1

Министерство образования Российской Федерации Государственный университет аэрокосмического приборостроения

Кафедра № 3

Преподаватель:

Влада Олеговна Смирнова

Отчёт о лабораторной работе по курсу общей физики

«Крутильный маятник.»

Работу выполнил: Студент группы № 2255

Санкт-Петербург2012

2

1. Цель работы.Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний

моментов инерции твёрдых тел.

2. Теоретическое введение.В работе проверяется соотношение

I(n) = Ixcos2α + Iycos2β + Izcos2γ (1) Для измерения моментов инерции твёрдого тела относительно оси, определяемой

единичным векторомn = { cos α, cos β, cos γ }, n2= cos2α + cos2β + cos2γ = 1 (2)

где α, β и γ – углы между направлениями вектора n и осями координат OX, OY и OZ,

применяется метод крутильных колебаний.

Исследуемое тело жёстко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия,

то он будет совершать колебания. Период этих колебаний равен (3)

где Iм - момент инерции маятника относительно оси вращения. D –постоянная момента упругих сил.

3

Момент инерции маятника равен сумме момента инерции I0 рамки и моментов инерции I исследуемого тела:

Iм = I0 + IПоэтому период колебаний маятника

(4)

Если колеблется свободная рамка без тела, то её период колебаний, очевидно, равен

(5)

Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим

I = I0(T2 – T02) T02 (6)Запишем (6) в виде

I(n) = I0(T2(n) – T02) T02 (7)Закрепим тело в рамке так, чтобы ось

вращения п совпадала с какой-либо его главной осью OX, OY или OZ. Тогда из (7) получим

(8)

где Tx ,Ty и Tz – соответственно периоды колебаний маятника, когда ось его вращения п совпадает с одной из главных осей OX, OY или OZ.

Однородный кубОчевидно, что все три момента инерции куба относительно главных осей OX, OY и OZ

одинаковы:Ix = Iy = Iz

Из (1) с учётом второго равенства (2) находимI(n) = Ix(cos2α + cos2β + cos2γ) = Ix = const (1)

Таким образом, момент инерции однородного куба относительно любой проходящей через его центр оси одинаков.

Симметричный прямоугольный параллелепипедОчевидно, что в этом случае момента инерции параллелепипеда относительно главных

осей OX, OY и соответствующие им периоды крутильных колебаний равны между собой:Ix = Iy , Тx = Тy.

Из (1) и (9) с учётом равенства cos2α + cos2β = 1 - cos2γ

получаемI(n) = Ix(1 - cos2γ) + Izcos2γ (12)

Т2(n) = Т2x(1 - cos2γ) + Т2zcos2γ (13)Таким образом, период крутильных колебаний Т(п) зависит только от угла γ, который

ось вращения образует с осью тела OZ.

Несимметричный параллелепипед

4

Закрепим параллелепипед в рамке так, чтобы ось вращения совпадала с его главной диагональю АВ. Вычислив направляющие конусы, из (9) находим

Т2АВ(a2 + b2 + c2) = Т2xa2 + T2yb2 + Т2zc2 (15)Аналогично, для осей EF, MN и PQ из (9) следует: Т2EF( b2 + c2) = T2yb2 + Т2zc2,

Т2MN(a2 + c2) = Т2xa2 + Т2zc2, (16) Т2PQ(a2 + b2) = Т2xa2 + T2yb2.Обсудим теперь, как можно измерить момент инерции исследуемого тела. В

отношениях (7) и (8) моменты инерции тела выражаются через соответствующие периоды крутильных колебаний и момент инерции I0 свободной рамки. Поэтому, измерив I0, мы сможем найти момент инерции I(n) любого из изучаемых в работе тел.

Для определения момента инерции рамки можно воспользоваться эталонным телом, момент инерции которого Iэ известен. Тогда, согласно (6), имеем

(17)

где ТЭ – период колебаний рамки с закреплённым в ней эталонным телом. (18)

где т – масса куба, а – сторона куба.

3. Таблицы с результатами измерений.

N = 73 т.е. колебания маятника слабо затухающие.Таблица 1

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

2,3522 2,3521 2,3543 2,3505 2,3505 2,3508 2,3509 2,3511 2,3519 2,3513 2,3515 0,0019

Таблица 2T1 T2 T3 T4

3,6705 3,6755 3,6703 3,6748

3,6732 0,00293,6721 3,6761 3,6721 3,6761 3,6732 0,00293,6703 3,6748 3,6705 3,6755

3,6732 0,0029

Таблица 3Tx Ty Tz TAB TEF TMN TPQ a b c

2,7465 3,7428 3,5281 3,0698 2,9598 2,9231 3,581

0,04 0,08 0,122,7466 3,7429 3,5305 3,0740 2,9570 2,9236 3,5838 0,04 0,08 0,122,7467 3,7424 3,5302 3,0702 2,9564 2,9192 3,5845

0,04 0,08 0,12

a2 b2 c2

7,5432 14,0085 12,4474 9,4236 8,7604 8,5445 12,8235

0,0016 0,0064 0,0144

5

7,5438 14,0093 12,4644 9,4494 8,7438 8,5474 12,8436 0,0016 0,0064 0,01447,5443 14,0055 12,4623 9,4261 8,7403 8,5217 12,8486

0,0016 0,0064 0,0144

Таблица 4m a IЭ TЭ T0 I0 Ix Iy Iz

1,35 0,05 0,00039 2,3515 1,7347 0,00047 0,00071 0,00172 0,00148

4. Обработка результатов измерений.

Погрешность моментов зависит от трёх величин ТЭ , IЭ и Т0 , но т.к. ТЭ и Т0 есть результаты прямых измерений и их погрешность имеет порядок 5·10-5 , то ими можно пренебречь.

ΔIx = ΔIy = ΔIz = 0,000000002 [Нм]

Добротность: Q = πN, Q = 3,14·73 = 229,22.

5. Вывод.Мы изучили крутильные колебания и определили методом крутильных колебаний

моменты инерции твёрдых тел.