第一章資料結構導論結束 2015/6/28 1 本章重點 1-1 認識資料與資訊...

第一章資料結構導論結束

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本章重點

1-1 認識資料與資訊

1-2 解析演算法(Algorithm)

1-3 程式(program)與程式設計(programming)

1-4 遞迴程式 (Recursion)

1-5 演算法的效能分析


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1-1 認識資料與資訊

「資料處理」就是用人力或機器設備，對資料進行有系統的整理如記錄、排序、合併、整合、計算、統計等，以使原始的「資料」符合需求，而成為有用的「資訊」 (Information)


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1-2 解析演算法 (Algorithm) 輸入 (Input) ： 0個或多個輸入資料，這些輸入必需有清楚的描述或定義。

輸出 (Output) ：至少會有一個輸出結果，不可以沒有輸出結果。

明確性 (Definiteness) ：每一個指令或步驟必需是簡潔明確而不含糊的。

有限性 (Finiteness) ：在有限的步驟後一定會結束，不會產生無窮迴路。

有效性 (Effectiveness) ：步驟清楚且可行，能讓使用者用紙筆計算而求出答案。


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常用的演算法表示方法有一般文字：中文、英文、數字等。虛擬語言：接近高階程式語言的寫法，經常使用的有 SP

ARKS 、 PASCAL-LIKE 等語言。表格或圖形：如陣列、樹狀圖、矩陣圖等。流程圖：資料流程圖及控制流程圖可以算是一種通用的

表示法，也有固定的圖型符號。程序語言：目前資料結構的演算法經常是以可讀性高的

高階語言來表示，例如 C語言、 C++ 語言、 Java 語言、Visual Basic 語言等，在本書中將以 C語言來表達演算法


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1-3 程式 (program) 與程式設計 (programming)

需求認識：了解程式所要解決的問題是什麼，有那些輸入及輸出等。

設計規劃：根據需求，選擇適合的資料結構，並以任何的表示方式來寫一個演算法以解決問題。

分析討論：思考其他可能的演算法及資料結構，最後再選出最適當的標的。

編寫程式：把分析的結論，寫成初步的程式碼。測試檢驗：最後必須確認程式的輸出是否符合需求，

這個步驟得細步的執行程式並進行許多的相關測試。


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程式產生的五階段


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結構化程式設計

它又分為三種基本結構 (Basic Structure) ：基本結構名稱概念圖[ 循序結構 ]逐步的撰寫敘述

[選擇結構 ]依某些條件做邏輯判斷

IF..then..else

[重複結構 ]依某些條件決定是否重複

執行某些敘述


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物件導向程式設計

「物件導向技術」的重要特徵簡述如下：封裝 (Encapsulation)利用『類別』 (class) 來實作「抽象化資料型態」 (ADT) 。所謂「抽象化」，亦即將代表事物特徵的資料隱藏起來，並定義一些方法來做為操作這些資料的介面，讓使用者只能接觸到這些方法，而無法直接使用資料，符合了「資訊隱藏」 (Information hiding)的真意。


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繼承 (Inheritance)

繼承可分為多重繼承與單一 (或稱個別 )繼承，在繼承關係中，被繼承者稱為『基礎類別』或『父類別』，而繼承者則稱『衍生類別』或『子類別』。當在一個繼承關係中的基礎類別有多個時，即稱『多重繼承』；而若基礎類別只有一個時則稱『單一繼承』。


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[圖例 ]父類別 (汽車 )與子類別 (福特汽車及BMW)，皆繼承汽車的速度方法，但福特汽車的速度性能卻與BMW不同。


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資料結構

資料（ Data）電腦處理的符號

數值（ Numerical ）字串（ String ）多媒體（ Multimedia ）

資料結構（ Data Structure）資料之間的邏輯關係

表現方式（ Representation ）處理方式（ Manipulation ）

著重問題需求和資料之間的關係


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資料特性

識別（ Identification）順序（ Sequential Order）階層（ Hierarchical Structure）形狀

線性結構（ Linear ）樹狀結構（ Tree ）圖形結構（ Graph ）


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因為儲存層次上的不同可分為三種：

基本資料型態 (atomic data type) 或稱為實質資料型態 (physical data type)

結構型資料型態 (structure data type)或稱為虛擬資料型態 (virtual data type)

抽象資料型態 (Abstract Data Type ： ADT)


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1-4 遞迴程式 (Recursion)

如果一個程式能被自己所定義或呼叫的，就稱為「遞迴程式」。一個遞迴程式必備的兩個要件：

一個可以反覆執行的過程一個跳出反覆執行過程中的出口


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河內塔問題

有三根木樁，第一根上有 n個盤子，最底層的盤子最大，依序最上層的盤子會愈來愈小。


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我們還要介紹遞迴因為呼叫對象的不同，可以區分為兩種：直接遞迴 (Direct Recursion)指遞迴程序 (procedure)內容中，允許直接呼叫該程序(procedure) 本身，稱為直接遞迴。間接遞迴 (Indirect Recursion)指遞迴程式的內容中，如果呼叫其他遞迴程式，再從其他遞迴程式呼叫回原來的遞迴程式，我們就稱做間接遞迴。


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求算階乘（ Factorial）

n! = n*(n-1)*(n-2)*…*2*1 遞迴定義：

1!=1 f(n)=n*f(n-1), n>=2

13! = 1932053504 ，在 32 位元系統上用 long 所能算出的最大階乘數

long fact(int n) { if (n == 1) return 1; else return n * fact(n-1);}

long fact(int n) { if (n == 1) return 1; else return n * fact(n-1);}


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遞迴程式的優缺點

優點：程式簡短，可讀性高，較節省記憶空間

缺點：遞迴程式使用了暫存堆疊與活動記錄表 (activation record) 來記錄程式參數的暫存值及系統資料，所以執行時間較長。


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1-5 演算法的效能分析

在一個完全理想狀態下的計算機中，我

們定義一個 T(n) 來表示程式執行所要花

費的時間，其中 n代表資料輸入量。


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演算法的效率分析

時間複雜度（ Time Complexity）所需的執行時間

Σ 一行敘述的執行次數 × 一行敘述的執行時間空間複雜度（ Space Complexity）

所需的記憶體空間複雜度的表示法

О 、 Ω 、 Θ


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Big-oh 的介紹

O(f(n)) 可視為某演算法在電腦中所需執行時間不會超過某一常數倍的 f(n) ，也就是說某演算法的執行時間 T(n) 的時間複雜度 (time complexity) 為 O(f(n))( 讀成 big-oh of f(n) 或 order is f(n)) 。


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Big-O 演算法的複雜度

定義：

若且唯若存在兩個正整數 c 和 n0當 n ≥ n0 時，

意義： Upper Bound 上限

)()( ngcnf

)()( ngOnf


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範例： 22 1744 nOn

14

17417445

5

,1744

0

020

20

022

n

nnn

c

nnncn

)(17445174414 2222 nOnnnn 時當


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範例：)()(

)( 011

1

m

mm

mm

nOnf

ananananf

m

ii

m

mim

ii

m

im

ii

m

i

ii

mm

mm

an

nan

na

na

ananananf

0

0

0

0

011

1)(


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時間複雜度分析範例：循序搜尋（ Sequential Search）

最佳狀況 Best Case ： 1 搜尋目標在陣列一開頭就找到了

最壞狀況 Worst Case ： n 找完整個陣列才知搜尋目標不在其中

平均狀況 Average Case ： n/2 平均搜尋次數：

若搜尋成功之機率為 p ：

2

1

2

)1(121

11

1

nnn

nn

nk

n

n

k

22

1)1(2

)1(1

1

ppnpn

nppn

n

pk

n

k


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循序搜尋（ Sequential Search）

int sequential_search(int data[], int target, int n) { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (target == data[i]) { return i; } } return -1;}

int sequential_search(int data[], int target, int n) { int i; for (i = 0; i < n; i++) { if (target == data[i]) { return i; } } return -1;}


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常見的 Big-oh 有下列幾種：

O(1) ：稱為常數時間 (constant time) O(log2n) ：稱為次線性時間 (sub-linear time) O(n) ：稱為線性時間 (linear time) O(n ) ：稱為平方時間 (quadratic time) O(n ) ：稱為立方時間 (cubic time) O(2 ) ：稱為指數時間 (exponential time)

2

3

n


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Ω(omega) 的介紹 Ω也是一種時間複雜度的漸近表示法，如果說 Big-oh 是執行時間量度的最壞情況，那 Ω就是執行時間量度的最好狀況。以下是 Ω的定義：

對 f(n)= Ω(g(n))( 讀作 "big-omega of g(n)") ，意思是存在常數 c 和 n0 ，對所有的 n 值而言， n= n0

時， f(n) =cg(n) 均成立。


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Big-Ω 問題的難易程度

定義：

若且唯若存在兩個正整數 c 和 n0 ，當 n ≥ n0 時，

意義： Lower Bound 下限

)()( ngnf

)()( ngcnf


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範例：

1100

1

1

233

0

nnnn

n

c

1100 233 nnnn


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θ(theta) 的介紹是一種比 Big-O 與 Ω更精確時間複雜度的漸近表示法。定義如下：

f(n)= θ(g(n))( 讀作“ big-theta of g(n)”) ，意思是存在常數 c1 ， c2 ， n0 ，對所有的 n ≥ n0 時， c1g(n)f(n)

c2g(n) 均成立。換句話說，當 f(n)= θ(g(n)) 時，就表示 g(n) 可代表 f(n) 的上限與下限。


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Θ 最佳解（ Optimal Solution）

定義：

若且唯若存在三個正整數 c1 、 c2 、 n0 ，當 n ≥ n0 時

)()( ngnf

)()()( 21 ngcnfngc


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二元搜尋（ Binary Search）

輸入： n 筆已排序資料（從小排到大）欲尋找之資料 target

輸出： target 於輸入資料中的位置（序號）如果 target 不在輸入資料中，則傳回 -1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

找 5

大小

中


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int binary_search(int data[], int n, int target) { int left = 0, right = n-1, mid; while (left <= right) { mid = (left + right) / 2; if (target == data[mid]) { return mid; } else if (target > data[mid]) { left = mid + 1; } else { right = mid - 1; } } return -1;}

int binary_search(int data[], int n, int target) { int left = 0, right = n-1, mid; while (left <= right) { mid = (left + right) / 2; if (target == data[mid]) { return mid; } else if (target > data[mid]) { left = mid + 1; } else { right = mid - 1; } } return -1;}


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二元搜尋（ Binary Search）遞迴版（ Recursive）

int bin_search(int data[], int left, int right, int target) { int mid = (left + right) / 2; if (left > right) return -1; if (target == data[mid]) return mid; if (target > data[mid]) { return bin_search(data, mid+1, right, target); } else { return bin_search(data, left, mid-1, target); }}

int bin_search(int data[], int left, int right, int target) { int mid = (left + right) / 2; if (left > right) return -1; if (target == data[mid]) return mid; if (target > data[mid]) { return bin_search(data, mid+1, right, target); } else { return bin_search(data, left, mid-1, target); }}

用法： bin_search(data, 0, n-1, target)


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時間複雜度： O(log n) 搜尋範圍從 n 筆資料開始每完成一次比較，搜尋範圍縮小一半停止的時機：

找到目標搜尋範圍的大小 <1 （ Worst Case ） n 連續除以 2 ，連除 m 次之後 < 1

nm

n m

2log

2


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費氏數列（ Fibonacci Series）

2,

1

0

21

1

0

nfff

f

f

nnn

問題：給定一個 n 值，求解費氏數列第 n 項的值。


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費氏數列（ Fibonacci Series）遞迴版

int fibon(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1) return 1; return fibon(n-1) + fibon(n-2);}

int fibon(int n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1) return 1; return fibon(n-1) + fibon(n-2);}

時間複雜度： O(2n/2)


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費氏數列（ Fibonacci Series）遞迴版時間複雜度分析

nn

n

nnn

nn

nnn

ccf

r

rr

rrr

rf

fff

2

51

2

51

2

51,

2

51

01

0

令

21

2

21

21

nn

nf

cc

ccf

ccf

2

51

2

51

5

1

5

1,

5

1解得

12

51

2

51

02

51

2

51

21

1

2

1

11

0

2

0

10


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費氏數列（ Fibonacci Series）迴圈版

int fibonacci(int n) { int fn, fn_1 = 1, fn_2 = 0, i; if (n < 2) return n; for (i = 2; i <= n; i++) { fn = fn_1 + fn_2; fn_2 = fn_1; fn_1 = fn; } return fn;}

int fibonacci(int n) { int fn, fn_1 = 1, fn_2 = 0, i; if (n < 2) return n; for (i = 2; i <= n; i++) { fn = fn_1 + fn_2; fn_2 = fn_1; fn_1 = fn; } return fn;}

時間複雜度： O(n)


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Tower of Hanoi


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Tower of Hanoi


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Tower of Hanoi 宣告與用法

#define PEG_A "PEG_A"#define PEG_B "PEG_B"#define PEG_C "PEG_C"

int main(int argc, char* argv[]){ … hanoi_move(n, PEG_A, PEG_B, PEG_C); …}


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Tower of Hanoi 主要邏輯

void hanoi_move(int n, char* from, char* to, char* via) { if (n == 1) { printf("Move ring 1 from %s to %s\n", from, to); } else { hanoi_move(n-1, from, via, to); printf("Move ring %d from %s to %s\n", n, from, to); hanoi_move(n-1, via, to, from); }}


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Tower of Hanoi 執行結果

1: Move ring 1 from PEG_A to PEG_B 2: Move ring 2 from PEG_A to PEG_C 3: Move ring 1 from PEG_B to PEG_C 4: Move ring 3 from PEG_A to PEG_B 5: Move ring 1 from PEG_C to PEG_A 6: Move ring 2 from PEG_C to PEG_B 7: Move ring 1 from PEG_A to PEG_B


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Tower of Hanoi時間複雜度分析

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