第 3 章 抽样与抽样分布

会计学 2011级

本章内容3.1 抽样概述3.2 抽样分布3.3 中心极限定理及其应用

3.1 教学目标掌握总体、样本、抽样的含义了解抽样单位、抽样框、参数值、统计值、置信度的含义

了解抽样的类型：概率抽样 &非概率抽样掌握常用的抽样方法

3.1 抽样概述

抽样的基本术语

抽样的意义及类型

常用的概率抽样方法

至：3.2

一、抽样的基本术语

抽样的基本术语

置信度

样本 参数值

抽样单位

总体

抽样

统计值

抽样框

总体总体通常与构成它的元素共同定义总体是构成它的所有元素的集合，元素（ element）则是构成总体的最基本单位，也称为单位。– 例如要研究南京城郊的失地农民的社会保障问题，那么南京城郊所有失地农民就构成了我们研究的总体，其中的每一个农民都是这个总体中的一个单位。

总体中所包含元素的数目通常用大写字母表示。

样本 (sample)

样本就是从总体中按一定方式抽取出的—部分单位的集合。或者说一个样本就是总体的一个子集。– 比如，从某省总数为 12.8万人的大学生总体中，按一定方式抽取出 l000名大学生进行调查，这1000名大学生就构成该总体的一个样本。

样本中元素的数目通常用小写字母表示。

抽样（ sampling ）所谓抽样，指的是从组成某个总体的所有元素的集合中，按一定的方式选择或抽取一部分元素的过程，或者说，抽样是从总体中按一定方式选择或抽取样本的过程。– 比如，从 3000名工人所构成的总体中，按一定方式抽取 200名工人的过程；或者从 1000户家庭构成的总体中，按一定方式抽取一个由 100户家庭构成的样本的过程，都叫做抽样。

在我们的日常生活中经常存在着抽样。如抽血化验，尝试水温，窥一斑而知全豹。

抽样单位（ sampling unit ）抽样单位就是一次直接抽样所使用的基本单位。– 比如从一个城市中选取几个人口普查的街区作为样本，然后从这几个选出的街区中选择一些家庭作为样本，最后从这些家庭中选出一些成年人作为样本。这三个阶段的抽样单位分别为街区、家庭、成年人。

抽样单位与构成总体的元素有时是相同的，有时又是不同的。– 比如，上面所举的例子中，单个的大学生既是构成某省 12.8万名大学生这一总体的元素，又是我们从总体中一次直接抽取出 1000名大学生的样本时所用的抽样单位；但是，当我们从这一总体中一次直接抽取出 40个班级，而以这 40个班级中的全部学生（假定正好 1000名）作为我们的样本时，抽样单位（班级）与构成总体的元素（学生）就不是一样的了。

抽样框抽样框又称作抽样范围，它指的是一次直接抽样时总体中所有抽样单位的名单。– 比如，从一所中学的全体学生中，直接抽取 200名学生作为样本。那么，这所中学全体学生的名单就是这次抽样的抽样框；如果是从这所中学的所有班级中抽取部分班级的学生作为调查的样本，那么，此时的抽样框就不再是全校学生的名单，而是全校所有班级的名单。

参数值（ Sample Parameter ）也称总体值，它是关于总体中某一变量的综合描述，或者说是总体中所有元素的某种特质的综合数量表现。

在统计中最常见的参数值是总体某一变量的平均数，比如，某市待业青年的平均年龄、某厂工人的平均收入等等，它们分别是关于某市待业青年这一总体在年龄这一变量上的综合描述，以及某厂工人这一总体在收入这一变量上的综合描述。

需要注意的是，参数值只有对总体中的每一个元素都进行调查或测量才能得到。

统计值（ Statistic ）统计值也称为样本值，它是关于样本中某一变量的综合描述，或者说是样本中所有元素的某种特征的综合数量表现。

统计值是从样本中计算出来的，它是相应的参数值的估计量，比如，样本的平均值就是通过对样本中的每一个元素进行调查或测量后计算出来的，它是相应的总体平均值的估计量。

抽样的目的之一，就是要通过这些样本值去估计和推断各个总体值。每—个样本中所得到的估计量，都只是总体的许多个可能估计量中的一个。

抽样设计的目标，就是尽可能使所抽取的样本的估计量接近总体的参数值。

通过对某市 2000户样本进行调查，统计结果显示，户均收入为 27400元左右，并进而估计该市的户平均收入为 27000 左右，那么统计值是 ，参数值是 。

置信度置信度也称为置信水平，它是指总体参数值，落在样本统计值某一区间内的概率，或者说是总体参数值落在样本统计值某一区间中的把握性程度。它反映的是抽样的可靠性程度。

置信区间指的是样本统计量与总体参数值之间的误差范围，置信区间反映的是抽样的精确性程度。

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二、抽样的意义及类型人们在研究某个自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查的情况，于是抽样就成为获取信息的一种有效手段。

抽样主要涉及和处理有关总体与部分之间的关系问题。抽样作为人们从部分认识整体这一过程的关键环节，其基本作用是向人们提供一种实现“由部分认识总体”这一目标的途径和手段。

复杂的社会现象 有限的研究资源抽样

抽样的意义为了收集必要的资料，对所研究对象（总体）的全部元素逐一进行观测，往往不很现实。

抽样原因

总体庞大 , 难以对总体的全部元素进行研究，如产品质量检测

炮弹、灯管、砖等

元素多，搜集数据费时、费用大，不及时而使所得的数据无意义

检查具有破坏性

为什么能抽样？中国成语“一叶知秋”出自《淮南子 ·说山训》：

“以小明大，见一叶落而知岁之将暮，睹瓶中之冰而知天下之寒。”

谚语：“你不必吃完整头牛，才知道肉是老的。”可见，可以从检查一部分得知全体。

一个例子 《文学文摘》（ literary digest）预测的失误– 1936年美国正从经济大恐慌中复苏，全国仍有 900

万人失业。当年的美国总统大选，由民主党员罗斯福与共和党员兰登进行角逐。

– 《文学文摘》杂志对结果进行了调查预测，他们根据当时的电话号码簿及该杂志订户俱乐部会员名单，邮寄 1000万份问卷调查表，回收约 240万份，工作人员获得了大量的样本，对此进行了精确的计算。

– 根据数据的整理分析结果，他们断言：在总统选举中，兰登将以 370： 161的优势，即以 57%：43%，领先 14个百分点击败罗斯福。

– 与之相反，一个名叫乔治•盖洛普的人，对《文学文摘》调查结果的可信度提出质疑。他也组织了抽样调查，进行民意测验，他的预测与《文学文摘》截然相反，认为罗斯福必胜无疑。

– 结果，罗斯福以 62%： 38% 压倒性地大胜兰登。这一结果使《文学文摘》销声匿迹，而盖洛普则名声大噪。

为何预言失败？难道共和党人离邮筒更近？

问题的症结抽样框出了问题– 电话用户和汽车拥有者（富人样本），排除了穷人样本。

而罗斯福的新经济政策得到了穷人的支持。 《文学文摘》的致命失误在于没有反映全民的投票意愿。

可见，抽样对象选取的合理性可以事半功倍。

抽样的类型

抽样的类型

非概率抽样

概率抽样

研究人员有意识地选取样本单位，样本单位的抽取不是随机的。受客观条件制约，主观意愿，难以保证样本代表性

根据一个已知的概率来抽取样本单位，因此，哪个单位被抽中与否完全是随机的。遵循随机原则，避免人为误差。

简单随机抽样，分层抽样，系统抽样，整群抽样

随意抽样，判断抽样，定额抽样，雪球抽样

概率抽样概率抽样的特征– 按一定的概率以随机原则抽取样本– 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中– 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的

– 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率

概率抽样的程序

1. 界定总体：– 《文学文摘》为什么预测失误？

2. 制定抽样框：– 依据已经明确界定的总体范围收集总体中全部抽样单位的名单，并通过对名单进行统一编号来建立起供抽样使用的抽样框。

3. 决定抽样方案4. 实际抽取样本5. 评估样本质量

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三、常用的概率抽样方法

1. 简单随机抽样2. 分层抽样3. 系统抽样4. 整群抽样

1 、简单随机抽样 简单机抽样是按随机原则直接从总体的个单位中抽取个单位作为样本，又称纯随机抽样。

随机原则就是等可能性原则：要保证每个总体单位都有相同的机会（概率）被抽中。

简单随机抽样是一种最基本最简单的抽样组织形式。

简单随机抽样适用于均匀总体，即具有某种特征的单位均匀地分布于总体的各个部分。

简单随机抽样抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样。

2 、分层抽样一个单位的职工有 500人，其中不到 35 岁的有125人， 35 ～ 49 岁的有 280人， 50 岁以上的有 95人。为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取 100名职工作为样本，应该怎样抽取？– 分层抽样又称分类抽样。它是先对总体各单位按主要标志加以分组，然后再从各组中按随机原则抽选一定单位构成样本。

– 在分层或分类时，应使层内各单位的差异尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能大。

– 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，宜采用分层抽样。

分层抽样图示

分层的标准和比例分层的标准问题– 以分析的主要变量或相关变量作为分层的标准– 保证各层内部同质性强，各层之间异质性强– 以已有明显层次区分的变量作为分层变量

分层的比例问题– 按比例分层抽样 – 不按比例分层抽样

分层抽样的优缺点 优点：– 在不增加样本规模的前提下降低抽样误差，提高抽样精度，增大代表性。

– 便于了解总体内不同层次的情况，以及对总体中的不同层次进行单独研究或者进行比较。

缺点： – 对抽样框的要求比较高，必须有分层的辅助信息；– 收集或编制抽样框的费用比较高；– 若调查变量与分层的变量不相关，效率可能降低。

3 、系统抽样也称机械抽样或等距抽样。它先按某一标志（有关

标准或无关标志）对总体各单位进行排队，并根据总体规模和样本容量计算出抽样间隔，再随机地确定抽样起点，就是第一个被抽取的个体，最后按照相同的距离或间隔顺序地抽取样本单位，直到完成样本为止。– 抽样间隔 =总体数（） ÷样本数（）

…起点 r r+k r+2k r+(n-1)k

例题某地区有零售店 112户，采用等距离抽样方法抽选11户进行调查。– 第一步，将总体调查对象（ 112户零售店）进行编号，即从 1号至 112号。

– 第二步，确定抽样间隔。已知调查总体 N=112，样本数 n=11户，N/n=112/11=10.18，从前 1～ 110中抽取样本，故抽样间隔=110/11=10。

– 第三步，确定起抽号数。用 10张卡片（即抽样间隔）从 1号至 10

号编号，然后从中随机抽取 1张作为起抽数号。如 2号为起抽号数。– 第四步，确定被抽取单位。从起抽号开始，按照抽样间隔选择样本。本例从 2号起每隔 10号抽选一个，直至抽足 11个为止。即所抽的单位是编号为2、 12、 22、 32、 42、 52、 62、 72、 82、 92、 102的11个零售店。

系统抽样的前提条件 系统抽样的一个十分重要的前提条件，是总体中个体的排列，相对于研究的变量来说是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。否则，系统抽样的结果将会产生极大的偏差。– 从总体 2000户家庭的社区中，抽取一个 50户家庭的样本进行调查消费状况的调查，而这 2000户家庭的名单是按每个家庭总收入的多少，由高到低的顺序排列的。初始号码为 3和 38，所抽样本家庭平均收入有很大区别，消费状况也有很大区别。

– 每个班级内的 50名学生按照学生成绩的高低来排序，每个班抽取一名学生组成样本，初始号码为 2

和 48 号，所抽样本的平均成绩差别很大。

系统抽样的优缺点 优点 :

– 简单易操作– 当对总体结构有一定了解时，充分利用已有的信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样效率

– 当总体中的个体存在一种自然编号时，采用系统抽样比较方便

缺点：– 当在不了解样本总体的情况下（如性别差异，经济基础，个人喜好，天气因素等等），所抽出的样本可能会有一定的偏差。

4 、整群抽样又称聚点抽样或群体抽样，它是先将总体划分为若干群（群），再从中任意抽取部分群（群），然后对抽中的群作全面调查，并据此结论对总体加以推断。

整群抽样尤其适用于存在自然群的场合– 在进行居民出行调查中，可以采用这种方法，以住宅区的不同将住户分群，然后随机选择群体为抽取的样本。

因为整群抽样是成群地抽选样本，故整群抽样的误差较大。为减小误差，整群抽样要求群与群之间的差异要尽量小，群内部的差异可以大一些。

整群抽样的目的在于方便抽样。在对总体缺乏了解的情况下通常采用。

整群抽样的特点 整群抽样的特点 – 抽样单位不是单个的个体，而是成群的个体

优缺点– 优点：不需要详细的所有元素的名单，简单，费用

低– 缺点：样本的分布面不广，代表性相对较差

整群抽样和分层抽样的比较– 子群间异质性强，群内同质性强——分层抽样– 子群间同质性强，群内异质性强——整群抽样

四种抽样方法的比较

类别 各自特点 相互联系 适用范围

简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体单位数较

少的均匀总体

分层抽样

将总体分成几层，分层进行抽取

各层抽样时采用简单随机抽样或等距抽样

总体由差异明显的几部分组

成

等距抽样

将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取

在起始部分抽样时采用简单随机

抽样

总体单位数较多

整群抽样

先将总体划分为若干群（群），再从中任意抽取几群（群）

各群抽样时采用简单随机抽样或等距抽样

存在自然群的场合

下列问题采用哪种抽样方式较为合理 ？

1. 从 10台冰箱中抽取 3台进行质量检查；2. 某电影院有 32 排座位，每排有 40个座位，座位

号为 140。有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下 32名听众进行座谈；

3. 某学校有 160名教职工，其中教师 120名，行政人员 16名，后勤人员 24名。为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20的样本。

解答：

1. 总体容量比较小，用抽签法或随机数表法。2. 总体容量比较大，人员没有明显差异，且刚好 32

排，每排人数相同，可采用等距抽样。将每排的40个人组成一组，共 32组，从第 1 排至第 32

排分别为第 132组，先在第一排用简单随机抽样法抽出一名听众，再将其他各排与此听众座位号相同的听众全部取出。

3. 差异明显，采用分层抽样。总体容量为 160，故样本中教师人数应为名，行政人员应为名，后勤人员应为名。

练习题某公司在 A、 B、 C、 D四个地区分别有 150个、120个、 180个和 150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这 600个销售点中抽取容量为 100的样本，记这项调查为①；在 C地区有 20

个特大型销售点，现从中抽取 7个调查它的销售收入和销后服务情况，记这项调查为②；则完成①、②这两项调查应采取的抽样方法依次为 ( )

A. 分层抽样法，系统抽样法B. 分层抽样法，简单随机抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 简单随机抽样法，分层抽样法

练习题 下列属于分层抽样特点的是 ( )

A. 从总体中逐个抽取 B. 将总体分成几层 ,分层进行抽取 C. 将总体分成几部分 ,按事先确定的规则在各部分抽取

D. 将总体随意分成几部分 ,然后进行随机抽取

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3.2 教学目标了解抽样分布的概念掌握总体均值、总体比率、总体方差的抽样分布形式

3.2 抽样分布

抽样分布的概念

样本均值的抽样分布

样本比率的抽样分布

样本方差的抽样分布

至：3.3

抽样误差

一、抽样分布的概念 先举例说明：某班组 5名工人一月份奖金分别为（ A） 20元，（ B） 25元，（ C） 30元，（ D） 35元，（ E） 40元。若以该班组为一总体，可计算其总体均值与方差：

我们采用重复抽样方式从 5人中随机地抽出 2个构成样本，共有 25个样本点，其均值如下表：

样本 样本均值 概率20.0 0.04

22.5 0.08

25.0 0.12

27.5 0.16

30.0 0.20

32.5 0.16

35.0 0.12

37.5 0.08

40.0 0.04

对表中的样本均值计算均值（即样本均值的期望值）

重复抽样的样本均值的期望值等于总体均值，这说明虽然每个样本的取值可能与总体均值有一定离差，但从总体来看，所有样本均值的均值与总体均值是没有离差的。

对于从总体中抽取容量为的所有可能样本的均值，以上结论具有普遍的意义：

通常情况下，总体参数是根据样本统计量来推断的，因而这种推断必然具有某种不确定性。为了判断推断的可靠性，样本统计量的抽样分布就成为了推断总体参数的理论依据。

抽样分布的定义某个样本统计量的抽样分布，从理论上说就是在重

复选取容量为的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布，简称抽样分布，此分布是抽样推断的基础。

样本统计量是样本的函数，由于不同的样本计算出来的统计量的值是不同的，因而样本统计量是一个随机变量。– 样本均值的分布、样本比例的分布、样本方差的分布都称为抽样分布。

的取值 的个数 的概率 抽样分布原来是指统计量的概率分布！

抽样分布的形成过程

总体参数与样本统计量的区别总体参数是总体的实际数据，是常数；样本统计量是是样本的数据，是随机变量

总体参数唯一且确定的；样本统计量不唯一不确定总体参数未知；样本统计量可以计算

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二、样本均值的抽样分布在重复选取容量为的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布，即样本均值的抽样分布。

一种理论概率分布推断总体均值的理论基础

例：样本均值的抽样分布设一个总体，含有 4个元素（个体），即总体单位数。 4个个体分别为，，，。

总体分布、总体均值、总体方差如下

现从总体中抽取的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有个样本。所有样本的结果及其均值如下表：

样本均值的抽样分布直方图

样本均值的分布与总体分布的比较

𝜇=2.5，𝜎 2=1.25

𝑥=2.5，𝜎 2𝑥❑=0.625

抽样分布的形式的分布形式与原有总体和样本容量的大小有关。

1. 原有总体是正态分布则无论样本容量多大，的抽样分布都服从正态分布，且的数学期望为，方差为。即

2. 原有总体是非正态分布：看样本量的大小 样本量，的抽样分布是非正态分布 样本量，的抽样分布趋于正态分布（中心极限定理）

的抽样分布与总体分布的关系

总体分布

正态分布 非正态分布

正态分布 非正态分布正态分布

大样本 小样本任意样本量

抽样分布的特征的均值（总体均值为）：的方差（总体方差已知，为）– 重复抽样：– 不重复抽样：

的方差（总体方差未知）– 用样本标准差代替，此时的抽样分布服从自由度为的分布

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三、样本比率的抽样分布比率– 所谓比率是指总体（或样本）中具有某种属性的单位与全部单位总数之比。不同性别的人与全部人数之比合格品 (或不合格品 ) 与全部产品总数之比

– 将具有某种属性的单位与全部单位总数之比称为总体比率，用表示，相应的样本比率用表示。

样本比率的抽样分布– 在重复选取容量为的样本时，由样本比率的所有可能取值形成的相对频数分布，称为样本比率的抽样分布。

抽样分布的形式当样本容量很大时，样本比率的抽样分布可用正态分布近似。– 若和都成立，就可以认为样本容量足够大。

的均值

的方差– 重复抽样：– 不重复抽样：

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四、样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布– 在重复选取容量为的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布，称为样本方差的抽样分布。

– 统计证明，对于来自正态总体的简单随机样本，比值的抽样分布服从自由度为的分布，即

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五、抽样误差抽样误差的含义– 抽样误差是指排除登记性误差和系统性偏差以外，由于随机抽样的偶然因素使样本各单位结构不足以代表总体各单位的结构，而引起抽样指标和全及指标之间的绝对离差。

抽样误差的影响因素– 总体各单位标志值的差异程度；– 样本单位数；– 抽样方法；– 抽样调查的组织形式。

抽样平均误差抽样平均误差的含义– 抽样平均误差是反映抽样误差一般水平的指标，其

实质是抽样指标的标准差。– 抽样平均误差反映抽样指标和总体指标间的平均误

差程度。

抽样平均误差的计算

1. 均值的抽样平均误差– 重复抽样条件下：

– 不重复抽样条件下：

2. 比率的抽样平均误差– 重复抽样条件下：

– 不重复抽样条件下：

例题假定样本容量增加 50%，则重复抽样平均误差（ B）：A. 为原来的一半；B. 为原来的 81.6%。

在重复抽样时，为使误差减少 50%，则样本容量（ C）：C. 应增加三倍；D. 应增加四倍

抽样极限误差抽样极限误差是指抽样指标与总体指标之间误差可允许的最大范围。

因平均误差反映抽样的可能误差范围，而实际上每次抽样推断中只抽一个样本，因此实际上的抽样误差可能大于抽样平均误差，也可能小于抽样平均误差。误差太大或太小都会给抽样工作造成不利影响，因而在抽样估计时，应根据研究对象的变异程度和分析任务的要求确定可允许误差的范围，这一允许范围称极限误差。

例题抽样平均误差与极限误差间的关系是（ D ）

A. 抽样平均误差大于极限误差；B. 抽样平均误差等于极限误差；C. 抽样平均误差小于极限误差；D. 抽样平均误差可能大于、等于或小于极限误差

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3.3 中心极限定理及其应用中心极限定理（ central limit theorem）– 设从均值为，方差为的一个任意总体中抽取容量为的样本，当充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为的正态分布。

中心极限定理的应用一个汽车电池的制造商声称其最好的电池寿命的分布均值为 54个月，标准差为 6个月。某一消费者组织决定购买 50个这种电池作为样本来检验电池的寿命，以核实这一声明。要求：假设这个制造商所言真实，试描述这 50个电池样本平均寿命的抽样分布。– 电池寿命的总体分布未知，但由于，属于大样本，

根据中心极限定理，这 50个电池的平均寿命近似服从正态分布。

– 均值：个月– 标准差：

例：美国汽车联合会（ AAA）是一个拥有 90个俱乐部的非营利联盟，他对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。 1999年 5月，AAA通过对会员调查得知一个 4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费大约是 213 美元。假设这个花费的标准差是 15 美元，并且 AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取 49个 4口之家，并对其在 1999年 6月期间的旅行费用进行记录。请说明：服从怎样的分布以及的均值和方差是什么？依据是什么？

例：技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为、标准差为。监控这一过程的技术人员每天随机地抽取 36袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这 36袋奶粉所组成样本的平均重量。描述的抽样分布，并给出和的值。

至：本章总结

本章总结抽样分布的概念一个总体的样本均值、样本比率、样本方差的抽样分布

中心极限定理及其应用

总结：一个总体样本统计量的抽样分布

样本统计量

样本均值

分布正态分布

样本比率 样本方差

正态分布 分布

大样本 正态总体

正 态 总 体 或非 正 态 总 体大 样 本 ， 正态 总 体 小 样本且已知

正态总体小样本，且总体方差未知

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