Универзитет у Нишу

Електронски факултет

Катедра за теоријску електротехнику

Основи електротехнике 2ПРЕДАВАЊА – V НЕДЕЉА

• МАГНЕТНЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ МАТЕРИЈАЛА

• МАГНЕТНА КОЛА

5. МАГНЕТНЕ КАРАКТЕРИСТИКЕ МАТЕРИЈАЛА

5.1. Подела магнетних материјала

Магнетни материјали могу бити:

Aнизотропни и изотропни

Код анизотропних материјала вектори 𝐵, 𝐻 и 𝑀 нису колинеарни па важи релација

𝐵 = 𝜇0 𝐻 + 𝑀 , док су у изотропним срединама колинерни па је 𝐵 = 𝜇0 𝐻 + 𝑀 .

Линеарни и нелинеарни

Код линеарних магнетних материјала вектор густине магнетног момента је директно

пропорционалан јачини поља, M= χmH, pa je и веза између поља 𝐵 и 𝐻 линеарна,

𝐵 = 𝜇0 1 + χm H=𝜇0𝜇rH= 𝜇 H.

Према знаку магнетне сусцептибилности, односно вредности релативне магнетне

пермеабилности, линеарни магнетни материјали се деле на дијамагнетике и

парамагнетике. Код нелинеарних магнетних материјала не постоји линеарна зависност

између вектора јачине магнетног поља и вектора густине магнетног момента. Ову

важну групу чине феромагнетни материјали или фромагнетици.

Хомогени и нехомогени

Код нехомогених материјала магнетна сусцептибилност има исту вредност у свим

тачкама простора док се код нехомогених разликује од тачке до тачке.

Линеарни магнетни материјали

(χm је реда 10-4 – 10-8)

χm < 0 𝜇r<1 дијамагнетни материјали

χm > 0 𝜇r > 1 парамагнетни материјали

Нелинеарни магнетни материјали χm ≫ 0 𝜇r>>1 феромагнетни материјали

Подела магнентих материјала према величини магнетне сусцептибилности, односно

релативне магнетне пермеабилности дата је у табели.

Криве зависности јачине вектора магнетне

индукције у функцији јачине вектора

магнетног поља у случајевима када је

средина: дијамагнетик (𝜇d ), парамагнетик

(𝜇p), феромагнетик (𝜇f) и вакуум (𝜇0).

5.2. Објашњење феномена дијамагнетизма

4

Дијамагнетици су материјали са уравнотеженим магнетним моментом на нивоу атома. Код

њих су електрони у атомима постављени симертично па су у одсуству спољашњег магнет-

ног поља резултантни магнетни моменти атома, односно молекула, једнаки нули. Феномен

дијамагнетизма се најједноставније може објаснити коришћењем Боровог модела атома:

Посматрамо два електрона који се

крећу по орбитама истог полупреч-

ника истим угаоним брзинама

супротног смера. Векторски збир

орбиталних магнетних момената ова

два електрона једнак је нули у

одсуству страног поља (слика а.).

Када се успостави страно магнетно поље на електроне који се крећу делује Лоренцова

сила, 𝐹 = 𝑒 𝑣 × 𝐵, смерова као на слици б. Да би се одржала равнотежа сила на електроне

угаоне брзине електрона се мењају. Смањивање или повећавање угаоне брзине електрона

има за последицу смањивање или повећавање његовог орбиталног магнетног момента за

неку вредност ∆𝑚, сразмерну јачини поља. То има за последицу појаву вектора густине

магнетног момента исте оријентације као и 2 𝑚, односно супротно оријентацији вектора

магнетног поља. Због тога при истим јачинама магнетног поља магнетна индукција у

дијамагнетицима има мању вредност него у вакууму, што значи да је магнетна

сусцептибилност дијамагнетика негативна а релативна магнетна пермеабилност мања од

јединице.

5.3. Објашњење феномена парамагнетизма

5

Парамагнетни материјали на нивоу атома и молекула поседују одређени магнетни момент у

одсуству страног магнетног поља. Међутим, векторски збир магнетних момента у физички

бесконачно малом елементу запремине ΔV једнак је нули, као и вектор густине магнетног

момента, 𝑀 = 0 (слика а.). Уношењем парамагнетног материјала у

магнетно поље индукције 𝐵 (јавља се

момент спрега 𝑇 = 𝑚 × 𝐵 ) долази до дели-

мичне оријентације магнетних момената у

правацу и смеру вектора 𝐵 тако да вектор

густине магнетног момента није више

једнак нули, 𝑀 ≠ 0 (слика б.). Орјентацији

магнетних момената супротставља се

хаотично термичко кретање атома.

Магнетна индукција у дијмагнетику, 𝐵 = 𝜇0 𝐻 + 𝑀 , већа је од магнетне индукције у

вакууму при истој јачини магнетног поља, односно релативна магнетна пермеабилност је

већа од јединице.

За разлику од магнетне сусцептибилности дијамагнетика која је негативна, магнетна

сусцептибилност парамагнетика је позитивна и зависна од температуре. Француски

физичар Кири установио је да је обрнуто пропорционална температури, χm = C/θ, где је C

Киријева константа. Са порастом температуре израженије је термичко кретања атома и

молекула које се супротставља оријентацији елементарних магнетних момената, због чега

се смањује магнетна сусцептибилност а самим тим и магнетна пермеабилност.

5.4.1. Објашњење феномена феромагнетизма

6

њихов векторски збир у посматраној запремини једнак нули, а самим тим и вектор густине

магнетног момента. У ову групу материјала спадају: гвожђе, никл, кобалт итд.

Када се феромагнет постави у магнетно поље, домени са магнетним моментима

оријентисаним у смеру магнетног поља се тада повећавају на рачун суседних домена који

нису оријентисани у том смеру. Са порастом поља домени расту све док цео узорак

материјала не постане јединствени домен са густином магнетног момента који је једнак

магнетном моменту засићења. Овај процес је реверзибилан.

При смањивању јачине магнетног поља долази до дезоријентације и уситњавања домена

спонтане намагнетисаности. Смањује се густина магнетног момента, а самим тим и

магнетна

По Вајсовој хипотези у феромагнетним материјалима

постоје микроскопски мали домени спонтане намаг-

нетисаности до засићења и у одсуству спољашњег

магнетног поља (слика). Уколико материјал није био

претходно намагнећен, магнетни моменти домена спонтане

намагнетисаности су хаотично оријентисани тако да је

магнетна индукција. Када се

јачина магнетног поља смањи на

нулу материјал се не враћа у

првобитно неутрално стање јер

није дошло до потпуне дезориј-

ентације домена. Феромагнетик се

понаша као стални магнет.

5.4.2. Карактеристика магнећења и циклус хистерезиса

7

Магнетна индукција је веома сложена и вишезначна функција јачине магнетног поља.

Зависност 𝐵(𝐻) назива се карактеристика магнећења феромагнетног материјала и задаје се

графички у 𝐵 − 𝐻 координатном систему. Електрично коло са слике користи за снимање

карактристике магнећења феромагнетног материјала.Кроз намотај танког торуса, који је начињен од фе-

ромагнетног материјала чију карактеристику треба

снимити, пропушта се струја различите јачине, кoја

се мери помоћу амперметра и на основу ње одређује

јачина магнетног поља у торусу, 𝐻 = 𝑁𝐼/lsr .

Мерењем флукса кроз попречни пресек торуса,

помоћу балистичког галванометра, одређује се

јачина магнетне индукције из релације B= F/S.Спајањем тачака које одговарају паровима измерених вредности ( 𝐵, 𝐻) у 𝐵 − 𝐻координат-ном систему, добија се карактеристика магнећења феромагнетног материјала.

Уколико материјал претходно није био намагнетисан карактристикa магнећења полази из

координатног почетка (слика). Са повећањем магнетног поља

до максималне вредности 𝐻max магнетна индукција 𝐵 расте

пратећи криву ОА која се назива првобитна карактеристика

(крива) магнећења. Смањивањем јачине магнетног поља од

максималне вредности до нуле индукција прати криву АC која

одступа од криве АО. Вредност магнетне индукције 𝐵r, када je

магнетно пољe једнако нули, назива се заостала или

реманентна магнетна индукција.

8

Уколико се промени смер струје кроз намотај торуса

промениће се и смер вектора јачине магнетног поља. Са

повећањем магнетног поља у супротном смеру до

максималне вредности −𝐻max смањује се магнетна

индукција пратећи део криве CDE (слика). Вредност

магнетног поља када је магнетна индукција једнака нули

назива се коерцитивно поље, 𝐻c . Сада се поступак

понавља у обрнутом смеру. У току променe вредности

магнетног поља у границама од −𝐻max до 𝐻max магнетна

индукција расте пратећи део криве EFGA. Када се овакав

поступак снимања понови више пута формира се једна затворена петља која се назива

хистерезна петља или хистерезни циклус.

Поред хистерезусног циклуса, као најважнија карактеристика једног феромагнетног

материјала је употребна или основна катактеристика магнећења. Она се незнатно разликује

од првобитне карактеристике магнећења. Добија се тако што се сними више хистерезних

циклуса за различите максималне вредности јачине магнетног

поља, а затим споје њихови врхови у првом квадранту (слика).

Феромагнетик се може размагнетисати на следеће начине:

Довођењем на Киријеву температуру;

Јаким ударцем;

Када се кроз торусни намотај пропушта наизменична струја

чија се амплитуда смањује до нуле добија се низ све мањих

хистерезних циклуса и магнетна индукција доводи до нуле.

5.4.3. Магнетне пермеабилности феромагнетика

9

Код феромагнетних материјала магнетна пермеабилност, дефинисана

као однос магнетне индукције и јачине магнетног поља на основној

карактеристици магнећења, није константна величина, већ је функција

јачине магнетног поља. Статичка, динамичка, и реверзибилна

пермеабилност дефинишу се у радној тачки и зависе од јачине

магнетног поља и карактеристика материјала. Почетна пермеабилност

дефинише се у координатном почетку и зависи само од карактеристика

материјала.

• Статичка пермеабилност je количник магнетне индукције и јачине

магнетног поља у радној тачки, 𝜇s =𝐵A

𝐻A= tan 𝛼 (слика а.).

•Динамичка пермеабилност дефинише се као диференцијални количник

прираштаја магнетне индукције и одговарајућег прираштаја магнетног

поља у блиској околини радне тачке када прираштај магнетног поља

тежи нули, 𝜇d = lim∆𝐻→0

∆𝐵

∆𝐻 𝐻=𝐻A=

d𝐵

d𝐻 𝐻=𝐻A= tan β.

• Почетна пермеабилност дефинише се као вредност динамичке

пермеабилности у координатном почетку, 𝜇p = d𝐵

d𝐻 𝐻=0= 𝜇d|𝐻=0.

• За одређивање реверзибилне пермеабилности потребно је у радној

тачки начинити једну малу хистерезну петљу: смањити јачину магнетног

поља за малу вредност ΔH и вратити је на почетну вредност, па је

𝜇rev=∆𝐵

∆𝐻= tan 𝛾.в.

5.4.4. Примена и подела феромагнетних материјала

10

Феромагнетни материјали се користе за израду трансформатора, електричних машина и

бројних других електричних уређаја и инструмената.

Чињеница да су добри магнетни проводници пружа им могућност да се користе за израду

магнетних кола у којима се магнетни флукс каналише жељеним путем и у њима могу са

релативно малим јачинама магнетног поља да се остваре изузетно велике вредности

магнетне индукције.

У зависности од облика хистерезисног циклуса, односно вредности реманентне индукције

и коерцитивног поља, и површине хистерезисне петље, односно губитака у феромагнетном

материјалу који се јављају приликом његовог наизменичног магнећења, разликују се меки

и тврди магнетни материјали. Површина хистерезисне петље пропорционална је губицима

енергије у материјалу.Меки феромагнетни материјали имају уску

хистерезисну петљу (слика a.), лако се намагне-

тишу и размагнетишу и користе се за израду

електромагнета.

Тврди феромагнетни материјали (слика б.) имају

високу отпорност на размагнетисавање, направ-

љени су од феромагнетних материјала са широком

хистерезисном петљом и тешко се намагнетишу.

Они се користе за израду сталних магнета.

6. МАГНЕТНА КОЛА

6.1. Линеарна магнетна кола

Магнетно коло чине једна или више средина које образују пут по коме се каналише

магнетни флукс. У зависности од материјала од кога су начињена магнетна кола могу бити

линеарна и нелинеарна. Линеарна кола су начињена само од парамагнетних и

дијамагнетних средина. Коло је нелинеарно ако је бар једна средина кроз коју се затвара

магнетни флукс нелинеарна, односно начињена од феромагнетног материјала. Због својих

особина, што имају могућност остваривања веома великих индукција са релативно малим

јачинама магнетног поља, што се магнетни флукс може каналисати жељеним путем и што

имају могућност задржавања магнетних својстава и након престанка деловања страног

поља феромагнетни материјали имају широку практичну примену.

Линеарна магнетна кола немају никакав практични значај пошто је њихова магнетна

пермеабилност слична као код вакуума (разликује се за 10-4 -10-8) па кроз такво коло не

може се извршити каналисање магнетног флукса по одређеном путу.

Једини начин да се оствари линеарно магнетно коло је танак торус од дијамагнетика или

парамагнетика на који је густо и равномерно намотана танка жица. У том случају

магнетно поље је локализовано само унутар торуса. Међутим, линеарна магнетна кола су

веома значајна зато што су проучавањем линеарних магнетних кола изведене аналогије

између физичких величина и закона у магнетним и електричним колима. На тај начин је

поступак решавања нелинеарних магнетних кола олакшан.

12

Да би се дошло до аналогија између магнетних и електричних кола посматра се систем од

N струјних проводника у линеарној средини и туба флукса вектора магнетне индукције

(слика). Услов је да магнетна пермеабилност у свим тачкама једног попречног пресека

тубе флукса има исту вредност. Како је у линеарној средини 𝐻 =

𝐵/𝜇, a флукс кроз попречни пресек тубе флукса dФ = 𝐵d𝑆, када се

то узме у обзир и примени генералисан Амперов закон, 𝐶𝐻𝑑 𝑙 =

𝐼, по контури C која се поклапа са линијом поља где су вектори

𝐻и 𝑑 𝑙 колинеарни, добија се

𝐶

𝐵

𝜇𝑑 𝑙 = 𝐶

𝐵

𝜇𝑑𝑙

d𝑆

d𝑆= 𝐶

dФ

𝜇 d𝑆𝑑𝑙 = dФ 𝐶

d𝑙

𝜇 d𝑆= 𝐼 .

Ако се добијени израз примени на тубу флукса коначне површине

,

попречног пресека 𝑆, под условом да су његове димензије много мање од дужине тубе,

онда се dФ може заменити са Ф, а d𝑆 са 𝑆, и задњи израз написати у облику, Ф = 𝐼

𝐶d𝑙

𝜇 𝑆

.

Када се овај израз упореди са изразом за уопштену формулу за израчунавање отпорности

квазилинеичног проводника који је изведен у електрокинетици, 𝑅 = 1

2𝜌

d𝑙

σ 𝑆= 1

2 d𝑙

σ 𝑆и он

примени на затворену контуру C у коју је укључена електромоторна

сила 𝐸 (слика), онда је укупна отпорност контуре R= 𝐶

d𝑙

σ 𝑆, па јачина

електричне струје у њој износи 𝐼 =𝐸

𝑅=

𝐸

𝐶d𝑙

σ 𝑆

. Ово је Омов закон за

квазилинеично електрично коло и по форми је идентичан са основним

законом за квазилинеично магнетно коло. Једина разлика је у словним

ознакама.

На овај начин изведен је основни закон квазилинеичног магнетног кола.

6.2. Аналогије између магнетног и електричног кола

На основу претходно наведених аналогија може се закључити да јачини електричне струје

𝐼 у електричном колу одговара флукс вектора магнетне индукције Φ у магнетном колу.

Електромоторној сили Е у електричном колу у магнетном колу одговара величина која се

назива магнетомоторна или магнетпобудна сила, 𝐹 = 𝐼 , чиja јединица je A (ампер).

Електричној отпорности у електричном колу 𝑅 , у магнетном колу одговара величина

𝑅m = 𝐶

d𝑙

𝜇 𝑆, која се назива магнетна отпорност или релуктанса, јединица је 𝑅mu

mH

mm2

=1

H,

Последњи израз за 𝑅m представља магнетну отпорност затвореног квазилинеичног

магнетног кола. Аналогно изразу за израчунавање електричне отпорности квазилинеичног

проводника између попречних пресека 1 и 2, магнетна отпорност дела магнетног кола

између попречних пресека 1 и 2 израчунава се као 𝑅m = 1

2 d𝑙

𝜇 𝑆. Реципрочна вредност

магнетне отпорности је магнетна проводност или пермеанса, Ʌ = 1/𝑅m H .

Увођењем појмова магнетопобудне силе Ф и магнетне отпорности 𝑅m основни закон за

квазилинеично магнетно коло добија облик Ф =𝐹

𝑅m. Овај закон се често назива Омов закон

за магнетно коло или Хопкинсонов закон. Магнетној пермеабилности у магнетном колу

одговара специфична електрична проводност у електричном колу, Једначина континуитета,

𝑆 𝐽d 𝑆 = 0, по форми је идентична са законом о конзервацији магнетног флукса, 𝑆

𝐵d 𝑆 =

0, а то значи да вектору магнетне индукције у магнетном колу одговара вектор густине

струје у електричном колу. Првом Кирхофовом закону у електричном колу, 𝐼истичу = 𝐼утичу. одговара први Кирхофов закон у магнетном колу, Фистичу = Футичу.

1. Пример за аналогна кола - редна веза отпорника

14

Посматра се танак торус начињен од два различита материјала магнетних пермеабилности

𝜇1 и 𝜇2, чији су облик и димензије приказани на слици. Поред магнетног кола налази се

слика аналогног линеарног електричног кола. Треба извести одговарајуће аналогије између

магнетног и електричног кола. Магнетно поље је локализовано унутар торуса. На

раздвојној површини две средине исти су вектори магнетне индукције а интензитет

магнетног поља се скоковито мења. Обележићемо векторе магнетног поља са

𝐻1 и 𝐻2 и применити генералисани Амперов

закон, 𝐶𝐻𝑑 𝑙 = 𝐼 , по контури C која се

поклапа са средњом линијом торуса која је

уједно и једна линија поља па су вектори

𝐻и 𝑑 𝑙колинеарни. Водећи рачуна о смеро-

вима струја кроз намотаје 𝑁1 и 𝑁2, може се

писати 𝐻1𝑙1+𝐻2𝑙2=𝑁1𝐼1 − 𝑁2𝐼2=𝐹1 − 𝐹2.Претходна једначина важи и у случају када магнетно коло садржи и више делова кроз којe

продире исти магнетни флукс, па се може извршити генерализација 𝐻𝑙 = 𝐹.За електрично коло са слике важи да је 𝑈1+𝑈2=𝐸1 − 𝐸2, односно 𝑈 = 𝐸, што би била

једначина написана по другом Кирхофовом закону. Очигледно је да су добијени изрази

идентични по форми при чему напону на отпорнику 𝑈одговара производ 𝐻𝑙, који се по

аналогији зове магнетни напон, док израз 𝐻𝑙 = 𝐹 представља други Кирхофов закон за

магнетно коло. Из задње једначине 𝐻𝑙 = 𝐵

μ

𝑆

𝑆𝑙 =

Ф

μ

𝑙

𝑆= Ф

𝑙

μ 𝑆= Ф 𝑅m = 𝐹 може се

извести Омов закон за просто магнетно коло, Ф = 𝐹

𝑅m, док је у електричном колу 𝐼 =

𝐸

𝑅.

15

Размотрићемо и случај танаког торуса који је начињен од два магнетна материјала

различитих магнетних пермеабилности при чему је вектор јачине магнетног поља тангента

на раздвојну површину две средине. Поред магнетног кола налази се слика аналогног

линеарног електричног кола. Треба извести одговарајуће аналогије између ова два кола.

Вектор јачине магнетног поља на раздвојној површини је исти у обе средине, али се

разликују на средњим линијама појединих делова торуса, па ће, сагласно генералисаном

Амперовом закону имати различите вредности, 𝐻1=NI/𝑙1 и 𝐻2=NI/𝑙2. Магнетне индукције

у појединим срединама се разликују па је 𝐵1=𝜇1𝐻1 =𝜇1 NI/𝑙1 и 𝐵2=𝜇2𝐻2=𝜇2NI/𝑙2 тако да је

укупни флукс ф = ф1+ф2=𝐵1𝑆1+𝐵2𝑆2 = 𝜇1𝑆1

𝑙1NI+𝜇2

𝑆2

𝑙2NI.

,

Ако се горњи израз незнатно преуреди и уведу појмови

магнетопобудне силе и магнетне отпорности, добија се

ф =𝑁𝐼𝑙1

𝜇1𝑆1

+𝑁𝐼𝑙2

𝜇2𝑆2

=1

𝑅m1+

1

𝑅m2𝐹 =

𝐹

𝑅me,

где је са 𝑅me означена еквивалентна магнетна

отпорност магнетног кола. За електрично коло са слике

може се писати 𝐼 = 𝐼1+𝐼2 =𝐸

𝑅1+

𝐸

𝑅2=

1

𝑅1+

1

𝑅2𝐸=

𝐸

𝑅e,

2. Пример за аналогна кола - паралелна веза отпорника

где је са 𝑅e означена еквивалентна отпорност паралелне везе два отпорника отпорности 𝑅1

и 𝑅2. Према томе, разматрано магнетно коло може се представити као паралелна веза два

нелинеарна магнетна отпорника прикључена на генератор магнетопобудне силе 𝐹, при

чему су на оба магнетна отпорника магнетни напон исти, 𝐻1𝑙1 = 𝐻2𝑙2 =F.

Нелинеарна магнетна кола се решавају графичким методама уз коришћење већ уведених

аналогија са електричним колима.

Аналогиje између физичких величина и закона у магнетним и електричним колима

16

6.3. Неки примери аналогних кола

17

Нелинеарно магнетно коло са

два феромагнетна дела

Разгранато магнетно коло.

Нелинеарно магнетно коло са два

феромагнетна дела и ваздушним процепом.

6.4. Нелинеарна магнетна кола

Магнетна кола могу бити неразграната и разграната. Приликом решавања неразгранатих

кола могућа су два типа проблема. Код првог типа проблема потребно је израчунати

магнетопобудну силу да би флукс у неком делу магнетног кола имао одређену вредност.

Код другог типа проблема позната је магнетомоторна сила на основу које треба одредити

флукс у неком делу магнетног кола. Ти задаци се решавају графички уз коришћење већ

уведених аналогија са електричним колима. При томе волт-амперској (U − I )

kарактеристици линеарног отпорника одговара (Hl − Ф ) карактеристика нелинеарног

отпорника.

У пракси магнетна кола у целости могу бити направљена од феромагнетних материјала

(магнетна кола трансформатора). Уколико желимо да остваримо одређену вредност

магнетне индукције у неком делу простора (електромагнети и мерни инструменти), или то

захтевају конструктивни разлози (електричне машине), магнетна кола се израђују од

феромагнетних материјала са једним или више ваздушних процепа (слика).

6.4.1. Одређивање магнетопобудне силе када је задат флукс

19

Нелинеарна магнетна кола решавају се графички.

Суштину поступка најлакше је показати на при-

меру нелинеарног електричног кола са слике.

Посматрамо прво редну везу два нелинеарна от-

порника 𝑁1 и 𝑁2 , у колу на слици чије су

волтамперске карактеристике 𝑈1 𝐼 и 𝑈2 𝐼 задате.

Струја у колу је позната, треба одредити електро-

Из услова да је флукс у свим попречним пресецима

кола исти 𝐵0𝑆0 =𝐵1𝑆1 =𝐵2𝑆2 и позната вредност

магнетне индукције у ваздушном процепу, могу се

одредити вредности магнетне индукције у

преосталим деловима магнетног кола,

𝐵1 =𝑆0

𝑆1𝐵0 и 𝐵2 =

𝑆0

𝑆2𝐵0.

моторну силу Е. За задату вредност струје I са 𝑈 − 𝐼 карактеристика очитају се одгова-

рајуће вредности напона 𝑈1 и 𝑈2 и замене у једначину Е=𝑈Ri + 𝑈1 + 𝑈2 = 𝑅𝐼 + 𝑈1 + 𝑈2.

Исти поступак може се применити на електрично коло, аналогно магнетном колу са слике.

За добијене вредности магнетне индукције 𝐵1 и 𝐵2 са карактеристика

магнећења одговарајућих материјала очитавају се вредности манетног

поља 𝐻1 и 𝐻2 . Јачина манетног поља у вакууму одређује се из

релације 𝐻0 = 𝐵0/μ0. Магнетопобудна сила одређује се из релације

F= 𝐻1𝑙1+𝐻2𝑙2+𝐻0𝑙0, а из познате магнетопобудне силе, F= NI, лако се

одређује тражена јачина струје кроз намотај, I= F/𝑁.

6.4.2. Одређивање флукса када је задата магнетопобудна сила

20

Овај проблем је еквивалентан са пробле-

мом одређивања јачине струје у нелине-

арном електричном колу у коме је позната

електромоторна сила E. Задатак се решава

тако што се прво реднa везa нелинеарних

отпорника 𝑁1 и 𝑁2 замени еквивалентним

отпорником 𝑁е (слика). Затим се у пресе-

Напон на нелинеарном опорнику мора да задовољи једначину 𝐻𝑙 = 𝐻𝑙(Ф) и да је једнак

напону на крајевима магнетопобудне силе F и њене унутрашње отпорности 2𝑅0 (спољна

карактеристика генератора) 𝐻𝑙 = 𝐹 − 2𝐻0𝑙0=𝐹 − 2𝑅0 Ф0 (слика). У пресеку ове две криве

налази се радна тачка одакле се очитавају вредности магнетног напона 𝐻𝑙 и флукса

вектора

ку криве 𝑁е и спољашње карактеристике генератора

одређује радна тачка, односно струја и напон у колу.

Dа би се за решавање магнетног кола могле користити

аналогије са електричним колом прво треба нацртати

Ф − 𝐻𝑙 (Ф=𝐵S) карактеристике нелинеарних отпорни-

ка 𝑁1 и 𝑁2 и одредити еквивалентну криву 𝑁е (сл. б.).

магнетне индукције,

Ф, у магнетном колу.

6.5. Радна тачка сталног магнета

21

Стални или перманенетни магнети могу бити природни или вештачки. Вештачки се

добијају тако што се феромагнетни материјал подвргне страном магнетном пољу и

намагнетише. Да би одредили радну тачку сталног магнета кренућемо од танког торуса

начињеног од феромагнетног материјала са ваздушним процепом (слика) Када се кроз

намотај торуса пропусти струја довољно велике јачине па искључи, у

феромагнетном материјалу ће се појавити одређена густина магнет-

ног момента и он ће бити трајно намагнетисан. За одређивање радне

тачке сталног магнета користи се део хистерезног циклуса у другом

квадранту, такозвана карактеристика размагнећења (слика) и основни

закони магнетизма. Према закону о конзервацији магнетног флукса

је, 𝐵𝑆 = 𝐵0𝑆0 , одакле је 𝐵 =𝐵0𝑆0

𝑆. Пошто нема струје кроз побудни

намотај циркулација вектора магнетног поља једнака је нули, па из

Амперовог закона следи Hl+𝐻0𝑙0 = 0, одакле је 𝐻0 = −𝑙

𝑙0𝐻. Kako je

у вакууму 𝐵0 = 𝜇0𝐻0 то се из претходне једначине добија једначина

праве у 𝐵 − 𝐻 координатном систему, 𝐵 = −𝜇0𝑙𝑆0

𝑙0𝑆𝐻, која у пресеку

са карактеристиком размагнећења даје радну тачку А, tan α = −𝜇0𝑙𝑆0

𝑙0𝑆

је коефицијент правца праве (слика). У ваздушном процепу вектори

𝐵0 и 𝐻0 су истог смера (𝐵0 = μ0𝐻0), а вектори 𝐵0 и 𝐵, су у вакууму

и феромагнетном материјалу колинеарни, а вектори 𝐻0 и 𝐻 су

супротно оријентисани (слика) (да би био задовољен Амперов закон).