Геометрични характеристики на равнини сечения

За решаване на основната задача на СМ освен разпределението на вътрешните усилия трябва да знаем как размерите и формата на напречните сечения влияят на поведението на конструкциите.

При изучаването на напреженията и деформациите възникващи в прътовите конструкции, освен площта на сечението, се използват редица допълнителни геометрични характеристики като: статични моменти, инерционни моменти на сечението, секторни характеристики и др.

Прътовите конструкции обикновено се изграждат от стандартни профили, чиито характеристики са дадени в таблици.

Често обаче се налага съчетаването и комбинирането на стандартни профили с цел задоволяване на определени изисквания към конструкцията.

Понякога самото сечение е със сложна и нестандартна форма (лопатки на корабен винт, на турбина, свредло и т.н.).

За тази цел трябва да познаваме закономерностите за получаване на геометричните характеристики на сеченията.

z500

600

520

y

410

1. Статични моменти. Център на тежестта

Разглеждаме напречно сечение с произволна форма - фиг.1.Координатната система е ориентирана по начина, който използваме за определянето на вътрешните усилия.

F

O

z

y

y

z

dF

-площ на сечението – може да се представи като сума от елементарни площи (1)

фиг.1

][ 2mdFFF

- статични моменти – интеграл от произведението на елементарната площ и разстоянието й до съответната ос

][ 3mydFS

zdFS

F

z

F

y

F

O

z

y

y

z

dF

(2)

- изменение на статичните моменти при транслация на осите

FdF

O

z

y

y1

z1

y1

z1

O1

b

a

y

z

bFSdFbydFyS

aFSdFazdFzS

azzbyy

z

FF

z

y

FF

y

)(

)(

11

11

11

връзките между новите и старите координати се вижда от фиг.2

фиг.2

(3)

-център на тежестта

От (3) се вижда, че с подбор на разстоянията а и b може новите статичните моменти да се анулират. Ако в (3) положим Sy1=0 , Sz1=0 за координатите на центъра на тежестта C ще получим (4):

F

Syb

F

Sza z

cy

c ;

Определение: Ос, спрямо която статичният момент е равен на нула, се нарича централна ос. Пресечната точка на две централни оси се нарича център на тежестта.

За обичайните геометрични фигури са известни площите и положението на центъра на тежестта им. Тогава формули (4) могат да се използват за намиране на съответния статичен момент.

Сложните съставни фигури обикновено се разбиват на n на брой прости фигури и центърът на тежестта на съставната фигура се определя с формули (5).

n

i

n

iicz

cn

i

n

iicy

c

F

Fy

F

Sy

F

Fz

F

Sz

1

1,

1

1,

;

FyS

FzS

cz

cy

2. Инерционни моменти

Необходимостта от познаването на тези геометрични характеристики възниква при определянето на напреженията при огъване и усукване.

Инерционните моменти на сеченията се дефинират по следния начин (6):

нцентробежеyzdFJ

поляренdFJ

осовиdFyJdFzJ

F

yz

F

o

F

z

F

y

2

22

(6)

F

O

z

y

y

z

dF

Те имат размерност [m4]. Съществува аналогия с масовите инерционни моменти използвани в Механиката.

Осовите и полярният инерционни моменти са винаги с положителни стойности, докато центробежният може да бъде положителен, отрицателен или нула.

y

z

Jyz>0

Jyz>0

Jyz<0

Jyz<0 Знакът на центробежния момент се определя от разположението на сечението спрямо осите фиг.3.

фиг.3.

y

z

Jyz=0

+y -y

+z

Центробежният момент на сечение спрямо ос, която е ос на симетрия е винаги равен на нула фиг.4.

фиг.4

Полярният инерционен момент е равен на сумата от осовите инерционни моменти.

zyo

F

zy

F

o

JJJ

JJdFzydFJ

zy

)( 222

222

F

O

z

y

y

z

dF

(7)

y

z

dz

dFz

b

h

Пример 1

правоъгълник с размери b и h

фиг.5

12

123

3

32

2

32

2

22

hbJаналогично

bhzbdzbzdFzJ

z

h

h

h

hF

y

D

z

y

d

dF

d

Пример 2

кръг с диаметър D

фиг.6 642

3242.

40

42

0

42

0

2

0

220

DJJJ

DdddFJ

zy

DD

F

За други типични фигури данни за инерционните моменти могат да се намерят в таблици по Съпротивление на материалите.

Понякога се използват инерционните радиуси, които се дефинират по следния начин:

F

Ji

F

Ji

F

Ji z

zy

y0

0;;

(8)

3. Изменение на инерционните моменти при транслация на координатната система. Теореми на Щайнер

FdF

O

z

y

y1

z1

y1

z1

O1

b

a

y

z

abFaSbSJJ

dFabydFazdFbdFyzdFazbydFzyJ

FbbSJJ

dFbydFbdFydFbydFyJ

FaaSJJ

dFazdFadFzdFazdFzJ

azzbyy

zyyzzy

FF FFFF

zy

zzz

FFFFF

z

yyy

FFFFF

y

11

11

1

1

1

1

)).((

2

2)(

2

2)(

;

11

2

22221

2

22221

11

Търсим инерционните моменти спрямо новите оси y1 и z1 фиг. 2, ако знаем тези спрямо старите оси y и z.

На практика най-често се налага да търсим характеристиките спрямо оси, знаейки тези спрямо централни оси yc ,zc. Тогава статичните моменти са нула и се получават теоремите на Щайнер (10).

abFJJ

FbJJ

FaJJ

yczczy

zcz

ycy

11

21

21

В последната формула разстоянията а и b се вземат със съответния си знак.

(10)

4. Изменение на инерционните моменти при ротация координатната система

F dF

O

z

y

uvu

v

y

z Предполагаме, че са известни геометричните характеристики спрямо произволна координатна система (yOz). Търсим геометричните характеристики спрямо координатна система (uOv) завъртяна на ъгъл фиг.7.

фиг.7

Координатите на точка при ротация на координатната система се дават с известните от Аналитичната геометрия връзки (11):

cossin

sincos

zyv

zyu

(11)

22

2222

22

22

2222

22

cos.2sin.sin.

sincossin2cos

)sincos(

sin.2sin.cos.

coscossin2sin

)cossin(

zyzy

FFF

FF

v

zyzy

FFF

FF

u

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzydFuJ

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzydFvJ

2cos.2sin.2

cos.sin.2cos.cos.sin.

.cos.sin)sin(cos.cos.sin

)cossin)(sincos(

2222

yzzy

yyzz

FFF

FF

uv

JJJ

JJJ

dFzyzdFdFy

dFzyzyuvdFJ

Използвайки известните от тригонометрията връзки (13) получаваме (14):

2cos.2sin.2

2sin.2cos22

2sin.2cos22

yzzy

uv

yzzyzy

v

yzzyzy

u

JJJ

J

JJJJJ

J

JJJJJ

J

2

2cos1sin

2

2cos1cos 22

(13)

(14)

Забелязваме, че ако сумираме първите две уравнения на (14) ще получи

constJJJJJ zyvu 0 (15)

При ротация на координатната система инерционните моменти се изменят, но запазват сумата си постоянна. Следователно ако единият инерционен момент нараства то другият намалява.

За практиката е важно при какъв ъгъл моментите придобиват екстремум.За целта търсим производна на осовите моменти спрямо ъгъла и приравняваме на нула.

02cos.22sin)(2

yzzyuvuu JJJJJJ

Откъдето за ъгъла получаваме:

zy

yz

JJ

Jtg

22 (16)

Оси, спрямо които центробежният момент е равен на нула, а осовите инерционни моменти са екстремални, се наричат главни инерционни оси.

Ако те минават през центъра на тежестта те се наричат главни централни инерционни оси.

Ако повдигнем на втора степен първото и третото уравнение на (14) и ги съберем ще получим едно уравнение на окръжност (17)

2

2

2

2

2

2

2

22

yzzy

yzzy

uvzy

u

JJJ

R

JJJ

JJJ

J

(17)

Екстремалните стойности на инерционните моменти се получават:

2

2

2/1/minmax/ 22 yzzyzy JJJJJ

JJJ

(18)

Понякога е по-удобно ъгълът на завъртане на главните оси да се намира чрез следните формули:

o

yz

y

yz

y

J

JJtg

J

JJtg

90

;

21

min2

max1

(19)