Прави и равнини в пространството
DESCRIPTION
Аксиоми за правите и равнините в пространството. Взаимни положения на прави и равнини. Ъгъл, определен от права и равнина. Двустенен ъгъл.TRANSCRIPT
![Page 1: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/1.jpg)
Прави и равнини в
пространството
![Page 2: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/2.jpg)
Аксиоми за правите и равнините в пространството
1. Аксиома 1: Ако две точки от една права лежат в една
равнина, то правата лежи в равнината. Ако права и
равнина имат точно 1 обща точка, тогава казваме, че
правата и равнината се пресичат. Общата точка на
правата и равнината се нарича пресечна точка на права
с равнина.
A B
![Page 3: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/3.jpg)
2. Аксиома 2: Ако 2 различни равнини имат обща точка,
то множеството от общите им точки е права. Равнините
се наричат пресекателни (пресичащи се), а общата им
права – пресечница на двете равнини.
α β
M
s
![Page 4: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/4.jpg)
3. Аксиома 3: През 3 точки, които не лежат на една
права, минава само една равнина.
Следствие: През 2 успоредни прави минава само една
равнина.
α β = k
m
C
A
B
![Page 5: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/5.jpg)
o Теорема 1: През права и нележаща на нея точка
минава само една равнина.
Критерии за определяне на една равнина:
1) 3 точки, които не лежат на 1 права;
2) 2 пресичащи се прави;
3) 2 успоредни прави;
4) права и нележаща на нея точка.
= β α
C
B
m
![Page 6: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/6.jpg)
o Теорема 2: През точка, която не лежи на дадена
права, минава само една права, успоредна на
дадената.
β α
A
=
k
m
![Page 7: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/7.jpg)
Взаимно положение на 2 прави
Определение 1: 2 прави, които лежат в 1 равнина и нямат
обща точка, се наричат успоредни ( ║ ) прави.
Определение 2: Две различни прави, които имат обща
точка, се наричат пресичащи се прави.
Определение 3: 2 прави, които не лежат в 1 равнина, се
наричат кръстосани прави.
k
m
m
m
d
d
A
α
β β
α
![Page 8: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/8.jpg)
Теореми за успоредни прави
1. Теорема 1: Ако 1 от две успоредни ( ║ ) прави
пресича дадена равнина, то и другата права
пресича равнината.
2. Теорема 2: 2 различни прави, поотделно успоредни
( ║ ) на трета, са ║ помежду си.
A B
c o
α
α
β
a
b
c
![Page 9: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/9.jpg)
Ъгъл, определен от 2 кръстосани прави
Определение 1: Ъгъл, определен от 2 кръстосани
прави, се нарича ъгълът, определен от 2
пресекателни прави, съответно успоредни на
дадените прави, или ъгълът, определен от едната от
дадените кръстосани и пресичащи я прави,
успоредна на другата кръстосана права.
β
d
c
α c 1
γ
![Page 10: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/10.jpg)
Теорема: Ъгълът, определен от 2 кръстосани прави, не
зависи от избора на пресекателните прави, чрез които го
определяме.
β
d
d
α c
1
γ
![Page 11: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/11.jpg)
Перпендикуляност между две прави
Определение 1: Две прави, които определят прав ъгъл, се
наричат взаимно перпендикулярни ( ) прави.
Определение 2: Ако две отсечки лежат на две
перпендикулярни ( ) прави, се наричат
перпендикулярни ( ) отсечки.
┴
┴ ┴
. . A
c
b
c
D
L F
![Page 12: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/12.jpg)
Перпендикулярност на права и равнина
Определение: Ако една права е перпендикулярна на дадена
равнина, то тя е перпендикулярна ( ) на всяка права от
тази равнина.
Теорема 1: Ако 1 права е на 2 пресекателни прави
от дадена равнина, то тази права е на всяка една
права от тази равнина.
Следствие: Права е на равнина, ако е на
пресекателни прави от нея.
┴
┴ ┴
┴ ┴
. . A
d d 1
α A
1 . .
![Page 13: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/13.jpg)
Теорема 2: Ако една от 2 успоредни ( ║ ) прави е
перпендикулярна на дадена равнина, то и другата
права е на тази равнина.
Следствие: Ако права е на равнина, то правата
пресича равнината.
Теорема 3: Ако 2 прави са на една равнина, то
те са ║ помежду си.
┴ ┴
┴
┴
α
. A
d c
. B
![Page 14: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/14.jpg)
Разстояние от точка до равнина
Определение 1: Ако α е равнина и т. А Є α , т. А Є α и
АА α, тогава казваме, че т. А е ортогонална проекция
на А върху α.
Определение 2: Разстоянието от т. А до нейната
ортогонална проекция върху равнината α се нарича
разстояние от т. А до равнината α.
1
1 ┴ 1
A
A 1 .
.
α
![Page 15: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/15.jpg)
Взаимно положение на права и равнина
В зависимост от разположението на правата и
равнината, съществуват следните варианти:
1) правата лежи в равнината;
2) правата и равнината се пресичат;
3) правата и равнината са успоредни.
Определение: Права и равнина, които нямат обща точка, се
наричат успоредни.
c b
a
α β γ . B
![Page 16: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/16.jpg)
Теореми за успоредност на права и равнина
1. Теорема 1: Ако една права не лежи в дадена
равнина, но е успоредна ( ║ ) на права, която лежи в
равнината, то тя е ║ на равнината.
2. Теорема 2: Ако по права, ║ на равнина, минава
равнина, която пресича първата равнина, то
пресечницата на двете равнини е ║ на дадената права.
α α
β
a
b
p
b
![Page 17: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/17.jpg)
1) Следствие 1: Ако 2 пресекателни равнини минават
съответно през 2 успоредни прави и пресечницата е
различна от тези 2 прави, то тази пресечница е ║ на
всяка от дадените прави.
2) Следствие 2: Ако са дадени равнината α, т. А от нея
и права а ║ α, то правата b, която минава през т. А и
е ║ на а, лежи в α.
p
b
a
α
β
α A
a
. b
![Page 18: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/18.jpg)
3. Теорема 3: Ако една права е ║ на 2 пресекателни
равнини, то тя е ║ и на тяхната пресечница.
α β
a
p
![Page 19: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/19.jpg)
Определение: Ако права е успоредна на равнина,
разстоянието от правата до равнината се нарича
разстоянието от произволна точка на правата до
равнината.
.
.
.
. A B
A B 1 1
α
![Page 20: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/20.jpg)
Взаимно положение на две прави
В зависимост от разположението на 2 равнини в
пространството, можем да определим кога:
1) равнините са пресекателни;
2) равнините са успоредни.
Определение: Две равнини, които нямат обща точка, се
наричат успоредни.
α
β α
β
![Page 21: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/21.jpg)
Теореми за успоредност на равнини
1. Теорема 1: Ако 2 пресекателни прави от една равнина
са успоредни ( ║ ) на 2 прави от друга равнина (≠ от
първата), то двете равнини са ║.
Достатъчно условие за успоредност на две равнини
α
β
a
b
a
b 1
1
![Page 22: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/22.jpg)
2. Теорема 2: Пресечниците на 2 успоредни равнини с
3-та равнина са успоредни.
α
β
p
q
![Page 23: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/23.jpg)
Определение: Разстоянието между 2 успоредни равнини е
разстоянието от произволна точка от едната равнина до
другата равнина.
. . A B
1 1
. . B A
α
β
![Page 24: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/24.jpg)
Ъгъл, определен от права и равнина
1. Определение 1: Ъгъл, определен от неперпендикулярни
прави и равнина, се нарича ъгълът, определен от
правата и ортогоналната й проекция върху равнината.
2. Определение 2: Ако права и равнина са , считаме, че
те определят прав ъгъл.
┴
. .
α
φ
a
b
a
1
![Page 25: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/25.jpg)
Перпендикуляр и наклонени към равнина
Определение: Перпендикулярът от точка към равнина е по-
малък от всяка наклонена от същата точка към равнината.
1. Теорема 1: Ако 2 наклонени от една и съща точка към
дадена равнина са равни, то равни са и техните
ортогонални проекции в равнината и обратно.
α
a
b
. . A
B
M
M 1
![Page 26: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/26.jpg)
Свойства на две наклонени към равнина
1) Свойство 1: Ако две наклонени са равни, то равни
са и ъглите, които те опредeлят с проекционната
равина.
2) Свойство 2: Ако ортогоналните проекции на две
наклонени са равни, то наклонените определят
равни ъгли с проекционната равнина.
3) Свойство 3: По-малката от две наклонени определя
по-голям проекционен ъгъл с проекционната
равнина.
4) Свойство 4: Наклонената с по-малка ортогонална
проекция определя по-голям ъгъл с проекционната
ранина.
![Page 27: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/27.jpg)
Двустенен ъгъл
Двустенният ъгъл е фигура, която се състои от 2
полуравнини (α и β) с общ контур (правата р).
Общият контур р на двете полуравнини на двустенният ъгъл,
се нарича ръб на двустенния ъгъл.
Двете полуравнини - α и β, се наричат стени на двустенния
ъгъл.
φ . .
α
β
p
b
a
![Page 28: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/28.jpg)
Равнина, която е на ръба на двустенния ъгъл, пресича
стените му в 2 лъча, които образуват ъгъл, наречен линеен
ъгъл на двустенния ъгъл.
Определение: Ъгъл, на който върхът лежи на ръба на
двустенния ъгъл, а рамената му са съответно от стените на
двустенния ъгъл и са на ръба му, се нарича линеен ъгъл
на даден двустенен ъгъл.
Теорема: Всички линейни ъгли на един двустенен ъгъл са
равни.
┴
┴
![Page 29: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/29.jpg)
Критерии за сравняване на двустенни ъгли
1) Два двустенни ъгъла са равни, когато линейните
им ъгли са равни.
2) От 2 двустенни ъгъла по-голям е този, който има
по-голям линеен ъгъл.
3) Един двустенен ъгъл се нарича прав, когато
линейният му ъгъл е прав.
4) Ъглополовяща на двустенен ъгъл се нарича
полуравнината с контур ръба на двустенния ъгъл,
която образува със стените на двустенния ъгъл равни
двустенни ъгли.
5) Мярка на един двустенен ъгъл се нарича мярката
на линейния му ъгъл.
![Page 30: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/30.jpg)
Перпендикулярни равнини
Определение: Две равнини, които определят прав двустенен
ъгъл, се наричат перпендикулярни равнини.
1. Теорема 1: Ако права е перпендикулярна ( ) на
дадена равнина, то всяка равнина, която минава
през правата, е перпендикулярна на дадената.
┴
.
α
β
a
p b
![Page 31: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/31.jpg)
Следствие: Ако пресичащата (р) на две равнини (α и β) е
на трета равнина (γ), то всяка от двете равнини е
перпендикулярна на третата (α γ и β γ).
2. Теорема 2: Ако 2 равнини са , то всяка права,
която лежи в едната от двете равнини и е на
пресечницата им, е на другата равнина.
┴
┴ ┴
┴
┴
┴
γ
α β
p
![Page 32: Прави и равнини в пространството](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022020122/54c3ecb74a795970278b45d2/html5/thumbnails/32.jpg)
1) Следствие 1: Ако 2 равнини са перпендикулярни ( ) и
през точка от едната равнина е построен
перпендикуляр към другата равнина, то той лежи
изцяло в първата равнина.
2) Следствие 2: Ако 2 пресекателни равнини са на трета
равнина, то и пресечницата им е на третата
равнина.
┴
┴
┴