確率と統計 2011- 確率編 -

平成 23 年 10 月 13 日 ( 木 )

記述統計から推測統計へ記述統計から推測統計へ

今日はまずいろいろな現象を観察してみましょう。– サイコロ振り

2確率と統計 2011 (4 回目 )

サイコロ振りサイコロ振り

サイコロを– １０回振ったとき– １００回振ったとき– １００００回振ったとき

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出る目 １ ２ ３ ４ ５ ６ 合計

頻度 １７１ １６０ １７０ １５３ １８０ １６６ １０００

表．サイコロを１０００回振って出た目の度数分布表

平均値＝ 3.509 　　分散＝＿＿＿

自分で計算してみよう！

自分で計算してみよう！

推測のための統計の構造推測のための統計の構造

母集団

標本

サンプリング

推測

4確率と統計 2011 (4 回目 )

確率と統計 2011 (4 回目 )

さて、．．． 今日から「確率」の話しをします。 高校までの「確率」の知識は必要ありません。 この授業で「確率」の基礎を身に付けましょ

う。 とても難しい話 ? も少ししますが、そこは

聞いているだけでもまずは結構です。わかる人はもちろんしっかり理解してください。

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ある質問 イタリアのある貴族が Galileo(1564-

1642) にこう尋ねた。「３つのサイコロを投げるとき、その目の和が９になる場合と、１０になる場合の数は等しいと思っているので、そのどちらに賭けても同じであると気にしなかったが、実際には１０になる方が少し多く感じられるのはどうしたことか？」

Galileo に代りあなたは答えられますか？

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それでは本題に入りましょう。

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不規則現象（偶然現象） 例：

サイコロ投げの結果 コイン投げの結果 明日の天気 測定誤差 雑音 手書き文字・発話音声

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確率はこのような不規則現象（偶然現象）を取り扱う、数学の１分野である。

以下では、まず確率の基本用語を定義しよう。

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用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even)

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ちょっと一言現代ギリシア文字 (24 文字 ) の本当の読み方

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Α α アルファ Ι ι イョタ Ρ ρ ロ

Β β ヴィタ Κ κ カパ Σ σ ς シグマ

Γ γ ガンマ Λ λ ラムザ Τ τ タフ

Δ δ ゼルタ Μ μ ミ Υ υ イプシロン

Ε ε エプシロン Ν ν ニ Φ φ フィ

Ζ ζ ズィタ Ξ ξ クシ Χ χ ヒ

Η η イタ Ο ο オミクロン Ψ ψ プシ

Θ θ シタ Π π ピ Ω ω オメガ留学生の諸君へ：　日本ではギリシャ文字の読み方が人によりバラバラです。　　　　　　　　　　　　 通常はギリシア文字を英語読みしたものを採用しています。 確率と統計 2011 (4 回目 )

確率と統計 2011 (4 回目 )

試行 実験や観測において、繰り返えされる

行為のこと。

例えば、コイン投げで、「表が出たか裏が出たかを調べ

る」行為。

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標本点 ω

試行により起こる結果のこと。

例えば，コイン投げでは、「表が出る」　とか 「裏が出る」

といった試行の各結果のこと。

< 注 > 標本点を根元事象と呼ぶこともある。

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標本空間 Ω すべての標本点からなる集合のこと。

例えば、コイン投げでは、{ H, T }

ただし、H: 表が出るT: 裏が出る

を表す。

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まず、ここまでのことを例題で確認しよう。

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例題１　サイコロ投げ 試行：　サイコロを投げ、出る目を記録す

る。 標本点：　

１の目が出る (① と記す )２の目が出る (② と記す )３の目が出る (③ と記す )４の目が出る (④ と記す )５の目が出る (⑤ と記す )６の目が出る (⑥ と記す )

標本空間： Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ }16

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例題２　２個のコイン投げ 試行：　コイン２個を同時に投げ、

　　　　　出る面を記録する。 標本点：　

「表が出る 」を H 、「裏が出る」を T と記すと、HH, HT, TH, TT

標本空間： Ω={ HH, HT, TH, TT }

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例題３　くじ引き 設定： 当たり１枚、はずれ２枚 試行： くじを１枚引く 標本点： A, H1, H2

A: 当たりくじH1, H2: はずれくじ

標本空間： Ω={ A, H1, H2 }

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例題４　じゃんけん 設定：２人、１回勝負 試行：じゃんけんをし、それぞれが何を

出したかを記録する。 標本点： (G, G), (G, C), (G, P),

(C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P)

標本空間 Ω={ (G, G), (G, C), (G, P),(C, G), (C, C), (C, P), (P, G), (P, C), (P, P) }

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例題５　２個のサイコロ投げ 試行： 標本点： 標本空間：

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自分で考えてみよう！

自分で考えてみよう！

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例題６　壺からの球の取出し(1)

設定：赤球２個、白球１個。 試行：球を１個取り出し、球の色を記録

する。 標本点：① , ②, ① 標本空間 Ω={ ①, ②, ① }

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例題 7 　壺からの球の取出し( ２ )

設定：赤球２個、白球１個。　　　　２個を同時に取り出す。

試行：球を 2 個取り出し、球の色を記録する。

標本点： {①, ②}, {①, ①}, {②,①} 標本空間

Ω={ {①, ②}, {①, ①}, {②,①} }

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用語の定義 (2)

試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even)

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確率と統計 2011 (4 回目 )

用語の定義 試行 (trial) 標本点 ω (sample) 標本空間 Ω (sample space) 事象 E (event) 単一事象 (simple event) 複合事象 (composite even)

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事象 標本空間 Ω の部分集合のこと。

例えば、コイン投げでは、{H}, {T}, {H, T}などはすべて事象である。

{H} は「表が出る出来事」と解釈でき、

{H,T} は「表が出るか裏が出る出来事」と解釈できる。

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単一事象と複合事象 単一事象：要素が１個の事象 複合事象：要素が２個以上の事象

例えば、 Ω={HH, HT, TH, TT} に対して、単一事象： {HH}, {HT}, {TH}, {TT}複合事象： {HH,HT}, {HH,TH}, {HH,TT}, {HT,TH}, {HT,TT}, {TH,TT}, {HH,HT,TH},{HH,HT,TT},{HH,TH,TT}, HT,TH,TT}

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ここまでのことをまとめると…

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例題８　コイン投げ 標本空間 Ω={H, T} 事象の集合 F={φ, {H}, {T}, Ω}

{H}: 単一事象{T}: 単一事象φ: 空事象 Ω: 全事象

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例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},

{HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}

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確率と統計 2011 (4 回目 )

例題９　２個のコイン投げ Ω={HH, HT, TH, TT} F={φ, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},

{HH, HT}, {HH, TH}, {HH, TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HH, TH, TT}, {HT, TH, TT}, Ω}

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確率と統計 2011 (4 回目 )

ここまで準備ができれば後は簡単。

確率を定義しよう！

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確率の定義 ある試行で起こりうる単一事象の総数

（標本点の個数と同じ）が N で、これらの単一事象がすべて同じ確からしさ（蓋然性）で起こるものとする。このとき、ある事象 A がｎ個の単一事象からなるならば、その事象 A の起こる確率は、

P(A) = n / Nである。

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確率の定義（２） P(A)=#A / #Ω

ただし、 #S とは集合 S の要素の個数を表す。

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例題１０　サイコロ投げ Ω={ ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥ } １の目が出る確率：

P({①}) = #{①} / #Ω = 1 / 6 奇数の目が出る確率：

P({①,③,⑤}) = #{①,③,⑤} / #Ω = 3 / 6 = 1 /2

５以上の目が出る確率：P({⑤,⑥}) = 2 / 6 = 1 / 3

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例題１０　サイコロ投げ (2)

①

②

③

④

⑤

⑥

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自由研究　 Galileo 問題 ３個のサイコロを投げるとき、その目の

和を T とする。このとき、 P(T=10) = P(T=9) ? P(T=10) < P(T=9) ? P(T=10) > P(T=9) ?

実際にサイコロを投げて調べてみよう。（理論値は次回説明します。）

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確認 来週は休講です。 次回までに「レポート No.1 」を　やっておいてください。

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