决胜 2008 高考
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决胜 2008 高考. ─研究性问题(一). 讲座 临川二中数学组组长 尧林华 制作 帅奇云. 分析:这类题型是前几年高考的热门题型之一,能有效地考查学生相关知识的掌握及能力。 解:命题 P 正确: 命题 Q 正确:. Y. 1. 1. X. O. 2a. 若 P 真 Q 假 则 若 P 假 Q 真 则 故存在实数 a ,使 P 、 Q 中有且只有一个成立。 a 的范围为: 或 。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
讲座 临川二中数学组组长 尧林华
制作 帅奇云
例 1 :已知命题 P : 函数 在 R 上单调递减 命题 Q : 不等式 的解集为 R ,是否存在实数 a ,使 为假命题,为真命题?若存在,求出的范围,若不存在,说明理由。
xy a2 1x a x
P Q
若 P真 Q假 则
若 P假 Q真 则
故存在实数 a,使 P、 Q中有且只有一个成立。a的范围为: 或 。
0 1
1
2
a
a
10
2a
1 0
1
2
a a
a
或1a
10
2a 1a
分析:这类题型是前几年高考的热门题型之一,能有效地考查学生相关知识的掌握及能力。 解:命题 P 正确: 命题 Q正确:
0 1a 2 1a 1
2a
2 1x a x
X
Y
O
1
1 2a此题考查了学生的数形结合思想和分类讨论思想。
例 2 :( 2006 年山东省高考题)文史类第 22 题 已知数列 中, ,点 在直线 上,其中 ① 令 ,求证:数列 是等比数列 ② 求数列 的通项 ③ 设 、 分别为 、 的前 n 项和,是否存在实数 ,使得数列 为等差数列?若存在,求出 的范围,若不存在,说明理由。
na 1
1
2a
1( , 2 )n nn a a y x1,2,3n
1 1n n nb a a nb na
nS nT na nb n nS T
n
分析:这道题几乎涵盖了《数列》这一章的所有知识点。通过研究的存在与否,考查了学生的素质与能力,是一道不可多得的好题。( 1)证明: 又
∴ 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列
1
1
2a 12 n na a n 2
3
4a
2 1
31
4a a
1 2 1
1
1
1n n n
n n n
b a a
b a a
1
1
1 1 1( 1) 1
2 2 2 21
n n
n n
na n a
a a
1
1
1 1 12 2 2
1
n n
n n
a a
a a
1
2
nb 3
4
1
2
( 2)解:由( 1)知:
故:
迭加可得:
113 ( )
2n
nb
11
11 1 3 ( )
2n
n n na a b
22 1
11 3 ( )
2a a
33 2
11 3 ( )
2a a
1
11 3 ( )
2n
n na a
1 2 3
1 1 1( 1) 1 3( )
2 2 2n na a n
11 11 ( )
4 21 3
11
2
n
n
5 3
2 2nn
32
2n na n
1 2n nS a a a
2 3
1 1 13( ) (1 2 3 ) 2
2 2 2nn n
23 33
2 2n
n n
1 2 3n nT b b b b
2 3
3 1 1 1 1( )
2 2 2 2 2n
1
3 3
2 2n
( 3)
n nS T
n
解法一:假设存在实数实数 ,使得数列 为等差数列
1 1
1 31 32 4
1 1 2 4
S T
2 2
5 95 94 8
2 2 8 16
S T
3 3
21 217 78 16
3 3 8 16
S T
5 9 1 3 7 72( )
8 16 2 4 8 16
2
则:
2 n N n nS T
n
1 12 2
1n n n nS T S T
n n
2 3 1
2 2 2
n n
2 n nS T
n
下面证明当 时,对任意的 ,数列为等差数列
时,数列 为等差数列。
n nS T
n
1 12 2
1n n n nS T S T
n n
n
解法二:要证 是等差数列,则需证:是与 无关的常数。
1 12 2
1n n n nS T S T
n n
2
1 2
3 ( 1) 3( 1) 3 33 ( )
2 2 2 21
n n
n n
n
2
1
3 3 3 33 ( )
2 2 2 2n n
n n
n
2
3 3( 2)2 2( 2)
1 2
n n
n
1
3 3( 3)2 2( 2)
2
n n
n
2 1
3 3 3 312 2 2 2( 2)
1 2
n n
n n
2 时,数列 n nS T
n
为等差数列。
解法三:从函数的角度看:数列 n nS T
n
为等差数列的充要条件是
2n nS TAn B
n
( A、 B为常数)
1
3 332 2( 2)
2 2
nn nS T n
n n
2 n nS T
n
1
2
而当 时,数列 是公差为 的等差数列。
(本期看点)
高中数学的研究性问题,从高考题型看,形式多样,常考常新。但就其思路看,还是有规律可循的。如果我们能对题干进行认真分析,在探究与猜想验证的条件下,通过综合判断与推论运算,那么这一类问题不难得到解决。
例 1 ( 2005 年辽宁省高考数学题)第 21 题已知椭圆 的左右焦点分别是 , , Q 是椭圆外一动点,满足 ,点 P 是线段 与该椭圆的交点。点 T 在线段 上,并且满足 , .① 设 x 为点 P 的横坐标,证明② 求点 T 的轨迹 C 的方程。③ 试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M ,使 的面积 若存在,求 的正切值,若不存在,请说明理由。
2 2
2 21( 0)
x ya b
a b 1( ,0)F c
2 ( ,0)F c
1 2FQ a��������������
1FQ
2F Q
2 0PT TF ����������������������������
2 0TF ��������������
1
cF P a x
a
��������������
1 2FMF2S b 1 2FMF
分析:向量与解析几何组合,是高考的一大热点。证法一:设 ( , )P x y
2 21 ( )FP x c y ��������������
2( )c
a xa
ca xa
c
a xa
X
Y( , )P x y Q
T
O1F 2F
1 1FP r��������������
2 2F P r��������������
1 2 2r r a 2 21 2 4r r cx
1 1FP r��������������
ca xa
证法二:
由
( , )P x y
1
2
F P c
aax
c
��������������2
1
c aF P x
a c
�������������� ca xa
ca xa
证法三:设点 ,由椭圆的第二定义得
( , )T x y
0PT ��������������
( ,0)a
T 2QF (2 ,2 )Q x c y
1 2FQ a��������������
2 2 2(2 ) (2 ) 4x y a 2 2 2x y a
( 2)解法一:设当 时,点 在轨迹上
为 的中点,又易知
( , )T x y
0PT ��������������
( ,0)a ( ,0)a
0PT ��������������
1
1
2OT FQ a ����������������������������
2 2 2x y a
解法二: 设当 时,点 与 在轨迹上
时,当
0 0( , )M x y1 2FMF 2S b
2 2 20 0
20
12
2
x y a
c y b
( 3)解法一:假设存在点 使 的面积
可得
2b
ac
M2S b
2ba
c当 时,存在点 ,使 当 不存在。 ,
0 0( , )M x yY
XOF1 F2
当2b
ac
时,1 0 0( , )MF c x y
��������������2 0 0( , )MF c x y
��������������
2 2 21 2 0 0MF MF x c y
����������������������������2 2a c 2b
1 2tan FMF 2
1 21 2
1 2
tan 21
k kFMF
k k
21 2 cosMF MF b
����������������������������即2
1 2
1sin
2MF MF b ����������������������������又
解法二:
评析:适当利用平面几何知识会简化有关运算,给解题带来方便。
例 2.( 2006年江西省高考数学题)(理工类) 第 20题
AD BC①求证:B AC D ②求二面角 的大小
A BCD ABD ACD
AD 3AD 1BD CD
ABC
中,侧面 、 是全等的是公共的斜边,且 , ,
是正三角形直角三角形,另一侧面
如图,在三棱锥
AC E
ED BCD 030
E
上是否存在一点 ,与面 成 角?若存在,点 的位置 ,若不存在,
③在线段使
确定说明理由。
A
B
D
C
E
Z
A
BD
C
Y
H
X
证明:( 1)(补形思想)作 面 BCDAH
于 H,连 BH、 CH 、 DH ,则四边形
BHCD 是正方形,且 AH=1 ,
以 D为原点,建立如图所示坐标系
(1,0,0)B (0,1,0)C (1,1,1)A则 , ,
( 1,1,0)BC ��������������
(1,1,1)DA��������������
,
0BC DA ����������������������������
BC AD则
ABC 1 ( , , )n x y z��������������
(2) 解:设平面 的法向量为
1n BC����������������������������
1 0n BC x y ����������������������������则由 知:
1n CA����������������������������
1 0n CA x z ����������������������������
知:
可取 1 (1,1, 1)n ��������������
ACD2 (1,0, 1)n ��������������同理可得平面 的一个法向量
1 21 2
1 2
1 0 1 6cos ,
33 2
n nn n
n n
��������������������������������������������������������
����������������������������
即所求二面角的大小为 6arccos
3
(2) 设 是线段 AC上一点,则 , ,( , , )E x y z 0x z 1y
BCD (0,0,1)n
( ,1, )DE x x��������������平面 的一个法向量为 , ,
DE��������������
n
要使 ED与面 BCD 成 300 角由图可知 与 的夹角为 600
所以 0
2
1cos , cos60
21 2
DE n xDE n
DE n x
��������������������������������������������������������
����������������������������
22 1 2x x 2
2x
2 1CE x 则
故线段 AC上存在 E点,且 CE=1 时, ED 与面 BCD 成 300 角。 (本期看点)研究性问题既能考查学生的数学素养又
能考查学生的数学能力。这与现行的教育理念非常吻合。随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的新 一轮课改的到来。今后的高考命题将更加关注“研究性问题”。