환경시스템분석 , 중간고사 ,

2012 년도 1 학기

환경공학과20081494

지재관

1. 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라 .1) 모형이란 무엇인가 ?2) 모형에는 어떤 종류가 있는가 ?3) 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업은 어떤 과정을 거치는가 ?

1) 모형이란 무엇인가자연과학은 물론 인문과학 사회과학의 분야에서도 현상의 실제에 대한 적용의 목적으로 하여 , 현상의 본질을 파악하기 위하여 표본을 추출하여 실험적 , 통계적 , 수학적으로 나타내려고 시도한다 . 이것이 모형이며 , 모형을 이용하여 현상을 파악하는 작업을 모델링 , 모의 , 모사 , 시뮬레이션이라고 한다 .2) 모형에는 어떤 종류가 있는가 ?모형에는 수학적 , 실험적 , 통계적 모형이 있다 . 자연과학 분야에서는 이중 수학적 모형과 실험적 모형을 가장 많이 사용한다 .자연과학에서의 수학적 모형은 현상을 물리학 , 화학 , 생물학적으로 해석하여 수학을 이용하여 수식으로 표현한 다음 , 해석적이나 수치해석적으로 분석하게 된다 . 즉 , 현상을 시간 및 공간에 의존하는 수학적 함수로 표시하는 데 , 통상 상미분 혹은 편미분방정식의 형태로 표현된다 .통계적 모형은 물리학 , 화학 , 생물학적 기작을 고려하지 않고 , 표본 및 모집단에 대한 자료의 특성만을 고찰하는 모형이다 . 본 모형은 시간에 의존하는 경우와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있다 . 신뢰할 만한 수준의 자료 수집이 가능하다면 통계적 모형도 양호한 결과를 도출할 수 있다 . 통계적 모형은 통상 수학적 모형으로 표현이 불가능한 경우 즉 현상이 너무 복잡하거나 임의성이 너무 강하여 이제까지의 물리학 , 화학 , 생물학 기반의 지식으로는 해석이 불가능한 경우에 적용된다 .

3) 모형을 이용하여 모델링을 수행하는 작업은 어떤 과정을 거치는가 ?① 모형을 개발하여 모델링하려는 문제에 대하여 그 문제에 영향을 주는 중요한 요인들을 공간 시간적으로 수집하고 물리학적 , 화학적 , 생물학적 주변수와 파라미터 등을 분석한다 .② 어떤 모형을 적용할 것인지 판단한다 . 수학적으로 표현이 가능한 경우에는 수학적 모형을 선택하고 , 그렇지 않은 경우에는 실험적으로 실험실내에서 실험이 가능한 경우에는 실험적 모형을 선택하고 , 실험이 불가능하고 유의성이 있는 자료가 풍부한 경우에는 통계적 모형을 선택한다 . 적용될 모형을 검증하기 위하여 3 가지 모형을 종합적으로 적용하여 최선의 모델링 시스템을 구축하는 것이 바람직하다 .③ 수학적 모형을 설정할 경우 현상에 대한 물리학적 , 화학적 , 생물학적 원리를 분석한다 . 주로 평형의 원리를 적용한다 . 이러한 적용된 원리에 따라 적절한 지배방정식을 유도한다 . 지배방정식이외에 필요한 파라미터를 선정한다 .④ 개발된 지배방정식의 해를 구한다 . 이러한 해는 수학적 해석해 , 전산프로그램을 이용한 수치해 등으로 구분된다 . 계산된 해의 결과를 검증하기 위하여 해석해와 수치해를 비교하거나 실험모형의 해나 통계모형의 해와 비교하기도 한다 .

⑤ 입력자료와 파라미터의 적정성을 분석한다 . 특히 , 실제 현상을 재현하기 위하여 각종 파라미터를 현실의 결과가 나타나도록 맞추는 작업을 보정이라고 하고 , 이렇게 추정된 파라미터를 이용하여 다른 조건의 현실의 결과와 모형의 결과를 비교하는 작업을 검증이라고 한다 .⑥ 모형의 결과를 분석한다 . 모형의 결과가 현실적으로 효용성이 있는 결과를 도출하였는지를 검토한다 . 자료가 방대하고 자연의존적인 자료인 경우 공간 및 시간적인 분석을 입체적으로 역동적으로 수행하기 위하여 지리정보시스템을 이용한다 .

2. 환경 모델링의 범위 및 목적에 대하여 기술하라 .1) 환경모델링의 목적(1) 화학 물질의 정량화 및 장래 변화를 예측한다 . 환경에서의 화학물질들에 대한 특성 , 이동 , 수명 등을 규명한다 . 지표수나 지하수에 함유되어 있는 일반적인 오염물질 , 부영양화 , 독성유기물 , 금속물질들을 해석한다 . 최근의 수학적 모형은 화학 반응 모형을 역학적 이동모형과 결합하여 해석한다 .- 화학 물질의 반응 , 종형성 , 이동에 대한 정량화를 통하여 그 물질의 수명 및 이동에 대한 좀 더 정확한 이해를 도출한다 .- 과거 , 현재 , 미래의 인류와 수생 유기물들의 화학물질의 노출 농도를 결정한다 .- 다양한 부하 조건과 관리 사업에 따른 장래 변화를 예측한다 .

(2) 화학물질의 노출 농도를 측정한다 .노출 농도는 유기체의 성장에 있어서의 중요한 인자로 작용을 하며 , 화학적 오염물질의 영향을 평가하는 것과 관계있다 . 노출 농도는 배출이 발생하는 빈도나 그것이 지속되었을 경우의 만성의 효과정도를 고려하여 농도와 지속기간으로 평가된다 . 암모니아 , 비소 , 카드뮴 , 염소 , 크롬 , 구리 , 시안화물 , 납 , 수은 등의 독성물질들의 초기 농도기준은 미세한 양으로 정해져서 허용할 수 있을 정도의 지속기간이나 빈도에 대해서 정해지며 , 각각의 독성에 대한 어떠한 만성적인 영향도 나타나서는 안 된다 .

3. 국내에서 쓰이는 대표적인 환경 관리 모형에 대하여 특성 등을 기술하라 .HEC-RAS(River Analysis System) 는 미 공병단 (Army Corps of Engineers) 수공학센터 (Hydrologic Engineering Center) 에서 개발하고 있는 차세대 수문해석 전산프로그램의 하나이며 , HEC-2 의 후속모델로 개발되었다 .DYNHYD5 는 WASP5 내의 수리 모형으로 Potomac 연안 모형이었던 DYNHYD2 를 확장한 모형이다 [U.S. EPA, 1988]. DYNHYD5 모형은 절점과 수로로서 구성된 계산격자망에 대하여 바람에 의한 응력 , 마찰력 , 중력의 영향을 고려한 1 차원 연속방정식 , 운동방정식을 지배방정식으로 하며 , 수로에서는 운동방정식을 이용하여 유속과 유량을 계산하고 , 절점에서는 연속방정식을 이용하여 수위를 계산한다 .

TIDE4 모형은 해수유동 예측을 위해 개발된 전산모형으로 선형사각형 유한요소를 이용한다 . TIDE4 모형은 1 개의 주프로그램과 9개의 부프로그램으로 구성되어 있다 .MFEMWASP 은 MFEMWASP(Multidimensional Finite Element Model based upon WASP) 모형은 수치해석상 보다 발전된 다차원 유한요소법을 이용하였으며 , 여타 수질예측모형의 수질 및 수치이론을 해석하고 , 정확도 및 적용성 여부를 판단하여 개발된 모형이다 .PMWIN 은 MODFLOW-88, MODFLOW-96, PMPATH, MT3D, MT3DMS, MOC3D, PEST, UCODE 로 구성되며 , 지하수 유동과 오염물질의 거동을 모델링하기 위한 통합적인 모델링 시스템을 제공한다 .QUAL2E 는 QUAL2E 는 1985 년에 U.S. EPA 에서 개발된 하천수질모형으로서 현재 가장 널리 사용되는 수질 모형이다 . 이 모형은 1차원 수치모형으로서 점오염원과 비점오염원 유입에 따른 하류 방향의 수질변화를 예측할 수 있다 . QUAL2E-PLUS 는 QUAL2E 프로그램을 보완하여 QUAL2E-PLUS 라는 Windows 기반의 모델로써 ( 주 )Websolus에서 프론티어사업의 일환으로 개발하고 있는 모형이다 . 이 모델은 이전의 모델에 비해 조류와 용존산소와의 상호관계 , 온도보정계수 , 댐에 의한 하천수의 산소공급 및 비보존성 물질과 3 가지의 보존성 물질 , 입․출력방법개량 등을 보완시킨 1 차원 하천수질 예측 모델로서 1 차원 정상상태(Stedy state) 는 물론이고 가동적상태 (Dynamic state) 에서도 예측할 수 있다 .

모델에 적용 가능한 대구간 (Reach) 은 최대 50 개 이며 대구간당 소구간(element) 수는 20 를 넘을 수 없고 소구간은 총 500 개를 초과할 수 없다 . 또한 합류점 소구간 (Junction element) 은 9개까지 , 수원 소구간(Headwater element) 는 10 개까지 , 점오염원 유입소구간 (Input element) 과 취수 소구간 (Withdrawl element) 는 50 개까지 사용 가능하다 .CE-QUAL-W2 은 미육군공병단에 의해 개발된 폭방향 평균화 (laterally-averaged) 2 차원 수리 및 수질모델이다 . 이 모델은 대상 수체를 흐름방향과 연직방향으로 구분하여 폭방향으로 평균화된 유속 , 수온 , 수표고 등을 모의하고 ,이들의 변화에 따른 수질 변화를 모의한다 . 또한 점원 및 비점원 유입과 수문 방류 , 취수 , 월류 등 실제와 유사한 형태의 유입 및 유출에 대한 표현이 가능하며 , 장기간 동안의 시변화 시뮬레이션이 가능하다 .SWMM 은 도시 및 일반적인 비도시지역에 적용하여 유출수량 및 유출수질을 예측하는 모형으로 강우 사상별 및 연속모의가 가능한 모형이다 . 이 모형은 세계적으로 가장 많이 사용되고 있는 모형중의 하나로 많은 적용사례가 있다 . 각종 소유역으로의 유입량 , 강수량 , 홍수추적 , 저류 , 지면 침식 , 유출과정 , 펌핑 및 오수처리 등의 모든 요건을 전부 고려한다 . Manning 공식과 Kinematic Wave 방정식을 유출량의 계산에 사용하며 , 침투량과 건기시 유량도 계산된다 .

부유고형물 (SS), BOD, COD, 대장균 , 질소 , 인 , 오일 등이 수질변수로 사용되며 유출수의 수질은 유역특성과 오염물질 누적량 및 유출량의 크기에 의해 결정된다 .WASP 은 WASP(Water Quality Simulation Program) 은 1981 년 Di Toro 등에 의해 U.S. EPA 에서 처음 개발되었다 [Robert, B. A. Jr. 등 , 1988]. 이후 , 수정과 보완을 거쳐 1993 년 수체내 독성물질 거동까지 분석 가능한 WASP5 모형으로 발전되었다 .EPANET 은 미국 환경청 (US Environmental Protection Agency) 에서 개발하여 무료로 제공하고 있는 관망해석 프로그램이며 , 시간변화 모의 (EPS, Extended Period Simulation) 를 바탕으로 수리 및 수질해석 , 개별펌프모터 및 전력 원단위 추정 등의 다양한 해석이 가능하다 . 또한 , 상수도 배수관망은 파이프 , 연결점 , 펌프 , 밸브 , 배수탱크 , 배수지 등으로 연결되어 있다 . EPANET 은 배수관망을 해석하는 프로그램으로 , 파이프의 유량 , 수압 , 탱크의 수위 등을 동적으로 계산할 수 있다 . 또한 , 추적자 실험을 통해 물의 관내 체류시간을 계산할 수도 있어 배수관망 내에서의 수질 변화도 모의할 수 있다 .WaterCad 는 미국 Bentley 사에서 시판하고 있는 모형으로 관망모형 중 개발 역사가 가장 오래되었으며 , 부정류에 대한 해석을 위한 노력을 경주하여 WaterHammer 등의 제품을 출시하였고 , 지리정보시스템과의 연계 운영을 위하여 WaterGEM 을 출시하였다 . 상수관망의 수에 따라서 가격이 비싸지며 , 비교적 고가의 비용을 지불하여야 하는 단점을 가지고 있다 .

InfoWorks 는 영국에서 개발된 모형으로 누수에 대한 분석을 위하여 수용가의 용수특성 분석 등 다른 모형보다 누수에 대한 추정 작업을 할 수 있도록 개발하고 있으나 , 아직까지는 실용성이 있는 누수 추정 모형을 제시하고 있지는 못하며 , 가격이 비싸다는 단점을 가지고 있다 .MIKENET 은 DHI(Danish Hydraulic Institute) 에서 개발된 소프트웨어로 상수관망의 배수와 급수에 대한 시뮬레이션을 하며 , 강력한 SQL 데이터베이스 구조 , GIS 자동 링크 , 완벽한 개방형 데이터베이스 구조 , 절점 무제한으로 큰 규모의 관망 모델링 가능한 구조 , CAD친화형 인터페이스 구조를 가지고 있다 . 또한 , 정상 상태 해석과 확장 기간 해석 , 수질 해석 , SCADA 실시간 모델링 , 소방해석 , 자동 데이터 보정 , 관망 최적화 , 수충격 해석 , 압력존의 최적화 , 누수 저감 , 에너지 비용 최적화 , 온라인 분석과 실시간 제어 , 위험 분석 및 조기 경보 모니터링 시스템 개발이 가능하다 .MIKEURBAN 은 DHI(Danish Hydraulic Institute) 와 ESRI 의 GIS 기술을 결합한 상수 관망 해석 소프트웨어로 GIS shape 파일을 곧바로 모델로 사용할 수 있고 GIS 데이터가 업데이트 되면 모델로 자동으로 업데이트 되는 GIS컴포넌트 구조를 바탕으로 하여 노드의 수요량 자동 계산 , 급수 수량과 수질 관리 및 예측 , 시뮬레이션 ( 동영상 ) 파일 제작 , 체류시간 및 원수 비율 추정 , 수충격 계산 등이 가능하다 .

4. QUAL2E 모형에 대하여 다음의 질문에 답하라 .1) 본 모형의 지배방정식인 물질이동식을 설명하라 .하천에서의 물질이동 및 변환은 유체의 흐름에 의하여 농도 부하가 이동되는 유속에 의한 유송 ( 이류유송 ) 과 유체흐름의 난류성 (Hydrodynamic Dispersion : 수리학적 분산 ) 과 물질 농도 차이 (Molecular Diffusion : 분자분산 ) 에 의해 발생하는 확산 , 화학 및 생물학적 반응 (Biochemical Reaction) 에 의한 물질의 증감 , 시스템 내의 오염 부하량 유입 또는 유출(Source or Sinks) 에 의한 부하의 증감에 의해 좌우된다 . 이와 같은 과정을 수학적으로 표현하기 위하여 물질평형 관계를 고려하여 물질이동방정식을 유도하면 다음과 같다 .

(1) 삼차원 물질이동식x 방향의 물리학적 이동 기작 :

y 방향의 물리학적 이동 기작 :

z 방향의 물리학적 이동 기작 :

검사체적내의 생화학적 반응 : , kC 는 단위부피당 생화학적 반응속도임 .검사체적내로 직접 부하원 : , S 는 단위부피당 직접 부하원임 .검사체적내에서의 시간에 대한 증가분 :

미분식을 구하기 위하여 나눈후 , 으로 접근하면다음의 3 차원 물질이동식을 구할 수 있다 .

(2) 일차원 물질이동식QUAL2 모형의 지배방정식인 일차원 물질이동식은 위의 3 차원 물질이동식중 x 방향의 성분만 고려하여 식을 다음과 같이 유도한다 .일차원 유동방향에 대한 수직단면적과 검사체적의 부피는 다음과 같다 .

3 차원 물질이동식을 1 차원 물질이동식으로 정리하면 다음과 같다 .

위의 식을 으로 나누어 준 후 , 로 놓으면다음과 같은 1 차원 물질이동식을 얻을 수 있다 .

위의 식은 다음과 같은 일반적인 1 차원 물질이동식에 수직단면적을 고려한 식이다 . 즉 , 수직단면적의 변화 ( 수심 및 폭의 변화 ) 을 고려하기 위하여 우측항의 분모와 분자에 단면적을 곱하고 나누어 준 것이다 .

QUAL2E Manual 에서 제시하고 있는 일차원 물질이동식은 다음과 같다 .

여기서 , R 는 검사체적 전체부피에 대한 반응속도 , S 는 검사체적 전체 부피에 대한 부하원을 나타낸다 .

(3) 열전달방정식QUAL2E 는 에너지 보전의 원리를 이용하며 열전달을 고려한 에너지 방정식을 이용하여 수온을 계산한다 . 지배방정식은 다음 식과 같으며 물질 이동 방정식과 흡사한 형태를 가진다 .

여기서 , T 는 수온이고 , 는 물의 밀도 , c 는 비열이다 .수2) 본 모형에서는 유량 및 단면 등의 수리 현상을 어떻게 해석하고 있는가 ?QUAL2E 모형은 하천의 수리학적 흐름 상태를 정상류로 가정하며 , 하천의 유량변화에 따른 유속과 수심 또는 단면적계산은 유량계수법과 유로단면이용법 (Manning 의 공식 ) 중에서 선택하여 사용할 수 있도록 되어 있다 .

- 유량계수법이 방법은 수리 모형을 수행하거나 또는 실측 자료를 이용하여 각 지점별로 유속과 유량을 산정하고 , 동일 대 구간 내에서의 유량과 유속 , 유량과 수심과의 관계를 회귀분석법에 의하여 구하거나 , 유로단면이 구형이고 , 단면곡선 (Rating Curve) 이 있는 경우에 계산하는 방법으로 다음 식과 같이 표시할 수 있다 .

여기서 , U 는 평균 유속 , Q 는 유량 , H 는 수심 , a, b,α ,β 는 경험상수로 수위 - 유량곡선으로부터 산출하거나 DYNHYD5, HEC-2, HEC-RAS 와 같은 부등류 수리 모형을 이용하여 여러 가지 유량조건에 따른 각 하천구간별 유속과 수심을 계산한 후 결과에 대한 회귀분석을 통해 계수 값들을 산정할 수 있다 .

- 유로 단면 이용법유로 단면이 정비되어 구형이나 사다리꼴의 형태로 되어 있는 경우에는 Manning 식을 이용하여 다음 식과 같이 해석한다 .

여기서 , n 는 Manning 의 조도 계수이고 , S 는 에너지구배 , R 은 평균 동수반경 , A 는 유로 단면적을 나타낸다 .

- 종 확산계수Elder(1959) 는 다음과 같은 종확산계수 (E) 산정식을 제시하였다 .

여기서 , K 는 확산상수 , 는 평균 마찰속도 , C 는 Chezy 의 상수 , R = A/P, S 는 에너지 경사도이다 .

Manning 의 식으로부터 에너지경사도를 유도하여 대입하여 정리하면 다음과 같은 식이 유도된다 .

여기서 , E 는 하천의 종확산계수 (㎡ /s), U 는 평균유속 (m/s), H 는 평균수심 (m), K 는 확산상수 ( 무차원 ) 이다 .

3) 모형의 수치해석기법을 설명하라 . ( 후방유한차분법 )본 모형의 물질이동식은 반응식을 일차반응항과 내부발생원으로 분류하여 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

여기서 , 반응항은 로 두 가지로 분리되어 표현된다 . 첫 번째 항은 농도에 비례하는 1 차 반응을 나타내며 , 두 번째 항은 내부 발생 또는 제거로서 , 저니층 부하 , 조류성장에 따른 영양염류 손실 등이 해당한다 . 본 모형의 일차원 격자망은 다음과 같다 . 시간영역에 대해서는 n 를 공간영역에 대해서는 i라는 표기를 사용하여 다음과 같이 유한차분 알고리즘을 유도할 수 있다 .

(1) 후방차분법을 이용한 지배방정식의 이산화후방유한차분법을 적용하여 다음과 같이 모든 공간 편미분항은 후방차분되고 , 시간편미분항은 전방차분된다 .1 단계 : 이송과 확산항을 x 에 대해 한번 후방차분하면 다음과 같다 (반응항과 근원항은 도함수가 없으므로 불변 ).

여기서 ,

2단계 : 일차 공간도함수에 후방차분법을 적용하여 이산화한다 .

3 단계 : 시간 편미분항을 전방차분한다 ( 비정상상태의 유한차분 ).

위의 식을 주변수인 수질농도에 대하여 다음과 같이 정리한다 .

미지수는 좌항에 있는 3 개의 수질농도 값이고 , 나머지는 모두 기지

의 값들이다 . 정상상태에서는 이므로

지류가 유입되는 요소에서는 다음과 dj같은 항을 더해 주어야 한다 .

여기서 , , j 는 합쳐지는 지류의 요소를 나타내

며 , 는 n+1 시간에서 요소 j 에서의 수질농도 값이다 .

(2) 가우스소거법을 이용한 최종연립방정식의 해석이산화된 차분식을 전체 절점에 대하여 합쳐주면 다음과 같은 연립방정식의 행렬이 구성되며 , 이러한 행렬은 이산화된 차분식에서의 격자점이 서로 인접한 격자점만 포함하기 때문에 다음과 같은 삼대각행렬을 구성하게 된다 .

위의 삼대각 행렬식에 가우스 소거법을 적용하면 다음과 같다 .

-전방 소거 (Forward Elimination)

1 행 에서 양변을 b1 으로 나누면

여기서 ,

2행

2행의 를 소거하기 위하여 1 행에 를 곱하여 빼준다 .

여기서 ,

같은 방법을 i 행에 대하여 적용하면 다음과 같다 .

여기서 ,

- 후방 치환 (Backward Substitution)마지막 행에 대한 해는 이므로 이 값을 이용하여 후방치환하여 를 구한다 .

(3) 경계조건 - 상류경계조건 (Upstream Boundary Condition)최상류에서는 최상부 격자 (Headwater Elements) 의 수질농도가 Co로 입력되기 때문에 수치해석상 제 1 경계 조건이 되어 다음의 알고리즘을 사용한다 .

- 하류경계조건 (Downstream Boundary Condition)하류 경계조건은 최종 격자에서 다음과 같이 기지의 농도의 경사도 ( 플럭스 ) 나 농도값을 사용한다 .Option 1: 농도의 구배도가 0임 (Zero Gradient Assumption)하천 마지막구간의 최하단 요소 I에서 은 로 대체된다 .

Option 2: 고정된 농도 값 (Fixed Concentration)시스템의 마지막 요소에 고정된 농도값을 사용한다 .

4) 본 모형의 수질 모델링 항목 및 상호 관계는 다음과 같다 . 이러한 반응들의 반응속도식 및 반응속도상수를 설명하라 .

DISSOLVED

OXYGEN

AtmosphericReaeration

K2

Chl. AALGAE

3 4

SODK4

CBODK1 K3

ORG-P

DIS-P

4

2

2

5

2

ORG-N

NH3-N

NO2-N

NO3-N

4

3

3

1

2

5 1

6 2

1

1(F)

1(1-F)

1

5) 본 모형에 있어서 파라미터중 가장 중요한 파라미터를 열거하고 설명하라 .(1) 조류조류의 성장에 의한 증가 , 사멸 및 침전에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 표현할 수 있다 .

여기서 ,Chl. A a = 엽록소 농도 A = 조류농도 α0= Conversion factor, ug Chl. a/mg A (엽록소와 조류 농도의 변환 계수 ) μ = Specific growth rate of algae ( 조류의 비성장률 ) ρ = Respiration rate of algae ( 사멸율 ) σ1 = Settling rate for algae (침전율 ) d = 평균수심

조류의 성장율은 다음과 같이 선택적으로 평가된다 .

Option 1. 곱 (Multiplicative) :

Option 2. 제한영양원 (Limiting Nutrient) :

Option 3. 조화평균 (Harmonic Mean) :

여기서 ,μ max= Maximum specific algal growth rate ( 최대성장율 )FL = Algal growth limitation factor for light (빛제한요소 )FN = Algal growth limitation factor for nitrogen ( 질소제한요소 )FP = Algal growth limitation factor for phosphorus ( 인제한요소 )

(2) 유기질소 (Organic Nitrogen: Org-N)유기질소는 조류의 사멸에 의한 유기질소 증가 , 유기질소의 가수분해등을 고려하여 다음의 식으로 나타낸다 .

여기서 ,N4= Concentration of Organic Nitrogen, mg-N/L ( 유기질소농도 )β3= Hydrolysis rate of Org. N to NH3-N, /day ( 가수분해율 )α1= Fraction of algal biomass that is N, mg-N/mg-A ( 조류내의 질소 함유율 )σ4= Settling rate for Org. N ( 유기질소의 침전율 )

(3) 암모니아성 질소 (Ammonia Nitrogen : NH3-N, N1)암모니아성 질소는 유기질소의 가수분해에 의한 증가 , 암모니아성 질소의 산화에 의한 감소 , 하상퇴적물로부터의 부상에 의한 증가 , 조류의 섭취에 의한 감소를 고려하여 다음의 식으로 나타낸다 .

여기서 ,N1= Concentration of Ammonia Nitrogen, mg-N/L ( 암모니아성 질소의 농도 )β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day ( 아질산화율 )σ3 = Benthos source rate for NH3-N, mg-N/ft2-day ( 하상부상율 )H = water depth ( 수심 )F1 = Fraction of algal N uptake from ammonia pool ( 조류의 섭취율 )

PN = Preference factor for ammonia nitrogen (0 to 1.0) ( 조류의 선호도 )

(4) 아질산성 질소 (Nitrite Nitrogen : N2)아질산성 질소는 암모니아성 질소의 산화에 의해 증가하고 , 아질산의 산화에 의해 감소한다 .

여기서 ,N2= Concentration of Nitrite Nitrogen, mg-N/L ( 아질산성 질소의 농도 )β1 = Oxidation rate of NH3-N to NO2-N, /day ( 암모니아의 산화율 )β2 = Oxidation rate of NO2-N to NO3-N, /day ( 아질산성 질소의 산화율 )

(5) 질산성 질소 (Nitrate Nitrogen, N3)질산성 질소는 아질산의 산화에 의해 증가하고 , 조류의 섭취에 의해 감소한다 .

여기서 , F2 는 조류의 질산성 질소의 섭취율이다 ..

(6) 유기인 (Organic Phosphorus : P1)유기인은 조류의 사멸에 의해 증가하고 , 용존인으로 변화함으로써 감소하며 , 침전에 의해 감소한다 .

여기서 ,P1= Concentration of Organic Phosphorus, mg-P/L ( 유기인의 농도 )α2 = Fraction of algal biomass that is P, mg-P/mg-A ( 조류내의 인함유율 )β4 = Organic P decay rate, /day ( 유기인의 용존인으로의 변환율 )σ5 = Settling rate for Org. P ( 유기인의 침전율 )(7) 용존인 (Dissolved Phosphorus : P2)용존인은 유기인으로부터 변화에 의해 증가하며 , 하상퇴적물로부터 부상에 의해 증가하고 , 조류의 섭취에 의해 감소한다 .

여기서 ,P2= Concentration of inorganic or dissolved P, mg-P/L ( 용존인의 농도 )Σ2 = Benthos source rate for dissolved P, mg-P/ft2-day ( 용존인의 부상율 )D = Mean stream depth ( 평균수심 )Α2 = Fraction of algal biomass that is P, mg-P/mg-A ( 조류의 인함유율 ) Μ = Specific growth rate of algae ( 조류의 성장률 )Β4 = Organic P decay rate, /day ( 유기인의 분해율 : 무기인화율 )

(8) 탄소성 생물학적 산소 요구량 (CBOD : L)CBOD 는 탈산소 및 침전에 의해 감소한다 .

여기서 ,

L = the concentration of ultimate carbonaceous BOD, mg/L (CBOD 의 농도 )K1 = deoxygenation rate coefficient, temperature dependent, /d ( 탄산소율 )K3 = the rate of loss of CBOD due to settling, /d (침전율 )QUAL2E 모형은 일반적으로 최종 BOD 인 BODU 를 계산하지만 , 사용자가 5일 BOD 인 BOD5 를 사용하고자 할때에는 입력자료에서 지정을 해야 하며 , 모형은 내부적으로 다음 식으로 변환된다 .

(9) 용존산소 (O)용존산소는 재폭기 및 조류의 광합성에 의해 증가하고 , 탈산소 , 하상퇴적물 , 암모니아성 질소 및 아질산의 산화에 의해 감소한다 .

여기서 , O 는 용존산소의 농도이고 , 는 주어진 온도 및 압력하의 포화산소농도이며 , α3 는 조류의 광합성에 의한 산소생산량이고 , α4 는 조류의 호흡에 의한 산소 감소율이며 , α5 는 암모니아성 질소의 산화에 따른 산소소모율이며 , α6 는 아질산의 산화에 따른 산소소모율이며 , K4 는 하상퇴적물에 의한 산소감소율 , β2 는 아질산의 산화율 , β1 는 암모니아 산화율을 나타낸다 .

용존산소 포화농도 (Os) 는 수온에 반비례 , 용존부유물 농도 또는 염도에 반비례 , 기압에 비례하며 아래와 같은 관계가 있다 .

o 온도의 영향 : 평균해수면에서 온도에 따른 DO 포화농도는 다음과 같다 .

여기서 , Ta(oK) = T(oC) + 273.15o 압력의 영향

여기서 ,Op = 다른 기압에서 포화 용존산소 농도Os = 1 기압 (atm) 에서의 포화용존산소 농도P = 압력 (atm)

Ln Pwv = 수증기의 부분압 (atm)t = 기온 . oC

용존산소의 폭기계수 (K2) 는 일반적으로 수심과 유속의 함수로 나타내며 , QUAL2E 모형에서는 다음과 같이 8개의 Option 으로 제공된다 .

K2 Option 1 : 직접 사용자 입력 . 하천구간 얼음생성과 같은 비정상적 조건에 유리K2 Option 2 (Churchill, Elmore, and Buckingham, 1962)

K2 Option 3 (O'Conner and Dobbins, 1958) : 가장 많이 사용

( 간략식 )

K2 Option 4 (Owens et al. 1964) : 얕고 빠른 흐름의 하천

K2 Option 5 (Thacston and Krenkel, 1966) : TVA 하천

K2 Option 6 (Langbien and Durum, 1967)

K2 Option 7 : 유량과의 멱함수로 표현

K2 Option 8 (Tsivoglou and Wallace, 1972)

c = escape coefficient

댐에서 재포기가 있는 경우에는 다음과 같은 식을 사용한다 .(Butts and Evans, 1983)

여기서 , Da, Db = 각각 댐 상류와 하류에서의 DO 결핍량 a, b = 각각 수질오염상태와 댐 형식에 따른 계수

(10) 대장균대장균은 사멸에 의한 감소가 주 원인이다 .

여기서 , E 는 대장균의 농도이고 , K5 는 대장균의 사멸율을 나타낸다 .

(11) 임의의 비보존성 물질임의의 비보존성 물질은 쇠퇴 및 침전에 의한 감소 , 하상퇴적물로부터 부상에 의한 증가가 있다 .

여기서 , R 는 비보존성 물질의 농도 , K6 는 비보존성 물질의 쇠퇴율 , σ6 는 비보존성 물질의 침전율 , σ7 은 하상퇴적물로부터 부상율을 나타낸다 .

5. 검사체적을 그리고 , 이류유송 , 확산이동 , 생화학적 반응 , 직접 오염 부하항 등을 포함하는 3 차원 물질이동식을 유도하라 .

미분방법을 사용하여 물질평형으로부터 3 차원 물질이동식을 유도하기 위한 검사체적을 x, y, z 방향을 고려하여 다음과 같이 나타내었다 . 각 방향으로의 이동은 유사한 형태를 나타내므로 x 방향에 대한 유속 및 확산에 의한 이동항만 그림에 나타내었고 , 같은 물질이동을 y 및 z 방향에 대하여을 고려하여 물질평형 관계로부터 물질수지식을 유도하였다 .

유입 , 유출 , 내부에서의 생화학적 반응 및 소멸 및 발생원 등을 물질평형 관계는 다음과 같다 .

내부증가율 = 유입율 - 유출율 - 생화학적 반응 + 오염부하율

․ 유속에 의한 이류 유송 :

․ 확산에 의한 확산 이동 :

․ 생화학적 반응 :

․ 발생원 및 소멸원의 오염부하율 : ± S

x, y, z 방향에 대하여 위의 항들을 고려한 일반적인 3 차원 물질이동의 차분식은 다음과 같다 .

위의 식을 으로 나누어준 후 미분화하면 다음의 3 차원 물질이동식을 얻울 수 있다 .

6. 다음의 호수에 대하여 물평형 (Water Balance) 관계로부터 물수지식을 유도하라 .

호수는 여러 종류의 물이 유입과 유출을 반복하는 보존 물질로 간주할 수 있다 . 호수내 물의 증가는 ‘저장의 변화’를 의미한다 . 호수내 물의 증가에 의해 늘어난 저장량은 다음의 물평형식으로 나타낼 수 있다 .∆저장량 = ∑ 유입 흐름량 - ∑ 유출 흐름량 + 직접적인 강유량 - 증발량유입량은 지류와 육상 흐름의 지표수 유입 유량과 지하수 유입 유량을 포함한다 . 유출 량은 수체로부터의 방출되는 모든 지표수 및 지하수 유량을 뜻한다 . 직접적인 강우량은 표면으로 바로 떨어지는 물을 말하고 , 증발은 수체의 표면에서 대기로 나가는 물의 부피를 말한다 . ∆저장량은 호수내의 수심의 변화를 측정하여 계산한다 . 지표수와 지하수를 분리하여 물수지식을 표현하면 다음과 같다 .

∆저장량 = ∑ 유입 흐름량 + 지하수의 유입량 - ∑ 유출 흐름량 - 지하수의 유출량 + 직접적인 강우량 - 증발량

위의 식을 수식으로 표현하면 다음과 같다 .

여기서 , 는 유량 (m3d-1), 는 강우강도 (md-1 ), 는 물의 표면적 (m2), E 는 증발량(md-1)는 시간 간격 (days), 는 저류 부피의 변화 (m3) 이다 .

7. 모형의 보정과 검증은 무엇인가 ? 그 차이점은 ?모델링을 신뢰하기 위해서는 많은 양의 현장 예비조사가 수행되어야 한다 . 일반적으로 모형을 이용한 모델링에는 2가지의 조건이 요구된다 . 하나는 모형보정이며 다른 하나는 다른 환경 ( 서로 다른 시점이나 공간에 대한 현장 조사 ) 에 대한 검증이다 . 모형 보정은 모데링 결과와 현장 측정사이의 비교를 필요로 한다 . 문헌 자료나 실험 자료로부터 초기에 선택된 모형의 계수와 반응 속도 상수 등을 실측치와 비교하여 모형을 보정하는 데 있어서 선형회귀분석 등의 통계학적 기법을 사용한다 .

8. 보정기법의 예로서 하천오염현상을 해석하기 위한 물질이동식을 기술하고 생화학적 반응식에 관련된 파라미터를 추정하기 위한 BOD 분해능 계수의 추정 기법을 실험실의 실험치 및 현자 조사 결과를 바탕으로 수행하는 방법을 기술하라 . ( 선형회귀분석에 대한 구체적인 수학적 기술 필요 .)1) 물질이동식 및 해하천에서의 오염현상은 총체적인 개념으로 BOD 농도를 사용하여 해석하며 , 이러한 BOD 농도에 대한 물질이동식으로 해석한다 . 물질이동식은 유속에 의한 이류유송과 생화학적 분해 반응을 고려하면 다음의 편미분방정식으로 표현된다 .

여기서 , 평균 하천 유속 ( ) 은 유량을 단면적으로 나눈 값 (Q/A) 이다 .위의 식을 정상 상태의 상미분 방정식으로 표현하면 다음과 같다 .

변수분리법으로 위의 상미분 방정식을 다음과 같이 풀 수 있다 .

위의 적분은 X=0 일 때의 C0 에서부터 하류 거리 x 일 때 농도 C 까지 설정되었다 . 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다 .

(1)

양변에 지수를 취하면 , 다음과 같다 .

여기서 , C0 는 원점 X=0 에서의 초기 농도이다 .

2) BOD 분해능 계수의 판정 기법(1) 식을 농도와 이동 거리에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다 .

이동 거리에 따라 측정된 BOD 농도 /초기농도에 ln 를 취하여 y 축으로 이동거리 /유속을 x 축으로 설정하여 측정된 자료를 도시한다 . 이 도시된 그래프의 기울기는 -k 이다 . 따라서 , 기울기가 BOD 분해능 계수이다 . 다음에 이러한 판정 기법의 예를 나타내었다 .

9. Fick 의 확산법칙을 설명하라 .Fick 의 확산 법칙은 기체분자나 원자 , 고체 /액체 상태를 구성하는 원자가 화학 포텐셜차이에 의해 화학포텐셜이 높은 곳에서 낮은 곳으로 구성입자가 이동하는 현상을 규명한 법칙이다 . 대부분의 경우 , 화학 포텐셜은 농도에 비례하여 , 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산을 하게 된다 . 이러한 경우에 , 농도 구배 ( 단위 길이당 농도의 변화 ) 에 따른 확산 이동 속도를 정의한 법칙이 Fick 의 확산 법칙이다 . 1 차원인 경우 , 제 1법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

J는 단위시간당 단위 면적을 지나는 원자의 수를 나타내는 이동 속도이고 , D는 원자의 확산계수 , dC/dx 는 x 방향으로의 농도 변화율을 나타낸다 . 이 식은 정상상태의 경우에만 적용할 수 있다 . 정상상태에서 이동속도는 일정하게 유지되고 , 확산은 농도구배 ( 농도차 ) 가 클수록 잘 일어나며 농도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 확산이 일어난다는 것을 알 수 있다 .제 2 법칙은 비정상상태 경우에 시간에 따른 농도 변화를 예측하는 법칙으로 다음과 같이 나타낸다 .

위 식의 의미는 확산에 의해 농도가 퍼져감에 따라 농도가 감소하는 것을 나타낸다 .

10. 수리학적 분산계수를 다상이론으로부터 유도하고 분자확산계수를 포함하는 분산계수를 설명하라 .복합다상이론에 의하면 어떤 물질이 가지는 고유의 속도에 의한 이동은 다음의 식으로 표현된다 .

여기서 , 는 α상내 i물질의 농도 혹은 단위질량 , 는 물질이 가지는 고유의 속도를 의미한다 . 물질 입자의 고유 속도를 측정하기가 어렵기 때문에 다음과 같이 상의 유속을 가지고 물질의 이동 속도를 나타나게 된다 .

위의 식의 우변의 첫째 항은 복합다상시스템에 있어서 상의 유속에 의한 이류유송을 나타내고 , 두 번째 항은 상의 유속과 입자의 유속의 차이를 나타내며 , 유속이 강해질 수록 상의 유속과 입자의 유속차이가 커지게 된다 . 입자의 유속을 평가하기 어렵기 때문에 이러한 현상을 확산의 식으로 표현하게 된다 . 실제로 유속이 커지게 되면 난류확산이라고 하여 운동성이 증가한 입자의 유속에 따라 물질이 퍼짐이 커지게 된다 . 따라서 , Fick 의 확산식을 사용하여 두 번째 항을 표현하게 된다 . 이때 사용하는 분산계수를 수리학적 분산계수라고 한다 . 전체 이동식은 다음과 같이 표현된다 .

물질이동에서는 위에서 살펴본 난류확산 등의 수리학적 분산이외에 농도차이에 의해서 발생하는 분자 확산이 있다 . 따라서 전체 분산계수는 이러한 수리학적 분산과 분자 확산을 포함하는 다음의 식으로 표현된다 .

여기서 , 는 수리학적 분산계수로 텐서로 표현되며 , 는 분자확산 계수이다 .

11. 평면 오염원 ( 오염된 호수 퇴적물 ) 으로부터 상부 수주까지의 연직 와류 확산에 대한 오염된 퇴적물의 Fick 의 제 2 법칙을 풀어라 . 초기 조건(IC) 과 경계조건은 다음과 같다 .

(IC)

경계 조건 (BC1, BC2) 은 반무한 수주 ( 확산의 초기 단계 ) 로 확산되는 일정한 화학 물질에 대한 것이다 .

(BC1) (BC2)

힌트 : 순간적인 평면 오염원에 대한 시행착오법 . 아래 편미분 방정식에 대한 해를 구한다 .

여기서 A 는 임의의 상수이다 .

Fick 의 제 2 법칙의 확산식은 다음과 같다 .

시간에 대한 편미분과 x 공간에 대한 2차 편미분을 취한다 . “ 적에 대한 미분”과 에 대한 적분표를 이용한다 .

시간에 대한 편미분은 다음과 같다 . :

연직 거리 x 에 대한 2차 미분은 다음과 같다 . :

위의 식은 에 대한 결과와 같으며 , 그 해가 정확하다는 것을 증명한다 . 임의 상수 A 를 평가하기 위하여 확산 물질 M의 항으로 다음과 같이 표현한다 . :

아래에 정의된 적분식을 사용하면 지수는 다음과 같은 형태이다 .

여기서 ,

x = 0 평면에서의 반사원리를 사용하면 : ,

따라서 , 이고 이다 .

위의 해를 물질이동에 대한 확산방정식에서의 Gauss 의 해라고 하며 , 통계학에 있어서 확률밀도함수와 같은 형태를 가지는 것을 알 수 있다 . 통계학에서는 분산계수 E 대신에 분산값 σ를 사용한다 .

이류유송을 포함하는 3 차원 확산이류유송의 물질이동식은 다음과 같다 .

추적제 실험과 같이 생화학적 반응이 없는 경우에 위의 식의 해는 다음과 같다 .

추적제가 수심방향에 대하여 완전히 혼합되어있는 2차원 실험의 경우의 해는 다음과 같다 .

12. 물질이동식을 해석하기 위한 BOX 모형을 설명하라 .3 차원 물질이동식의 해석 위한 방법으로 문제 11 의 해에서 보여준 바와 같이 수학적 이론해 (mathematical analytical solution) 를 구할 수 있으나 생화학적 반응항과 점 및 비점오염원을 포함하고 경계조건이 복잡한 실제의 문제에서는 이러한 이론해를 구할 수 없다 . 따라서 , 수치해석적 방법을 사용하는 것이 일반적이다 . 이러한 수치해석적 방법은 편미분방정식을 풀기위한 유한차분법 , 유한요소법 유한체적법 , 경계요소법 , 입자추적법 등을 사용한다 . 이러한 수치해석적 방법중에서 가장 간단한 방법이 Network 모형을 사용하는 Box 모형이다 . 본 모형은 물질이동식이 일어나는 3 차원 공간을 격자로 나눈 다음 각 격자간의 이류유송 및 확산 ( 교환 ) 에 의한 이동을 고려하는 것이다 . 각 격자내에서는 완전혼합을 고려하여 농도가 동일하다고 가정한다 . 따라서 , 물질이동식은 다음과 같이 격자화된 차분식으로 변환된다 .

이러한 Box 모형은 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

격자화된 호수 생태계 Box 모형의 이동 체계 . 큰 화살표는 이류 유송을 작은 쌍 화살표는 격자간의 혼합 ( 확산 ) 을 나타낸다 .

13. 완전혼합조 , 플러그유동조 , 이류확산조에 대하여 다음의 질문에 답하라 .1) 각 반응조의 지배방정식을 그림을 이용하여 유도하라 .2) 각 반응조의 주요 파라미터를 기술하라 .3) 각 반응조에 대하여 정상상태의 경우 상미분방정식의 해를 유도하라 .

1) 완전혼합시스템 (CSTR)(1) 물질이동식완전 혼합 시스템은 다음 그림과 같이 반응조내의 화학물의 농도는 일정하고( 완전혼합 ) 배출구의 농도는 C 이며 , 이 농도는 반응조 내의 어느 곳에서도 같다는 것이다 . 물질수지는 다음과 같다 .반응조내 질량 변화 = 유입 질량 - 유출 질량 ± 반응조내 질량 반응

이것은 수학적으로 다음과 같이 표현된다 .

여기서 , Cin 는 유입류의 화학물 농도 , C 는 반응조와 유출류의 화학물 농도 , 은 유입유량 , Qin 은 유출유량 , Qout 는 호수의 체적 , V 는 반응율 ,r 는 t시간이다 .가 Δt 가 0으로 수렴할 때의 상미분 방정식은 아래와 같다 .

유입농도 Cin 가 일정하고 , 호수의 유입 유출 유량은 일정하고(Qin=Qout=Q= 상수 ), 호수의 체적 V 가 일정하고 , 호수내에서 일어나는 농도 C 의 변화율은 1 차반응에 의해 지배된다 (r=-kC) 는 가정하에 위의 식을 정리하면 다음과 같다 .

위의 식은 완전 혼합계에 대한 일반적인 1 차 감소반응 방정식이다 .(2) 물질이동식의 해- 생화학적 반응이 없는 경우의 해충격 유입에서와 같이 보존성 추적자가 순간적으로 주입되는 단순한 경우 위의 식은 다음과 같이 줄어든다 .

V 로 나누면

여기서 , τ=V/Q 평균 수리학적 체류 시간이다 .T=0 의 초기조건 (C=C0) 인 경우 위의 식은 다음과 같이 적분될 수 있다 .

위의 해는 보존성 추적자의 충격 유입에 대한 이론해이다 .

- 생화학적 1 차 반응이 있는 경우의 해반응성 화학물이 반응조로 유입된 경우 , 물질이동식은 다음과 같다 .

위 식은 해는 유사하게 구할 수 있다 .

다음 그림에 반응성 및 비반응성 화학물의 충격 유입에 대한 반응을 나타내었다 .

- 연속적인 오염 부하와 생화학적 반응이 있는 경우의 해연속적인 오염부하가 있는 경우의 물질이동식은 다음과 같은 일반적인 물질이동식이다 .

V 로 양변을 나누어준 후 정리하면 다음과 같다 .

위의 식은 1 차 선형 비제차 미분 방정식의 형태이다 . 위의 식의 정상상태 해는 다음과 같다 .

여기서 , Css 는 정상상태 농도이다 .

비정상상태의 시간에 대한 농도의 변화를 보고자 한다면 , 물질이동식이 다음과 같이 일반적인 형태를 가지는 1 차 선형 미분 방정식이 된다 .

따라서 , 위 방정식의 일반해는 적분인자법을 사용하면 다음과 같다 .

여기서 , 이다 .

따라서 , 물질이동식의 해는 이러한 적분인자법의 해를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다 .

0에서 t 까지 위의 식을 적분하면 다음과 같다 .

위의 식의 우변의 첫째 항은 초기농도의 감소를 나타내고 , 둘째 항은 연속적인 유입에 기인한 농도의 증가를 나타낸다 . t 가 무한대로 접근할 때 , 위의 해는 정상상태의 해로 접근한다 .

2) 플러그 유동 시스템 (Plug Flow System)이상적인 플러그 유동 시스템을 다음 그림과 같이 강을 사용하여 나타내었다 . 본 모형에 포함된 주 가정은 물의 대부분은 종방향 혼합이 없이 하류로 흐르고( 플러그처럼 ), 측면과 수직방향에서는 순간적인 혼합이 일어난다는 것이다 . 이것은 일차원 모형이다 . 물질수지는 체적 V 를 중심으로 다음과 같이 주어진다 .

여기서 , V=A△x, A= 단면적 , △x= 하천의 유한 증가 두께 , △t = 시간간격 , k= 1 차 감소율이다 .

플러그 유동 시스템의 검사체적 및 유입 조건에 따른 유출 농도

위의 식을 V 로 나누어 단순화하면 다음과 같다 .

△ t->0 일 때 , 위의 식은 다음과 같이 미분식으로 표현된다 .

여기서 , u=Q/A = 평균유속이다 .

정상상태에서 , 위의 식은 다음과 같이 정리된다 .

X=0 에서 C=C0 인 경계조건으로 , 위의 식을 변수분리법으로 적분한다 .

3) 이류 확산 시스템 (Advective-Dispersive System)하구의 예를 이용하여 이상적인 확산과 이류 유송이 있는 시스템을 다음 그림에 나타내었다 .

이류 확산 시스템의 검사체적 및 유입 조건에 대한 정상 상태의 해이류 유송 및 확산 이동을 고려한 물질수지는 다음과 같다 .

여기서 , V=A△x, E 는 확산 계수 , k 는 일차 반응 계수이다 .위의 식을 정리하면 다음과 같다 .

V=A △x 로 나누면 ,

또는

정상상태의 방정식은 다음과 같다 .

위의 식은 2계 선형제차 상미분방정식이고 일반형은 다음과 같다 .

여기서 , 이고 , 해의 일반적 형태는 다음과 같이 주어진다 .

여기서 ,

정상상태의 물질이동식의 해는 다음과 같이 얻어진다 .

여기서 ,

위의 해를 풀기 위해서는 경계조건이 사용되어야 한다 . 경계조건을 정하기 위해서 , 문제의 하구 시스템을 화학물 방류지점의 상류와 하류 구획으로 나눌 수 있다 .상류 구획에서 , 다음과 같은 두 가지 경계조건을 정할 수 있다 (BC 1 및 BC 2).

BC 1: 방류지점의 상류 구획에서 , 농도는 0으로 접근한다 . 즉 ,에서이다 . 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구한다 .

D=0 과 C=B exp(gx) (1)BC 2: 방류지점의 농도는 , 즉 , X=0 에서 C=C0 이다 . 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구한다 .

따라서 상류 구획의 농도는 다음과 같이 주어진다 .

(2)

하류 구획에서 , 2 개의 추가적인 경계조건을 정할 수 있다 . BC 1: 방류지점 하류에서의 농도는 0에 접근한다 . 즉 ,x=+∞ 일 때 . C=0 이 조건하에서 다음과 같은 식을 구할 수 있다 . B=0 와 C=D exp(jx) (3)BC 2: 방류지점에서 농도는 ;즉 , C=C0 이다 . 이 조건으로 다음과 같은 식을 구할 수 있다 . D=C0따라서 하류구획의 농도는 다음과 같이 주어진다 .

(4)

방류지점에서 경계농도는 x=0 일 때 물질수지를 세워 구할 수 있다 ( 그림 2.13).질량유입 = 질량유출

(5)

△ x 가 극소하게 작기 때문에 반응은 무시할 수 있다 . 식 (1) 로부터

(6)

식 (3) 으로부터 ,

식 (6) 및 식 (2) 를 식 (5) 에 대입하면 다음과 같은 식이 산출된다 .

B=D=C0 이므로 , 다음을 구할 수 있다 .

의 식을 위의 식에 대입하여 간단히 정리하면 다음과 같다 .

최종적인 해는 다음과 같이 요약된다 :