .R C.

На ее входе действует стационарное случайное напряжение X(t) с нуле-вым математическим ожиданием и при параметрах σ .0.5 volt и α .50 sec 1 c корреляционной функцией

R x( )τ .σ2 e.α τ , причем =R ( ).0 sec 0.25 volt2.

Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) выходного сигнала. Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ .σ2

2

..e

τT α ( )..α 2 τ T2 .α 2 T3 .3 T τ .2 e

.α τ

.( ).T α 1 2 ( ).T α 1 2 .

Задача 3.3.3. Решить задачу 3.3.2 при условии, что корреляционная

функция входного сигнала имеет вид

R x( )τ .σ2 e

τ.R C .

Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ ..σ2

8exp

τ

( ).R Cτ.R C

2 .3 τ.R C

3 .

Задача 3.3.4. На вход схемы (рис.3.3.12, где злементы R .2 K Ω и

C .10 μF и коэффициент усиления K1>>1) поступает случайный сигнал в виде белого шума, спектральная плотность мощности которого S 0

..0.2 volt2 sec при <<∞ ω ∞ . Найти корреляционную функцию Ry(τ) и

действующее значение напряжения σy выходного сигнала.

С

R

CВх.

R

Вых.

R R-K 1+

C

Рис.3.3.12

157

Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ ...3 S 0

..16 R Cexp

τ.R C

.13

τ.R C

2 τ.R C

1 .

Действующее значение выходного напряжения

σ y

.3 S 0..16 R C

и составляет =σ y 1.369 volt.

Задача 3.3.5. Дана интегрирующая RL-цепь (рис.3.3.13, где элементы

схемы R .0.1 K Ω и L .20 henry ), которая имеет при параметре λRL

импульсную характеристику g ( )t .λ exp ( ).λ t . На ее вход в момент времени t=0 подается стационарное случайное на-

пряжение X(t) с математическим ожиданием m 1x.0.5 volt и при парамет-

рах σ .0.5 volt и α .0.5 sec 1 с корреляционной функцией

R x( )τ .σ2 e.α τ , причем =R ( ).0 sec 0.25 volt2.

L

R Вых.Вх.

Рис.3.3.13

Ответ. Математическое ожидание m 1y ( )t .m 1x ( )1 exp ( ).λ t .

Нестационарная корреляционная функция

R y ,t 1 t 2...σ2 λ 2 e

.t 2 ( )λ α1

e.λ t 2

.α t 1 e.λ t 2 t 1

( )λ 2 α 2.

Стационарная корреляционная функция

R y( )τ ..σ2 λ( ).exp ( ).λ τ α .λ exp ( ).α τ

( )λ 2 α 2.

Действующее значение выходного напряжения

σ y.σ λ

λ α

и составляет =σ y 0.477 volt.

Найти для нестационарного режима мате-матическое ожидание m1y и корреляционную функцию Ry(t1,t2) выходного процесса Y(t), а также для установившегося режима функцию Ry(τ) и действующее значение выходного на-пряжения σy.

158

Задача 3.3.6. Дана интегрирующая RL-цепь (рис.3.3.13, где элементы схемы R .0.1 K Ω и L .20 henry ). На ее входе действует стационарное случайное напряжение X(t) с нулевым математическим ожиданием и при параметрах σ .3 volt и α .2 sec 2 с корреляционной функцией

R x( )τ .σ2 e.α τ

2.

Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) выходного сигнала. Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ ....12

σ2 π

.α LR exp ..1

4( )R ...4 L α τ

R

( ).L2 α.

Задача 3.3.7. Пусть имеется идеальный фильтр верхних частот без

временного запаздывания с параметрами: коэффициент передачи в полосе пропускания K 0 1.5 , частота среза ω c

...2 π 10 sec 1. Математическая модель его частотного коэффициента передачи имеет вид

K ( )ω .K 0 1 Φ ω ω c Φ ω ω c . На вход фильтра поступает случайный сигнал в виде белого шума, спек-

тральная плотность мощности которого S 0..0.2 volt2 sec при <<∞ ω ∞ .

Требуется найти корреляционную функцию Ry(τ) сигнала на выходе фильтра. Ответ. Корреляционная функция

R y( )τ ..S 0 K 02 Dirac ( )τ

sin .ω c τ

.π τ.

4. ВРЕМЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ

4.1. Общие сведения Переход от аналогового представления сигнала к цифровому связан с

его дискретизацией по времени и квантованием по уровню. В результате временной дискретизации ВД-сигнала x t( ) получают его

оценку x t*( ) , которая воспроизводит (восстанавливает) поведение сигнала на

интервале Δ t с некоторой погрешностью δ( ) ( ) ( ),t x t x t t t= − ∈∗ Δ . В матема-тическом плане процесс ВД аналогичен задаче аппроксимации функции x t( )

полиномом x t*( ) .

159

При решении задачи дискретизации (выборе шага Δ t ) должны быть из-вестны:

1) математическая модель x t( ) физического сигнала; 2) способ воспроизведения (аппроксимации) аналогового сигнала,

т. е. математическая модель оценки x t*( ) ; 3) критерий качества приближения сигнала его оценкой; 4) величина допустимой погрешности воспроизведения сигнала его

оценкой. Как правило, качество приближения функции x t( ) оценкой (полиномом)

x t*( ) устанавливается одним из критериев: 1) равномерного приближения

max ( )δ δ δt tm д= ≤ ∈, t Δ ;

2) среднеквадратичного приближения

1t

, tm

2

0

tm

δ σ σ( )t dt tд= ≤ ∈∫ 2 2 Δ ;

Здесь δ( ) ( ) ( )*t x t x t= − – функция погрешности аппроксимации; δ д – модуль допустимой погрешности равномерного приближения;

σ д – среднеквадратичная допустимая погрешность приближения.

В основе принципа ВД лежит представление непрерывной функции x t( ) обобщенным полиномом Фурье

x t a t t tk kk

n*( ) ( ) ,= ∈

=∑ ϕ

0

Δ , (4.1)

где { }ϕ k k

nt( )

=0 – система линейно независимых базисных функций;

a k – коэффициенты разложения или координаты сигнала, зависящие от

вида функции x t( ) ; n – число членов ряда или степень полинома (4.1). В общем случае процесс ВД-сигнала заключается в его разложении на

интервале Δ t по системе заранее выбранных базисных функций ϕ k t( ) с

последующим дискретным представлением сигнала конечной совокупностью

координат { }a k k

n

=0.

160

В зависимости от базиса в качестве координат сигнала могут быть ис-пользованы или коэффициенты разложения a k или отсчеты x t k( ) в дискрет-

ные моменты времени t k . Выбор базиса и координат определяет тип аппроксимирующего полино-

ма и характер аппроксимации. В измерительной технике предпочтение отда-ется координатам сигнала в виде его отсчетов x t k( ) . В этом случае в резуль-тате ВД-сигнал заменяется совокупностью его отсчетов (рис.4.1.1).

Рис.4.1.1 В качестве базиса обычно берется система линейно независимых базис-

ных функций { }t kk

n

=0 или { }( )t t k

k

n−

=0 0. На этом базисе можно построить

различные полиномы. Наибольшее применение нашли полиномы Тейлора и Лагранжа. Характер аппроксимации при полиноме Тейлора – это экстраполя-ция или предсказание, а при полиноме Лагранжа – интерполяция.

Промежуток времени Δ t между отсчетами называют шагом дискретиза-ции или тактом измерения. Если шаг Δ t const= , то имеем равномернную временную дискретизацию (РВД) на интервале наблюдения t m .

Если шаг Δ t = var , то этот случай соответствует адаптивной временной дискретизации (АВД). АВД заключается в автоматическом изменении про-межутков времени Δ t между отсчетами в зависимости от текущего поведения сигнала. При АВД шаг дискретизации как бы приспосабливается к текущим изменениям сигнала. Это приспособление, т.е. адаптация, осуществляется в реальном масштабе времени. АВД – это один из эффективных методов сжатия данных. Сжатие данных – это операция экономного представления аналогового сигнала.

Сложность устройств дискретизации и воспроизведения сигнала растет с увеличением степени n аппроксимирующего полинома. Поэтому степень полинома выбирают в разумных пределах – обычно n = 0 или n =1.

t

x(t)

x(t)

x(tk )

tm tk 0

Δt

161

4.2. Дискретизация детерминированных сигналов

4.2.1. Основные понятия и соотношения В зависимости от модели детерминированного сигнала можно выделить

два подхода к определению шага РВД: 1) по частотным характеристикам сигнала; 2) по производным сигнала.

4.2.1.1. Выбор шага РВД по частотным характеристикам В данном случае шаг РВД выбирается по теореме В. А. Котельникова.

Здесь в качестве модели сигнала принимается функция, ограниченная по час-тоте. Такая функция не ограничена по времени и полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени

Δ tfC C

= =π

ω1

2, (4.2)

где fc – граничная частота спектра функции x t( ) или частота среза. Эту функ-

цию можно описать без погрешности полиномом Котельникова K t( ) , т.е. с помощью функций отсчетов (ФО)

[ ]x t K t x tt t

t tx t Sa t tk

C k

C kkk C k

K

( ) ( ) ( )sin ( )

( )( ) ( )= =

−

−= −

=−∞

∞

=−∞

∞

∑ ∑ω

ωω , (4.3)

где t k tk = Δ ; Sa x( ) – функция отсчетов.

Реальные сигналы конечны во времени ( [ ]t t m∈ 0, ) и поэтому имеют не-

ограниченный спектр. Для них теорема Котельникова, строго говоря, непри-менима. Однако такие сигналы можно описать полиномом Котельникова приближенно. В этом случае, чтобы найти шаг РВД по формуле Котельнико-ва (4.2), необходимо ограничить спектр заданного сигнала некоторой часто-той ωc , отбросив высокочастотную часть спектра.

Ограничение спектра связано с потерей части энергии (мощности) сиг-нала, приходящейся на полосу частот выше ωс . В результате исходный сиг-нал будет восстанавливаться полиномом Котельникова с некоторой погреш-ностью, которую можно оценить среднеквадратичным критерием приближе-ния.

Оценка погрешности аппроксимации при крутом спаде спектра A( )ω имеет вид

P

P

P

Pо тб

о тно тб≤ ≤ ÷ ⋅σ 2 2 3( ) ⇒ для мощностных сигналов;

(4.4)

162

E

E

E

Eо тб

о тно тб≤ ≤ ÷ ⋅σ 2 2 3( ) ⇒ для энергетических сигналов,

где P и E – соответственно полная мощность и энергия сигнала; Pо тб и

Eо т б – мощность и энергия отброшенной части спектра или мощность (энер-

гия) погрешности; σ о тн – относительная среднеквадратичная погрешность

воспроизведения, т.е.

σ

δσ

о т нm

t

m

tд

tt dt

tx t dt

P

m

m

2

2

0

2

0

21

1= =

∫

∫

( )

( )

или σ

δσ

о т нд m

t dt

x t dt

t

E2

2

2

2

= =⋅

−∞

∞

−∞

∞

∫

∫

( )

( )

, (4.5)

где σ д – абсолютная среднеквадратичная допустимая погрешность дискрети-

зации (аппроксимации). Например, для энергетических сигналов на основании (4.4) и (4.5) имеем

E E tо т б о т н д m≤ =σ σ2 2 . (4.6)

Из равенства Парсеваля (1.14) и условия (1.22) следует энергия сохраняемой части спектра

E E F j dо т б

c

− = ∫1 2

0π

ω ω

ω

( ) . (4.7)

Сопоставление выражений (4.6) и (4.7) дает возможность определить гранич-ную частоту спектра ωс и затем рассчитать шаг РВД по формуле (4.2).

4.2.1.2. Выбор шага РВД по производным сигнала Здесь исходят прямо из временного представления сигнала. Математи-

ческая модель сигнала – некоторая функция x(t), непрерывная на интервале наблюдения tm и имеющая ограниченное число конечных и непрерывных производных.

Такую функцию можно описать любым аппроксимирующим полиномом. Обычно применяют экстраполяционный полином Тейлора степени n = 0 (ступенчатая экстраполяция СЭ) и n = 1 (линейная экстраполяция ЛЭ) или интерполяционный полином Лагранжа степени n = 0 (ступенчатая интерпо-ляция СИ) и n = 1 (линейная интерполяция ЛИ). Критерий приближения – равномерный или среднеквадратичный.

При оценке погрешности воспроизведения, исходя из остаточного члена полинома, можно получить формулы для расчета шага РВД, сведенные в табл.4.1, где

163

M1 и M 2 – модуль-максимум 1- и 2-й производных сигнала,

M x t M x t t t m1 2= ′ = ′′ ∈max ( ) , max ( ) , ;

δ д и σд – абсолютные максимальная и среднеквадратичная погрешно-

сти дискретизации.

Таблица 4.1 Критерий

приближения Полином Степень

n Шаг РВД

Δ t Тейлора 0 δ д M/ 1

Равномерный 1 2 2δд M/

Лагранжа 0 2 1δд M/

1 8 2δд M/

Тейлора 0 3 1σд M/

Среднеквадра- 1 2 5 2σд M/

тичный Лагранжа 0 2 3 1σд M/

1 2 30 2σд M/

4.2.2. Типовые примеры Пример 4.2.1. Найти шаг дискретизации сигнала (рис.4.2.1 при

T .10 sec и t ..,0T

100T) с параметрами a 0

..1.5 volt sec 2 и

λ .1 sec 1 , математическая модель которого имеет вид

x ( )t ..a 0 t2 exp ( ).λ t , t>0. Способ воспроизведения – полиномом Котельникова (т.е. функциями

отсчетов ФО), допустимое значение относительной среднеквадратичной по-грешности σ отн 0.1 .

164

0 5 100

0.5

1

sec

volt x( )t

t

Рис.4.2.1 Решение. Так как сигнал задан на интервале t>0, то для определения

его спектральной функции вместо (1.7) целесообразно использовать преобра-зование Лапласа. Найдем изображение заданного сигнала с помощью опера-тора Laplace Transform в виде 1(*). Тогда

X( )s .1 ..a 0 t2 exp ( ).λ t

;

X( )s .2

a 0

( )s λ 3 − результат преобразования, где s − пере-

менная Лапласа. Отсюда, заменяя переменную Лапласа s на переменную Фурье

jω, можно получить спектральную функцию

F x( )ω.2 a 0

( ).j ω λ 3 .

Например, =F x( ).1 sec 1 0.75 0.75j sec volt. Спектральная функция не ограничена по частоте. Модуль спектральной

функции assume ,λ >a 0 0

F x( )ω .2a 0

( )λ 2 ω 2

32

.

На основании равенства Парсеваля (1.14) полная энергия сигнала assume ,a 0 >λ 0

165

E x.1

πd

0

∞

ω.2a 0

( )λ 2 ω 2

32

2

.34

a 02

λ 5

.

Таким образом, полная энергия на сопротивлении R .1 Ω будет

E x.3

.4 R

a 02

λ 5 и составит =E x 1.688 sec watt .

Энергия погрешности, согласно (4.4) и (4.5), E отб

.E x σ отн2 и составит =E отб 0.017 sec watt .

Энергия сигнала, ограниченного частотой среза ωc,

E x ω c.1

πd

0

ω c

ω.2a 0

( )λ 2 ω 2

32

2

.

Интегрирование и последующее упрощение дают

E x ω c.

a 02

.2 π

..5 λ 3 ω c..3 λ ω c

3 ..3 atanω c

λλ 2 ω c

2 2

.λ 5 λ 2 ω c2 2

.

Согласно (4.7), граничную частоту среза ωc найдем из решения неравен-

ства E x E отб E x ω c , откуда при γ 1 σ отн2 имеем уравнение

.γ E x E x ω c , где =γ 0.99 . Решить данное трансцендентное уравнение можно только численным спосо-бом:

ω c.1 sec 1

− начальное приближение;

Given − ключевое слово нижеследующего уравнения

..34

a 02

λ 5γ .

a 02

.2 π

..5 λ 3 ω c..3 λ ω c

3 ..3 atanω c

λλ 2 ω c

2 2

.λ 5 λ 2 ω c2 2

;

166

ω c1 Find ω c − корень уравнения, определяемый в Mathcad спец-

функцией Find(z). Решение уравнения дает =ω c1 1.803 sec 1 Таким образом, в соответствии с (4.2) шаг временной дискретизации

Δ tπ

ω c1 и составит =Δ t 1.742 sec

Пусть время наблюдения сигнала t m.10 sec. Тогда число отсчетов

N p floort mΔ t

и составит =N p 5

где floor(z) − функция выделения целой части числа. Исходный сигнал вос-станавливается полиномом Котельникова (4.3)

K ( )t

= 0

N p

i

.x ( ).i Δ tsin .ω c1 ( )t .i Δ t

.ω c1 ( )t .i Δ t.

График восстановленного по Котельникову сигнала приведен на рис.4.2.2 в сравнении с исходным сигналом.

0 2 4 6 8 10

1

sec

volt K( )t

x( )t

t

Рис.4.2.2 Пример 4.2.2. Пусть задан сигнал (рис.4.2.3 при T .10 sec и

t ..,0T

100T ) с параметрами a 0

..1.5 volt sec 2 и λ .1 sec 1, математи-

ческая модель которого имеет вид x ( )t ..a 0 t2 exp ( ).λ t , t>0. Найти шаг временной дискретизации, при котором погрешность равно-

мерного приближения не превышает допустимой величины δ 0.0.2 volt

при способе воспроизведения, ориентированном на линейную интерполяцию (ЛИ).

.

.

,

167

0 5 100

0.5

1

sec

volt x( )t

t

Рис.4.2.3 Решение. Согласно табл.4.1, для расчета шага РВД необходимо про-

вести анализ второй производной сигнала x(t) на интервале определения t>0. Вторая производная

x2 ( )t d

d

2

2t..a 0 t2 exp ( ).λ t ;

x2 ( )t ..a 0 exp ( ).λ t ( )2 ..4 λ t .λ 2 t2

− результат двойного дифференцирования.

Значения 2-й производной на границах интервала определения:

=x2 ( ).0 sec 3 sec 2 volt и x2 ( )∞ ..0 sec 1 volt Найдем точки экстремума 2-й производной. Для этого определим третью

производную сигнала

x3 ( )t d

d

3

3t..a 0 t2 e

.λ t;

x3 ( )t ...a 0 λ exp ( ).λ t ( )6 ..6 λ t .λ 2 t2

Решим уравнение 6 ..6 λ t .λ 2 t2 0 ;

.1

( ).2 λ 2.6 λ ..2 3 λ

.1

( ).2 λ 2.6 λ ..2 3 λ

Итак, имеем

t 1.1

λ3 3 , =t 1 4.732 sec

- результат диффе-ренцирования.

.

⇒ корни уравнения в виде век-тор-столбца его решений.

.

168

t 2.1

λ3 3 , =t 2 1.268 sec

Третий корень соответствует условию exp(-λt)=0 и равен t3=∞ . Значения модуля 2-й производной в точках экстремума будут

=x2 t 1 0.072 sec 2 volt и =x2 t 2 0.618 sec 2 volt.

Сравнение значений модуля 2-й производной в точках экстремума и на границах интервала дает модуль-максимум 2-й производной M 2 x2 ( ).0 sec и значение шага РВД для ЛИ

Δ t ли

.8 δ 0M 2

, =Δ t ли 0.73 sec

Отсчеты сигнала при РВД в случае ЛИ и график его восстановления ме-тодом ЛИ показаны на рис.4.2.4 при j ..0 12 и tj

.j Δ t ли

0 2 4 6 8 10

1

sec

volt

x tj

x tj

Δt ли.6 Δt ли

tj

Рис.4.2.4

4.2.3. Типовые задачи Задача 4.2.1. Найти для случая воспроизведения функциями отсчетов

ФО при относительной среднеквадратичной погрешности σ отн.5 %

шаг

дискретизации сигнала с параметрами μ ..50 volt sec 1 и α .10 sec 1, ма-тематическая модель которого имеет вид

u ( )t ...μ t e.α t

Φ ( )t .

Ответ. Частота среза спектра сигнала =ω c 54.646 sec 1

Шаг РВД =Δ t 0.057 sec

.

.

. .

169

Задача 4.2.2. Найти для случая воспроизведения функциями отсчетов ФО при относительной среднеквадратичной погрешности σ отн

.10 % шаг

дискретизации сигнала с параметрами a ..10 volt sec 2 и λ .0.5 sec 1, ма-тематическая модель которого имеет вид

x ( )t ..a e

.λ t

λ 2( ).λ t sin ( ).λ t , t>0.

Ответ. Частота среза спектра сигнала =ω c 0.847 sec 1

Шаг РВД =Δ t 3.707 sec

Задача 4.2.3. Найти для случая ЛИ при допустимой погрешности рав-номерного приближения δ 0

.5 volt шаг дискретизации сигнала с парамет-

рами a ..10 volt sec 2, λ .0.5 sec 1 и q 10, математическая модель кото-рого имеет вид

x ( )t ..a e

.λq

t

λ 2( ).λ t sin ( ).λ t , t>0.

Ответ. Модуль-максимум 2-й производной M 2..7.42 volt sec 2.

Шаг РВД =Δ t ли 2.322 sec

Задача 4.2.4. Найти для случая воспроизведения функциями отсчетов ФО при относительной среднеквадратичной погрешности =σ отн. 2 %

шаг дискретизации экспоненциального видеоимпульса с амплитудой U m

.1 volt и коэффициентом затухания α .0.1 sec 1, математическая модель которого имеет вид

x ( )t ..U m exp ( ).α t Φ ( )t .

Ответ. Частота среза спектра сигналаω c.α cot .π

2σ отн

2 .

Шаг РВД Δ t .π

αtan .π

2σ отн

2 , =Δ t 0.02 sec

Задача 4.2.5. Найти для случая ЛЭ при допустимой среднеквадратич-

ной погрешности σ 0.0.2 volt шаг дискретизации сигнала с параметрами

μ ..10 volt sec, λ .2 sec 1, математическая модель которого имеет вид

.

.

.

.

170

z ( )t .μ

tsin ( ).λ t , t>0.

Ответ. Модуль-максимум 2-й производной M 2..1

3μ λ 3.

Шаг РВД Δ t лэ...2 3 5

14

σ 0

.μ λ

32

, =Δ t лэ 0.183 sec

Задача 4.2.6. Найти для случая СИ при допустимой погрешности рав-

номерного приближения δ 0.0.2 volt шаг дискретизации сигнала с пара-

метрами A ..10 volt sec 2, λ ..2 rad sec 1 и q 10, математическая модель которого имеет вид

x ( )t ..A e

.λq

t

.2 λ 2( )sin ( ).λ t ..λ t cos ( ).λ t , t>0.

Ответ. Модуль-максимум 1-й производной M 1..8.657 volt sec 1.

Шаг РВД =Δ t си 0.046 sec

Задача 4.2.7. Решить задачу 4.2.6 для случая СЭ и допустимой средне-квадратичной погрешности σ 0

.0.2 volt.

Ответ. Шаг РВД =Δ t сэ 0.04 sec

Задача 4.2.8. Решить пример 4.2.2 при условии, что способом воспро-изведения является ступенчатая экстраполяция.

Ответ. Модуль-максимум 1-й производной

M 1...

a 0λ

2 2 exp 2 2 2.

Шаг РВД

Δ t сэ..

.δ 0 λ

22

.a 0 2 2exp 2 2 , =Δ t сэ 0.289 sec

.

.

.

.

171

4.3. Дискретизация случайных сигналов

4.3.1. Основные понятия и соотношения В качестве математической модели сигнала в этом случае

pассматpивается стационаpная случайная функция вpемени, хаpактеpистики котоpой [математическое ожидание mx, диспеpсия Dx и функция авто-коppеляции Rx(τ)] являются известными. Погpешность дискpетизации обычно оценивается сpеднеквадpатичным кpитеpием пpиближения. Однако в пpинципе возможно пpименение кpитеpия pавномеpного пpиближения. Для воспpоизведения сигнала пpименяется полином Тейлоpа или Лагpанжа.

Основные фоpмулы для pасчета шага PВД пpи сpеднеквадpатичном кpитеpии пpиближения пpиведены в табл.4.2.

Таблица 4.2

Полином Степень n

Уравнение для расчета шага РВД

Тейлора

0 R t Rx x( ) ( )Δ = −0

2

2σд

1 σд2 22 0 2 0 2= − + −′ ′R R t t R tR tx x x xx( ) ( ) ( ) ( )Δ Δ Δ Δ

Лагранжа

0 R t Rx xΔ2

02

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −( )σд

1 σд2 15 0 0 5 2 2= + −. ( ) . ( ) ( )R R t R tx x xΔ Δ

В табл.4.2 приняты обозначения:

R tx ( )Δ − автокорреляционная функция сигнала при τ = Δ t ;

R x′ ( )0 − автокорреляционная функция 1-й производной сигнала при τ = 0 ;

R txx′ ( )Δ − взаимная корреляционная функция сигнала и его 1-й произ-

водной при τ=Δt. Для стационаpного диффеpенциpуемого пpоцесса автокоppеляционная

функция к-й пpоизводной будет

Rd R

dxk

kxkk( ) ( ) ( )( )

,ττ

τ= −1

2

2 (4.8)

а взаимная коppеляционная функция сигнала и его 1-ой пpоизводной

172

RdR

dxxx

′ =( )( )

ττ

τ . (4.9)

Для стационарного процесса возможен также выбор шага РВД по его час-тотным характеристикам. В этом случае используется критерий среднеквад-ратичного приближения и случайный сигнал воспроизводится функциями отсчетов, т.е. полиномом Котельникова.

Для применения теоремы Котельникова необходимо ограничить энергетический спектр частотой ωc , отбросив высокочастотную часть спектра при условии обеспечения допустимой погрешности дискретизации (точнее аппроксимации). Тогда условие выбора частоты среза ωc энергетического спектра будет

P S dо т б д

c

= ≤∞

∫1 2

πω ω σ

ω

( ) . (4.10)

4.3.2. Типовые примеры Пример 4.3.1. Стационарный случайный процесс X(t) с параметрами

σ .0.5 volt и α .0.5 sec 1 характеризуется корреляционной функцией R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ . Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процесса

при допустимой погрешности среднеквадратичного приближения σ 0

.0.2 volt и восстановлении сигнала полиномом Лагранжа первой степе-ни.

Решение. Дисперсия D x R ( ).0 sec , т.е. D x σ2. Для нахождения шага РВД при ЛИ решаем уравнение (см. табл.4.2)

.1.5 σ2 .2 .σ2 exp .αΔ t ли

2.0.5 .σ2 exp .α Δ t ли σ 0

2.

Решение уравнения в символическом виде дает его корни

Δ t 1.2.

ln ..5

σ2.4. σ2 ..2. σ σ2 .2. σ 0

2

α;

Δ t 2.2.

ln ..5

σ2.4. σ2 ..2. σ σ2 .2. σ 0

2

α.

Численное значение корней будет

173

=Δ t 1 4.588 sec ; =Δ t 2 0.645 sec Так как шаг РВД есть положительная величина, то окончательно имеем

Δ t ли Δ t 2 или Δ t ли.2.

ln ..5

σ2.4. σ2 ..2. σ σ2 .2. σ 0

2

α.

Пример 4.3.2. Стационарный нормальный случайный процесс X(t) с

параметрами σ .2 volt и α .0.5 sec 2 характеризуется корреляционной функцией

R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 . Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процесса

при допустимой погрешности равномерного приближения δ 0.0.1 volt и

восстановлении сигнала способом линейной экстраполяции (ЛЭ). Решение. Согласно табл.4.1, при равномерном приближении и ЛЭ для

расчета шага РВД необходимо знать значение модуль-максимума 2-й произ-водной случайного сигнала. С этой целью сначала найдем корреляционную функцию дважды дифференцированного случайного процесса X(t). На осно-вании (4.8) можно получить

R x2 ( )τ .( )1 2 d

d

4

4τ

.σ2 exp ( ).α τ 2 ;

R x2 ( )τ ....4 σ2 α 2 exp ( ).α τ 2 ( )3 ..12 α τ 2 ..4 α 2 τ 4 .

Отсюда следует дисперсия 2-й производной случайного сигнала assume ,,α σ >α 0

D x2 R x2 ( ).0 sec ..12 σ2 α 2.

Итак, D x2..12 σ2 α 2, =D x2 12 sec 4 volt2.

Для оценки модуль-максимума 2-й производной воспользуемся крите-

рием "трех сигм", где σ x2 D x2. Тогда имеем

M 2.3 σ x2 или M 2

...3 σ α 12, =M 2 10.392 sec 2 volt. При этом вероятность превышения случайным нормальным процессом полу-ченного значения 2-й производной составит

assume ,σ x2 M 2

.

174

P 1 .2 d

0

M 2x2.1

.σ x2.2 π

expx22

.2 σ x22

1 erf ..12

2M 2σ x2

.

Таким образом, P 1 erf ..12

2M 2σ x2

, =P 0.003 .

На основании формулы из табл.4.1 при равномерном приближении и ЛЭ шаг РВД будет

assume ,,δ 0 σ α

Δ t лэ

.2 δ 0M 2

..13

δ 0

.σ α

3

14 .

Следовательно, в случае равномерного приближения и линейной экстра-поляции при вероятности превышения заданной допустимой погрешности

=P 0.003 шаг РВД

Δ t лэ..1

3

δ 0

.σ α

3

14

и составляет =Δ t лэ 0.139 sec

Пример 4.3.3. Стационарный случайный процесс X(t) с параметрами

σ .2 volt и α .10 sec 2 характеризуется корреляционной функцией R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 . Найти шаг временной дискретизации реализации случайного процесса

при допустимой погрешности среднеквадратичного приближения σ 0

.0.1 volt и восстановлении сигнала функциями отсчетов. Решение. Так как требуется воспроизводить сигнал полиномом Ко-

тельникова, то шаг РВД нужно рассчитывать по его частотным характеристи-кам.

Используя преобразования Хинчина-Винера (2.7), найдем спектральную плотность мощности случайного процесса

assume ,,σ α >α 0

S x( )ω d∞

∞

τ..σ2 exp ( ).α τ 2 e..j ω τ ..exp .1

( ).4 αω 2 σ2

α

π .

Согласно (2.10), полная мощность или дисперсия процесса assume ,,σ α >α 0

.

175

P x( )σ .1π

d

0

∞

ω..exp .1( ).4 α

ω 2 σ2

α

π ..12

σ2 4.

Итак, P x σ2 и составляет =P x 4 volt2.

Ограничим спектр процесса частотой среза ωс при условии обеспечения заданной среднеквадратичной погрешности. Квадрат среднеквадратичной погрешности равен ее мощности P σ σ 0

2 и соответствует мощности от-брасываемой части спектра. При этом мощность сохраняемой части спектра P c P x P σ. Тогда подобно (2.11) условие для выбора частоты среза будет

P x P σ.1

πd

0

ω cω..exp .1

( ).4 αω 2 σ2

α

π .

Вычислим значение интеграла assume ,,α σ ω c

.1π

d

0

ω cω..exp .1

( ).4 αω 2 σ2

α

π .erf .1

.2 α

ω c σ2.

С учетом этого результата и значений P x( )σ и P σ условие для выбора час-тоты среза принимает вид

σ2 σ 02 .erf .1

.2 α

ω c σ2.

Решить данное трансцендентное уравнение можно только численным способом:

ω c.1 sec 1

− начальное приближение;

Given − ключевое слово нижеследующего уравнения

σ2 σ 02 .erf .1

.2 α

ω c σ2;

176

ω c Find ω c − корень уравнения, определяемый в Mathcad спец-

функцией Find(z), который имеет значение =ω c 13.521 sec 1 Таким образом, в соответствии с (4.2) шаг временной дискретизации бу-

дет

Δ tπ

ω c и составит =Δ t 0.232 sec

4.3.3. Типовые задачи Задача. 4.3.1. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реали-

зации сигнала полиномом Тейлора нулевой степени. Ответ. Шаг РВД при СЭ

Δ t сэ

ln .12

.2 σ2 σ 02

σ2

α, =Δ t сэ 0.167 sec

Задача. 4.3.2. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реали-

зации сигнала функциями отсчетов. Ответ. Частота среза спектра мощности случайного сигнала

ω c.tan .π

2

σ2 σ 02

σ2α .

Шаг РВД Δ t .π

αcot .π

2

σ2 σ 02

σ2 и составит =Δ t 1.613 sec

Задача. 4.3.3. Решить пример 4.3.1 при условии восстановления реали-

зации сигнала полиномом Тейлора первой степени. Ответ. Так как

dd τ

ττ

τsignum ( )τ

и d

d

2

2ττ

dd τ

signum ( )τ .2 Dirac ( )τ ,

то корреляционная функция 1-й производной случайного сигнала

R x1 ( )τ ...σ2 α e.α τ ( ).2 Dirac ( )τ .α signum ( )τ 2 .

Отсюда следует, что дисперсия 1-й производной равна бесконечности. Это значит, что заданный случайный процесс является недифференцируемым. Поэтому для случая ЛЭ не представляется возможным найти шаг РВД.

.

.

.

.

177

Задача. 4.3.4. Решить пример 4.3.2 при условии восстановления реали-зации сигнала полиномом Лагранжа нулевой степени.

Ответ. Шаг РВД Δ t си..1

3δ 0

2

.σ α

, =Δ t си 0.033 sec

Задача. 4.3.5. Решить пример 4.3.3 при условии восстановления реали-

зации сигнала полиномом Тейлора первой степени. Ответ. В случае ЛЭ решение уравнения

σ 02 .2 σ2 ...2 Δ t2 σ2 α ...4 Δ t4 σ2 α 2 ..2 σ2 e

.α Δt2

....4 σ2 e.α Δt

2α Δ t2

дает шаг РВД =Δ t лэ 0.335 sec

Задача. 4.3.6. Решить пример 4.3.3 при условии восстановления реа-лизации сигнала полиномом Лагранжа первой степени.

Ответ. В случае ЛИ решение уравнения σ 0

2 .1.5 σ2 ...5 σ2 exp ( )..1. α Δ t2 ..2. σ2 exp ( )...25 α Δ t2

дает шаг РВД =Δ t ли 0.109 sec

4.4. Оценка сжимаемости сигналов 4.4.1. Основные понятия и соотношения

Одним из эффективных методов сжатия данных является АВД. Эффек-тивность устройств АВД по сpавнению с PВД оценивается обычно коэффи-циентом сокpащения числа отсчетов с учетом служебной информации

KN

N Np

ax at=

+, (4.11)

где Np − число отсчетов сигнала пpи PВД; Nax − число отсчетов сигнала x t( ) пpи АВД; Nat − число отсчетов вpемени пpи АВД. Число отсчетов в (4.11) сpавнивается пpи одинаковых способе воспpоизведения и погpешности дис-кpетизации.

Однако эффективность сжатия сигнала посредством АВД зависит как от динамических свойств сигнала, так и от разновидности устройства АВД. Для идеального устройства АВД при заданных погрешности и способе воспроиз-ведения коэффициент сокращения числа отсчетов (4.11) является уже только характеристикой сигнала, зависящей от его динамических свойств.

.

.

.

178

Таким образом, сжимаемость сигнала посредством АВД можно характе-ризовать коэффициентом сжимаемости K c , полагая его равным коэффициен-ту сокращения числа отсчетов K при идеальном устройстве АВД. В случае АВД на один отсчет сигнала пpиходится один отсчет вpемени. Тогда коэффи-циент сжимаемости на основании (4.11) пpинимает вид

KN

Nttс

p

ax

a

p= =

2 2Δ

Δ, (4.12)

где Np=tm/Δtp; Nax=tm/ Δ t a ; Δtp − длительность такта измеpения пpи PВД;

Δ t a − сpедняя длительность такта измеpения пpи АВД. Для pавномеpного кpитеpия пpиближения и ступенчатой аппpоксимации

( экстpаполяции и интеpполяции) сpедний такт измеpения пpи АВД

Δ t xaД

с=

′δ

р − при экстраполяции; (4.13 а)

Δ t xaД

с=

′2δ

р − при интерполяции, (4.13 б)

где ′x ср − сpеднее значение модуля 1-й пpоизводной сигнала,

′ = ′∫xt

x t dtсm

tm

р ( )1

0

− для реализации;

[ ]′ = ′ = ′ ′ ′−∞

∞

∫x M X x p x dxср ( ) − для процесса,

где М − знак математического ожидания; p x( )′ − плотность веpоятности 1-й пpоизводной сигнала.

Из сpавнения фоpмулы (4.13) и фоpмул табл.4.1 пpи одинаковых спосо-бах воспpоизведения следует, что коэффициент сжимаемости (4.12) незави-симо от типа ступенчатой аппpоксимации пpинимает вид

KM

xcс

=′1

2 р. (4.14)

Фоpмула (4.14) позволяет также оценить сжимаемость сигнала пpи сту-пенчатой аппpоксимации и сpеднеквадpатичном кpитеpии пpиближения.

179

В случае линейной аппpоксимации и pавномеpном пpиближении сpедний такт АВД опpеделяется по фоpмулам

Δ txa

Д

с=

′′

2δ

р − при экстраполяции; (4.15 а)

Δ txa

Д

с=

′′

8δ

р − при интерполяции, (4.15 б)

где ′′x ср − сpеднее значение модуля 2-й пpоизводной сигнала,

′′ = ′′∫xt

x t dt сm

tm

р ( )1

0

− для реализации;

[ ]M X x p x dx′′ = ′′ ′′ ′′−∞

∞

∫ ( ) − для процесса,

где p x( )′′ − плотность веpоятности 2-й пpозводной сигнала. Сpавнение (4.15) и фоpмул табл.4.1 пpи одинаковых способах вос-

пpоизведения показывает, что коэффициет сжимаемости не зависит от типа линейной аппpоксимации и имеет вид

KM

xcс

=′′

12

2

р, (4.16)

Фоpмула (4.16) спpаведлива и для сpеднеквадpатичного кpитеpия пpиближения.

4.4.2. Типовые примеры Пример 4.4.1. Пусть задан сигнал (рис.4.4.1 при T .12 sec и

t ..,0T

100T) с параметрами a 0

..1.5 volt sec 2 и λ .1 sec 1, математи-

ческая модель которого на интервале наблюдения t m T имеет вид

x ( )t ..a 0 t2 exp ( ).λ t , t>0. Оценить сжимаемость сигнала при равномерном критерии приближения

и способе воспроизведения, ориентированном на ступенчатую интерполяцию (СИ).

180

0 5 10 150

0.5

1

sec

volt x( )t

t

Рис.4.4.1 Решение. Для расчета коэффициента сжимаемости (4.14) необходимо

провести анализ первой производной сигнала x(t) на интервале наблюдения tm. Первая производная

x1 ( )t d

d t..a 0 t2 exp ( ).λ t ;

x1 ( )t ...a 0 t exp ( ).λ t ( ).λ t 2

− результат дифференцирова-ния.

График 1-й производной сигнала приведен на рис.4.4.2

0 5 10 15

1График первой производной сигнала

sec

volt

/ sec x1( )t

2

λ

t

Рис.4.4.2 Из гафика видно, что производная имеет области положительных и от-

рицательных значений. Расчет коэффициента сжимаемости требует усредне-ния модуля соответствующей производной. Поэтому необходимо найти гра-ницы положительных и отрицательных значений производной.

Для 1-й производной решение уравнения x1(t)=0 дает точки пересечения с осью абсцисс. Найдем эти точки, решив уравнение

...a 0 t exp ( ).λ t ( ).λ t 2 0;

181

0

2λ

Итак, имеем корни t 11.0 sec

и t 212λ

, т.е. =t 21 2 sec

Среднее значение модуля 1-й производной

x1 ср.

a 0t m

d0

t 21t..t e

.λ t ( ).λ t 2 dt 21

t mt..t e

.λ t ( ).λ t 2 .

Результат интегрирования

x1 ср.a 0

..2 t 212 e

.λ t 21 .t m2 e

.λ t m

t m .

Итак, =x1 ср 0.135 sec 1 volt. Подстановка величин t21 и tm окончательно дает

x1 ср.a 0( ).8 exp ( )2 ..T2 exp ( ).λ T λ 2

( ).λ 2 T.

Исследование 1-й производной на экстремум путем анализа 2-й произ-водной (см. пример 4.2.2) показывает, что максимальное значение модуля 1-й

производной будет в точке t макс.1

λ2 2 . Отсюда следует модуль-

максимум 1-й производной

M 1...a 0 2 2 exp 2 2

2λ

, =M 1 0.692 sec 1 volt.

На основании (4.14) для случая СИ коэффициент сжимаемости сигнала

K си( )λ ..1 2 e 2 2 .λ T

.8 e 2 ..T2 e.λ T

λ 2

.

и составляет =K си( )λ 2.558

При допустимой погрешности, например, δ д.0.02 volt средняя дли-

тельность такта измерения при АВД-СИ

Δ tср си

.2 δ дx1 ср

, =Δ tср си 0.296 sec

⇒ корни уравнения в виде вектор-столбца его решений.

.

.

.

182

Пример 4.4.2. Стационарный нормальный случайный процесс X(t) с параметрами σ .2 volt и α .0.5 sec 2 характеризуется корреляционной функцией

R ( )τ .σ2 exp ( ).α τ 2 . Оценить сжимаемость случайного процесса при его восстановлении

способом линейной экстраполяции (ЛЭ). Решение. Независимо от критерия приближения для расчета коэффи-

циента сжимаемости (4.16) необходимо провести анализ второй X2(t) произ-водной случайного сигнала X(t). При дифференцировании нормального про-цесса его закон распределения не изменяется. Поэтому для описания закона распределения производной необходимо знать только ее среднеквадратичное отклонение (математическое ожидание производной равно нулю). С этой целью на основании (4.8) найдем корреляционную функцию второй произ-водной X2(t) случайного сигнала X(t).

Корреляционная функция 2-й производной

R x2 ( )τ .( )1 2 d

d

4

4τ

.σ2 exp ( ).α τ 2

.

В результате дифференцирования имеем

R x2 ( )τ ....4 σ2 α 2 exp ( ).α τ 2 ( )3 ..12 α τ 2 ..4 α 2 τ 4 .

Отсюда при τ=0 следует среднеквадратичное отклонение 2-й производной assume ,α σ

σ x2 R x2 ( ).0 sec ...2 3 σ α . Для оценки модуль-максимума 2-й производной воспользуемся крите-

рием "трех сигм". Тогда имеем

M 2.3 σ x2 или M 2

.3 ...2 3 σ α , =M 2 10.392 sec 2 volt. Для нормального закона распределения среднее значение модуля 2-й

производной assume

,,,α σ >α 0 >σ 0

X2 ср σ x2.2 d

0

∞

x2.x2

.σ x2.2 π

expx22

.2 σ x22

....2 3 σ α2

π.

Таким образом, среднее значение модуля 2-й производной

183

X2 ср....2 3 σ α

2

π

, =X2 ср 2.764 sec 2 volt.

На основании (4.16) для случая ЛЭ коэффициент сжимаемости сигнала посредством алгоритма АВД-ЛЭ

assume ,α σ

K лэ.1

2

M 2X2 ср

...14

3 2

34 π

14

и составляет =K лэ 0.97

При β 0.1 в случае допустимой среднеквадратичной погрешности σ 0

.β σ на основании табл.4.1 при замене M2 на X2ср средний такт изме-рения при АВД-ЛЭ будет

Δ tср лэ

..2 5 σ 0X2 ср

.

Подстановка значений X2ср и σ0 дает

Δ tср лэ.β .30 π

.6 α , =Δ tср лэ 0.569 sec

Пример 4.4.3. Оценить сжимаемость двух случайных процессов. Пер-

вый имеет с параметром α ..0.5 sec volt 1 экспоненциальную плотность вероятности 1-й производной

p 1( )x .α

2exp ( ).α x .

Второй − равномерный закон распределения в диапазоне производных [-M1,M1], где M1 − модуль-максимум 1-й производной процесса X1(t), опре-деляемый по критерию "трех сигм", т.е. M1=3σx, где σx − среднеквадратич-ное отклонение 1-й производной первого процесса.

Решение. Дисперсия 1-ой производной первого процесса assume ,α >α 0

D x( )α .2 d0

∞x.x2 p 1( )x

2

α 2.

.

.

184

Таким образом, дисперсия D x2

α 2 ( =D x 8 sec 2 volt2) и среднеквадра-

тичное отклонение assume ,α σ

σ x D x2

α .

Отсюда следует модуль-максимум 1-й производной 1-го процесса

M 1.3

2α

, =M 1 8.485 sec 1 volt.

Для экспоненциального закона распределения среднее значение модуля 1-й производной

assume ,α >α 0

X 1ср σ x.2 d

0

∞x.x p 1( )x

1α

.

Таким образом, среднее значение модуля 1-й производной 1-го процесса

X 1ср1α

, =X 1ср 2 sec 1 volt.

Для равномерного закона распределения при p(x)=1/2M1 среднее значе-ние модуля 1-й производной

assume ,α >α 0

X 2ср σ x2.2 d

0

M 1x

x.2 M 1

.32

2α

.

Таким образом, среднее значение модуля 1-й производной 2-го процесса

X 2ср.3

22

α , =X 2ср 4.243 sec 1 volt.

На основании (4.14) для случая ступенчатой аппроксимации коэффици-ент сжимаемости 1-го сигнала посредством алгоритма АВД

assume α

K с1.1

2

M 1X 1ср

.32

2 и составляет =K с1 2.121

Коэффициент сжимаемости 2-го сигнала посредством алгоритма АВД assume α

.

185

K с2.1

2

M 1X 2ср

1 и составляет =K с2 1

4.4.3. Типовые задачи Задача 4.4.1. Оценить сжимаемость сигнала из примера 4.4.1 для слу-

чая линейной интерполяции (ЛИ). Ответ. Модуль-максимум 2-й производной x2(t) будет в точке t=0, т.е.

M 2 x2 ( ).0 sec и составит =M 2 3 sec 2 volt. При вводе коэффициентов

S 22...2 2 2 2 e 2 2 и S 12

...2 2 2 2 e 2 2 коэффициент сжимаемости сигнала

K ли ( )λ .12

x2 ( ).0 sec

.a 0S 12 S 22

.λ T.e

.λ T ( )2 .λ T

, =K ли ( )λ 2.2

Задача 4.4.2. Оценить сжимаемость сигнала из примера 4.4.2 для слу-

чая ступенчатой экстраполяции (СЭ).

Ответ. Модуль-максимум 1-й производной M 1.3 ..2 σ α .

Cреднее значение модуля 1-й производной

X1 ср..2 σ

α

π

, =X1 ср 1.596 sec 1 volt.

Коэффициент сжимаемости сигнала при АВД-СЭ

K сэ.1

2

M 1X1 ср

..34

2 π

и составляет =K сэ 1.88

Задача 4.4.3. Оценить сжимаемость случайного процесса, который

имеет с параметром β ..5 volt sec 1 арксинусоидальную плотность вероятно-сти 1-й производной

p 1( )x1

.π β 2 x2

.

.

.

.

186

Ответ. Модуль-максимум 1-й производнойM 1 β . Cреднее значение

модуля 1-й производной X 1ср.2

β

π. Коэффициент сжимаемости сигнала

K сπ

4 и составляет =K с 0.785

Задача 4.4.4. Оценить сжимаемость нормального случайного процесса,

который имеет с параметром σ ..5 volt sec 2 плотность вероятности 2-й

производной

p 2( )x .1

.σ .2 π

expx2

.2 σ2.

Ответ. Модуль-максимум 2-й производной M 2.3 σ. Cреднее значе-

ние модуля 2-й производной

X 2cp.σ

2

π

.

Коэффициент сжимаемости сигнала

K c...1

43 2

34 π

14

и составляет =K c 0.97

Задача 4.4.5. Случайный сигнал имеет модуль-максимум 1-ой произ-

водной M 1..10 volt sec 1. Его первая производная на интервале [-M1, M1]

распределена по закону

p 1( )x ..12

α

atan .α M 1

1

1 .α 2 x2, M 1 x M 1.

Оценить сжимаемость данного сигнала. Ответ. Коэффициент сжимаемости сигнала

K c..M 1 α

atan .α M 1

ln 1 .α 2 M 12

, =K c 3.188

.

.

.

187

ЛИТЕРАТУРА

1. Темников Ф. Е., Афонин В. А., Дмитриев В. И., Теоретические осно-вы информационной техники. М.: Энергия, 1977.

2. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. М.: Высшая школа, 1983.

3. Вострокнутов Н.Г. , Евтихнеев Б.Н. Информационно-измерительная техника. М.: Высшая школа, 1977.

4. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. М.: Высшая школа, 1971.

5. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. М.: Высшая школа, 1973.

6. Солодов А.В. Теория информации и ее применение к задачам авто-матического управления. М.: Физматгиз, 1967.

7. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. М.: Связь, 1973.

8. Кавчук А. А. Основы передачи непрерывных сообщений по дис-кретным каналам связи. Учебное пособие, Таганрог, 1978.

9. Назаров М. В., Кувшинов Б. И., Попов О. В. Теория передачи сигна-лов. М.: Связь, 1970.

10. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966.

11. Фремке А. В. Телеизмерение. М.: Высшая школа, 1975.

12. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая шко-ла, 1988.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работни-ков и инженеров. М.: Наука, 1973.

14. MATHCAD 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. Руководство пользователя/Пер. с англ. Информаци-онно-издательский дом, “Филинъ”, 1996.

188

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ......................................................................................3

1.1. Спектральные характеристики периодических сигналов......3 1.1.1. Основные понятия и соотношения ...................................................... 3 1.1.2. Типовые примеры.................................................................................. 4 1.1.3. Типовые задачи.................................................................................... 10

1.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов .................................................................................................14

1.2.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 14 1.2.2. Типовые примеры................................................................................ 14 1.2.3. Типовые задачи.................................................................................... 30

1.3. Энергетические характеристики сигналов ..............................38 1.3.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 38 1.3.2. Типовые примеры................................................................................ 40 1.3.3. Типовые задачи.................................................................................... 46

1.4. Практическая ширина спектра ..................................................50 1.4.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 50 1.4.2. Типовые примеры................................................................................ 51 1.4.3. Типовые задачи.................................................................................... 59

2. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ...........62 2.1. Числовые и временные характеристики..................................62

2.1.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 62 2.1.2. Типовые примеры................................................................................ 64 2.1.3. Типовые задачи.................................................................................... 65

2.2. Спектральные характеристики .................................................67 2.2.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 67 2.2.2. Типовые примеры................................................................................ 69 2.2.3. Типовые задачи.................................................................................... 74

3. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА ...............................................................................79

3.1. Динамические характеристики линейных устройств............79 3.1.1. Основные понятия и соотношения .................................................... 79 3.1.2. Типовые примеры................................................................................ 84 3.1.3. Типовые задачи.................................................................................... 93

189

3.2. Прохождение детерминированных сигналов через линейные устройства .............................................................................................98

3.2.1. Основные понятия и соотношения.....................................................98 3.2.2. Типовые примеры ..............................................................................102 3.2.3. Типовые задачи ..................................................................................128

3.3. Прохождение случайных сигналов через линейные устройства ...........................................................................................142

3.3.1. Основные понятия и соотношения...................................................142 3.3.2. Типовые примеры ..............................................................................144 3.3.3. Типовые задачи ..................................................................................155

4. ВРЕМЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ .............158 4.1. Общие сведения ...........................................................................158

4.2. Дискретизация детерминированных сигналов .....................161 4.2.1. Основные понятия и соотношения...................................................161 4.2.2. Типовые примеры ..............................................................................163 4.2.3. Типовые задачи ..................................................................................168

4.3. Дискретизация случайных сигналов ......................................171 4.3.1. Основные понятия и соотношения...................................................171 4.3.2. Типовые примеры ..............................................................................172 4.3.3. Типовые задачи ..................................................................................176

4.4. Оценка сжимаемости сигналов ................................................177 4.4.1. Основные понятия и соотношения...................................................177 4.4.2. Типовые примеры ..............................................................................179 4.4.3. Типовые задачи ..................................................................................185

ЛИТЕРАТУРА ..............................................................................187

190

КАВЧУК СЕРГЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ

СБОРНИК ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Руководство

для практических занятий на базе Mathcad 6.0 Plus

Ответственный за выпуск Кавчук С.В.

Редактор Кочергина Т.Ф. Корректор Проценко И.А.

ЛР; №020565 от 23.06.97г. Подписано к печати Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная. Усл. п.л.− 12. Уч.-изд. л.− 11.

Заказ № Тираж 100 экз. “C”

Издательство Таганрогского государственного радиотехнического университета

ГСП 17А, Таганрог, 28, Некрасовский, 44 Типография Таганрогского государственного

радиотехнического университета ГСП 17А, Таганрог, 28, Энгельса, 1