熱流体工学 第4章熱力学 - frontpage - mechanical …takei/note/neturyuutai/4.pdf1 2 𝑝...
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熱流体工学第4章 熱力学
千葉大学工学部機械工学科担当者 武居昌宏
参考図書熱流体工学の基礎井口学, 武居昌宏, 松井剛一朝倉書店, 2008 ISBN 4254231210
4.1.7 エンタルピと熱力学第一法則のエンタルピ表現●エンタルピ: H = EU + pV [J]…(4.17)
pvem
Hh U
●熱力学第一法則とエンタルピ表現
dq = dh – vdp
deU = dh – d(pv)
dq = deU + pdv
●比エンタルピ: 単位質量あたり
[J/kg] …(4.18)
EU:内部エネルギ[J] 、pV:流動仕事[J]、V:体積[m3],v:比体積[m3/kg],m:流体の質量[kg]Q:単位質量の熱量[J/kg]κ:比熱比
[J/kg] …(4.16) pv:単位質量当たりの流動仕事(=押し込み仕事=排除仕事)pdv= w: 絶対仕事
… (4.18)式より[J/kg] …(4.20)
●ポリトロープ変化:pvn =const, n:ポリトロープ指数等温変化⇒n=1, pv = const⇒deU = 0 dq = dw
,/dd qeU 等圧変化⇒n=0, p = const⇒ qvp d1
d
等積変化⇒n=∞,v=const, p/T=const⇒ pdv = 0,dq = deU
断熱変化⇒n = κ, dq = 0, deU = - pdv
熱量が仕事に変換
熱量は内部Eと仕事に変換
熱量が0
熱量が内部Eに変換
⇒閉系開系のどちらでも成立
エネルギとエネルギ流束(Flux)
流れ 流束 ×[s-1](Flux)
流束密度 ×[m-2s-1](Flux density)
運動量[kg・m・s-1]
運動量流束[N]
運動量流束密度[Pa]
質量[kg] 質量流量[kg・s-1]
質量流束密度[kg・m-2・s-1]
体積[m3] 体積流量[m3・s-1] 速度分布[m・s-1]エネルギ[J] エネルギ流束[W] エネルギ流束密度
[W・m-2]仕事[J] 仕事率[W] 面積当たりの仕事率
[W・m-2]熱[J] 熱流束[W] 熱流束密度[W・m-2]電荷[C] 電流[A] 電流密度[A・m-2]
h:比エンタルピ[J/kg] 、u:流速[m/s]、mQ:質量流量[kg/s]、z:高さ [m]、Q:外部から熱流束[J/s]=[W] Q=mQqq:単位質量あたりの熱量[J/kg]pv:単位質量当たりの流動仕事[J/kg]Wt :工業仕事率 [J/s]
4.1.10. 一般エネルギ方程式(開系の熱力学第一法則)
単位時間あたりのエネルギ保存則を考える⇒
単位質量あたりのエネルギ×質量流量[J/kg][kg/s]=[J/s]=[W]⇒仕事率
図4.10 定常流動系
Ⅰ z1
u2
u1Wt:工業仕事率
タービン
Q
z2
h1=eU1+p1v1 Ⅱ
mQ
mQ断面ⅠとⅡでmQ一定=質量保存ⅠとⅡでhとuは異なる h1=eU1+p2v2
開系⇒流動仕事を考える⇒断面では常にpv
分のエネルギーを持つ⇒断面ⅠとⅡ間の管路形状依存しない。
Ⅰのエネルギ流束[J/s]=[W] Ⅱのエネルギ流束[J/s]=[W]
内部エネルギ mQeU1 内部エネルギ mQeU2
運動エネルギ 運動エネルギ
位置エネルギ 位置エネルギ
流動仕事率 流動仕事率
流入した熱流束 Q 工業仕事率 Wt
2/2
1 umQ /22
2 umQ
1gzmQ
11v pmQ
2 gzmQ
22v pmQ
流入と流出したエネルギ流束
●一般エネルギ方程式
twzzguu
hhq
12
2
1
2
212
2[J/kg] …(4.30)
mQ [kg/s]で割る⇒単位質量あたりのエネルギ
dq = dh + u du + g dz + dwt …(4.31) z1 = z2でかつu1 = u2のとき
twhhq 12…(4.33) 流入した熱量qは、エンタ
ルピと工業仕事の増加
微分公式d(u2/2)=u duより、
q = wt = 0とき
22
2
22
2
11
uh
uh
[J/kg] … (4.34)比エンタルピと運動エネルギの和が断面ⅠとⅡ間で保存
1v 2v
流動仕事 流動仕事
1v2v 1v
1v2v2v
絶対仕事pdvと工業仕事vdp
[J/kg]
[J/kg]2
112 dvpw
2
1
1
2dd pvpvwt
絶対仕事:
112212 vpvpww t
𝑤 = 1
2
𝑝𝑑𝑣 𝑝𝑣𝜅 = C
𝑤 = 1
2
𝐶𝑣−𝜅 d𝑣 =𝐶
𝜅 − 1
1
𝑣1
𝜅−1
−1
𝑣2
𝜅−1
●絶対仕事と工業仕事
等エントロピ過程絶対仕事はcvで、工業仕事はcpで書けることを証明する。
𝑤 = Δe𝑈 = 𝑐𝑣 𝑇1 − 𝑇2
等エントロピ過程での絶対仕事(閉系仕事)wと工業仕事(開系仕事)w*は、
[J/kg]
絶対仕事
𝑝1𝑣1𝜅 = 𝐶,
𝑝2𝑣2𝜅 = 𝐶
𝑤𝑡 = Δh= 𝑐𝑝 𝑇1 − 𝑇2
pを消去
𝑤 =1
𝜅−1𝑝1𝑣1 − 𝑝2𝑣2 =
𝑝1𝑣1
𝜅−11 −
𝑝2
𝑝1
𝜅−1
𝜅
Cを消去
𝑝1𝑣1 = 𝑅𝑇1,𝑝2𝑣2 = 𝑅𝑇2𝑤 =
𝑅
𝜅 − 1𝑇1 − 𝑇2 = 𝑐𝑣 𝑇1 − 𝑇2
工業仕事wt 𝑝1𝑣1𝜅 = 𝐶 , 𝑝2𝑣2
𝜅 = 𝐶𝑤𝑡 = − 1
2𝑣𝑑𝑝
𝑤𝑡 =𝜅
𝜅−1𝑝1𝑣1 − 𝑝2𝑣2 =
𝜅
𝜅−1𝑅 𝑇1 − 𝑇2 = 𝑐𝑝 𝑇1 − 𝑇2
𝑤𝑡 = 𝜅𝑤工業仕事wtと絶対仕事wとの関係
𝑤 = 12𝑝𝑑𝑣 = − 1
2𝑑𝑒𝑈 = 𝑒𝑈1 −𝑒𝑈2
𝑤𝑡 = 12(−𝑣𝑑𝑝) = − 1
2𝑑ℎ = ℎ1 − ℎ2
熱力学第1法則から、 dq = 𝑑𝑒𝑈 + pdv, dq = 𝑑ℎ − vdp
において、可逆断熱過程の条件dq = 0を代入すると、
可逆断熱過程気体の絶対仕事w pdv⇒ 内部エネルギが消費工業仕事wt vdp⇒ エンタルピが消費
4.1.11 定積比熱と定圧比熱Uv eq dd …(4.36)
定圧比熱cp: 圧力一定 (dp = 0)で加熱dqp = deU ＋ pdv …(4.37)
定積比熱と定圧比熱の定義より
T
e
T
qc U
v
vv
d
d
…(4.39) T
h
T
qc
p
p
pd
d
[J/kg・K]…(4.40)
※単位注意:単位質量の温度1[K]上げるのに
必要な熱量、定積モル比熱Cv[J/mol・K] 定圧モル比熱Cp
定積比熱cv :容積一定(dV = 0)で加熱
dqp = dh …(4.38)
圧力一
…(4.41)
[J/kg・K]…(4.43)
…(4.42)
T
pv
T
ehcc U
vpd
d
d
dd
比熱比κ :
v
p
c
c
…(4.44)1
Rcv
1
Rcp …(4.46)…(4.45)
Rcc vp マイヤーの法則
d(pv) = p dv ＋v dp＝R dT状態式の微分表現
理想気体の状態式:1[kg]につき pv=RT, 1[mol]につき pV=R0T
一般気体定数 R0=8.314 [J/mol・K]気体定数 R=R0/M n[mol]=気体質量m[kg]/分子量M分子量Mの気体M[g]=1[mol]
原子数 気体 分子量
比熱容量[J/kg・K] 比熱比 κ
定圧比熱cp 定積比熱cv cp/cv
1 He 4 5192 3116 1.66
2 O2 32 920 659 1.40
3
以上
CO2 44 844 655 1.29
NH3 17 2051 1570 1.31
CH4 16 2228 1710 1.30
表 25℃における気体の定圧・定積比熱、比熱比
法則
性は
ある
?
比熱比の法則性
●エネルギー等分配の法則1分子の1自由度に分配されるエネルギ
kBT/2kB:ボルツマン定数 kB=R0/NA
(=1.38×10－23[J/K])NA:アボガドロ数(=6.02217×1023)R0:一般気体定数[J/mol・K]
●自由度fと比熱比κeU = fRT/2 cv = f R/2 cp = cv+Rκ = cp/cv = (f+2)/f
●2原子分子 f =5
●3原子分子 f =6
TkE Bk2
3
TkE Bk2
5
分配されるエネルギEkと温度 T の関係
TkE Bk 3
●単原子分子 f =3
●比熱比κの値単原子分子(He,Ar) f = 3、κ =1.672原子分子(NO,O2,N2) f =5、 κ =1.403原子分子(H2O,CO2) f = 6、 κ =1.33
等エントロピ過程(等エントロピ流れ)(可逆断熱過程)#1エントロピ:
dS=cvdT/T+ρRd(1/ρ)=cvdT/T−R/ρ dρ=cvdT/T−(cp−cv)dρ/ρ積分してcv で割る(C は積分定数)
S/cv= lnT − (κ−1)lnρ +C/cv = ln(T/ρκ−1) + C/cv (A-2)一様流でも成立するので一様流での値を代入
S∞/cv = ln(T∞/ρ∞κ−1) + Ccv (A-3)
式(A-1) から式(A-2) を引くとエントロピ一様流からの変化は
(S − S∞)/cv= ln(T∞/ρ∞κ−1·ρκ−1
∞/T∞) (A-4)cpとcvは温度の関数、エントロピは温度・エントロピ線図から求める。
Δp = RTΔρ + RρΔT (A-5)Δp/p = Δρ/ρ+ΔT/T (A-6)dS/cv=dT/T− (κ−1)dρ/ρ (A-7)
⇐式(A-7)に式（A-6)を代入dS/cv = dp/p − κ dρ/ρ (A-8)S/cv= lnp − κ lnρ + C = ln(p/ρκ) + C (A-9)
(A-1)
⇐積分すると
⇐(A-0)の微小変化⇐式(A-0) で割った⇐式（A-1)をcvで割った
⇐dQ = deU + pdv, p= ρRT (A-0) dS =dQ/T [J/(kgK)]
指数関数で表すと exp(S/cv−C) = exp(−C)·exp(S/cv) = p/ρκ (A-10)等エントロピ過程(等エントロピ流れ)(可逆断熱過程)#2
●等エントロピ過程ではない流れ流れ場に摩擦や衝撃波が存在するとエントロピが変化変化前のS1、 p1, ρ1, T1 変化後のS2 、p2, ρ2, T2
式（A-0)と式（A-6)から、S2 − S1 = cp lnT2/T1− Rlnp2/p1= cv lnT2/T1− Rlnρ2/ρ1 (A-14)
式(A-14) において、 S2 = S1とおけば、p2/p1 = (ρ2/ρ1)κ
T2/T1 = (ρ2/ρ1)κ−1 = (p2/p1)(κ−1)/κ (A-15)
●等エントロピ過程
エントロピS = const
状態式を代入p/ρκ = pvκ = const …(A-12)
T とρ の関係 T とp の関係T/ρ κ−1 = const(A-13) T/p(κ−1)/κ = const (A-13)
exp(−C)=Cと置くと、p/ρκ = C exp(S/cv) (A-11)
ポアソンの法則
4.2.1 音速とマッハ数音速ca:圧縮性の気体中を微小な圧力変動が伝わる速度
d
dhca
…(4.47)
dh = vdp
s
a
pc
…(4.48)
p= C ρκ (C:定数)
RTpca 1 [m/s]…(4.49)
※音速は比熱比κ、圧力p、密度ρ、気体温度Tの関数
h:比エンタルピ、ρ:気体密度
sは偏微分のとき等エントロピ過程の意味この式は次ページで証明
等エントロピ過程(ポアソンの法則pvκ = 一定) 周囲と熱交換がなく内部熱発生のない過程
⇐ポアソンの法則より
11
CCp
= p
dp = ρdh dq = dh - vdp = 0 …(4.20)
RT
u
c
uM
a
[-] …(4.50)
亜音速流れM<1音速流れM>1
マッハ数M:
●なぜヘリウムガスで声を出すとドナルドダックの声になる?
http://blog.jami-ru.com/
比熱比κ大⇒音速caが速い⇒周波数fが高い
RTca [m/s]…(4.49)
空気中の音速 ca air = 340m/sヘリウム中の音速 ca helium = 1,000m/s
●圧縮率β
1ac
p
v
v d
d1
s
a
pc
pd
d1
…(B)
pA
(p+Δp)A ξ
x x+dx
pA
ξ+dξdx+dξ
(p+Δp+dp)A
圧縮率
dx
dp
1
Δp による体積変化率dx
d
v
v
ξ：流体粒子の変位[m]Δp：圧力変化(音圧)β:気体圧縮率 [1/Pa]v:比体積[m3/kg]
…(C)
●圧縮波前後で質量保存:
s
a
pc
音速式の導出
●圧縮波前後で運動量保存:
ca2 = dp/dρ
du を消去
x
y
*ピストンをゆっくり押す⇒圧力伝搬速度が「音速」*ピストンを速く押す⇒「音速ca」＋「流体速度du」で圧力を伝搬
「「圧縮波昇。「はの中はにボールを詰める感じ。波レベルをに袋の中も一気にいっぱいになるしります個とかしているイメージ。袋は余裕な空間ができます
ca
up
http://www.cae-sc.jp/docs/pafec/
[kg/(sm2)]ρca = (ρ + dρ)(ca + du)
du = −ca dρ ρ
p +(ρca)ca = (p+dp) + (ρca)(ca+du)[Pa]
dp = −ρcadu [Pa]
2次微小量を無視
速度u=0, 圧力p密度ρ, 温度T
速度du, 圧力p+dp密度ρ+dρ, 温度T+dT
圧縮波後
dp>0、dρ>0、dT>0
圧縮波前
圧縮波のとき
注意!!運動量流束密度
質量流束密度
●音圧の波動方程式
x
p
t
u f
2
22
x
p
xt
u f
txt
p
21
tで微分 左右辺入れ替え
2
22
t
p
xt
u f
2
22
2
2
x
pc
t
pa
1ac
xで微分
x
p
t
2
2
[N/m3]…(A)
xp
1…(B)
tで微分
ξ：流体粒子の変位[m]Δp：圧力変化(音圧)β:気体圧縮率 [1/Pa]v:比体積[m3/kg]uf：流体粒子速度[m/s]
pA
(p+Δp)A ξ
x x+dx
pA
ξ+dξdx+dξ
(p+Δp+dp)A
2
22
2
2
x
pc
t
pa
Δpをpとおく
x
u
t
p f
1
ufで表現
ufで表現
圧縮率βの定義運動方程式
2
22
2
2
xc
ta
詳細省略
●音速と波長・振動数
x
p
t
2
2
圧縮率βの定義から
dx
dp
1
2
21
xx
p
…(A)
2
2
2
2
xt
)sin(),( 0 kxttx 22 k
1
k acf
●音響インピーダンスZA
aS cZ
媒質 ρ[kg/m3] ca[m/s] ZS[kg/m2s]
空気 1.29 331 428
水 1×103 1452 1.5×106
1ac
…(B)
ack
)cos(1
0 kxtkp
)cos(0 kxtdt
du f
ZA:音響インピーダンスZs:比音響インピーダンス
pA
(p+Δp)A ξ
x x+dx
pA
ξ+dξdx+dξ
(p+Δp+dp)A
ω=2πf:角振動数k＝2π/λ: 波数f :振動数[Hz]λ：波長[m]
音圧（定常圧力からの音波による流体圧力変動）に対する流体粒子速度の比 (B)式より
http://www.soundenvironment.jp/
x
y振動面
運動方程式は
f
Au
pAZ
aA cAZ
断熱変化(dq = 0),外部仕事なし(wt = 0),z1 = z2
0
2
22
2
11
22h
uh
uh [J/kg] …(4.51)
h2 – h1 = cp (T2 – T1)
0
2
22
2
11
22T
c
uT
c
uT
pp
…(4.52)
pc
uTT
2
2
0 …(4.53)
動温度のuをマッハ数M、cpをκとRで表す
TMR
RTM
c
u
p
222
2
1
1
22
…(4.54)
全温度T0をMで表したMが↑ほどT0も↑
2
02
11 MTT
…(4.55)
4.2.2. 全エンタルピ(よどみ点エンタルピ) と 2.3. 全温度
dq = dh + u du + g dz + dwt [J/kg] … (4.31)一般エネルギ式
一般的にT0は
h0:全エンタルピ
T0:全温度 T: 静温度
pc
u
2
2
:動温度
4.2.4. 全圧力 pvκ =p0v0κ
T
T
p
p
v
v
p
p 0
0
0
1
0
1
00
p
p
T
T
…(4.57)
全圧力p0は
12
02
11
Mppκ
…(4.58)
状態式pv=RT
1
2
02
11
pv
upp
κ…(4.59)
全温度T0の式
2
02
11 MTT
…(4.55)
RT
u
c
uM
a …(4.50)
全圧力p0をMで表したMが↑ほどp0も↑
…(A-12)等エントロピ過程
全圧力p0は、
状態式pv=RT
uを大きくするには?
管路内の断熱流れの産業的な応用
ロケットの推進力は?
https://www.takagi.co.jp/
)( vumF QT
運動量保存則
FT
v
mQuFT:推進力[N]
mQ:質量流量[kg/s]v:ロケットの速度[m/s]u:流体の排出速度[m/s]
https://ja.wikipedia.org/wiki
4.2.5. 円管路内の断熱流れ等エントロピ流れにおいて、断面Ⅱの温度T2 、および、断面ⅠⅡ間の圧力差Δpを求める。
R
hT
κ
κ 1 …(4.60)
状態式より、
2
1
2
2
21
212211
2
1
1
uu
hh
TTRvpvp
κ
κ
κ
κ
…(4.61)
2
1
2
2122
1uu
RTT
κ
κ
…(4.62)
Δh = cpΔT
22
2
22
2
11
uh
uh
…(4.51)
p1
v1
T1
h1
u2u1
p2
v2
T2 ?h2
l Δp?
AA
I II
□に注目して
●温度T2を求める
u1=u2ならばT1=T2
u1>u2(遅くなる)ならばT1<T2
1
Rcp …(4.46)
=h0:全エンタルピ
圧力差Δp:
2
1
1
2121 1
u
u
T
Tpppp
…(4.64)
p1と断面ⅠとⅡの温度比と速度比で表すことができる。
1
2
1
1
22 p
u
u
T
Tp
…(4.63)
●圧力差Δpを求める。
2
2
1
1
v
Au
v
AumQ
ⅠⅡ間質量保存(連続式):
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
v
v
T
T
v
v
RT
RT
p
p
状態式(ボイル・シャルルの法則):
□に注目
2
1
2
1
u
u
v
v
p1>p2
p1
v1
T1
h1
u2u1
p2
v2
T2 ?h2
l Δp?
AA
I II
(4.64)式より、u1=u2ならばT1=T2 ⇒ p1 = p2
u1>u2ならばT1<T2 ⇒ p1 < p2
u
pp
u
vu
ddd …(4.65)
連続式の微分表現: d(ρAu) = 0
0ddd
A
A
u
u
…(4.66)
dq = dh – vdp = 0dh = vdp
dh + u du = 0
dρ
/ρで
くくっ
た
0d
d11
d
dd1d
2
A
dAp
u
A
A
u
p
u
(4.67)
4.2.6.管路断面積変化と状態量
A
A
M
M d
1
d2
2
…(4.69)
0d1
1d
2
A
A
M
…(4.68)2
22
d
d
M
uc
pa
音速の定義
Audρ + ρAdu + ρudA = 0 ρ+dρu+dup+dpT+dT
ρupT
I II
AA+dA
q = wt = 0の一般エネルギ方程式:
dhを消却
①管路断面積変化と密度
…(4.20)
②管路断面積の変化と速度との関係
A
A
Mu
u d
1
1d2
…(4.70)
③管路断面積の変化と圧力との関係
…(4.71)
A
A
M
M
p
p d
1
dd2
2
…(4.72)
連続式の微分表現:
A
A
M
M d
1
d2
2
…(4.69)0
ddd
A
A
u
u
…(4.66)
ユゴニオの式:
RTcp
a
2
d
d
p
RT
p
p
dd
dd
p
p
1
p
RT
音速の式
状態式
p-1Tρ=R-1
…(4.73)
④管路断面積の変化と温度との関係
A
A
M
M
A
A
M
M
M
M
p
p
T
T d
1
1d
11
ddd2
2
2
2
2
2
-p-2Tρdp + p-1Tdρ+ p-1ρdT = 0d(p-1Tρ) = 0
A
A
M
M d
1
d2
2
…(4.69)
A
A
M
M
p
p d
1
d2
2
…(4.72)
A
A
M
M
T
T d
1
1d2
2
ddd
T
T
p
p
状態式の微分表現:
⑤管路断面積の変化とマッハ数との関係
TTuuuTRM dd2d 22112
T
T
u
u
M
M dd2
d2
2
…(4.74)
A
A
M
M
M
M d
1
2
11
d2
2
…(4.75)
κRを定数として微分を計算RT
uM
22 …(4.50)
マッハ数:
dM2/M2
=2dM/M
A
A
M
M
T
T d
1
1d2
2
…(4.73)
A
A
Mu
u d
1
1d2
…(4.70)ユゴニオの式:
表4.3 管路断面積変化率と物理量の変化 その1
流 路 先 細 管 路 末 広 管 路
流路形状 0d A 0d A
マッハ数 M < 1 M > 1 M < 1 M > 1
密度変化
A
A
M
M d
1
d2
2
0
d
0
d
0
d
0
d
流速変化
A
A
Mu
u d
1
1d2
0d
u
u
0
d
u
u
0
d
u
u
0
d
u
u
A1 A2 u2
u1
A1 A2 u2
u1
超音速ジェット機の噴射口
コン・ダイ・ノズル
http://www.masdf.com/crm/nozzle.shtml
http://www.sankei.com/premium/photos/140817/
表4.3 管路断面積変化率と物理量の変化 その2
圧力変化
A
A
M
M
p
p d
1
d2
2
κ
0
d
p
p
0
d
p
p
0
d
p
p
0
d
p
p
温度変化
A
A
M
M
T
T d
1
)1(d2
2
κ
0
d
T
T
0
d
T
T
0
d
T
T
0
d
T
T
マッハ数変化
A
A
M
M
M
M d
1
2
11
d2
2
κ
0d
M
M
0d
M
M 0
d
M
M
0
d
M
M
流 路 先 細 管 路 末 広 管 路
流路形状
0d A 0d A
マッハ数 M < 1 M > 1 M < 1 M > 1
A1 A2 u2
u1
A1 A2
u2 u1
表4.4 先細・末広管路内の圧力と流速の関係
流 路 先 細 管 路 末 広 管 路
流路形状
0d A 0d A
管路内の
圧力流速
分布
M < 1
M > 1
V
A1 A2 u2 u1
A1 A2
u2 u1
p
u
入口
出口
u p
入口 出口
u p
出口 入口
p
u
入口 出口
4.3.1 ノズルとディフューザ
●ノズル:圧力エネルギを運動エネルギに変換●ディフューザ:運動エネルギを圧力エネルギに変換
http://www.sanwa-ent.co.jp/sanwahps/nozle/nozlejet.htm
シェブロンノズル
●ラバルノズル: 超音速にするため(A)亜音速ノズルの後
方に超音速ノズル（末広管路）を設ける
スロート（のど）部
亜音速 超音速
(A)亜音速ノズル超音速ディフューザ
(B)亜音速ディフューザ超音速ノズル
u u
https://www.kirinoikeuchi.co.jp
/products/unit/1022
温度↑飽和水蒸気量↑温度↓飽和水蒸気量↓ 霧は夜朝の気温の低い時間に発生ノズルだと u ↑⇒T↓
●霧ノズル:
霧の摩周湖http://kam-
kankouken.jp/tourism/masyu/special
/38.html
http://www.geocities.co.jp/MotorCity-Rally/1407/sheb/index.html
4.3.2 ノズル噴出速度
q = 0、wt = 0、z2 = z1
2
2
1
2
221
uuhh
…(4.76)
ノズル噴出速度u2は、
2
1212 2 uhhu …(4.77)
u2 に比べてu1は十分に小さい、u1 = 0と仮定すると、
212 2 hhu …(4.78)
等エントロピ変化のノズル噴出速度u2
⇒比エンタルピの変化
一般エネルギ方程式
twzzguu
hhq
12
2
1
2
212
2 …(4.30)
I II
A2
A1
ρ2
p2
T2
h2
ρ1
p1
T1
h1
u1 u2
(A)亜音速ノズル
u
pveh U
2
121
1
2dd pvhhh
pvvp 11
κ
κκ
κ
κ
κ
κ1
1
21
1
1
2112 1
1
21
1
2
p
pRT
p
pvpu
…(4.82)
ノズル噴出速度u2はp1、p2、v1で表記 p1=p2ならばu2=0
ポアソンの法則pppv
pvu
d2
d2
2
1
11
11
2
12
[m/s]
積分領域を逆にしたのでマイナス
dh=vdp
212 2 hhu …(4.78)
11
11
ppvv
dq = dh – vdp …(4.20)⇐等エントロピ過程
…(4.82)
212 2 TTcu p
…(4.81)
ポアソンの法則
1
1
2
1
2
p
p
T
T
Δh=cpΔT …(4.40) 212 2 hhu
cpを使って元の式(4.78)に戻った!!
●式(4.82)から余談
1
Rcp …(4.46)
1
212 1
1
2
T
TRTu
κ
κ
2211 vpvp
κ
κ
κ
κ1
1
212 1
1
2
p
pRTu
1
1
2
2
1
p
p
v
v
η(ノズル効率): 摩擦作用によりエネルギが小さくなる割合
2
2
2
2
2
21
21 ''
u
u
hh
hh…(4.80)
速度係数ζ: 実際には摩擦作用によりノズル噴出速度u2′はu2
よりも小さい
2
2'
u
u …(4.79)
●ノズルの速度係数ζと ノズル効率η
212 2 hhu 2
2
221
uhh
ζ: 速度係数 0.95～0.98程度
式(4.78)から
4.3.3 ノズル噴出流量
2211 vpvp
1
1
2
12
11
p
p
vv
ノズル出口の比流量:単位断面積を単位時間に通過する流量[kg/(sm2)]
κ
κ
κ
κ
κ1
1
2
2
1
2
1
1
2 1
2
p
p
p
p
v
p
A
mQ
1
1
2
2
1
2
1
1 11
2κ
κ
κ
κ
p
p
p
p
v
p
…(4.84)
質量流量[kg/s]:
2
22222
v
AuAumQ
1
1
2112 1
1
2κ
κ
κ
p
pvpu
…(4.82)
2
2
2 v
u
A
mQ
1
1
2
2
1
2 11
κ
κ
κ
κ
p
p
p
p(4.85)
比流量をψで表すと
1
1
2
2
v
p
A
mQ …(4.86)
ψ(流量関数プサイ)p1、v1、κが
一定。圧力比のみの関数
ポアソン則
4.3.4 臨界状態の流れ a.臨界圧力・臨界密度・臨界温度
(p2/p1)=0と(p2/p1)= 1のとき比流量0(p2/p1) =0～1に比流量極大の圧力比が存在この極大条件は□に注目して、
0dd1
2
1
1
2
2
1
2
p
p
p
p
p
p κ
κ
κ
…(4.87)
式(4.87)を(p2/p1)で微分すると、
11
1
2
12
1
2 12
p
p
p
p
κ
κ
κ0
121
1
2
1
1
2
κ
κ
κ
p
p
p
p
…(4.88)
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
2
11
2κ
κ
κ
κ
p
p
p
p
v
p
v
u
A
mQ …(4.84)
ここが0
uc
p1の圧力を
いくらあげてもu2に臨界値がある。
p1
p2 = pcとおけば
1
1 1
2
κp
pc
1
11
2
κ
κ
κppc
…(4.90)
κ
κ
κ
κ
121
1
2
p
p
1
1
2
1
2
p
p
κ…(4.89)
式(4.88)臨界状態:ノズル出口比流量が極大臨界圧力pc:スロート部Acの圧力で、ノズル入口圧力p1と気体の比熱比κだけに依存
臨界圧力比:比熱比κが変化してもあまり変化せず、0.533～0.58
閉塞（チョーク）:臨界状態のとき、下流の背圧pbを下げてもノズル出口圧力はpc一定で、流量は変化なし。
1p
pc
が0より
臨界圧力比はκのみで書ける
1
2
1
2
1
2 1
1
1
111
κκκ
v
v
p
p
T
T ccc
…(4.93)
●臨界温度Tc
11
cc
p
p
1
1
1 1
2
κ
κ
c
…(4.92)
ポアソンの法則
●臨界密度(臨界比体積)
2211 vpvp
1
1 1
2
κp
pc …(4.90)
1
1
1 1
2
κv
vc
式(4.90)と式(4.92)を掛けると、
1
2
1 κT
Tc
b. 臨界速度
11111
2
1
21
1
2vpvpuc
κ
κκ
κ …(4.94)
臨界速度ucをp1とv1で表した式
1
11
2
κcpp
…(4.95)
κ
1
11
cc p
p
v
v
…(4.96)
1
1
11
2
κ
κcvv
…(4.97)
ccvpvp 11
1
1
2112 1
1
2κ
κ
κ
p
pvpu
…(4.82)
ノズル噴出速度式:
1
1 1
2
κp
pc
…(4.90)
臨界圧力式
ccccccc vpvpvpu
1
)1(
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
κκ
κ
κκκ
κ κκ
κ
…(4.98)=p1 =v1
臨界状態の比容積vc
pcvc＝RTcの状態式より
cc RTu …(4.99)
1
1
22 11
1
p
p
u
u
c κ
κ …(4.100)
p2=0のとき、速度増加率u2/ucは最大値を示す。
1
12
κ
κ
cu
u…(4.101)
ccc vpu …(4.98)
ノズルの臨界速度は音速に等しい
1
1
2112 1
1
2κ
κ
κ
p
pvpu
…(4.82)
111
2vpuc
κ
…(4.94)
●速度増加率:ノズル噴出速度u2と臨界速度ucとの比
c. 臨界流量臨界質量流量mQc
c
c
c
c
c
Qc
v
p
v
u
A
mκ …(4.102)
pcとvcをp1とv1で表す
1
11
1
1
1
1
1
11
2
1
21
1
2
v
p
vp
A
m
c
Qc
κ
κκκ
…(4.103)1
2
11
1
1
2
RT
p
A
m
c
Qc
κ
κ
κκ
臨界比流量mQc/Acは、比熱比κとノズル入口p1とv１のみにより決まる。最終項は、p1v1＝RT1より、mQcをκ、p1、T1で表した。
=pc =1/vc
ccc vpu …(4.98)
1
1 1
2
κp
pc …(4.90)
…(4.92)1
1
1 1
2
κv
vc
比流量:
●臨界状態の流量関数 式(4.85)に式(4.95)を代入してc
1
1
2
1
11 p
p
p
p cccκ
κ
…(4.104)
1
2
1
1
2
11
1
2
11
1
1
2
p
p
p
p
A
A
c
κ
κ
κ
…(4.105)
●末広比A2/Ac:臨界状態のAcに対する出口断面積A2の比
1
1 1
2
κp
pc
…(4.95) 11
2 1
1
κ
κ
κ
c
Ac
A2
…(4.85)
1
1
1
1
1
2
1
2
2
κκ
κ
…(4.103)
1
1
2
2
1
2
1
1
2
11
2κ
κ
κ
κ
p
p
p
p
v
p
A
mQ …(4.84)
末広比A2/Ac:
mQc=mQ
とおく
1
11
1
1
2
v
p
A
m
c
Qc
κκ
●衝撃波 超音速流中 圧力伝搬速度よりも気流速度の方が速い⇒状態変化が不連続に生じる波
速度u1
マッハ数M1
圧力p1
密度ρ1
温度T1
エンタルピh1
速度u2
マッハ数M2
圧力p2
密度ρ2
温度T2
エンタルピh2
上流側1 下流側2衝撃波
質量流束密度保存: 2211 uu 2
22
2
1112 uupp
2
22
2
112
1
2
1uhuh
0
2
22
2
11
22T
c
uT
c
uT
pp
…(4.52)
航走波 衝撃波
衝撃波前後の全温度は一定
Tch p 比エンタルピー
●衝撃波の上下流間の保存則
運動量流束密度保存:
エネルギー流束密度保存:
コンコルド
https://ja.wikipedia.org/wiki
[kg/(m2s)][Pa]=[(kg・m/s)/(m2s)]
[W・m-2]
運動量の保存 流束(Flux)の例流れ 流束 ×[s-1]
(Flux)
流束密度 ×[m-2s-1]
(Flux density)
運動量[kg・m・s-1] 運動量流束[N] 運動量流束密度[Pa]
質量[kg] 質量流量[kg・s-1] 質量流束密度[kg・m-2・s-1]
体積[m3] 体積流量[m3・s-1] 速度分布[m・s-1]
エネルギー[J] エネルギー流束[W] エネルギー流束密度[W・m-2]
熱[J] 熱流束[W] 熱流束密度[W・m-2]
電荷[C] 電流[A] 電流密度[A・m-2]
44
22
3 Du
D
uDuMom
●流体の運動量流束
検査領域体積
Du
D
4
3D
単位体積あたりの運動量[kg/m3][m/s] 流体の検査領域通過時間で割る[1/s]
[N]
Fuuuu
21
p
t
圧縮性のNS方程式
[m/s2]
非圧縮性非粘性z方向のオイラーの方程式
gz
p
z
uu
t
u
1
定常のオイラーの運動方程式
0d
d
d
d g
z
p
z
uu
ベルヌーイの式:単位体積当たりのエネルギー保存則
=[kg/s2m2]const
2
2
gzu
p [Pa]=[N・m/m3]=[J/m3]
[kg・m/(s2m3)]
x
upxx 2
y
u
x
vyxxy
x
w
z
uxzzx
u
xxzxyxx fzyx
uut
u
1
運動量流束密度[Pa]=[(kg・m/s)/(m2s)]
非圧縮性のNS方程式
𝑥𝑦
𝑧
𝜎𝑥𝑥𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜎𝑧𝑧
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑧𝑥
𝜎𝑦𝑦𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑦𝑧
応力テンソル
y-z平面
fuuuu
2
3
11
p
t3方向
μ:第1粘性係数λ:第2粘性係数
[m/s2]
2
22
2
1112 uupp
p1
ρ1
u2u1 p2
ρ2
Δp
AA
I II
圧力差 = 運動量の差
ρ1u12 ρ2u2
2
一方、質量保存(B.1)式から
速度をマッハ数を用いて表すと
2
2
2
1
1
2
2
11
2
11
M
M
T
T
22
11
2
1
1
2
RTM
RTM
u
u
TMR
RTM
c
u
p
222
2
1
1
22
(B.4)
衝撃波前後の密度比は(B.5)と(B.6)より、 2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
11
2
11
M
M
M
M
T
T
M
M
(B.7)
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
11
22
1
2
2
11
2
11
M
M
M
M
T
T
M
M
RT
RT
p
p
(B.8)
(B.5)
(B.6)
●温度比、密度比(質量保存式バージョン)、圧力比をMで表す式(4.52)全温度に式(4.54)動温度を代入
0
2
11
2
11
2
11
2TMT
c
uT
p
衝撃波前後の静温度比は、
衝撃波前後の圧力比は、静温度比、密度比を用いて、
このマッハ数M2を温度比(B.4)式、密度比(B.7)式、圧力比(B.8)式に代入すれば、衝撃波をよぎる気体の状態変化は上流のマッハ数M1で表すことができる。
pMRTMu 222
2
2
2
1
1
2
1
1
M
M
p
p
(B.11)1
1
21
2
2
1
2
1
2
M
M
M
(B.9)
(B.10)
また、式(B.6)より、
式(B.9)を式(B.2)の運動量保存式に代入すると圧力比は、
二つの圧力比式(B.10)と式(B.8)とを等値
●圧力比をM2とM1で表す(運動量保存式バージョン)
●M2をM1で表す
下流のマッハ数M2を上流のマッハ数M1で表せる
1
1
2
1
12
1
2
1
1
2
1
1
1
2
2
11
2
1
M
MM
p
p(B.12)
衝撃波による気体の比容積(密度)の変化は衝撃波前後の圧力比によって決まるので、圧力比が衝撃波の「強さ」を表す。
1
1
11
1
1
2
1
2
2
1
1
2
p
p
p
p
v
v(B.13)
2
1
2
2
2
1
1
2
2
11
2
11
M
M
M
M
2
2
2
1
2
1
1
2
2
11
2
11
M
M
M
M
p
p
●圧力比を上流のマッハ数Ｍ1で表す
●密度比を上流のマッハ数M1で表す「ランキン・ユゴニオ(Rankine-Hugoniot)の式」
(B.7)
(B.11)
(B.8)
(B.11)1
1
21
2
2
1
2
1
2
M
M
M
以降避難しているPPT
4.3.6 背圧変化による末広ノズルの圧力変化 その1
(1) ノズル背圧が臨界圧力より高い （pb > pc
曲線①）
亜音速流れp:スロート部まで減少p:末広部では上昇M :スロート部まで上昇M :末広部では減少
図4.16 末広ノズル内の流れと背圧の関係
M
x
②
④
③②
p1
1
0
0
p1
pc
pb > pc
x
①
③
⑤⑥
④,⑤,⑥
①
スロート部
4.3.6 背圧変化による末広ノズルの圧力変化 その2
(2)ノズル背圧が臨界圧力と等しい場合（pb＝pc
曲線②）
スロート部で臨界状態スロート部は音速末広部では亜音速圧力pは上昇
M :スロート部で1M :末広部で減少
図4.16 末広ノズル内の流れと背圧の関係
M
x
②
④
③②
p1
1
0
0
p1
pc
pb＝pc
x
①
③
⑤⑥
④,⑤,⑥
①
スロート部
4.3.6 背圧変化による末広ノズルの圧力変化 その4
衝撃波はノズル内外で生じることはなく、末広部で適正に膨張し、圧力は減少する。
マッハ数は上昇し、理想的な超音速流れ
図4.16 末広ノズル内の流れと背圧の関係
M
x
②
④
③②
p1
1
0
0
p1
pc
pb=p2
x
①
③
⑤
⑤
①
スロート部
(4)ノズル出口圧力p2
が背圧pbと等しい場合(p2 = pb曲線⑤)
pc
p2 = pb
p2=pb=p適正
4.3.6 背圧変化による末広ノズルの圧力変化 その3(3)ノズル背圧pbが臨界圧力pcよりも多少低い場合（pc> pb)過膨張(曲線④)
p:ノズル出口の衝撃波により圧力上昇M :末広部で上昇M :ノズル内で衝撃波
が生じたところで急激減少
図4.16 末広ノズル内の流れと背圧の関係
M
x
②
④
③②
p1
1
0
0
p1
pc
pc> pb > pf
x
①
③
⑤⑥
⑤,⑥
①
スロート部
④ノズルから離脱す
低'
p2 > pb> p適正pc> pb
pbp適正
p2
4.3.6 背圧変化による末広ノズルの圧力変化 その5
(5)ノズル出口圧力p2
が背圧pbより高い場合(pc > p2 > pb曲線⑥)
図4.16 末広ノズル内の流れと背圧の関係
M
x
②
④
③②
p1
1
0
0
p1
pc
p2 > pb
x
①
③
⑤⑥
④,⑤
①
⑥
スロート部
pb
p2 > pbpc
ノズル内の流れは不足膨張
ノズル出口で膨張波が発生し圧力は背圧pbまで低下
p2