บทที่ 4 x xt y yt z zt t i f o , , , r rt xti yt j ztk r :, o u4.pdf · r rt xti yt j r...
TRANSCRIPT
นยาม ให
kcjbiat
, , ,x x t y y t z z t t I
2
3
: ,
: ,
R R t x t i y t j
R R t x t i y t j z t k
:f
โดเมนของ R
สวนประกอบของ R
บทท 4 ฟงกชนเชงเวกเตอร และอนพนธ4.1 ฟงกชนเชงเวกเตอรของตวแปรเชงเดยว
0
0 0 0 0
lim
lim lim lim lim
t t
t t t t t t t t
R t L
x t i y t j z t k x t i y t j z t k
นยาม ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร และ เปนเวกเตอร แลว มลมตเทากบ ในขณะท เขาใกล แทนดวย
R t x t i y t j z t k L R
L t 0t
0
limt t
R t L
ซงมความหมายวา ส าหรบทก ๆ จ านวน จะมจ านวน ซงส าหรบทก ๆ คา ถาแลว
0 0 t 00 t t
R t L
4.2 ลมตและความตอเนอง
กฎของลมตถาให และ แลว
0 0
lim , limt t t t
F t L G t M
0
limt t
u t A
0
0
0
0
0
1. lim
2. lim ,
3. lim
4. lim
5. lim
t t
t t
t t
t t
t t
F t G t L M
cF t cL c
u t F t AL
F t G t L M
F t G t L M
นยาม ถา แลว มความตอเนองท
ถา มความตอเนองททก ๆ จดในโดเมนของ แลว เปนฟงกชนตอเนอง
มความตอเนองท กตอเมอ และ มความตอเนองท
0
0limt t
R t R t
R t 0t t
R t R t R t
R t x t i y t j z t k 0t t
0t t
,x t y t z t
ตวอยาง จงพจารณาวา เปนฟงกชนตอเนองหรอไม cos sinR t t i t j t k
ตวอยาง จงพจารณาวา มความตอเนองท หรอไม R t a i a ct j 0t
นยาม ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร ซงมความตอเนองบนชวง และ
ถา หาคาได แลวจะเรยก วาเปนอนพนธของ ท เขยนแทนดวย
หรอ
นนคอเมอลมตหาคาได
R I
R 0 0
0limt
R t t R t
t
0t
0t I
0 0
0limt
R t t R t
t
0t t
dR
dt
0R t
0 0
00
limt
R t t R tR t
t
4.3 อนพนธของเวกเตอร
ทฤษฎบท ให เปนฟงกชนเชงเวกเตอร โดยท และเปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธท แลว จะไดวา มอนพนธท และ
,R t x t i y t j z t k t I ,x y y t
z t Rt t
,R t x t i y t j z t k t I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
cF t cF t
uF t u t F t u t F t
F G t F t G t
F G t F t G t
F G t F t G t F t G t
F G t F t G t F t G t
ทฤษฎบท ให และ เปนฟงกชนเชงเวกเตอร เปนฟงกชนคาจรง ซงมอนพนธท และ แลว และ มอนพนธท และจะไดวา
F G u
, , , ,cF uF F G F G F G
ct
F G t
4.4 เวกเตอรสมผสขนาดหนงหนวย เวกเตอรปกตขนาดหนงหนวย และความโคง
ก าหนดเสนโคงเวกเตอรสมผสเสนโคงทจด คอ
การหาสมการเสนสมผส ท าไดโดย1) หาจดสมผส (จดบนเสนโคง)2) หาเวกเตอรสมผส
R t x t i y t j z t k
t a R a
R
เวกเตอรปกตหนงหนวยคอ เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ เมอ แทนดวย
นนคอ
T t 0T t N t
T tN t
T t
เวกเตอรแนวฉากคคอ เวกเตอรหนงหนวยทตงฉากกบและ แทนดวย
นนคอN
T
B
B T N
นยาม ให แทนเสนโคงใน ซง และ เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบ 2 ได แลวเราจะสามารถหาความโคงไดททกจดบนเสนโคง เมอ
ความโคงของเสนโคงทจด คอ
R t x t i y t j z t k 3,x y z
0R t
, ,x t y t z t
T tt
R t
ถา แลว เรยก วา รศมความโคง แทนดวย 0t 1
t
ความโคง
ทฤษฎบท ถา แทนเสนโคงใน ซง และ เปนฟงกชนทหาอนพนธอนดบ 2 ได และ แลว
R t x t i y t j z t k 3,x y z
0R t
3
R t R tt
R t
ความยาวโคง
นยาม ถา และ เปนฟงกชนทหาอนพนธได และแลวความยาวโคงของเสนโคง ระหวางจดทสมนยกบ และ แทนดวย
R t x t i y t j z t k
,x x t y y t a b z z t
t a t b
2 2 2b
a
b
a
dx dy dzs dt
dt dt dt
R t dt
ใน ถาก าหนดใหวตถเคลอนทไปตามโดยท เปนฟงกชนของ ซงหาอนพนธอนดบ 2 ได แลวความเรวของการเคลอนท ณ เวลา ใด ๆ แทนดวย
และจะเรยกขนาดของความเรว วา อตราเรว
และความเรงของการเคลอนท ณ เวลา ใด ๆ แทนดวย
3 , ,R t x t i y t j z t k t a b
, ,x y z t
t V t R t
ds
V t R tdt
a t V tt
4.5 เวกเตอรความเรว และเวกเตอรความเรง
ความเรงสามารถเขยนใหอยในรปของผลบวกระหวาง กบ ได โดยจะอยในรป ดงนโดยท เรยกวา สวนประกอบสมผสของความเรง และ
เรยกวา สวนประกอบปกตของความเรง และ
T N
T Na a T a N
Ta
Na
2
2T
a t V td sa
dt V t
2
N
a t V tdsa
dt V t