Т о м XXX

А К У С Т И Ч Е С К И Й Ж У Р Н А Л1984 В ы п . 3

НОРМАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ ТВЕРДЫХ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНЫХ

Рассматривается возможность применения матричпо-импедансного метода к расчету характеристик твердых слоисто-неоднородных волно­водов, инерционные и жесткостные параметры которых являются кусоч­но-непрерывными функциями поперечной координаты.

Представление упругих колебаний твердого однородного слоя в виде нормальных волн хорошо известно и достаточно полно изучено [1]. Неод­нократно в литературе описывались собственные функции и собственные значения (волновые числа) такого слоя как волновода, по которому могут распространяться упругие волны Лэмба и волны сдвигового типа. Доста­точно широко представлены также задачи возбуждения этих волн поверх­ностными напряжениями и объемными силами, заданным*! в поперечном сечении такого волновода [2—4].

Большой практический интерес представляют твердые волноводы, у которых инерционные и жесткостные параметры изменяются по толщи­не волновода; такие волноводы принято пазывать слоисто-неоднородными. Поскольку процесс распространения упругих колебаний в них описывается сложной системой дифференциальных уравнений с переменными коэффи­циентами, до сих пор, насколько нам известно, не получено ни одного ана­литического решения, описывающего нормальные волны такого волновода. В связи с этим большое значение приобретают численные методы реше­ния подобных задач. Одним из таких методов является, в частности, ме­тод переходных матриц [5], который впоследствии был несколько усовер­шенствован путем введения в рассмотрение величин, аналогичных акусти­ческим импедансам [6]. Следует подчеркнуть, однако, что упомянутые методы пригодны практически только для волноводов, состоящих из ко­нечного числа слоев с постоянными параметрами, т. е. упругие и жесткост­ные параметры таких волноводов являются кусочно-постоянными функ­циями поперечной координаты (отсчитываемой по толщине волновода).

В ряде случаев, однако, такая аппроксимация свойств реального волно­вода может оказаться неудовлетворительной и матричный метод для та­ких случаев оказывается пе применимым. В настоящей работе описыва­ется численный метод расчета характеристик нормальных волн твердых слоисто-неоднородных волноводов, механические параметры которых яв­ляются кусочно-непрерывными функциями поперечной координаты. Этот метод, основанный на введении в рассмотрение импедапсных величин, под­чиняющихся системе нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, был ранее использовап для расчета акустических характеристик упругой слоисто-неоднородной среды [7], а также для решения некото­рых прямых и обратных задач об изгибных колебаниях неоднородных стержней и пластин 8—10] и является разновидностью метода дифферен­циальной прогонки И ]. Формализм метода, некоторые результаты его применения к слоисто-неоднородным волноводам и библиографию, относя­щуюся к его применению в других областях физики, можпо найти в ра­боте [12].

Рассмотрим слоисто-неоднородный упругий слой толщины 2ft, пара­метры которого изменяются по координате х. Направление оси у выберем так, чтобы смещения в слое лежали в плоскости ху. В этом случае урав­нения для гармонического во времени (е~ии1) движения имеют вид

ВОЛНОВОДОВ

Т ю т екин В . В.

ду+ + Р (*) о)2ну=0, (1)ах

373

где р (ж) — плотность, с** и оии — нормальные, a oXf/ — тангенциальная со­ставляющие тензора напряжений, их и иу — проекции вектора смещения на оси координат. Последние связаны между собой дифференциальными соотношениями, выражающими закон Гука:

/ Л . п ч д и * , л Охх= (^+2ц) - — + к — -ох о у J. о„„=(А,+2 ц)

диу дихду Л дх

Здесь Я (ж) и (i(i) - первый и второй коэффициенты Лямэ. Как было ука- за но выше, предполагается, что р, X и р являются кусочно-непрерывными функциями координаты х. В качестве граничных условий примем равен­ство нулю на поверхностях слоя x = ± h составляющих тензора напряже­ний охх=оху=0.

Предполагая, что по направлению оси у распространяются упругие волны, применим к системам (1) и (2) преобразование Фурье по коорди­нате у и введем обозначения

Г*=(2я ) - ,,! J o,xe-iky dy\— оо

« с©

Т,,= (2л) ~ ' к j auye~ikv dy; т = (2л) - , / г j oxye~ihv dy— <*> —00

iv= (2л) - ,,г J uve 1kv dy,

где к — спектральный параметр, являющийся неизвестным волновым чис­

лом. Введем в рассмотрение векторы-столбцы Т = ̂ ̂ и и = ( ^ ’

с помощью которых системы (1) и (2), исключая ТУ) можно записать в матричной форме (штрих означает дифференцирование по х ) :

T '+ S T + A i= 0 , (3)u'+A T+()ti=0, (4>

где S, Р, Q, и Л — квадратные матрицы 2X2:

Здесь Cx=(A,-^2^л)“,, Сц= р г \ Е1=4р(Х +ц)/(Я +2ц). Граничные условия записываются в виде Т (± к ) =0.

Введем далее матрицу упругих импедансов 1 Z=\\ztj\\, задающую линей­ную связь между векторами обобщенной силы и смещений

T=Zu. (5)Дифференцируя равенство (5) и используя уравнение (4), имеем

r=Z'u+ZAT+Z<?u. (6)Подставляя соотношение (6) в уравнение (3), используя равенство (5) и выпося и за скобки, получим: (Z'-bZAZ+5Z+Z()-f-P)u=0. Этому урав­нению при и^=0 можно удовлетворить если па матрицу Z наложить ус­ловие

Z,+ZAZ+5Z-bZ(?+P=0, (7>

1 В некоторых работах эта матрица называется матрице!! динамических жестко­стей; элементы матрицы упругих импедансов, введенные соотношением (5), отли­чаются от акустического импеданса множителем (—гео).

являющееся матричным нелинейным уравнением первого порядка, экви­валентным системе четырех нелинейных дифференциальных уравнений. Отметим, что в акустическом случае уравнение (7) является известным уравнением Риккати для акустического импеданса. Для однозначного ре­шения уравнения (7) необходимо задать начальные значения, например, при x = —h, и решить, таким образом, задачу Коши. С использованием ра­венства (5) это дает Z (—ft)u(—fe)=0. Поскольку u(-h)=£0 и является произвольной величиной, то начальные значения для Z можно взять в виде

М - Л ) - 0, iy 7=1, 2. (8)При решении уравнения (7) с начальными значениями (8) может ока­

заться, что начиная с некоторых значений х = х 0 величины Zij принимают чрезвычайно большие значения, что соответствует близости х0 к узлу смещения. В этом случае необходимо ввести матрицу упругих проводи­мостей G=||g<j||, дающую линейную связь между вектором смещений и век­тором обобщенных напряжений

u=GT (9)и связанную с матрицей Z соотношениями G=Z~i> ZG=E, где Е — еди­ничная матрица, Д2ДС=1, Дг и Дс - детерминанты соответствующих мат­риц. Действуя аналогично изложенному выше, получим матричное урав­нение для G (при условии Т ^О ):

G '-G P G -Q G -G S -Л =0. (10)Начальные значения для gij могут быть определены в любой точке xt< x0 из соотношений г^/Д*, где хц — алгебраическое дополнение элемен­та Zn. Если в процессе решения уравнения (10) возникает та же ситуа­ция, т. е., начиная с некоторой точки х0' значения ga->■«>, необходимо обратпо перейти к решению уравнения (7), а в качестве начального значе­ния для Zn можно взять Zn— ga/Д0 в точке х2< х0'. Отметим, что при нали­чии потерь в системе, чему соответствуют комплексные значения zijt не­обходимость в переходе к величинам G отпадает, так как в этом случае решение уравнения (7) остается всюду регулярным. В случае некомп­лексных z^ может быть применен также метод [11], состоящий в исполь­зовании так называемого преобразования Кэли и получения матричпого дифференциального уравнения первого порядка относительно некоторой комплекснозначной матрицы, решение которого также является всюду ре­гулярным. Однако в этом случае, как и в случае комплексных z ijr число одновременно решаемых дифференциальных уравнений возрастает вдвое (шесть вместо трех).

Решение уравнений (7) и (10) можпо проводить известными числен­ными методами (например, Рунге — Кутта) с использованием стандартных программ ЭВМ. При этом значение со можно считать заданным, а значе­ние к — неизвестным. Как и в случае однородного волновода, последнее можпо определить из граничного условия, в данном случае при x=h. По­скольку T(ft)=Z(cD, к , ft)u(A)=0, то это последнее уравнение будет вы­полнено, если

Д*(со, /с, h)= 0. (И )

Уравнение (11) является характеристическим уравнением для определе­ния волнового числа к. Алгоритм расчета, таким образом, заключается в решении уравнений (7) и (10) для различных значений к и определении такого к (папример, методом деления интервала пополам), при котором выполняется равенство (И ). Изменяя значения о, можно рассчитать дис­персионные характеристики различных нормальных волн волновода fe„(co), где п — номер волны.

Для определения собственных форм колебаний, т. е. распределения смещений или напряжений по сечению волновода, используем уравнения(3) и (4), а также уже пайденпые значения Z(x) и G(x). Подставляя последние в соотношения (5) и (10), а те в свою очередь в уравнения (3)

375

и (4), получим дифференциальные уравнения первого порядка для век­торов Т и и:

T'+(*S+PG)T=0, (12)и '— ( Q - \ - \Z ) и = 0 . (13)

В соответствие с общим принципом метода прогонки интегрирование уравнений (12) и (13) необходимо проводить в направлении, противопо­ложном тому, которое было принято при интегрировании уравнений (7) и (10), т. е. в направлении от к до — к . Вследствие этого необходимо за­дать начальные значения Т (й ) или и (Л). Поскольку верхняя граница волновода свободна от напряжений, то для решения уравнения (12) мож­но использовать начальное условие Т(Л)=0. Однако обычно собственные формы колебаний выражают в терминах смещений и, используя то же на­чальное условие, будем иметь

Z n ( h ) v ( h ) +z12(h ) w (h ) =0, z 2l ( k ) v (h ) + z 2 2(h ) w (h ) =0, (14)где Z i i ( h ) — решение уравнения (7) при х=Л, a v ( h ) и w ( h ) — амплитуды

компонент смещения. Из системы (14) следуют соотношенияv ( k ) / w ( k ) = * - z l 2 ( k ) / z u { k ) = - z 2 2 ( h ) / z 2 l ( k ) . (15)

Поэтому при решении задачи Коши уравнения (13) с целью определе­ния собственных форм колебаний iT(x) в качестве начальных условий мо­гут быть взяты следующие:

v ° ( h ) = - z i 2 { h ) / z l i ( h ) ; w ° ( h ) = i . (16)При этом в качестве параметра /с, входящего в уравнения и начальные условия, необходимо взять решение уравнения (И ), т. е. к = к п . Здесь, как и в случае решения уравнений (7) и (10), может возникнуть необходи­мость переходить от решения уравнения (13) (при z,•>->-«>) к решению уравнения (12) и обратно (при При этом новые начальные усло­вия определяются из соотношения (5) в первом случае и из соотноше­ния (9) — во втором.

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о возбуждении нормаль­ных волн напряжениями о^Ч*/) и оху°{у), заданными на поверхности x = h и сосредоточенными вблизи прямой у = 0. Введем обозначения

оо оо

2 V = (2я)-* J dy, т ° = ( 2 я ) ~ ' Л J оху> { у ) d y , Т0= ( Т *о ) .— ОО — оо

Тогда граничное условие на поверхности х = к записывается в видеТ (Л )= Т о

илиz,, ( h ) v (к) + Z , 2 (к) w (к ) = Т Х\ z2, (к ) v (к) +z22 (к) w (к) =т°. (17)

Решая эту систему, найдем начальные условия для решения системы (13):z22(k) Тх°—z,2 {к) т° 2ц (к) т°—z2i (к) Тх

v W ---------------Ш ---------; w W ------------ Ш --------- •С учетом соотношения (15) их можно написать в виде

» '( * ) = -z i 2 ( h ) z , t ( h ) T ° — z Z i ( h ) T ,

Z n { h )w ° ( k ) =

Z n ( k ) T ° - Z 2 i ( k ) T 3

А г ( к )(18)

Из анализа соотношений (18) видно, что и 0 ( к ) и w ° ( k ) отличаются от начальных значений для определения собственных форм (16) одним и тем же множителем. Поэтому в силу однородности уравнения (13) его реше­ние при начальных условиях (18) должно отличаться от решения при иа-376

чальных условиях (16) тем же множителем, т. е.za{h)x ° - z 2i(h)Tx°

u W ----------- S w --------- " ( I ) 'Выполняя обратное преобразование Фурье, получим для вектора смеще­ния U следующее выражение:

и (х, у) = (2л) -* J zlt(h)x°-z2t(h)T;A,(h)

u° (х) eikv dk. (19)— oo

Используя для вычисления U(x, у) теорию вычетов (в предположении ее применимости), получим

zli(h)T°—z2i(h)T3U (х, у) = (2л) -Н £

А.' (А, А»)и„° (х) в*-». (20)

где Д/(А, &п) — производная от Д2 по параметру А, взятая в точке к= кп1 где кп — корень уравнения (11). Таким образом, результирующий вектор смещений представляется в виде суммы нормальных волн, амплитуды которых зависят как от величины действующих поверхностных напряже­ний, гак и от параметров волновода. Отметим, что решение в форме (20) характерно для упругих волноводов с постоянными параметрами.

Рассмотрим далее некоторые общие свойства матриц Z и G, а также общую структуру уравнений (7) и (10). Если величины р Д и ц, харак­теризующие среду, являются действительными, то имеем дело с самосо­пряженной задачей, для которой характерным является эрмитова сопря­женность матриц Z и G(Z=Z" и G=G*). При этом элементы zn и z22(gii и g22) являются действительными, a z i2 и z21(gi2 и g2i) — мнимыми и комплексно-сопряженными друг с другом, так что матрица Z может быть

записапа в виде Z = ( Zii lZi2 ) где z,2 — действительная величина. Это\ — z22 /

позволяет сделать системы (7) и (10) чисто действительными и сокра­тить число уравнений в них с четырех до трех. При этом, как легко ви­деть, выполняются соотношения А = А \ Р=Р* и S=Q*(Q=S*). Существен­ной, на наш взгляд, является возможность компактной записи уравнений(7), (13) путем введения вспомогательных величин Z = Z + a и Z=Z4-p, где а и р — некоторые матрицы (не зависящие от Z ), вид которых опре­делим, записав исходное уравнение (7) в виде

Z'+ZAZ-kR=0, ( 21)

где R — также неизвестная матрица. Раскрыв это уравнение и вычитая его из уравнения (7), получим: aAZ+ZAj}—SZ—Z@—Р+аЛр-КЙ=0. Можно показать, что решениями этого матричпого уравнения (для любых Z) яв­

ляются матрицы a =SA~'=ik ̂ л ^ j • р=Л”1(>; Я = Р —SA^Q. Учитывая

свойства матриц Л, S и Q, получаем соотношение р=»а*, и, следователь­но, уравнение (21) можно записать так:

Z'+ZAZM-P—*5Л"|5 #=0, (22)

где матрица_/ Ян £zi2 \ __/ za

\ i z 2i z 22 / \ i(zi2

i{zi2+k\x)кк) z22 )■

В этих обозначениях система (7) может быть записана в виде ги'+С&ц2+ + £ й2 1 22+ ( р © 2 — й 2 р , ) = 0 ; Z t o + C i Z u Z z i + G ^ 2 2 Z , 2= 0 ; z 2 2 _ + С ^ 22 + С & г i 2+

+ [ро)2—/с2(Х+2р)] =0, а система (13) — в виде u'—AZ*u=0. Аналогично изложенному выше могут быть преобразованы системы (10) и (12):

G'-GPG--A+QP‘ lQ*=0y где

377

g = ( 8: i8i * ) = ( .\ - I g z i g i i / \ - l

gu(giz+pCi)2/*2)

U g n - k C J c / W - E i P ) )g22 ) ■

Запишем эту систему также в развернутой форме:

tftfCx—ptf+Eikgn —p(o2gnz ) = ° ,( p « , - - S , i - ) # V + C , (. p e , _ E i4 ,

g a ' - p ^ g i i g i i — (pco 2- E tk2) g22g 12=0, g i t - (poi*-Eikz) f 2 22-pco2i?2 i2+

( ~ ^ r ~ C') = °-+

Система (12) преобразуется к виду T '+ /JG‘T=0. Приведенная форма за­писи при их численном решении обладает рядом преимуществ.

Определенный интерес представляют так называемые симметричные волноводы, которые характеризуются тем, что их плотность и коэффи­циенты Лямэ являются четными функциями координаты х : р (я )= р (—х); Х(х)=Х(—х); р,(х)=|л(—я), т. е. свойства таких волноводов симметричны относительно плоскости х=0. (К таким волповодам относятся, в частности, волноводы с постоянными но толщине параметрами). В этом случае упру­гие колебания в волноводе можно представить как сумму симметричных и антисимметричных нормальных волн, характеристики которых можно определить раздельно для каждого типа. При этом будем исходить из гра­ничных условий, задаваемых при я=0. Так, для симметричных волн они будут иметь вид н(0) = т(0 ) =0, а для антисимметричных ш(0) =ТХ(0) = =0. В связи с этим введем в рассмотрение векторы-столбцы

/ »(*) \ гг / т*(х ) \Ut== \ х(х) / И Tu== \ w(x) I ’ а также заДаАим между ними липеипую связь с помощью матриц М=\\тц\\ и 7V=|Kj|| размером 2X2:

Tu=Afut; ut=7VTu. (23)

При этом, очевидно, M=N~\В этих обозначениях граничные условия при х=0 запишутся в виде

Ти(0)=0 —для антисимметричных волн, (24)щ(0) = 0 — для симметричных волн. (25)

Для векторов получим систему уравнений, аналогичных (3), (4):

Ти'+ Д и г=0; и /= Л тТи, (26)

где матрицы Рх и Ах имеют значения

—ikXC)\ ik — \х 1

2 ik

I —ikhL\ \т= ( . ,А л матричные уравнения для М и N:\ — i k X C y . — ( р о ) 2—Е хк 2) 1

М '+ М А хМ + Р х= 0 ; N ' —N P XN —А х = 0 (27)

Решения этих уравнений с нулевыми начальными условиями при х= =0, подставленные в (26), дают системы, аналогичные (12) и (13):

T /+ P tiVTu=0; и / - Л тЛ/щ=0. (28)Нетрудно пайти также связь между элементами матриц М и 7V, с од­

ной стороны, и матрицы Z — с другой. Эта связь дается формулами

т и= 2и —Z12Z2i/z22 = —1/^и 5 ^i2==̂ i2/^22»m21= —z21/z22; wi22= l/z 22; ^ii= l /ziii z12/zlt;

«2!= 221/2ц; Z12Z21/z11=A 2/z11 = l/g22* (29)378

Детермипанты матриц определяются формуламиAm= z„ /z22; Д z = m j m 22] AN=z22/z„; Дг=гс22/?ги. (30)

Характеристические уравиеыия для симметричных волповодов можно получить двумя идентичными способами. Первый способ состоит в реше­нии систем уравнений (7) и (10) для Z(x) и G(x) с нулевыми начальны­ми условиями для первой из них при z=h (или —А). Поскольку при я= 0 должны выполняться условия (24) и (25), то, очевидно, Дм (со, /с, 0)=0 и Д*(о>, /с, 0 )= 0 , что с учетом первого и третьего равенств (30) опреде­ляет характеристические уравнения в виде z,,(со, к , 0 )= 0 ^ (О )^ ! ) ) — для антисимметричных волн, z22(о>, к , 0 )= 0 (z ^ O ^ O ) — для симметрич­ных волн.

Второй способ состоит в решении систем уравнений (27) с нулевыми начальными условиями при х=0. Поскольку при x=h (или —А) должно выполняться равенство Лг(о>, /с, А)=0, то из второго и четвертого равенств(30) следуют характеристические уравнения вида Wu(co, A, h)= 0 ( т 22(А)=^0) - для антисимметричных волн, гс22(о), А)=0 (гаи (А)^0) —для симметричных волн.

Собственные функции волновода можно определить, используя эти же способы. В первом случае наряду с вычислением Z(x) необходимо вы­числить по формулам (29) значения М(х) и N(x), а затем решить систе­мы (28) при соответствующих нулевых условиях (24) или (25). Во вто­ром случае наряду с вычислением М(х) и N(x) нужно по формулам, ана­логичным формулам (29), вычислить значения Z(x) (а также G(x)) и ре­шить системы (12) и (13), начав с решения первой из них при нулевых начальных условиях при x= h (или —А).

Таким образом, расчет характеристик нормальных волн симметричных волноводов несколько упрощается по сравнению с общим случаем, так как интервал численного интегрирования систем дифференциальных уравне­ний сокращается вдвое, а характеристические уравнения — простой вид.

ЛИТЕРАТУРА

1. Викторов //. А. Физические основы прпменепия ультразвуковых волн Рэлея п Лэмба в технике. М.: Наука, 1966.

2. Lyon R. Н. Response of elastic plate to localized driven force.— J. Acoust. Soc. Am., 1955, v. 27, № 2, p. 259-265.

3. Боек A. E., Тютекии В. В. Возбуждение нормальных волн в плоском упругом волноводе силами, заданными в его поперечном сечении. М.: Тр. АКИН, 1969, вып. IX, с. 5-26.

4. Коненков Ю. К., Наумкина //. //., Тартаковский Б. Д. Исследование вынужден­ных изгнбных колебаний упругой полосы.- Акуст. журн., 1965, т. 11, № 3.

5. Бреховских Л. М. Волпы в слоистых средах. М.: Изд-во АН СССР, 1957.6. Рыбак С. А., Тартаковский Б. Д. Некоторые применения матрицы перехода к

теории плоских волн в системе упругих слоев.—Акуст. журп., 1962, т. 8, № 1.7. Мачевариапи М. М., Тютекин В. В., Шкварников А. П. Импедансный метод рас­

чета характеристик упругих слоисто-неоднородных сред.— Акуст. журн., 1971, т. 17, № 1, с. 97-102.

8. Тютекин В. В., Шкварников А. Л. Внутренние изгибные импедансы и их при- мепение для задач распространения пзгибных волн по неоднородным стерж­ням.— Акуст. журн., 1963, т. 14, № 2, с. 275—281.

9. Тютекин В. В Ш к в а р н и к о в А. П. Метод «прогонки» в задачах об изгибных колебаниях неоднородных пластин. Изгпбные импедансы пластин. М.: Тр. АКИН, 1968, т. IV, с. 5-17.

10. Мачевариапи М. М. К оптимальности кусочно-постоянпых распределений па­раметров в жестких неоднородных вибропоглощающих слоях,-Ауст. журн., 1975, т. 21, № 5, с. 771-776.

11. Лидский В. Б., Нейгауз М. Г. К методу прогонки в случае самосопряженной си­стемы второго порядка.- Ж. вычпсл. матем. и матем. физ., 1962, т. 2, № 1.

12. Краснушкин П. Е. Метод пересчета импеданса в задачах о волнах в упругих средах.- Докл. АН СССР, 1980, 252, № 2, с. 332-335.

Акустический институт Поступила в редакциюим. Н. Н. Андреева 28.Х.1982Академии наук СССР

379