ГЛАВА 3. ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ ОСНОВНЫМ ДИДАКТИЧЕСКИМ ЕДИНИЦАМ

3.1. Основы проектирования технологии обучения основным дидактическим единицам3.2. Формирование математических понятий3.3. Методика изучения теорем3.4. Технология работы с правилом3.5. Методика обучению решению математических задач3.6. Технология работы с текстовой (сюжетной) задачей

В программах и учебниках по математике представлен в основном информационный компонент теоретического содержания образования, выраженный через основные единицы усвоения: понятия и их определения, аксиомы, теоремы, правила, задачи. Однако для достижения общих целей образования на современном этапе, необходимо усвоение учащимися не только информационного компонента, но и всех описанных во второй главе компонентов гуманитарно ориентированного содержания. Только от усвоения всех компонентов зависит уровень овладения учащимися теоретическим материалом, а также успешность решения ими математических задач. Следовательно, нужна новая технология обучения основным дидактическим единицам, которая способствовала бы усвоению учащимися всех компонентов гуманитарно ориентированного математического содержания. С этих позиций и излагается в данной главе методика обучения основным дидактическим единицам на технологическом уровне.

3.1 Основы проектирования технологии обучения основным дидактическим единицам

Краткое описание сущности технологического подхода было дано нами в первой главе. В данном параграфе процесс проектирования технологий обучения опишем более подробно.

Термин «Технология обучения» все чаще встречается в работах психологов, педагогов, методистов.

Зародившееся в 50-е гг. в США новое направление – технологический подход к обучению – ставило целью гарантированное достижение запланированных результатов обучения путем детально разработанных схем, указаний, предписаний, которым должен следовать учитель. По описанию М.В. Кларина [44], технологический подход включает в себя:

– постановку и формулировку диагностируемых учебных целей, ориентированных на достижение запланированных результатов обучения,

99

которые можно достаточно надежно опознать, т.е. целей-эталонов (этот этап имеет первоочередное значение);

– организация всего хода обучения в соответствии с учебными целями;– оценка текущих результатов, коррекция обучения, направленная на

достижение поставленных целей;– заключительная оценка результатов.В соответствии с этим подходом, наибольшее распространение

получила на Западе “Модель полного усвоения”. Основное ее положение состоит в том, что все ученики способны полностью усвоить материал, а задача учителя – организовать учебный процесс так, чтобы дать им такую возможность. Хотя эта теория и получила широкую международную известность, тем не менее она вызвала к себе критическое отношение и поставила два основных вопроса:

1) Каких затрат времени требует полное усвоение программного содержания каждым учеником?

2) Какие цели обучения ставятся при таком обучении и каков в этом случае уровень активности познавательной деятельности школьников?

В традиционном обучении учебные цели ставятся неконкретно, неопределенно, неинструментально: “изучить теорему …”, “ознакомить с …”, “научить решать …” и т. д. Язык, способ постановки таких целей не описывает желаемого результата обучения (учения), достижение их трудно проверить. Кроме того, цели, поставленные таким образом, связаны в основном с деятельностью учителя на уроке и практически не отражают личностный аспект ученика в обучении.

Технологический же подход к обучению позволяет решать вопрос о постановке конкретных учебных целей и направлять весь процесс обучения на их достижение. Поэтому термин “Технология обучения” к концу 70-х – началу 80-х годов все чаще стал употребляться и в нашей стране. Так, И.Я. Лернер писал, что педагогическая технология обучения предполагает формулировку целей через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, надежно опознаваемых и определяемых. В основе педагогической технологии лежит идея полной управляемости учебным процессом, проектирование и воспроизводимость обучающего цикла. В связи с этим выделяются следующие характерные черты технологии обучения: разработка диагностично поставленных целей обучения; ориентация всех учебных процедур на гарантированные достижения учебных целей; оперативная обратная связь; оценка текущих и итоговых результатов; воспроизводимость обучающих процедур. Технология обучения ориентируется на гарантированные достижения целей и идею полного усвоения путем обучающих процедур. Концепция полного усвоения дает высокие результаты, но имеет ограничения: так можно изучать материал, поддающийся членению на единицы, связанные последовательно; усвоение происходит в основном на репродуктивном уровне. При технологическом подходе, по мнению многих дидактов, обучение нацелено, в первую очередь, на усвоение лишь информационной компоненты знаний.

100

Наша задача, как было сказано во введении к данной главе, состоит в проектировании такой технологии обучения, при которой школьники усваивали бы гуманитарно ориентированное содержание целостно, в единстве всех его компонентов.

Дидактикой описывается процесс конструирования педагогической технологии следующим образом: выбор и обоснование основной идеи (философии) педагогической технологии; разработка целевой концепции технологии и иерархическая систематизация учебных целей; проектирование собственно содержания обучения, методов и форм обучения; конструирование системы средств реализации технологии в учебном процессе; разработка системы контроля и оценки учебных достижений учащихся.

Разрабатывая технологический подход к усвоению школьниками основных дидактических единиц, мы будем придерживаться выделенных этапов конструирования педагогической технологии.

Ведущими идеями проектируемой нами технологии служат принципы системного, личностно ориентированного, компетентностного, деятельностного подходов, принцип гуманитаризации, которые являются методологической основой проектирования методической системы образования математике в целом. Основополагающим является деятельностный подход, так как, во-первых, все выделенные выше аспекты этого подхода положены в основу проектирования технологии обучения основным единицам содержания, а, во-вторых, он синтезирует в себе особенности и остальных методологических положений.

Раскроем это детальнее, учитывая три аспекта деятельностного подхода, выделенных ранее в первой главе: построение процесса обучения в соответствии со структурой учебной деятельности; построение процесса обучения математике, адекватного творческой деятельности (представлена достаточно подробно во второй главе); усвоение методов, приемов, действий и операций лежащих в основе этой деятельности.

Прежде всего, деятельностный подход предполагает технологию обучения, адекватную психологической структуре учебной деятельности. Схематично ее можно представить в следующем виде:

Мотивационно ориентировочная

часть

Содержательная (операционно-

познавательная) часть

Рефлексивно-оценочная часть

Главная цель мотивационно-ориентировочной части заключается в формировании у школьника смысла предстоящей деятельности, потребности у него в изучении нового учебного материала. Эта часть, в свою очередь, состоит из четырех связанных между собой этапов:

– актуализации, – мотивации, – постановки учебной задачи,

101

– планирования ее решения.На этапе актуализации ученик осмысливает предыдущую

деятельность, непосредственно связанную с последующей. Здесь происходит в какой-то степени выравнивание познавательных возможностей учеников, в их сознании создается «ситуация успеха». По окончании этого этапа ученик получает ответы на такие вопросы: «Что я уже знаю? Что я уже умею? Готов ли я к изучению нового?» Можно отметить некоторое сходство данного этапа с процедурой повторения, которое практикуется многими учителями в начале урока. Но это сходство лишь внешнее, так как традиционный этап повторения выполняет функцию контроля знаний учеников, он несет информацию для учителя о готовности учащихся класса к изучению нового.

Цель этапа мотивации заключается в формировании у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с открытием субъективно нового для него содержания. Известно, что деятельности без мотива не бывает. Мотив является внутренней побудительной причиной к действию, желанием удовлетворить какую-либо потребность. К сожалению, проблема формирования мотивации учебной математической деятельности и до настоящего времени не находит должного внимания в методике обучения математике. Поэтому остановимся на этой проблеме несколько подробнее.

Виды мотивов разнообразны: социальные, познавательные, амбициозные, страх и другие. Их условно подразделяют на две группы: внутренние и внешние. Доказано, что первые из них оказывают особое влияние на развитие личности, вторые – на приспособление ее к определенным условиям. М.А. Родионов, исследовавший проблему формирования учебной деятельности школьников в процессе обучения математике [85], выделяет ситуативную мотивацию, которая происходит у школьника путем внешнего воздействия и внутреннюю – надситуативную мотивацию, когда ученик проявляет собственную инициативу к той или иной стороне математической деятельности. Естественно, что только во втором случае ученик становится в полном смысле субъектом деятельности.

Выделим основные источники (движущиеся силы) формирования внутренней мотивации.

Во-первых, использование огромного мотивационного потенциала самой математики. В гуманитарно ориентированном содержании математического образования уже заложен мотивационный потенциал, заключающийся, по мнению М.А. Родионова, в универсальной применимости математики, максимальной определенности и убедительности, творческой неисчерпаемости, эстетическом совершенстве.

Во-вторых, внутренняя мотивация формируется организацией процесса обучения, технологией обучения, которая, как правило, состоит в следующем. Создав ”ситуацию успеха“ на этапе актуализации, учитель предлагает учащимся конкретную учебно-практическую задачу, похожую по внешним признакам на ту, которая была на первом этапе. Однако ее решение вызывает серьезные затруднения у ребят или приводит к нерациональным

102

действиям. Таким образом, в сознании учеников возникает “ситуация интеллектуального конфликта”: “Хочу, но не могу!” Создается проблемная ситуация, вызывающая у школьников потребность в дальнейшей деятельности.

Приведем характерные для уроков математики приемы создания мотивации и проиллюстрируем их на отдельных примерах.

1. Там, где есть возможность, показывать учащимся, что необходимость изучения нового диктуется запросами практики.

Например, прежде чем ввести понятие обыкновенной дроби, предлагаем на этапе актуализации найти длину отрезка такой единицей измерения, которая укладывается в данном отрезке целое число раз. Затем на этапе мотивации предлагаем найти длину этого же отрезка, но в качестве единицы измерения выбираем отрезок, значительно больше данного. Ученик понимает, что длина отрезка, так же как и в первом случае, должна выражаться некоторым числом, но не может подобрать ни одного известного ему натурального числа.

2. Логика развития математического содержания сама подсказывает учителю разработку этапа мотивации.

Например, после этапа актуализации, на котором были выделены известные учащимся способы построения графиков функций (в частности, способ построения графика функции по отдельным точкам), предлагаем учащимся однотипное по форме задание: построить график функции y = х5 - 5х3 + 2,8 х + 1. Хотя пять точек графика данной функции (с абсциссами -2, -1, 0, 1, 2) и лежат на одной прямой, но, очевидно, что графиком этой функции прямая не является. Такая проблемная ситуация возможна при изучении темы “Исследование функции и построение ее графика с помощью производной”.

3. Прием системности часто применяется на этапе мотивации. Проиллюстрируем его на следующем примере.

После изучения двух первых признаков равенства треугольников обращаем внимание учащихся на общие условия этих двух теорем: 1) даны два треугольника; 2) три пары элементов одного треугольника равны соответственно трем парам элементов другого треугольника. Возникает мотив к изучению других признаков равенства треугольников, имеющих по три другие пары соответственно равных элементов.

4. Не следует опускать возможностей в создании “интриг” на уроке, чтобы у ребят вызвать чувство удивления и естественный вопрос “Как это?!”

Например, приступая к изучению темы “Способ группировки”, учитель предлагает вслед за упражнениями на разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя такой многочлен:

2a4 – 3ab + 2а3b – 3b2.Учащиеся отвечают, что разложить данный многочлен на множители

нельзя, так как его члены не имеют общего множителя. Но каково их удивление после того, как они по предложению учителя найдут произведение

103

следующих двучленов 2a3 − 3b и a +b. Естественным образом возникает вопрос о том, как выделить искомые множители.

В качестве «интриги» можно использовать известные в литературе математические софизмы.

5. Очень часто на уроках математики удается создать проблемную ситуацию в ходе проведения учащимися анализа реализованной ими нерациональной цепочки действий.

Например, предлагаем ребятам найти сумму следующих десятичных дробей: 2, 56 + 7, 9.

Умея складывать обыкновенные дроби, учащиеся находят эту сумму следующим образом:2,56 + 7,9 = 256/100 + 79/10 = 214/25 + 79/10 = 228/50 + 745/50 = 973/50 = 1023/50 = 1046/100 = 10,46.

По окончании выполнения задания ученики оценивают количество выполненных ими операций и приходят к выводу о нерациональном нахождении суммы десятичных дробей.

6. Для разработки этапа мотивации может быть привлечен анализ выполненных работ учащихся.

Например, перед изучением теоремы о произведении корней может быть предложена самостоятельная работа, содержащая, в частности, задание

на вычисление: . После ее выполнения учащимся предлагается

оценить приведенное ниже решение и указать теоретическое положение, лежащее в основе перехода от данного выражения ко второму:

В процессе обсуждения выясняется, что ответ получен такой же, как в самостоятельной работе у ребят, использовавших при вычислении правило возведения произведения в степень и определение арифметического квадратного корня. Однако, вопрос о правомерности выполненного преобразования исходного выражения остается открытым, так как нет теоретического положения, обосновывающего переход от первого выражения ко второму. Возникает вопрос: случайно ли совпали результаты?

7. Побуждает учащихся к дальнейшей деятельности решение нестандартных, старинных задач, обращение к истории математики.

Примером может служить обращение к известной задаче о шахматах, предваряя изучение темы о геометрической прогрессии.

Список приемов можно продолжить, но и приведенных достаточно, чтобы понять важность этапа мотивации. Заметим также, что "мотивационный фон" должен быть в течение всего урока: на любом его этапе ученики должны осознавать смысл своей деятельности, понимать, зачем и почему делают так, а не иначе.

Этап мотивации естественно переходит в этап постановки учебной задачи.

Этот этап – самое сильное звено в мотивационно-ориентировочной части. Сначала остановимся на ведущем понятии теории учебной

104

деятельности – учебной задаче. Толкование понятия «учебная задача» в научной литературе очень широкое. Частично этого вопроса мы коснемся далее в п.4.1. В контексте теории учебной деятельности под учебной задачей понимают обобщенную цель деятельности, сформулированную в виде обобщенного задания. Ее решение предполагает не просто усвоение способа, но и усвоение теоретических оснований, на которых строится этот способ. На этом этапе ученики должны отделить свои знания от незнаний. Этап постановки учебной задачи заканчивается ответами ребят на вопрос: «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?» Психологи связывают данный этап с действием целеполагания у ребят, поскольку учебную задачу можно трактовать как цель, поставленную в конкретных условиях. Чаще всего учебная задача (цель) формулируется в терминах: "найти", "открыть", "выявить", "проанализировать", "исследовать", "оценить" и др.

Ценность этапа постановки задачи (цели) состоит в том, что ученик принимает посильное участие в ее формулировке. Цели для ученика должны быть "не только понятны, но и внутренне приняты им, то есть чтобы они приобрели значимость для учащихся и нашли, таким образом, отклик и опорную точку в его переживании." – пишет С.Л. Рубинштейн [87]. Ученик становится субъектом деятельности тогда, когда сознательно принимает объективные цели деятельности как свои личные. К сожалению, в школьной практике часто наблюдается иной подход. После создания проблемной ситуации на этапе мотивации учитель спешит сообщить ученикам, что данную задачу они решить не могут, так как не знают такого-то понятия (или такой-то теоремы, или такого-то правила …). Далее учитель сам формулирует тему и, в лучшем случае, ставит соответствующие цели. При таком подходе цели урока не становятся для школьников лично значимыми, что существенно снижает познавательный интерес к последующей деятельности у большинства из них.

Итак, третий этап заканчивается самостоятельной или совместной с учителем постановкой целей предстоящей деятельности. Школьная практика подсказывает, что в младших классах желательно эти цели письменно фиксировать или на доске или в тетрадях учащихся.

Цель этапа планирования состоит в проектировании программы дальнейшей деятельности. На этом этапе ученики получают ответ на вопрос: "Что и в какой последовательности мы должны изучать?" Ответ на данный вопрос обычно находим с помощью аналогии или исходя из системного характера знаний. Желательно также письменно зафиксировать дальнейший план действий.

Заметим, что этап планирования может быть длительным, например, в начале изучения достаточно большой темы или раздела. Поэтому ему можно посвятить целый урок, отсюда следует и название такого урока - урок планирования (он будет описан в следующей главе).

Итак, можно выделить следующие функции мотивационно-ориентировочной части технологии обучения: побуждающую, смыслообразующую, направляющую.

105

Содержательная (операционно – познавательная) часть технологии обучения направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанную с решением учебной задачи. Эта часть технологии проектируется в соответствии со спецификой математической деятельности, которая достаточно подробно описана в п.2.3. Далее мы будем ее адаптировать при проектировании технологии обучения конкретным видам дидактических единиц – определений, теорем, правил, ключевых задач (см. п.п. 3.2 – 3.5).

Основная цель рефлексивно-оценочной части состоит в осмыслении проведенной учащимися математической деятельности, связанной с получением новых знаний.

Рефлексивно-оценочная часть включает в себя следующие этапы:– соотнесение целей и полученных результатов;– осмысление методов, приемов, теоретических положений, с

помощью которых получены эти результаты; – осознание ценностей приобретенных результатов и

соответствующих им методов;– оценка собственной деятельности.На первом этапе рефлексивно-оценочной части соотносятся цели,

запланированные в начале деятельности, и полученные результаты по ее окончании. Соответствие целей и полученных результатов вызывает у школьников положительные эмоции от радости победы, от познания нового. В противном случае деятельность нуждается в корректировке: или в уточнении целей, или в разработке иной программы, или в решении учебной задачи другими методами, или в обращении за помощью к учителю, к другим источникам информации и т. п. На этом этапе ученик отвечает себе на такой вопрос: “ Получил ли я те результаты, которые соответствуют сформулированным целям?”

На втором этапе анализируются методы, приемы, теоретические положения, с помощью которых получены соответствующие целям результаты. Особо выделяются эвристические методы, которые имели место при получении гипотез и отдельно осмысливаются общелогические и частные методы, используемые при опровержении гипотез или их доказательств. Ученики оценивают новизну этих методов и приемов. Если они впервые их применяют, то выделяют суть этих методов и приемов, дают им названия. Если же методы и приемы известны учащимся, то они еще раз убеждаются в дополнительных возможностях их применения. Таким образом, школьники осознают не только результаты деятельности, но и способы их получения. Кроме того, ученик пополняет личный опыт новыми эвристическими приемами. На этом этапе ученик отвечает на следующие вопросы: ”Как я получил такие результаты? Возможен ли другой способ получения тех же результатов?”

На этапе осознания ценностей ученики пытаются спрогнозировать ситуации (например, составить задания), при решении которых они могли бы применить полученные результаты и соответствующие им методы,

106

эвристические приемы. Здесь ученик ставит вопросы: ”Что я теперь могу делать? Как расширились мои возможности в области математики?” Ответом на эти вопросы служат формулировки частных эвристик. Под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки соответствующего теоретического положения (аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи). Например, доказав теорему о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и проводя описанную выше работу, получаем следующие эвристики:

1. Если будет известно, что треугольник равнобедренный, то можно использовать: а) равенство двух сторон; б) равенство углов при основании.

2. Для того, чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

В последнем случае важно поставить еще один вопрос: "Какие способы доказательства равенства углов вам теперь известны?"

На этапе оценивания собственной деятельности ученик анализирует значимость собственного вклада в совместно полученные результаты, свой уровень усвоения новых знаний и уровень усвоения способов работы с этим знанием, собственное эмоциональное состояние. На этом этапе школьник пытается ответить на вопросы: ”Доволен ли я своей работой? Что мне было непонятно? Какой момент мне больше всего понравился? К обсуждению каких вопросов мне хотелось бы вернуться?” и т.д.

Итак, можно выделить следующие функции рефлексивно-оценочной части: ценностнообразующую, самооценивающую.

Как видим, деятельностный подход к построению технологии усвоения дидактических единиц позволяет реализовать концепцию личностно – ориентированного обучения, создавать условия для осуществления гуманитарного потенциала школьного курса математики на каждом из выделенных этапах построенной технологии.

Отметим еще одну важную особенность предлагаемой технологии обучения математике. В основу ее проектирования положена методология научного поиска в математике, модель творческой математической деятельности.

Наконец, в методологическую базу разрабатываемой технологии включается и дидактическая концепция целеполагания, так как технология обучения направлена на достижение диагностируемых целей – целей эталонов. Ее основные положения мы изложили в п. 2.1. там же сформулированы стратегические цели общего среднего образования и процедура их конкретизации. Добавим к уже сказанному следующее. Конкретизация целей на уровне реального процесса обучения происходит и с опорой на уровни усвоения материала учеником.

Среди отечественных таксономий можно выделить классификации, предложенные В.П. Беспалько и И.Я.Лернером [6, 55]. Общим в них является выделение трех возможных уровней усвоения. Первый уровень

107

характеризуется умением учащихся воспроизвести знания о действиях; второй – умением воспроизводить действия в знакомых или опознаваемых ситуациях; третий – умением применять эти знания творчески.

В мировой практике на сегодняшний день наиболее распространенной является система Б.Блума в когнитивной области. Она строится по принципу иерархической зависимости и содержит шесть категорий: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка[43, 44].

Свой выбор для постановки диагностируемых целей мы останавливаем на системе Б.Блума по следующим причинам: во-первых, каждая категория расписана через наблюдаемые действия учащихся; во-вторых, каждая последующая категория требует для своего формирования полного владения предыдущими; в-третьих, эти таксономии отражают развивающую функцию обучения, поскольку последние пять категорий характеризуют в нарастающей последовательности и уровень интеллектуальных умений; в-четвертых, в этих таксономиях выделен такой уровень, как “понимание”, который является ключевым в процессе усвоения основных дидактических единиц и соответствует этапу “Осознание, осмысление” в рассмотренном выше процессе усвоения.

Поскольку в настоящей работе описывается технология работы с отдельными дидактическими единицами, то мы в дальнейшем конкретизируем эти цели на уровнях “Знание”, “Понимание”, “Применение” (в стандартных ситуациях). Отметим лиш, что категория «знание» нами используется лишь при работе с дидактическими единицами и, как будет показано далее, запоминаю формулировок определений теорем, правил должно предшествовать осмысление учащимися их содержания. Запоминание должно прежде всегоопираться на мыслительный процесс, и только во вторую очередь - на память.

3.2 Формирование математических понятий

Математические понятия и их определения

С точки зрения формальной логики понятие — это мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющих отличить эти предметы и явления от смежных с ними. Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.

Усвоение понятий является основным условием развития понятийного мышления школьников, что приводит к изменениям в содержании мышления в целом. С одной стороны, процесс формирования понятий обеспечивает развитие интеллектуальных возможностей учащихся. В то же время, особенности усвоения понятий оказывают непосредственное влияние на

108

характер и степень осознания учащимися своего отношения к действительности [80].

Основными характеристиками понятия являются его содержание и объем. Содержание понятия – это множество существенных (характеристических) свойств данного понятия, которые выделяют этот объект из множества других. Например, в содержание понятия "ромб" входит то, что это

• параллелограмм, в котором• смежные стороны равны;• диагонали перпендикулярны;• диагонали делят его углы пополам;• высоты равны;• имеется вписанная окружность и т. д.Однако, чтобы отличить одно понятие от другого, нет необходимости

перечислять все его существенные свойства. Достаточно указать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе — достаточными для того, чтобы выделить понятие из всех других. С этих позиций и строится определение понятия — предложение, раскрывающее содержание (смысл) этого понятия.

Определение математических понятий может быть дано различными способами. В научно-методической литературе нет единого подхода к классификации способов определения математических понятий. Однако можно заметить, что большинство из них являются частными случаями определения через род и видовые отличия. Логическая структура практически всех определений может иметь вид:

В = { х / х А и Р(х)},где В — класс объектов, состоящих из х, принадлежащих А — ближайшему роду, и обладающих свойством Р — видовым отличием.

В свою очередь, можно указать различные способы задания видовых отличий Р:

а) перечислением некоторого набора свойств (биссектриса угла);б) конструктивно, указанием способа построения (получения,

цилиндрическая поверхность);в) индуктивно (арифметическая, геометрическая прогрессии);г) через отрицание (скрещивающиеся прямые).Чтобы ученик мог оперировать определением понятия, важно, чтобы

он осознал родоподчиненную связь между понятиями и их видовые отличия, а также логическую природу связи между видовыми отличиями, если их несколько: конъюнктивную, дизъюнктивную или смешанную.

Встречается косвенное определение понятий, когда понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Так вводятся:

а) основные неопределяемые понятия той или иной дисциплины; в геометрии это точка, прямая, принадлежать, лежать между (зависят от принятого подхода к построению курса);

109

б) понятия длины, площади, объема в курсе геометрии. На ранней ступени изучения математики (начальная школа, V-VI

классы) определения математическим понятиям часто не дают, а пользуются при этом описанием понятия (нестрогие определения) или указанием моделей определяемых понятий.

Множество объектов, которые обладают характеристическими свойствами понятия, называется объемом понятия. Краткое содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации.

Существуют определенные требования к определениям математических понятий. Определение должно иметь форму категоричного суждения. Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или некорректным в зависимости от того, удовлетворяет ли оно следующим требованиям:

– определение должно быть соразмерным, в нем должны быть существенные признаки, необходимые и достаточные для того, чтобы отличить определяемое понятие от всех других понятий;

– определение должно быть минимальным, не содержать излишних требований (в школе иногда отходят от этого требования: прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые);

– определение не должно содержать порочного логического круга (тавтологии). Например, прямым углом называется угол, содержащий 900; градусом называется часть прямого угла;

– при введении с помощью определений системы понятий необходимо избегать омонимии – использования одного и того же термина в разных смыслах;

– логическое определение есть формула, у которой нельзя убрать или к которой нельзя добавить ни одного слова, которые искажали бы ее смысл;

– определение нельзя подменить его признаком, в определении должно быть слово «называется» (распространенная ошибочная формулировка: «если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм»).

Отметим также, что множество существенных независимых свойств, данное в определении понятия, может быть задано неоднозначно. Вместо указанного видового отличия можно взять любо другое, лишь бы оно было необходимым и достаточным условием данного понятия.

Наконец, говоря о корректности определения понятия с точки зрения логики, необходимо доказывать его существование.

Поскольку видовое отличие является необходимым и достаточным условием понятия, то при доказательствах определением понятия пользуются «в две стороны»:

– если известно, что четырехугольник - параллелограмм, то отсюда (по определению) следует, что в нем противоположные стороны параллельны;

110

– если известно, что в четырехугольнике пары противоположных сторон параллельны, то отсюда следует (по определению), что этот четырехугольник – параллелограмм.

Получили две частные эвристики, основанные на логическом действии «выведении следствий». Можно сформулировать еще две частные эвристики, основанные на логическом действии «подведение под понятие»:

– для того, чтобы установить параллельность двух прямых, можно попытаться доказать, что они содержат противоположные стороны параллелограмма;

– для того, чтобы установить, что четырехугольник является параллелограммом, можно попытаться доказать параллельность пар его противоположных сторон.

Умение оперировать определением понятия включает в себя умение переформулировывать определение в виде частных эвристик. Ученики с высоким уровнем обучаемости делают это неосознанно самостоятельно. Основную же часть школьников этому нужно специально обучать, особенно на начальном этапе работы с определением.

Отметим здесь же, что ученики допускают типичные ошибки при работе с определением:

– учащиеся опускают слова или добавляют лишние, искажающие смысл (неверно называют родовое понятие, опускают одно из видовых отличий, меняют логическую связку «и» на «или» и наоборот);

– определение подменяют признаком;– в определении нескольких понятий присутствует тавтология и т.д.Учителю следует прогнозировать типичные ошибки учащихся в работе

с определением, подбирать для их устранения соответствующую систему упражнений. Здесь же отметим, что не следует требовать от учащихся заучивания описательных определений, не понимая смысла каждого слова в определении.

Технология организации усвоения математических понятий

Формирование понятий — сложный психологический процесс, длительный по времени. Он может выходить и за рамки школьного обучения. Однако в нем есть начальный этап, связанный с выявлением содержания понятия, конструированием его определения или описания. Этот этап Г.П. Сенников называет "образованием, понятия в мышлении ученика" [94, с 31]. Он носит кратковременный характер и ограничивается чаще всего одним-двумя уроками. Вместе с тем этот этап очень важен, так как в зависимости от того, на каком уровне усвоено содержание понятия, отраженное в определении, зависит успех в дальнейшей работе с ним.

Очень часто приходится наблюдать, что определение вводимого понятия дается ученикам в готовом виде. Даже авторы учебного пособия "Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики", подчеркивая необходимость формирования логического

111

действия по раскрытию структуры определения математических объектов, ничего не говорят о том, как появляется на уроке определение понятия, какова деятельность учащихся на этапе образования понятия [52, с. 42].

На практике же вслед за определением дается в лучшем случае образец (алгоритм) его применения к решению задач, т.е. не уделяется внимание осознанию и осмыслению учащимися новой формулировки. Предполагается, что ее усвоение произойдет в результате заучивания, в процессе закрепления и применения определения понятия. Упрощенная схема работы с понятием не является случайной в практике работы учителя, она отражает ведущую цель традиционного обучения — усвоение информационной компоненты содержания. Поэтому цель — овладение учащимися знаниями о действиях по "открытию" нового, по конструированию определения, а затем и овладение самими действиями — в традиционном обучении не ставится.

В педагогической психологии исследован и прошел экспериментальную проверку принципиально иной, генетический подход к формированию понятий (Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов). В рамках этого подхода понятие задается ученикам не в форме логического определения, а строится самими учащимися через систему выполняемых учебных действий. Тем самым осуществляется процесс становления понятия в сознании ученика. "Иметь понятие о каком-либо предмете, — пишет В. В Давыдов, — значит владеть общими способами его построения, знанием его происхождения. Этот способ — особое мыслительное действие человека, которое само образуется как дериват предметного действия, воспроизводящего предмет своего познания" [23, с.321-322]. Характерной особенностью, концепции развивающего обучения, разрабатываемой в трудах Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, является то, что посредством организации собственных мыслительных действий учащихся достигается проникновение в фундаментальные отношения изучаемого предмета, открываются закономерности, всеобщие связи.

В соответствии со сказанным, важно проследить процесс (гносеологию) образования определения понятия. В довольно упрощенной форме, но, как нам представляется, важной для разработки соответствующей технологии, процесс образования понятия можно описать следующим образом. Рассматривается множество объектов, обладающих какими-либо важными общими признаками. Далее отбрасываются все частные, второстепенные признаки, которые принадлежат не всем объектам, и выделяются общие, которые принадлежат каждому объекту этого множества. Совокупность этих существенных признаков, характеризующих понятие, называется содержанием понятия и отражает сущность понятия. Однако, чтобы определить понятие, как было сказано, нет необходимости указывать все признаки, входящие в содержание понятия. Для этого достаточно выбрать те из них, каждое из которых является необходимым, а все вместе достаточными для характеристики данного понятия. Какой бы вид ни имела структура определения понятия (через род и видовое отличие,

112

конструктивный), важным действием с точки зрения образования понятия является выделение его характеристических свойств и их фиксация в специально выбранной форме.

Методологический анализ генезиса понятий показывает, что в его основе лежат такие мыслительные операции, как анализ (расчленение, выявление отдельных свойств объекта), сравнение, синтез (объединение свойств, полученных при анализе, в единое целое), обобщение (мысленное выделение фиксированных свойств, принадлежащих данному классу объектов или отношений), абстрагирование (мысленное отвлечение общих существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от второстепенных, несущественных).

Таким образом, нужна такая технология организации усвоения математических понятий, которая давала бы возможность овладевать ученику следующими методологическими знаниями и умениями:

– знанием генезиса образования понятия,– знанием логической структуры определения понятия,– умениями осуществлять действия подведения под понятие и

выведения следствий,– умением проводить классификацию, систематизацию научных

понятий, а также понимать необходимость доказательства существования понятия.

В соответствии с вышеизложенным, можно ставить диагностируемые цели по усвоению понятий на уровнях "знание", "понимание", "применение (в стандартных ситуациях)". Они отражены в таблице 3.1.

Таблица 3.1Диагностируемые учебные цели при изучении понятий

Категория учебных целей

Критерии достижения целейЦель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание - вставляет пропущенные слова в формулировке;- формулирует определение понятия;- среди предложенных выбирает формулировку определения.

2. Понимание - создает символическую и графическую модель понятия;- приводит или отбирает примеры и контрпримеры;- подводит объект под понятие по словесной, символической или

графической форме задания;- подбирает достаточные условия для того, чтобы объект подходил

под понятие;- выводит следствия из условия принадлежности объекта к

данному понятию;- устанавливает связи данного понятия с другими, ранее

изученными понятиями;- перечисляет способы, приемы, методы познания на этапе

открытия понятия.3. Применение (в стандартных ситуациях)

- указывает, для решения каких задач можно использовать данное определение;

- составляет дидактические задачи на применение определения;- применяет определение в стандартных ситуациях;

113

- различает определение, свойства и признаки при обосновании хода решения задач.

Технология достижения этих целей проектируется в контексте деятельностного подхода: психологической структуры учебной деятельности, специфики математической деятельности (п. 3.1). Ее модель на уровне образования понятия (1-2 урока) представлена в таблице 3.2.

Таблица 3.2Технологический процесс формирования математических понятий

(на этапе «образование понятия»)

Мотивационно-ориентировочная

часть

Операционно-познавательная

часть

Рефлексивно-оценочнаячасть

(осознание, осмысление)↓ ↓ ↓

Актуализация знаний Выявлениесодержания понятия

(моделирование)

Соотнесение учебной задачии полученных результатов↓

Мотивация(проблемная ситуация)

↓↓ Осознание логической

структуры определения↓ Термин (имя)Постановка учебной

задачи↓ ↓

Конструированиеопределения

Существование↓ ↓

Планирование решенияучебной задачи

↓ Подведение под понятие -частные эвристикиСимвол

↓Выведение следствий -

частные эвристики↓

Прогнозированиеприменения

↓Эквивалентное определение

↓Рефлексия и оценка

собственных действий

Введение знаний в систему

Поскольку приемы деятельности учителя и учащихся в первой, мотивационно – ориентировочной части, раскрыты нами в п. 3.1, то более подробно опишем вторую и третью части этого технологического процесса.

114

Укажем некоторые приемы включения школьников в математическую деятельность по "открытию" и конструированию определений математических понятий.

Г.П. Сенников основным приемом образования понятий считает наглядно-конструктивный метод. Суть его кратко может быть представлена следующим образом. Учитель предлагает ученику сконструировать (в геометрии — построить) модель к известному (родовому) понятию, преобразовать ее в модель к вводимому понятию (учитель сам подсказывает ученикам эти преобразования, т.е. фактически сам выделяет видовые отличия), далее вводит термин и предлагает учащимся самостоятельно сформулировать определение понятия. На этапе осмысления приводятся модели и контрмодели к понятию (выделяется умственное, логическое действие подведения под понятие).

Поясним эти рассуждения на примере введения понятия "компланарные векторы".

Учитель предлагает изобразить плоскость α и параллельные ей: а) прямую а; б) прямые а и b; в) прямые а, b и c (непараллельные друг другу). Затем, на прямых, задаются соответственно векторы и и откладываются им равные в плоскости α (рис. 3.1 а, б, в). Учитель вводит термин и предлагает учащимся сформулировать определение компланарных векторов [87, с.25].

а) б) в)Рис.3.1

Достоинство этого приема состоит в том, что ученики действительно сами формулируют определение понятия, но не сами выделяют его существенные признаки. Использование его на уроке не предполагает осознания учащимися действий по отбору видовых отличий.

Более высокий уровень мыслительной деятельности школьников связан с их самостоятельным выделением характеристических свойств понятия. Назовем его аналитико-синтетическим приемом. При этом можно ограничиться единичным объектом вводимого понятия, а можно вводить понятие вместе с его противоположностью.

В этом случае работа на уроке может быть следующей.

115

Рис.3.2

Используя изображение параллелепипеда (рис.3.2), учитель повторяет понятия вектора, равных, противоположных, коллинеарных векторов, критерий коллинеарности двух векторов, выражение вектора через два неколлинеарных вектора, если все три вектора принадлежат одной плоскости. Выясняется, как могут располагаться два, три вектора в пространстве.

Далее дается следующая система вопросов-заданий:– Сколько различных векторов задают ребра параллелепипеда?– Опишите свойства пар (троек) векторов (анализируется каждый

случай отдельно): а) ; б) ; в) .а) ; б) ; в) .

– Выделите общие и различные свойства пар (троек) векторов (анализ, сравнение, синтез являются ведущими мыслительными операциями при этом).

– Выделите признаки, по которым все шесть случаев можно разбить на две группы (существует плоскость такая, что пары или тройки векторов, отложенные от любой ее точки, лежат в этой плоскости; не существует такой плоскости). В первом случае векторы называются компланарными. Попытайтесь сформулировать определение компланарных векторов и создать графическую модель к новому понятию (проводится обобщение и абстрагирование).

– Попробуйте спрогнозировать, какие вопросы мы должны изучать в дальнейшем.

Анализ второго приема наглядно иллюстрирует и методику обучения школьников мыслительным операциям. Обучение идет на конкретном примере с помощью специальных вопросов-заданий, отражающих ход (план) исследования. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема позволит учащимся выделить и осознать выполненные действия по "открытию" характеристических свойств нового понятия.

Вместе с тем, в приведенном примере мы формируем уже на этапе образования определения понятия такой важный мыслительный прием, как классификация. Здесь, как и во втором случае, знания о выполняемых действиях усваиваются учащимися через осознание собственных действий в процессе поиска оснований для классификации. Неоднократное и целенаправленное использование этого приема будет способствовать формированию идеи классификации как способа познания и может быть продиагностировано при изучении нового понятия или при решении специально подобранной задачи.

116

Укажем прием, в основе которого лежит аналогия. Например, понятия длины, площади были изучены в курсе планиметрии. Изучая в Х классе понятие объема многогранников, учитель повторяет понятия длины отрезка и площади многоугольника. Далее замечает, что с понятием объема на интуитивном уровне школьники имели дело, начиная с пятого класса. Но теперь ставится задача изучить это понятие на более абстрактном уровне, отвлекаясь от конкретных моделей тел в виде куба, параллелепипеда и т. п. Проводя аналогию с понятием площади многоугольника, ученикам самостоятельно предлагается ответить на вопрос: "Что такое объем многогранника?" После этого учитель может предложить ученикам спрогнозировать, пользуясь аналогией, какие вопросы предстоит изучать в этой теме далее и как. Здесь предполагается, что аналогия как метод познания уже знаком учащимся, т.е. они знают об особенностях умозаключений, сделанных по аналогии, осознанно формулируют выводы об аналогичных свойствах нового объекта.

Еще пример. Операция вычитания (деления) на множестве натуральных чисел определяется как обратная сложению (умножению). Смысл ее остается тот же и на всех других изучаемых в школе числовых множествах. Поэтому, переходя к новым числовым множествам, следует побуждать школьников самим давать определения указанных операций, пользуясь аналогией.

Иногда прием конкретизации позволяет школьникам самим дать определение понятия. Например, в курсе геометрии VII класса дается общее определение равных фигур. Изучая далее равные отрезки, равные углы, равные треугольники, школьники могут дать самостоятельно определения этих понятий. Для этого необходимо соблюдать схему овладения учащимися действиями:

информацияо конкретизации

как способе познания

→ осознанное ее применение в

знакомой ситуации

→формулировка

определения нового понятия

на основе конкретизации

Наконец, там, где представляется возможность, важно показывать школьникам, как из множества существенных признаков, входящих в содержание понятия, выбирают те, которые входят в его определение. Заметим попутно, что вообще для целенаправленного формирования у школьников мыслительных операций важно умело подбирать соответствующее содержание. Сложность математического материала не должна быть при этом чрезмерно высокой.

Например, после того как изучен параллелограмм и прямоугольник, их свойства и признаки, работу по изучению ромба можно организовать следующим образом.

На доске изображены различные виды параллелограммов (рис. 3.3):

117

а) б) в) г) д)

Рис.3.3Учитель предлагает разбить их на виды по каким-либо признакам.

Устанавливается, какие частные виды параллелограммов уже изучены, а какие нет.

– Выделите случаи в), г), д). Как вы думаете, что отличает эти фигуры от произвольного параллелограмма и от прямоугольника?

– Выделите признаки, отличающие их от произвольного параллелограмма.

На глаз учащиеся могут обнаружить равенство всех сторон. Учитель побуждает учащихся "открыть" и другие отличительные признаки рассматриваемой фигуры (на глаз или измерением устанавливаются признаки, связанные с диагоналями). Далее учитель различным группам учащихся дает задания доказать следующие факты:

Если в параллелограмме все стороны равны, то его диагонали перпендикулярны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Если в параллелограмме диагонали делят пополам его углы, то все стороны параллелограмма равны. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то они делят его углы пополам. Сформулировать и доказать обратное утверждение.

После этого идет коллективное обсуждение результатов работы каждой группы и делается вывод, что каждая группа нашла признак, по которому ромб можно отличить от параллелограмма. Каждый из них характеризует понятие ромба, но в определение ромба нет нужды включать их все. Достаточно включить в определение один из них. Тогда оставшиеся два будут следовать из определения (получаем теоремы — признаки и свойства ромба).

Естественно теперь предложить школьникам дать различные определения изученных ранее понятий параллелограмма и прямоугольника.

Такой подход делает акцент на получение суждений, установление их связей и не ограничивает понятие одним его определением, а формирует взгляд на определение как на совокупность существенных свойств, а также на то, что понятие может быть охарактеризовано различными такими совокупностями.

Уровень исследовательской деятельности школьников может быть усилен, если приступить к работе по анализу в начале изучения темы "Четырехугольники". В этом случае следует предложить, ученикам сначала рассмотреть различные группы выпуклых четырехугольников в зависимости от параллельности противоположных сторон, равенства противоположных сторон, углов. В результате обсуждения наметить программу изучения темы.

118

Важнейшим методологическим знанием о понятии является вопрос его существования. Требование доказательства существования объекта формирует математический стиль мышления. В большинстве школьных учебников по математике этот вопрос явно не ставится. Но известный математик и методист Н.М. Бескин рекомендовал учителю все определения без исключения сопровождать доказательством существования определяемых объектов. К сожалению, в современных учебниках этот вопрос чаще всего вообще не рассматривается. Естественным доказательством существования объекта в геометрии является его построение. В алгебре приводятся соответствующие примеры. Обращать внимание школьников на существование рассматриваемого объекта можно не затрачивая на это больших усилий.

Мы описали некоторые приемы, позволяющие включить школьников в самостоятельную аналитико-синтетическую деятельность по раскрытию содержания математических понятий и по конструированию их определений (фактически, описали технологию работы учителя и ожидаемые действия учащихся на операционно-познавательном этапе.

Не менее важна тщательная технологическая проработка рефлексивно-оценочной части. Здесь происходит осознание (понимание) логической структуры определения и запоминание его формулировки, формирование умения оперировать определением, выделять частные эвристики, осознание и оценка учеником своей собственной деятельности. Управление этим этапом со стороны учителя осуществляется посредством специально сконструированной системы упражнений, заданий. Они носят как репродуктивный, так и развивающий характер. Приведем возможные типы заданий на этом этапе.

1. Сформулируйте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить (достигнуть). Какой результат мы получили? Решили ли мы поставленную задачу?

2. Сформулируйте полученное определение.3. Определите, корректно ли определение (учитель модифицирует

формулировку, добавляя или опуская некоторые слова: а) изменяющие смысл данного определения; б) не изменяющие).

4. Приведите примеры введенного понятия, постройте (в геометрии) – фактически происходит доказательство существования понятия.

5. Как символически можно изобразить введенное понятие?6. Выясните, подходят ли изображенные на рисунке фигуры

(записанные алгебраические выражения) под данное понятие. Ответ обоснуйте (формируется логическое действие подведение под понятие).

7. Известно, что мы имеем …(проговаривается термин введенного понятия). Что отсюда следует? (формируется логическое действие выведения следствий).

8. Какие частные задачи можем решать на основе введенного определения? Попытайтесь сами составить такие задачи (формулируются частные эвристики).

119

9. Какие еще способы решения указанных задач вы знаете?10.Расскажите, как вы выявили свойства понятия, входящие в его

определение.11.Как вы оцениваете свою деятельность по выявлению свойств

изучаемого понятия?12.Узнав определение нового понятия, как вы думаете, что нам следует

изучать дальше? Последним вопросом учащиеся подводятся к необходимости изучения его новых свойств и признаков.

Конечно, не все приведенные задания даются ученикам после введения каждого определения, равно как и вся описанная технология не может применяться при изучении каждого определения. Все зависит от уровня развития культуры мышления школьников, их обученности. Большинство из этих упражнений следует предлагать на ранних стадиях работы с определением, тем самым и повышая их уровень математической культуры учащихся.

Приведенные задания входят и в число задач для диагностики изучаемого понятия.

Подготовка учителя к работе с определением понятия на уроке

В заключение опишем, как должен готовиться к уроку по изучению определения учитель. Подготовка к уроку начинается с логического и дидактического анализа формулировки определения.

Логический анализ определения понятия предполагает выполнение учителем следующих действий:

1. Анализ формулировки: а) установление вида определения: через род и видовые отличия,

косвенное, описательное;б) выделение родового понятия и установление логической структуры

видовых отличий, наличие в определении кванторов;в) установление содержания понятия и его объема.2. Установление необходимости доказательства существования

понятия и способа доказательства.3. Установление возможности переформулировки определения

понятия. Замена определения ему эквивалентным. Конструирование возможных эвристик.

4. Составление отрицания определения.5. Установление связи между новым понятием и изученными ранее.6. Классификация системы понятий (разделение множества объектов,

составляющих объем родового понятия, на виды по их характеристическим свойствам).

Дидактический анализ.7. Установление новизны для учащихся логической структуры

определения и способа ее разъяснения учащимся.8. Подбор системы упражнений для актуализации; методика

организации повторения.

120

9. Подбор материала для создания мотивации, проблемной ситуации. Четкая формулировка учебной задачи.

10.Определение способа включения учащихся в учебно-познавательную деятельность по «открытию» нового понятия; выбор способа формулировки определения понятия (дает учитель, формулируют учащиеся, читают по учебнику и др.); выбор способа фиксации определения (в т.ч. записи на доске и в тетрадях учащихся).

11.Конструирование упражнений на осознание логической структуры определения.

Здесь используется прием разбиения определения черточками на смысловые части или прием записи определения в «алгоритмической форме».

//Арифметическим квадратным корнем из числа а // называется // неотрицательное число //, квадрат которого равен а //.

- арифметический квадратный корень из числа а:

1)2) .

Если определение содержит явно или неявно выраженные знаки существования или общности, то для выяснения смысла этих терминов и их роли в анализируемом определении составляют отрицание определения. Таким образом, получают условие не принадлежности объекта к данному понятию. Покажем это на примере определения четной функции:

(f четная на М) тогда (f не является четной на М)

Для выяснения и осознания каждого слова в этом определении полезны следующие упражнения: Является ли функция четной на множестве М, если:а) для любого и ;б) существует такое что а ;в) существует такое что а . Известно, что функция f является четной на множестве М. Что отсюда следует? Можно ли утверждать, что функция f четна на множестве М, если для любого ? Если нет, измените условие так, чтобы из него следовала принадлежность функции к понятию четной функции [85, с.60].

12. Конструирование упражнений на формирование умения подводить объект под понятие. Здесь можно выделить два типа упражнений:

– на узнавание объекта по вербальной (словесной) форме задания, в этих «ошибочных» определениях обычно заменяют родовое понятие, изменяют видовые отличия или логические связки между ними, пропускают существенные слова и т.д.;

– на узнавание объекта по невербальной (графической, символической) форме задания.

121

Для конструирования упражнений этих типов может составляться таблица истинности (для проверки выполнимости свойств объекта путем перебора возможных случаев).

Проиллюстрируем такой прием конструирования упражнений.Определение: // Луч//, выходящий из вершины угла// и // делящий его

на две равные части//, называется // биссектрисой угла//.Логическая структура определения понятия биссектрисы угла такова:

( Луч – биссектриса угла) (1) Луч выходит из вершины угла.(2) Луч делит угол пополам.

Таблица истинностиСвойства Выполнимость

(1) Луч выходит из вершины угла + + – – (не луч; не выходит из

вершины)(2) Луч делит угол пополам + – + – (не луч; не делит угол

пополам)

является не является биссектрисой углаСоставим упражнения на узнавание для четырех выявленных случаев

выполнимости свойств.

Какое из следующих предложений является определением биссектрисы угла?

1) Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

2) Если луч выходит из вершины угла, то его называют биссектрисой угла.

3) Луч, делящий угол пополам, называют биссектрисой угла.

4а) Линия, выходящая из вершины угла и делящая его на две равные части, называется биссектрисой угла.

4б) Луч, выходящий из вершины угла или делящий его пополам, называется биссектрисой угла.

На каком из рисунков (рис. 3.4) изображена биссектриса угла?1) 2)

3) а) б)

4) а) б) в)

122

Рис 3.4

Названные типы упражнений на узнавание объекта позволяют формировать такое логическое действие, как «подведение под понятие», а также «подбор достаточных условий для того, чтобы объект подходил под понятие». В последнем случае к приводимым упражнениям добавляется требование о внесении изменений в условия.

Например; к заданию 2: известно, что некоторый луч исходит из вершины угла. Можно ли этот луч назвать биссектрисой? Если нет, то какое условие достаточно добавить, чтобы луч был биссектрисой угла?

13.Формулировка частных эвристик, позволяющих подводить объект под понятие.

14.Конструирование упражнений на овладение действием отыскания следствий на этапе «осознание, осмысление». Например,

Известно, что число b является арифметическим квадратным корнем из числа с. Что отсюда следует по определению? ( и ). Можно продолжить эту цепочку и получить новое свойство, не отраженное в определении: .

Известно, что некоторая геометрическая фигура является биссектрисой угла АОВ. Назовите ее и перечислите свойства, которыми она обладает (луч, он выходит их точки О и делит угол пополам).

Известно, что ABCD – ромб. Назовите следствия, вытекающие из данного условия в силу определения ромба (например, ABCD – параллелограмм, диагонали AC и BD в точке пересечения делятся пополам, смежные стороны равны и т.д.)

Упражнения названных видов позволяют формировать действия по переводу формулировки определения с естественного языка на графический (символический) и обратно. Кроме названных упражнений, полезно предлагать учащимся задания на приведение примеров, подходящих под понятие, и так называемых контрпримеров. В упражнениях на узнавание объектов по готовым рисункам (по графическим и символическим моделям) ценным является задание на вычленение объектов, принадлежащих данному понятию, на рассмотрение объектов с точки зрения других понятий. Посредством этих упражнений можно осуществить плавный переход на следующий этап в усвоении понятий — этап закрепления и применения.

Приведем пример такого типа упражнения: выделите на рис. 3.5 смежные углы.

123

Рис. 3.5

Это упражнение, по мнению Г.И. Саранцева [91, с. 65], "ориентировано на формирование умения выделять смежные углы на сложных рисунках. При этом осуществляется и овладение такими действиями, как переосмысление элементов чертежа с точки зрения других понятий (например, отрезки ОА и ОС мыслятся как дополнительные лучи, а сторона ОВ треугольников АОВ и СОВ — как луч, являющийся общей стороной углов АОВ и ВОС и т.д.)"

15.Формулировка частных эвристик, позволяющих выводить следствия из принадлежности объекта понятию.

Основной недостаток описанной в этом разделе технологии состоит в том, что она требует большой затраты времени на уроке (как и в целом развивающее обучение). Поэтому учитель не может каждое понятие вводить таким образом. Эта технология важна на первом этапе по изучению новых видов определений понятий (в младших и средних классах). Когда же ученики осознают процесс образования понятия, накопят некоторый опыт самостоятельного конструирования их определений, овладеют интеллектуальными умениями, связанными с применением определений, то и сформулированное учителем определение они будут воспринимать уже осмысленно. Задания на диагностику уровней усвоения определения понятия будут приведены в следующем параграфе и главе 5.

3.3 Методика изучения теорем

Технология работы с теоремой

Теорема – математическое утверждение, истинность которого установлена путем доказательства. Доказательство – рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо предложение.

Логические аспекты, связанные с понятиями теоремы, доказательства, достаточно подробно освещены в математической и методической литературе и мы на этом специально останавливаться не будем. Выделим лишь те методологические знания, познавательные средства, которые должны усваиваться школьниками в процессе изучения теорем:

1. Понятие теоремы.2. Логическая структура формулировки теоремы:

124

21 условие, заключение, разъяснительная часть;22 простая теорема;23 сложная теорема.

Поскольку у школьников возникают трудности, как в понимании сложной теоремы, так и в формулировке теорем, обратных сложной теореме, то выделим логические аспекты, встречающиеся в сложных теоремах:

а) в теореме сложное условие (несколько условий), связанное союзом “и”:

в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к его основанию, является и медианой;

б) в теореме сложное условие, связанное союзом “или”:если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на

одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь, равная данной;в) сложное заключение, связанное союзом “и”:

в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны;

г) сложное заключение, связанное союзом “или”:если , эти векторы ненулевые, то ABCD – параллелограмм

или же точки A, B, C, D лежат на одной прямой.Когда учащиеся встречаются впервые с тем или иным видом сложной

теоремы, то со стороны учителя должно быть соответствующее разъяснение значения каждого союза. В случаях же б) и в) методически целесообразно теорему переформулировать: разделить ее на две независимые теоремы.

3. Виды теорем: прямая, обратная, противоположная, обратная противоположной. Равносильность первой и четвертой, второй и третьей.

4. Необходимое и достаточное условие (критерий).5. Сущность доказательства: понятие доказательства; понятие

силлогизма (правила вывода); законы логики доказательства (п. 2. 5.).6. Общелогические методы доказательства.7. Частные методы (иногда их называют приемами), характерные для

той или иной темы или нескольких тем: метод площадей, приемы дополнительных построений, общие способы решения уравнений и т. д.

8. Эвристические методы науки, приводящие к выдвижению гипотез, лежащие в основе поиска решения проблем (п. 2.4).

Овладение указанным содержанием – длительный процесс, охватывающий все годы обучения в школе. Его успех связан с рещением еще одной сложной и важной методической проблемы – обучением доказательству.

На основании вышеизложенного можно ставить диагностируемые цели на уровнях “Знание”, “Понимание”, “Применение” (таблица 3.3).

Таблица 3.3Диагностируемые учебные цели при изучении теорем

Категория учебных целей

Критерии достижения целейЦель считается достигнутой, если ученик:

125

1. Знание - Формулирует теорему; - вставляет пропущенные слова в формулировке;- воспроизводит доказательство;- заполняет пропуски в доказательстве.

2. Понимание - создает модель (графическую, символическую)к теореме, выделяет в ней условие и заключение;

- проводит доказательство при новой конфигурации и в новых обозначениях;

- описывает основную идею (прием, способ, метод) доказательства;- указывает теоремы, которые доказывались этим же приемом;- составляет план доказательства;- выделяет базис доказательства;- указывает, для решения каких задач можно использовать данную

теорему;- описывает способы рассуждений на этапах открытия

закономерности, поиска доказательства.3. Применение (в стандартных ситуациях)

- применяет теорему в новых, стандартных ситуациях;- составляет дидактические задачи на применение теоремы;- применяет метод, прием доказательства в решении задач и

доказательстве других теорем.

Технология работы с теоремой может быть представлена следующей схемой (таблица 3.4). В работах Г.И.Саранцева показана роль упражнений в реализации каждого этапа. Мы же остановимся более детально на содержательном и рефлексивно-оценочном этапах и опишем, как можно организовать деятельность школьников с тем, чтобы они усваивали не только информационный компонент, но и овладевали познавательными средствами (деятельность учителя и учащихся на мотивационно-ориентировочном этапе была изложена в п. 3.1). Это возможно лишь в том случае, если учитель организует учебно-познавательную деятельность школьника адекватно тому, как шел процесс познания в математике. Следовательно, при изучении теорем школьники должны включаться в деятельность по “открытию” закономерности, отражаемой в изучаемой теореме, выдвижению гипотез, в поиск доказательства их истинности или опровержения, а также осознавать способы, методы и приемы, с помощью которых реализуется эта деятельность.

Таблица 3.4Технологический процесс организации усвоения теорем

Мотивационно-ориентировочная

часть

Операционно-познавательная

часть

Рефлексивно-оценочная часть(осознание, осмысление)

↓ ↓ ↓Актуализация

знаний«Открытиетеоремы»

Соотнесение учебной задачи и полученных результатов

↓ ↓ ↓Мотивация

(проблемнаяФормулирован

ие теоремыОсознание логической структуры теоремы

↓

126

ситуация) ↓ Осознание способов поиска новых фактов и установления их истинности или опровержения↓ Поиск

доказательстваПостановка учебной задачи

↓↓ Осознание способа доказательства

↓ Оформление доказательства

↓

Планирование решения

учебной задачи

Осмысление этапов доказательства

↓

Формулировка обратного(противоположного) предложения

↓Прогнозирование применения и прямое

применение – частные эвристики

↓

Рефлексия и оценкасобственных действий

Введение знаний в систему

К числу эвристических методов науки, прежде всего, относятся наблюдение и сравнение, эксперимент и обобщение, неполная индукция, аналогия, интуиция. Сущность эвристических методов подробно раскрыта во второй главе. Все эти методы позволяют выдвинуть гипотезы, которые требуют установления их истинности или ложности. В то же время, к открытию математических фактов приводят и дедуктивные рассуждения. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

Неполная индукция – это умозаключение, которое делается на основе рассмотрения некоторых частных случаев, причем число этих случаев не охватывает всего их множества. Естественно, что полученное таким образом умозаключение может быть только гипотезой. В курсе математики деятельность учащихся по выдвижению гипотез на основе неполной индукции организуется через моделирование, измерение, вычисление,

127

построение и анализ хорошо выполненных рисунков. Так, теорему Виета учащиеся могут “открыть” путем правильно направленных учителем вычислений; измерением целесообразно воспользоваться в теме “признаки равенства треугольников”, чтобы помочь учащимся сформулировать соответствующую гипотезу; моделированием можно установить, что сумма углов треугольника равна 1800; то, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, ребята могут увидеть на чертеже.

Для развития гибкости и критичности мышления важно уже на этом этапе варьировать ситуации, проводить их сравнение. Например, после того, как учащиеся на основе построения, измерения или моделирования (перегибания) “откроют” свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной из его вершины, целесообразно сразу же построить высоту к боковой стороне и показать, что она найденным для первой высоты свойством не обладает. И лишь после этого формулировать соответствующую теорему в форме гипотезы.

Аналогия на протяжении многих тысячелетий являлась основным методом научного исследования. Аналогия при изучении теорем может помочь школьникам как “открыть” теорему, так и найти способ доказательства, а возможно, и то, и другое.

Пример.Приведем фрагмент урока, посвященного изучению площади трапеции.

Учитель начинает с повторения опорного материала. – Что такое площадь многоугольника (какими свойствами она

обладает)?– Площадь какого многоугольника мы можем находить, исходя из

этого?– Площадь какого многоугольника мы нашли на основании общих

свойств площади?– Какой прием мы использовали для вывода площади прямоугольника?

(Достраивание до фигуры, площадь которой известна, до квадрата и разбиение ее на квадраты и прямоугольники).Аналогичные вопросы задаются при повторении теорем о площади параллелограмма и треугольника. В процессе такой беседы на доске появляется постепенно следующая запись (рис. 3.6):

П Л О Щ А Д Ьплощадь многоугольника – положительное число свойства: 1 ... , 2 ... , 3 ...

aа h h h b a a a b S = a2 S = ab S = ah S = ½ ah S (a, b, h)?

128

Рис. 3.6

Подводится итог:1. Площадь каждой изученной фигуры выражается через сторону и

высоту к ней.2. Для вывода всех формул применяется один и тот же прием (указан

выше).– Какой четырехугольник изучали на прошлых уроках еще?На рисунке появляется последняя фигура – трапеция. Формулируется

учебная задача: выявить по каким элементам можно определить площадь трапеции и найти соответствующую формулу.

– Проводя аналогию с тем, что нам уже известно, как вы думаете, через какие элементы можно выразить площадь трапеции? (после обсуждения останавливаются на гипотезе, что, наверное, через основания a, b и высоту h).

– Попытайтесь найти эту закономерность, используя прием “достраивания” и “разбиения”. У кого какие варианты, как можно проводить дополнительные построения, чтобы к нахождению площади трапеции можно было подойти через площади известных многоугольников?

Учащиеся начали предлагать свои варианты (рис. 3.7).а) б) в) г)

д) е) ж) з)

Рис.3.7Всего было предложено восемь рисунков. После появления на доске

первых трех, класс замер в ожидании новых предложений, и каждый следующий случай сопровождался одобрительным гулом и улыбками.

Далее учитель каждому ряду дал задание: найти площадь трапеции, зная a, b, и h по рисункам а), г), д) соответственно. В результате в классе доказали теорему тремя способами. Желающим было предложено дома найти свои способы доказательства.

Включение школьников в поисковую деятельность на основе неполной индукции и аналогии позволяет формировать у них не только логическое мышление, но и интуитивное, которое является необходимым компонентом творческого мышления независимо от их будущей профессиональной деятельности.

Дедуктивное умозаключение. К открытию новых закономерностей, доказательств могут привести и дедуктивные умозаключения. В этом случае доказательство идет впереди формулировки теорем.

129

Пример. Опишем еще один урок, который был проведен при изучении теоремы о свойстве отрезков пересекающихся хорд окружности.

Цель урока состояла в том, чтобы показать учащимся, как они должны рассуждать, чтобы прийти к самостоятельному получению новых фактов.

Учитель начинает урок со следующего вступления.– Мы с вами доказываем уже сформулированные теоремы, кем-то

открытые. Но как люди приходят к открытию новых фактов? На сегодняшнем уроке мы попытаемся получить новые теоремы сами, используя различные приемы рассуждений.

– Постройте окружность , точку M внутри полученного круга и проведите через точку M две пересекающиеся хорды AB и CD (рис. 3.8).а) б) в) T M

C F M B B F M A D

A O O A O d ω R D C ω E ω C

Е Рис. 3.8

– Получили отрезки хорд MA и MB, MC и MD. Дополнив рисунок, сформулируйте по нему задачи, кто какие может.

– Соедините A и C, B и D. Докажите, что .– Какое еще требование можно поставить к этому же условию?– Докажите, что – Какие следствия можно вывести из этого факта?

– Примените свойства пропорций:

– Сформулируйте полученную теорему (формулируется теорема так, как она приведена в учебнике).

– Но у настоящего исследователя на этом изучение рассматриваемой ситуации не заканчивается.

– Так как хорды AB и CD, проходящие через точку M, произвольны, а произведение постоянно, то какой у вас теперь должен возникнуть вопрос?

– Чему равно это произведение?– Чтобы ответить, мы должны в рассматриваемой геометрической

ситуации выделить постоянные величины, фигуры.Выясняется, что здесь постоянными являются точки O, M, а,

следовательно, и расстояние d между ними, радиус R окружности. Проведя хорду EF (диаметр) и применяя для нее доказанную теорему, получаем, что

Предлагается переформулировать доказанную теорему.

130

– Однако изучение вопроса пока еще полностью не закончено. Мы брали окружность (O, R) и точку M внутри ее круга. Как еще могут располагаться окружность и точка?

M принадлежит окружности и M лежит вне круга (O, R) (рис. 3.8 б, в).– Рассмотрим последний случай. Проведем хорды AB и CD такие,

чтобы MA и MC были секущими к окружности.– Спрогнозируйте зависимость между отрезками MA и MB, MC и MD.

Учащиеся, используя аналогию, выдвигают гипотезу, что и доказывают этот факт. На вопрос учителя, чему же равно в этом случае каждое из произведений, были ответы, основанные на аналогии (

где ), которые вызвали сразу же возражения части учащихся, заметивших, что в этом случае < 0 и такого не может быть. После рассуждений получили, что .

– Можно ли утверждать, что этот случай мы исследовали полностью?– Какие прямые, проходящие через точку M и связанные с

окружностью, мы во втором случае можем провести, а в первом нет? (Касательные MT и MT1).

Предлагается выяснить, связаны ли длины отрезков касательных с полученными величинами. В результате всех рассуждений приходят к формулировке теоремы: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

Во втором случае . Учитель обращает внимание учащихся на то, как меняется произведение в зависимости от изменения положения точки M относительно окружности.

Подводится итог. Как можно прийти к “открытию” новых фактов в математике: чисто дедуктивно, логическим путем, прогнозируя результат на основе аналогии, рассматривая частные или все возможные случаи какого-либо явления. Этими же приемами вы пользуетесь и для самостоятельного поиска решения задач.

Проведенный урок способствовал умственному развитию учащихся во всех его аспектах: получили новые факты-теоремы, учитель раскрывал методологию математики (законы и приемы познания математических закономерностей), развивал интеллектуальные качества ума (гибкость, критичность мышления и др.). Учащиеся весь урок работали с интересом. Заметим здесь, что это может быть лишь в том случае, если учащиеся приучены к постановке со стороны учителя проблемных вопросов и активно и с интересом включаются в поиск ответов на них.

К получению новых теорем школьники могут придти самостоятельно, формулируя предложения, обратные доказанным теоремам и выясняя, являются они истинными или ложными.

В этой связи заметим, что изучение взаимно-обратных теорем важно вести одновременно, методом укрупнения дидактических единиц (УДЕ), прибегая иногда для этого и к реконструкции последовательности изложения материала в учебнике [121 ].

131

Дедуктивный способ “открытия” теорем в большей степени формирует дедуктивное, логическое мышление. Конечно, решая задачу, мы также делаем логические выводы из условия, но принципиальная разница в этих двух ситуациях заключается в том, что при решении задачи ученик знает требование, т. е. то, к чему должен придти, а в первом случае нет.

Важную роль в постановке учебной задачи, связанной с открытием теоремы, играет генетический способ. Проиллюстрируем его суть на примере изучения критериев вписанной и описанной окружностей четырехугольника.

Урок начинается со вступления учителя.На уроках геометрии мы изучаем геометрические фигуры и их

свойства, отношения между фигурами. В частности,мы изучили теорему о том, что всякий треугольник имеет описанную окружность и притом только одну (появляется рисунок). Изучая четырехугольники, у вас закономерно должен возникнуть вопрос. Всякий ли четырехугольник имеет описанную окружность?

На доске появляются два рисунка: четырехугольник, имеющий описанную окружность (строим окружность на ней четыре точки, определяющие четырехугольник), и четырехугольник, не имеющий описанной окружности (строим окружность, на ней три точки, определяющие треугольник, а четвертую – не принадлежащую окружности).

Итак, существуют четырехугольники, имеющие описанную окружность, и четырехугольники, ее не имеющие. Сформулируйте сами проблему, которую мы должны с вами исследовать.

Очень важным для интеллектуального развития школьников являются этапы поиска доказательства. При умело разработанной методике здесь имеются неограниченные возможности приобщения школьников к методам познания как общим, так и частным в их естественной взаимосвязи: анализу и синтезу, сравнению и аналогии, индукции и дедукции.

Выше уже были примеры, когда в основе поиска доказательства лежит аналогия, неполная индукция. Однако, чаще всего поиск ведется аналитическим, синтетическим или аналитико-синтетическим методами. Они достаточно подробно описаны во второй главе.

При разработке технологии этапа доказательства теорем важно обучать школьников как общим логическим методам доказательств, так и частным приемам. Учителю важно учитывать новизну для учащихся метода или приема доказательства. Методика обучения школьников новому методу состоит в том, что после проведенного доказательства конкретной теоремы учитель обращает внимание школьников на метод рассуждений, вместе с ними вскрывает особенности этого метода и проводит обобщение – выделяет сущность нового метода. Иллюстрацией является пример обучения методу полной индукции при изучении площади треугольника, приведенный в п. 2.3.

Еще один пример. Доказательство признака скрещивающихся прямых (если через одну из двух прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой, то такие прямые скрещиваются) проводится методом исчерпывающих проб. Его суть состоит в следующем:

132

– Как могут располагаться две прямые в пространстве? (Пересекаться, быть параллельными или же скрещиваться. Других случаев взаимного расположения двух прямых в пространстве нет).

– Предположим, что прямые пересекаются. Тогда нельзя через одну из них провести плоскость, параллельную второй прямой, т. к. последняя будет лежать в этой плоскости. Следовательно, этот случай невозможен.

Предположим, что прямые параллельны. Тогда через одну из них можно провести не одну плоскость, параллельную другой. Следовательно, этот случай также невозможен.

– Поскольку возможны только три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости, и мы доказали, что два из них невозможны, то делаем вывод, что данные в условии теоремы прямые скрещиваются.

После проведенного доказательства анализируется метод доказательства, вскрывается его сущность и сообщается ученикам его название.

Заметим здесь, что рассмотренного признака скрещивающихся прямых нет в некоторых школьных учебниках. Однако, если учитель целенаправленно осуществляет развитие школьников при обучении математике, четко осознает, что ему для этого следует делать, то при отборе материала, как теоретического, так и задачного, он будет стараться не упускать объективно заложенных в математическом содержании возможностей.

Аналогично, на конкретных доказательствах, следует разъяснять сущность аналитического, синтетического методов доказательств, метода от противного, а также частных, специфических методов (метод геометрических преобразований, векторный метод в доказательстве теорем, приемы дополнительных построений, связанные с той или иной фигурой, ситуацией) и т. д.

На рефлексивно-оценочном этапе происходит осознание (понимание) и запоминание как формулировки теоремы, так и ее доказательства. Управление этим этапом со стороны учителя осуществляется посредством специально сконструированной системы упражнений, заданий. Они должны носить как репродуктивный характер, так и развивающий. Приведем возможные типы заданий на этом этапе.

1.Сопоставьте учебную задачу (цель), которую нам предстояло решить, с полученным результатом. Сделайте вывод.

2. Сформулируйте доказанную теорему. Выделите условие, заключение.

3. Верно ли предложение: (учитель модифицирует формулировку, добавляя или опуская некоторые слова, которые: а) изменяют смысл доказанной теоремы; б) не изменяют).

4. Создайте другой рисунок и обозначения к доказанной теореме (моделирование теоремы).

5. Проведите доказательство теоремы:а) с теми же обозначениями, но при новом расположении чертежа;

133

б) при том же расположении чертежа, но в новых обозначениях.6. Сформулируйте обратное (противоположное) утверждение.7. Выделите основную идею (прием) доказательства.8. Приведите примеры доказательства теорем или решенных задач, где

бы использовался этот прием.9. Составьте план доказательства теоремы (выделите основные этапы

доказательства).10. Выделите базис доказательства (опорные теоремы, аксиомы,

определения).11. Найдите другой способ доказательства (возможны указания со

стороны учителя).12. Примените теорему к решению следующих задач (дается цикл

дидактических задач на прямое применение, задачи с недостающими данными, с избыточными, где данные следует подкорректировать, прежде чем применить теорему).

13. Для решения каких задач можно использовать доказанную теорему (прогнозирование, составление частных эвристик)? Например: доказательство равенства углов, отрезков, параллельность прямых и т. д.

14. С помощью каких еще теорем можно решать указанные типы задач? (Перечисляются в этом случае все известные ранее способы и добавляется новый).

15. Составьте сами задачи на применение теоремы (на первых порах можно по готовому рисунку).

16. Опишите, как вы рассуждали, когда отыскивали:а) закономерность, отраженную в формулировке;б) когда отыскивали доказательство.17.Оцените свою деятельность.Отметим, что отраженная в таблице 3.4 технология работы с теоремой,

равно как и указанные выше виды заданий на этапе осознания, не может применяться при изучении каждой теоремы. Но она может служить основой для конструирования системы уроков с позиций развивающего обучения. В то же время ее реализация закладывает у школьников базу для самостоятельного решения как познавательных, так и развивающих задач.

Подготовка учителя к уроку

Подготовка к уроку (или серии уроков) начинается с логического и дидактического анализа ее формулировки и способа доказательства.

Логический анализ предполагает выполнение учителем следующих учебных действий:

1. Анализ формулировки:а) установление формы формулировки;б) выделение условия, заключения, разъяснительной части;в) установление того, является данное предложение простым или

сложным;

134

г) если теорема сложная, то выясняется, можно ли ее переформулировать в виде двух теорем.

2. Выяснение логического смысла теоремы: существование, свойство, признак (критерий) понятия.

3. Формулировка обратного (противоположного) предложения и установление его истинности.

4. Анализ доказательства: выяснение идеи, метода, приема доказательства, установление их новизны для учащихся, отыскание других приемов доказательства.

5. Исследование математической ситуации, рассмотрение всех возможных случаев.

6. Установление связи теоремы с ранее изученным, ее роли в построении курса.

Далее учитель проводит дидактический анализ, который предполагает выполнение таких действий:

7. Выявление опорного материала и установление необходимости его повторения; методика организации повторения.

8. Установление необходимости мотивации изучаемой теоремы и подбор для нее соответствующего материала.

9. Возможность создания проблемной ситуации; выбор способа (пути) создания проблемной ситуации. Постановка учебной задачи.

10. Установление наличия у школьников базы знаний (в т.ч. и познавательных средств) для участия в разрешении проблемы с соответствующим уровнем самостоятельности.

11. Выбор гипотетико-дедуктивных методов, способов получения новых знаний: “открытие” теоремы; поиск доказательства; доказательство.

12. Установление возможности изучения обратной (противоположной) теоремы. Формулировка критерия понятия, переформулировка его определения.

13. Выбор формы записи доказательства, а также установление необходимости записи доказательства.

14. Установление возможности обучения новому методу доказательства.

15. Подбор системы упражнений для рефлексивно-оценочной части (см. выше).

Тестовые задания на диагностику уровней усвоения определения понятия, формулировки теоремы и ее доказательства

Задания разработаны на примере темы “Равенство треугольников” по следующей причине.

Основная особенность содержания темы “Равенство треугольников” состоит в том, что здесь закладываются основы методологических знаний

135

практически всего курса математики. Трудность усвоения материала обуславливается прежде всего тем, что учащиеся на данном этапе обучения недостаточно владеют необходимыми познавательными средствами. Усилия же учителя зачастую направлены в значительной степени на то, чтобы школьники усвоили информационный компонент математического содержания: воспроизводили формулировки признаков равенства треугольников и их доказательства без должного понимания сути доказательства, опираясь, в основном, на память. Не умаляя важности знания этих фактов, отметим, что не меньших усилий от учителя требует и овладение учащимися второй системой знаний – приемами и способами математической деятельности, методологическими знаниями. В этой теме впервые вводятся такие методологические знания, как понятие теоремы и ее доказательства. Для того, чтобы ученик осмысленно усваивал конкретные теоремы и их доказательства на различных этапах обучения, он должен:

– знать и понимать логическое строение теоремы;– понимать логическую структуру определения понятия;– уметь пользоваться определением понятий: выполнять действия

подведения под понятие и выведения следствий;– уметь применять определение понятия, формулировки теорем и

аксиом для обоснования своих умозаключений;– осознать сущность доказательства;– владеть общими логическими методами доказательств;– понимать, какие умозаключения являются достоверными, а какие

приводят только к гипотезе (правдоподобным);– владеть частными методами и приемами, характерными для той или

иной темы (в нашем случае – приемами доказательства равенства треугольников, отрезков и углов, нахождения длин отрезков и градусных мер углов на основе равенства треугольников).

Поэтому основная учебная задача изучения темы может быть сформулирована следующим образом: овладение школьниками сущностью доказательства. Заметим, что эта цель является долговременной, она не может быть достигнута полностью не только в рамках изучения рассматриваемой темы, но и в пределах школьного курса математики.

В соответствии со сказанным, выделим диагностируемые развивающие цели изучения темы (в скобках указаны номера тестовых заданий, которые направлены на проверку уровня достижения каждой цели).

По мере изучения темы ученик должен:– понимать логическую структуру определения понятия (задания 1, 2);– уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение

следствий (задания 1 – 5, 7, 9);– понимать логическую структуру теоремы; уметь выделять условие и

заключение теоремы (задания 6, 7);– понимать сущность доказательства математических утверждений:

осознавать отдельные умозаключения (задания 6, 7), их последовательность и обоснование (задания 8, 9);

136

– уметь решать задачи на доказательство равенства треугольников на основе каждого из трех признаков (задания 10 – 12);

– владеть приемами сравнения отрезков и углов на основании равенства треугольников (задание 13).

Учитывая отмеченные выше особенности темы и трудности ее изучения школьниками, для проверки уровня усвоения общих методологических знаний целесообразно выбрать в теме несложные в логическом плане формулировки определения понятий, формулировки теорем и их доказательства. Нам представляется, что наиболее приемлемыми в этом аспекте являются определение равнобедренного треугольника и теорема (включая и доказательство) о свойстве углов равнобедренного треугольника.

Тестовые задания к теме “Равенство треугольников”1. Из приведенных ниже высказываний а) – г) выбери то, которое

является определением равнобедренного треугольника:а) треугольник называется равнобедренным, если у него два угла равны;б) треугольник называется равнобедренным, если у него три стороны равны;в) многоугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны;г) треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

2. Построй равнобедренный треугольник, обозначь его, укажи боковые стороны и основание.

3. Из приведенных на рисунке 3.9 а) – д) выбери равнобедренный треугольник, пользуясь определением:а) С б) M P в) R

S Q A B N P

г) F д) T 15см O 15см R

E D Рис. 3.9

4. Известно, что треугольник MOP – равнобедренный, с основанием MP. Следует ли отсюда, на основании определения, что

а) MP = PO;б) MO = OP;в) г) MO = MP?

В каждом случае дай один из ответов: “да”, “нет”.

137

5. Чтобы установить, пользуясь определением, что фигура является равнобедренным треугольником, достаточно установить, что

а) это многоугольник;б) две стороны равны;в) два угла равны;г) это треугольник.

Из условий а) – г) выбери нужные.6. Выберите верные предложения из списка а) – д), пользуясь теоремой

о свойстве равнобедренного треугольника:а) в равнобедренном треугольнике есть два равных угла;б) в равнобедренном треугольнике любые два угла равны;в) в равнобедренном треугольнике углы при боковой стороне равны;г) если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;д) если треугольник равнобедренный, то в нем углы при основании

равны.7. Запиши условие и заключение теоремы о свойстве равнобедренного

треугольника MOP, если:а) MO = MP;б) MO = OP;в) MP = OP.8. Из набора а) – д) выбери те, которые отражают основные этапы

доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника (рис. 3.10) и расположи их в нужном порядке:

а) равенство треугольников MOD и POD;б) равенство углов MOD и DOP;в) построение биссектрисы угла MOP;г) построение биссектрисы угла OMP;д) равенство углов M и P.

9. Из набора а) ... з) выбери те теоретические положения, которые входят в обоснование доказательства теоремы о свойстве углов равнобедренного треугольника:

а) определение равных треугольников;б) определение равнобедренного треугольника;в) первый признак равенства треугольников;г) определение медианы треугольника;

138

Рис. 3.10

д) определение биссектрисы треугольника;е) свойство смежных углов;ж) свойство сторон равных треугольников, лежащих против равных

углов;з) свойство углов равных треугольников, лежащих против равных

сторон.10. Пользуясь первым признаком равенства треугольников, выберите

равные треугольники (рис. 3.11 а) – г)):

а) С б) в)D P Z T A R O B S A M O K O г) E P B С

K F S OРис.3.11

11. Пользуясь вторым признаком равенства треугольников, выберите равные треугольники (рис. 3.12, а) – г)):

а) С P б) N R

M P O S

A B M O

в) R S г)

V C O B

T A D

Y X

Рис. 3.1212. Пользуясь третьим признаком равенства треугольников, выберите

равные треугольники (рис. 3.13, а) – г)):

а) E K б) C B1 A1

139

Z

F C1

A B

в) Z S M г) B B1

K O P

A C A1 C1

Рис. 3.13

13. Можно ли утверждать, что:а) (рис. 3.11, а);б) (рис. 3.11, б);в) EK = OP (рис. 3.11, г);г) ST = VY (рис. 3.12, в);д) (рис. 3.12, г);е) (рис. 3.13, а);ж) AB = A1B1 (рис. 3.13, б);з) (рис. 3.13, в)?

В каждом случае дайте один из ответов: “да”, “нет”.

Обучение доказательству

Проблема обучения школьников доказательству теорем и обоснованию решения математических задач была актуальной на протяжении всей истории развития математического образования. Однако "в разные периоды развития теории и методики обучения математике вкладывали различный смысл в содержание этого понятия", - пишет Г.И. Саранцев [90, с. 73]. Примерно до 60-х годов прошлого столетия оно отождествлялось с воспроизведением готовых доказательств. В лучшем случае – с их пониманием. Однако, уже в работах В.В. Репьёва (50-60-е г.г. ХХ столетия) речь дёт о том, чтобы учащихся вовлекать в самостоятельный поиск доказательств. Наиболее созвучно современным тенденциям образования разъяснил это понятие в 70-е годы А.А. Столяр: "Под обучением доказательству мы понимаем обучение мыслительным процессам поиска, открытия и построения доказательства, а не обучение воспроизведению и заучиванию готовых доказательств" [99, с. 145]. Обучать доказательствам – значит формировать знания и умения, которые лежат в основе нахождения и проведения доказательств. Эти знания и умения определяются как информационным компонентам содержания, так и методологическими знаниями, познавательными средствами.

140

Г.И. Саранцев убедительно показывает, что важной составляющей в работе учителя по обучению школьников доказательству является формирование потребности в логических обоснованиях.

В соответствии со сказанным, выделим основные знания и умения, которые следует формировать у учащихся, обучая их доказательству.

1.Формирование потребности в логических обоснованиях. Это скорее психологическая категория, которая явно не связана со знаниями и умениями. В то же время она определяется теорией познания, ролью математического метода в познании действительности. И здесь уместно руководствоваться мыслями известного математика - философа М. Клайна, изложенными в его работах, в частности, в книге «Математика. Поиск истины». В ней автор анализирует непостижимость эффективности математики в познании объективной реальности. Как мы познаём окружающий нас реальный мир? Сначала нам приходится полагаться на наши органы чувств, зрение, осязание, вкус, обоняние. Чувственное восприятие реального мира много говорит о нём. Но наши органы чувств, во-первых, слишком грубы и порождают иллюзии (общеизвестные примеры, связанные ошибочным зрительным восприятием, их следует привести целиком), а во-вторых, многие явления окружающего мира вообще скрыты от наших органов чувств. Действительно, наше восприятие не говорит нам о том, что Земля круглая, что она вращается вокруг Солнца и своей оси, мы ничего не можем сказать о природе сил, удерживающих планеты на их орбитах и т.д.

На смену чувственным восприятиям приходит интуиция, которая действует за пределами чувственного опыта. Но и интуиция очень часто приводит к ошибочным выводам. «Что мы можем противопоставить иллюзиям и ошибочной интуиции? Наш самый эффективный ответ состоит в использовании математики», - пишет М. Клайн [42, с. 46]. И далее показывает силу и мощь математического, дедуктивного метода рассуждения.

Приведённые рассуждения доступны пониманию учащихся V-VI классов, особенно, если они сопровождаются общеизвестными примерами, связанными с иллюзией зрения. Потребность ученика в логических обоснованиях может сформироваться лишь в том случае, если он осознаёт необходимость этих обоснований.

Началам дедуктивного мышления следует обучать учащихся 5-6 классов путём

а) требования обосновывать свои действия (вычисления, построения) с помощью введённых правил, сформулированных явно определений понятий (биссектриса угла, правильные и неправильные дроби и т.п.) и их свойств;

б) упражнений, формирующих умение подводить под понятие, выводить следствия, строить силлогизмы;

в) обучения методам обоснования или опровержения рассуждений.Уже на этом этапе по мере возможности следует учить учеников

отличать правдоподобные умозаключения от достоверных. Там, где в 5-6

141

классах формулируются явно определения понятий, их свойства и признаки (в частности, в темах, связанных с делимостью чисел), следует строить процесс обучения в соответствии с описанными ранее технологиями.

2. Понимание сущности доказательства . Впервые понятия «теорема», «доказательство теорем» вводятся обычно в курсе геометрии VII класса, и чаще всего это делается авторами попутно, как бы между строк, без должных разъяснений.

Понятие «теорема» вводится в теме «Первый признак равенства треугольников», и сразу же идёт довольно сложное для понимания школьниками его доказательство.

Традиционная трудность в усвоении этого материала объясняется прежде всего тем, что новым в изучаемом содержании является как информационный компонент (первый признак равенства треугольников и его непростое доказательство), так и новые методологические знания, связанные с понятием теоремы, сущностью доказательства, построением правил вывода. В этой связи представляется целесообразным познакомить школьников с понятием теоремы и ее доказательством заранее, на простом примере (свойство смежных или вертикальных углов), посвятив этому отдельный урок. Учитывая, что доказательство первого признака равенства треугольников само по себе довольно сложно и то, что школьники пока еще не владеют познавательными средствами, его изучение целесообразно проводить или традиционным объяснительно-иллюстративным методом, или методом проблемного изложения, не вовлекая пока учащихся в самостоятельный поиск. Важно, чтобы учащиеся прослушали образцы рассуждений учителя, в частности, образец проведения доказательства. При этом целесообразно правильно строить силлогизм: - большая посылка, малая посылка, вывод, - но не наоборот. В учебниках по методике часто рекомендуется записывать доказательство в два столбца:

I IIУтверждение Обоснование

Такая запись будет уместна, когда школьники осознают суть доказательства на последующих этапах обучения.

Заучивания изложенного учителем доказательства следует требовать лишь тогда, когда оно понято учениками.

После изучения первых теорем решаются задачи, в том числе и на доказательство. Практика показывает, что ученики на этой стадии обучения ещё не могут оперировать формулировкой теоремы, не умеют её применять. Действительно, изучив тему «Равенство треугольников», значительная часть школьников в контрольной работе, решая задачу на доказательство равенства треугольников, пишет: «Наложим треугольник… на треугольник…», т.е. использует приём доказательства теоремы, но не саму теорему. Поэтому

142

нужна система упражнений, обучающая приёму «применение теоремы», т.е. действиям выведения следствий и подведения под понятие.

Приведём один из возможных вариантов такой системы на применение первого признака равенства треугольников. На доске изображена серия рисунков (рис. 3.14):

а) B P б) В Z

6 см 7 см C A M

400 400

7 см C 6 см N A M K

в) P V г) B Y

O R A C X

Рис. 3.14 D

Задания учителя.– Как доказать, что треугольники ABC и MNP на рис. 3.14 а) равны?– Возможны два варианта ответов: наложение и применение теоремы.

Учитель объясняет преимущество и смысл второго способа.– Равны ли треугольники, изображённые на рисунке б); на рисунке в)?– Как изменить данные на рисунке в), чтобы возможно было

применить теорему о первом признаке равенства треугольников?Для слабых учеников, возможно, следует заготовить специальные

карточки, в которых отражён соответствующий алгоритм применения теоремы.

Такие упражнения формируют действие подведения под понятие. Здесь же мы учим учащихся строить правильно силлогизмы.

3. Умение оперировать определениями понятий, формулировками теорем и аксиом, правилами. В его состав входят:

- понимание смысла каждого термина, входящего в формулировку;– понимание логической структуры определения понятия (род, видовые

отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов, умение формулировать отрицание понятия);

– умение оперировать определением понятия: подводить под понятие, выводить следствия, переформулировывать определение в частные эвристики;

– умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

143

– умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

– понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

– умение оперировать формулировкой теоремы, конструировать частные эвристики.

4.Понимание сущности доказательства, полноценности аргументации.

5.Владение дедуктивными методами доказательств и опровержений: синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

6. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

– умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;– умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции,

обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

7. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных.

8. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

9. Умение анализировать представленные доказательства:– находить логические пробелы в свёрнутом доказательстве и

проводить его со всеми обоснованиями;– находить логическую ошибку в «доказательстве», предложенном

учителем, проведённом учащимися (обоснование доказательств), разгадать предложенный софизм и т.д.

10. Умение «схватывать» и выделять идею доказательства, его основные этапы.

11. Умение самостоятельно находить и проводить доказательство.Состав умений, лежащих в основе доказательства, можно продолжать.

Мы же указали лишь наиболее значимые. Методика их формирования отражена в технологии работы с определениями математических понятий, теоремами, алгоритмами, задачами (две последние будут изложены в последующих параграфах). Другие приёмы можно найти в работах В.А. Далингера, Г.И. Саранцева [22, 89].

В заключение заметим, что методика обучения доказательствам это и методика формирования культуры мышления школьников (п. 2.6).

144

3. 4. Технология работы с правилом (алгоритмом)

Математическое правило (алгоритм) Раскроем содержание понятий правила и алгоритма. Понятие «алгоритм» является основным, неопределяемым. В работе

[52, с.60] дано следующее описание алгоритма на содержательно-интуитивном уровне: «… понятное предписание, указывающее, какие операции и в какой последовательности необходимо выполнять с данными, чтобы решить любую задачу данного типа».

Алгоритм характеризуется следующими свойствами:- определенности – каждым человеком однозначно истолковывается

последовательность и содержание операций, входящих в алгоритм;- массовости – с помощью данного алгоритма могут быть решены все

задачи определенного типа;- элементарности и дискретности шагов – в алгоритме выделяются

отдельные и законченные – дискретные шаги (операции), каждые из которых исполнитель может выполнить, так как каждый шаг для него является элементарной операцией;

- результативности – точное выполнение всех операций алгоритма при решении задач данного типа приводит к определенному результату;

- оптимальности – алгоритм всегда ведет к решению однотипных задач по рациональному пути;

- детерминированности – действия исполнителя алгоритма строго заданы.

Таким образом, любой алгоритм описывает общий метод решения однотипных задач. Другими словами, он является формой выражения общего метода.

Правило есть «свернутый» алгоритм. Любой алгоритм можно назвать правилом, но не любое правило – алгоритмом. Цели применения алгоритмов и правил совпадают: формирование общих способов решения однотипных задач. С точки зрения методики обучения решению однотипных задач их назначение различно. Алгоритм является более эффективным средством управления познавательной деятельностью учащихся на начальном этапе вводимого метода, так как он имеет развернутый вид. Правило является средством управления деятельностью учащихся на заключительном этапе - при свертывании отдельных операций алгоритма, оно способствует лучшему запоминанию способа решения задач.

Правила излагаются в различных формах: словесной, символьной, графической. За каждым правилом легко просматривается его теоретический базис, который может состоять или из одной теоремы, или одного определения, или формулы. Такие правила Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий называют соответственно правилами-теоремами, правилами-определениями, правилами-тождествами [111]. Обычно каждое последующее правило включает в себя отдельные ранее изученные правила. Например, правило

145

нахождения наибольшего и наименьшего значений функции включает в себя правило нахождения стационарных точек.

В школьных учебниках математики содержится большое число правил, особенно много в учебниках математики для 5 – 6 классов. С другой стороны, многие правила отсутствуют, поэтому их нужно самостоятельно извлекать из соответствующих теорем (тождеств), определений, задач.

При решении нестандартной задачи мы применяем несколько правил. Следовательно, от усвоения учащимися правил зависит успех решения задач.

Технология обучения правилам

Наблюдая за деятельностью учителей на уроках математики, мы замечаем довольно часто такую последовательность изучения правила:

повторение изученных правил сообщение учащимся нового правила в готовом виде (обычно в той форме, в какой оно представлено в школьном учебнике) образец решения 2-3 упражнений по данному правилу выполнение заданий из учебника (как правило, присутствует фронтальная форма организации учебной деятельности обучаемых). При таком подходе все усилия учителя направлены в основном на усвоение информационной компоненты содержания правила. Таким образом, учитель строит свои действия и действия школьников в рамках объяснительно-репродуктивного типа обучения, в котором отводится довольно пассивная роль учащимся.

В школьной практике наравне с сообщением учащимся нового правила в готовом виде наблюдается и вариант его введения путем обобщения частных случаев.

Так, изучая тему "Вынесение общего множителя за скобки", учителя предлагают выполнить группы упражнений:

1) 2т + 2n, 8 — 4х , ... (вынесение общего числового множителя),2) ax— ay, cd +bc,... (вынесение общего буквенного множителя);3)9a2b-12ab3,…(вынесение общего числового и буквенного множителя);4)6pkЗр, ... (после вынесения общего множителя появляется в скобках

"1") и т. д.После решения примеров формулируют правило. Известный психолог В.В. Давыдов так оценивает этот путь: "… имея

дело с частными задачами, школьники овладевают столь же частными способами их решения (лишь в процессе тренировки учащиеся усваивают некоторый общий способ их решения). Усвоение этого способа происходит путем перехода мысли от частного к общему" [23, с. 158]. В. В. Давыдов предлагает принципиально иной путь формирования у школьников обобщенного способа решения однотипных задач, в ходе которого у них развивается теоретическое мышление в отличие от эмпирического. Суть этого подхода заключается в следующем. Ученикам предлагается задача, основной целью которой является обнаружение, "открытие" обобщенного способа решения однотипных задач. Совместно с учителем они решают ее, затем анализируют условие и решение, отвлекаясь при этом от частных ее

146

особенностей. В результате анализа, абстракции появляется искомый способ решения. Образно этот путь В.В. Давыдов называет «обобщением с места». Оба эти пути представлены в виде следующих схем (рис. 3.15):

I путь II путь

Обобщённый способ к.п.з. к.п.з. к.п.з.

Частный способ

Частный способ

Частный способ Обобщённый способ

к.п.з. к.п.з. к.п.з. Учебная задача

к.п.з. — конкретная практическая задачаРис. 3.15

Как было отмечено выше, важнейшим компонентом учебной деятельности является "учебная задача". В. В. Давыдов так ее трактует:

"Учебная задача требует от школьников: 1) анализа ее условий с целью обнаружения в них некоторого общего отношения, имеющего закономерную связь с различными его проявлениями, т. е. построения содержательной абстракции и содержательного обобщения; 2) выведения на основе этой абстракции и этого обобщения некоторых частных отношений и их объединения (синтеза) в целостный объект, т. е. построения его "клеточки" и мысленного конкретного объекта; 3) овладения в этом аналитико-синтетическом процессе общим способом мысленного построения изучаемого объекта" [23, с. 157-158].

В теории формирования умственных действий (психологическая школа П.Я. Гальперина [101, 115]) алгоритм, правило есть не что иное как ориентировочная основа умственного действия, соответствующая общему методу решения однотипных задач. В ней выделяются следующие этапы.

I этап – ознакомление учащихся с ориентировочной основой формируемого действия. Ориентировочная основа действия может быть предложена учащимся в готовом виде или создаваться ими совместно с учителем или самостоятельно. Особое внимание П.Я. Гальперин обращает на ориентировочную основу, тип которой характеризуется полнотой, высоким уровнем обобщения, а главное – учащиеся сами участвуют в ее создании. Этот тип ориентировочной основы действия направлен на формирование у школьников теоретического мышления.

II этап – формирование действия в материальном (или материализованном) виде. Учащиеся выполняют действие во внешней, материальной или материализованной форме с развернутым выполнением

147

всех входящих в него операций. На этом этапе учащиеся усваивают содержание действия, все его операции, а учитель имеет возможность контролировать и корректировать выполнение каждой операции, входящей в это действие.

III этап –формирование внешнеречевого действия. На этом этапе все операции проговариваются учеником в форме внешней речи (громкой речи – в младших классах, письменной записи – в средних и старших классах). В случае затруднений ученик пользуется ориентировочной основой действия. Этот этап краткосрочный, иногда и вовсе может быть опущен.

IV этап – формирование действия с проговариванием отдельных его операций. Ученик по памяти воспроизводит конкретные операции, но лишь при надобности имеет возможность взглянуть на имеющуюся у него ориентировочную основу.

V этап – формирование действия как внутреннего, умственного. На этом этапе действие выполняется во внутренней речи, автоматизируется, становится мало доступным для наблюдателя.

Следовательно, сначала ученик выполняет новое действие как внешнее, с какими-то материализованными объектами; и лишь постепенно это действие становится внутренним, психическим, умственным. Вот этот процесс перехода внешнего, предметного действия во внутренний умственный план, психологи называют интериоризацией.

Представленная ниже технология обучения правилам соответствует общим положениям, развиваемым в психологической теории учебной деятельности (где ученик "... выступает как ее подлинный субъект, проявляя инициативу и самостоятельность в принятии и решении учебных задач" [23, с. 185]) и основным положениям теории формирования умственных действий [101, 115].

Схематично данная технология представлена в таблице 3.5.Технологию организации усвоения правил можно представить в

виде следующей таблицы. Таблица 3.5 Мотивационно-ориентировочная часть

Операционно-познавательнаячасть

Рефлексивно- оценочная часть

Актуализация прежнего опыта

Преобразованиеусловия задачи

Соотнесение результатов с учебной задачей

Моделирование правила Мотивация (проблемная ситуация)

Осмысление прежнего опыта, с помощью которого получено новое правило

Формулирование правила

148

Постановка учебной задачи

Построение алгоритма Прогнозированиеприменения правила

Планирование решения учебной задачи

Осознание правила (алгоритма) в процессе решения дидактических задач

Контроль (самоконтроль) усвоения правила

Оценка (самооценка) учебной деятельности

Охарактеризуем каждый из выделенных в таблице этапов, а затем проиллюстрируем их на примере обучения правилу умножения десятичных дробей.

Мотивационно-ориентировочная часть

Этап актуализации. Цели: актуализация прежнего опыта (опорных знаний, методов, способов, приемов), необходимого для введения и обоснования правила, выявление того, освоен ли учащимися пооперационный состав действия, входящий в состав нового правила; создание «ситуации успеха» для последующей деятельности.

Основным средством актуализации являются специальные упражнения, которые учителю нетрудно составить самому, исходя из логического анализа правила. Итогом данного этапа является ответ ученика на вопрос: «Готов ли я к изучению нового?» Поэтому обычно практикуется индивидуальное выполнение упражнений с последующей фронтальной проверкой.

Этап мотивации. Цель: формирование у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с «открытием» нового правила.

Создав «ситуацию успеха» на первом этапе, учитель предлагает ребятам конкретную учебно-практическую задачу, которая по внешним признакам знакома им. Однако ее решение вызывает серьезные затруднения или приводит к нерациональным операциям. Так в сознании учащихся создается «ситуация интеллектуального конфликта» (хочу, но не могу!), которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности.

Сначала каждый ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет помощь у других. Таким образом на уроке возникает сотрудничество учащихся.

Этап постановки учебной задачи. Цель: непосредственное подведение учащегося к необходимости «открытия» нового правила.

Ученики анализируют в группах затруднения, возникшие в связи с конкретной учебно-практической задачей. Тем самым они пытаются отделить свои знания от незнаний. Этот этап обычно заканчивается ответами школьников на вопрос: «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?»

149

Итак, учащиеся сами формулируют цели урока, которые фиксируются на доске и в их тетрадях, например, в такой форме: «Открыть правило …»

Этап планирования. Цель: составление программы дальнейшей деятельности, направленной на открытие нового правила.

Выясняем коллективно характеристические свойства данных и искомых объектов, затем выделяем последовательность вопросов, поиск ответов на которые приведет к «открытию» правила.

Операционно-познавательная часть

Этап преобразования условия задачи. Цель: преобразование условия задачи таким образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими свойствами данных и искомых объектов.

Этап моделирования правила. Цель: создание модели правила, ее анализ и уточнение.

Учащиеся пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе характеристические свойства данных и искомых объектов в виде некоторой модели (графической или символьной). На этом этапе урока желательно прибегнуть к групповой форме [108]. Каждая группа обычно создает свою модель. Результаты фиксируются на отдельных листах, которые по окончании работы крепятся к доске. Затем учитель организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель правила (если она имеется среди предложенных) или корректируются предложенные. Таким образом рождается коллективная модель правила. Заметим, что учитель тоже может предлагать свои модели: в одних случаях верные (особенно на первых порах), в других – неверные (для того, чтобы оживить дискуссию). В процессе обучения ребята постепенно становятся более самостоятельными при создании моделей новых правил и поэтому начинают предлагать различные виды моделей, которые все менее нуждаются в уточнении.

Этап формулирования правила. Цель: получение словесной формулировки правила.

После того как выявлена и уточнена модель правила, учащиеся пытаются в группах сформулировать словами само правило. Теперь модель выступает в роли внешней опоры для формулирования правила. Полезно сравнить отредактированный вариант формулировки правила с тем, который предложен в школьном учебнике. Организация данного этапа способствует развитию речевых умений учащихся.

Этап построения алгоритма. Цель: выделить последовательность элементарных операций, из которых состоит действие на основе правила.Анализируя правило, ученики выделяют элементарные операции, входящие в состав правила и их последовательность. Фиксируют выделенную последовательность операций в виде схемы или текст правила разбивают на части, соответствующие той или иной операции, части отделяются одна от другой вертикальной чертой.

150

Например, квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

Каждое правило желательно фиксировать по возможности в нескольких формах. Записи могут быть вынесены на плакат, кодопозитив, в отдельную тетрадь – справочник учащегося.

Этап осознания правила (алгоритма) в процессе решения дидактических задач. Цель работы учащихся на данном этапе: осознать, осмыслить правило при решении различных дидактических задач, а также его запомнить.

Очевидно, основным средством обучения на этом этапе служит система упражнений.

Наибольшую трудность, особенно для начинающего учителя, представляет разработка системы упражнений. Действительно, на уроках нередко наблюдаем такую картину, особенно характерную для уроков алгебры: после введения правила учитель указывает список упражнений из учебника для классной работы, например, под четными номерами, для домашней — под нечетными. Заметим, что такой подход к выбору упражнений рекомендуют авторы многих методических пособий. Как правило, учитель использует при этом фронтальную форму организации учебной деятельности.

При первом взгляде обстановка на уроке вполне нормальная, как будто каждый ученик занят выполнением упражнений. Однако более пристальные наблюдения позволяют выделить разные группы ребят. Одни переписывают, едва успевая за теми, кто работает у доски. Другие, у кого быстрая реакция и неплохо обстоит дело с техникой вычисления, после фронтального выполнения первого задания на доске механически переносят идеи его решения на серию однотипных упражнений. Дойдя до нового вида задания, они начинают испытывать затруднения, но даже не пытаются напрячь свои умственные силы, так как знают, что скоро появится его решение на доске. Затем они опять быстро выполняют серию однотипных упражнений и т. д. Третьи, у кого обычно завышена самооценка, "ускакали" вперед, совершив порой грубые ошибки. Все призывы учителя сверить свое решение с записями на доске обходят их стороной. И лишь небольшая группа ребят самостоятельно выполняет упражнения в своем темпе; сверяя свои ответы с результатами, которые постепенно появляются на доске.

Порой возникает и такая ситуация. Учитель запланировал определенное число упражнений, но оно оказалось явно завышенным. Тогда учитель, чтобы успеть выполнить намеченное, начинает торопить ребят или переносит часть упражнений (в конце урока они обычно сложнее) в домашнее задание.

Такая картина, думаем, знакома многим. В связи с этим необходимо обсудить следующие вопросы:

1) Каково должно быть содержание упражнений?2) Какова при этом последовательность их выполнения?

151

3) Какие спланировать организационные формы выполнения упражнений?

Попытаемся ответить на эти вопросы, опираясь на исследования Я.И.Груденова и Г.И.Саранцева [19, 91 по проблеме построения и реализации системы упражнений в обучении математике.

При отборе содержания упражнений учителю следует руководствоваться определенными принципами, а именно: полноты, однотипности, контрпримеров, сравнения, непрерывного повторения, вариативности, единственного различия.

Дадим краткую их характеристику и проиллюстрируем на примере правила умножения десятичных дробей.

Принцип полноты. Система упражнений удовлетворяет принципу полноты, если она содержит все виды заданий на данное правило, включая и особенные случаи.

Так, в соответствии с этим принципом упражнения на правило умножения десятичных дробей должны содержать по крайней мере четыре вида заданий: 1) цифр в произведении достаточно для отделения десятичных знаков; 2) не хватает цифр для целой части; 3) не хватает цифр для целой и дробной частей; 4) умножение десятичной дроби на натуральное число.

Вполне очевидны последствия несоблюдения принципа полноты. К сожалению, в учебниках не всегда реализован этот принцип.

Принцип однотипности. На каждый вид задания должно быть не одно упражнение. Отметим, что однотипные упражнения особенно необходимы для слабых учеников и в меньшей мере для сильных. Значит, на каждый из четырех видов (см. предыдущий пример) учитель должен подобрать достаточное число однотипных упражнений, ориентируясь на уровни развития учащихся класса. Однако, последовательное выполнение однотипных упражнений приводит к снижению активности мыслительной деятельности учащихся, так как при решении лишь первого примера они опираются на соответствующее правило. Поэтому нужно применять и другие принципы, в частности принципы контрпримеров и сравнения.

Принцип контрпримеров. Контрпример — это любая задача, которая провоцирует учащихся на ошибку. Соблюдение этого принципа ведет к воспитанию положительной мотивации и вместе с тем способствует углубленному пониманию правила. Я.И. Груденов по этому поводу пишет: "В тех классах, где контрпримеры начинают использовать систематически, они воспринимаются учащимися как своеобразная игра, в которой побеждают более внимательные и сообразительные " [19, с.157].

Заметим, что многие учебники практически не содержат заданий, провоцирующих учащихся на ошибку. Значит, учителю нужно самому подбирать или создавать такие упражнения. Приведем пример упражнения, которое соответствует обсуждаемому принципу.

Пример. Определите, в каких примерах допущены ошибки, если известно, что 72 • 37 = 2664:

1) 7,2 • 0,37 = 266,4;

152

2) 7,20 • 0,37 = 0,2664;3) 0,072 • 370 = 2,664;4) 0,720 • 370 = 26,64.Принцип сравнения. Применение этого принципа предполагает

включение некоторого ряда взаимосвязанных упражнений, когда хотят подчеркнуть их сходство или различие, в частности упражнения на прямые и обратные операции, действия.

Классическим примером может служить совместное решение задач следующих трех видов: 1) нахождение процентов от числа, 2) нахождение числа по его проценту; 3) нахождение процентного отношения.

Вернемся к правилу умножения десятичных дробей.Пример. Поставьте запятую во втором множителе так, чтобы равенство

было верным: 0,52 • 167 = 8,684.Здесь ученикам придется выполнять обратную операцию: из числа

десятичных знаков произведения вычитать число десятичных знаков первого множителя.

Принцип непрерывного повторения. Система упражнений содержит задачи из предшествующих разделов. Цель их включения: во-первых, осуществлять систематическое повторение изученных действий, особенно тех, при выполнении которых учащимися допускаются ошибки, во-вторых, устранять отрицательное влияние однотипности упражнений (ослабление внимания, снижение интереса и т. д.).

Обратимся к показательному примеру — правилу умножения одно-членов. Полезно, например, в такие упражнения, как: -a2 • (-a2); 5x3• (- 3x3); b•b и т. д., включать упражнения на сложение одночленов: -а2 - а2; 5х3+(-Зх3); b+b и т. д. Заметим, что последние примеры соответствуют одновременно и принципам контрпримеров, и сравнения.

Пример. Найти сумму двух чисел 6,09 и 3,1.Принцип вариативности. Этот принцип реализуется двояко: с одной

стороны, видоизменение формы выдачи заданий, с другой — разнообразие числовых и буквенных компонентов алгебраических выражений, а в упражнениях по геометрии варьирование рисунков и обозначений.

Так, в одном из школьных учебников даны 34 упражнения на правило умножения десятичных дробей с одной формулировкой задания: вычисли.

Полезно учащихся включать в игру "Кто больше придумает формулировок к примеру: 0,720 • 370 = 266,4?" Вот некоторые из них:

1) вычислить; 2) найти значение числового выражения; 3) найти произведение; 4) найти число, которое в 370 раз больше данного; 5) выполнить умножение и т. д.

Принцип единственного различия. Сущность этого принципа заключается в сохранении всех элементов формы упражнений при переходе от одного упражнения к другому, кроме одного.

Пример. Если проанализировать все операции, входящие в правило умножения десятичных дробей, то новой является подсчет числа десятичных

153

знаков в произведении. Следовательно, надо отобрать группу упражнений на осмысление этой операции. После заданий на вычисление произведения чисел 4,302 и 5,6 сразу же предлагаем серию упражнений с "плавающими" запятыми: а) 4,302 • 56; б) 4,302 • 0,0056; в) 4,302 • 0,0056.

Заметим, что не надо формально подходить к отбору содержания упражнений. В зависимости от новой темы, цели урока и других соображений учитель может реализовать не все принципы, в особенности принципы непрерывного повторения и сравнения, а иногда одно упражнение, как было замечено выше, удовлетворяет нескольким принципам.

Опираясь на вышеуказанные принципы, учитель отбирает упражнения на осознание, осмысление того или иного правила.

Теперь встает проблема их упорядочивания.Очевидно, надо исходить из принципа от простого к сложному.

Раскрывать его содержание не будем, так как само название говорит за себя.Еще одним важным принципом для определения последовательности

упражнений служит принцип цикличности.Чтобы понять его важность, обратимся опять к теории поэтапного

формирования умственных действий.Каждому этапу формирования умственного действия соответствует

определенный цикл упражнений, который, в первую очередь, удовлетворяет принципу полноты. Там, где разумно, при подборе упражнений первого цикла учитывают принцип единственного различия, при подборе упражнений других циклов — либо принцип контрпримеров, либо принцип непрерывного повторения, либо принцип сравнения. Следовательно, однотипные упражнения находятся, в разных циклах, тем самым снимается отрицательный фактор одновременного выполнения однотипных упражнений. При переходе от цикла к циклу сложность упражнений возрастает, порядок упражнений внутри каждого цикла нарочито меняется.

В соответствии с вышеперечисленными принципами построим систему упражнений для этапа осознания правила умножения десятичных дробей.

1циклВыполните умножение, сопоставляя каждое свое действие с

записанным правилом: 1) 4,302 • 5,6; 2) 4,302 • 56; 3) 4,302 • 0,056; 4) 4,302 • 0,0056. II цикл Вычислите, вслух обоснуйте каждый свой шаг, опираясь на правило:1) 6,17 • 0,034; 2) 0,056 • 1,05; 3) 0,72 • 37; 4) 6,09 + 3,1.III цикл Работа организуется в парах, где каждый по очереди объясняет

другому решение, при этом правило закрывается.1. Поставьте запятую в произведении: 0,67 • 120 = 804;2. Поставьте запятую во втором множителе: 0,52 • 167=8,684;3. Поставьте запятые в обоих множителях: 3 • 6 = 0,0018 (Это

упражнение интересно тем, что оно имеет бесконечное множество вариантов).

154

IV цикл Этот цикл упражнений ребята выполняют уже индивидуально, затем

организуется проверка их решений.Определите, в каких примерах допущены ошибки, если известно, что

72 · 37 = 2664: 1) 7,2 • 0,37 = 266,4; 2) 7,20 • 0,37 = 0,2664; 3) 0,072 • 370 = 2,664; 4) 0,720 • 370 = 26,64.Заметим, что структурирование упражнений по циклам позволяет

учителю чувствовать себя на уроке более комфортно, на него не оказывает сильное влияние временной аспект, так как уже в первом цикле исследуются все особые случаи применения нового правила (алгоритма).

К числу циклов не надо подходить формально, на отработку некоторых правил в отдельных классах достаточно бывает и трех циклов, иногда их число больше. Кроме того, не всегда все циклы удается реализовать на одном уроке.

Теперь перейдем к обсуждению форм организации учебной деятельности учащихся.

При выполнении упражнений первого цикла, очевидно, целесообразно использовать фронтальную форму работы, так как каждое упражнение цикла имеет свои особенности. Получив первое упражнение цикла (например, 4,302 • 5,6), ученик прочитывает вслух первую операцию, входящую в состав действия (записать данные множители, не обращая внимания на запятые), выполняет ее (4302 • 56), затем переходит ко второй операции и так до тех пор, пока не выполнит все записанные операции.

Решение упражнений второго цикла полезно вести с комментированием, что дает возможность учителю осуществлять пооперационный контроль за действиями учащихся.

Упражнения третьего и четвертого циклов учащиеся могут выполнять в парах или самостоятельно. Конечно, здесь требуется оперативная проверка результатов их работы. На этих этапах правило закрывается, работа идет по памяти, происходит постепенно интериоризация действия во внутренний план.

Общеизвестно, что решение и составление задач учащимися – это два связанных между собой процесса, которые направлены на качественное усвоение знаний. В связи с этим можно предложитьученикам следующее домашнее задание

Приведем для примера два его варианта.I. Составить и выполнить примеры на правило умножения десятичных

дробей на каждый случай, т. е. четыре примера.2. Составить краткий справочник возможных ошибок при умножении

десятичных дробей [ 10].В отличие от обычного домашнего задания здесь мало рутинной

работы для учащихся, есть возможность проявить оригинальность, самостоятельность, выдумку. Кроме того, оно индивидуально. В классе

155

появляется атмосфера состязательности, что еще полнее мобилизует волевые, умственные и эмоциональные силы учащихся.

Рефлексивно-оценочная частьОрганизация рефлексивно-оценочной части в технологии усвоения

правила очень важна для субъектов деятельности: они «прокручивают» весь ход рассуждений, отметая все лишнее и выделяя самое главное, что нужно осознать и запомнить. Знания учеников начинают приобретать системный характер. Опишем кратко этапы рефлексивно- оценочной части усвоения правила.

Этап соотнесения полученных результатов с учебной деятельностью. Цель: вызвать чувство удовлетворения у ребят от проведенного исследования.

Ученики воспроизводят по требованию учителя поставленную цель в начале урока, формулируют полученное правило (алгоритм), сравнивают результаты с целью урока. Этот этап важен в плане формирования положительных интеллектуальных эмоций: «Поставили в начале урока цель и ее достигли!» У ребят появляется уверенность в себе, у них формируются познавательные мотивы к математической деятельности.

Этап осмысления прежнего опыта, с помощью которого получено новое правило. Цель: осознать теоретический базис и познавательные средства, которые помогли «открыть» новое правило.

Анализируя способ получения правила, ученики перечисляют те теоретические положения, которые входят в обоснование нового правила: определения, теоремы, изученные ранее правила. Кроме того, они выделяют познавательные средства (методы, приемы, способы), которые позволили догадаться до нового правила, а затем и обосновать его.

Этап прогнозирования применения правила. Цель: спроектировать систему задач на применение нового правила.

Ученики получают ответы на такие вопросы: Зачем я изучил это правило? В каких случаях, ситуациях я могу его применить? Ученики вовлекаются в составление различных упражнений, заданий на применение правила. Со временем составление задач обращается в своеобразную игру между ними. В эту игру вовлекается и учитель: он демонстрирует свои варианты заданий, составленных им самостоятельно или подобранных из различных сборников задач. Особый интерес представляют задачи «с ловушками» или «с нахождением ошибок». Ребята ждут с нетерпением: чьи задачи учитель включит в урок (сегодня или завтра)? в самостоятельную или контрольную работу в дальнейшем? Это для них является лучшей похвалой со стороны учителя. В ходе такой работы ученики усваивают смыслы изучаемого правила, следовательно, у них повышается мотивация к занятиям по математике.

Этапы контроля (самоконтроля) усвоения правила. Цели: помочь учащимся овладеть способами и критериями самоконтроля; определить уровни усвоения правила; выявить «точечные» затруднения в усвоении правила.

156

Учитель подбирает или составляет сам систему заданий, с помощью которой можно диагностировать усвоение правила. Каждый ученик выполняет самостоятельно предложенные задания, а затем подвергает пооперационному контролю выполнение каждого из них, фиксируя свои выводы рядом с решением в виде последовательности знаков:

+ (если уверен в правильности выполненной операции), (если не знает, как выполнить операцию), ± (если не уверен в правильности выполненной операции).Проверяя данную работу, учитель не исправляет допущенные

учеником ошибки, но фиксирует их в своей тетради. Кроме того, сопоставляет последовательность знаков пооперационного контроля ученика с выполненными им заданиями. На основе проведенного содержательного анализа он составляет вторую работу в виде тестов, где к каждому заданию предлагаются несколько вариантов решений (правильных, неправильных, нерациональных), которые взяты непосредственно из первой работы самих учащихся.

Ученик индивидуально отвечает на вопросы теста. Потом учащиеся уточняют свои ответы в группах, а учитель организует совместное обсуждение результатов (если в этом есть необходимость). В заключение учитель раздает тетради с первой работой, ученик выполняет заново те задания, в которых, как он считает, допустил ошибки. Только теперь учитель ставит оценку, сравнивая результаты двух выполненных работ, чтобы убедиться в возможности ребят корректировать свою деятельность.

Этап оценки (самооценки) учебной деятельности. Цель: каждому ученику оценить свою учебную деятельность на уроке.

На этом этапе урока ученик кратко получает ответы на следующие вопросы: Чем был полезен для меня сегодняшний урок? Что особенно было интересно? Какие были «точечные» затруднения? С чем они были связаны? Какое мое участие в получении нового правила? Какие позитивные изменения произошли в моем мышлении? и т. д. В заключение учитель оценивает работу учащихся, особо выделяет тех учеников, у которых произошел «прорыв» или в создании модели правила, или в ее «озвучивании», или в составлении системы упражнений, заданий на непосредственное усвоение правила и дальнейшего его применения.

Естественно, что реализовать на одном уроке все перечисленные этапы учебной деятельности практически невозможно. Обычно на первом уроке происходит «открытие правила». Этап осознания правила достаточно длительный по времени, он реализуется на нескольких уроках. Заключительным этапам также посвящаются отдельные уроки.

Сформулируем диагностируемые учебные цели при изучении правила на уровнях "знание", "понимание" и "применение" и опишем критерии их достижения через наблюдаемые действия учащихся (табл. 3.6) в соответствии с вышеизложенным материалом.

Таблица 3.6Диагностируемые учебные цели при изучении правила

157

Категории учебных

целей

Критерии достижения целей

Цель считается достигнутой, если ученик:

1. Знание — воспроизводит различные модели правила;— вставляет пропущенные слова в формулировке;— выбирает верную формулировку среди предложенных;— самостоятельно формулирует правило.

2.Понимание — раскрывает смысл правила своими словами; — восстанавливает последовательность нужных действий в соответствии

с правилом из предложенного набора действий (который может быть и избыточным); — переводит формулировку правила с естественного языка на

символический или графический и обратно;— выделяет последовательность элементарных операций в соответствии

с правилом, если оно не было сформулировано при изучении в алгоритмической форме; — указывает теоретический базис правила; — выбирает среди предложенных упражнения, решаемые с помощью

данного правила; — выделяет среди предложенных ситуации, в которых применимо

правило, но в явном виде оно не задано; — составляет задания на применение правила.

3.Применение — выполняет действие по правилу; — применяет правило к решению конкретного цикла упражнений,

соответствующих принципу полноты; — обнаруживает ошибки в упражнениях с "ловушками"; — составляет краткий справочник с возможными ошибками.

Проиллюстрируем предложенную технологию на примере урока, на котором учащиеся «открывают» правило умножения десятичных дробей.

Учебная задача урока: совместно с учениками «открыть» правило умножения десятичных дробей, анализируя результат умножения десятичных дробей в виде обыкновенных.

Диагностируемые цели: По окончании урока каждый ученик:- воспроизводит одну из моделей правила;- выделяет последовательность элементарных операций, входящих в

правило;- понимает, что правило умножения десятичных дробей включает в

себя правило умножения натуральных чисел;- раскрывает смысл правила своими словами;- понимает происхождение правила;

158

- понимает, что при установке запятой в произведении десятичных дробей возможны четыре различных ситуации.

Мотивационно-ориентировочная частьЗамечание. Ребятам уже известно правило умножения обыкновенных

дробей, которое будет использовано при «открытии» нового правила.Актуализация. Учитель задает классу следующие вопросы (ответы

учащихся приведены в скобках).- Какому числовому множеству принадлежат следующие числа:

5461; ; 1,21; 4,3; ? (Множеству обыкновенных дробей; множеству десятичных дробей.)

- Поясните свой ответ. (Все записанные числа можно представить в

виде обыкновенных дробей, например: и т.д. Кроме того, их можно представить и в виде десятичных дробей, например: 5461 = 5461,0.)

- Сколько десятичных знаков содержат данные числа? Отделите запятой, считая справа налево, три десятичных знака в числе 5461. (5,461.) А теперь отделите запятой три знака, считая слева направо. (546,1.)

- Сравните 5,461 и 546,1. Сделайте вывод. (Положение запятой не зависит от того, из каких цифр состоит исходное натуральное число. Это положение определяется только тем, сколько цифр надо отделить и в каком порядке считать отделяемые цифры: слева направо или справа налево.)

- Отделите запятой, считая справа налево, в числе 5461 четыре десятичных знака, а потом пять десятичных знаков. (0,5461 и 0,05461.)

- Сколько десятичных знаков вместе в полученных числах?- Найдите сумму чисел 1,27 и 4,3. Сформулируйте соответствующее

правило. На какое правило оно похоже? (Правило сложения десятичных дробей полностью аналогично правилу сложения натуральных чисел.)

- Вычислите произведение натуральных чисел 127 и 43. (5461.)Мотивация. Класс выполняет следующее задание. - Найдите, какой десятичной дроби равняется произведение чисел 1,27

и 4,3.Ребята выполняют указанное действие в группах (парах) на отдельных

листах:.

Некоторые группы (пары) учеников могут получить неверные ответы, связанные с формальным переносом правила сложения дробей:

1,274,3

159

381508__54,61

Следует обсудить с ребятами все возникшие неверные результаты с

целью развития у них критичности мышления. Кроме того, у школьников повышается интерес к выполнению задания. В нашей практике имел место такой случай. Один из учеников перемножил две десятичные дроби, используя соответствующее правило, которое папа сообщил ему дома, накануне. Учащиеся в группе были возмущены таким подходом к исследованию проблемы: «Какое право ты имеешь использовать правило, если его не получил сам?» Этот случайно подслушанный разговор между учениками был «бальзамом» для нас: значит, ребята приняли технологию обучения, построенную на деятельностной основе!

Далее, вместе с учителем, ученики выясняют, сколько операций пришлось выполнить, чтобы найти произведение двух десятичных дробей: перевести десятичные дроби в обыкновенные, получить неправильные дроби, выполнить умножение числителей, затем знаменателей, перевести неправильную дробь в смешанное число, записать обыкновенную дробь в виде десятичной – всего шесть операций. Так ученики убеждаются в нерациональности полученного ими способа нахождения произведения двух десятичных дробей. Теперь учитель предлагает вспомнить ребятам, когда они имели аналогичную ситуацию. (Когда впервые находили сумму десятичных дробей, не зная соответствующего правила).

Постановка учебной задачи. Вопросы учителя:– Какая же сейчас перед нами возникает задача? (Найти правило

умножения десятичных дробей, не прибегая к обыкновенным дробям.)– Как сформулировать тему урока? (Ученики записывают в тетрадях

тему урока «Правило умножения десятичных дробей».)Планирование дальнейшего проходит в виде фронтальной беседы: – Мы убедились, что при умножении двух десятичных дробей

получается также десятичная дробь: 1,27 • 4,3 = 5,461. Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно отвечать на вопрос: как получить десятичную дробь в произведении, если известны множители, являющиеся десятичными дробями?

– Вспомним: как из натурального числа можно получить десятичную дробь? (Надо отделить несколько цифр числа запятой.)

– Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно состоять из двух частей. На какие же два вопроса должно отвечать правило умножения десятичных дробей? (Первый вопрос: как получить натуральное число в произведении? Второй вопрос: как в нем поставить запятую?)

– Какая часть правила у вас не вызывает затруднений? (Мы знаем, как ответить на первый вопрос, т.е. как получить натуральное число путем умножения двух натуральных чисел без учета запятых.)

160

Операционно-познавательная частьПреобразование условий задачи. – Итак, нам надо изучить вопрос о связи положений запятой в данных

множителях с положением запятой в произведении. Так как мы убедились, что цифровая информация не оказывает влияния на положение запятой, то, по-видимому, чтобы получить ответ на второй вопрос, нужно использовать некоторую схематическую запись трех чисел.

Моделирование правила. В группах ученики пытаются перейти к схематической записи, используя самые произвольные знаки: кружочки, квадратики, звездочки, но не цифры. Их записи подвергаются совместному анализу. В группах идет обсуждение и «рождение» модели правила.

По требованию учителя результаты групп, зафиксированные на отдельных листах, выносятся на доску для межгрупповой дискуссии. На доске возникают примерно такие же записи, как на рис. 3.16.

Рис. 3.16

Итогом дискуссии является уточненная модель правила, например:

Теперь учитель предлагает ребятам сформулировать правило умножения десятичных дробей словами.

Этапы формулирования правила и построения алгоритма.

- Сформулируйте правило умножения десятичных дробей, опираясь на полученную его модель.

161

- Сравните сформулированное правило с соответствующим текстом учебника.

- Какие элементарные операции входят в правило?- Постройте это правило в виде алгоритма. - Какая операция алгоритма является для вас новой? (Постановка

запятой в произведении.) Этап осознания правила.- Выполните умножение, сопоставляя каждое свое действие с

записанным правилом. Учащиеся выполняют первый цикл вышеприведенных упражнений «с плавающей запятой».

Рефлексивно-оценочная частьЭтап соотнесения полученных результатов с учебной задачей. - Какую задачу мы поставили перед собой в начале урока?- Можно ли считать, что мы ее решили?

Этап осмысления прежнего опыта, с помощью которого получено новое правило.

- Какие знания нам помогли «открыть» новое правило? (правило умножения обыкновенных дробей, правило умножения натуральных чисел, правила представления десятичных дробей в виде обыкновенных и обыкновенных дробей в виде десятичных дробей.)

- Применяя эти правила, мы смогли перемножить две конкретные десятичные дроби и получить конкретный результат. Какой же познавательный опыт помог вам перейти от конкретного примера к правилу? (Изучение этого примера.)

- Действительно, вы изучали, анализировали конкретную ситуацию, все свое внимание сосредоточили при этом на изучении запятых в множителях и произведении. Результаты анализа постепенно отражали на модели правила.

Слова, записанные курсивом, выносятся на доску.Этап прогнозирования применения правила. - Можно ли утверждать, что правило умножения десятичных дробей мы выучили? Умеем его применять для любых десятичных дробей?- Какие случаи оказались для вас более сложными?- Каковы цели следующих уроков?

В результате обсуждения ответов на поставленные вопросы приходим к выводам, что надо выучить правило дома, на следующем уроке его учиться применять, в особенности, для случаев с «дополнительными» нулями, после чего провести самостоятельную работу, с помощью которой можно проверить усвоение правила умножения десятичных дробей. И только потом можно перейти к применению правила при решении более сложных заданий (например, решение уравнений и текстовых задач). Очевидно, что описанная технология обучения потребует, особенно вначале, несколько

162

больших затрат времени. Однако эти затраты окупаются, как показывает опыт, формированием положительных характеристик действия, а именно правильностью, большей самостоятельностью, устойчивостью, обобщенностью, а также способностью к переносу умения на новые ситуации.

Как показывает практика, у школьников, которые обучались по данной технологии, формировалась корректная математическая речь, они непроизвольно запоминали правила, им не нужно было большого числа упражнений на их усвоение.

Отметим, что много вычислительных правил сосредоточено в курсе математики V-VI классов, — явно больше, чем других дидактических единиц. Следовательно, от качества усвоения правил и умственного развития учащихся при этом, а именно на это нацелена описанная технология, будет зависеть далее успех изучения курса математики в целом.

Подготовка учителя к работе с правилом на уроке

Готовясь к уроку, на котором будет изучаться правило, учитель должен провести его логический и дидактический анализы.

Логический анализ правила предполагает выполнение учителем следующих предварительных действий.

1. Выделение последовательности элементарных операций, входящих в правило. Построение алгоритма в соответствии с его характеристическими свойствами.

2. Теоретическое обоснование правила.3. Установление связей нового правила с ранее изученными.4. Исследование возможностей дальнейшего применения правила.Дидактический анализ правила предполагает выполнение таких

действий.5. Разработка системы упражнений для этапа актуализации, опираясь

на теоретический базис правила и его связи с ранее изученными правилами. Методика организации повторения.

6. Исследование возможностей создания проблемной ситуации. 7. Четкая формулировка учебной задачи. Проектирование участия

школьников в постановке учебной задачи.8. Установление возможностей участия учеников в «открытии»

правила. Конструирование различных моделей правила, выбор наиболее оптимальной модели.

9. Составление системы упражнений для этапа осознания правила, опираясь на соответствующие принципы. Формы организации деятельности учащихся на этом этапе.

10. Подбор вопросов, заданий для организации рефлексивно-оценочной деятельности учащихся и для домашней работы.

11. Составление самостоятельной работы с целью проверки усвоения правила.

163

В заключение отметим, что описанная технология работы с правилом (алгоритмом) была реализована при создании рабочих тетрадей [17, 18].

3.5. Методика обучения школьников решению математических задач

Понятие задачи. Роль и функции задач в обучении

Термин "задача" широко используется и в жизни, и в различных науках, и в учебных дисциплинах: психологии, логике, педагогике, математике, физике и т.д. Этим термином обозначаются многие и разные понятия. Поэтому очень трудно дать общее определение понятию "задача". Даже в пределах математики нет однозначного толкования этого понятия.

В различных областях знания (психология, педагогика, математика, методика математики) проблему содержания понятия "задача" исследовали Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман, В.И. Крупич, А.Ф. Эсаулов, П.М. Эрдниев и многие другие. Анализ точек зрения перечисленных авторов на исследуемую проблему проведён Г.И. Саранцевым в работах "Общая методика преподавания математики" и "Упражнения в обучении математике" [90, 91].

Отличие в подходах авторов к содержанию понятия "задача" состоит, главным образом, в том, что они по-разному подходят к отношению между субъектом и задачей. Одни из них рассматривают задачу как ситуацию, в которой действует субъект, в других трактовках субъект не включается в понятие задачи [90, с.120-121].

Подводя итог проведённому анализу, Г.И. Саранцев отмечает следующее: наиболее распространённым является использование термина "задача" для обозначения ситуации, включающей цель и условия для её достижения. Для понятия задачи характерны две стороны: объективная и субъективная. К первой относятся предмет действия, требование, место в системе задач, логическая структура решения задачи, определённость и неопределённность условия и т.д., ко второй – способы и средства решения [90, с.123].

К понятию "задача" тесно примыкают понятия "вопрос", "проблемная ситуация", "упражнение". Сотношения между понятиями "задача" и "вопрос", "задача" и "проблемная ситуация" рассматриваются в работах Л.М. Фридмана, С.Л. Рубинштейна. Соотношение между понятиями "задача" и "упражнение" устанавливает Г.И. Саранцев в монографии, специально посвящённой упражнениям в обучении математике [91]. В частности, он делает вывод о том, что "упражнения – многоаспектное явление обучения, обладающее следующими основными признаками: 1) быть носителем

164

действий, адекватных содержанию обучения математике; 2) являться средством целенаправленного формирования знаний, умений и навыков; 3) быть способом организации и управления учебно-познавательной деятельностью учащихся; 4) являться одной из форм реализации методов обучения; 5) служить средством связи теории с практикой"[91, с.17].

Сопоставляя наборы задач в школьных учебниках по математике с перечисленными признаками, можно согласиться с выводами Г.И. Саранцева о том, что "в контексте учебников математики школьные задачи являются упражнениями" [91, с.127].

Подводя итоги сказанному выше и сохраняя традиции, под задачей мы будем понимать задание, которое должен выполнить субъект, или вопрос, на который он должен найти ответ, опираясь на указанные условия и все вытекающие из них следствия.

Таким образом, в любой задаче есть условие, т.е. исходные данные, заключение, т.е. требование, которое нужно выполнить, и субъект, который это требование выполняет.

Задачи, решаемые в школьном курсе математики, весьма разнообразны. Поэтому естественно желание сгруппировать их каким-то образом. Это важно, в частности, для систематизации методов и приемов решения, для разработки методики обучения учащихся решению задач.

В методической литературе встречаются разделения задач на виды по различным основаниям. Опыт показывает, что наиболее приемлемым является выделение следующих видов задач:

по характеру требования – на вычисление или нахождение; на доказательство или объяснение; на построение или преобразование;

по отношению к способу решения – стандартные и нестандартные; по характеру объектов – математические и реальные (или с

практическим содержанием).Совершенно очевидно, что такое разделение, как и никакое другое, не

является классификацией.Охарактеризуем только понятия стандартнойи нестандартной задачи,

т.к. содержание других понятий ясно из названий видов. Процесс решения задачи есть последовательность элементарных

действий, последовательность решения одношаговых задач. Математические задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в любой форме) или они непосредственно следуют из каких-либо определений или теорем, определяющих программу решения этих задач в виде последовательности шагов, принято называть стандартными. Нестандартные задачи – это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения [111, с.с. 43, 48].

Рассмотрим примеры.Задача 1. Разложить многочлен (a + 2b)2 – 9a2 на множители.Задача 2. Доказать, что при любом натуральном n число

(7n + 1)2 – (2n – 4)2 делится на 15.

165

Задача 3. Доказать, что при любых значениях а верно неравенство(3а – 2)(а + 2) (1 + 2а)2.

Задачи 1 и 2 относятся к теме "Формула разности квадратов". Для решения задачи 1 достаточно применить формулу и известные учащимся способы упрощения выражений. Это пример стандартной задачи. Задача 2 – пример нестандартной задачи.

Если задачу 3 решать первой среди задач такого типа, то здесь последовательность элементарных шагов, составляющих решение, нужно отыскивать. Однако последующие задачи такого типа становятся стандартными.

Четко отделить нестандартную задачу от стандартной на практике не всегда возможно. Показательна в этом плане ситуация с задачей 2. Рассмотрим еще задачу.

Задача 4. Доказать, что при любых a и b верно неравенствоa2 + b2 + 1 ab + b + a.

На первый взгляд, имеем стандартную задачу на доказательство неравенств на основе определения "число А больше числа В". Когда же составим разность между левой и правой частями, то замечаем, что установление ее знака – задача нестандартная, хотя на момент изучения темы в школе разрешимая.

С понятием "задача" связаны два процесса, два вида деятельности: описанный выше процесс решения и составление задачи. Эти два процесса взаимно обратны. Они характеризуются противоположными ходами мысли. Составление задачи есть синтез, объединение разрозненных частей в единое целое. Решение задачи, каким бы методом оно не осуществлялось, есть анализ, расчленение целого на части. Остановимся на составлении и решении задач подробнее.

Известно довольно много приёмов составления задач.Во-первых, математическая задача может появиться в результате

моделирования реально существующего процесса или явления, например, в порядке решения проблемы производственного, социального, бытового характера.

Во-вторых, возможен эмпирический путь возникновения задачи – на основе наблюдения, опыта, анализа, сравнения, измерений, вычислений, построений и т.д.

В-третьих, между понятиями, их определениями, свойствами, признаками существуют взаимосвязи. Они и могут быть использованы для составления задач. Так, для задачи можно составить эквивалентную, если в ней условие или требование или то и другое одновременно заменить равносильным. Для задачи можно составить аналогичную по сюжету, по методу или используемым в решении приёмам. Можно составить задачу, обратную данной, и часто не одну. Возможны задачи-обобщения, задачи-конкретизации и т.д. Используя различные приёмы, можно составлять цепочки взаимосвязанных задач.

166

Составленная задача должна быть литературно грамотно сформулированной и корректной. Последнее означает, что сформулированное предложение имеет смысл, условие, заключение и результат решения непротиворечивы и число элементов в условии необходимо и достаточно для того, чтобы задача имела решение. В предлагаемых для решения задачах последнее требование не всегда выполняется. Чтобы привлечь внимание учащихся к какой-либо стороне математической деятельности, иногда учителя и авторы задач используют задачи с недостающими или избыточными данными.

Обратимся теперь к процессу решения задачи.Известный американский математик и педагог Д.Пойа выделяет в

решении задачи четыре этапа: 1) понимание постановки задачи; 2) составление плана решения; 3) осуществление плана; 4) взгляд назад [78].

Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий разбивают процесс решения на восемь этапов, которые содержат перечисленные выше или детализируют их: 1) анализ задачи; 2) схематическая запись; 3) поиск способа решения; 4) осуществление решения; 5) проверка решения; 6) исследование задачи; 7) формулирование ответа; 8) анализ решения задачи [111, с.29].

Сущность и назначение каждого из этапов, познавательные средства, с помощью которых они реализуются, обсуждаются в работах Д.Пойа, Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого.

Например, выделим хотя бы некоторые познавательные средства, которые задействованы на этапах поиска плана решения и осуществления плана.

На основе анализа условия и требования задачи и, может быть, и переформулирования задачу необходимо отнести к тому или иному виду и осознать сущность решения задач данного вида. Если оказывается, что задача решается по известному алгоритму, то план найден. Как видим, здесь используются анализ, моделирование, сравнение, аналогия.

Если знакомого образца нет, то поиск решения идет методом анализа или методом синтеза. При этом выполняются действия подведения под понятие, выведения следствий, переформулирование задачи, а следовательно, действие моделирования. В поиске решения могут быть использованы специальные методы и приемы, знакомые по решению других задач. Прием или метод решения могут подсказать измерения и вычисления с конкретными данными, рисунок к геометрической задаче, выполненные по всем правилам с использованием соответствующих инструментов (хотя в общем случае это требование совсем необязательно) и другие средства.

При осуществлении плана необходимо понимание решения задачи как процесса, понимание роли законов логики в решении задач, знание и умение применять эти законы, знание и умение применять специальные содержательные методы решения задач.

Таким образом, анализ процессов составления и решения задач показывает, что и в том, и в другом задействованы самые разные мыслительные операции, приемы мышления, методы рассуждений, т.е. в них

167

участвуют и эвристические, и логические, и речевые умения субъекта. Это, с одной стороны, подчеркивает роль задач в обучении, а с другой, показывает, чему следует обучать учащихся конкретно, если иметь в виду обучение решению задач.

Роль и функции задач в обучении математике исследуются в работах Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана, А.А. Столяра, Е.С. Канина, Г.И. Саранцева и др. [47, 64, 99, 91, 109, 111]. Подводя итог этим исследованиям, можно сказать, что задача является средством и целью обучения математике.

Роль задач как средства обучения и развития школьников хорошо просматривается в технологических процессах организации усвоения основных дидактических единиц – определений, теорем, правил. В самом, деле, актуализация знаний в мотивационно-ориентировочной части процесса предпочтительна в ходе решения задач. Проблемная ситуация так же чаще всего возникает в результате выполнения упражнений и решения задач. Даже в содержательной части при выявлении содержания понятия, при "открытии" теоремы и, тем более, правила возможно использование задач. Рефлексивно-оценочная часть во многом строится так же на основе системы упражнений: осознание логической структуры определения, теоремы и способа ее доказательства проверяются с помощью упражнений, действия подведения под понятие, выведения следствий в работе с определением, прямое применение теоремы, отработка правила осуществляются главным образом в ходе выполнения упражнений определенных типов, системы упражнений, построенной с соблюдением ряда принципов (см. п.п. 3.2 – 3.4). Роль задач на различных этапах организации изучения определений и теорем подчеркивается также в работе Г.И. Саранцева [90, с. 128-130].

Во всех трех частях технологического процесса усвоения дидактических единиц упражнения и задачи выступают как средство изучения математики. Здесь, как правило, используются несложные одно-двухшаговые задачи и упражнения. Их принято называть дидактическими.

Вместе с тем задача – это и цель изучения математики. Математику изучают для того, чтобы научиться решать задачи.

Почему так важно уметь решать задачи?Цель обучения математике – целостное развитие личности ученика.

Оно предполагает усвоение определенного гуманитарно-ориентированного содержания, в частности, познавательных средств, и формирование положительных качеств мышления.

Анализ деятельностей по составлению и решению задач показывает, что приемы и методы познания, которые осваиваются в процессе изучения определений, правил, теорем, постигаются и в процессе работы над задачей. Однако, в освоении познавательных средств в процессе решения задач есть своя специфика, состоящая в следующем. Даже при реализации предлагаемого нами технологического процесса усвоения дидактических единиц определение, правило, теорема, аксиома возникают в результате совместной деятельности учителя и учащихся при ведущей роли учителя. При решении или составлении новой задачи в классе тоже велика роль

168

учителя и зачастую она оказывается главной. Вместе с тем, при выполнении домашней, классной самостоятельной или контрольной, экзаменационной и других работ ученик, а позднее абитуриент остается один на один с заданием и должен и выполнить его сам, без посторонней помощи. Поэтому на этапах поиска решения и анализа решения, при составлении задач методы познания, приемы и способы мышления осваиваются не только под воздействием учителя, но и в процессе их самостоятельного творческого применения. Именно по тому, какие задачи и как ученик решает самостоятельно, мы судим о его умственных способностях, о направленности его мышления, об уровне усвоения знаний, о культуре мышления.

Таким образом, формирование умений решать и составлять задачи влечет за собой развитие мышления (и логического, и интуитивного) и целостное развитие личности, всех психических процессов (воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т.д.).

Наряду с ролью задач некоторые методисты (Ю.М. Колягин, К.И. Нешков, А.Д. Семушин и др.) рассматривают и функции задач. В частности, выделяют задачи с дидактическими, познавательными, развивающими, практическими функциями [47, 68]. Очевидно, что отнесение задачи к группе задач с той или иной функцией, не является классификацией, поскольку одна и та же задача для различных субъектов и в разных ситуациях может нести разные функции. Однако выделение функций задач имеет смысл, т.к. учитывая цели обучения, важно чтобы в системе задач, составляемой по каждой теме для конкретного класса, присутствовали задачи с каждой из названных функций.

Методы решения задач

Последовательность элементарных шагов, составляющих решение стандартной задачи, вполне определена. Для нестандартной задачи ее нужно отыскивать, конструировать. При этом поиск решения задачи и само решение не всегда четко разделимы. Практически одни и те же методы участвуют и при поиске, и при осуществлении решения. Поэтому, говоря далее о методах решения задач, мы будем иметь в виду и методы поиска решения.

Любая задача на доказательство может рассматриваться как теорема. Поэтому методы решения задач на доказательство те же, что и методы доказательства теорем. Они подробно рассмотрены нами в п. 2.5.

К какому бы виду не относилась задача, основными методами поиска ее решения являются рассуждения, построенные по схемам синтеза, анализа или попеременного использования того и другого методов. Для задач на доказательство эти схемы описаны в п. 2.5. Для задач на вычисление и построение внешне они остаются такими же, но внутренне модифицируются.

Синтетический метод в задачах на вычисление состоит в следующем: на основе некоторых элементов условия составляется и решается задача или серия задач; на основе полученных результатов и неиспользованных

169

элементов условия составляется и решается новая вспомогательная задача или серия задач и так далее, до тех пор, пока не будет получено искомое.

Пример такого решения задачи см. в п. 3.6, задача 2.Решение многих задач на вычисление осуществляется алгебраическим

методом. В частности, это текстовые задачи, в которых сюжетом служит либо реальная ситуация (задачи на движение, на совместную работу и другие), либо математическая (в сюжете задействованы числа, алгебраические понятия, функции, геометрические фигуры и т.д.). Это задачи, в которых одно из чисел или одна из величин принимается, например, за х, все зависимости, объективно существующие между величинами и заданные в условии, переводятся на язык равенств, уравнений, неравенств, систем (если введены два и более неизвестных) и далее решается полученное уравнение (неравенство, система). При таком решении процесс получения уравнения (неравенства, системы) есть анализ. Здесь мы не предполагаем, что искомая величина найдена, но оперируем ею как известной величиной. Такую разновидность анализа называют алгебраическим анализом. Решение уравнения (неравенства, системы) в этом случае есть синтез.

Примеры решения таких задач хорошо известны. Они рассмотрены и в п. 3.6.

Для задач на вычисление характерна еще одна разновидность анализа. Например, в геометрической задаче требуется найти площадь треугольника. В этом случае записываем формулу площади и выясняем, какие величины, входящие в формулу, неизвестны. Ищем возможности для нахождения этих величин. Может оказаться, что для нахождения первых потребуется найти еще какие-то величины, решить вспомогательные задачи. Так продолжается до тех пор, пока не будет найден способ вычисления последней из вспомогательных величин. Проведенный здесь анализ похож на восходящий анализ в задачах на доказательство. Эту разновидность анализа использовали математики древности. Соответственно его и называют анализом древних или классическим анализом. Решение цепочки задач от последней к первой есть синтез.

Такой способ поиска решения проиллюстрирован на задаче 2 в п. 3.6.В нестандартных задачах на построение используются и анализ, и

синтез. Анализ в таких задачах начинается со слов "предположим, что искомая фигура построена". Этим он похож на нисходящий анализ. Далее поиск сводится к отысканию свойств какой-либо точки или другой фигуры, построив которую можно построить и искомую фигуру. Здесь взаимодействуют нисходящий и восходящий анализ. В результате анализа выясняется план построения. Реализация плана есть синтез.

Большой класс задач в курсе алгебры составляют иррациональные и трансцендентные уравнения, неравенства, системы. Решение таких задач есть тоже аналитико-синтетическая деятельность. В каком виде используется здесь анализ и синтез, зависит от способа решения.

170

Итак, основными логическими методами решения задач и поиска решения являются анализ и синтез. Они могут модифицироваться, дополняться или заменяться некоторыми другими методами (см., например, п. 2.5), чередоваться в пределах решения одной задачи, но именно анализ и синтез составляют основу поиска решения и решение. Подчеркнем еще раз, что каждый из этих методов в чистом виде, т.е. изолированно от другого, применяется довольно редко. Во-первых, любой анализ (поиск решения) предполагает синтез (решение). Во-вторых, синтез осуществляется с прицелом на требование задачи, т.е. предполагает анализ. В-третьих, они могут использоваться попеременно. В-четвертых, решение не всегда идет в одну линию. Чаще всего происходит ветвление, и в каждой "ветке" поиск осуществляется своим методом.

Как и для доказательств теорем, наряду с логическими существуют содержательные, специальные методы решения задач. Это методы, основанные на содержании того теоретического материала, который используется при решении.

Например, длину отрезка можно найти, используя равенство треугольников, формулы площадей треугольника, теорему Пифагора, подобие треугольников, векторы, координаты и так далее.

Аналитико-синтетическая деятельность, как и всякая другая, состоит из отдельных действий, умственных или реальных. Основными из них являются действия выведения следствий, подведения под понятие на основе определений, свойств и признаков понятий и отношений, составления элементарных задач и их решения (выведение следствий из совокупности условий), сопоставления и выбора.

Компонентами аналитико-синтетической деятельности являются также эвристические приемы или эвристики.

Вообще эвристика – это наука, исследующая закономерности творческой деятельности человека и разрабатывающая пути управления эвристическими процессами [83,с. 5]. Проблемой эвристики занимаются такие известные психологи, как В.Н. Пушкин, Ю.Н. Кулюткин, проблемой педагогической эвристики – В.Н. Соколов [98].

В то же время эвристикой можно считать такой приём, который человек сформулировал у себя в ходе решения одних задач и более или менее сознательно переносит его на другие задачи [83,с. 21]. С таким пониманием эвристик мы встречаемся в работах Д.Пойа, Л.М. Фридмана и др. Понятие "эвристическое правило" здесь, может быть, подходит больше. В.Н. Соколов трактует его следующим образом: "Эвристическое правило – элементарная единица методологических средств, содержащая рекомендации к выбору возможного действия в условиях альтернативного поиска" [98, с. 237].

Каждая тема школьного курса математики даёт свой набор эвристик, которые используются в дальнейшем при поиске решения задач методом анализа или синтеза. Это, так называемые, частные эвристики. Напомним (см. 3.2), что под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки того или иного

171

теоретического положения (аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи) на этапе осознания ценностей приобретённых знаний.

Первые частные эвристики появляются в результате переформулирования определений, аксиом, теорем в способы действия. Например,

чтобы доказать, что два треугольника равны, достаточно установить, что их можно совместить наложением;

чтобы доказать параллельность двух прямых (на плоскости), достаточно установить их перпендикулярность к одной итой же прямой.

По мере накопления достаточных условий для одного и того же понятия появляются группы эвристик. К таким относятся рассмотренные выше эвристики для нахождения длины отрезка. Или, в теме "Подобные треугольники" целесообразно выделить следующие частные эвристики:

Чтобы найти отношение (доказать пропорциональность) отрезков, можно

заменить отношение отрезков отношением площадей треугольников; рассмотреть треугольники, сторонами которых служат эти отрезки,

доказать их подобие; рассмотреть отрезки, высеченные параллельными прямыми на двух

других прямых.Здесь сформулированы эвристические правила, связанные с

признаками понятий и отношений, они направлены на формирование действия подведения под понятие и применяются при поиске решения задачи методом анализа.

Можно сформулировать эвристики в форме, позволяющей использовать их в процессе поиска решения задачи методом синтеза. Они связаны со свойствами понятий и отношений и направлены на действие выведения следствий. Приведём примеры таких правил.

Если то можно пытаться использовать

1) даны два подобных треугольника,

а) равенство соответственных углов этих треугольников;б) пропорциональность сходственных сторон;

2) дан угол, стороны которого пересечены параллельными прямыми,

а) подобие треугольников;б) пропорциональность отрезков, отсечённых на сторонах угла;

3) в прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе,

а) подобие треугольников;б) высоту как среднюю пропорциональную величину;в) каждый катет как среднюю пропорциональную величину.

172

В результате решения содержательных задач по разным темам могут появиться эвристические приёмы более высокого уровня. Они тоже основываются на некоторых теоретических положениях, но получаются из них не простым переформулированием, а в ходе их комплексного применения, на первых порах, может быть, на основе интуиции, догадки.

К таким эвристикам можно отнести, например, следующие: если один корень уравнения легко находится подбором, то можно

попытаться доказать, что других корней уравнение не имеет. При этом может оказаться полезным свойство монотонности функции;

если в условии или требовании задачи речь идёт о медиане треугольника, то можно попытаться её "удвоить", считая от вершины, и полученную точку соединить с одним или обоими концами стороны, к которой она проведена.

если в четырёхугольнике рассматриваются середины двух противоположных сторон, то целесообразно ввести в рассмотрение и середину диагонали.

Наконец, существуют эвристические правила, отражающие не специфические, а общелогические умения. Они позволяют выбрать способ рассуждений, определяют логику, стратегию поиска решения. Приведём примеры таких эвристик.

если условие задачи содержит несколько элементов, то поиск решения целесообразно начать с условия. Для этого вывести следствия из каждого элемента условия, сопоставить их между собой и с требованием.

Если требуется доказать то можно попытаться

1) существование или неединственность какого-либо объекта или отношения,

найти способ его нахождения или построения;

2) истинность предложения, обратного данному,

а) применить метод от противного или б) обратить цепочку рассуждений при доказательстве исходного предложения.

Перечисленные в п.2.5. ситуации, в которых можно попытаться применить метод от противного, есть также эвристики.

Говоря о роли эвристических правил в осуществлении поиска решения задачи, следует иметь в виду два момента:

а) перебор эвристик не есть необходимое условие для поиска решения задачи. Решение может "подсказать" интуиция. При этом эвристики срабатывают, но субъект не осознаёт, в какой момент и как это происходит;

б) применение той или иной эвристики не является и достаточным условием для нахождения решения задачи. Эвристика – не алгоритм, она не обеспечивает стопроцентный результат. Однако, если интуиция "молчит", то перебор эвристических приёмов разного уровня делает поиск решения задачи осмысленным и совокупность эвристик может привести к цели.

173

Таким образом, эвристики, с одной стороны, создают базу для интуитивного мышления, развивают его, а с другой, направляют деятельность субъекта в поиске решения задачи. Поэтому эвристики каждого из трёх уровней необходимо формулировать, накапливать и систематизировать.

Обучение решению задач

Умение решать задачи самостоятельно, без постронней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. Необходимо учить школьников решать задачи, думать над задачей.

Обучение учащихся решению задач – сложнейшая методическая проблема. Ей посвящены специальные исследования Д. Пойа, Ю.М. Колягина,Л.М. Фридмана и Е.Н. Турецкого, Г.И. Саранцева и других авторов [47, 78, 109, 111, 91]. Осветим эту проблему в связи с разработкой технологии развивающего обучения математике.

У школьников необходимо формировать умение решать и стандартные, и нестандартные задачи.

Обучение решению стандартных задач показано в п. 3.4.Решение нестандартной задачи – процесс творческий. Как он

осуществляется реально, каково соотношение в нем интуитивного и логического, уследить практически невозможно. Однако очевидно, что и для логики, и для интуиции, проявляющихся в решении задач, необходимо создавать базу.

К базовым компонентам умения решать задачи относятся методы и приемы решения задач, поиска решения, а следовательно, и действия, входящие в состав деятельности по решению и составлению задач и методов решения задач. Основные из них перечислены нами выше.

Таким образом, обучение решению задач состоит в формировании у учащихся умений выполнять отдельные действия, входящие в аналитико-синтетическую деятельность по решению задач, составлять цепочки действий, приводящие к решению, в выделении, накоплении и систематизации эвристик по мере изучения материала, в приобщении учащихся к решению и составлению задач.

Т.А. Иванова, опираясь на работы Д.Пойпа, Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана, пишет: «Обучать решению математических задач – значит формировать у учащихся последовательно и целеноправленно следующие умения:

1. Анализировать условие задачи: выделять данные, требования, соотносить данные с требованием.

174

2. Устанавливать круг теоретических положений, которые ассоциируются у школьников с каждым элементом условия и требования.

3. Выводить следствия и подводить под понятие, преобразовывать теоретические положения (аксиомы, определения понятий, формулировки теорем) в способы деятельности, в эвристические приемы, создавать и пользоваться эвристиками.

4. Владеть способами решения исходоных стандартных, опорных, обучающих и т.д. задач, к которым сводится решение неалгоритмических задач. В последнее время такие задачи называются ключевыми (Н.И. Зильберберг, Н.Х. Розов, Р.Г. Хазанкин).

5. Составлять новые задачи, осуществлять варьирование задачи на основе:

- изменения условия задачи;- изменения требования задачи;- замены данной задачи ей эквивалентной;- формулировки обратной (противоположной) задачи;- обобщения и конкретизации;- использования результата решения известных задач.

В последние десятилетия полученные таким образом задачи получили название динамических.

6. Владеть методами математической деятельности: общими эвристическими и дедуктивными; специфическими, характерными для конкретной учебной темы. Особое внимание следует уделять анализу и синтезу, т.к. аналитико-синтетическая деятельность пронизывает все этапы решения задачи (в том числе и стандартной, если ученик в начале знакомства с ними осознанно опирается на теорию, а не только на память действовать по образу).

7. Решать задачи разными методами [39, с. ]. »Процесс формирования любого умения предпологает выделение его

основных этапов. Поэтому далее опишем этапы формирования общего умения решать математические задачи, опираясь, в том числе и на работу [39]. Предварительно прокомментируем необходимость выделения каждого этапа.

Многие общелогические и специфические умения (эвристические приемы), входящие в деятельность по решению задачи, формируются у учащихся при реализации технологических процессов усвоения определений, правил, теорем в операционно-познавательной и особенно в рефлексивно-оценочной частях (см. п.п. 3.2, 3.3, 3.4). Работа с упражнениями в этих частях технологий и составляет первый, начальный этап в подготовке школьников к решению задач более высокого уровня сложности.

После изучения теоретического материала каждого блока конкретной темы осуществляется решение задач. В школьных учебниках к каждому пункту, параграфу, главе приводится, как правило, очень большой список задач. Как выбрать из них (а возможно, и из других) те, которые

175

обеспечивают на достаточном уровне достижение целей обучения и развития учащихся, в частности, и цели обучения решению задач?

Очевидно, что необходима определенная система задач, которая обеспечивала бы процесс формирования умений, необходимых школьнику для самостоятельного решения задач.

Что положить в основу создания такой системы?В ответе на этот вопрос мы считаем перспективным использование

наборов так называемых ключевых, или опорных, задач. Дело в том, что по каждой теме школьного курса математики число идей и фактов, использующихся при решении всех задач, невелико. Поэтому есть возможность отобрать минимальное число задач, которые раскрывают все факты и идеи наиболее ярко и наглядно. Эти задачи и являются ключевыми.

Перспективность идеи подтверждается исследованиями ученых и опытом работы учителей-практиков [120, 32]. Так, термин "ключевая задача" заимствован у учителя из г. Белорецка Г.И. Хазанкина, в системе работы которого идея использования ключевых задач является одной из ведущих.

Идею «уровнево аранжированных» наборов «опорных задач» пропагандирует Н.Х. Розов.

В каждой теме курса математики общеобразовательной школы он предлагает выделять «ядро» и «оболочку» и соответственно минимальный и максимальный базисы в пространстве задач.

«Ядро» это есть основные «общеобязательные» факты и идеи темы. Минимальное число задач, в каждой из которых наиболее ясно и выпукло проявляется один определенный факт или одна опрделенная идея из вошедших в ядро, есть «минимальный базис в пространстве задач». Он должен быть - наряду с теоретическими сведениями, входящими в стандарт – освоен и усвоен всеми без исключения учащимися массовой школы.

«Оболочка» - совокупность всех идей и фактов, которые определяют содержание темы. Минимальное число задач, каждая из которых посвещена одному факту или одной идее и наиболее удачно их раскрывает, составляет максимальный базис в пространстве задач. Усвоение этих задач - вместе с содержащимся в учебнике материалом по теории – создает «массовому» школьнику за разумное время благоприятные условия для решения любых других задач по данной теме или по нескольким темам [86, с.37].

Методику обучения решению задач мы строим так же на понятии ключевой задачи с учетом ее места в системе ключевых задач.

Ни в официальных документах по математическому образованию, ни в методической литературе опорные, или ключевые, задачи по темам не выделены. Пока это предстоит делать учителю.

Исходя из сказанного выше, ключевая задача – это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую идею, новый метод, приём решения, или содержит новый факт, или и то, и другое вместе.

Будем различать ключевую задачу-факт и задачу-метод [120]. Если в результате решения задачи устанавливается новый факт, формула, свойство или признак какого-либо понятия или отношения, то имеем задачу-факт, или

176

задачу-теорему. Если в процессе решения задачи обнаруживается какой-либо новый для учащихся метод, способ, приём рассуждений, решения или составления задачи, то имеем задачу-метод. Есть задачи, которые одновременно иллюстрируют что-то новое в решении и дают интересный и важный результат. На одной задаче можно иллюстрировать не один приём или метод. Для разных приёмов могут быть использованы разные задачи. Так что число и содержание ключевых задач в теме определяется неоднозначно. Многое здесь зависит от темы, от мастерства учителя, от целей, которые он ставит, и от особенностей класса.

Итак, сначала необходимо выделить ключевые задачи по теме.В учебниках математики 5-6 классов обычно такие задачи явно

выделены, на них иллюстрируются необходимые правила и алгоритмы. В учебниках алгебры, алгебры и начал анализа авторов Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. образцы решения задач показаны в текстах соответствующих параграфов. Являются ли эти задачи ключевыми и все ли ключевые задачи представлены, надо проверять. В учебниках геометрии авторов Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. многие задачи-факты приведены среди других задач, но даны с решениями, а задачи-методы никак не выделены. В учебнике А.В. Погорелова "Геометрия 7-10" отдельные задачи решены. Однако принцип отбора таких задач не ясен. Таким образом, в большинстве случаев ключевые задачи предстоит выделять самому учителю.

Ключевые задачи по теме выявляются на основе анализа всех задач, предлагающихся в учебнике, а также максимально возможного числа задач из других источников. Последовательность действий учителя при анализе задачного материала приведена в п. 4.2 настоящего пособия.

В процессе анализа задачи разбиваются на группы по определённым признакам (по типу, по методу решения, по используемым в решении приёмам и т.д.). В каждой группе выделяется наиболее яркий представитель – задача, на которой и будет иллюстрироваться особенность задач данной группы. Эта задача и относится к ключевым.

Ключевыми являются также все задачи-факты, содержание которых учитель считает нужным довести до сведения учащихся.

Группы задач и, следовательно, ключевые задачи ранжируются , т.е. выделяются задачи, составляющие «минимальный базас», и задачи, входящие в «максимальный базис».

Рассмотрим, например, блок «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции» в теме «Площадь». Здесь можно выделить шесть групп задач.

Первая, самая многочисленная, группа – задачи, в которых требуется найти площадь фигуры по изученой формуле, но один элемент в формуле не известен, он находится из прямоугольного треугольника с углом в 300 или 450.

177

Вторая группа – задачи, решаемые методом площадей: в треугольнике или в параллелограмме известны две стороны и высота (две высоты и одна сторона), требуется найти другую высоту (сторону).

Третья группа – задачи-формулы площади ромба, четырехугольника с перпендикулярными диаганалями, и задачи, решаемые на основе этих формул.

Четвертая группа – задачи, решаемые на основе следствий об отношении площадей треугольников (имеющих равные основания, равные высоты, пару соответственно равных углов).

Пятая группа – задачи, решаемые методом площадей (на основе свойства монотонности площадей, приема замены отношения отрезков отношением площадей треугольников, приема замены отношения произведений отрезков отношением площадей).

Шестая группа – задачи, при решении которых используется сравнение площадей на основе сравнения элементов, входящих в формулу площадей.

Выделив ключевую задачу в каждой группе, получим следующий максимальный базис задач по блоку.

Задача 1. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

Задача 2. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 18см и 32см, а высота, проведенная к стороне АВ, равнв 8см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.

Задача 3. Диаганали ромба равны т и п. Найдите площадь ромба.Задача 4. Сравните площади двух треугольников, на которые

разделяется данный треугольн его медианой.Задача 5. Докажите, что сумма расстояний от точки на оснвании

равнобедренного треугольникуа до боковых сторон не зависит от пололжения этой точки.

Задача 6. В трапеции АВСD с основаниями АВ и СD диаганали пересекаются в точке О. Докажите, что выполняется равенство ОА∙ОD=ОВ∙ОС.

Задача 7. Из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая – в, найдите треугольник, имеющий наибольшую площадь.

Из задач максимального базиса необходимо выделить ядро, задачи минимального базиса.

Очевидно, что все учащиеся должны уметь решать задачи первой группы. Целесообразно также формировать у школьников умение применять метод площадецй. Он включает в себя ряд приемов. На уровне ученика восьмого класса их можно рассмотреть четыре. Однако до осознания всеми учащимися следует довести только первый прием. Он применяется при решении задач второй группы. Ключевые задачи 1 и 2 и составляют минимальный базис в пространстве задач.

178

Задачи третьей и четвертой групп это задачи более высокого уровня, но умения, лежащие в основе решения этих задач, должны формироваться у большинства школьников.

Задачи пятой и шестой групп это задачи самого высокого уровня сложности. Их можно отнетси к задачам проблемно-развивающего типа, к творческим, исследовательским. Они доступны не всем учащимся. Тем не менее, есть классы или группы учащихся в классах, которые решают не только эти, но и еще более сложные задачи.

Теперь можно выделить основные этапы в обучении школьников решению задач при изучении отдельного блока темы.

Первый этап начинается на уроках изучения нового материала, в частности, в операционно-познавательной и рефлексивно-оценочной частях. Типы и виды выполняемых здесь упражнений и заданий описаны в пунктах 3.2, 3.3 и3.4 настоящего пособия.

Основная цель первого этапа – учить учеников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности, аргументировать, решать дидактические, стандартные задачи, самостоятельно их составлять, обучать первым шагам в аналитико-синтетической деятельности посредствам составления эвристик [39, с. ].

Второй этап в обучении решению задач состоит в решении ключевых задач из минимального базиса.

Основная цель второго этапа – выделить последовательность действий в решении задач общеобязательного уровня. Например, в блоке о площадях треугольника, параллелограмма и трапеции на втором этапе решаются ключевые задачи 1 и 2, выявляются схемы решения задач такого типа.

Поскольку задачи минимального базиса должны быть освоены и усвоены всеми без исключения учащимися то третий этап формирования умений в решении задач состоит в отработке способа, приема решения задач, аналогичных ключевым, и стандартных задач, решаемых на основе ключевых.

На четвертом этапе решаются ключевые задачи более высокого уровня, задачи из максимального базиса, те, которые должны уметь решать большинство учащихся.

На этом этапе выделяются приемы, способы, идеи, факты, характерные для темы, но не вошедшие в ключевые задачи первого уровня. В рассматриваемом нами примере о площадях это могут быть ключевые задачи 3, 4 и, может быть, 5.

Пятый этап в формированииумений решать задачи заключается в отработке идей, приемов, способов, фактов, полученых на основе решения ключевых задач, рассматриваемых на четвертом этапе.

На шестом этапе решаются проблемно-развивуающие, творческие, исследовательские задачи. Как уже отмечалось, такие задачи доступны не всем учащимся. Тем не менее, они включаются в число решаемых на уроках в частности, они позволяют осуществлять уровневую дифференциацию.

179

В теме оплощадях к таким задачам можно отнести, например, выделенные в качестве ключевых задачи 5, 6, 7, а также и другие задачи, которые в различных учебниках и задачниках представлены в больших количествах. Ключевая задача 5 может быть положена в основу урока одной задачи. Во-первых, существует несколько способов ее решения, доступных учащимся 8 класса. Во-вторых, она может выступать как динамическая задача, т.к. на ее основе можно составить целый ряд интересных задач.

Выделенные шесть этапов в обучении решению задач естественно не являются правилом, каноном. Так, в зависимости от темы, характера задач, возможностей учащихся конкретного класса, этапы второй и четвертый, третий и пятый, могут быть объеденины, или, напротив могут появиться еще этапы, аналогичные четвертому и пятому. Тем не менее, постепенное, последовательное, целенаправленное соблюдение и осуществление выделенных пяти (в подходящих условиях трех) этапов является необходимым условием обучения школьников решению задач, поскольку они закладывают ту основу, на которой строится умение решать задачи творческого уровня. Недооценка какого-либо из выдеелнызх этапов «перескакивание» через него к следующему, для которого по причине «перескакивания» не сформированы должные знания и умения, не позволяет ученику осознанно воспринимать готовое решение, а тем более находить его самостоятельно для нового класса задач [39, с. ].

Реализация последовательных этапов обучения решению задач в каждом конкретном блоке учебного материала по мере изучения тем школьного курса постепенно формирует все отдельные умения, необходимые для решения задач, и общее умение решать задачи.

Технология работы с ключевой задачей

Из всего сказанного выше следует, что в обучении школьников решению задач существенную роль играет ключевая задача. Но чтобы она сыграла отведенную ей роль, необходима соответствующая технология работы с ключевой задачай.

Ключевая задача – это самостоятельная дидактическая единица, единица усвоения. Поэтому и технология работы с ключевой задачей схожа с технологией организации усвоения дидактических единиц. Но предметом усвоения здесь является не сама задача, а либо её результат, либо общий метод рассуждений, способ решения, либо отдельный приём, использованный в решении, либо приём составления, основанный на этой задаче, и т.д. Фактически предметом усвоения являются умения, познавательные средства, связанные с составлением и решением задач. Следовательно, и содержательная (поиск и осуществление решения) и рефлексивно-оценочная (анализ результата или решения) части в деятельности по решению задачи должны быть организованы так, чтобы учащиеся с большей долей самостоятельности смогли выделить те элементы, из-за которых задача выбрана в качестве ключевой.

180

Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель-ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, в парах, индивидуально.

После завершения этапа решения, т.е. в рефлексивно-оценочной части, в порядке осознания ценностей полученных результатов делаются выводы по задаче.

Если решалась задача-факт, то этот факт каким-то образом фиксируется (в сводке формул, в таблице, в тетради по теории или другим способом), учитель может пояснить учащимся, что в дальнейшем этот факт можно считать установленным и использовать его как известный. Таковы, например, формула площади ромба, выраженная через диагонали, свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, формула корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом и многие-многие другие.

Если ключевая задача – задача алгоритмического типа, то работа над ней аналогична технологии работы с правилом. По окончании её решения необходимо проанализировать основную идею решения, сделать выводы, раскрывающие ориентировочную основу действий или суть нового приёма, зафиксировать их каким-либо из возможных способов (см. п. 3.4). Примерами таких задач могут служить задача на доказательство неравенств в теме "Числовые неравенства" в VIII классе, задача на доказательство равенства отрезков или углов методом равных треугольников в VII классе, на нахождение длины отрезка методом подобия в VIII классе, задачи, на которых выявляются схемы решения векторным, координатным методами, и другие.

Если при решении задачи применялся какой-то новый приём поиска решения или составления задачи, то этот приём выделяется и выясняются возможности его применения, ситуации, в которых можно пытаться его применить. Например, это схемы поиска решения методом синтеза, анализа (восходящего и нисходящего), варианты переформулирования задачи, специфические приёмы, вытекающие из конкретных тем, и т.д.

Если рассматривались различные способы решения одной задачи, то выясняется, откуда появились эти различные способы, что наводит на мысль о возможности других способов решения.

Если на основе одной задачи составляются новые задачи, цепочки взаимосвязанных задач, то опять-таки нужно сделать выводы о том, как, на каком основании, из каких соображений возникла мысль о получении новых задач и как новые задачи появились (процесс их составления).

Основы проектирования технологии работы с текстовой (сюжетной) задачей на каждом этапе рассмотрены в п. 3.6 пособия.

Проиллюстрируем технологию работы с различными ключевыми задачами, представляющими собою элементы системы задач по теме. В качестве примера выберем тему "Параллельные прямые" (VII класс).

181

Рис. 3.17

Логико-математический анализ теоретического и задачного материала с позиций развивающего обучения показывает, что в теме "Параллельные прямые" достаточно выделить три ключевые задачи (п. 4.2). Характеристику этих задач как ключевых и технологию работы с ними на этапах поиска решения и анализа решения и будем рассматривать.

Задача 1. Доказать, что если при пересечении двух прямых a и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые a и b пересекаются.

Покажем сначала вариант оформления решения (рис. 3.17).

Решение.1. Две прямые на плоскости либо пересекаются,

либо параллельны. Докажем, что прямые а и b не параллельны.2. а) Предположим, что прямые а и b параллельны.

б) Тогда 1 = 2 по свойству параллельных прямых о накрест лежащих углах.

в) 1 = 2 - противоречие с условием.г) Значит, предположение о параллельности прямых а и b неверно.

Следовательно, прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются.Объясним, почему задача выбрана в качестве ключевой. Во-первых, в теоретической части темы доказаны теорема-признак

параллельности прямых по накрест лежащим углам и обратная ей - соответствующее свойство. В задаче сформулирована третья теорема из логического квадрата - теорема, противоположная исходной. Хотя термин можно и не вводить, важно, чтобы учащиеся повстречались с такой теоремой и методом ее доказательства.

Во-вторых, задача необычная по формулировке. Чаще всего требуется доказывать параллельность прямых. Считается, что вывод о непараллельности прямых можно сделать автоматически, и учащиеся часто делают это, ссылаясь на признак параллельности, но не на свойство.

В-третьих, решением задачи доказывается признак пересечения прямых.

В-четвертых, при решении задачи применяется метод от противного, основательное знакомство с которым происходит именно в теме о параллельных прямых. В данной задаче он хорошо прослеживается (см. пункты 2, а-г ) и есть возможность выявить одну из характерных ситуаций, в которых этот метод применим.

После создания графической и символической модели содержания задачи нужно дать возможность порассуждать учащимся (без каких-либо

182

Дано: а, b — прямые, с — секущая, 1, 2 - накрест лежащие, 1 2.

Доказать: a и b пересекаются.

записей), поскольку теоретически для решения такой задачи все подготовлено. Для оказания помощи в поиске решения можно предложить следующую систему вопросов и (или) фрагментов рассуждений:

Как могут располагаться две прямые на плоскости?Две прямые на плоскости параллельны". Как высказать то же самое,

но другими словами? ("... не пересекаются"). Как иначе сказать: "Две прямые на плоскости пересекаются?" ("... не

параллельны").Как же тогда можно сформулировать требование задачи?В тех случаях, когда в требовании задачи или теоремы есть отрицание

"не", при доказательстве используется метод от противного. Примените его здесь (считаем, что схема доказательства методом от противного учащимся знакома, в классе может быть вывешен соответствующий плакат).

Далее учитель или способный на это ученик показывает образец рассуждений и оформление решения задачи.

В порядке анализа решения можно предложить учащимся следующие вопросы и задания:

Что требовалось доказать в задаче?А мы что доказали?Какой метод доказательства был использован?Что "навело" на этот метод? (Наличие в требовании отрицания "не").Каков теоретический базис доказательства? Или: Какие определения,

теоремы, аксиомы были использованы при решении задачи?При изучении темы мы доказали признаки и свойства параллельности

прямых. А что мы доказали сейчас? (Признак пересекающихся прямых).Какие еще признаки пересекающихся прямых можно попытаться

доказать?После такой беседы делаем следующие выводы:1. Требование задачи можно переформулировать и тогда становится

видно, какой метод нужно применить.2. Если в требовании задачи или теоремы есть отрицание "не", то

можно попытаться применить метод от противного.3. Доказан признак пересекающихся (признак непараллельности)

прямых. Сформулируем его.4. Можно доказать и другие признаки пересекающихся прямых. При

этом использовать метод от противного и соответствующее свойство параллельных прямых (очевидно, этот способ доказательства не единственный).

Задача 2. По данным рис. 3.18 найти 1.

183

Рис.3.18

Задача выбрана в качестве ключевой по ряду показателей.Во-первых, при ее решении используются и признаки, и свойства

параллельности прямых, т. е. возможно их противопоставление.Во-вторых, выбор признаков здесь не однозначен.В-третьих, не ясно, параллельность каких прямых нужно доказывать.

На рисунке в учебнике есть подсказка: две прямые изображены параллельными. Как правило, учащиеся и доказывают параллельность этих прямых, оставляя без внимания две другие. Однако, если мы стремимся приучать школьников к полноте аргументации, здесь есть хороший повод для этого.

В-четвертых, на задаче хорошо иллюстрируется поиск ее решения аналитико-синтетическим методом.

Система вопросов (если в ней будет необходимость) должна вывести учащихся на следующие рассуждения: угол 1 и угол в 73° —соответственные при прямых с и d и секущей а, угол 1 и угол в 92° — соответственные при прямых а и b и секущей с. Поэтому хорошо бы выяснить, как взаимно расположены прямые а и b и прямые с и d. Поскольку угол 1 образован прямыми а и с, то в качестве секущих для выяснения параллельности можно использовать прямые b и d. Таким образом, рассмотрим прямые а и b и секущую d, затем — прямые с и d и секущую b.

Дальнейшие рассуждения очевидны.Возможная система вопросов:С какими известными углами и как взаимосвязан угол 1?При каком же условии можно будет найти угол 1? (Если среди

прямых есть параллельные.)Параллельность каких прямых можно пытаться доказать? (а и b, с и

d.)Что для этого можно использовать? (Признаки параллельности

прямых.)Какую же секущую для прямых а и b будем рассматривать? А для

прямых с и d?В ходе дальнейших рассуждений (синтез) выясняем, что по признаку

параллельности прямых прямые а и b параллельны, а по признаку пересекающихся прямых прямые с и d пересекаются. Тогда 1 = 92 по свойству параллельных прямых о соответственных углах и свойству равных углов (если углы равны, то их градусные меры равны).

После оформления решения проводится его анализ. Можно предложить вопросы:

Каков теоретический базис решения данной задачи?Какие признаки и для чего были использованы?Какие свойства и для чего были использованы?Можно ли было использовать другие признаки параллельности

прямых?

184

Дано: ∆ АВС, ВК – биссектриса, М ВС, ВМ = МК.

Доказать: КМ ║ АВ.

Можно ли было использовать другие свойства параллельных прямых? (Можно, но решение было бы длиннее, а это нерационально).

Выводы по решению задачи:1. Для нахождения величины угла можно использовать связь между

углами, образованными при пересечении двух параллельных прямых третьей, т.е. свойства параллельных прямых.

2. Параллельность прямых устанавливается с помощью признаков параллельности. При этом могут быть использованы разные признаки.

3. Поиск решения задачи можно вести, начиная с требования. В данной задаче краткая схема будет такой: Чтобы найти 1, нужно установить взаимное расположение прямых а и b, с и d. Для этого используются признаки параллельных и пересекающихся прямых. Чтобы их использовать, нужно найти величины накрест лежащих, соответственных или односторонних углов при пересечении двух прямых секущей.

4. Несмотря на то, что при решении задач мы сразу "вышли" на параллельные прямые а и b, взаимное расположение прямых с и d тоже пришлось устанавливать. Если бы вдруг они тоже оказались параллельными, то угол 1 был бы равен и 73, и 92, а это невозможно. Таким образом проверена корректность задачи.

Задача 3. Отрезок ВК – биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Доказать, что КМ и АВ параллельны.

Графико-символическая модель содержания задачи представлена на рис. 3.19.

Рис. 3.19

Почему задача отнесена к ключевым?Во-первых, прямые и секущая здесь не заданы непосредственно. Их

нужно выделять среди других заданных фигур, переосмысливать заданные фигуры в плане других понятий (биссектриса ВК – часть секущей для прямой КМ и прямой, которая задана отрезком АВ – стороной треугольника, часть прямой КМ, отрезок КМ – сторона треугольника ВКМ, накрест лежащие углы, из равенства которых последует параллельность прямых, являются углами треугольников).

185

Во-вторых, заключение о равенстве углов АВК и ВКМ требует довольно длительных промежуточных рассуждений: замена термина определением биссектрисы, выведение следствия на основе определения, установление вида треугольника ВКМ на основе определения, выведения следствия на основе свойства равнобедренного треугольника, сопоставление равенств и выведение нужного.

В-третьих, на решении этой задачи хорошо прослеживается синтез и именно этот способ рассуждений нужно показать учащимся.

В-четвертых, на основе этой задачи можно составить две новых. В главе о параллельных прямых впервые явно вводятся понятие теоремы, обратной данной, и способ ее получения. В порядке закрепления этих понятий предлагаем учащимся сформулировать предложение, обратное данной задаче. Их оказывается два.

Всем перечисленным здесь мыслительным операциям, действиям, способам рассуждений мы обучаем учащихся при решении этой задачи, формируем у них соответствующие умения. Технология работы с этой задачей показана в соответствующем конспекте (см. п. 4.4).

Итак, в теме выбраны всего три ключевые задачи. Однако специальным образом организованная работа над ними позволяет зафиксировать внимание учащихся на самых разных общелогических и специфических действиях, входящих в деятельность по решению задач. Эти действия выделены выше при рассмотрении причин, по которым задачи выбраны в качестве ключевых, и в выводах по решению задач.

Таким образом, уровень развития учащихся проявляется, в частности, и в том, какие задачи и как они решают самостоятельно. Количество решенных задач автоматически переходит в качество – умение решать задачи – лишь у незначительной части учащихся. В большинстве же случаев для формирования умений решать задачи нужна целенаправленная работа учителя. Весьма перспективной представляется методика обучения, основанная на понятии ключевой задачи.

Умственную деятельность по решению задач составляют общелогические и специфические действия. Умения выполнять эти действия и необходимо формировать у школьников, реализуя ряд этапов. Существенную роль в решении этой проблемы играют ключевые задачи, их отбор и специальная работа над ними.

3.6. Технология работы с текстовой (сюжетной) задачей

Как уже подчеркивалось ранее, процесс решения задачи есть деятельность. Как всякая другая, она состоит из отдельных действий, этапов. Они выделены Д. Пойа, затем Л.М. Фридманом и перечислены в п. 3.5. Каждый этап процесса решения складывается из более мелких элементарных действий (основных умений) или операций. Умение выполнять эти операции

186

и действия в задачах определенного вида необходимо формировать у учащихся.

В данном пункте рассмотрим, как это можно делать при работе с текстовой задачей.

Наибольшую трудность для ученика представляет этап поиска решения задачи. Результативность этого этапа во многом зависит от понимания сути задачи, т.е. от умения проводить анализ задачи, делать ее схематическую запись. Операции, которые выполняются на названных здесь этапах, мы и выделим далее.

I. Ознакомление с текстом задачи и анализ ее содержания. В теории и практике наиболее распространены следующие способы

предъявления задачи учащимся:чтение задачи вслух;чтение задачи "про себя" с последующими ответами на вопросы

учителя;выполнение заданий под диктовку учителя (математический диктант);"чтение" по готовому рисунку (таблице).Каждый способ имеет определенные преимущества и недостатки.

Поэтому нельзя отдавать предпочтение какому-то одному приему и игнорировать другие. Выбор способа определяется прежде всего, целями, которые ставит учитель, предлагая данную задачу, содержанием задачи, составом учащихся и т.д.

Неотъемлемой частью ознакомления с содержанием является его анализ. Он включает в себя следующие умения (элементарные действия):

1) устанавливать количество ситуаций (элементов), имеющихся в задаче,

2) выделять величины в тексте;3) выделять предложения, выражающие функциональные связи

(зависимости) между величинами, и фиксировать эти связи;4) выделять и фиксировать искомые величины.Анализ завершается схематической записью, которую можно назвать

моделью текста задачи.II. Схематическая запись задачи. Моделью текста может служитьлинейчатая или столбчатая диаграмма,отрезок с составляющими его частями,таблица,отрезок или луч с положением на нем движущихся объектов в

различные моменты времени,графики равномерного движения и другие объекты. Рассмотрим примеры различных моделей текстов задач. Задача 1. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое

больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке?

187

? 6000

Рис. 3.22

Анализируя эту задачу, ученик должен осознать следующее: в задаче идет речь об одной ситуации, в которой действуют три величины. Обозначим их на естественном языке Ч1, Ч2, Чз (число жителей первого, второго и третьего поселков соответственно). По условию известно, что Ч2 > Ч1 в 2 раза, а Ч3 < Ч2 на 400. Искомая величина Ч2.

Покажем три вида схематических записей этой задачи. Первый вид. Таблица в виде построчной записи (рис. 3.20)

Рис. 3.20Второй вид. Линейчатая диаграмма (рис. 3.21).

Рис. 3.21

В столбчатой диаграмме – те же отрезки (или прямоугольники), но расположены вертикально.

Третий вид. Отрезок с составляющими его частями (рис. 3.22).

Задача 2. Из Москвы в Ленинград отправился пассажирский поезд, скорость которого равна 80 км/ч. Спустя 20 мин из Ленинграда в Москву отправился скорый поезд, скорость которого равна 90 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Москвы произойдет встреча, если считать расстояние от Москвы до Ленинграда равным 650 км?

В этой задаче речь идет о двух ситуациях (о двух движущихся объектах), каждая из которых характеризуется тремя величинами (S, v, t), находящимися в пропорциональной зависимости (S = v • t).

188

Ч1

Ч2

Ч3

400

6000?

Ч1 Ч2 Ч3 400

6000

Ч1

Ч2 в 2 р. б.Ч3 на 400 м.

М ЛР

vn = 80 км/ч vс = 90 км/ч

за 20 мин. п.

650 км

vл > vа на 20 км/чНайти vл и vа.

В задачах на движение обычно показывается отрезок или луч и на нем положения движущихся тел в различные моменты времени. В задаче 2 это выглядит так, как показано на рис. 3.23.

Найти время движения от М до Р

Рис.3.23Задача 3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми

равно 60 км, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 мин позже легкового автомобиля. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля.

Краткая запись задачи 3 дана на рис. 3.24.

После такого рисунка данные задачи можно свести в следующую таблицу:

S, км v, км/ч t, чАвтобус 60 ? на ½ большеЛегковой автомобиль 60 на 20 больше ?

Краткая запись условия - важное звено в процессе работы над задачей, так как она помогает выбрать способ решения. Существует три основных способа решения текстовых задач: арифметический, алгебраический (с помощью уравнений или систем) и геометрический. Модели, представленные на рис. 3.21, 3.22, 3.23, наводят на арифметический способ решения, на рис. 3.20, 3.24 - на алгебраический. Знание этих двух способов и умение их применять обязательны для всех учащихся. Поэтому, говоря далее о поиске плана решения, мы имеем в виду либо арифметический, либо алгебраический способ. Использование графика равномерного движения, как правило,

189

приводит к геометрическому решению. С геометрическим способом решения текстовых задач можно ознакомиться, например, по статье [56].

III. Поиск плана решения задачи.Переход от анализа текста задачи к поиску плана решения состоит в

составлении элементарных задач, в переводе естественных отношений и зависимостей между величинами на формальный математический язык, в получении математической модели задачи.

Перечислим основные умения (элементарные действия), которыми должен овладеть ученик для реализации третьего этапа.

1. Переводить отношения между величинами на язык равенств, уравнений, неравенств, их совокупностей и систем. Выражать величины из полученных равенств. По заданному равенству устанавливать отношения между величинами. Основные виды отношений между величинами и их перевод на математический язык перечислены в следующей таблице:

Основные виды отношений Перевода) А в сумме с В составляет С

А=С–В В=С–А С=А+В

б) А больше В на С А=В+С В=А–С С=А–Вв) А меньше В на С А=В–С В=А+С С=В–Аг) А больше В в С раз А=В·С В=А:С С=А:Вд) А меньше В в С раз А=В:С В=А С С=В:Ае) А составляет m/n от В

А= m/n·В В=А:m/nm/n=А:В

ж) А составляет р % от ВА= р/100·В В=А:р/100

р/100=А:Вз) А увеличили на р %, стало В А=В:(1+ р/100) В=А·(1+ р/100) р=(В/А–1)·100и) А уменьшили на р %, стало В А=В:(1– р/100) В=А·(1– р/100) р=(1–В/А)·100

2.Записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся зависимости.а) Если Ц - цена 1 ед., m - количество единиц, Ст. - стоимость m единиц, то

Ст = Ц · m Ц = Ст : mm = Ст : Ц

б) Если Р – выполненная работа, Пр. – производительность труда, t – время, затраченное на выполнение этой работы, то

Р = Пр · t Пр = Р : tt = Р : Пр

в) Если s – пройденный путь,v- скорость, t- время движения, то

190

S = v · t v = S : tt = S : v

г) При движении навстречу с одновременным выходом

S = (v1 + v2) · t v1 + v2 = vсбл = S : tt = S : vсбл

д) При движении вдогонку с одновременным выходом и исходным расстоянием S между объектами

S = (v1 – v2) · t v1 - v2 = vсбл = S : t, (v1 > v2)t = S : vсбл

е) Если а – скорость течения реки, v – собственная скорость движущегося тела, тогда

vпо т = v + а, vпр. т = v – а, v =( vпо т+ vпр т ):2 , а =( vпо т- vпр т):2 .

При осуществлении перевода получается совокупность равенств. Если среди них есть хотя бы одно, которое содержит только одну неизвестную величину, тогда эту величину, а вслед за ней и другие, можно найти. В этом случае задача решается арифметически. Умение переводить отношения и зависимости при арифметическом способе решения выражается в умении поставить вопрос, взаимосвязывающий три величины, т. e. сформулировать элементарную задачу, в которой по двум величинам можно найти третью. Для поиска совокупности таких задач используется синтез или классический анализ.

Чтобы решить задачу алгебраически, нужно уметь выполнять еще два действия:

3. Выбирать неизвестную (ые) величину (ы), через которую (ые) выражать другие величины.

4. Выбирать условие (я), на основе которого (ых) составляется уравнение (система уравнений).

Рассмотрим, например, задачу 2. Переводя на математический язык отношения и зависимости, зафиксированные на рис. 3.23, мы сразу же получаем серию арифметических задач в одно действие (сформулируем только требования):

найти расстояние МА;найти расстояние АЛ;найти время движения пассажирского поезда на участке АР (время

сближения поездов на участке. АЛ);найти искомое время.

191

Здесь поиск плана осуществлен синтетическим путем. Если не осуществлять прямого перевода, то ту же последовательность элементарных задач можно получить, проводя классический анализ по схеме:

tMP

tMA, tAP

vсбл АЛ

vп, vс

известныАМ

vп, tАР

известныРассмотрим теперь задачу 1. Если ученик кратко записал условие в

первом виде (рис. 3.20), то он осуществляет перевод задачи на математический язык в следующем порядке:

1) Ч2 = 2Ч1;2) Ч3 = Ч2 – 400 = 2Ч1 – 400;3) Ч1 + Ч2 + Ч3 = 6000 или Ч1 + 2Ч1 + 2Ч1 – 400 = 6000. Как видим, при таком подходе выбор неизвестного и составление

уравнения осуществляются почти автоматически. Замена Ч1 буквой х приводит к общепринятым в математике обозначениям и записям. Как первые, так и вторые могут быть сделаны в таблице - краткой записи условия:

х Ч1 Ч1

60002х 2Ч1 Ч2 в 2 р. б. ?2х – 400 2Ч1 – 400 Ч3 на 400 м.

Ч1 + 2Ч1 + 2Ч1 – 400 = 6000 или х + 2х + 2х – 400 = 6000

Как известно, в процессе обучения учащихся решению текстовых задач алгебраическим методом ведущим, определяющим является этап моделирования, а результатом этого этапа являются составленные модели (уравнения, неравенства, системы) в зависимости от выбора неизвестной. Отразить эту идею можно в самом тексте задачи, заменив требование по нахождению конкретной величины требованием составить возможные уравнения по условию задачи. Тогда, например, к первой задаче эти действия выглядят так.

Если в качестве неизвестной выбрана величина:1) Ч1, то Ч2 = 2Ч1, Ч3 = Ч2 – 400 , т.е. Ч1 + 2Ч1 + (2Ч1 – 400) = 6000;2) Ч2, то Ч1 = ½ Ч2, Ч3 = Ч2 – 400 , т.е. ½ Ч2 + Ч2 + (Ч2 – 400) = 6000;3) Ч3, то Ч2 = Ч3 + 400, Ч1 = ½ (Ч3 + 400), т.е. ½ (Ч3 + 400) + (Ч3 + 400) +

Ч3 = 6000.

192

Сравнивая составленные уравнения, можно подметить такую закономерность: для получения более простой модели в задаче рассмотренного типа за неизвестную величину целесообразнее выбирать меньшую из сравниваемых величин. Выделенную закономерность затем можно проверить на задачах подобного типа. Но запоминать, а, тем более, заучивать особенность этого типа задач нет смысла. Важно, чтобы на уровне применения ученик осознавал, что составленные уравнения зависят от субъективного выбора величины в качестве неизвестной.

Перевод на математический язык задачи 3, но уже в VIII классе позволит продемонстрировать идею моделирования в теме "Уравнения, сводящиеся к квадратным". Здесь составленная модель зависит не только от выбора неизвестной, но и от выбора условия составления уравнения. Покажем это.В естественных обозначениях:

va · ta = 60, тогда ta = или va = ;

vл · tл = 60, тогда tл = или vл = ;

Учитывая, что ta > tл на ½ и vл > va на 20, получаем:ta – tл = ½ (1) и vл – va = 20 (2)

Если в качестве неизвестной выбираем величину: va, тогда из (2) ta, тогда из (1)

получаемvл = va + 20, tл = ta – ½,

и искомое уравнение имеет вид:

- = .

Если в качестве неизвестной выбираем величину:vл, тогда из (2) tл, тогда из (1)

получаемva = vл – 20, ta = tл + ½,

и искомое уравнение имеет вид:

- = .

Анализ выполненных действий позволяет выделить такие закономерности в составлении моделей. Если для составления уравнения используется одна из двух зависимостей между величинами, то за неизвестную величину может приниматься любая из двух сравниваемых

193

однородных величин, связанных второй зависимостью. Как и в задаче 1, эта закономерность проверяется на нескольких задачах, а решение составленных уравнений и нахождение искомой величины остаются для самостоятельной работы.

Ясно, что овладение перечисленными выше операциями - условие необходимое, но не достаточное для осуществления поиска плана решения любой текстовой задачи. Иногда даже в несложных ситуациях приходится выполнять и специфические действия. Рассмотрим, например, задачу 1. Краткая ее запись во втором и третьем видах (рис. 3.21 и 3.22) показывает следующий арифметический способ решения: Если число жителей третьего поселка увеличить на 400, то общее число жителей тоже увеличится на 400, т. е. их будет 6400. Примем теперь число жителей первого поселка за одну часть, тогда во втором и третьем поселках их будет по две части, а во всех трех поселках 5 частей. Отсюда легко найти число жителей каждого поселка.

Различные нестандартные приемы также нужно показывать учащимся, поскольку в поиске плана решения широко используются и наблюдения, и опыт, и аналогия. На их основе начинается обучение анализу и синтезу. В поиске решения велика роль и интуиции.

Таким образом, решение задач имеет неограниченные возможности для формирования как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности учащихся. Все это способствует развитию гибкости, устойчивости, самостоятельности ума.

Действия учителя при выборе технологии работы с текстовой задачей на уроке

Эффективность деятельности ученика по решению задачи зависит как от уровня сформированности составляющих ее элементарных действий, так и от правильности ее организации. Все это и должен предусмотреть учитель, продумывая методику работы над задачей на уроке.

Анализировать содержание задачи, составлять элементарные задачи школьники учатся начиная с первого класса. Переводом отношений и зависимостей между величинами на язык равенств, уравнений и неравенств они занимаются при изучении соответствующих тем. Для того чтобы ученик овладел тем или иным умением, необходима специальная целенаправленная работа учителя.

Выделим действия учителя при построении технологии работы с текстовой задачей на уроке и проиллюстрируем их на задаче № 1, рассматривая ее как ключевую.1. Решить задачу в соответствии со всеми этапами процесса решения (по возможности различными способами), уяснить идею, метод, прием решения.

Выше намечены два способа решения задачи № 1.Алгебраически задача решается стандартным приемом, арифметически — с применением специфического действия.

194

2. Уяснить назначение выбранной задачи:а) ознакомление с фабулой;б) ознакомление с методом решения;в) формирование метода,г) возбуждение интереса;д) контроль и т. д.

Задачу можно решать в V - VII классах и далее. Назначение ее может быть каким угодно (кроме ознакомления с фабулой). Предположим, что она решается в VII классе в теме "Уравнения первой степени" и используется для ознакомления с методом, т. е. на ней мы хотим показать прием решения, образец оформления.

3. Определить опорный материал: выделить функциональные связи между элементами условия и заключения, установить степень их новизны для учащихся, отобрать материал для повторения, продумать организацию повторения.

В задаче даны зависимости "больше в", "меньше на" между двумя величинами, сумма трех величин. К VII классу учащиеся должны все это хорошо знать и уметь переводить на математический язык. В противном случае необходима специальная подготовительная работа на предыдущих уроках.

4. Продумать организацию работы учащихся: фронтальная (устная, письменная, комментированная и т. д.), групповая, индивидуальная.

На этой задаче учитель должен учить учащихся последовательности выполнения действий при решении задачи алгебраическим способом. С этой целью работа ведется фронтально.

5. Выбрать метод решения:а) в содержательном плане: арифметический, алгебраический, геометрический;б) в логическом плане: синтез, разновидности анализа и синтез.

Задачу будем решать алгебраически. Поэтому сначала проводится алгебраический анализ (составление уравнения), а затем синтез (решение уравнения).

6. Продумать оформление записей на доске и в тетрадях.

В процессе поиска решения сначала на доске, а затем в тетрадях учащихся должна появиться приведенная ниже таблица, иллюстрирующая прием деятельности.

Выделить

величины

Выписать зависимости между ними

Ввести х и выразить через

него другие величины

Выбрать условие для составления уравнения.

Составить уравнение

Ч1

Ч2 ?Ч3

всегов 2 р. больше 6000 на 400 меньше

Ч1 = хЧ2 = 2хЧ3 = 2х – 400

Ч1 + Ч2 + Ч3 = 6000 х + 2х + 2х – 400 = 6000

195

7. Выбрать способ предъявления задачи и форму краткой записи в соответствии с 5, а.

Покажем далее фрагмент урока.Учащиеся читают задачу "про себя", а затем отвечают на вопросы

учителя и выполняют его задания.– О каких величинах говорится в задаче? (О числе жителей в первом,

во втором и в третьем поселках).– Обозначим их Ч1, Ч2 и Ч3 соответственно, я их запишу в столбик. – Какие величины сравниваются во втором предложении? (Ч2 и Ч1, Ч3

и Ч2.)– Что же известно о Ч2 и Ч1? о Ч3 и Ч2? Запишу это в соответствующих

строчках.– Что известно о Ч1, Ч2 и Ч3 из первого предложения?– Какую величину требуется найти? (Заполняется второй столбец

таблицы.)

8. Разработать систему вопросов в соответствии с 5, б.

Поскольку на этой задаче учитель знакомит учащихся с последовательностью действий при решении задач с помощью уравнений, то он не ставит вопросов, а объясняет, что и как нужно делать.

Возможен такой вариант (фрагмент урока):– Переведем записанные отношения между величинами на

математический язык, т. е. запишем предложения в виде равенств или неравенств. Для этого одну величину примем за х. Здесь сначала Ч2

сравнивается с Ч1. Поэтому за х примем Ч1. (Получат соответствующие записи в третьем столбце таблицы).

– У нас осталось неиспользованным число 6000 - число жителей всех трех поселков. Запишем это условие в виде равенства Ч1 + Ч2 + Ч3 = 6000 и используем его для составления уравнения. (Заполняется четвертый столбец таблицы).

– А теперь повторим, какие действия и в какой последовательности мы выполняли (Появляется верхняя строка в таблице).

Учащиеся переносят таблицу в тетрадь.Далее решается уравнение, делается проверка по условию (здесь нужно

установить, что Ч1, Ч2 и Ч3 при полученном значении х положительны и меньше 6000), записывается ответ.

9. Наметить заключительный этап в решении задачи: а) осмысление ответа; б) другие способы решения; в) рассмотрение частных случаев; г) развитие задачи; д) формулирование обратных задач; е) поучительные выводы из решения задачи, другие аспекты.

Так как задача решалась с целью ознакомления с методом, то на заключительном этапе важно выделить следующие моменты:

а) название метода;

196

б) примерную схему решения;в) выбор величины, которая принимается за х, и условия, на основе

которого составляется уравнение.В схему решения на первых порах можно включить выполнение

пунктов 1-4, являющихся заголовками верхней строки вышеприведенной таблицы. 5.Решить уравнение 6. Сделать проверку по условию. 7.Записать ответ. Записи получаются довольно объемными, поэтому хорошо бы иметь распечатку для каждого ученика.

Затем можно предложить семиклассникам составить все возможные уравнения в зависимости от выбора неизвестной величины. После этого сделать вывод о целесообразном выборе х.

10. Разработать учебные наглядные средства: а) для "выдачи" задачи; б) для организации поиска решения; в) вспомогательные задачи; д) для иллюстрации образца оформления; е) для организации заключительного этапа.

Оформление записей (таблицу, последующее решение уравнения, ответ, примерную схему решения) можно проиллюстрировать с помощью кодопозитива, открывая постепенно нужные столбцы и строки.

Записи учащиеся могут выполнять, заполняя соответствующую канву-таблицу.

Наконец, учащиеся могут только слушать и устно выполнять задания учителя, а перед заключительным этапом или после него учитель выдает каждому ученику лист с полным оформлением записей.

Таким образом, к уроку желательно иметь кодопозитив и либо канву-таблицу, либо таблицу для каждого ученика.

Вопросы и задания

1. Охарактеризуйте сущность технологического подхода к обучению математике.2. Назовите основные структурные компоненты технологии обучения дидактическим единицам. Опишите назначение каждого компонента.3. Каково ваше отношение к технологии обучения, предложенной авторами учебного пособия?4. Какой может быть логическая структура определений математических понятий? Выделите характеристические свойства понятия "накрест лежащие углы".5. Назовите ошибки, допускаемые учащимися при формулировке определений, методические приемы их устранения.6. В чем состоит логико-математический анализ определения понятия? Проведите его для определения точек, симметричных относительно данной прямой.

197

7. Перечислите способы введения понятия на уроке. Какой из них Вы бы выбрали для введения понятий арифметической и геометрической прогрессии и почему?8. Разработайте по меньшей мере два способа введения понятия подобных треугольников.9. Какие упражнения на понимание формулировки определения следует давать на этапе рефлексии? Составьте их для понятия наименьшего общего кратного.10.Какие частные эвристики можно получать на основе определения понятия?11.Перечислите последовательность действий учителя по подготовке к уроку, на котором вводится новое понятие.12.Охарактеризуйте основные этапы технологии работы с определением понятия; с теоремой.13.Охарактеризуйте уровни усвоения определений понятий; теорем.14.В чем состоит логико-математический анализ теоремы? Проведите его для первого признака подобия треугольников.15.Назовите основные приемы и методы а) открытия теорем; б) поиска доказательств; в) доказательств.16.Перечислите действия учителя при подготовке к уроку, на котором будет изучаться новая теорема.17.Какие типы упражнений следует предлагать учащимся на рефлексивно-оценочном этапе и с какой целью?18.Какие основные умения следует формировать у учащихся для обучения их доказательству?19.Раскройте содержание понятия алгоритма.20.Сравните понятия «алгоритм» и «правило».21.Из каких этапов состоит мотивационно-ориентировочная часть технологии обучения правилам? Сформулируйте цели каждого этапа. 22.Из каких этапов состоит операционно-познавательная часть технологии обучения правилам?23.Какими принципами следует руководствоваться учителю для разработки системы упражнений, с помощью которой отрабатывается новое правило?24.Из каких этапов состоит рефлексивно-оценочная часть технологии обучения правилам?25.Проведите логический анализ правила «Разложения квадратного трехчлена на множители».26.Проведите дидактический анализ правила «Разложения квадратного трехчлена на множители».27.Спроектируйте фрагмент урока, на котором ученики «открывают» правило разложения квадратного трехчлена на множители.28.Дан четырехугольник АВСD, точки M, N, P, Q – середины его сторон.

1) Сформулируйте несколько задач с данным условием.2) Составьте на основе полученных задач новые с использованием приемов а) конкретизации; б) обобщения; в) аналогии; г) обращения.

198

3) Проведите анализ своих действий. Сделайте выводы.29.Задача. Постройте общую касательную к двум данным окружностям. Выполните следующие задания и ответьте на вопросы.

1) Решите задачу.2) Выделите этапы в процессе работы над задачей, знания и умения, необходимые для реализации этих этапов.3) Установите, какие эвристические и дедуктивные методы математической деятельности Вы использовали.4) Имела ли место аналитико-синтетическая деятельность при решении задачи? Если да, то какие разновидности анализа использовались и для чего? На каких этапах применялся синтез?5) Какие эвристики помогли в нахождении плана решения задачи?

30.Что такое ключевая задача?31.Приведите перечень основных умений, которые необходимо формировать у учащихся при обучении решению задач.32.Охарактеризуйте основные этапы формирования у школьников умений решать задачи при изучении отдельного блока темы.33.Объясните, по каким параметрам может быть выбрана в качестве ключевой задача о решении уравнения (tg x + 1)(2cos x/3 - ) = 0. Опишите методику работы с этой ключевой задачей.34.Охарактеризуйте назначение и ценность текстовых (сюжетных) задач, решаемых арифметическим и алгебраическим методами.35.Какие отношения между величинами встечаются в текстовых задачах и как они переводятся на язык равенств и уравнений?36.Какие зависимости между величинами используются в текстовых задачах?37.Укажите последовательность действий учителя при подготовке к уроку по решению сюжетной задачи.38.Выделите последовательность действий по решению сюжетных задач алгебраическим методом.39.В чем сущность метода математического моделирования? Как можно обучать школьников этому методу при алгебраическом решении задачи?

Литература для самотоятельного чтения:

7, 13, 19, 21, 22, 28, 30, 39, 43, 44, 47, 52, 54, 63, 64, 65, 68, 78, 80, 84, 89, 90, 110, 111, 114

199