第 5 章 控制系统的设计方法5.1 控制系统 Bode图设计方法

一 .Bode 图超前校正设计 超前校正设计是指利用校正器对数幅频曲线具有正斜率的区段及其相频曲线具有正相移区段的系统校正设计。这种校正设计方法的突出特点是校正后系统的剪切频率比校正前的大，系统的快速性能得到提高。 相位超前校正主要用于改善闭环系统的动态特性，对于系统的稳态精度影响较小。

ps

zs

Ts

Ts

su

susG

ic

1

1

)(

)()( 0

Tp

TzCRT

RR

R

1

,1

;;1 121

2

Tps

1

零点T

zs1

极点

由于 α<1 ，因此在 S 平面内极点位于零点左侧。复习《自动控制原理》中关于在系统中串联超前校正装置的特性分析。

选自《自动控制原理》 P196 教材中选 α>1 ，因此与我们讨论的 α<1在零极点数值上有点不同。

1

1)(

Ts

TssGc

1

1sin

m最大超前角

Tm

1最大超前角频率

lg20mcLm 处的对数幅值

α=0.5

α=0.1

α=0.1

α=0.5

时的 Bode 图和 Nyquist图

5.0,,2.0,1.0,1 T

α=0.1

α=0.5

1 ）最大超前相位角 与所对应的频率 随α 的减小而升高，并有关系式。

mm

1

1sin

m

2) 处于两个转折频率的几何中心，即。 m

Tm

1

3 ） 3) 超前校正环节提供的最大相位超前角约在 550~650 之间。若需要更大的超前角，可以采用多个超前校正环节串联。

实现以上 Bode 图和 Nyquist 图的程序（不含图中部分标注）

【例 5-1 】已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为：

试用 Bode 图设计方法对系统进行超前串联校正设计，使之满足：（ 1 ）在斜坡信号 作用下，系统的稳态误差（ 2 ） 系统校正后，相角稳定裕度 γ 有： 43o<γ<48o 。

)1001.0)(11.0(

1)( 0

sssKsGo

ttr 0)( ;001.0 0sse

【解】 (1) 求 K0

10

10

00

000

1000,1000

001.0

sKsKKK

vK

v

K

v

K

ve

v

vss

取

即被控对象的传递函数为：

)1001.0)(11.0(

11000)(0

ssssG

(2) 做原系统的 Bode 图与阶跃响应曲线，检查是否满足题目要求

图 5.1 单闭环系统的 Bode 图

图 5.2 单闭环系统的单位阶跃响应

由图 5.1 和图 5.2 可知系统的：模稳定裕量 Gm≈0.1dB ； -π 穿越频率 ωcg≈100.0s-1 ；相稳定裕量 Pm≈0.1deg ；剪切频率 ωcp≈99.5s-1

(3) 求超前校正器的传递函数

根据要求的相稳定裕度 γ=45o 并附加 10o ，即取 γ=55o 。

100 1000 sKK

根据超前校正的原理，可知 10 1000 sKK v ，取

设超前校正器的传递函数为：1

1)(

Ts

TssGc

为了不改变校正后系统的稳态性能， 中的 α 已经包含在 中)(sGc 0K

计算系统开环对数幅频值。因为增加超前校正装置后，使剪切频率向右方移动，并且减小了相位裕量，所以要求额外增加相位超前角 50~120 。参见后图 1 。为什么？ 1

1sin

m由

m

m

sin1

sin1

得

lg20mcL

Spline—— 立方插值函数

Tm

1由：

m

T1

得：

计算结果为：

（ 4 ）校验系统校正后系统是否满足题目要求

由 Bode 图可知系统的：模稳定裕量 Gm=17.614dB ； -π 穿越频率 ωcg=689.45s-1 ；相稳定裕量 Pm=48.148deg ；剪切频率 ωcp=176.57s-1

计算出的相稳定裕量 Pm=48.148deg ，已经满足题目 43o<γ<48o 的要求。

（ 5 ）计算系统校正后阶跃给定响应曲线及其性能指标

从 File 的 下拉菜单 中选 中→ import 选项选择需要仿真的系统。

选择窗口中的 sys 系统，并用鼠标点击 OK

即可得如图画面。若求响应曲线的性能指标，只需在画面中点击鼠标右键，选择“ Characteristics” 选项，再选择后面的选项得：超调量： sigma=25.6% 峰值时间： tp=0.0158s调节时间： ts=0.0443s

图 1

校正后相角裕度Pm=48.1480

校正后模稳定裕量Gm=17.614 dB

二 .Bode 图滞后校正设计 滞后校正环节的传递函数与超前校正环节的传递函数相似，在滞后校正环节中，极点小于零点，即校正环节的极点位于零点的右面。由于加入一个滞后的相位角，它使得系统变得不稳定，因此，如果原系统已经不稳定或相对稳定裕度很小时，不能采用滞后校正。 滞后校正的特点是通过减小系统的总增益，来增大相对稳定裕度。同时，它有利于减小系统的静态误差。

相位滞后校正的等效 RC 网络如图所示。

其传递函数为：1

1

)(

)()( 0

Ts

Ts

su

susG

ic

其中： CRTR

RRc

,1

2

21

① 最大相位滞后角所对应的频率 ② 在转折频率 处，校正环节的幅值衰减达到

Tm

1

T

1 lg20M

5.2 PID 控制器设计 一 .PID 控制器的控制特性

PID控制器的数学表达式为：

)1

1()( sTsT

KsG di

p

【例 5-2 】 考虑一个三阶对象模型

研究分别采用 P、 PI 、 PD、 PID控制策略闭环系统的阶跃响应。

31

1)(

ssG

(1) 当只有比例控制时， Kp 取值从 0.2~2.0 变化，变化增量为 0.6 ，则闭环系统的MATLAB 程序及阶跃响应曲线如下：

Kp=0.2

Kp=0.8

Kp=1.4

Kp=2.0

由曲线可见，当， Kp 增大时，系统响应速度加快，幅值增高。当， Kp达到一定值后，系统将会不稳定。

（ 2 ）采用 PI 控制时（ Td→0 ），令Kp=1 ， Ti= 取值从 0.7~1.5 变化，变化增量为 0.2 ，则实现该功能的MATLAB 程序及闭环阶跃响应曲线为：

Ti=0.7

Ti=0.9Ti=1.1

Ti=1.5

（ 3 ）采用 PID 控制。令 取值从 0.1~2.1 变化，变化增量为 0.4 ，则实现该功能的MATLAB 程序及闭环响应曲线如下。

dip TTK ,1

Td=0.1

Td=2.1

可见，当Td 增大时，系统的响应速度加快，响应峰值提高

二 .PID 控制器的参数整定（齐格勒—尼柯尔斯法则）

齐格勒—尼柯尔斯调节法则又简称 N-Z 规则。

第一种方法

 

第一种方法也称响应曲线法，是通过实验，求控制对象对单位阶跃输人信号的响应。如图所示。如果控制对象中既不包括积分器，又不包括主导共扼复数极点，则阶跃响应曲线呈 S形。如图所示。

1)(

Ts

KesG

s

如果阶跃响应不是 S 形，则不能应用此方法

1

s

sTs

s

KTsT

sTKsG d

iPc

2/16.05.0

2

11

2.1)

11()(

显然， PID控制器有一个位于原点的极点和一对位于的零点。

1s

第二种方法

2

表中比例度 ，临界比例度 。pK

1

ck K

1

s

TsTKsT

sTKsT

sTKsG c

cccc

cdi

Pc

2/4075.0)125.0

5.0

11(6.0)

11()(

11015121

1)(

sssssG

[例 5.3] 已知被控对象传递函数为：

试用 Z-N 两种整定方法确定控制器参数，并绘制阶跃 响应曲线。

解：

根据开环阶跃响应曲线，可以近似的取 K=1 ， τ=5.35 ， T=20.86-5.35=15.51 作为带有延迟的一阶环节模型。

得 PID 控制器初始参数：kc=4,3Ti=11.8Td=2.9

下面介绍一种已知 PID 初始参数，求最佳 PID参数的方法。参见教材 P136~P141

对于 [例 5.3]，在给定 PID 初始参数 kc=4.3 ， Ti=11.8 ， Td=2.9 时

优化目标函数程序 optm.m

可见，系统性能大大改善。

三 . 基于双闭环 PID 控制的一阶倒立摆控制系统设计

由第 2章可知：对象模型1 1)一阶倒立摆精确模型为：

)72.2(

cos

sinlg.cossin.cos

cos

cossin.sin

20

2220

222

2220

2

22222

mlJmmlm

mmmlmFml

lmmmmlJ

glmmlJmlFmlJx

)82.2(

24.0cos09.0

sin6.cossin09.0.cos3.0

cos09.024.0

cossin9.0.sin036.012.0

2

2

2

2

F

Fx

2 ）若只考虑 θ在其工作点附近 θ0=0 附近（ -100<θ<100 ）的细微变化，则可以近似认为：

1cos

sin

02

)92.2(0.240

8.06

F

Fx

F(s) θ(s) X(s)

一阶倒立摆系统动态结构图

40

0.22

s 2

2 104.0

s

s

电动机、驱动器及机械传动装置的模型假设：选用日本松下电工 MSMA021型小惯量交流伺服电动

机，其有关参数如下：驱动电压： U=0~100V 额定功率： PN=200W额定转速： n=3000r/min 转动惯量： J=3×10-6kg.m2

额定转矩： TN=0.64Nm 最大转矩： TM=1.91Nm电磁时间常数： Tl=0.001s 电机时间常数： TM=0.003s

经传动机构变速后输出的拖动力为： F=0~16N ；与其配套的驱动器为： MSDA021A1A ，控制电压： UDA=0~±10V。

若忽略电动机的空载转矩和系统摩擦，就可以认为驱动器和机械传动装置均为纯比例环节，并假设这两个环节的增益分别为 Kd 和 Km 。

12 sTsTT

Kv

mlm

6.110

16

)(

max

max

U

FK

KKKKsG

s

smvd

模型验证 尽管上述数学模型是经过机理建模得出，但其准确性（或正确性）还需要运用一定的理论与方法加以验证，以保证以其为基础的仿真实验的有效性。

双闭环 PID 控制器设计

F(s) θ(s) X(s)

一阶倒立摆系统动态结构图

40

0.22

s 2

2 104.0

s

s

剩下的问题就是如何确定控制器的结构和参数。

)(/)()(/)( 2211 sDsDsDsD 和

( 一）内环控制器的设计

1 ．控制器结构的选择

)(

)()(

2

1

sP

sPsGc

ccp

cp

cp

P

GsGsG

GsG

sGsG

sG

sR

sYsG

1.

)()(1

)(

)()(1

)(

)(

)()(

)(

1

)(

)(1)()(

sGsR

sYsGsG

cpc 上式近似为：，》

)()(

)(1)()( sG

sR

sYsGsG ppc 上式近似为：，《

其中， Ks=1.6 为伺服电动机与减速机构的等效模型

2 ．控制器参数的整定 首先暂定 K=-20 。这样可以求出内环的传递函数为：

406464

64

(40

0.26.1)20(1

40

0.26.120

)()(1

)(

222

222

2

22

22

pd

dps

s

KsKs

sKKs

ssDsGKK

sGKKW

647.0264

644064

2

2

d

p

K

K解得：

175.0

625.1

2

2

d

p

K

K625.1175.02 sD

系统内环传递函数为： 642.11

64)(

22

sssW

3 ．系统内环的动态跟随性能仿真实验

（二）外环控制器的设计

)642.11(

)104.0(64

104.0

642.11

64)()(

22

2

2

2

212

sss

s

s

s

sssGsW

可见，系统开环传递函数可视为一个高阶（ 4 阶）且带有不稳定零点的“非最小相位系统”，为了便于设计，需要首先对系统进行一些简化处理（否则，不便利用经典控制理论与方法对它进行设计）。

1. 系统外环模型的降阶 （ 1 ）对内环等效闭环传递函数的近似处理

)1(642.11

64)(

22

sssW

)2(1175.0

1

642.11

64)(2

ss

sW

jjjjW

2.1164

64

64)(2.11)(

64)(

222

由（ 1 ）得：

642.11

64)(2

jjW由（ 2 ）得：

10

642 c 25.2c即：

（ 2 ）对象模型 G1(s) 的近似处理

)3(104.0

)(2

2

1 s

ssG

)4(

10)(

21 ssG

由（ 3 ）得： 2

2

2

2

1

4.01010)(4.0)(

j

jjG

由（ 4 ）得： 221

1010)(

jjG

10

104.0 2 c

58.1c)7.5(

5710.

1175.0

1)()(

2212

sssssGsW

近似条件为： 58.1)58.1,52.2min( c

2. 控制器设计

设加入的调节器为 ，同时，为使系统有较好的跟随性能，采用单位反馈 来构成外环反馈通道，如图所示。

)1()(1 sKsD p )1)(( 1 KsD

)1()7.5(

57)()()()(

2121

sKss

sGsWsDsW p

取 2.1c7.5

1

h887.0

7.5

5 1取

)1175.0(

)1(10)(

2

ss

sKsW p

再由“典型Ⅱ型”系统 Bode 图特性（ ）知： cK 1

2.1110 pK 2.1pK

补充知识： Simulink 子系统封装

若想要查看子系统的内容或对子系统进行再编辑，可双击系统模块，则会出现一个显示子系统内容的新窗口，如图所示。

5.3 状态反馈与极点配置 复习《现代控制理论》 P206 配置的设计步骤

第一步，判断系统 是否完全能控，只要完全能控，才能任意配置极点 ,计算原系统的特征方程：

0CB,A,

nnnn asasasAsI

11

1]det[

0

CTC

BTB

ATTA1

1

化 为能控标准型：

1

0

1

1

001

121

2

1

11

aaa

a

a

a

BABBAT

nn

n

n

其中

1

0

0

0

1000

0100

0010

121

B

aaaa nnn

A

第二步，加入状态反馈阵 ，计算 的特征多项式

]11 k,k,k[K nn KBA

112211

*1

*2

*1

*

)()(

1000

0

100

0010

1000

0100

0010

)(

kakakaka

aaaa

KBA

nnnnnn

nnn

)()()()](det[)( 111

11 nnnnnn kaskaskasKBAsIf

第三步，由所给的 n 个期望特征值 ，计算期望的 多项式

n ,,, 21

**1

1*121

* )( nnnn

n asasassssf

第四步，比较两个特征值的系数，从中求出 11 ,, kkk nn

第五步，把对应于 的变换，得到对应于 原状态 x 的反馈阵 k 。

1Tkkkx ，通过的

试设计状态反馈控制器，使闭环系统的极点为 -2 ，闭环系统结构图见教材 P207 图 5.12 。

[ 例 5.2]某受控对象的传递函数为：)2)(1(

10)(

ssssW

11 j

解：① 因为传递函数没有零、极点对消现象，所以受控对象是能控的。可以任意配置极点。

xy

uxx

0010

1

0

0

320

100

010

② 加入状态反馈阵 ，计算的特征多项式 ]123 k,k,k[K KBA

322

13

33222

113

)2()3(

)()()()](det[)(

ksksks

kaskaskasKBAsIf

③ 由所给的期望特征值 -2 ， ，计算期望的多项式 11 j

464112)( 23* sssjsjssf

④ 比较 各项系数 * ff 与

4

4

1

4

62

43

3

2

1

3

2

1

k

k

k

k

k

k

144][ 123123 kkkkkk

F(s) θ(s) X(s)

一阶倒立摆系统动态结构图

40

0.22

s 2

2 104.0

s

s

x

x

x

x

x

x

X

4

3

2

1

)112.2(

0

0

2

0

0006

1000

00040

0010

4

3

2

1

4

3

2

1

BFAXFX

x

x

x

x

x

x

x

x

)122.2(0100

0001

4

3

2

1

CXY

x

x

x

x

x

[ 例 5.2] 已知系统状态方程为：

FX

0

0

2

0

0006

1000

00040

0010

4

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

解：（ 1 ）求原系统开环极点和闭环极点。

结果：

（ 2 ）根据系统性能指标的要求，确定该系统的期望的闭环极点。 假设希望的闭环极点为：

J=[-2, -6.3, -1+j*0.7, -1-j*0.7]；

在 MATLAB工具箱中提供了 Acker( ) 函数用于极点配置设计。

其调用格式为： Acker(A,B,J) 。

对该系统进行封装。 [Edit→Create Subsystem] ，结果如下：

(3) 仿真研究