第 4 章 基本图形（一）

第 17 课　线段、角、相交线和平行线

基础知识 自主学习

1. 线段沿着一个方向无限延长就成为 ；线段向两方无限延长就成为 ；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．

2. 直线的基本性质： ． 线段的基本性质： ，连结两点的 ，叫

做两点之间的距离．3 ．有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成

是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)1 周角＝ 平角＝ 直角＝ ,1° ＝ ,1′ ＝ .

(2) 小于直角的角叫做 ；大于直角而小于平角的角叫做 ；度数是 90° 的角叫做 ．

要点梳理射线

直线

两点确定一条直线两点之间线段最短 线段的长度

2 4 360° 60′ 60″

锐角 钝角直角

4. 两个角的和等于 90° 时，称这两个角 ，同角 ( 或等角 ) 的余角相等．

两个角的和等于 180° 时，称这两个角 ，同角 ( 或等角 ) 的补角相等．

5. 角平分线和线段中垂线的性质：角平分线上的点到 ． 线段中垂线上的点到线段 ． 到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上． 到线段两个端点的距离相等的点在线段的中垂线上．6. 两条直线相交，只有 ．两条直线相交形成四个角，我们把其

中相对的每一对角叫做对顶角，对顶角 ．

互为余角

互为补角

这个角两边的距离相等两个端点的距离相等

一个交点相等

7. 两条直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ．

从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中 ．

8. 垂 直 于 一 条 线 段 并 且 平 分 这 条 线 段 的 直 线，叫 做 这 条线段的 ，也叫线段的中垂线．

9. 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行．

垂直 垂线垂足

垂线段的长度垂线段最短

垂直平分线

10. 平行线的判定及性质： (1) 判定： ① 在同一平面内 的两条直线叫做平行线； ② 相等，两直线平行； ③ 相等，两直线平行； ④ ，两直线平行； ⑤ 在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行； ⑥ 平行于同一直线的两直线平行． (2) 性质： ① 两直线平行， ； ② 两直线平行， ； ③ 两直线平行， ．

不相交同位角内错角同旁内角互补

同位角相等内错角相等同旁内角互补

[ 难点正本　疑点清源 ] 1 ．正确理解线段、射线、直线的概念 点通常表示一个物体的位置，无大小可言．点动成线，线有弯曲的，也有笔直的，弯曲的线叫做曲线；而笔直的线，若向两边无限延伸，没有端点且无粗细可言就叫做直线，射线是直线的一部分，向一方无限延伸，有一个端点，线段也是直线的一部分，有且只有两个端点． “延伸”和“延长”是两个不同的概念．线段不能延伸，但可以延

长；直线与射线是可以无限延伸，线段向一方延长的部分，叫做线段的延长线，指定哪个方向延长就是向哪个方向延长；反向延长的部分叫做反向延长线，如延长线段 AB即为反向延长线段 BA. 线段的延长线即指线段向一方延长的部分，延长线常画成虚线．线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺序，以便确定延长方向．注意：一条线段可以延长，但线段的延长线不是原线段的一部分．

2 ．理解同一平面内两条直线的相互位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行．“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线，如正方体的有些棱所在的线既不相交也不平行．

题型分类 深度剖析

【例 1 】　已知 E 、 F 两点把线段 AB 分成 2 3 4∶ ∶ 三部分， D 是线段AB 的中点， FB ＝ 12 ，求 DF 的长及 AE ： AD.

题型一　线段的计算

解　如图，设 AE ＝ 2x ， EF ＝ 3x ， FB ＝ 4x ，则 AB ＝ 9x.

∵D 是 AB 的中点，∴ AD ＝ BD ＝ 4.5x.

∵FB ＝ 12 ，∴ 4x ＝ 12 ， x ＝ 3.

又 AF ＝ 2x ＋ 3x ＝ 5x ，∴DF ＝ 5x － 4.5x ＝ 0.5x ＝ 0.5×3 ＝ 1.5.∴AE∶AD ＝ 2x 4.5∶ x ＝ 2 4.5∶ ＝ 4 9.∶

归纳小结　线在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：

① 按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；

② 学会观察图形，找出段之间的关系，列算式或方程来解答．

知能迁移 1 在直线 l上，线段 AB＝7 cm，BC＝3 cm， D是 AC的中点，求 DB的长度．

解 (1)当点 C在线段 AB延长线上，如：

有 AC＝AB＋BC＝7＋3＝10.

∵ D是 AC的中点，∴ AD＝12AC＝5.

∴ DB＝AB－AD＝7－5＝2(cm)． (2)当点 C在线段 AB上，如图：

有 AC＝AB－BC＝7－3＝4.

∵ D是 AC的中点，∴ AD＝CD＝12AC＝2.

∴ DB＝DC＋CB＝2＋3＝5(cm)． 综上，DB的长度为 2 cm或 5 cm.

【例 2 】　如图，直线 AB 、 CD 相交于点 O ， OE⊥AB ，垂足为 O ，如果∠ EOD ＝ 42° ，则∠ AOC ＝ ________.

答案　 48°

解析　∵ OE⊥AB ，∴∠ AOE ＝ 90°.

∴∠AOC ＋∠ EOD ＝ 180° －∠ AOE ＝ 90°.

∵∠EOD ＝ 42° ，∴∠ AOC ＝ 90° － 42° ＝ 48°.

归纳小结　当已知中有“相交线”出现的时候，要充分挖掘其中隐含的“邻补角和对顶角”，以帮助解题．

题型二　相交线

42°

知能迁移 2 　 (1)(2010· 宁波 ) 如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点O ， E 是∠ AOD 内一点，已知 OE⊥AB ，∠ BOD ＝ 45° ，则∠ COE 的度数是 ( 　　 )

A ． 125° B ． 135° C ． 145° D ． 155°

答案　 B

解析　∵ OE⊥AB ， ∴∠EOA ＝ 90°.

∵∠AOC ＝∠ BOD ＝ 45° ， ∴∠COE ＝∠ EOA ＋∠ AOC ＝ 90° ＋ 45° ＝ 135°.

(2) 如图，已知直线 AB 、 CD 相交于点 O ， OA 平分∠ EOC ，若∠ EOC ＝ 100° ，则∠ BOD 的度数是 ( 　　 )

A ． 20° B ． 40°

C ． 50° D ． 80°

答案　 C

解析 ∵ OA平分∠ EOC，

∴ ∠ AOC＝12∠ EOC＝

12× 100°＝50°，

∴ ∠ BOD＝∠ AOC＝50°.

题型三　平行线

【例 3 】　 (1) 如图，点 E 在 AD 的延长线上，下列条件中能判断 BC∥AD 的是 ( 　　 )

A ．∠ 3 ＝∠ 4 B ．∠ A ＋∠ ADC ＝ 180°

C ．∠ 1 ＝∠ 2 D ．∠ A ＝∠ 5

答案　 C

解析　 BC 、 AD 被 BD 所截，当∠ 1 ＝∠ 2 时， BC∥AD ，应选 C.

(2) 如图， a∥b ， M 、 N 分别在 a 、 b 上， P 为两平行线间一点，求∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 之和．

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解： 思路一：延长 MP 交 b 于 Q ，

因为 a b∥ ，所以∠ 1 ＝∠ 4 ，故∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3＝∠ 4 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ，△PQN 的三外角之和等于360°.

思路二：连接 MN ，则原∠ 1 被分成∠ 5 、∠ 6 之和，原∠ 3 被分成∠ 7 、∠ 8 之和，又∠ 5 ＋∠ 8 ＝ 180° ，∠ 2 ＋∠ 6 ＋∠ 7

＝ 180° ，所以∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ ( 6∠ ＋∠ 2 ＋∠ 7) ＋ ( 5∠＋∠ 8) ＝ 360°.

归纳小结　本例中集中给出了多种辅助线的作法，以构造平行线 或构造“三线八角”基本图形为主要原则，利用平行线的性质求 角度．

思路三：过 P 画 c∥a ，因为 a∥b ，所以 c∥b ，原∠ 2 被分成∠9 、∠ 10 之和，因为∠ 1 ＋∠ 9 ＝ 180° ，∠ 3 ＋∠ 10 ＝ 180° ，所以∠ 1 ＋∠ 2 ＋∠ 3 ＝ 360°.

知能迁移 3 　 (1)(2011· 德州 ) 如图，直线 l1∥l2 , 1∠ ＝ 40° ，∠ 2

＝ 75° ，则∠ 3 等于 ( 　　 )

A ． 55° B ． 60° C ． 65° D ． 70°

答案　 C

解析　如右图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝∠ 2 ＝ 75° ，∠ ABC ＝∠ 1 ＝ 40°. 3∴∠ ＝ 180° －∠ BAC －∠ ABC ＝ 65°.

(2) 如图， a∥b ，∠ 1 ＝ 105° ，∠ 2 ＝ 140° ，则∠ 3 的度数是( 　　 )

A ． 75° 　　　　　 B ． 65° 　　　　　 C ． 55° 　　　　　 D ． 50°

答案　 B

解析　如图，过点 B 画， c∥a.

∵a∥b ， ∴b∥c.

∴∠1 ＋∠ 4 ＝ 180° ， ∠2 ＋∠ 5 ＝ 180° ， ∴∠4 ＝ 75° ，∠ 5 ＝ 40° ， ∴∠3 ＝ 180° －∠ 4 －∠ 5 ＝ 65°

题型四　与直线交点个数有关的探究问题【例 4】 阅读下列材料并填空：

(1)探究：平面上有 n个点(n≥ 2)且任意 3个点不在同一条直线上，

经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？

我们知道，两点确定一条直线，

平面上有 2个点时，可以画2× 1

2 ＝1(条)直线；

平面内有 3个点时，一共可以画3× 2

2 ＝3(条)直线；

平面上有 4个点时，一共可以画4× 3

2 ＝6(条)直线；

平面内有 5个点时，一共可以画________条直线 102

45

2

)1( nn

(2)迁移：某足球比赛中有 n个球队(n≥ 2)进行单循环比赛

(每两队之间必须比赛一场)，一共要进行多少场比赛？

有 2个球队时，要进行2× 1

2 ＝1(场)比赛，

有 3个球队时，要进行3× 2

2 ＝3(场)比赛，

有 4个球队时，要进行__________场比赛．

答案 4× 3

2 ＝6

归纳小结　此题给出了几种特殊情况，从分子、分母数字的变化 规律也可以得到探究结果，熟记本题的探究结果，对解决一些 问题会有所帮助．

知能迁移 4 　 (1)(2011· 柳州 ) 如图，点 A 、 B 、 C 是直线 l 上的三个点，图中共有线段条数是 ( 　　 )

A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条

答案　 C

解析　有三条线段 AB 、 AC 、 BC.

(2) 在某次商业聚会中，聚会结束后同桌的六个客人都互相握了手，聚会开始时这六个客人也都互相问了好，那么，他们一共有多少次握手，多少次问好？

解 共握手6× 5

2 ＝15次，问好 6× 5＝30次．

基础自测1 ． (2011·桂林 ) 下面四个图形中，∠ 1 ＝∠ 2 一定成立的是 ( 　

　 )

答案　 B

解析　在 B 图中，∠ 1 、∠ 2 有相同的顶点，且角的两边互为反向延长线，∠ 1 与∠ 2 是对顶角，所以∠ 1 ＝∠ 2.

2 ． (2011·茂名 ) 如图，已知 AB∥CD, 则图中与∠ 1 互补的角有( 　　 )

A ． 2 个 　　　 B ． 3 个 C ． 4 个 　　　 D ． 5 个

答案　 A

解析　∵ AB∥CD ，∴∠ 1 ＋∠ AEF ＝ 180°. 又∴∠ CFD ＝ 18

0° ，∴∠ 1 ＋∠ EFD ＝ 180° ，所以与∠ 1 互补的角有∠ AEF 、∠ EFD 共 2 个．

3 ． (2011·金华 ) 如图，有一块含有 45° 角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠ 1 ＝ 20° ，那么∠ 2 的度数是 ( 　　 )

A ． 30° B ． 25° C ． 20° D ． 15°

答案　 B解析　∴ AB∥CD ，又∠ 3 ＋∠ 2 ＝ 45° ，∴∠3 ＝∠ 1 ＝ 20° ，∴∠2 ＝ 45° －∠ 3＝ 45° － 20° ＝ 25°.

4 ． (2011·绍兴 ) 如图，已知 AB//CD ， BC 平分∠ ABE ，∠ C

＝ 34° ，则∠ BED 的度数是 ( 　　 )

A ． 17° 　　　 B ． 34°

C ． 56° 　　　 D ． 68°

答案　 D

解析　∵ AB∥CD ， ∴∠C ＝∠ ABC ＝ 34° ， ∠BED ＝∠ ABE.

又∵ BC 平分∠ ABE ， ∴∠ABE ＝ 2∠ABC ＝ 2×34° ＝ 68° ， ∴∠BED ＝ 68°.

5 ． (2011·黄石 ) 平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定 3 条直线，若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线，则 n 的值为 ( 　　 )

A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8

答案　 C

解析 平面上不同的几个点最多可确定nn－1

2 条直线，

则nn－1

2 ＝21，n2－n－42＝0，(n－7)(n＋6)＝0，

n＝7或 n＝－6(舍去)，所以 n＝7.

易错警示13 ．因概念理解不清，造成角的计算错误试题 如图，已知：∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，

OE在∠BOC内，∠BOE＝12∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度数．

学生答案展示

∵ OD是∠AOB的平分线，∴ ∠BOD＝12∠AOB.

∵ ∠BOE＝12∠EOC，∴ ∠BOE＝

13∠BOC，∠EOC＝

23∠BOC，

∵ ∠AOB＋∠BOC＝180°，∴ ∠EOC＝23× 180°＝60°.

答：∠EOC的度数是 60°.

剖析　若不用方程的思想方法来考虑本题，可能无法下手，或以错误告终．本题已知角度的数量关系及某一个角的度数，要求其他角的度数，因为给出度数的角∠ DOE 不能运用角平分线，也不知∠ DOE 与其他角的任何关系，因此∠ DOE ＝ 72° ，这个条件用不上，那么此时可以考虑在应用题中学习的一种方法，当某个量不知道或不好表示时，我们常用未知数把这个量设出来，其他的量也都可以用这个未知数表示出来，再列出方程解出这个未知数．当然，未知数的设法有多种．

正解 设∠AOD＝x， ∵ OD是∠AOB的角平分线， ∴ ∠BOD＝∠AOD＝x. 又∵ ∠DOE＝72°， ∴ ∠BOE＝72°－x.

∵ ∠BOE＝12∠EOC，

∴ ∠EOC＝2× (72°－x)． ∵ ∠AOD＋∠DOB＋∠BOE＋∠EOC＝180°， ∴ x＋x＋(72°－x)＋2× (72°－x)＝180°. ∴ x＝36°，即∠AOD＝36°. ∴ ∠EOC＝2× (72°－36°)＝72°.

批阅笔记　本题采用间接设未知数的方法，设∠ AOD ＝ x ，则可知∠ DOB ＝ x ，∠ BOE ＝ 72° － x ，∠ EOC ＝ 2×(72° －x) ，最后利用∠ AOD ＋∠ DOB ＋∠ BOE ＋∠ EOC ＝ 180°这个等量关系列出方程解出 x 的值，利用方程的思想方法来解题，用代数的方法来解决几何问题 .

思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 掌握平面几何的基本概念，正确理解平面几何的基本内容和方法，是学好平面几何的第一步． 2. 重视名词的定义，抓住概念的本质，养成结合图形理解概念的习惯． 3. 一个概念要有一个名词或一个词组来表示．说明一个名词的含义，使各名词互不混淆的语句，叫做名词的定义．例如：角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形．显然，在定义的语句中，必须使用另外的一些名词．以角的定义为例，就使用了“端点”、“射线”、“图

形”等名词，而定义这些名词，就需要另外一些名词，这样就必然有一些名词无法被定义．这些无法被定义的名词，应是人们在日常生活中所熟悉的，因而容易区分，也是不需要定义的，如体、面、线、点等，都是不需要定义的名词．

4. 定义是推理、论证的依据之一，应在准确理解的基础上熟记，想象出它所刻画的图形情景，不要死记语句． 5. 公理、定理，都是在它的题设条件下，一定可以得到它所指出的结论的命题，因而是真命题．平面几何的许多定理，还必须满足一个形式上并未写出的条件——在同一平面内，否则，结论就不成立．如“垂直于同一直线的两直线平行”，必须在同一

平面内才成立，等等．在学习平面几何阶段，都是指在同一平面内．

失误与防范 1 ．计算直线条数、线段条数或角的个数等题目，一方面考查了对几何概念的准确掌握，另一方面也考查了思维的严密性．数数问题的关键是把问题分为不重不漏的有限种情况，一一列举出各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的． 例如：平面内三条直线可以把平面分成几部分？ 分析与解：这道题的答案取决于三条直线的位置关系，如图：

第一种是三条直线没有交点，可将平面分成 4部分；第二种是三条直线交于一点，可将平面分成 6部分；第三种是三条 直线有两个交点，可将平面分成 6部分；第四种是三条直线两两相交，有三个交点，可将平面分成 7部分． 在几何问题中，如果不善于将问题进行全面讨论、合理分类，做到不重不漏，就很难得到完整的答案，导致“漏解”的错误． 2 ．几何学的突出特点之一就是逻辑推理方法的运用，利用推理的方法得出结论．学习推理应注重以下两个方面：一是要对问题进行清晰的分析，这是解题的关键；二是在推理过程中，推理的每一步都必须有科学依据．

完成考点跟踪训练 20