МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение  высшего профессионального образования 

 «Пензенский государственный университет» (ПГУ)  

     

Н. И. Волчихина, И. Н. Гонтарь     

Сопротивление материалов 

 Учебное пособие 

    

Издание 2е, переработанное и дополненное          

Пенза  Издательство ПГУ 

2015 

2

УДК 539.3 / 6(075) ББК 30.121 В68

Р е ц е н з е н т ы: доктор технических наук,

профессор 11 кафедры Пензенского филиала Военной академии тыла и транспорта имени генерала армии А. В. Хрулева

В. Я. Савицкий; доктор технических наук, профессор кафедры

автономных информационных и управляющих систем Пензенского государственного университета

А. И. Сидоров

Волчихина, Н. И. В68 Сопротивление материалов : учеб. пособие / Н. И. Вол-

чихина, И. Н. Гонтарь. – Изд. 2-е, испр. и доп. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. – 274 с.

ISBN 978-5-906796-17-2 Приведены планы выполнения теоретических расчетов элемен-

тов конструкций в задачах на прочность, жесткость и устойчивость в приборостроении, машиностроении, автомобилестроении и других технических направлениях. В разделах имеются алгоритмы решения задач на любой ПЭВМ с использованием простейшей стандартной программы Excels.

Издание подготовлено на кафедре «Теоретическая и прикладная механика и графика» Пензенского государственного университета и предназначено для студентов различной формы обучения; может быть полезно инженерам в профессиональной деятельности.

УДК 539.3/6(075) ББК 30.121

© Н. И. , Гонтарь И. Н., 2014

В оформлении пособия использованы материалы для иллюстраций и компьютерный набор текста В. Г. Войновой, Г. А. Чугуновой

ISBN 978-5-906796-17-2 © Пензенский государственный университет, 2015

3

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие................................................................................................ 5 Основные термины и определения........................................................... 6 Основные гипотезы (допущения) ........................................................... 10 Единицы измерений ................................................................................. 11 Раздел I. Центральное растяжение и сжатие ................................... 12 Вводная часть ....................................................................................... 12 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации .................. 14 Задача 1. Расчет статически определимого стержня

переменного поперечного сечения......................................................... 15 Задача 2. Расчет и деформационная проверка статически

неопределимого стержня постоянного поперечного сечения.............. 25 Задача 3. Расчет и деформационная проверка статически

неопределимого стержня переменного поперечного сечения ................ 34 Задача 4. Расчет статически неопределимой стержневой

системы при воздействии сил q и P ..................................................... 48 Задача 5.Расчет статически неопределимой стержневой

системы при отклонениях монтажных размеров ................................... 61 Задача 6. Расчет статически неопределимой стержневой

системы при воздействии температуры.................................................. 69 Раздел II. Геометрия плоских сечений............................................... 80

Вводная часть ....................................................................................... 80 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации.................. 84 Задача 7. Определение геометрических характеристик

плоского сечения с горизонтальной осью симметрии Х ...................... 84 Задача 8. Определение геометрических характеристик

плоского сечения с вертикальной осью симметрии Y .......................... 98 Раздел III. Изгиб. .................................................................................. 105 Вводная часть……………………………………............................. 105 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации................ 107 Задача 9. Расчет статически определимой двухопорной

балки на прочность и жесткость.. ..................................................... …109 Задача 10. Расчет на прочность и жесткость

статически неопределимой балки ........................................................ 136 Раздел IV. Кручение ......................................................................... 163 Вводная часть ..................................................................................... 163 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации................ 173 Задача 11. Расчет статически определимого вала......... …………..173 Задача 12. Расчет статически неопределимого вала..... …………..183

Раздел V. Сложное сопротивление ................................................... 193 Вводная часть ..................................................................................... 193 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации................ 194 Задача 13. Расчет на прочность вала при кручении с изгибом ..... 195

4

Раздел VI. Устойчивость......................................................................220 Вводная часть......................................................................................220 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации ................224 Задача 14. Расчет на устойчивость сжатого стержня......................225

Раздел VII. Динамика….......................................................................237 Вводная часть ......................................................................................237 Вопросы для самопроверки и подготовки к аттестации ................238 Задача 15. Расчет упругой системы при ударе……………..……...238 Задача 16. Расчет упругой системы c учетом колебаний................249

Список рекомендуемой литературы .....................................................256 Приложение 1. Физико-механические характеристики материалов стежней ................................................................................257 Приложение 2. Образец титульной страницы......................................258 Приложение 3. Реферат ..........................................................................259 Приложение 4. Структура пояснительной записки.............................260 Приложение 5. Значения коэффициента уменьшения допускаемого напряжения на сжатие.................................................... 261 Приложение 6 . Геометрические параметры элементарных фигур......................................................................................................... 262 Приложение 7. Геометрические характеристики плоских сечений .................................................................................................... 263 Приложение 8. Двутавры стальные горячекатаные ............................ 266 Приложение 9. Швеллеры стальные горячекатаные с уклоном внутренних граней полок.....................................................267 Приложение 10.Уголки стальные горячекатаные равнополочные ........................................................................................268 Приложение 11. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные ....................................................................................271 Приложение 12. Ряды нормальных линейных размеров (диаметров, длин, высот, глубин) по ГОСТ 803284..........................273

5

 

Предисловие

Вопросы проектирования новых изделий или проверки проч-ности существующих эксплуатируемых конструкций связаны с рас-четами упругодеформируемого твердого тела отдельного элемента конструкции на прочность, жесткость и устойчивость.

Чтобы конструкция в целом отвечала требованиям прочности, жесткости и устойчивости, необходимо придать ее элементам наи-более оптимальную форму, определить соответствующие размеры и рациональность применения для них выбранного материала.

Первоначально такую задачу решает теория дисциплины «Со-противление материалов». Теоретические положения данного посо-бия базируются на дисциплинах «Теоретическая механика» и «Ма-тематика», а экспериментальные – на дисциплинах «Физика» и «Материаловедение».

Дисциплина «Сопротивление материалов» не исчерпывает всех вопросов механики деформируемого твердого тела. Более сложными вопросами прочности, жесткости и устойчивости за пределами уп-ругости материала (за пределами закона Гука) занимаются, напри-мер, такие смежные специальные дисциплины, как «Механика стержневых систем», «Теория упругости» и «Теория пластичности».

Однако основная роль при решении задач на прочность при-надлежит дисциплинам «Сопротивление материалов» и «Материа-ловедение».

В пособии изложены расчеты таких форм элементов конст-рукций, как стержень, стержневая система, стойка, балка, вал.

Последовательность решения задач показана в примерах каж-дого раздела.

Каждый изложенный пример расчета завершается оформлени-ем результата, выводами и заключением о прочности, жесткости и устойчивости элемента конструкции согласно условиям задачи.

Содержание данного пособия построено на материалах преды-дущего пособия «Сопротивление материалов» авторов И. Н. Гонтаря и Н. И. Волчихиной, изданного в 2008 г. Большой вклад в создание обновленной учебной литературы по сопротивлению материалов принадлежит непосредственно автору профессору И. Н. Гонтарю, долгие годы руководившему кафедрой «Сопротивление материалов».

Пособие может быть использовано при выполнении курсовых работ.

При подготовке рукописи учтены важные пожелания рецен-зентов.

6

Основные термины и определения  

Термины и определения в большой мере служат студенту для строгого, четкого и лаконичного изложения ответа на вопросы при защите курсовой или контрольной работы в период текущей или плановой аттестации.

Прочность – способность конструкции, ее узлов и деталей выдерживать определенную нагрузку, вызывающую в них напряже-ния не выше нормативных значений прочности материала.

Жесткость – способность конструкции или ее элементов со-хранять под действием внешней нагрузки заданную, запроектиро-ванную форму, положение главных центральных осей и размеры.

При заданных нагрузках допустимые деформации структуры материала и перемещения характерных точек элемента конструкции не должны превышать определенных величин, установленных в со-ответствии с техническими требованиями.

Устойчивость – способность конструкции и ее элементов со-хранять определенную заданную форму упругого равновесия при нагрузках, не превышающих критической величины.

Объектами расчета элементов сооружений, машин и приборов являются стержни, брусья, пластины, оболочки, массивные тела.

Элемент конструкции, работающий на растяжение-сжатие, на-зывают стержнем.

Элемент конструкции, работающий на кручение, принято назы-вать валом.

Элемент конструкции, работающий на изгиб, называют балкой. Элемент конструкции, работающий на устойчивость, называ-

ют стойкой (или подкосом – в фермах и рамных пространственных конструкциях, а у подъемных кранов, у конвейеров, транспортеров, элеваторов в расчетах стойку называют стержнем).

Стержень – это тонкий и длинный элемент конструкции, у кото-рого размеры поперечного сечения малы по сравнению с длиной.

Вал – это деталь, кроме скручивающих моментов (пары сил) воспринимающая изгибающие моменты от сосредоточенных сил и собственного веса.

Балка (брус) – это элемент конструкции удлиненной формы, у которого высота и ширина малы по сравнению с третьим разме-ром (длиной), т.е. L >> b и L >> h (здесь L – длина балки; h – высота поперечного сечения балки).

7

Сечения бруса, нормальные к продольной оси, называются по-перечными сечениями.

По схеме бруса рассчитывают валы часовых механизмов, при-водов, редукторов, балки рамных конструкций и множество других элементов конструкций.

Пластина – это деталь, у которой один из трех размеров (тол-щина) значительно меньше двух других. Пластины могут быть круглыми (точнее цилиндрической формы с весьма малым разме-ром образующей), прямоугольными (в форме параллелепипеда с весьма малым размером толщины), а также иметь другие очерта-ния контура.

Оболочка – это деталь, которая представляет собой тело, ог-раниченное двумя криволинейными поверхностями, близко распо-ложенными друг к другу. По форме оболочки бывают цилиндриче-скими, коническими, сферическими и др.

Массивное тело – это элемент конструкции, у которого все три размера одного порядка.

Основными характеристиками работы элемента конструкции являются параметры, величина которых не должна превышать нор-мативных значений:

1) внешние силы; 2) усилия в сечениях; 3) деформации; 4) перемещения сечений. 1. Силы (нагрузки) – это активные силы, приложенные к рас-

сматриваемой детали, а также реактивные силы, возникающие в подвижных и неподвижных опорах, вызванные активными внешни-ми силами. Реактивные силы противодействуют активным силам и уравновешивают их.

Активные внешние силы делятся на объемные и поверхностные. Объемные силы – это силы, приложенные к каждой элемен-

тарной частичке детали (силы веса, силы инерции и др.). Поверхностные силы – это силы, приложенные к поверхности

детали различным способом. Поверхностные силы подразделяются на сосредоточенные и распределенные.

Сосредоточенная сила F (или P) – это сила, приложенная на площадку, пренебрежимо малую по сравнению с прилегающей по-верхностью детали.

В расчетных схемах элемента конструкции принимают при-ложение сосредоточенной силы в точке.

8

Распределенная сила – сила q, приложенная на площадке, соизмеримой с поверхностью детали в системе СИ, измеряется

в 2 2Н кН,м м

.

Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q по длине бруса (погонная нагрузка, приходящаяся на единицу длины)

в системе СИ измеряется в Н кН,м м

(в системе СГС – в кг Т,см см

).

В расчетах при составлении уравнений равновесия необходимо оп-ределять равнодействующую R(q) распределенной нагрузки, считая ее приложенной в центре тяжести выделенного количества этого вида нагрузки. Она вычисляется как произведение интенсивности на длину бруса: R(q) = qL при q = const. Величина q может быть из-меняющейся по длине бруса (стержня) по различным заданным за-конам.

Внешний изгибающий момент – это внешняя пара сил, плос-кость действия которой проходит через продольную ось балки.

Внешний скручивающий момент вызывается внешними па-рами сил, действующими относительно геометрической оси стерж-ня и лежащими в плоскостях, перпендикулярных оси вала.

2. Усилия в сечениях. Внутренние силы – это усилия, возникающие в структуре ма-

териала тела от воздействия внешних сил. Определяются внутренние силы методом сечений, т.е. деталь

мысленно разрезается плоскостью на две части и одна из них урав-новешивается возникшими противодействующими внутренними усилиями в сечении, зафиксированном назначенной координатой продольной оси. Вторая часть мысленно остается в стороне. Коли-чество сечений зависит от условий задачи. Для рассматриваемой части так же, как для целого элемента, составляются уравнения рав-новесия внешних сил и внутренних усилий по закону статики.

Напряжение – интенсивность внутреннего усилия, приходяще-гося на единицу геометрической характеристики рассматриваемого сечения, например, на единицу площади сечения.

Напряжение в системе СИ измеряется в 2НПа .м

Производные единицы: 2Н1 Пам

; 2Н1 МПамм

;

2кг1 МПа 0,1мм

.

9

3. Деформации. Реальные тела под действием нагрузок или изменения темпе-

ратуры могут деформироваться, т.е. изменять свои форму и размеры. Различают деформации упругие, пластические и остаточ-

ные, возникающие в результате деформирования элементов конст-рукций.

Основные виды простого деформирования: – растяжение и сжатие; – сдвиг (или срез); – кручение; – изгиб. Сочетание основных видов деформирования приводит к слож-

ному виду деформирования элемента, измеряемого линейной или уг-ловой величиной (например при косом изгибе). Результат сложного деформирования определяется методом суперпозиции.

Растяжение или сжатие возникает, например, в случае, ко-гда к стержню приложены силы вдоль его оси. При этом происходит поступательное перемещение поперечных сечений вдоль оси стержня, который в зоне растяжения удлиняется, а в зоне сжатия – укорачивается (в случае одновременного действия противоположно направленных продольных сил разной величины). Изменение пер-воначальной длины стержня L на малую величину, обозначенную ∆L, при растяжении называется абсолютным удлинением, или абсо-лютной деформацией растяжения, при сжатии – абсолютной де-формацией сжатия. Отношение абсолютной деформации растяже-ния (сжатия) ∆L к первоначальной длине L стержня или его участка называется относительным удлинением (укорочением) на длине L или линейной относительной деформацией стержня (или его уча-стка) и обозначается обычно греческой буквой ε:

= LL

.

Сдвиг возникает, когда внешние силы не лежат в одной плос-кости, а расположены в параллельных плоскостях на малом рас-стоянии а и смещают два параллельных плоских сечения одно отно-сительно другого. Величина смещения ∆s называется абсолютным сдвигом.

Отношение абсолютного сдвига к расстоянию a между сме-щающимися параллельными плоскостями называется относитель-ным углом сдвига. Вследствие малости угла γ (тангенса угла γ) мож-но принять

10

tg sа

.

Кручение возникает при действии на стержень – вал внешних сил, образующих момент относительно его продольной оси. Дефор-мация кручения сопровождается вращением поперечных сечений вокруг продольной оси вала относительно друг друга. Угол поворо-та одного сечения относительно другого, находящегося на расстоя-нии L, называют углом закручивания .

Отношение угла закручивания к длине участка вала или к его полной длине L называется относительным углом закручивания, ко-торый имеет формулу

L

.

Изгиб заключается в искривлении оси прямого стержня (балки или вала). Искривление оси балки характеризуется прогибами, т.е. перемещениями центров тяжести сечений относительно ее первона-чальной прямолинейной оси.

4. Перемещения сечений. Перемещения – это изменение положения поверхностных или

внутренних точек материала элемента конструкции при воздействии на них внешних сил. Перемещения возникают при растяжении, сжа-тии, сдвиге, изгибе, кручении. Вычисляются перемещения в резуль-тате предварительного определения реактивных сил и внутренних усилий, возникающих при воздействии внешних нагрузок (или спе-циальных факторов – либо физических, либо экологических).

При изгибе в прямых стержнях перемещения точек, направ-ленные перпендикулярно к начальному положению оси, называются прогибами.

При изгибе, кроме прогибов, происходит второй вид переме-щений – это поворот поперечного сечения стержня на угол θ вокруг его поперечных осей, лежащих в его плоскости, относительно сво-его начального положения.

Основные гипотезы (допущения) 1. Материал детали считается сплошным (без пустот) и одно-

родным. 2. Упругие свойства материала во всех направлениях одина-

ковы, т.е. материал элемента конструкции обладает упругой изо-тропностью.

3. Элемент конструкции считается абсолютно упругим, если после устранения причин, вызывающих деформацию, он полностью

11

восстанавливает свои первоначальные размеры и форму. Это допу-щение справедливо при напряжениях, не превышающих предел уп-ругости у.

4. Деформации материала элемента конструкции в каждой точке прямо пропорциональны напряжениям в этой точке (закон Гука).

5. Закон Гука справедлив лишь при напряжениях в мате-риале, не превышающих предел пропорциональности пц.

6. Деформации малы по сравнению с размерами детали. 7. Результат воздействия на конструкцию системы нагрузок

равен сумме результатов воздействия каждой нагрузки в отдельно-сти (принцип независимости действия сил или принцип суперпо-зиции).

8. Поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза Бернулли).

 Единицы измерений 

Международная система единиц измерения (СИ): Н ньютон, единица силы (1 Н ≈ 0,1019 кг); Па паскаль, единица напряжения и давления (1 паскаль = 1 Н/м 2); МПа дольная единица напряжения и давления (1 МПа = МН/м2 = 1 Н/мм2 ≈ 10,19 кг/см2; 1 МН/мм2 = 106 Н/мм2); Дж джоуль, единица работы, 1 Дж ≈ 1/ 9,81 (кг·м) ≈ 0,1019 (кг·м); Вт ватт; кВт – киловатт − единицы мощности (1 кВт ≈ 101,9 кг·м/с ≈ 1,36 л. с.).

12

Р а з д е л  I. Центральное растяжение  и сжатие  

 Вводная часть 

При решении задач с большой точностью, в особенности со-держащих статическую неопределимость, определение перемеще-ний требует выполнения задачи в двух вариантах.

Один из вариантов рекомендуется решить в обыкновенных дробях, который позволит сравнить промежуточные выкладки рас-чета с результатом по второму варианту с использованием пакета электронных математических программ ПЭВМ с более чем 16 зна-ками после запятой при заранее заданной погрешности и убедиться в точности вычислений.

При растяжении и сжатии в материале стержневых элементов конструкций от действия внешних нагрузок возникают межмолеку-лярные и межатомные силы, вызывающие в направлении продоль-ной оси нормальные к поперечному сечению усилия N и соот-ветствующие пропорционально им нормальные напряжения σ. При действии нагрузки на стержень с переменными сечениями нормаль-ные напряжения следует определять по каждому участку стержня по зависимости

ii

i

NA

.

Из полученных результатов максимальное значение напряже-ния maxσ сравнивают с допускаемым напряжением [] для материала будущей (или проверяемой) детали.

Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид

max или maxmaxN

A .

Допускаемое нормальное напряжение [σ] для рассчитываемого стержня определяется в зависимости от нормативных коэффициен-тов запаса прочности по пределу текучести nт или по временному сопротивлению nв , а также в зависимости от механических свойств материала стержня по пределу текучести или по пределу прочности (по пределу временного сопротивления) как

ттn

или

в

вn

.

13

В примерах данного пособия для расчета стальных элементов конструкций коэффициенты запаса прочности заданы:

– для пластичных материалов по пределу текучести nт = 1,5; – для хрупких – по временному сопротивлению nв = 2,5. Одновременно с нормальными напряжениями σ в стержне

возникают абсолютные продольные ∆Lпр и поперечные ∆Lпоп дефор-мации.

Их отношение к общей длине элемента является соответствен-но относительной продольной и относительной поперечной дефор-мацией:

прпр

L=

L

и попLL

.

Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации ε' к относительной продольной деформации ε называ-ется коэффициентом Пуассона и обозначается греческими буквами μ или ν:

, или

.

Если известны геометрические размеры стержня L, А (здесь А – площадь поперечного сечения стержня) и механическая характери-стика его материала Е (модуль Юнга), то нетрудно вычислить удли-нение стержня от растягивающей силы N по закону Гука:

=L NLEA

.

По закону Гука для элемента, изготовленного из разных мате-риалов и нагруженного несколькими сжимающими и растягиваю-щими силами разной величины на разных расстояниях, полное аб-солютное осевое перемещение сечений стержня вычисляется как сумма абсолютных удлинений по участкам в зависимости от точек приложения сил и разных модулей упругости материалов участков:

1 1.

n ni i

ii ii i

N LL= LE A

Здесь EA называют жесткостью поперечного сечения при рас-тяжении или сжатии.

14

Кроме условий по прочности, к элементу могут быть предъяв-лены условия по жесткости, где критерием служит допускаемая от-носительная деформация. Условие жесткости имеет вид

max . Итак, при растяжении и сжатии – условие прочности max ; – условие жесткости max . В случае многофакторных воздействий на стержень или

стержневую систему при решении задачи применяется принцип су-перпозиции, который позволяет разделить поставленную задачу на независимые части.

Например, в одной из нескольких частей определяются на-пряжения от действия внешней нагрузки независимо от воздействия других факторов. Далее определяются монтажные напряжения от неточности изготовления стержня или элементов системы, в сле-дующей части температурные напряжения от изменения темпера-туры в отдельных элементах системы.

В итоге результаты независимых решений отдельных частей по определению напряжений (или деформаций) можно суммировать алгебраически.

Вопросы для самопроверки  и подготовки к аттестации 

1. Как формулируется закон Гука? 2. Что характеризует модуль упругости материала и какова

его размерность? 3. Что такое предел пропорциональности, предел упругости,

предел текучести, предел прочности материала и каковы их размер-ности?

4. Какое напряжение называется допускаемым? Как оно на-значается для пластичных и хрупких материалов?

5. Как формулируется условие прочности? Назовите три вида расчетов на прочность.

6. Чем отличается абсолютная деформация от относительной при растяжении или сжатии?

7. По какой эпюре можно найти опасное сечение? 8. По какой эпюре можно указать, какие части стержня рабо-

тают на растяжение и какие – на сжатие?

15

9. По какой эпюре можно определить направления перемеще-ний сечений по оси бруса?

10. Каковы цель и план расчета стержня на прочность и жест-кость?

11. Как выбрать размер поперечного сечения стержня из усло-вий прочности и жесткости?

12. Какие задачи называются статически неопределимыми? Как определяется степень статической неопределимости?

13. Какую форму имеет система уравнений перемещений для статически неопределимых стержней?

14. Назовите типы статически неопределимых задач. 15. От каких факторов или воздействий стержень или стерж-

невая система становятся статически неопределимыми? Задача 1. Расчет статически определимого стержня пе

ременного поперечного сечения.  Цель: − определить действующие в стержне (рис. 1.1) нормальные

напряжения σi; − определить полное удлинение ∆L стержня.

Общие исходные данные: – сечение стержня − квадрат со стороной аi; – материал стержня – сталь Ст4; – допускаемое напряжение – [σ] = 160 МПа; – модуль нормальной упругости – Е = 2·105 МПа. Остальные данные для варианта принять из табл. 1.1.

P3P2P1 а4 а 3

а 2

а 1

L3 L4 L2L1

P4

Рис. 1.1. Схема ступенчатого стержня, нагруженного осевыми силами

16

Таблица 1.1 Варианты исходных данных для Рi , аi , Li

Рi аi Li

Вариант

Р1 Р2 Р3 Р4 а1 а2 а3 а4 L 1 L 2 L 3 L 4

1 Р 3Р – Р Р 2а а 2а а L L L L 2 Р 3Р –2Р Р а а 2а 2а 2L L L L 3 Р 3Р –Р 3Р 3а а 3а 3а L 2L L L 4 Р Р –2Р 2Р 4а 2а а а L L 2L L 5 Р –2Р 2Р Р 4а а 2а 2а L L L 2L 6 2Р –3Р Р Р 3а 2а 4а 4а 2L 2L L L 7 2Р –5Р Р 2Р 4а 4а 2а 2а 2L L 2L L 8 Р 2Р Р Р 4а 4а а 2а L L 2L 2L 9 Р 4Р Р 2Р а 3а 2а 2а L L L L 10 Р 2Р Р 2Р 4а 4а 2а 3а L 2L L L 11 Р 3Р Р Р 2а а 2а а L L L L 12 Р Р Р 2Р а а 2а 2а 2L L L L 13 Р 3Р Р Р 3а а 3а 3а L 2L L L 14 2Р 2Р –Р 2Р 4а 2а а а L L 2L L 15 Р 2Р –Р 2Р 4а а 2а 2а L L L 2L 16 Р Р 2Р –3Р 3а 2а 4а 4а 2L 2L L L 17 Р Р 2Р –5Р 4а 4а 2а 2а 2L L 2L L 18 2Р Р Р –2Р 4а 4а а 2а L L 2L 2L 19 2Р Р –Р 2Р а 3а 2а 2а L L L L 20 Р Р –Р 3Р 4а 4а 2а 3а L 2L L L 21 Р 2Р –2Р Р 3а 2а 4а 4а 2L 2L L L 22 2Р –3Р 2Р –Р 4а 4а 2а 2а 2L L 2L L 23 Р –3Р Р –Р 4а 4а а 2а L L 2L 2L 24 Р 2Р Р 2Р а 3а 2а 2а L L L L 25 –Р Р 2Р 3Р 4а 4а 2а 3а L 2L L L 26 Р –Р 2Р 2Р 4а а 2а а L 2L 2L 3L 27 Р 2Р –2Р Р 3а 2а 2а 3а L L 3L 2L 28 Р –Р Р 2Р 4а 2а 3а а 2L L L 3 29 Р 3Р Р –Р 4а 4а а 2а L L 2L 2L 30 –Р 2Р 2Р –Р а 3а 2а 2а 3L 2L L L

План расчета стержня: 1. Вычертить в масштабе расчетную схему. 2. Определить опорную реакцию. 3. Определить зависимость внутренних усилий Ni от внешних

сил методом сечений, составляя уравнение равновесия для каждого участка стержня.

4. Вычислить нормальные силы Ni по участкам и построить их эпюру.

17

5. Вычислить нормальные напряжения σi по участкам, по-строить их эпюру и определить границы участка с наиболее напря-женными сечениями.

6. Проверить соблюдение условия прочности для стержня по допускаемому напряжению [σ].

7. Определить абсолютную продольную деформацию ∆li каж-дого участка стержня. Выразить деформации через внутренние уси-лия по закону Гука.

8. Вычислить величину полного удлинения стержня. Оформить результаты, сделать выводы и дать заключение. Пример расчета. Стержень переменного сечения защемлен одним концом в се-

чении А и нагружен центрально продольными силами Pi. На рис. 1.2 схематично изображен заданный стержень.

Форма всех поперечных сечений стержня – квадрат со сторо-ной аi.

Длины участков по ступеням – Li. Материал стержня – сталь Ст4. Модуль нормальной упругости – Е = 2·105 МПа. Допускаемое напряжение – [σ] = 160 МПа. Исходные данные по номеру варианта из табл. 1.1: Р = 10 кН; а = 10 мм; L = 500 мм;

Р1 = + Р = 10 кН; Р2 = – 5Р = –50 кН; Р3 = + Р = 10 кН; Р4 = + Р = 10 кН;

а1 = 2а = 20 мм; а2 = 4а = 40 мм; а3 = 2а = 20 мм; а4 = а = 10 мм;

L1 = L = 500 мм; L2 = 2L = 100 мм; L3 = L = 500 мм; L4 = 2L = 1000 мм.

Рис. 1.2. Заданная схема ступенчатого стержня, нагруженного осевыми силами

L3L2

P3P2P1

а 4

а 3

а 2

а 1

L1

P4

L4

18

Решение. 1. Вычерчиваем расчетную схему с заданными внешними на-

грузками (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Схема действительных направлений реакции RA и внутренних усилий. Эпюры усилий Ni и напряжений σ i по участкам стержня

I IIIII IV

L1 L2 L3 L4

CB

а 4

Z P3P2 P1

а 3

а 2

а 1

P4 RA

A D E

B

A

N1=20 кН

N2 = 30 кН

СB

A N3 = 20 кН

D СB

A N4 = 10 кН

3020

� �

++Эпюра Ni,

кН 20 10

Эпюра σi,МПа

� �

++

50 18,75

50100

19

В расчетной схеме в центре опорного закрепления стержня в точке А изображаем реакцию опоры RA.

Так как неизвестно направление реакции RA, произвольно ука-зываем его предполагаемое направление.

2. Определяем опорную реакцию в защемлении. Составляем уравнения статики – уравнения равновесия всех

внешних сил: ΣZ = 0; RA + Р1 – Р2 + Р3 + Р4 = 0. (1.1)

Для данного стержня достаточно составить лишь одно уравне-ние статики, из которого находим RA:

ΣZ = 0. RA = – Р1 + Р2 – Р3 – Р4; RA = – Р +5Р – Р – Р = 2Р; RA = 2·10 = 20 кН. Результат вычислений получен со знаком «+», следовательно,

принятое перед расчетом направление реакции RA было выбрано правильно.

3. Определяем внутренние усилия Ni в зависимости от внеш-них сил.

Для определения в любом поперечном сечении стержня внут-ренних усилий разграничиваем его на характерные участки (I, II, III, IV).

Каждый участок имеет свою функцию нормального усилия, зависящего от координаты z сечения и внешних сил соседнего уча-стка, т.е.

1=

ni i

i=N P .

Границами участков являются точки приложения внешних сил A, B, C, D, E. Нумеруем участки (см. рис. 1.3).

Определяем внутренние усилия Ni методом сечений. В преде-лах каждого участка проводим произвольное сечение, которое делит стержень на две части. В центре тяжести сечения изображаем внут-реннее усилие Ni в произвольно предполагаемом направлении. По-лагаем направление положительным, совпадающим с положитель-ным направлением оси Z, а усилие Ni – растягивающим, имеющим знак «+». Рассматриваем равновесие одной из них (в данном приме-ре рассматриваем левые отсеченные части стержня). Записыва- ем уравнения равновесия отсеченных частей стержня по каждому участку:

20

I участок RA + N1 = 0; II участок RA + P1 + N2 = 0; III участок RA + P1 – P2 + N3 = 0; IV участок RA + P1 P2 + P3 + N4 = 0. По уравнениям равновесия составляем выражения внутренне-

го усилия Ni для каждого участка: I участок N1 = – RA ; (1.2) II участок N2 = – RA – P1; (1.3) III участок N3 = – RA – P1 + P2; (1.4) IV участок N4 = – RA – P1 + P2 – P3. (1.5) 4. Вычисляем нормальные усилия Ni и строим их эпюру по

участкам. Из равенств (1.2)–(1.5) имеем:

N1 = – 20 кН (сжатие). N2 = – 30 кН (сжатие). N3 = + 20 кН (растяжение). N4 = + 10 кН (растяжение).

5. Определяем нормальные напряжения σi в сечениях стержня по участкам, учитывая, что площадь квадратного поперечного сече-ния 2i iA a ; по условию а = 10 мм. Напряжения вычисляем в МПа:

I участок

11 2

1

20 000 50 МПа2 10

NA

(сжатие).

II участок

22 2

2

30 000 18 75МПа4 10

N ,A

(сжатие).

III участок

33 2

3

20000 50 МПа2 10

NA

(растяжение).

IV участок 44 24

10000 100 МПа10

NA

(растяжение).

Строим эпюру нормальных сил Ni и эпюру нормальных на-пряжений σi по участкам (см. рис. 1.3).

По эпюре нормальных напряжений σi видно, что наиболее на-пряженным является IV участок стержня.

6. Проверяем прочность стержня по допускаемому напряже-нию: |σmax| ≤ [σ].

21

Так как |σmax| = 100 < [σ] = 160 МПа, условие прочности вы-полняется.

7. Определяем абсолютные деформации участков стержня.

По закону Гука i iii

N LL =EA

или i iiLL =

E

,

тогда

21 11 550 500 12 5 102 10

LL ,E

мм (укорочение);

22 22 5

18 75 1000 9 375 102 10

L ,L ,E

мм (укорочение);

23 33 5

50 500 12,5 102 10

LLE

мм (удлинение);

24 44 5

100 1000 50,0 10 мм2 10

LLE

(удлинение).

8. Вычисляем величину полного удлинения стержня. Из условий закрепления стержня увеличение его общей длины

на величину δ возможно (см. рис. 1.2), так как нет ограничений на перемещение вдоль оси Z какой-либо точки, в том числе возможно перемещение и конца стержня в точке Е.

Полное удлинение стержня выражается алгебраической сум-мой абсолютных деформаций его участков и равно

n

iL1

или δ = ∆L1 + ∆L2 +∆L3 + ∆L4,

или δ = (– 12,5 – 9,375 + 12,5 + 50,0) ·10–2 = = 40,625 ·10–2 мм = 0,41 мм. Результаты. Определены внутренние продольные нормальные усилия N и

соответствующие им нормальные напряжения σ в характерных по-перечных сечениях стержня.

Построены эпюры нормальных усилий N и напряжений σ. Определено полное удлинение стержня δ = 0,41 мм. Вывод. Наиболее нагруженным является IV участок стержня. Все се-

чения этого участка имеют одинаковую величину максимального нормального напряжения, равную 100 МПа.

22

Заключение. Действующие нормальные напряжения в любом сечении

стержня не превышают допускаемого напряжения, т.е. условие прочности стержня выполняется.

Алгоритм решения задачи  с помощью ПЭВМ 

 

Работа в среде Microsoft Office Excel. 1. Имеем расчетную схему и исходные данные. 2. Вводим в электронную программу исходные данные

(см. табл. 1.1). 3. Составляем уравнение статики ΣZ = 0 для определения ре-

акции RA: RA + ΣPi = 0.

4. Вычисляем сумму всех активных сил: ΣPi = +P1 – P2 + P3 + P4 = 20 кН.

5. Вычисляем RA = –ΣPi = 20 кН.

Знак «+» указывает на правильность выбранного направления реакции RA.

6. Определяем значения величин внутренних усилий Ni мето-дом сечения по участкам стержня. Составляем зависимости Ni от RA и Pi:

Ni = RA + ΣPi. 7. Вычисляем внутренние усилия по участкам стержня:

N1 = –RA; N2 = –RA – P1; N3 = –RA – P1+ P2; N4 = –RA – P1+ P2 – P3.

8. Вычисляем площади сечений по участкам стержня: Ai = (ai)2: A1= (a1)2;

… A4 = (a4)2.

9. Вычисляем нормальные напряжения σi в сечениях участков стержня по зависимости

ii

i

NA

.

23

10. Вычисляем абсолютную деформацию каждого участка стержня:

( )i i

ii

NEA

LL или i iiiALL .

11. Вычисляем полную осевую абсолютную деформацию стержня:

Δ = Σ(ΔLi). По результатам вычислений строим эпюры Ni и σi. Оформляем выводы и заключение. Представим результаты вычислений таблицами листинга.

24

Задача 1. Расчет статически определимого стреж

ня переменного поперечного сечения  

25

Задача 2. Расчет и деформационная проверка статически неопределимого  стержня постоянного поперечного  сечения. 

Цель: раскрыть статическую неопределимость при определении

величины лишних реактивных сил; определить величины неизвестных силовых факторов; подтвердить деформационной проверкой правильность вы-

числений выполненного расчета. Данные для задачи принять по табл. 2.1 и рис. 2.1. Решение задачи выполнить в алгебраическом виде, в символи-

ке Р, L, N, ∆, E, A без числовых значений.

План решения с использованием основной и эквивалент-ной систем:

1. Вычертить в масштабе расчетную схему с указанием задан-ных и реактивных сил и границ участков.

2. Составить уравнение статики для заданной системы сил. 3. Определить степень статической неопределимости стержня. 4. Выбрать основную и эквивалентную системы для составле-

ния недостающего уравнения. 5. Составить по эквивалентной системе деформационное

уравнение. 6. Составить систему из двух уравнений: статического и де-

формационного. 7. Раскрыть статическую неопределимость стержня, решив

систему двух уравнений. 8. Определить внутренние нормальные усилия Ni стержня. 9. Построить эпюру Ni. 10. Определить абсолютные осевые деформации ΔL по участ-

кам стержня. 11. Построить эпюру ΔL.

Рис. 2.1. Заданная схема стержня постоянного поперечного сечения, нагруженного осевыми силами

P3P2P1

L1 L2 L4 L3

26

Оформить результаты, сделать выводы и дать заключение. Таблица 2.1

Варианты геометрических и силовых параметров стержня Вариант

Ном

ер

схемы

по

рисунку

L 1 L 2 L 3 L 4 P1 P2 P3

1 1 L 1,8L 0,2L 0,4L –2 P –2P –2P 2 15 1,2L 1,6L 0,4L 0,6L P –P 2P 3 16 1,4L 1,4L 0,6L 0,8L –2P P 3P 4 17 0,6L 1,2L 0,8L L –P –P 2P 5 10 1,8L L L 2,0L –P P 3P 6 14 2,0L 1,2L 1,2L L –2P 2P 3P 7 23 1,6L 0,4L 1,4L 1,6L P P –P 8 13 2,4L 0,6L 1,6L 1,6L P P P 9 18 2,0L 0,8L 0,8L 2,0L P –P 4P

10 19 2,0L L 2,0L 1,2L P P 3P 11 20 L 1,8L L L –3P –3P –3P 12 26 1,2L 1,6L 1,2L 1,2L 3P –P 2P 13 8 1,4L 1,4L 1,4L 1,4L –3P P 3P 14 25 1,6L 1,2L 0,6L 1,6L –P –3P 2P 15 2 0,8L L 1,8L 0,8L –P 4P 3P 16 28 2,0L 1,2L 2,0L 2,0L –2P 3P 3P 17 4 L 0,4L L L 3P P –P 18 27 1,2L 0,6L 1,2L 1,2L P 3P P 19 22 1,4L 0,8L 1,4L 1,4L 3P –P 4P 20 11 0,6L 1,8L 1,6L 0,6L 4P P 3P 21 30 1,8L 1,6L 0,8L 1,8L –4P –4P –3P 22 5 2,0L 1,4L 2,0L 2,0L 4P –P 2P 23 7 1,6L 1,2L L 1,6L –4P P 4P 24 29 2,4L L 1,2L 2,4L –P –4P 2P 25 6 2,0L 1,2L 1,4L 2,0L –P 2P 3P 26 12 2,0L 0,4L 0,6L 2,0L –2P 4P 4P 27 9 L 0,6L 1,8L L 4P P –P 28 3 1,6L 0,8L 2,0L 1,6L P 4P P 29 24 2,4L 1,4L 1,6L 2,4L 3P –P 2P 30 21 2,0L 1,2L 2,4L 2,0L 2P P 3P

27

Пример расчета. Статически неопределимый стержень постоянного поперечно-

го сечения защемлен обоими концами и нагружен продольными осевыми силами Рi (см. рис. 2.1). Раскрыть статическую неопреде-лимость стержня. Определить внутренние усилия в поперечных се-чениях стержня. Выполнить деформационную проверку правильно-сти вычислений при решении задачи.

Решение задачи оформить в алгебраическом виде, используя символы параметров.

Исходные данные – по номеру варианта из табл. 2.1 и по рис. 2.1.

Внешние осевые силы: Р1 = – 2Р, Р2 = Р, Р3 = Р. Расстояния между точками приложения сил: L1 = L2 = L3 =

= L4 = L. Модуль упругости материала стержня – Е. Площадь поперечного сечения стержня – A. Требуется: раскрыть статическую неопределимость задачи с помощью

деформационного уравнения; построить эпюру нормальных усилий Ni; построить эпюру линейных перемещений ΔLi поперечных

сечений. Решение. 1. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 2.2).

Предварительно на схеме в местах закрепления показываем неизвестные реакции RA и RE с произвольными направлениями.

Определяем границы характерных участков AB, BC, CD, DE.

Рис. 2.2. Расчетная схема стержня, нагруженного осевыми активными и реактивными силами

Z

L3

P3 P2P1

L1 L2 L4

RА

А E

RE

I II III IV

28

2. Составляем уравнения равновесия всех внешних активных и реактивных сил (уравнения статики: ΣZ = 0, X = 0, Y = 0):

ΣZ = 0. RA – Р1 + Р2 + Р3 + RE = 0. Подставив значения Pi по заданию, получим уравнение стати-

ки в виде RA + RE = 0. (2.1)

Получено силовое тождество RA = RE. Относительно осей X и Y дополнительные уравнения статики

обращаются в пустые тождества 0 ≡ 0, так как отсутствуют силы, параллельные этим поперечным осям.

Имеем одно уравнение (nу) с двумя неизвестными (nн). Требуются дополнительные уравнения для раскрытия статиче-

ской неопределимости, количество которых определяется степенью неопределимости.

3. Определяем степень статической неопределимости. Степень статической неопределимости (nССН) определяется как

разность между количеством неизвестных и количеством уравне-ний:

nССН = nн – nу; nССН = 2 – 1 = 1. Следовательно, система «стержень–опоры» один раз статиче-

ски неопределима. Поэтому достаточно составить еще одно уравне-ние, выражающее взаимосвязь силовых факторов с деформациями материала.

4. Составляем деформационное уравнение. Деформационное уравнение возможно составить, применив

две системы: основную − конструктивную (рис. 2.3) и эквивалент-ную − грузовую (рис. 2.4).

Основная система (ОС) получается из заданной путем измене-ния ее конструкции, т.е. мнимого освобождения ее от лишней связи (от опоры) и внешних сил.

Принимаем за лишнюю связь защемление в опоре E.

Рис. 2.3. Основная система

Z

4L

RА

А E

29

Загрузив основную систему всеми внешними силами, получим эквивалентную систему (ЭС) при условии, если в сечении E прило-жим фиктивную неизвестную силу Х (см. рис. 2.4), величина кото-рой будет удовлетворять условию эквивалентности расчетной схемы на рис. 2.2.

Нагружаем основную систему заданными силами и наклады-

ваем следующее условие ее эквивалентности заданной системе сил: перемещение сечения E в заданной и эквивалентной системах должно быть одинаковым, т. е. E = 0.

Таким образом, создано деформационное уравнение E = 0. Представим его в развернутом виде. Перемещение ∆E сечения E, вызванное абсолютными дефор-

мациями – удлинениями и (или) укорочениями участков стержня – выразим через приложенные нагрузки, применяя принцип незави-симости действия сил:

E = E(X) + 1

( )n

Е iP = 0, (2.2)

где E(Х) – перемещение сечения E от неизвестной силы Х ; E(Рi) – перемещение сечения E от каждой из известных сил Р1, Р2, Р3.

Таким образом, составлено уравнение совместности деформа-ций в физической форме.

Нагрузки, вызывающие сжатие, считаем отрицательными, а направление их действия – противоположным положительному на-правлению оси Z.

Выразим деформации в уравнении (2.2) по закону Гука в сле-дующем виде:

i ii

i

PLLEA

.

Рис. 2.4. Эквивалентная система стержня, нагруженного осевыми активными и реактивными силами

Z

L3

P P 2P

L1 L2 L4

RА

А E

Х

B C D

30

Деформации по закону Гука в зависимости от действия каждой силы, от геометрических размеров и модуля упругости материала стержня имеют следующие выражения:

1 11EР LРEA

; (2.3)

2 1 22EР L L

РEA

; (2.4)

3 1 2 33EР L L L

РEA

; (2.5)

1 2 3 4 ,EX L L L L

XEA

(2.6)

где EA – жесткость стержня при растяжении (сжатии). Подставляя выражения (2.3)–(2.6) в деформационное уравне-

ние (2.2) и заменяя силовые и геометрические параметры на данные варианта задачи в символах, в результате преобразований получим:

2 2 3 4 0EРL Р L Р L X L+ +

EA EA EA EA . (2.7)

Преобразуем уравнение (2.7), умножив каждую его часть на жесткость стержня EA.

Получим: – PL + 2PL + 3PL – X4L = 0 или 3P–4X = 0. (2.7а)

Так как X = RE, то РRE 43

= , т.е. найдено лишнее неизвестное.

Следовательно, статическая неопределимость раскрыта. 5. Решаем совместно уравнения (2.1) и (2.7а) для определения

второй неизвестной силы – реакции RA: 0;

3 4 0.A ER + RP X

С помощью деформационного уравнения (2.7а) получено: 34E

R Р .

Из уравнения статики (2.1) имеем 34А

R Р .

Оба значения реакций со знаком «+» указывают на правиль-ность принятого перед расчетом предварительного направления ре-акций.

31

Таким образом, все внешние силы стали известными, реакции найдены.

6. Определяем внутренние усилия Ni методом сечения. В данном примере рассматриваются левые отсеченные части.

На I участке N1 = – RA = PRA 43

.

На II участке N2 = – RA + 2Р = PPP 452

43

.

На III участке N3 = – RA + 2Р – Р = PPPP 412

43

.

На IV участке N4 = – RA + 2Р – Р – Р =3 24

P P P P 3 .4

P

Строим эпюры нормальных усилий (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Эпюры внутренних нормальных усилий Ni и перемещений Δi

EAPL

43

EAPL

42

Эпюра ∆i

Р43

Р45

Р43

Р41

Эпюра Ni

+

– –

Z

L3L1 L2 L4

RА

А E

Х

CB D

P3P2P1

I II III IV

3PL4EA

32

7. Определяем перемещения граничных сечений А, B, C, D, E. Перемещение конца какого-либо участка равно сумме дефор-

маций предыдущих участков и его абсолютной деформации:

1 1.

ni i

i ii

N LEA

Деформация сжатия принимается с отрицательным знаком. Перемещение сечения А ∆А = 0.

Перемещение сечения В ∆В = ∆А + EALN 11 = –

EAРL

43

.

Перемещение сечения С ∆С = ∆В + EALN 22 = –

EAPL

43

+EAPL

45

= EAPL

42 .

Перемещение сечения D ∆D = ∆С + EALN 33 =

EAPL

42

+ EAPL

4 =

EAPL

43

.

Перемещение сечения E ∆E = ∆D + EALN 44 =

EAPL

43

– EAPL

43 = 0.

Строим эпюру в символике перемещений Δi, используя произ-

ведение числового коэффициента на дробь EAPL (см. рис. 2.5).

Результаты. Составлены уравнение статики и деформационное уравнение. С помощью основной и эквивалентной систем раскрыта ста-

тическая неопределимость стержня. Определены все неизвестные внешние силы. Определены значения внутренних нормальных сил. Определены осевые продольные деформации участков стержня. Вывод. На основе полученных выражений осевых деформаций вы-

полнена деформационная проверка правильности вычислений рас-чета задачи.

Заключение. Построение эпюры перемещений ∆ является деформационной

проверкой и подтверждением правильности расчета. Равенство нулю перемещения концевого сечения ∆Е показыва-

ет, что статическая неопределимость раскрыта верно. Далее представим листинг вычислений расчета задачи.

33

Принято

Li =

L =

con

st, A

i = A

= c

onst

, E =

con

st; следовательно

, жесткость

стерж

ня E

A =

cons

t.

Задача 2. Расчет и деформационная проверка статически определимого стреж

ня постоянного по

перечного сечения  

34

Задача 3. Расчет и деформационная проверка статически неопределимого стержня переменного поперечного сечения. 

Цель: раскрыть статическую неопределимость стержня (рис. 3.1)

для определения внешних сил и внутренних усилий; из условия прочности и жесткости подобрать безопасные

диаметры жестко защемленного стержня переменного сечения, на-груженного сосредоточенными силами;

проверить жесткость стержня.

Общие исходные данные. Данные для выполнения задачи взять из табл. 3.1 и 3.2.

Таблица 3.1 Варианты исходных данных для Рi и αi1

Р1 Р2 Р3 α2 α3 α4

Вариант

кН – 1 10 –6 5 0,5 1,3 1,7 2 8 7 5 0,4 0,9 1,2 3 5 11 –8 1,0 1,0 1,2

1 Рi – внешняя осевая сосредоточенная сила; α – отношение диаметра

стержня на рассматриваемом участке к диаметру стержня первого участка, αi = di / d1.

Рис. 3.1. Схема стержня переменного сечения, жестко защемленного по концам

Z P3P2

P1

l3 l4 l2 l1

d 4

d 2

d 1

d 3

35

Окончание табл. 3.1

Р1 Р2 Р3 α2 α3 α4 Вариант

кН – 4 10 –5 5 0,5 1,5 2,0 5 3 3 7 1,5 1,5 1,0 6 6 4 12 1,2 1,0 1,0 7 10 7 –5 1,3 0,8 1,0 8 8 6 6 0,6 0,6 1,5 9 10 –5 5 0,5 0,8 0,7

10 8 10 5 0,6 1,0 1,0 11 6 –3 11 1,5 1,2 1,0 12 5 –1 –10 0,5 0,5 1,0 13 12 –8 –2 1,0 1,5 1,3 14 2 6 2 1,2 0,5 1,5 15 3 3 –10 1,5 0,5 0,7 16 –7 –2 11 1,0 1,0 1,5 17 5 –12 –5 1,2 1,5 0,5 18 –5 –2 –12 0,8 0,4 1,5 19 10 5 –5 0,5 1,5 2,0 20 3 0 –10 2,0 0,8 0,5 21 5 –12 8 1,5 1,0 0,5 22 4 –3 –12 0,8 0,5 1,2 23 3 0 –10 1,0 1,5 0,8 24 –4 3 12 0,5 0,5 1,2 25 –9 12 –11 1,2 1,0 1,0 26 10 –5 –5 0,5 0,7 1,3 27 10 5 –5 0,5 0,9 0,7 28 5 0 12 1,0 0,5 0,5 29 3 0 –15 1,5 0,8 0,5 30 10 –5 –5 0,5 1,5 0,6

Таблица 3.2

Варианты данных: длины участков стержня li; материал стержня и допускаемая относительная деформация [εi]

l1 l2 l3 l4

Вариант

м

Материал стержня

Марка материала [εi]

1 0,7 0,5 0,3 0,5 Бронза БрА5 4·10–4

2 0,5 0,4 0,5 0,5 Сталь Ст3 3·10–4 3 0,6 0,8 0,4 0,5 Латунь ЛС59-1 2·10–4 4 0,5 0,3 0,6 0,5 Сталь Ст5 4·10–4

36

Окончание табл. 3.2

l1 l2 l3 l4 Вариант

м

Материал стержня

Марка материала [εi]

5 0,2 0,3 0,3 0,4 Бронза КМц3-1 3·10–4 6 0,7 0,2 0,3 0,5 Сталь 20 2·10–4 7 0,5 0,5 0, 0,4 Латунь Л68 1·10–4 8 0,4 0,6 0,2 0,3 АЛ13 3·10–4 9 0,6 0,3 0,6 0,3

Алюминиевый сплав АЛ13 2·10–4

10 0,4 0,8 0,6 0,2 Сталь Ст4 4·10–4 11 0,8 0,4 0,6 0,6 Сталь 40Х 3·10–4 12 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь 30 3·10–4 13 0,7 0,2 0,3 0,5 Бронза КМц3 4·10–4

14 0,5 0,5 0, 0,4 Алюминиевый сплав Д16 2·10–4

15 0,4 0,6 0,2 0,3 Латунь Л68 1·10–4 16 0,6 0,3 0,6 0,3 Сталь Ст3 3·10–4

17 0,4 0,8 0,6 0,2 Алюминиевый сплав АЛ13 2·10–4

18 0,8 0,4 0,6 0,6 Сталь Ст5 4·10–4 19 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь 30 3·10–4

20 0,6 0,8 0,4 0,5 Алюминиевый сплав Д16 2·10–4

21 0,5 0,3 0,6 0,5 Бронза БрА5 4·10–4 22 0,2 0,3 0,3 0,4 Сталь 20 2·10–4 23 0,7 0,2 0,3 0,5 Латунь ЛС59-1 24·10–4 24 0,5 0,5 0, 0,4 Сталь Ст5 4·10–4 25 0,4 0,6 0,2 0,3 Бронза КМц3-1 3·10–4 26 0,6 0,3 0,6 0,3 Сталь 20 2·10–4 27 0,4 0,8 0,6 0,2 Латунь Л68 4·10–4

28 0,8 0,4 0,6 0,6 Алюминиевый сплав АЛ13 2·10–4

29 0,2 0,4 0,6 0,7 Сталь Ст5 4·10–4 30 0,5 0,3 0,6 0,5 Сталь 30 3·10–4

П р и м е ч а н и е. Физико-механические характеристики представлены

в прил. 1. Отношения между диаметрами поперечных сечений стержня

на участках и соответствующие площади поперечных сечений опре-деляются по зависимостям:

37

1

ii

dd

и 21i iA A ,

где i = 1, 2, 3, 4. Коэффициенты запаса прочности в расчетах принять: тn = 1,5

(для пластичных материалов); вn = 2,5 (для хрупких материалов). План расчета стержня. 1. Вычертить в масштабе расчетную схему с указанием актив-

ных и реактивных внешних сил. 2. Составить силовое уравнение статики. Определить степень

статической неопределимости (ССН). 3. Составить зависимости внутренних усилий от внешних сил

по участкам. 4. Составить деформационное уравнение. 5. Раскрыть статическую неопределимость, решив систему

двух уравнений – статики и деформации. 6. Вычислить нормальные силы Ni и построить их эпюру. 7. Выполнить деформационную проверку правильности вы-

числений. 8. Определить диаметры стержня, удовлетворяющие условию

прочности. 9. Вычислить площадь Ai поперечного сечения на каждом

участке стержня. 10. Определить напряжения σi по участкам и построить их

эпюру. 11. Определить величину продольной деформации ∆li на каж-

дом участке. 12. Определить перемещения сечений на границах участков и

построить эпюру перемещений. Оформить результаты, сделать выводы и дать заключение. Пример расчета.

Стержень переменного поперечного сечения защемлен обоими концами в точках А и Е и нагружен продольными осевыми силами.

Исходные данные приняты по номеру варианта из табл. 3.1 и 3.2 и по рис. 3.1.

Дано: Р1 = 4 кН; Р2 = 6 кН; Р3 = 12 кН;

1 = 1; 2 = 1,2; 3 = 1; 4 = 1;

l1 = 0,5 м; l2 = 0,3 м; l3 = 0,6 м; l4 = 0,5 м.

т = 260 МПа, в = 500 МПа, Е =2 ·105 МПа, [ε] = 4 ·10–4.

38

Принимаем коэффициент запаса прочности: – по пределу текучести nт = 1,5; – по временному сопротивлению nв = 2,5. Требуется из условия прочности и жесткости подобрать безо-

пасные диаметры жестко защемленного стержня переменного сече-ния, нагруженного сосредоточенными силами.

План расчета стержня: 1. Вычерчиваем расчетную схему (рис. 3.2).

Под действием внешних сил Pi в местах закрепления стержня возникают реакции. На расчетной схеме (см. рис. 3.2) показываем условно замену опорных закреплений стержня в точках А и Е реак-циями опор RA и RE.

На схеме указываем предполагаемое направление реакций.

Z

P3 P2 P1

d 4

d 3

d 2

d 1

0,5 м 0,3 м 0,6 м 0,5 м

RЕ RA

I IIII IV

Е DCB А

N1 RA

N3RA Р2

Р1

N2 RA

Р1

N4RA Р3Р2

Р1

Рис. 3.2. Расчетная схема стержня и направления внутренних усилий Ni