МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО...

В.П. Василенков, И.Б. Болотин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

1

Федеральное агентство по образованию Смоленский государственный университет

В.П. Василенков, И.Б. Болотин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ПРОЦЕССОВ

Практический курс для студентов специальностей «Менеджмент организации» и

«Государственное и муниципальное управление»

Часть 2

Смоленск Издательство СмолГУ

2009

2

УДК 330.4(075.8) ББК 65в6я73

В 190

Печатается по решению редакцион-но-издательского совета СмолГУ

Рецен з ент Е.П. Емельченков, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой информатики Смоленского государственного университета

Василенков В.П.

В 190

Математическое моделирование социально-экономических процессов: практический курс для студентов специальностей «Менеджмент организации» и «Государственное и муниципаль-ное управление» / В.П. Василенков, И.Б. Болотин; Смол. гос. ун-т. – Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2009. – Ч. 2. – 100 с.

Данное пособие предназначено для студентов специальностей «Ме-

неджмент организации» и «Государственное и муниципальное управление» и полностью соответствует программе соответствующего нормативного кур-са. Кроме того, оно может быть использовано и студентами других специ-альностей при проведении соответствующих элективных курсов.

Основной упор делается на использование четких алгоритмов при решении практических задач. Большое количество простых, но в то же время содержательных примеров, в основном составленных авторами, позволяет улучшить усвоение материала.

УДК 330.5(075.8) ББК 65в6я73

© В.П. Василенков, И.Б. Болотин, 2009 © Издательство СмолГУ, 2009

3

Введение

В настоящее время деятельность в любой области экономики требу-ет от специалиста применения современных методов, в частности, хороше-го знания математических методов и умения их применять для решения конкретно поставленных задач. Математическое моделирование социаль-но-экономических процессов стало неотъемлемой частью методов эконо-мики.

Данное учебное пособие предназначено для студентов второго курса специальностей «Менеджмент организации» и «Государственное и муни-ципальное управление» факультета управления по соответствующему нормативному курсу, а также может быть использовано и студентами дру-гих специальностей при проведении соответствующего элективного курса.

Главы этой части посвящены применению: • задач оптимизации в экономике; • методов теории игр; • методов теории графов в экономических исследованиях.

Как и первая часть, пособие построено таким образом, чтобы сту-денты могли самостоятельно разобраться с основными определениями и методами, используемыми при изучении социально-экономических про-цессов. Основной упор делается на использование четких алгоритмов при решении практических задач. Большое количество простых, но в то же время содержательных примеров, в основном составленных авторами, по-зволяет улучшить усвоение материала.

Большинство примеров решено двумя способами – вручную и с ис-пользованием компьютера. Авторы поступают так совершенно осознанно, так как считают, что, только «пропустив» через себя полное решение зада-чи, можно освоить конкретный метод решения.

Однако, в отличие от первой части, приведенные решения в системе компьютерной математики Mathcad 2001i Professional существенно ис-пользуют специфику рассматриваемого круга вопросов.

Авторы выражают глубокую признательность профессору В.А. Пет-рову и заведующему кафедрой информатики Е.П. Емельченкову за ценные замечания, способствовавшие улучшению рукописи данного пособия.

4

Глава 1. Задачи оптимизации в экономике

§ 1. Постановка некоторых задач линейного программирования

Задача о распределении ресурсов. В распоряжении некоторого

предприятия имеются определенные ресурсы (сырье, рабочая сила, обору-дование и т.п.) 1R , 2R , …, mR в количествах, соответственно, 1b , 2b , …,

mb единиц. С помощью этих ресурсов могут производиться товары 1T , 2T , …, nT . Для производства одной единицы товара jT необходимо ija единиц ресурса iR ( mi ...,,2,1= , nj ...,,2,1= ). Себестоимость каждой единицы товара jT равна js , а цена каждой такой единицы равна jc . Рынок не может поглотить более чем jk единиц товара jT . Требуется определить, какое количество единиц и какого товара нужно произвести для того, чтобы получить максимальную прибыль.

Построение математической модели задачи о распределении ре-сурсов. Составим следующую таблицу 1.1.

Таблица 1.1 1s 2s … ns

1k 2k … nk

1c 2c … nc

Товары

Ресурсы

1T 2T … nT

1b 1R 11a 12a … na1

2b 2R 21a 22a … na2 … … … … … …

mb mR 1ma 2ma … mna

Обозначим через 1x , 2x , …, nx планируемое к производству количе-ство товаров 1T , 2T , …, nT , соответственно.

Ресурсов, которыми располагает предприятие, должно быть доста-точно для обеспечения планируемого производства. Значит, должны вы-

полняться следующие неравенства: 11

1 bxan

jjj ≤∑

=

, 21

2 bxan

jjj ≤∑

=

, …,

m

n

jjmj bxa ≤∑

=1.

С учетом условий спроса товары следует произвести в количествах не больших, чем их можно продать, т.е. 11 kx ≤ , 22 kx ≤ , …, nn kx ≤ .

5

Прибыль, получаемая предприятием, равна ∑=

=n

jjj xqz

1, где

jjj scq −= – чистая прибыль, получаемая от реализации одной единицы товара jT .

Таким образом, задача о распределении ресурсов сводится к сле-дующей задаче: требуется найти значения переменных 1x , 2x , …, nx , ко-торые удовлетворяют неравенствам:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≥

≤

=≤∑=

njx

kx

mibxa

j

jj

i

n

jjij

,1,0

,

,,1,1

(1.1)

и обращают в максимум функцию этих переменных

∑=

=n

jjj xqz

1 (1.2).

Транспортная задача. Предположим, что имеется m исходных пунктов 1A , 2A , …, mA (заводов-изготовителей, складов готовой продук-ции и т.п.) и n пунктов назначения 1B , 2B , …, nB (складов, торговых уч-реждений и т.п.). Количество продукции, производимой в пункте iA ( mi ,1= ), равно ia , а количество продукции, потребляемой в пункте jB

( nj ,1= ), – jb . Пусть ijc – стоимость перевозки единицы продукции из пункта iA в пункт jB . Требуется составить план перевозок, минимизи-рующий общие затраты по перевозке продукции.

Математическая модель транспортной задачи. Обозначим через ijx количество продукции, перевозимой из исходного пункта iA в пункт

назначения jB , тогда транспортная задача формулируется следующим об-разом: требуется найти минимальное значение функции

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcz

1 1 (1.3)

при выполнении следующих ограничений

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

=≥

=≤

∑

∑

=

=

.0

,,1,

,,1,

1

1

ij

j

m

iij

i

n

jij

x

njbx

miax

(1.4)

6

Задачи о пищевом рационе. Имеется m видов продуктов питания: 1P , 2P , …, mP . Известна стоимость единицы каждого продукта: 1c , 2c , …, mc . Из этих продуктов необходимо составить пищевой рацион с содержанием различного рода полезных веществ 1V , 2V , …, nV не менее

1b , 2b , …, nb единиц соответственно. Единица продукта iP содержит ija единиц вещества jV . Требуется составить рацион так, чтобы его стои-мость была минимальной и он содержал необходимое организму количе-ство полезных веществ.

Математическая модель задачи о пищевом рационе. Обозначим

через 1x , 2x , …, mx количество приобретаемых продуктов 1P , 2P , …, mP . Тогда задача о пищевом рационе сводится к следующей задаче: требуется определить значения переменных 1x , 2x , …, mx , при которых функция

∑=

=m

iii xcz

1 (1.5)

достигает минимума при выполнении ограничений вида

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

≤

=≥

∑

∑

=

=

,0

,

,,1,

1

1

j

m

ii

j

m

iiij

x

Nx

njbxa

(1.6)

где N – количество продуктов, которое в состоянии «проглотить» орга-низм.

§ 2. Основная задача линейного программирования. Симплекс-метод

Присмотревшись внимательнее к ограничениям и функциям сфор-

мулированных выше задач (1.1)-(1.2), (1.3)-(1.4) и (1.5)-(1.6), можно заме-тить, что переменные входят в них в первой степени, т.е. эти ограничения и функции являются линейными. Задачи такого рода обычно называются задачами линейного программирования.

Для рассмотрения алгоритма решения таких задач введем понятие основной задачи линейного программирования.

7

Определение 1.1. Основной задачей линейного программирования называется задача, состоящая в отыскании значений переменных

1x , 2x , …, nx , удовлетворяющих ограничениям

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

==∑=

njx

mibxa

j

i

n

jjij

,1,0

,,1,1 (1.7)

и обращающих в минимум функцию

∑=

=n

jjj xcz

1, (1.8)

где ija и jc – заданные числа.

Замечание. К задаче (1.7)-(1.8) можно свести любую задачу ли-нейного программирования. Действительно, если, например, функция z обращается в максимум, то функция zz −=~ обращается в минимум. Кроме того, от любого ограничения-неравенства можно перейти к ограничению-равенству путем введения «фиктивной» неотрицательной переменной.

Определение 1.2. Упорядоченный набор чисел ( )**2

*1 ...,,, nxxx назы-

вается опорным решением задачи (1.7)-(1.8), если он удовлетворяет сис-теме ограничений (1.7).

Определение 1.3. Упорядоченный набор чисел ( )**2

*1 ...,,, nxxx назы-

вается оптимальным решением задачи (1.7)-(1.8), если он удовлетворяет системе ограничений (1.7) и обращает в минимум функцию (1.8).

Определение 1.4. Функция (1.8) называется целевой функцией за-

дачи (1.7)-(1.8).

Алгоритм симплекс-метода

I. Отыскание опорного решения Рассмотрим систему ограничений (1.7) в развернутом виде, опустив

условия неотрицательности, получим

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

............................................

,...,...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

(1.9)

1. Выразить первые r переменных 1x , 2x , …, rx через остальные rn − переменные 1+rx , …, nx методом Гаусса и получить систему уравнений вида

8

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

α++α+α+β=

α++α+α+β=

α++α+α+β=

++++

++++

++++

............................................................

,...,...

,22,11,

,222,211,222

,122,111,111

nnrrrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xxxx

xxxxxxxx

(1.10)

Определение 1.5. Переменные 1x , 2x , …, rx называются базис-ными, а 1+rx , 2+rx , …, nx – свободными. 2. Если в системе (1.10) все свободные члены 1β , 2β , …, rβ неотрицатель-

ны, то решение ( )0...,,0,0,...,,, 21 rβββ – опорное. Перейти к поиску оп-тимального решения.

3. Если хотя бы одно из чисел 0<βk ( rk ,1= ), а в соответствующем урав-нении все коэффициенты jk ,α ( nrj ,1+= ) отрицательны, то задача не имеет решений.

4. Пусть свободный член 0<βk . Рассмотреть соответствующее уравнение и найти коэффициент 0, >α jk . Рассмотреть все коэффициенты ji,α , имеющие разные знаки с соответствующим свободным членом iβ и вы-брать тот, для которого отношение к нему свободного члена минималь-но по модулю.

5. Пусть выбран коэффициент qp,α . Из p -го уравнения выразить пере-менную qx и подставить ее во все уравнения системы (1.10), т.е. ввести переменную qx в состав базисных переменных, а переменную px сде-лать свободной.

6. Повторить пункты 2-5.

II. Отыскание оптимального решения 1. Подставив базисные переменные, полученные в результате отыскания

опорного решения в целевую функцию (1.8), выразить ее через свобод-ные переменные 1+rx , 2+rx , …, nx . Тогда целевая функция примет вид:

nnrrr xccxccz ++++= +++ ...2110 . (1.11) 2. Если все коэффициенты 0≥kc ( nrk ,1+= ), то найденное решение оп-

тимально. 3. Если хотя бы один коэффициент 0<kc , а в системе (1.10) все коэффи-

циенты kia , неотрицательны, то задача не имеет решений (целевая функция неограничена).

4. Пусть коэффициент 0<qc (если таких несколько, то выбрать наиболь-ший по модулю). Рассмотреть в системе (1.10) все коэффициенты

0, <α qi и выбрать тот, для которого отношение к нему свободного чле-на минимально по модулю.

9

5. Пусть выбран коэффициент qp,α . Ввести переменную qx в состав ба-зисных переменных, а переменную px сделать свободной.

6. Повторить пункты 2-5.

Замечание. Если целевая функция максимизируется, то критерием оптимальности найденного решения будет неположительность коэффи-циентов 0≥kc ( nrk ,1+= ) в (1.11).

Пример 1.1. Автосалон «Смоленский» планирует приступить к реализации трех видов автомобилей «Ford Focus», «Ford Mondeo» и «Ford C-Max», используя при этом площади торговых залов и время обслужи-вающего персонала. Затраты указанных ресурсов на продажу одной партии товара каждого вида, их объемы и прибыль, получаемая от реализации ка-ждой партии, приведены в таблице 1.2. Найдите оптимальную структуру продаж автомобилей, обеспечивающую автосалону максимальную при-быль.

Таблица 1.2 Затраты ресурсов Ресурсы Запас

ресурса Ford Focus Ford Mondeo Ford C-Max Время, чел/ч 370 0,5 0,7 0,6 Площадь, м2 9000 10 19 14 Прибыль, тыс. руб. 500 800 600

Решение Составим математическую модель задачи. Пусть 1x , 2x и 3x – пла-

нируемое к продаже количество автомобилей «Ford Focus», «Ford Mondeo» и «Ford C-Max» соответственно. Тогда прибыль, получаемая автосалоном, будет иметь вид:

321 600800500 xxxz ++= , (1.12) а ограничения на переменные 1x , 2x и 3x будут задаваться следующей сис-темой неравенств:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

≤++≤++

.3,1,0

,9000141910,3706,07,05,0

321

321

jx

xxxxxx

j

(1.13)

Приведем задачу (1.12)-(1.13) к основной задаче линейного програм-мирования. Введем в рассмотрение функцию zz −=~ и фиктивные пере-менные 0, 54 ≥xx , тогда задача (1.12)-(1.13) примет вид:

321 600800500~ xxxz −−−= , (1.14)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=+++

=+++

.5,1,0

,9000141910

,3706,07,05,0

5321

4321

jx

xxxx

xxxx

j

(1.15)

10

Воспользуемся алгоритмом симплекс-метода. Найдем опорное ре-шение. Имеем

⎩⎨⎧

=+++=+++

,9000141910,3706,07,05,0

5321

4321

xxxxxxxx

⎩⎨⎧

=+++=+++

,9000141910,370010675

5321

4321

xxxxxxxx

⎩⎨⎧

=+−+=+++

,16002025,370010675

5432

4321

xxxxxxxx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−=

+−−=

.514

52320

,257

578

25136292

5432

5431

xxxx

xxxx

Решение ( )0,0,0,320,292 является опорным.

Найдем оптимальное решение. Подставим базисные переменные в целевую функцию (1.14), получим

543 204600396000402~ xxxz +++−= . Так как все коэффициенты при свободных переменных положи-

тельны, то найденное решение является оптимальным и 000402max =z . Таким образом, автосалону «Смоленский» следует планировать к

продаже автомобили «Ford Focus» и «Ford Mondeo» в количествах 292 и 320 штук соответственно и отказаться от продажи автомобилей «Ford C-Max», при этом прибыль составит 402 млн. руб.

Программа в системе Mathcad 2001i Professional

11

§ 3. Анализ модели на чувствительность

Под анализом модели на чувствительность понимают изучение реак-ции оптимального решения на изменения исходной модели.

12

Обычно выделяют две основные задачи анализа на чувствитель-ность: • степень влияния на оптимальное решение изменения запасов ресурсов; • степень влияния на оптимальное решение изменения коэффициентов

целевой функции.

Рассмотрим каждую из этих задач на основе примера 1.1. 1) Определим предельно допустимое увеличение времени обслуживающе-

го персонала, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение. Получим, что при увеличении времени до 450 чел/ч структура продаж будет задаваться таблицей 1.3.

Таблица 1.3 Модель автомобиля Количество автомобилей, планируемых

к продаже, шт. Ford Focus 900 Ford Mondeo 0 Ford C-Max 0 Максимальная прибыль 450 млн. руб

2) Определим предельно допустимое увеличение торговых площадей, по-зволяющее улучшить найденное оптимальное решение. Получим, что при увеличении площадей торговых залов до 10 000 м2

структура продаж будет задаваться таблицей 1.4. Таблица 1.4

Модель автомобиля Количество автомобилей, планируемых к продаже, шт.

Ford Focus 12 Ford Mondeo 520 Ford C-Max 0 Максимальная прибыль 422 млн. руб.

3) Так как при подстановке найденного оптимального решения задачи 1.1 все неравенства системы (1.13) обращаются в равенства, то снижение запасов ресурсов будет приводить к уменьшению оптимального значе-ния целевой функции.

4) При изменении цены на автомобиль Ford C-Max до 640 тыс. руб. изме-нения структуры продаж не происходит.

5) Изменение цен на автомобили Ford Focus и Ford Mondeo будет приво-дить к изменению оптимальной прибыли, однако, если цена, например, на Ford Focus будет изменяться от 438 до 571 тыс. руб., то изменения структуры продаж происходить не будет. Аналогичная картина будет наблюдаться, если цены на Ford Mondeo будут находиться в пределах от 700 до 949 тыс. руб.

13

6) Если поставщик автомобилей потребует от автосалона, чтобы на про-дажу были выставлены не менее 100 автомобилей Ford C-Max, то структура продаж будет задаваться таблицей 1.5.

Таблица 1.5 Модель автомобиля Количество автомобилей, планируемых

к продаже, шт. Ford Focus 228 Ford Mondeo 280 Ford C-Max 100 Максимальная прибыль 398 млн. руб.

§ 4. Двойственные задачи линейного программирования

Пусть дана следующая задача линейного программирования: требу-ется найти значения переменных 1x , 2x , …, nx , при которых функция

∑=

=n

jjj xcz

1 (1.16)

достигает наименьшего значения при выполнении ограничений следующе-го вида:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤=≥

+==

≤=≥

∑

∑

=

=

nnnjx

mmibxa

mmmibxa

j

n

jijij

n

jijij

11

11

111

;,1,0

,,1,

,;,1,

(1.17)

и jx – произвольного знака при nnj ,11 += . Определение 1.6. Двойственной задачей к задаче (1.16)-(1.17) на-

зывается задача отыскания значений переменных 1y , 2y , …, my , обра-щающих в максимум функцию

∑=

=m

iii ybz

1

~ (1.18)

при выполнении ограничений следующего вида:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤=≥

+==

≤=≤

∑

∑

=

=

mmmiy

nnjcya

nnnjcya

i

m

ijiij

m

ijiij

11

11

111

;,1,0

,,1,

,;,1,

(1.19)

и iy – произвольного знака при mmi ,11 +=

14

Замечание. Из определения 1.6 видно, что задача (1.16)-(1.17) яв-ляется двойственной к задаче (1.18)-(1.19). Поэтому говорят о паре двойст-венных задач.

Алгоритм построения двойственной задачи

1. Упорядочить запись исходной задачи, т.е. если целевая функция задачи минимизируется, то ограничения-неравенства должны быть вида ≥ , ес-ли максимизируется – то вида ≤ .

2. Если исходная задача является задачей минимизации, то двойственная задача будет задачей максимизации. При этом вектор, образованный из коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи, совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойст-венной задачи. И наоборот.

3. Каждой переменной iy двойственной задачи соответствует i -е ограни-чение исходной задачи. И наоборот.

4. Матрица из коэффициентов при неизвестных двойственной задачи об-разуется транспонированием матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных исходной задачи.

5. Если на j -ю переменную исходной задачи наложено условие неотри-цательности, то j -е ограничение двойственной задачи будет неравен-ством, в противном случае – равенством. Аналогично связаны между собой ограничения исходной задачи и переменные двойственной зада-чи. Пример 1.2. Построить двойственную задачу к данной

54321 22 xxxxxz −++−= , (1.20)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≥++−≤−++=−+++≤−++−

,0,0,0,7352,5,6233,823

521

5421

4321

54321

54321

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxx

(1.21)

если целевая функция (1.20) минимизируется.

Решение Воспользуемся алгоритмом построения двойственной задачи. Упо-

рядочим запись исходной задачи с учетом того, что целевая функция ми-нимизируется. Получим

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥≥++−−≥+−−−

=−+++−≥+−−+−

.0,0,0,7352,5

,6233,823

521

5421

4321

54321

54321

xxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxx

(1.21)

15

Составим матрицу коэффициентов, стоящих при неизвестных в сис-теме ограничений (1.21), и транспонируем ее. Имеем

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−−−−

=

310520111123131

11123

A ,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−−

−−

=

3021113101115132

2113

TA .

Запишем векторы коэффициентов целевой функции (1.20) и кон-стант, стоящих в правых частях системы ограничений (1.21), получим

( )2;1;1;1;2 −−=C , ( )7;5;6;8 −−=B . Так как переменные 1x , 2x и 5x неотрицательны, то первое, второе и

пятое ограничения в системе ограничений двойственной задачи будут не-равенствами. Кроме того, так как в системе (1.21) первое, второе и четвер-тое ограничения являются неравенствами, то соответствующие перемен-ные двойственной задачи будут неотрицательными.

Пусть 1y , 2y , 3y и 4y – переменные двойственной задачи, тогда це-левая функция будет иметь вид:

4321 7568~ yyyyz +−+−= (1.22) и будет максимизироваться, а соответствующая система ограничений при-мет вид:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥≥−≤+−=+++−=−+−−≤−−+

≤+−+−

.0,0,0,232

,13,1

,1532,223

421

421

4321

321

4321

4321

yyyyyyyyyy

yyyyyyyyyyy

(1.23)

Для пары двойственных задач (1.16)-(1.17) и (1.18)-(1.19) справедли-во следующее утверждение, называемое принципом двойственности.

Теорема 1.1. Если одна из двойственных задач имеет оптималь-ное решение ( )nxxx ...,,, 21 , то и другая имеет оптимальное решение ( )myyy ...,,, 21 . При этом экстремальные значения целевых функций совпа-дают, т.е. справедливо равенство

∑∑==

=m

iii

n

jjj ybxc

11. (1.24)

Если целевая функция одной из задач двойственной пары неограничена, то другая задача не имеет решения.

Замечание. Из теоремы 1.1 следует, что для разрешимости одной из двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы каждая из задач имела хотя бы одно решение. При этом решения пары двойственных задач

16

( )nxxx ...,,, 21 и ( )myyy ...,,, 21 будут оптимальными тогда и только тогда, ко-гда выполняется равенство (1.24).

Экономическая интерпретация двойственной задачи

Пусть некоторое предприятие располагает ресурсами 1b , 2b , …, mb , которые могут использоваться для выпуска n видов продукции. Пусть также известны стоимость единицы j -го вида продукции jc ( nj ,1= ) и

норма потребления i -го ( mi ,1= ) ресурса на производство единицы j -ой продукции, равная ija . Требуется определить объем производства продук-ции каждого вида jx , максимизирующий суммарную стоимость произво-димой продукции

∑=

=n

jjj xcz

1. (1.23)

При этом расход ресурсов не должен превышать их наличия, т.е.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=≤∑=

.,1,0

,,1,1

njx

mibxa

j

i

n

jjij

(1.23)

Соответствующая двойственная задача будет формулироваться сле-

дующим образом. Предположим, что некоторая организация может закупить все ресур-

сы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить опти-мальные цены iy ( mi ,1= ) на эти ресурсы исходя из условия, что поку-пающая организация должна уплатить сумму, не меньшую той, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции. Получим, что система ограничений поставленной задачи имеет вид:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=≥∑=

,,1,0

,,1,1

miy

njcya

i

j

m

iiji (1.25)

а целевая функция задается равенством

∑=

=m

iii ybz

1

~ (1.26)

и минимизируется. Замечание. Здесь каждое j -oe ограничение из системы (1.25)

представляет собой неравенство, левая часть которого равна оценке всех ресурсов, расходуемых на производство j -го вида продукции, а правая часть – стоимости единицы этой продукции.

17

Пример 1.3. В условиях финансового кризиса компания «Два то-варища» хочет поглотить автосалон «Смоленский». Какой вариант погло-щения будет наиболее оптимальным для обеих сторон.

Решение Составим двойственную задачу к задаче (1.12)-(1.13), получим, что

требуется найти значения переменных 1y , 2y , обращающих в минимум функцию

21 9000370~ yyz += (1.27) и удовлетворяющих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≥+≥+≥+

.0,,600146,0,800197,0,500105,0

21

21

21

21

yyyyyyyy

(1.28)

Решим задачу (1.27)-(1.28) симплекс-методом. Введем неотрица-тельные фиктивные переменные 3y , 4y , 5y , получим

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

.600146,0,800197,0,500105,0

521

421

321

yyyyyy

yyy

Найдем опорное решение. Получим,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

+−=

−+=

.52

251640

,51

25720

,4538600

435

432

431

yyy

yyy

yyy

(1.28)

Значит, решение ( )40;0;0;20;600 является опорным. Проверим найденное решение на оптимальность. Выразим целевую

функцию (1.27) через свободные переменные, получим 43 320292000402~ yyz ++= . (1.28)

Так как все коэффициенты при свободных переменных в целевой функции положительны, то найденное решение является оптимальным.

Таким образом, компании «Два товарища» следует сделать автоса-лону «Смоленский» предложение на 402 млн. руб.


19

§ 5. Целочисленное программирование

Нередко приходится рассматривать задачи, в которых неизвестные величины могут принимать только целочисленные значения. Например, задачи, связанные с нахождением оптимального сочетания различных ком-пьютеров, обеспечивающих наибольшую производительность и т.п., т.е. задач, в которых рассматриваемые объекты являются неделимыми. При решении таких задач с целочисленными переменными используют различ-ные модификации симплекс-метода.

Наиболее известные методы решения целочисленных задач – метод отсечений и метод ветвей и границ.

Рассмотрим основную задачу целочисленного программирования: требуется найти значения переменных 1x , 2x , …, nx , обращающих в ми-нимум функцию

∑=

=n

jjj xcz

1 (1.29)

и удовлетворяющих системе ограничений вида:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∈

≥

==∑=

.,1,

,0

,,1,1

njZx

x

mibxa

j

j

n

jijij

(1.30)

Алгоритм метода отсечений

1. Найти симплекс-методом оптимальное решение задачи (1.29)-(1.30),

отбросив условия целочисленности.

20

2. Пусть результатом п. 1 служит система

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

α++α+α+β=

α++α+α+β=

α++α+α+β=

++++

++++

++++

................................................................

,...,...

,22,11,

,212,211,222

,122,111,111

nnrrrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xxxx

xxxxxxxx

(1.31)

Если все числа 1β , 2β , …, rβ целые, то найденное решение ( )0...,,0,0,...,,, 21 rβββ – оптимально.

3. Если задача (1.29)-(1.30) неразрешима без условий целочисленности, то исходная задача неразрешима.

4. Если среди свободных членов 1β , 2β , …, rβ в (1.31) есть хотя бы один нецелый, то выбрать тот, который имеет наибольшую дробную часть. Пусть выбран свободный член kβ . Сформировать правильное отсече-ние в виде неравенства

{ } { } { } { }knnkrrkrrk xxx β≥α−++α−+α− ++++ ,22,11, ... . (1.32) 5. Преобразовать отсечение (1.32) введением фиктивной целочисленной

переменной 1+nx в уравнение вида: { } { } { } { }knnnkrrkrrk xxxx β=−α−++α−+α− +++++ 1,22,11, ... . (1.33)

6. Получить расширенную задачу, добавив уравнение (1.33) к системе (1.31).

7. Составленную расширенную задачу решить симплекс-методом. Если оптимальное решение будет целочисленным, то оно является решением исходной задачи (1.29)-(1.30). В противном случае повторить п. 4-7.

Замечание. Если в процессе решения появится уравнение с неце-лым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то исход-ная задача неразрешима в целых числах.

Пример 1.4. Фирма «Лучшие окна» производит и осуществляет установку пластиковых окон и дверей. Контейнер объемом 12 м3 помещен в фургон грузоподъемностью 1200 кг. Контейнер требуется заполнить дверьми и окнами. Масса (в кг), объем (в м3) и стоимость (в руб.) единицы груза приведены в таблице 1.6.

Таблица 1.6 Вид груза Масса Объем Стоимость Окно 30 1,5 8000 Дверь 10 1 4500

Определите оптимальную загрузку контейнера так, чтобы стоимость перевозимого груза была максимальной, а на объект доставлялось не менее двух дверей.

21

Решение Пусть 1x и 2x – планируемое к загрузке количество окон и дверей

соответственно. Тогда по условию задачи требуется найти значения пере-менных 1x и 2x , обращающих в максимум функцию

21 45008000 xxz += (1.32) и удовлетворяющих системе ограничений вида:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈≥≥

≤+≤+

.,,0,2

,125,1,12001030

21

1

2

21

21

Zxxxx

xxxx

(1.33)

Введем фиктивные неотрицательные целые переменные 3x , 4x и 5x . Тогда система (1.33) примет вид:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∈

≥=−=++=++

.5,1,

,0,2,125,1

,12001030

52

421

321

jZx

xxx

xxxxxx

j

j

(1.34)

Воспользуемся алгоритмом метода отсечений, получим

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=++=++

;2,120101015

,12001030

52

421

321

xxxxx

xxx

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++=+=

−−=

.1020980,2

,32

32

320

543

52

541

xxxxx

xxx

Решение ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0;0;980;2;

320 является опорным. Проверим его на оптималь-

ность. Выразим целевую функцию через свободные переменные, получим

54 314650

316000

3187000 xxz −−= . (1.35)

Воспользуемся замечанием к алгоритму симплекс-метода. Так как в (1.35) все коэффициенты при свободных переменных отрицательны, то найден-ное решение является оптимальным.

Переменная 1x не является целой, поэтому построим правильное от-сечение

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≥

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

320

32

32

54 xx , 32

32

32

54 ≥+ xx

22

и преобразуем его в эквивалентное уравнение, введя новую переменную 6x , получим

32

32

32

654 =−+ xxx . (1.35)

Составим расширенную задачу.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−+

++=+=

−−=

.32

32

32

,1020980,2

,32

32

320

654

543

52

541

xxx

xxxxx

xxx

(1.36)

Решим расширенную задачу (1.36) симплекс-методом. Имеем

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

+−=+=

−=

.231

,30101000,2

,6

654

653

52

61

xxx

xxxxx

xx

(1.36)

Решение ( )0;0;1;1000;2;6 является опорным. Проверим его на оптималь-ность, получим

65 8000450057000 xxz −+= . (1.37) Так как коэффициент при переменной 5x в (1.37) положителен, то найден-ное решение не является оптимальным. Введем переменную 5x в состав базисных переменных, получим

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

++=

+−=

−=

.231

,1510990

,233

,6

645

643

642

61

xxx

xxx

xxx

xx

(1.37)

Проверим решение ( )0;1;0;990;3;6 на оптимальность. Выразим функ-цию (1.37) через свободные, получим

64 1250450061500 xxz −−= . (1.38) Так как все коэффициенты (1.38) отрицательны, то найденное решение яв-ляется оптимальным.

Таким образом, для оптимальной загрузки контейнера требуется взять 6 окон и 3 двери, при этом стоимость перевозимого груза составит 61 500 руб.

23

Алгоритм метода ветвей и границ

1. Найти симплекс-методом оптимальное решение задачи (1.29)-(1.30), от-бросив условия целочисленности.

2. Пусть результатом п. 1 служит система

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

α++α+α+β=

α++α+α+β=

α++α+α+β=

++++

++++

++++

................................................................

,...,...

,22,11,

,212,211,222

,122,111,111

nnrrrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xxxx

xxxxxxxx

(1.38)

Если все числа 1β , 2β , …, rβ целые, то найденное решение ( )0...,,0,0,...,,, 21 rβββ оптимально.

3. Если задача (1.29)-(1.30) неразрешима без условий целочисленности, то исходная задача неразрешима.

4. Если среди свободных членов 1β , 2β , …, rβ в (1.38) есть хотя бы один нецелый, то выбрать тот, который имеет наибольшую дробную часть. Пусть выбран свободный член kβ . Составить две новые задачи (задача 1 и задача 2), добавив в систему ограничений (1.38) дополнительные ог-раничения [ ]kkx β≤ и [ ]kkx β≥ соответственно.

5. Составленные задачи решить симплекс-методом. Если оптимальное ре-шение составленных задач будет целочисленным, то оптимальным ис-ходной задачи (1.29)-(1.30) является решение той из дополнительных за-дач, в которой значение целевой наименьшее. В противном случае по-вторить п. 4-5.


26

§ 6. Транспортная задача

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в m пунктах 1A , 2A , …, mA находится однородный продукт в количествах 1a , 2a , …, ma единиц соот-ветственно, который должен быть доставлен n потребителям 1B ,

2B , …, nB в количествах 1b , 2b , …, nb единиц соответственно. Транс-портные расходы, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта iA ( mi ,1= ) в пункт jB ( nj ,1= ), составляют ijc . Требуется составить та-кой план перевозок, который при минимальных транспортных расходах обеспечивает удовлетворение спроса во всех пунктах потребления jB за счет распределения всего продукта, находящегося в пунктах отправки iA .

Для решения поставленной задачи составим транспортную табли-цу 1.7.

Таблица 1.7 Потребитель

Поставщик 1B 2B … nB Запасы груза

1A 11c 11x

12c12x

… nc1

nx1 1a

2A 21c 21x

22c22x

… nc2

nx2 2a

… … … … … … mA 1mc

1mx 2mc

2mx … mnc

mnx ma

Потребность в грузе 1b 2b … nb

Замечание. В транспортной таблице 1.7 ijx количество груза, пе-ревозимого из пункта отправки iA в пункт потребления jB , причем 0≥ijx .

27

Определение 1.7. Матрица ( )ijcC = ( mi ,1= , nj ,1= ) называется матрицей тарифов, а сами числа ijc – тарифами.

Определение 1.8. Планом транспортной задачи называется матрица ( )ijxX = ( mi ,1= , nj ,1= ), в которой все элементы неотрица-тельны.

Математическая модель транспортной задачи имеет вид: требуется найти неотрицательные значения переменных ijx ( mi ,1= , nj ,1= ), обра-щающих в минимум целевую функцию

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcz

1 1 (1.39)

и удовлетворяющих следующим ограничениям:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

==

==

∑

∑

=

=

.0

,,1,

,,1,

1

1

ij

j

m

iij

n

jiij

x

njbx

miax

(1.40)

Теорема 1.2. Для разрешимости транспортной задачи (1.39)-(1.40) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенст-во

∑∑==

=n

jj

m

ii ba

11. (1.41)

Замечание. На практике условие (1.41), как правило, не выполня-ется, поэтому поступают следующим образом:

• если суммарный спрос превышает суммарный запас продукта, т.е.

∑ ∑= =

>n

j

m

iij ab

1 1, (1.42)

то в рассмотрение вводится фиктивный 1+m пункт отправки 1+mA с запа-сом продукта

∑∑==

+ −=m

ii

n

jjm aba

111 , (1.41)

причем тарифы на доставку фиктивным поставщиком равны нулю; • если суммарный запас продукта превышает суммарный спрос, т.е.

∑∑==

>n

jj

m

ii ba

11, (1.41)

то в рассмотрение водится фиктивный 1+n пункт потребления 1+nB со спросом, равным

28

∑∑==

+ −=n

jj

m

iin bab

111 , (1.41)

при этом тарифы на перевозку равны нулю.

Опорный план транспортной задачи

Так как система ограничений (1.40) транспортной задачи содержит nm + уравнений и mn неизвестных, то справедлива следующая теорема.

Теорема 1.3. Каждый опорный план транспортной задачи (1.39)-(1.40) содержит 1−+ nm базисную и ( )1−+− nmmn свободную перемен-ные.

Определение 1.9. Клетка соответствующая базисной перемен-ной опорного плана называется загруженной, а – свободной переменной – свободной.

Определение 1.9. Циклом в транспортной таблице 1.7 называет-ся набор клеток, в котором две и только две соседние клетки расположе-ны в одной строке или одном столбце и последняя клетка набора лежит в той же строке или столбце, что и первая, при этом ровно одна клетка является свободной.

Замечание. Графическим изображением цикла является замкнутая ломаная, звенья которой расположены только в строках и столбцах транс-портной таблицы, а все вершины, за исключением одной, расположены в загруженных клетках.

Теорема 1.4. План транспортной задачи (1.39)-(1.40) является опорным тогда и только тогда, когда из 1−+ nm занятых им клеток в транспортной таблице 1.7 нельзя образовать ни одного цикла. Алгоритм построения опорного плана методом наименьшего элемента 1. Загрузить в транспортной таблице клетку с наименьшим тарифом. 2. Загрузить клетку той же строки (столбца) со следующим по величине тарифом.

3. Повторить п.2 до тех пор, пока не будут исчерпаны все запасы и удовле-творен весь спрос.

4. Если в результате будут загружена 1−+ nm клетка, то опорный план построен. В противном случае все последующие клетки заполнить ну-лями, до тех пор, пока количество загруженных клеток будет равно

1−+ nm .

Одним из наиболее простых способов решения транспортной задачи (1.39)-(1.40) является метод потенциалов.

29

Определение 1.10. Числа iu и jv , соответствующие загружен-ным клеткам транспортной таблицы и удовлетворяющие системе урав-нений

ijji cvu =+ , (1.42) называются потенциалами i -го поставщика и j -го потребителя.

Замечание. Система (1.42) имеет nm + неизвестных и 1−+ nm уравнений, поэтому для ее решения один из потенциалов можно считать равным нулю.

Определение 1.11. Числа ( )pkkpkp vuc +−=∆ , (1.43)

соответствующие свободным клеткам транспортной таблицы, называ-ются оценками свободных клеток.

Алгоритм метода потенциалов

1. Условия задачи (1.39)-(1.40) записать в виде транспортной таблицы. 2. Сравнить суммарный запас и суммарный спрос и в случае необходимо-сти ввести фиктивный пункт отправки или потребления.

3. Построить опорный план. 4. Вычислить потенциалы iu и jv поставщиков и потребителей, решив систему (1.42).

5. Вычислить оценки свободных клеток kp∆ по формулам (1.43). 6. Если все оценки свободных клеток неотрицательны, то найденный план является оптимальным. Если среди оценок свободных клеток kp∆ есть хотя бы одна отрицательная, то выбрать клетку с наибольшей по моду-лю оценкой.

7. Построить цикл с началом в выбранной клетке и расставить в вершинах получившейся ломаной знаки «плюс» и «минус» по часовой стрелке, на-чиная с выбранной клетки.

8. Выбрать загруженные клетки, в которых стоит знак «минус», и найти среди них минимальное значение α .

9. Изменить значения в вершинах цикла на величину α , учитывая знак, стоящий в клетке.

10. Повторить п. 4-9.

Замечание. Если в п.5 алгоритма все оценки свободных клеток kp∆ положительны, то задача имеет единственное решение. Если же среди не-отрицательных оценок имеется хотя бы одна нулевая, то задача имеет бес-конечно много решений.

Пример 1.5. Компания «Жар и холод», занимающаяся производством мороженого, имеет четыре предприятия. Производительность каждого предприятия равна 170, 130, 190 и 200 тыс. шт. ежемесячно. Мороженое отправляется в три города – Смоленск, Москву и Минск, потребление в ко-

30

торых составляет 150, 270 и 250 тыс. шт. соответственно. Транспортные расходы на перевозку 1 тыс. шт. мороженого с предприятий по городам приведены в таблице 1.8.

Таблица 1.8 Города

Предприятия

Смоленск Москва Минск

П1 5 4 6 П2 4 5 9 П3 6 2 5 П4 7 3 5

Найдите план перевозок, минимизирующий транспортные расходы. Решение Составим транспортную таблицу 1.9.



Смоленск Москва Минск Запасы

П1 5 4 6 170 П2 4 5 9 130 П3 6 2 5 190 П4 7 3 5 200

Спрос 150 270 250

Найдем суммарный спрос и запасы, получим 670250270150 =++ , 690200190130170 =+++ . Так как запасы превышают спрос, то введем

фиктивный город Фантом с потреблением 20 тыс. шт. мороженого в месяц, получим таблицу 1.10.



Смоленск Москва Минск Фантом Запасы

П1 5

40 4 6

130 0

170

П2 4

110 5 9 0

20 130

П3 6

2

190 5 0

190

П4 7

3

80 5

120 0

200

Спрос 150 270 250 20

Построим опорный план (см. таблицу 1.10). Найдем потенциалы поставщиков и потребителей. Решив систему

уравнений (1.42), получим

+

– +

–

31

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==+=+=+=+=+=+

;0,5,3,0,4,6,5

1

34

23

42

12

31

11

uvuvuvuvuvuvu

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

====−=−=−=

=

.1,6,4,5

,1,2,1

,0

4

3

2

1

4

3

2

1

vvvvuuuu

Найдем оценки свободных клеток, используя формулы (1.43), полу-чим

( )( )( )( ) ,4619

,2415,1100,1504

23

22

14

12

=+−−=∆=+−−=∆−=+−=∆−=+−=∆

( )( )( )( ) .0110

,3517,1625,3526

44

41

33

31

=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆

Так как среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то по-

строенный план не является оптимальным. Построим цикл, соответствую-щий свободной клетке ( )2;1 (см. таблицу 1.10). Найдем минимальное зна-чение среди загруженных клеток, в которых стоит знак «минус», имеем

{ } 80130,80min = .

Перейдем к новому плану, изменив значения в клетках, соответст-вующих вершинам цикла, получим транспортную таблицу 1.11.




П1 5

40 4

80 6

50 0

170

П2 4

110 5 9 0

20 130

П3 6 2

190 5 0

190

П4 7 3

5

200 0

200

Спрос 150 270 250 20

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей. Решив систему (1.42), получим

+

–

–

+

32

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==+=+=+=+=+=+=+

;0,5,2,0,4,6,4,5

1

34

23

42

12

31

21

11

uvuvuvuvuvuvuvu

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

====−=−=−=

=

.1,6,4,5

,1,2,1

,0

4

3

2

1

4

3

2

1

vvvvuuuu

Найдем оценки свободных клеток. Используя формулы (1.43), полу-чим

( )( )( )( ) ,3526

,4619,2415

,1100

31

23

22

14

=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆−=+−=∆

( )( )( )( ) .0110

,0413,3517,1625

44

42

41

33

=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆

Так как среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то по-

строенный план не является оптимальным. Построим цикл, соответствую-щий свободной клетке ( )4;1 (см. таблицу 1.11). Найдем минимальное зна-чение среди загруженных клеток, в которых стоит знак «минус», имеем

{ } 2020,40min = .

Перейдем к новому плану, изменив значения в клетках, соответст-вующих вершинам цикла, получим транспортную таблицу 1.12.




П1 5

20 4

80 6

50 0

20 170

П2 4

130 5 9 0

130

П3 6

2

190 5 0

190

П4 7

3

5

200 0

200

Спрос 150 270 250 20

Найдем потенциалы поставщиков и потребителей. Решив систему (1.42), получим

33

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==+=+=+=+=+=+=+

;0,5,2,4,0,6,4,5

1

34

23

12

41

31

21

11

uvuvuvuvuvuvuvu

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

====−=−=−=

=

.0,6,4,5

,1,2,1

,0

4

3

2

1

4

3

2

1

vvvvuuuu

Найдем оценки свободных клеток. Используя формулы (1.43), полу-чим

( )( )( )( ) ,3526

1010,4619,2415

31

24

23

22

=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆

( )( )( )( ) .1010

,0413,3517,1625

44

42

41

33

=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆=+−−=∆

Так как все оценки свободных клеток неотрицательны, то найденный план является оптимальным. Таким образом, план перевозок имеет вид

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

200000190000130

508020

X ,

при этом минимальные затраты на транспортировку мороженого составят 2620=z единиц. Замечание. Так как оценка свободной клетки 042 =∆ , то задача

имеет бесконечно много решений.


35

§ 7. Дробно-линейное программирование

Часто на практике наряду с получением максимальной прибыли тре-буется оценить и другие экономические показатели, характеризующие эф-фективность работы предприятия. Например, предприятие производит кирпич трех видов – силикатный, красный и облицовочный. Себестои-мость производства тысячи штук кирпича каждого вида равна 5, 4 и 3 тыс. руб. соответственно, а отпускные цены составляют 7, 6 и 4 тыс. руб. Тогда если 1x , 2x и 3x тыс. штук – планируемое к производству количество кир-

пича каждого вида, то функция 321

321

345467

xxxxxxz

++++

= задает рентабельность

работы предприятия. Определение 1.12. Функция вида

∑

∑

=

=

+

+= n

jjj

n

jjj

xqq

xppz

10

10

(1.44)

называется дробно-линейной функцией аргументов 1x , 2x , …, nx . Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования: требует-

ся найти значения переменных 1x , 2x , …, nx , удовлетворяющих системе линейных ограничений вида:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

==∑=

,,1,0

,1,1

njx

mibxa

j

n

jijij

(1.45)

где ija , ib – заданные числа, и обращающих в минимум дробно-линейную функцию (1.44).

Для решения задачи (1.44)-(1.45) введем новые переменные 0y , 1y , …, ny по формулам:

36

∑=

+= n

jjj xqq

y

10

01 , njxyy jj ,1,0 =⋅= . (1.46)

Замечание. Часто из экономических соображений вытекает, что величина 0y положительна.

Далее, умножив обе части уравнений в системе ограничений (1.45) на 00 >y и учитывая формулы (1.46), получим следующую основную за-дачу линейного программирования: требуется найти значения перемен-ных 0y , 1y , …, ny , удовлетворяющих системе ограничений вида:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≥

=

==−

∑

∑

=

=

,,1,0,

,1

,,1,0

0

0

01

njyy

yq

miybya

j

n

jjj

i

n

jjij

(1.47)

и обращающих в минимум функцию

∑=

=n

jjj ypz

0. (1.48)

Алгоритм решения задачи дробно-линейного программирования

1. Ввести новые переменные 0y , 1y , …, ny по формулам (1.46) и полу-

чить задачу (1.47)-(1.48). 2. Симплекс-методом найти оптимальное решение задачи (1.47)-(1.48). 3. Найти значение переменных 1x , 2x , …, nx , используя формулы

0yy

x jj = . (1.49)

Пример 1.6. Завод по производству соков «Сады Смоленщины» изготавливает два вида соков из трех видов фруктов (яблоки, апельсины, персики). Соки поставляются в торговую сеть в пакетах по 2 л и 1,5 л. Все данные о производстве и реализации представлены в таблице 1.13.

Таблица 1.13 Расход фруктов (в кг) для сока Фрукты Запас, кг 2 л 1,5 л

Яблоки 650 1 0,5 Персики 245 0,3 0,25 Апельсины 800 0,75 1 Прибыль, получаемая от реализации

одного пакета (руб.) 13 5

37

Составьте план производства сока, для которого рентабельность будет наибольшей, если известно, что затраты на двухлитровый пакет составля-ют 5 руб., на полуторалитровый – 2 руб.

Решение Пусть 1x , 2x – планируемое к производству количество двухлитро-

вых и полуторалитровых пакетов сока соответственно. Тогда получим сле-дующую математическую модель задачи. Требуется найти значения пере-менных 1x и 2x , удовлетворяющих системе ограничений вида:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≤+

≤+≤+

,0,,80075,0

,24525,03,0,6505,0

21

21

21

21

xxxx

xxxx

(1.50)

и обращающих в максимум функцию

21

21

25513xxxxz

++

= . (1.51)

Введем фиктивные переменные 3x , 4x и 5x , тогда система ограниче-ний (1.50) примет вид:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

=++=++=++

.5,1,0

,80075,0,24525,03,0,6505,0

521

421

321

jx

xxxxxx

xxx

j

(1.52)

Пусть 21

0 251

xxy

+= , тогда с учетом формул (1.46) получим сле-

дующую задачу линейного программирования:

21 513 yyz += , (1.52)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=≥>

=+=−++=−++=−++

.5,1,0,0

,125,080075,0,024525,03,0,06505,0

0

21

0521

0421

0321

jyy

yyyyyyyyyyyyyy

j

(1.53)

Решив задачу (1.52)-(1.53) симплекс-методом, получим

38

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

+−=

−=

++=

,1316

2615

525

,13049

656

651

,52

51

,6501

65001

32501

325

324

21

320

yyy

yyy

yy

yyy

(1.54)

251

513 yz −= . (1.55)

Таким образом, используя формулы (1.49), найдем значения пере-менных 1x , 2x и наибольшее значение целевой функции (1.51). Имеем

6501 =x , 02 =x , 5

13=z .

Значит, рентабельность завода «Сады Смоленщины» будет наиболь-шей, если предприятие сделает ставку на производство соков только в двухлитровых пакетах.


39

§ 8. Многокритериальные задачи

Экономическая эффективность производства обычно количественно измеряется системой экономических показателей (чистый доход, прибыль, рентабельность, валовой доход на единицу сопоставимых по качеству то-варов и т.п.). При этом максимальное значение одного из показателей во-

40

все не означает, что одно предприятие работает лучше другого. В этом случае охарактеризовать эффективность всего производства может только система таких показателей.

Определение 1.13. Задачи, решаемые с учетом множества (сис-темы) показателей, называют многокритериальными задачами.

Замечание. Отметим, что оптимальные планы задач, получаемые при оптимизации по разным показателям, вообще говоря, будут отличаться друг от друга. Поэтому при решении многокритериальных задач требуется построить план, при котором система показателей была бы наилучшей (компромиссной).

Выделяют несколько способов построения таких компромиссных планов:

• Метод уступок. Применяется в том случае, когда показатели опти-мизации не являются равнозначными.

• Метод равных и наименьших отклонений. Применяется, когда все критерии равнозначны и в компромиссном плане относительные от-клонения всех критериев от своих оптимальных значений должны быть равны и минимальны.

Алгоритм метода уступок

1. Расположить критерии 1z , 2z , …, pz по их значимости, считая наи-более важным первый критерий.

2. Решить задачу по первому критерию, т.е. отыскать оптимальное зна-чение целевой функции 1z , равное *

1z . 3. Сделать уступку по первому критерию, т.е. изменить значение 1z до

значения *11zk , где 10 1 << k .

4. Ввести в систему ограничений дополнительное ограничение *111 zkz ≥ , если критерий максимизировался, и *

111 zkz ≤ в противном случае.

5. Решить задачу по второму критерию 2z , т.е. найти оптимальное зна-чение *

2z целевой функции 2z . 6. Обратиться к п. 3 алгоритма и сделать уступку для второго критерия

*22 zk , 10 2 << k .

7. Обратиться к п. 4 алгоритма и ввести в систему ограничений допол-нительное неравенство *

222 zkz ≥ или *222 zkz ≤ .

8. Решить новую задачу с двумя дополнительными ограничениями по третьему критерию 3z и т.д.

9. Процесс решения закончить тогда, когда получено решение по всем критериям.

41

Пример 1.7. Предприятие «Ай, да валенки мои!» изготавливает валенки для девочек и мальчиков, располагая при этом производственны-ми мощностями четырех видов в следующих количествах: первого вида – не менее 12, а остальных – не более 10, 6, 7. Нормы затрат мощностей каж-дого вида на одну тыс. пар валенок для девочек составляет соответственно 3, 1, 1 и 0, на одну тыс. пар валенок для мальчиков – 4, 1, 0 и 1. Прибыль от сбыта, чистый доход и затраты на одну тыс. пар валенок для девочек и мальчиков составляют 300000 руб. и 500000 руб., 300000 руб. и 100000 руб., 200000 руб. и 100000 руб. соответственно. Найдите компромиссный план производства валенок обоих видов, считая наиболее предпочтитель-ным критерием прибыль с отклонением от максимального значения на 20%, чистый доход с отклонением 40% и менее важным – критерий затрат.

Решение Пусть 1x , 2x тыс. штук – планируемое к производству количество

пар валенок для девочек и мальчиков соответственно. Тогда получим сле-дующую математическую модель задачи. Требуется найти неотрицатель-ные значения переменных 1x и 2x , удовлетворяющих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤+≥+

7,6,10,1243

2

1

21

21

xx

xxxx

(1.56)

и обращающих в максимум функции 211 500300 xxz += , (1.57) 212 100300 xxz += (1.58)

с отклонением от экстремальных значений на 20% и 40% соответственно и – в минимум функцию

213 100200 xxz += . (1.59) Решим задачу (1.56-1.59) по алгоритму метода уступок. Введем фик-

тивные неотрицательные переменные 3x , 4x , 5x и 6x , тогда система огра-ничений (1.56) примет вид:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+=++=−+

.7,6

,10,1243

62

51

421

321

xxxx

xxxxxx

(1.60)


⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=−−=−=+−=

,3,325

,7,3

645

643

62

641

xxxxxx

xxxxx

(1.61)

641 2003004400 xxz −−= . (1.62)

42

Сделаем уступку по первому критерию. Введем дополнительное ог-раничение 44008,0500300 21 ⋅≥+ xx в систему (1.61), добавив фиктивную переменную 7x , получим

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−+−+=−−=−=+−=

.3520500300,3,325

,7,3

721

645

643

62

641

xxxxxxxxx

xxxxx

(1.62)

Решив задачу (1.58)-(1.62), получим

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=−+=+−=+−=−=

,200500280,3,422,4,6

547

546

543

542

51

xxxxxxxxxxxxxx

(1.63)

542 2001002200 xxz −−= . (1.63) Сделав уступку по второму критерию и введя ограничение

22006,0100300 821 ⋅=−+ xxx в (1.63), получим

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−++−=

−+=+−=+−=−=

.1320100300,200500280

,3,422,4,6

821

547

546

543

542

51

xxxxxx

xxxxxxxxxxx

(1.64)

Решив задачу (1.59)-(1.64), получим

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−=

−+=

−−=

++=

−+=

+−=

,4001

4001

23

,2401

12001

30103

,6001

6001

1529

,4001

4003

10177

,4001

4001

211

,2401

12001

3077

876

875

874

873

872

871

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

(1.64)

43

873 127

121

33190 xxz ++= . (1.64)

Таким образом, предприятию «Ай, да валенки мои!» следует плани-ровать к производству 2567 пар валенок для девочек и 5500 пар – для мальчиков, при этом прибыль составит 3,52 млн. руб., чистый доход – 1,32 млн. руб., а затраты – 1,063 млн. руб.


46

Метод равных и наименьших отклонений При решении задач линейного программирования методом уступок,

вообще говоря, мы имеем различные отклонения критериев от их экстре-мальных значений. Потребуем, чтобы в компромиссном плане относитель-ные отклонения всех критериев от своих экстремальных значений были равны и минимальны. Кроме того, будем предполагать, что в области до-пустимых решений задачи не существует плана, оптимизирующего все критерии.

Пусть 1z , 2z , …, pz – критерии оптимизации, а *1z , *

2z , …, *pz – их

оптимальные значения. Тогда условие равенства относительных отклоне-ний примет вид

*

*

*2

*22

*1

*11 ...

p

pp

zzz

zzz

zzz −

==−

=− . (1.65)

Рассмотрим два произвольных фиксированных критерия sz и tz . Возможны случаи. 1. Оба критерия одного смысла. Тогда равенство относительных отклоне-ний можно записать в виде:

0** =−t

t

s

s

zz

zz . (1.66)

2. Критерии разного смысла. Тогда равенство отклонений примет вид:

2** =+t

t

s

s

zz

zz . (1.67)

Так как все относительные отклонения одинаковы, то для минимиза-ции достаточно взять любое из относительных отклонений .

Пусть целевые функции исходной задачи имеют вид: ∑=

=n

jjkjk xcz

1

( pk ,1= ).

47

Определение 1.13. Если к системе ограничений исходной задачи

добавить ограничения вида (1.66), (1.67) и 01

=−∑=

k

n

jjkj zxc , pk ,1= , где

критерии исходной задачи включены в состав неизвестных, а в качестве целевой функции взята одна из целевых функций kz , то вновь полученная задача называется замещающей.

Алгоритм метода равных и наименьших отклонений 1. Решить задачу отдельно по каждому критерию, т.е. найти экстремаль-ные значения каждого из них.

2. Составить замещающую задачу. 3. Найти решение замещающей задачи.

Пример 1.8. Решить задачу из примера 1.7, считая, что все крите-рии равнозначны.

Решение Математическая модель задачи. Требуется найти неотрицательные

значения переменных 1x и 2x , удовлетворяющих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≤+≥+

7,6,10,1243

2

1

21

21

xx

xxxx

(1.68)

и обращающих в максимум функции 211 500300 xxz += , (1.69) 212 100300 xxz += (1.70)

и в минимум функцию 213 100200 xxz += . (1.71)

Решим задачу, используя алгоритм метода равных и наименьших от-клонений.

Найдем экстремальные значения функций (1.69)-(1.71), удовлетво-ряющих системе ограничений (1.68), получим 4400*

1 =z , 2200*2 =z и

300*3 =z .

Составим замещающую задачу: требуется найти неотрицательные значения переменных 1x , 2x , …, 6x , 1z , 2z , 3z , удовлетворяющих системе ограничений

48

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=−

=−+=−+=−+

=+=+

=++=−+

25004400

,022004400

,0100200,0100300,0500300

,7,6

,10,1243

31

21

321

221

121

62

51

421

321

zz

zzzxxzxxzxx

xxxx

xxxxxx

(1.72)

и обращающих в минимум функцию 21 100200 xxz += . (1.73)

Решая задачу (1.72)-(1.73) симплекс-методом, получим

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

=

−=

=

=

.43

330

,43

440

,43

880

,4302999

,4302569

,215

2139

,4305083

,43011

,43011

3

2

1

6

5

4

3

2

1

z

z

z

x

x

x

x

x

x

(1.74)

Таким образом, исходная задача решений не имеет. Замечание. Рассмотренные примеры 1.7 и 1.8 показывают, что ре-

шения многокритериальных задач в различных постановках будут различ-ны. А постановки некоторых задач могут являться некорректными.

49


52

Задачи и упражнения 1. Решите симплекс-методом задачи:

а)

;max2568

,4,1,0

,207364,164

4321

4321

4321

→+−−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≥

=−+−=+−+

xxxxz

jx

xxxxxxxx

j

б)

.max

,6,1,0

,622,2243

,96

654321

6521

6321

641

→−+++−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

=+++=+−+

=++

xxxxxxz

jx

xxxxxxxx

xxx

j

53

2. Мебельная фабрика выпускает шкафы-купе, стенки и спальные гарни-

туры. Суточный плановый выпуск соответственно равен 90, 70 и 60 штук. Суточные ресурсы фабрики составляют 800 единиц производст-венного оборудования, 910 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии. Расход ресурсов на единицу продукции приведен в таблице.

Расход ресурсов на одно изделие Ресурсы Шкаф-купе Стенка Спальный

гарнитур Оборудование 2 3 4 Сырье 1 4 5 Электроэнергия 2 3 4

Стоимость одного шкафа – 11 у.е., стенки – 17 у.е. и спального гарниту-ра – 25 у.е. Сколько необходимо производить изделий каждого вида, чтобы стоимость продукции, выпущенной сверх плана, была макси-мальной?

3. Стеклянное полотно длиной 200 см необходимо разрезать на заготовки трех типов А, Б и В длиной соответственно 57, 82 и 101 см для произ-водства 50 витражей. На каждый витраж требуется 4 заготовки типов А и Б и 5 заготовок типа В. Определите, какое количество стеклянных по-лотен нужно разрезать, чтобы отходы от раскроя были минимальными.

4. Пшеница и кукуруза высаживаются на участках различного плодородия площадью 100 и 200 га. Данные об урожайности приведены в таблице.

Урожайность (ц/га) участка Культура

I II Пшеница 20 15 Кукуруза 35 30

По плану должно быть собрано не менее 1500 ц пшеницы и 4500 ц ку-курузы. Цена 1 ц пшеницы равна 6 у.е., кукурузы – 4 у.е. Найдите опти-мальное сочетание посевов пшеницы и кукурузы, которое обеспечивает максимальную выручку от продажи.

5. На приобретение нового оборудования для проведения параллельных вычислений выделено 20000 у.е. Оборудование должно быть размещено на площадь 72 м2. Вычислительная лаборатория может заказать обору-дование двух видов: более мощные компьютеры типа А стоимостью 5000 у.е., требующие для установки 3 м2 площади (с учетом проходов) и выполняющие 800 млн. операций в секунду, и менее мощные компьюте-ры типа Б стоимостью 2000 у.е., занимающие площадь 6 м2 и выпол-няющие 200 млн. операций в секунду. Можно заказать не более трех компьютеров типа А. Найдите оптимальный вариант приобретения ком-пьютеров, обеспечивающий максимальную производительность вычис-лений.

54

6. На приобретение оборудования для нового производственного участка мебельной фабрики выделена 21 000 у.е. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 37 м2. Предприятие может за-казать оборудование двух видов: более мощные станки типа А стоимо-стью 3 000 у.е., требующие площадь в 6 м2 (с учетом проходов) и обес-печивающие производительность 7 000 заготовок за смену, и менее мощные станки типа Б стоимостью 2 000 у.е., занимающие площадь 3 м2 и дающие за смену 4 000 заготовок. Найдите оптимальный вариант при-обретения оборудования, обеспечивающий новому участку максималь-ную производительность.

7. Решите транспортную задачу, исходные данные которой приведены в таблице.

Пункты В1 В2 В3 В4 Запасы А1 1 2 3 1 100 А2 2 3 4 6 200 А3 3 4 7 12 300

Потребности 100 100 300 300

8. В резерве трех железнодорожных станций А, Б и В находится соответст-венно 60, 80 и 70 вагонов. Составьте оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам погрузки зерна, если пункту №1 требуется 40 вагонов, пункту №2 – 60, пункту №3 – 80, а пункту №4 – 60 вагонов. При этом следует учесть, что в пунктах №2 и №3 нет условий для дли-тельного хранения зерна, а поэтому его необходимо вывезти из этих пунктов полностью. Стоимость перегона одного вагона со станции А в указанные пункты равна соответственно 11, 12, 15 и 14 у.е., со станции Б – 14, 13, 12 и 11 у.е., со станции В – 15, 12, 14 и 16 у.е.

9. В организации объявлен конкурс на замещение должности курьера, опе-ратора ЭВМ и секретаря-референта. На эти должности претендуют три человека: А, Б и В. После проведения тестирования ими были получены баллы (способность к данной профессии), представленные в таблице.

Курьер Оператор ЭВМ Секретарь-референт

А 5 4 7 Б 6 7 3 В 8 11 2

Как должен поступить начальник отдела кадров, чтобы принятые на ра-боту претенденты принесли наибольшую пользу компании?

10. Банки «Внешэкономбанк», «Русский стандарт», «Сбербанк РФ» и «Юниаструм» выделяют кредиты четырем предприятиям. Суммы, кото-рые банки могут выделить на кредиты, потребность предприятий в кре-дитах и процентные ставки в расчете на 100 у.е. приведены в таблице.

55

Банк А1 А2 А3 А4 Кредиты«Внешэкономбанк» 1 2 3 1 250 «Русский стандарт» 2 3 4 6 200 «Сбербанк РФ» 3 4 7 12 400 «Юниаструм» 4 5 6 8 150 Потребности в кредитах 200 200 250 350

Найдите оптимальное распределение кредитов между предприятиями, максимизирующее общую прибыль, которую могут получить банки за пользование взятыми предприятиями кредитами.

11. Найдите неотрицательные значения переменных 1x , 2x , удовлетво-ряющих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤+−≤−≥+

,5,2,832,923

2

21

21

21

xxxxxxx

обращающих в максимум функцию 211 xxz += с отклонением от экс-тремального значения на 40%, и в минимум функцию 212 3xxz += . Со-ставьте задачу, соответствующую приведенной математической моде-ли.

12. Найдите неотрицательные значения переменных 1x , 2x , удовлетво-ряющих системе ограничений

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤

≥+

,5,4

,62

2

1

21

xx

xx

обращающих в максимум функцию 211 2xxz += , и – в минимум функ-цию 212 xxz += . Составьте задачу, соответствующую приведенной ма-тематической модели.

56

Глава 2. Элементы теории игр

§ 1. Основные понятия теории игр

Определение 2.1. Игрой называют упрощенную модель кон-фликтной ситуации, которая предполагает наличие следующих компо-нент: заинтересованных сторон, возможных действий каждой стороны и интересов сторон.

В игре заинтересованные стороны называются игроками, причем ка-ждый из них может предпринимать не менее двух действий.

Игра ведется по определенным правилам. Суть игры состоит в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые как он предполагает, могут обеспечить ему наилучший результат.

Например, при игре в прятки некоторые из игроков предпочитают прятаться далеко от водящего, а другие – непосредственно за его спиной.

Для игр характерна неопределенность результата. Причины неопре-деленности обычно относятся к следующим трем группам: • комбинаторные источники (например, шахматы); • случайные факторы (например, карточные игры); • стратегическое происхождение неопределенности (игрок не знает, како-го образа действий придерживается его противник).

Замечание. В качестве игрока может выступать как отдельное ли-цо, так и группа лиц, объединенных общностью цели. Каждый игрок в хо-де игры выбирает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представление о множестве допустимых ответных решений соперников, т.е. ни один из игроков не может полностью контролировать положение.

Определение 2.2. Исходом игры называется значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша.

Определение 2.3. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называют игрой с нулевой суммой.

Определение 2.4. Игры, в которых участники действуют в стро-гом соответствии с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшего для себя результата, называются стратегически-ми.

Определение 2.5. Если в игре участвуют два игрока, имеющих противоположные интересы, то игру называют парной.

Определение. 2.6. Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации. При этом вариант действий называется чистой стратегией.

57

Определение 2.7. Если количество чистых стратегий игроков конечно, то игра называется конечной, в противном случае – бесконечной.

В экономике модель поведения лиц в виде игры возникает, напри-мер, при попытке нескольких фирм завоевать наиболее выгодное место на конкурентном рынке, или, например, при желании нескольких компаний разделить некоторые ресурсы между собой так, чтобы каждому досталось как можно больше. Игроками в конфликтных экономических ситуациях являются фирмы, банки, отдельные лица и другие экономические агенты.

Ниже будет рассмотрена модель парной конечной стратегической игры с нулевой суммой.

Пусть игроки A и B располагают конечным числом чистых страте-гий 1A , 2A , …, mA и 1B , 2B , …, nB соответственно.

Игрок A может выбирать любую свою чистую стратегию iA ( mi ,1= ), в ответ на которую игрок B может выбирать любую свою чистую стратегию jB ( nj ,1= ). Так как игра состоит только из личных ходов игро-ков, то выбор пары чистых стратегий ( )ji BA , однозначно определяет ре-зультат ija – выигрыш игрока A . При этом в силу того, что игра является игрой с нулевой суммой, проигрыш игрока B составляет ija− .

Если известны значения ija выигрыша для каждой пары чистых стратегий ( )ji BA , , то можно составить матрицу выигрышей игрока A вида

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

P

...............

...

...

21

22221

11211

. (2.1)

Определение 2.8. Матрица (2.1) называется платежной матри-цей игры.

Пусть ijnji a≤≤

=α1min ( mi ,1= ), тогда iα минимальный возможный вы-

игрыш игрока A при применении им чистой стратегии iA . Аналогично,

ijmij a≤≤

=β1max ( nj ,1= ) – максимально возможный проигрыш игрока B в

случае применения им чистой стратегии jB . Определение 2.9. Число ijnjmiimi

a≤≤≤≤≤≤

=α=α111minmaxmax называется

чистой нижней ценой игры (максимином), а соответствующая ему чис-тая стратегия игрока A называется максиминной.

Замечание. Число α показывает, какой минимальный гарантиро-ванный выигрыш может получить игрок A , правильно применяя свои чис-тые стратегии при любых действиях игрока B .

58

Определение 2.10. Число ijminjjnja

≤≤≤≤≤≤=β=β

111maxminmin называется

чистой верхней ценой игры (минимаксом), а соответствующая ему чис-тая стратегия игрока B называется минимаксной.

Замечание. Число β показывает, какой максимальный проигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своих чистых страте-гий независимо от действий игрока A .

Таким образом, правильно применяя свои чистые стратегии, игрок A обеспечит себе выигрыш не менее α , а игрок B – проигрыш не более β , причем β≤α .

Определение 2.11. Если β=α , то говорят, что игра имеет сед-ловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры β=α=v .

Определение 2.12. Пару чистых стратегий ( )ji BA , , соответст-вующих α и β , называют седловой точкой игры, а элемент ija – седловым элементом платежной матрицы.

Замечание. Стратегии iA и jB , образующие седловую точку, яв-ляются оптимальными для каждого из участников игры.

Определение 2.13. Если игра имеет седловую точку, то упорядо-ченную тройку ( )vBA ji ,, называют решением игры.

Определение 2.14. Если в платежной матрице (2.1) элементы k -й строки не меньше соответствующих им элементов s -й строки, то говорят, что чистая стратегия kA доминирует над чистой стратеги-ей sA .

Замечание. Если чистая стратегия kA доминирует над чистой стратегией sA , то игроку A невыгодно использовать свою чистую страте-гию sA . Поэтому из платежной матрицы можно исключить строку с номе-ром s , что приведет к уменьшению размерности платежной матрицы, т.е. упростит решение игры.

Аналогично определяется доминирование чистых стратегий для иг-рока B .

Определение 2.15. Если в платежной матрице элементы k -го столбца не больше соответствующих им элементов s -го столбца, то го-ворят, что чистая стратегия kB доминирует над чистой стратеги-ей sB .

Замечание. Как и в случае игрока A , если чистая стратегия kB до-минирует над чистой стратегией sB , то игроку B невыгодно применять свою чистую стратегию sB . Поэтому из платежной матрицы можно ис-ключить столбец с номером s .

59

Пример 2.1 (Дилемма заключенного). Двое подозреваемых арестованы после беспрецедентного ограбления банка, названного ограб-лением тысячелетия, и содержатся в разных камерах. Чтобы заставить их признаться в ограблении, полицейские делают им предложение: если ни один из них не заговорит, обоим дадут по одному году тюрьмы за наличие других мелких провинностей; если один выдаст другого, а другой не заго-ворит, тот, кто выдал, будет освобожден, а тому, кто не признался, дадут пятьдесят лет; если оба выдадут друг друга, оба получат по десять лет тю-ремного заключения. Каждый знает, что другому сделали такое же пред-ложение. Как должны поступить подозреваемые?

Решение Составим платежную матрицу игры, получим таблицу 2.1.

Таблица 2.1 Поведение второго подозреваемого Поведение первого

подозреваемого Говорить Молчать iα

Говорить -10 0 -10 Молчать -50 -1 -50

jβ -10 0

Замечание. Элементы платежной матрицы отрицательны, так как подозреваемые стремятся уменьшить срок заключения.

Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим 10max21

−=α=α≤≤

ii,

10min21

−=β=β≤≤ jj

. Таким образом, игра имеет седловую точку.

Упростим платежную матрицу игры. Стратегия «Говорить» первого подозреваемого доминирует над его стратегией «Молчать», поэтому вы-черкнем вторую строку в платежной матрице, получим таблицу 2.2.


подозреваемого Говорить Молчать iα

Говорить -10 0 -10 jβ -10 0

Для второго подозреваемого в платежной матрице, представленной в таблице 2.2, стратегия «Говорить» доминирует над его стратегией «Мол-чать», поэтому вычеркнем второй столбец, получим таблицу 2.3.


подозреваемого Говорить iα

Говорить -10 -10 jβ -10

Таким образом, каждому из подозреваемых наиболее выгодно дать показание на своего сообщника и получить десять лет тюремного заклю-чения.

60

§ 2. Решение игр методами линейного программирования

Предположим, что игра не имеет седловой точки, т.е. нижняя и верх-няя цена игры не совпадают.

Определение 2.16. Смешанной стратегией игрока A называется вектор ( )mpppp ...,,, 21= , координаты которого удовлетворяют условиям

0≥ip ( mi ,1= ) и 11

=∑=

m

iip , где ip – вероятность, с которой игрок A вы-

бирает чистую стратегию iA . Определение 2.17. Смешанной стратегией игрока B называется

вектор ( )nqqqq ...,,, 21= , координаты которого удовлетворяют условиям

0≥jq , ( nj ,1= ) и ∑=

=n

jjq

11, где jq – вероятности, с которыми игрок B

выбирает стратегию jB . Замечание. Здесь под вероятностью понимается частота, с которой

игроки применяют ту или иную свою чистую стратегию. При использовании смешанных стратегий игра приобретает случай-

ный характер, случайной становится и величина выигрыша игроков. Определение 2.18. Функция

( ) ∑∑= =

=m

i

n

jjiij qpaqpz

1 1, (2.2)

называется платежной. Определение 2.18. Смешанные стратегии p и q называют оп-

тимальными, если они образуют седловую точку для платежной функции (2.2), т.е. если они удовлетворяют условию

( ) ( ) vqpzqpzpqqp

== ,maxmin,minmax . (2.3)

При этом величину v называют ценой игры.

Математическая модель игры в смешанных стратегиях Предположим, что платежная матрица игру упрощена. Составим

следующую таблицу 2.4, соответствующую платежной матрице Таблица 2.4

( )11 qB ( )22 qB … ( )nn qB iα ( )11 pA 11a 12a … na1 1α ( )22 pA 21a 22a … na2 2α … … … … … … ( )mm pA 1ma 2ma … mna mα

jβ 1β 2β … nβ

61

Пусть ( )mpppp ...,,, 21= – смешанная стратегия игрока A , v – цена игры, тогда для решения игры в смешанных стратегиях требуется найти неотрицательные значения переменных 1p , 2p , …, mp , удовлетворяющих системе ограничений

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

≥+++

≥+++≥+++

∑=

,1

,.................................................

,...,...

1

2211

2222112

1221111

m

ii

mmnnn

mm

mm

p

vpapapa

vpapapavpapapa

(2.4)

и обращающих в максимум функцию vz = . (2.5)

Замечание. Вообще говоря, в системе (2.4) v является неизвест-ной, удовлетворяющей условию β≤≤α v , причем произвольного знака.

Если среди элементов платежной матрицы есть хотя бы один отри-цательный, то, увеличив все элементы платежной матрицы на наибольший по модулю отрицательный элемент a , получим матрицу, все элементы ко-торой неотрицательны. Поэтому в системе ограничений (2.4) можно счи-тать величину v неотрицательной. При этом оптимальным значением функции (2.5) будет являться величина az − .

Аналогично, если ( )nqqqq ...,,, 21= – смешанная стратегия игрока B , а v – цена игры, то для решения игры требуется найти неотрицательные значения переменных 1q , 2q , …, nq , удовлетворяющих системе ограниче-ний

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

≤+++

≤+++≤+++

∑=

n

jj

nmnmm

nn

nn

q

vqaqaqa

vqaqaqavqaqaqa

1

2211

2222121

1212111

1

,...............................................

,...,...

(2.6)

и обращающих в минимум функцию vz =~ . (2.7)

Замечание. Так же, как и в случае игрока A , цена игры v является переменной произвольного знака.

Замечание. Задачи (2.4)-(2.5) и (2.6)-(2.7) являются парой двойст-венных задач. Поэтому цена игры в каждой из них будет одинакова.

62

Пример 2.2. Два конкурирующих предприятия «Левый» и «Пра-вый», выпускающие обувь, имеют следующие доли общего сбыта своей продукции на местном рынке: «Левый» – 53%, «Правый» – 47%. Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них имеются следующие возможности: расширить сеть сбыта, реклама, увели-чить ассортимент. Анализ показал, что изменения доли рынка предприятия «Левый» на рынке обуви в случае осуществления обоими предприятиями указанных мероприятий, задаются таблицей 2.5.

Таблица 2.5 Мероприятия фирмы «Правый» Мероприятия

фирмы «Левый» Расширение сети Реклама Увеличение

ассортимента Отказ от

проведенияРасширение сети –4 –1 –3 6

Реклама –5 0 1 5 Увеличение ассортимента –1 –3 –5 5

Отказ от проведения –8 –7 –6 0

Как изменится доля рынка каждого предприятия после проведения ими со-ответствующих мероприятий? Какие мероприятия наиболее эффективны для каждого из предприятий?

Решение Упростим платежную матрицу игры. Заметим, что стратегия «Рас-

ширение сети» фирмы «Левый» доминирует над стратегией «Отказ от про-ведения», поэтому вычеркнем в платежной матрице четвертую строчку. Получим таблицу 2.6.


фирмы «Левый» Расширение сети Реклама Увеличение

ассортимента Отказ от

проведенияРасширение сети –4 –1 –3 6

Реклама –5 0 1 5 Увеличение ассортимента –1 –3 –5 5

Аналогично, стратегия «Расширение сети» фирмы «Правый» доми-нирует над стратегией «Отказ от проведения», поэтому вычеркнем послед-ний столбец в платежной матрице. Получим таблицу 2.7.

63


фирмы «Левый» Расширение сети Реклама Увеличение ассортимента

Расширение сети –4 –1 –3

Реклама –5 0 1 Увеличение ассортимента –1 –3 –5

Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим 4−=α , 1−=β . Значит, игра не имеет седловой точки.

Увеличим все элементы платежной матрицы на 5, получим табли-цу 2.8.


фирмы «Левый» Расширение сети Реклама Увеличение ассортимента

Расширение сети 1 4 2

Реклама 0 5 6 Увеличение ассортимента 4 2 0

Составим математическую модель задачи. Пусть ( )321 ,, pppp = –смешанная стратегия, применяемая предприятием «Левый», v – цена игры, тогда требуется найти неотрицательные значения переменных 1p , 2p , 3p ,

4p и v , удовлетворяющих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++≥+≥++≥+

1,62,254,4

321

21

321

31

pppvppvpppvpp

(2.8)

и обращающих в максимум целевую функцию vz = . (2.9)

Введем неотрицательные фиктивные переменные 4p , 5p , 6p , тогда система ограничений (2.8) примет вид:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=−−+=−−++=−−+

.1,062,0254

,04

321

621

5321

431

pppvpppvpppp

vppp

(2.10)


64

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

+++=

−+−=

+−−=

,52

53

512

,107

103

23

54

,101

101

21

53

,101

101

21

52

641

6415

6413

6412

pppv

pppp

pppp

pppp

(2.11)

641 52

53

512 pppz −−−= . (2.12)

Значит, смешанная стратегия предприятия «Левый» имеет вид

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

53,

52,0p , а цена игры составляет

513

− .

Таким образом, фирме «Левый» не следует использовать стратегии «Расширение сети» и «Отказ от проведения», а оставшиеся стратегии при-менять с частотой 4,0 и 6,0 соответственно, при этом доля рынка компа-нии уменьшится на 6,2 процента.

Проведем анализ поведения предприятия «Правый». Требуется най-ти неотрицательные значения переменных 1q , 2q , 3q и v , удовлетворяю-щих системе ограничений

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++≤+≤+≤++

1,24,65,24

321

21

32

321

qqqvqqvqqvqqq

(2.13)

и обращающих в минимум функцию vz =~ . (2.14)

Введем фиктивные неотрицательные переменные 4q , 5q и 6q , тогда система ограничений (2.13) примет вид

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=−++=−++=−+++

.1,024,065,024

321

621

532

4321

qqqvqqqvqqqvqqqq

(2.15)


65

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++=

++−=

+−−=

−+−=

,53

52

54

512

,21

21

231

,101

101

107

52

,101

101

103

53

652

6524

6523

6521

qqqv

qqqq

qqqq

qqqq

(2.16)

652 53

52

54

512 qqqz +++= . (2.17)

Значит, смешанная стратегия предприятия «Правый» имеет вид

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

52,0,

53q , а цена игры составляет

513

− .

Таким образом, фирме «Правый» не следует использовать стратегии «Реклама» и «Отказ от проведения», а оставшиеся стратегии применять с частотой 6,0 и 4,0 соответственно, при этом доля рынка компании увели-чится на 6,2 процента.


68

§ 3. Игры с природой

В экономической практике нередко приходится сталкиваться с си-туациями, в которых один из участников безразличен к результату игры. Такие игры называют играми с природой, понимая под термином «приро-да» всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решения. Например, определение объема выпуска сезонной продукции в ожидании наиболее выгодного уровня спроса для ее реализации или формирование пакета ценных бумаг в расче-те на более высокие дивиденды.

В играх с природой степень неопределенности возрастает при приня-тии решения сознательным игроком, поскольку если в стратегических иг-рах каждый из участников ожидает наихудшего для себя результата от действий партнера, то природа может принимать такие ответные действия, которые ей совсем невыгодны, а выгодны сознательному игроку. Поэтому можно сказать, что природа коварна, но не злонамеренна, она не стремится использовать в своих интересах ошибки соперника или информацию о его стратегии.

Пример 2.3. Для отопления городка «Теплое лето» используется уголь, цена на который зависит от времени года и характера зимы. Летом 1 т угля стоит 6500 руб., в мягкую зиму – 7000 руб., в обычную – 8000 руб., а в холодную – 9000 руб. Расход угля за отопительный сезон полностью определяется характером зимы: на мягкую зиму требуется 6000 т, на обычную – 7000 т, а в холодную – 8000 т. Для подготовки к отопительному сезону мэр городка планирует приобрести некоторое количество угля ле-

69

том, а в случае необходимости, недостающую часть угля можно будет приобрести и зимой. При этом продать излишки угля возможности не бу-дет. С каким предложением должен выступить мэр городка «Тепло летом» перед городским советом, чтобы экономия городского бюджета была наи-большей?

Решение Мэр городка имеет возможность приобрести летом от 6000 т до

8000 т угля. В зависимости от типа зимы затраты (в млн. руб.) на приобре-тение угля представим в виде таблицы 2.9.

Таблица 2.9 Вид зимы Закупка

угля, т Мягкая Обычная Холодная iα

6000 –390 –398 –406 –406 7000 –455 –455 –464 –464 8000 –520 –520 –520 –520

jβ –390 –398 –406

Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим 406max31

−=α=α≤≤

ii,

406min31

−=β=β≤≤ jj

. Значит, игра имеет седловую точку, а чистая стратегия

мэра города состоит в покупке 6000 т угля летом, при этом в бюджете го-родка на отопление требуется выделить 406 млн. руб.

Замечание. Так как игра из примера 2.3 имеет седловую точку, то ее платежная матрица может быть упрощена. Однако при упрощении мат-рицы нельзя отбрасывать доминируемые стратегии природы, так как она может реализовать любое свое состояние независимо от того, выгодно это игроку или нет.

Пример 2.4. Фирма «Напитки покрепче» продает на улицах Смо-ленска квас и горячий чай. Данные о себестоимости, отпускных ценах и объемах реализации приведены в таблице 2.10.

Таблица 2.10 Отпускная цена, руб. Объем реализации, ед.

Вид напитка

Себестоимость единицы про-дукции, руб.

В день из-готовле-ния

Позже В теплую погоду

В холод-ную по-году

Квас 8 12 3 6000 1200 Чай 5 8 2 1000 4000

Определите ежедневный объем производства кваса и чая, обеспечивающий предприятию наибольший доход.

Решение Составим платежную матрицу игры, учитывая, что менеджер компа-

нии «Напитки покрепче» имеет возможность воспользоваться стратегиями:

70

«6000 ед. кваса и 1000 ед. чая» и «1200 ед. кваса и 4000 ед. чая», а природа реализует либо теплую, либо холодную погоду. Получим таблицу 2.11.

Таблица 2.11 Природа Игрок Теплая погода Холодная погода iα

«6000 ед. кваса и 1000 ед. чая» 27000 –16200 –16200

«1200 ед. кваса и 4000 ед. чая» –3200 16800 –3200

Нижняя и верхняя цены игры равны 3200−=α и 16800=β соответ-ственно.

Так как природа может реализовать любое свое состояние, то найдем стратегию менеджера предприятия. Составим математическую модель за-дачи. Увеличим все элементы платежной матрицы на 16200, тогда если

( )21, ppp = – смешанная стратегия менеджера, то требуется найти неотри-цательные значения переменных 1p , 2p и v удовлетворяющих системе ог-раничений

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+≥+

≥

1,3300013000

,43200

21

21

1

ppvpp

vp (2.18)

и обращающих в максимум функцию vz = . (2.19)

Введем неотрицательные фиктивные переменные 3p и 4p , тогда система ограничений (2.18) примет вид:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−−+=−−

.1,03300013000,043200

21

421

31

ppvpppvpp

(2.20)


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

+−=

−+=

,316151

316165

791782000

,63200

163200

17954

,63200

163200

17925

43

432

431

ppv

ppp

ppp

(2.21)

43 316151

316165

791782000 ppz −−= . (2.22)

Таким образом, в среднем ежедневно целесообразно производить 271912006000 21 =+ pp ед. кваса и 305140001000 21 =+ pp ед. чая. При

этом, независимо от погоды, средний доход компании составит 6357 руб.

71


73

§ 4. Принятие решений в условиях неопределенности

Предположим, что в распоряжении игрока имеется m стратегий 1A , 2A , …, mA , а у природы предполагается наличие n возможных состоя-

ний 1B , 2B , …, nB . Как уже было отмечено выше, игры с природой отличаются от стра-

тегических игр тем, что природа может реализовать любое свое состояние независимо от действий игрока. Поэтому применение смешанных страте-гий имеет весьма ограниченный характер, т.е. не всегда можно найти для них интерпретацию для использования в реальной обстановке. Таким об-разом, более естественным в играх с природой являются рекомендации для игрока, основанные на дополнительной информации и с использованием различных критериев.

Определение 2.19. Пусть ( )ijaP = – платежная матрица игры, а

ijmij aa≤≤

=1max . Матрица

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

rrr

rrrrrr

R

...............

...

...

21

22221

11211

, (2.23)

где ijjij aar −= ( mi ,1= ; nj ,1= ), называется матрицей рисков. Замечание. Матрица рисков отражает величину прибыли, которую

игрок рискует недополучить в случае принятия того или иного решения.

Байесовская стратегия Пусть нам известны вероятности состояний природы ( )11 BPq = ,

( )22 BPq = , …, ( )nn BPq = , где 11

=∑=

n

jjq . В этом случае в качестве показа-

теля эффективности, который максимизируется, берется математическое ожидание выигрыша, т.е.

∑=

=n

jijji apa

1, (2.24)

а показателя, который минимизируется, – математическое ожидание риска, т.е.

∑=

=n

iijji rpr

1 (2.25)

с учетом вероятностей всех возможных условий. Пример 2.5. Компания «Технодром» с целью привлечения покупа-

телей планирует проведение ярмарки на открытом воздухе. Согласно ар-

74

хивным материалам метеосводок за много лет, можно выделить четыре типа метеорологических условий: зной, дождь, комфортно и холодно с ве-

роятностями их наступления 51 ,

51 ,

21 и

101 соответственно. В зависимости

от погодных условий ярмарку смогут посетить различные категории лю-дей, поэтому компания выбирает один из трех вариантов проведения яр-марки: выставить полный, частичный или сокращенный ассортимент. Дан-ные о доходах от проведения ярмарки приведены в таблице 2.12. Какие ре-комендации может дать менеджер руководству компании?

Таблица 2.12 Природа Менеджер Зной Дождь Комфортно Холодно

Полный ассортимент 6 5 9 2

Частичный ассортимент 2 3 6 8

Сокращенный ассортимент 3 2 7 5

Решение Вычислим средний доход ia , соответствующий выставленному ком-

панией ассортименту товаров по формуле (2.24), получим 9,61,025,092,052,061 =⋅+⋅+⋅+⋅=a , (2.24) 8,41,085,062,032,022 =⋅+⋅+⋅+⋅=a , (2.24)

51,055,072,022,033 =⋅+⋅+⋅+⋅=a . (2.24) Таким образом, наибольший средний доход компания получит в слу-

чае проведения выставки с полным ассортиментом. Оценим риск компании в данных условиях. Составим матрицу рис-

ков, получим таблицу 2.13. Таблица 2.13

Природа Менеджер Зной Дождь Комфортно Холодно Полный ассортимент 0 0 0 6

Частичный ассортимент 4 2 3 0

Сокращенный ассортимент 3 3 2 3

Найдем средний риск ir в соответствии с представленным ассорти-ментом по формуле (2.25), получим

6,061,005,002,002,01 =⋅+⋅+⋅+⋅=r , (2.25) 5,201,035,022,042,02 =⋅+⋅+⋅+⋅=r , (2.25) 5,231,025,032,032,03 =⋅+⋅+⋅+⋅=r . (2.25)

75

Таким образом, минимальный риск соответствует первой стратегии. Значит, менеджер может рекомендовать руководству выставить на

выставку полный ассортимент товаров. Замечание. Вообще говоря, средний риск обращается в минимум

тогда же, когда средний доход обращается в максимум. Действительно, так

как ( ) constapaapapran

jjj

n

jijjj

n

jijjii ==−+=+ ∑∑∑

=== 111, то ii rconsta −= , и

средние величины достигают своих экстремальных значений одновремен-но.

Стратегия Вальда

Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока, при которой минимальный выигрыш максимален, т.е. игроку гарантируется выигрыш не меньший, чем нижняя цена игры с при-родой

ijnjmia

≤≤≤≤=α

11minmax . (2.26)

Замечание. Стратегию Вальда обычно называют стратегией «край-него пессимизма», так как в результате рассмотрения стратегий выбирает-ся тот образ действий, при котором складывается самая худшая ситуация.

В примере 2.5 он соответствует любой из стратегий, так как во всех трех случаях нижняя цена достигается и равна 2.

Стратегия Сэвиджа

Согласно этому критерию в качестве оптимальной стратегии выби-рается та, при которой величина риска принимает наименьшее значение

ijnjmirr

≤≤≤≤=

11maxmin . (2.27)

Замечание. Так же, как и стратегия Вальда, критерий Сэвиджа яв-ляется критерием крайнего пессимизма в том смысле, что наихудшим ва-риантом считается тот, при котором потеря выигрыша максимальна.

В примере 2.5 стратегией Сэвиджа является «Сокращенный ассорти-мент», соответствующий значению 3=r .

Стратегия Гурвица

Согласно этому критерию не следует руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом, а действовать более взвешенно:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ χ−+⋅χ=η

≤≤≤≤≤≤ijnjijnjmi

aa111max1minmax , 10 ≤χ≤ . (2.28)

Замечание. Выбор χ субъективен и выражает меру пессимизма-оптимизма игрока. Если 1=χ , то стратегия Гурвица соответствует страте-гии Вальда, а в случае 0=χ – стратегии «розового оптимизма».

76

В примере 2.5 при 5,0=χ получим, что стратегией Гурвица является «Полный ассортимент», при этом 5,5=η .


78

Замечание. Все три критерия, рассмотренные для чистых страте-гий, можно перенести и на случай смешанных стратегий. Например, со-гласно стратегии Гурвица следует выбирать ту смешанную стратегию

( )mpppp ...,,, 21= , для которой функция

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛χ−+χ= ∑∑

=≤≤=≤≤≤≤

m

iijinj

m

iijinjmip

apapzi 11111,

max1minmax (2.29)

достигает своего наибольшего значения.

Задачи и упражнения 1. В игру играют двое. Оба игрока одновременно показывают один, два или три пальца. Если сумма чисел, показанная пальцами, четна, то пер-вый игрок выигрывает соответствующее число очков, а второй – проиг-рывает. Если же сумма нечетна, то выигрыш распределяется наоборот. Как должен играть каждый игрок, чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш?

2. Двое играют в следующую игру. Первый игрок прячет в одной руке од-ну белую, а в другой – черную пешку. Второй игрок угадывает. Если второй угадал, то он получает от первого игрока одно очко, а если не

79

угадал, то отдает. Как должен играть второй игрок, чтобы получить мак-симальное число очков?

3. Найдите оптимальную стратегию игры «Камень-ножницы-бумага». 4. Зазывала и Лопух играют в следующую игру. Каждый из игроков имеет на руках по три карты: Зазывала – бубновый и трефовый тузы и бубно-вую двойку, а Лопух – бубновый и трефовый тузы и двойку треф. Игро-ки одновременно выбирают и показывают друг другу по одной карте. Если масти карт разные, то выигрывает Лопух, в противном случае – За-зывала. Если вскрытыми оказываются две двойки, то никто не выигры-вает, в противном случае сумма выигрыша равна числу очков той карты, которую показал выигравший. Стоит ли Лопуху играть в эту игру?

5. Постройте следующую игру: один из игроков прячет в одном из n мест предмет стоимостью jc ( nj ,1= ), другой игрок ищет этот предмет, и ес-ли находит, то получает jc , в противном случае получает 0. Найдите це-ну игры и стратегии игроков.

6. Зрители Василий и Петр, присутствующие на конкурсе «Студенческая весна», называют один из девяти факультетов iF ( 9,1=i ), причем фа-культет nF побеждает факультет mF , если mn > . Зритель, назвавший выигрышное по сравнению с партнером название, получает k очков. Если оба партнера называют один и тот же факультет, то их игра закан-чивается в ничью. Найдите оптимальные стратегии игроков.

7. В районе улиц Оршанская и Пригородная планируется создание мастер-ской по ремонту бытовой техники в стационарных условиях не более 8000 шт. в год. Опыт других аналогичных предприятий показывает, что поток заявок на ремонт в условиях стационара выражается цифрами 2000, 4000, 6000 и 8000 шт. в год. Прибыль от ремонта единицы бытовой техники в среднем составляет 900 руб., потери, вызванные отказом в ре-монте из-за недостатка мощностей, оценивается в 500 руб., а убытки от простоя специалистов обходятся в 600 руб. в расчете на одну ед. техни-ки. Дайте рекомендации о мощности создаваемой мастерской.

8. На технологическую линию фирмы «Колбасы дяди Васи» по производ-ству колбасы поступает сырье для производства колбас первого и выс-шего сортов. Линия может работать в трех режимах. Доход предприятия от реализации единицы продукции первого сорта при различных работах технологической линии составляет соответственно 500, 300 и 100 руб., а высшего сорта – 200, 500 и 600 руб. В каких режимах и сколько времени должна работать технологическая линия предприятия, чтобы доход от выпущенной продукции был наибольшим?

9. Банк «Золотые горы» имеет возможность выделить 10 млн. руб. на фор-мирование портфеля акций. Ценные бумаги можно приобрести у компа-ний «Смоленск-Нефть», «Смоленск-Газ» и «Нано-Смоленск». Номи-нальная стоимость компании «Смоленск-Нефть» составляет 3000 руб., «Смоленск-Газ» – 2000 руб., «Нано-Смоленск» – 5000 руб. На конец го-да рынок может оказаться в одном из двух состояний – «Хорошо» и

80

«Отлично». Эксперты установили, что дивиденды компаний для этих состояний будут выражаться числами 10% и 15%, 8% и 12%, 14% и 8% соответственно. Какие рекомендации можно дать руководству банка по формированию портфеля акций для максимально возможной суммы прибыли?

10. Денис – прилежный студент факультета управления Смоленского госу-дарственного университета, который обычно получает хорошие отмет-ки. Перед завтрашним экзаменом Денис столкнулся с небольшой про-блемой, его сокурсники решили организовать вечеринку на всю ночь. Денис имеет три альтернативы: участвовать в вечеринке всю ночь, по-ловину ночи участвовать, а половину учиться и учиться всю ночь. Про-фессор, принимающий завтрашний экзамен, непредсказуем в том смысле, что экзамен может оказаться легким, средним или трудным. В зависимости от сложности экзамена и времени, затраченного на повто-рение, можно ожидать баллы (в стобалльной системе), приведенные в таблице.

Экзамен Время на повторение Легкий Средний Трудный Не было 85 60 40 Полночи 92 85 81 Всю ночь 100 88 82

Какую рекомендацию можно дать Денису? 11. Пусть в задаче 10 Денис заинтересован в получении отметки в четы-

рехбалльной системе (90 и более – «отлично», 80 – «хорошо», 70 – «удовлетворительно», менее 70 – «неудовлетворительно»). Изме-нит ли это отношение к отметкам выбор Дениса?

12. Сформулируйте задачу по данным таблицы. 1B 2B 3B 4B

1A 5 10 18 25 2A 8 7 8 23 3A 21 18 12 21 4A 30 22 19 15 jp 0,2 0,1 0,4 0,3

Дайте рекомендации, используя различные критерии.

81

Глава 3. Применение теории графов в экономике

§ 1. Основные понятия теории графов

Определение 3.1. Графом G называется пара множеств UXG ,= , где X – множество вершин, U – множество отрезков (ре-

бер), их соединяющих. Замечание. Обычно ребро обозначается следующим обра-

зом: },{ bau , где a и b – вершины, которые соединяет ребро. Определение 3.2. Граф называется конечным, если множества

X и U конечны, т.е. число вершин и ребер графа конечно. Определение 3.3. Две вершины графа называются смежными,

если они различны и соединены непосредственно друг с другом ребром. Определение 3.4. Ребро называют инцидентным вершине, если

оно соединено с ней. Определение 3.5. Матрицей смежности графа, содержащего n

вершин 1a , 2a , …, na , в котором любые две вершины соединены не более чем одним ребром, называется матрица S размера nn× , в которой эле-мент ijs равен 1, если имеется ребро, соединяющее вершины ia и ja , и

0=ijs – в противном случае. Пример 3.1. Постройте матрицу смежности графа, изображенного

на рисунке 3.1.

1a

2a

3a

4a

5a

6a

Рис. 3.1

Решение Так как граф, изображенный на рисунке 3.1, содержит 6 вершин, то

матрица смежности графа будет размера 66× . Получим

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

011000100000100111001000001001001010

S . (3.1)

82

Замечание. Матрица смежности графа симметрична относительно главной диагонали.

Определение 3.5. Ориентированное ребро (имеющее направле-ние) называется дугой.

Определение 3.6. Граф, состоящий из множества вершин и дуг, называется ориентированным графом или орграфом.

Замечание. В орграфе дуга обозначается ( )bau , , где a – вершина, из которой выходит дуга u , b – вершина, в которую эта дуга входит.

Определение 3.7. Последовательность дуг, в которой конец пре-дыдущей дуги совпадает с началом следующей, называется путем и обо-значается ( )kuuu ...,,, 21µ .

Определение 3.8. Путь, у которого начальная вершина совпада-ет с конечной, называется контуром.

Определение 3.9. Контур, состоящий из одной дуги, называется петлей.

Определение 3.10. Матрицей инцидентности орграфа без пе-тель, содержащего n вершин 1a , 2a , …, na и m дуг 1u , 2u , …, mu , называ-ется матрица T размера mn× , в которой элемент ijt равен 1, если дуга

ju выходит из вершины ia , 1−=ijt , если дуга ju входит в вершину ia , и 0=ijt , если дуга ju не инцидентна вершине iu . Пример 3.2. Постройте матрицу инцидентности орграфа, изобра-

женного на рисунке 3.2.

1a

2a

3a

4a

5a

6a2u

1u 3u

4u

5u

6u7u

Рис. 3.2

Решение Так как орграф, изображенный на рисунке 3.2, содержит 6 вершин и

7 ребер, то матрица инцидентности графа будет размера 76× . Получим

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

−−

=

01100001100000

0011110100100000001010000011

T . (3.1)

83

Определение 3.11. Орграф называется взвешенным, если каждой его дуге u поставлено в соответствие некоторое число ( )uL , называемое его весом (длиной).

Определение 3.12. Длиной пути ( )kuuu ...,,, 21µ называется сумма длин дуг, входящих в этот путь, т.е.

( ) ( )∑=

=µk

iiuLL

1. (3.1)

Замечание. В графе аналогом контура является цикл, а аналогом пути – цепь.

Замечание. Любой граф можно сделать орграфом, заменив каждое его ребро двумя противоположно направленными дугами.

Определение 3.13. Граф называется связным, если любые две его вершины связаны цепью.

Определение 3.14. Конечный связный граф без циклов называет-ся деревом.

Определение 3.15. Две вершины a и b орграфа называются сильно связанными, если существует путь из вершины a в вершину b и – из b в a .

Определение 3.16. Говорят, что орграф сильно связен, если лю-бая пара его различных вершин сильно связана.

Определение 3.17. Два графа G и H называются изоморфными, если между множествами их вершин существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее смежность.

§ 2. Задача о кратчайшем пути

Пусть задан взвешенный граф UXG ,= , { }naaaX ...,,, 21= . Рас-смотрим следующую задачу: требуется для любых двух вершин a и b найти цепь abµ наименьшей длины.

Данная задача имеет весьма важное практическое приложение, на-пример, при планировании маршрутов передвижения транспорта, последо-вательностей взаимосвязанных работ и т.п.

Алгоритм поиска кратчайшего пути

1. Перейти от графа G к изоморфному графу H , в котором начальной вер-шиной является 0a , а конечной – na .

2. Каждую вершину ia пометить индексом ∞=λ i ( 1,1 −= ni ), 0=λn .

84

3. Найти такое ребро }{ ji aa , , для которого { }( )jiij aaL ,>λ−λ , и заменить

индекс jλ индексом { }( ) jjiij aaL λ<+λ=λ ,' . 4. Продолжать процесс до тех пор, пока остается хотя бы одно ребро, для которого можно уменьшить jλ .

После окончания данной процедуры индекс 1λ начальной верши-ны 1a является длиной кратчайшего пути между вершинами 1a и na . Сам путь будет найден при движении от начальной вершины к конечной пере-ходом от вершины с большим индексом к вершине с меньшим индексом. При этом переход должен осуществляться таким образом, чтобы разность между индексами смежных вершин была равна длине соединяющего их ребра.

Пример 3.3. Схема метрополитена города С и время движения по-ездов метро между станциями в минутах изображена на рисунке 3.3. Най-дите маршрут от станции «Любовь» до станции «Разлука», отнимающий у пассажира наименьшее время.

Любовь

5

3

4 3 3 10

6

12 2

3

5

15

10

4 12

7

1

10

3

1

8 5

7

1

8

7 3

12

2

Разлука

Рис. 3.3

Решение Схема метрополитена города представляет собой граф. Пусть стан-

ция «Любовь» соответствует вершине графа 1a , а станция «Разлука» – вершине графа 20a . Время движения поездов между станциями соответст-вует длине соответствующего ребра графа, изображенного на рисунке 3.3. Тогда требуется найти цепь наименьшей длины, соединяющей вершины графа 1a и 20a .

Воспользовавшись алгоритмом поиска кратчайшего пути, получим граф, изображенный на рисунке 3.4.

85

1a

5

3

4 3 3 10

6

12 2

3

5

15

10

4 12

7

1

10

3

1

8 5

7

1

8

7 3

12

2

na0

2

7

9

10

13

18

1720

2327

30

21

31

28

23

19

13

26 14

Рис. 3.4

Таким образом, наименьшее время движения пассажира между стан-циями составит 31 минуту, а сам путь выделен на рисунке.

Применение методов линейного программирования

Пусть дан взвешенный орграф UXG ,= , где { }naaaX ...,,, 21= . Пусть iju – дуга, соединяющая вершины ia и ja , причем ( ) ijij cuL =

( ni ,1= , nj ,1= ). Каждой дуге графа iju поставим в соответствие перемен-ную ijx , которая может принимать значения из множества { }1,0 , считая

1=ijx , если ребро iju входит в путь и 0=ijx – в противном случае. Тогда длина искомого пути будет задаваться функцией

∑∑= =

=n

i

n

jijij xcz

1 1. (3.2)

Разделим все вершины графа на начальную 1a , промежуточные и ко-нечную na . Тогда каждой промежуточной вершине, входящей в кратчай-ший путь, будет инцидентно ровно две дуги, а начальной и конечной вер-шинам – одна дуга. Значит, для каждой промежуточной вершины ka ( 1,2 −= nk ) сумма kp входящих и kq выходящих дуг должны удовлетво-рять соотношениям

∑∑==

=kk q

jkj

p

iik xx

11, (3.3)

т.е. сумма входящих дуг в промежуточную вершину должна быть равна сумме выходящих из нее дуг.

86

Для начальной и конечной вершин должны выполняться соотноше-ния

01

11 =∑

=

p

iix , 1

1

11 =∑

=

q

jjx , (3.4)

11

=∑=

np

iinx , 0

1=∑

=

nq

jnjx . (3.5)

Замечание. Если потребовать неотрицательность переменных ijx , то условия (3.3)-(3.5) будут необходимыми и достаточными для того, что-бы переменные ijx принимали значения во множестве { }1,0 .

Таким образом, для нахождения кратчайшего пути в орграфе требу-ется найти неотрицательные значения переменных ijx ( ni ,1= , nj ,1= ), удовлетворяющих ограничениям (3.3)-(3.5) и обращающих в минимум функцию (3.2).

Замечание. Если jiij cc = , то кратчайший путь может быть найден в графе.

Замечание. Так как система ограничений и целевая функция сформулированной выше задачи обычно содержат большое количество пе-ременных, то ее «ручное» решение весьма громоздко.


91

§ 3. Задача о наибольшем потоке

Определение 3.18. Транспортной сетью называется взвешенный орграф, имеющий ровно одну вершину без входящих дуг (вход сети) и ров-но одну вершину без выходящих дуг (выход сети).

Замечание. Вес дуги u в транспортной сети обычно называется пропускной способностью дуги и обозначается ( )uC .

В каждой дуге u сети может существовать поток ( )uϕ , удовлетво-ряющий условию ( ) ( )uCu ≤ϕ≤0 . При этом для каждой вершины сети, кроме входа и выхода, сумма входящих потоков должна быть равна сумме выходящих потоков.

Замечание. Можно считать, что ( )uC и ( )uϕ – целые числа. Рассмотрим следующую задачу: при заданной конфигурации транс-

портной сети и известных пропускных способностях дуг найти наиболь-шую величину потока, которую может пропустить транспортная сеть, а также распределение полученного потока по дугам.

Сформулированная задача имеет большое количество интерпретаций в зависимости от того, что понимается под дугами и вершинами графа. Например, трубопроводы, железные дороги, телефонная сеть, по которым пересылают нефть, газ, грузы, сообщения.

Пусть вершина 1a – вход сети, а na – ее выход. Определение 3.19. Дуга u называется насыщенной, если поток,

проходящий по этой дуге, равен ее пропускной способности, т.е. ( ) ( )uCu =ϕ .

Определение 3.20. Поток Φ , входящий в выход сети, называет-ся полным, если каждый путь, ведущий из входа сети 1a в ее выход na , со-держит хотя бы одну насыщенную дугу.

Алгоритм нахождения наибольшего потока

I. Нахождение полного потока 1. Найти путь из вершины 1a в вершину na , все дуги которого не насыще-ны, и увеличить в них потоки на единицу, т.е. ( ) ( ) 1+ϕ=ϕ′ uu .

2. Повторять п. 1 до тех пор, пока поток в сети не станет полным.

II. Нахождение наибольшего потока 1. Пометить вершину 1a индексом 1. 2. Если ia – уже помеченная вершина, то пометить индексом i+ все непо-меченные вершины, в которые идут ненасыщенные дуги из ia , и индек-сом i− все непомеченные вершины, из которых идут дуги с ненулевым потоком в ia .

3. Если в результате этого процесса вершина na не будет помечена, то найденный поток наибольший. В противном случае, между вершинами

92

1a и na найдется путь, все вершины которого различны и с точностью до знака помечены номерами предыдущих вершин. Поток во всех дугах этого пути увеличить на единицу, если при движении от 1a к na дуга проходится в направлении ее ориентации, и уменьшить на единицу в противном случае.

4. Повторить п. 1-3 до тех пор, пока не будет найден наибольший поток.

Пример 3.4. Газотранспортная система города С представлена на рисунке 3.5. Найдите распределение объема газа по каждому из трубопро-водов, при котором общий объем транспортируемого газа будет наиболь-шим.

1a

2a 3a

4a 5a

6a

1

8

2

3

5

1 3

4

5

Рис. 3.5

Решение Найдем полный поток, получим рисунок 3.6.

1a

2a 3a

4a 5a

6a

1

8

2

3

5

1 3

4

5 7

1

1

1

5

24

3

Рис. 3.6

Дуги ( )63,aa , ( )34 ,aa и ( )54 ,aa являются насыщенными. Найдем теперь наибольший поток, получим рисунок 3.7.

1a

2a 3a

4a 5a

6a

1

8

2

3

5

1 3

4

5 7

1

1

1

5

24

3

4

1

2

-3

5 1

Рис. 3.7

93

Так как вершина 6a помечена, то найденный поток не является наи-большим. Изменим потоки в дугах пути, соединяющего вершины 1a и na , и повторим алгоритм. Получим рисунок 3.8.

1a

2a 3a

4a 5a

6a

1

8

2

3

5

1 3

4

5 8

2

2

1

5

14

4

1

1

Рис. 3.8

Так как вершина 6a не помечена, то найденный поток наибольший. Таким образом, наибольший объем газа, который можно передать

через газотранспортную сеть города С, равен 8, а его распределение по трубопроводам представлено на рисунке 3.8.

Замечание. Отметим, что дуга ( )21,aa является лишней в рассмат-риваемой транспортной сети.

Применение методов линейного программирования

Пусть дан взвешенный орграф UXG ,= , где { }naaaX ...,,, 21= . Пусть iju – дуга, соединяющая вершины ia и ja , причем ( ) ijij cuC =

( ni ,1= , nj ,1= ). Каждой дуге графа iju поставим в соответствие перемен-ную ijx , которая представляет собой поток, проходящий по дуге iju , тогда

( )ijij uCx ≤≤0 . (3.6) Разделим все вершины графа на вход сети 1a , промежуточные вер-

шины и выход сети na . Тогда в каждой промежуточной вершине должно выполнятся условие сохранения потока, т.е. для каждой промежуточной вершины ka ( 1,2 −= nk ) сумма kp входящих и kq выходящих потоков должны удовлетворять соотношениям

∑∑==

=kk q

jkj

p

iik xx

11. (3.7)

Для входа и выхода сети должны выполняться соотношения

∑∑==

=nq

jnj

q

jj xx

111

1

, (3.8)

т.е. сумма выходящего потока должна быть равна сумме входящего пото-ка.

94

Тогда величина потока, проходящего через сеть, будет равна величи-не потока, выходящего из вершины na , т.е.

∑=

=1

11

q

jjxz . (3.9)

Таким образом, для нахождения наибольшего потока, проходящего через транспортную сеть, требуется найти неотрицательные значения пе-ременных ijx ( ni ,1= ; nj ,1= ), удовлетворяющих ограничениям (3.6)-(3.8) и обращающих в максимум функцию (3.9).


95

Замечание. К задаче о потоке в сети можно свести, например,

транспортную задачу, выбрав в качестве целевой функцию ∑∑= =

=n

i

n

jijij xcz

1 1

§ 4. Построение графа наименьшей длины

Пусть имеется некоторое количество пунктов 1a , 2a , …, na , которые нужно соединить между собой дорогами (линиями электропередач, трубо-проводами и т.п.). Для каждой пары пунктов ia и ja ( ni ,1= , nj ,1= ) из-вестна стоимость (длина, время постройки и т.п.) { }ji aaL , . Необходимо выбрать самый экономичны вариант соединения между собой всех пунк-тов 1a , 2a , …, na .

Для решения поставленной задачи рассмотрим взвешенный граф

96

UXG ,= , где { }naaaX ...,,, 21= . Тогда граф G должен иметь минималь-ную длину входящих в него ребер.

Определение 3.21. Связный граф, имеющий минимальную длину входящих в него ребер, называется графом наименьшей длины (остовом).

Замечание. Граф наименьшей длины не содержит циклов, поэтому является деревом. Значит, для соединения n вершин потребуется 1−n ребро.

Алгоритм построения графа наименьшей длины

1. Построить самое короткое ребро 1u . 2. Из оставшихся ребер построить самое короткое ребро ku ( 12 −≤≤ nk ), которое в совокупности с остальными ребрами не образует циклов.

3. Повторять п.2 до тех пор, пока не будут исчерпаны все ребра. Замечание. Приведенный выше алгоритм обычно называют жад-

ным. Пример 3.5. Проводится газификация поселков А, Б, …, Ж Перво-

апрельского района Весенней губернии. Расстояние между населенными пунктами (в км) приведено в таблице 3.1. Постройте конфигурацию газо-провода, имеющего наименьшую протяженность.

Таблица 3.1 Пункты А Б В Г Д Е Ё Ж

А 0 3 6 7 5 7 15 12 Б 3 0 1 6 4 7 13 9 В 6 1 0 6 4 3 9 7 Г 7 6 6 0 8 4 3 6 Д 5 4 4 8 0 2 8 3 Е 7 7 3 4 2 0 5 2 Ё 15 13 9 3 8 5 0 5 Ж 12 9 7 6 3 2 5 0

Решение Воспользовавшись алгоритмом построения графа наименьшей дли-

ны, получим рис. 3.9.

А

Б В

Д Е

Г

Ж

Ё 3

1 3

4

3

2

2

Рис. 3.9

97

Задачи и упражнения 1. Постройте граф по заданной матрице смежности S , если

.

010111101101010010110010101101110010

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=S

2. Постройте орграф по заданной матрице инцидентности T , если

.

100110010100011000101010000101000011

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−

−

=T

3. На орграфе, заданном на рис.3.10 , найдите кратчайший путь из верши-ны 1 в вершину 5.

1

2 3

4

5

2

3

4

1 1

3

1

2

2

Рис. 3.10 Составьте соответствующую задачу линейного программирования и ре-шите ее.

4. Для орграфа, заданного на рис. 3.10, найдите наибольший поток из вер-шины 1 в вершину 5. Составьте соответствующую задачу линейного программирования и решите ее.

5. Транспортная система городка С представлена на рис. 3.11. Найдите максимальный поток автомобилей, который способна обслужить данная система, если цифрами обозначена максимальная пропускная способ-ность каждого участка дороги (тыс. машин в день).

98

2

4

2

2

5

2

1

2

3

1

2

Рис. 3.11

Дайте рекомендации мэру городка о необходимости расширения транс-портной сети.

6. Решите задачу из примера 3.5 методами линейного программирования. 7. Каждый день Некто утром отправляется из дома А на работу в Б, а вече-ром возвращается домой. Схема проезда, время на каждом участке доро-ги представлены на рис. 3.12. Найдите путь, требующий минимального времени на проезд в зависимости от времени суток.

А Б

6

9

3

1

4

1

8

5

6

3

7 2

1

4 3

2

Рис. 3.12

8. Для обустройства загородного дома Олег Архипович решил проложить дорожки, соединяющие все объекты инфраструктуры: дом (А), баня (Б), гараж (В), домик для гостей (Г), беседка (Д), бассейн (Е), водопад (Ё), теннисный корт (Ж) и футбольное поле (З). Длина предполагаемых до-рожек между объектами приведена в таблице. А Б В Г Д Е Ё Ж З А 0 10 10 80 40 20 100 60 70 Б 10 0 20 100 20 10 90 120 100 В 10 20 0 60 40 60 110 50 60 Г 80 100 60 0 40 40 90 40 60 Д 40 20 40 40 0 40 80 60 80 Е 20 10 60 40 40 0 120 20 30 Ё 100 90 110 90 80 120 0 30 80 Ж 60 120 50 40 60 20 30 0 10 З 70 100 60 60 80 30 80 10 0

Разработайте проект наименьшей стоимости.

99

Рекомендуемая литература 1. Акулич И.Л. Математическое программирование / И.Л. Акулич. – М.:

Высш. шк., 1986. 2. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.: Сов. ра-

дио, 1972. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая

школа, 2005. 4. Волков И.К. Исследование операций: учебное пособие для вузов /

И.К. Волков, Е.А. Загоруйко. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

5. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике: учебное пособие / Г.Я. Волошин. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2004.

6. Гасс С. Путешествие в страну Линейного программирования / С. Гасс. – М.: Мир, 1971.

7. Кузнецов А.В. Высшая математика: Математическое программирова-ние / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод. – Мн.: Высш. шк., 1994.

8. Кузнецов А.В. Руководство к решению задач по математическому про-граммированию: учебное пособие / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Высш. шк., 2001.

9. Таха Х. Введение в исследование операций / Х. Таха. – М.: Мир, 2005.

100

Оглавление

Введение 3Глава 1. Задачи оптимизации в экономике 4 § 1. Постановка некоторых задач линейного

программирования 4 § 2. Основная задача линейного программирования.

Симплекс-метод 6 § 3. Анализ модели на чувствительность 11 § 4. Двойственные задачи линейного программирования 13 § 5. Целочисленное программирование 19 § 6. Транспортная задача 26 § 7. Дробно-линейное программирование 35 § 8. Многокритериальные задачи 39 Задачи и упражнения 52Глава 2. Элементы теории игр 56 § 1. Основные понятия теории игр 56 § 2. Решение игр методами линейного программирования 60 § 3. Игры с природой 68 § 4. Принятие решений в условиях неопределенности 73 Задачи и упражнения 78Глава 3. Применение теории графов в экономике 81 § 1. Основные понятия теории графов 81 § 2. Задача о кратчайшем пути 83 § 3. Задача о наибольшем потоке 91 § 4. Построение графа наименьшей длины 95 Задачи и упражнения 97Рекомендуемая литература 99

Дизайн обложки Г.Х. Блакуновой

Редактор Л.В. Бушуева

Издательство Смоленского государственного университета

Подписано к печати 12.11.2009. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая.

Усл. п. л. 6,25. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 150 экз. Заказ №

Отпечатано с оригинал-макета авторов в ИТЦ СмолГУ

214000, Смоленск, ул. Пржевальского, д. 4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО...

Documents