บทที่ 3.1 เวกเตอร์ uv คือ … u3.pdf · บทที่ 3...
TRANSCRIPT
บทท 3 เวกเตอร3.1 เวกเตอร
เวกเตอร คอ ปรมาณทบอกทงขนาดและทศทาง เราเขยนสวนของเสนตรงแทนขนาดเวกเตอรและหวลกศรแทนทศทาง
A
B C
D
u v
AB เปนเวกเตอรจาก ไป หรอ มขนาดเปนเวกเตอรจาก ไป หรอ มขนาด
A B u
AB u
CD C D v
CD v
MTH2103 Unit 3 1
3.2 การเทากนของเวกเตอร
u v เมอ 1.2. และ มทศทางเดยวกน
u v
u v
นยาม เทากบ กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และมทศทางเดยวกน เขยนแทนดวยสญลกษณ
u v
u v
E
F
G
HA
B
C
D
u v a b
จากรป หรอหรอ
u v
a b
AB CD
EF GH
MTH2103 Unit 3 2
นยาม นเสธของ คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ แตมทศทางตรงขามกน เขยนแทนดวยสญลกษณ
u u
u
A
B C
D
u v
และ เปนนเสธกน เมอ 1.2. และ มทศ
ทางตรงขามกนนนคอ หรอ และ กบ เปนนเสธกน
u
u
v
v
u v
u v v u u v
MTH2103 Unit 3 3
ตวอยาง
A B
CD
O
จากรป เปนรปสเหลยมดานขนาน จงเขยนเวกเตอรทเทากบเวกเตอรตอไปน
ABCD
AB BA
AD CB
AO OA
BO OB
จงเขยนนเสธของเวกเตอรตอไปนAB BA
BC DA
AO OA
BO OB
MTH2103 Unit 3 4
3.3 การบวกเวกเตอร เขยนแทนดวย w u v
MTH2103 Unit 3 5
เวกเตอรศนย คอ เวกเตอรทมจดเรมตน และจดสนสดเปนจดเดยวกน เวกเตอรศนยจะมขนาดเทากบศนย เขยนแทนดวย 0
MTH2103 Unit 3 6
ส าหรบการลบเวกเตอร เรานยามดวยการบวกเวกเตอรกบนเสธของเวกเตอรตวลบ เขยนแทนดวย โดยทu v u v u v
จากรป เปนรปสเหลยมดานขนานABCD
A B
CD
u
v
เวกเตอรทเปนผลลบ จะมจดเรมตนและจดสนสด เปนจดสนสดของเวกเตอรทงสองทก าหนดให
MTH2103 Unit 3 7
สมบตของการบวกเวกเตอรก าหนดให และ เปนเวกเตอรใด ๆ ในระนาบ1. เปนเวกเตอรในระนาบ (สมบตปด)2. (สมบตการสลบท)3. (สมบตการเปลยนกลม)4. ม เปนเอกลกษณของการบวก โดยท
(สมบตการมเอกลกษณ)5. ม ทท าให (สมบตการมอนเวอรส)6. ถา แลว (สมบตการบวกดวยเวกเตอรทเทากน)
,u v w
u v
u v v u
u v w u v w
0 0 0u u u
u 0u u u u
u v u w v w
MTH2103 Unit 3 8
ตวอยาง จากรป ก าหนด เปนรปหกเหลยมดานเทามมเทา และ
ขอใดตอไปนจรง และขอใดไมจรง
ABCDEF
, AF ,AB u v BC w
12
12
___ 5.___1.
___ 6.___ 2.
___ 7.___ 3.
___8. 0___ 4.
BF v uAC u w
AO u v wAD u v w
BO v w uAE v w
AO DO OF OCFC v u w
MTH2103 Unit 3 9
3.4 การคณดวยสเกลาร
u
2u 2u
ก าหนดให เปนจ านวนจรง และ เปนเวกเตอร ผลคณระหวาง และ จะเปนเวกเตอร เขยนแทนดวย โดยท
a u
ua
au
1. ถา แลว2. ถา แลว จะมขนาดเทากบ
และมทศทางเดยวกบ3. ถา แลว จะมขนาดเทากบ
และมทศทางตรงขามกบ
0a 0au
0a au
au0a
a u
a u
u
u
MTH2103 Unit 3 10
สมบตของการคณเวกเตอรดวยสเกลารก าหนดให และ เปนเวกเตอรใด ๆ ในระนาบ และ เปนจ านวนจรง1. เปนเวกเตอรในระนาบ (สมบตปด)2. (สมบตการเปลยนกลม)3. (สมบตการแจกแจง)
4. (สมบตการมเอกลกษณ)
u v
au
a bu ab u
a b u au bu
a u v au av
1 1u u u
a b
MTH2103 Unit 3 11
ทฤษฎบท ส าหรบ และ ทไมเทากบ จะขนานกบ กตอเมอ มจ านวนจรง ทไมเทากบศนยทท าให
ทฤษฎบท ส าหรบ และ ทไมเทากบ และ ไมขนานกบ ถา แลวจะได และ
หมายเหต กบ ขนานกน หมายถง กบ มทศทางเดยวกน หรอมทศทางตรงขามกนกได
u
u
u
u
v
v
v
v
0
0
a
u av
0au bv
0a 0b
u uv v
MTH2103 Unit 3 12
ตวอยาง จากรป เปนรปสเหลยมดานขนาน ม เปนจดกงกลางของเสนทแยงมม ถา จงเขยนเวกเตอร และ ในรป และ
A B
CD
O
ABCD O
BD ,AB u AD v AO BO u
v
MTH2103 Unit 3 13
x
y
o
3.5 เวกเตอรหนงหนวยในปรภม 2 มต
i
j
x
y
o
4,3P
MTH2103 Unit 3 14
ให และ1. กตอเมอ2.3.4.5. ให และ เปนจดสองจดใด ๆ จะได
6. เวกเตอรหนงหนวย คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวย เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ แทนดวย
1 2A a i a j
1 2B b i b j
A B 1 1 2 2,a b a b
1 1 2 2A B a b i a b j
1 2cA ca i ca j
2 2
1 2 1 2A a i a j a a
1 1 1,P x y 2 2 2
,P x y
1 2 2 1 2 1PP x x i y y j
1
A
Au A
A A A
MTH2103 Unit 3 15
3.6 ผลคณภายในของเวกเตอร 2 เวกเตอร
นยาม ก าหนดให และ จะไดวา1 2B b i b j 1 2A a i a j
1 1 2 2A B a b a b
ในอกนยหนง เราสามารถหาผลคณสเกลาร โดยใชนยามcosA B A B
เมอ เปนมมระหวางเวกเตอร และ A B
ถาเวกเตอร ท ามม กบแกน จะไดวาA x cos sinA A i j
MTH2103 Unit 3 16
3.7 โปรเจกชนของเวกเตอร
โปรเจกชนของเวกเตอร บน มได 2 แบบ คอ1. สเกลารโปรเจกชน
2. เวกเตอรโปรเจกชน
A B
A
B
cosA B
AB
ProjB
A BA B
B B
MTH2103 Unit 3 17
3.8 การประยกตของเวกเตอรในระนาบ
1) ใชหาสมการเสนตรง ถาเสนตรงผานจด และตงฉากกบเวกเตอรจะมสมการ คอ
ขอสงเกต เวกเตอร ตงฉากกบเสนตรง เมอเสมอ เรยกเวกเตอร วา Normal Vector
1 1 1,P x y
N ai bj
1 10a x x b y y
N ai bj 0ax by c 0, 0a b
N
MTH2103 Unit 3 18
2) ใชหาระยะทาง จากจด ไปยงเสนตรง 1 1 1,P x y : 0L ax by c
1 1
2 2
ax by cd
a b
MTH2103 Unit 3 19
เวกเตอร 1 หนวยพนฐาน คอ เวกเตอรทเรมตนจากจด O ไปตามแกนพกดเปนระยะทาง 1 หนวย มอยดวยกน 3 เวกเตอร ไดแก
เรมจากจด O ไปยงจด (1, 0, 0)เรมจากจด O ไปยงจด (0, 1, 0) เรมจากจด O ไปยงจด (0, 0, 1) k
j
i
x
y
z
oi
jkส าหรบเวกเตอรทเรมจากจด O ไปยงจด P(x, y, z) ใด ๆ จะแทนดวย
OP xi yj zk
, ,P x y z
3.9 เวกเตอรหนงหนวยในปรภม 3 มต
MTH2103 Unit 3 20
การบวก - ลบเวกเตอรถาเราก าหนด เปนเวกเตอรในปรภม เราจะสามารถเขยนไดวาA
A ai bj ck
นยาม ก าหนดให และจะไดวา
1 2 3B bi b j b k 1 2 3A a i a j a k
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
A B a b i a b j a b k
A B a b i a b j a b k
MTH2103 Unit 3 21
เวกเตอรระหวางจด 2 จดในปรภม
ก าหนด และเวกเตอรทเรมจากจด ไปยงจด จะเขยนแทนดวย โดยท
1 1 1 1, ,P x y z 2 2 2 2, ,P x y z
1P 2P1 2PP
1 2 2 1 2 1 2 1PP x x i y y j z z k
ตวอยาง ก าหนดจงหา
2,1,8 , 0,3,5 , 4,3,0A B C
, , ,AB AC CB BC
MTH2103 Unit 3 22
ขนาดของเวกเตอร
A ai bj ck ก าหนด
ขนาดของเวกเตอร แทนดวย เมอA A
2 2 2A a b c
ตวอยาง ก าหนด และจงหา
3 2A i j k 4 2B i j k
, , ,A B A B A B
MTH2103 Unit 3 23
A xi yj zk
cA c xi yj zk cxi cyj czk
cA c A
การคณเวกเตอรดวยสเกลาร
ก าหนดให เปนสเกลาร และc
ตวอยาง ก าหนด จงหา3 2A i j k
2
3
1
4
A
A
A
A
MTH2103 Unit 3 24
เวกเตอรศนย
คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบศนย แทนดวย
0 0 0 0i j k
เวกเตอรหนงหนวย
คอ เวกเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวยเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ แทนดวย
1
A
Au A
A A
A
MTH2103 Unit 3 25
นยาม ก าหนดให และจะไดวา
1 2 3B bi b j b k 1 2 3A a i a j a k
1 1 2 2 3 3A B a b a b a b
ในอกนยหนง เราสามารถหาผลคณสเกลาร โดยใชนยาม
cosA B A B
เมอ เปนมมระหวางเวกเตอร และ A B
3.10 ผลคณภายในของ 2 เวกเตอรใน 3 มต
MTH2103 Unit 3 26
คณสมบตของผลคณสเกลาร
2
1 1
2 0
3 0
4 0
5
6
7
i i j j k k
i j j k i k
A A A A
A B A B
A B B A
cA B A cB c A B
A B C A B A C
A B C A C B C
A B C D
MTH2103 Unit 3 27
3.11 ทศทางของเวกเตอร
x
y
o
u ai bj 2 2
2 2
cos
cos
a
a b
b
a b
MTH2103 Unit 3 28
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos
cos
cos
a
a b c
b
a b c
c
a b c
u ai bj ck
MTH2103 Unit 3 29
เมอ คอ เวกเตอร 1 หนวยทตงฉากกบทง และ BAn
3.12 ผลคณภายนอก; ผลคณเวกเตอร : A B
คณสมบตของผลคณเวกเตอร
i
jk
1 0
2
3 0
4
5
7
A B A B
A B B A
i i j j k k
i j k j k i k i j
j i k k j i i k j
cA dB cd A B
A B
A
B
MTH2103 Unit 3 32
3.13 กฎการกระจาย
A B C A B A C
B C A B A C A
3.14 ผลลพธของ sinA B n A B
เมอ คอ เวกเตอร 1 หนวยทตงฉากกบทง และ BAn
เรายงสามารถค านวณหาคา ไดอกวธหนง นนคอ ถาก าหนดA B
1 2 3A a i a j a k 1 2 3B bi b j b k
1 2 3
1 2 3
i j k
A B a a a
b b b
A B
ผลคณเวกเตอร 3 เวกเตอร มอยดวยกนทงสน 3 รปแบบ ไดแก(1) มผลลพธเปน เวกเตอร
(2) มผลลพธเปน สเกลาร
(3) มผลลพธเปน เวกเตอร
(4)
A B C
A B C
A B C
A B C ไมมความหมาย
3.15 ผลคณของเวกเตอร 3 เวกเตอร
ขอควรสนใจ รปแบบท (2) เรยกอกอยางไดวา Box product
เนองจาก ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน
โดยท
เมอ
A B C
A B C
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
A B C b b b
c c c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A a i a j a k
B b i b j b k
C c i c j c k
A
BC
A B C A B C
3.16 การประยกตของเวกเตอรใน 3 มต(1) เสนตรงในปรภม 3 มต
x
y
z
v
L
0 0 0 0, ,P x y z
สมการเสนตรง ทผานจด และขนานกบเวกเตอร จะเขยนอยในรปตวพารามเตอร เรยกวา สมการองตวแปรเสรม (parametric equation) ดงน
L 0 0 0 0, ,P x y z0
0
0
, .
x x at
y y bt t
z z ct
v ai bj ck
MTH2103 Unit 3 37
(2) มมระหวางเสนตรง 2 เสนในปรภม 3 มต
มมระหวางเสนตรง 2 เสนทตดกน กคอ มมระหวางเวกเตอรทมทศทางเดยวกนกบเสนตรงสองเสนนน
Mn
0P
normal vector
สมการระนาบทผานจด และมเวกเตอรเปนเวกเตอรตงฉากกบระนาบ จะมสมการอยในรป ดงน
0 0 0 0, ,P x y z n ai bj ck
0 0 0 0a x x b y y c z z
(3) ระนาบในปรภม 3 มต
ตวอยาง จงหาสมการระนาบทผานจด และตงฉากกบเวกเตอร
2, 3,5P
2 3 4n i j k
ตวอยาง จงหาสมการระนาบทผานจดและ
1, 3,2 , 2, 1,3A B
3,2,1C
1n
2n1M
2M
มมระหวางระนาบ กบ จะเทากบมมระหวางเวกเตอรตงฉาก (normal vector) ของทงสองระนาบนน
1M 2M
(4) มมระหวางระนาบ 2 ระนาบ
ดงนน การหามมระหวางระนาบ 1 1 1 1 1: 0M A x B y C z D
2 2 2 2 2: 0M A x B y C z D
มขนตอน ดงน(i) หาเวกเตอรตงฉาก และ ของระนาบ และ ตามล าดบ
นนคอ เราจะไดวา และ
(ii) หามมระหวาง และ โดยใชสตรผลคณสเกลาร
1n 2n1M 2M
1 1 1 1n Ai B j C k
2 2 2 2n A i B j C k
1n2n
1 2 1 2
1 2
1 2
cos
cos
n n n n
n n
n n
ตวอยาง จงหามมระหวางระนาบ กบระนาบ
3 2 6 15 0x y z
2 2 10 0x y z
M
0P
d
การหาระยะทางจากจดไปยงระนาบมขนตอน ดงน
0 0 0 0, ,P x y z
: 0M Ax By Cz D
(i) หาจดบนระนาบมา 1 จด เราจะเรยกวา จด Q
(ii) หาเวกเตอร ทตงฉากกบระนาบ ซงกคอMn n Ai Bj Ck
(iii) หาเวกเตอร 0QP
(iv) หาระยะทาง โดยใชสตร0n QP
dn
(5) ระยะทางจากจดไปยงระนาบ
ตวอยาง จงหาระยะทางจากจด ไปยงระนาบ 0 2,1,8P
3 2 6 12 0x y z