Міністерство освіти і науки України

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

«ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Факультет ТМ Кафедра «Теорія і системи автоматизованого

проектування механізмів і машин»

Спеціальність «Інформаційні технології проектування»

Курсова робота на тему:

«Дослідження контактних задач

на прикладі зубчатого зачеплення»

Виконавець ст. гр.. ТМ-87Б Мороховська Ірина Василівна

Керівник Грабовський Андрій Володимирович

Харків 2011

2

ЗМІСТ

ВСТУП…………………………………………………………………...…..... 3

1 ОПИС КОНСТРУКЦІЙ…………………………………………..…….…. 4

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ……………………………………………….... 7

3 ТЕОРЕТИЧНІ ДАННІ…………………………………………………... 9

3.1 Основні положення методу скінченних елементів (МСЕ)…... 9

3.2 Основна ідея МСЕ……………………………………………. 10

3.3 Контактні взаємодії…………………………………………….. 12

3.3.1 Рівняння контактного сполучення………………………….. 14

3.4.1 Класифікація моделей тертя ……………………………….. 19

3.4.2 Розширений метод Лагранжа……………………………… 19

4 СТВОРЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ…………………………… 22

4.1 Створення спрощеної геометричної моделі………………… 22

4.2 Задання параметрів матеріалу………………………..………. 24

4.3 Створення СЕ сітки…………………………………………… 24

4.4Закріплення розрахункової моделі…………………………… 26

4.5 Задання контактних пар……………………………………….. 28

5 РОЗРАХУНКИ ……………………………………………………….. 31

ВИСНОВКИ………………………………………………………………. 41

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ…………………………………….... 42

3

ВСТУП

Зубчасті механізми (передачі) – найбільш розповсюджені вузли

приводів приладів, автоматичних систем і зовнішніх пристроїв ЕОМ. Ці

механізми призначені для передачі і перетворення обертального руху ведучої

ланки, наприклад, вала двигуна, у необхідний обертальний або поступальний

рух веденої ланки. Зубчастий механізм відноситься до передач зачепленням з

безпосереднім контактом пари зубчастих. Менше колесо називають

шестірнею, а більше – колесом. Процес передачі руху за допомогою зубців

прийнято називати зубчастим зачепленням.

До основних позитивних властивостей зубчастих передач у порівнянні

з іншими видами передач слід віднести: постійність передаточного числа;

велика надійність і довговічність (40000 год); високий ККД (до 0,97…0,98

одного ступеня); висока навантажувальна спроможність, малі габаритні

розміри у порівнянні з іншими видами передач при рівних умовах; велика

надійність у роботі; простота обслуговування; порівняно малі навантаження

на вали і опори.

До недоліків слід віднести: неможливість безступеневої зміни

передаточного числа; високі вимоги до точності виготовлення і монтажу;

шум при великих швидкостях; погані амортизуючі властивості (що негативно

впливає на компенсацію динамічних навантажень); потреба у спеціальному

обладнанні і інструменті для нарізання зубців; зубчаста передача не охороняє

машину від можливих небезпечних навантажень.

Рисунок 1 - Зубчасте колесо.

4

1 ОПИС КОНСТРУКЦІЙ

Зубчасті механізми застосовують для передачі потужностей від долей

до десятків тисяч кіловат при колових швидкостях до 200 м/с і передаточних

чисел до декількох сотень, з діаметром коліс від долей міліметра до 6 м і

більше.

Механізми класифікують за геометричними і функціональними

особливостями:

а) за взаємним розташуванням осей коліс: циліндричні (мають

паралельні вісі, рис. 1.1, а-д; конічні (вісі коліс пересікаються, рис. 1.1, ж-і);

гіперболоїдні (вісі коліс перехрещуються: гвинтові, рис. 1.1, е); гіпоїдні, рис.

1.1, к; черв’ячні);

б) за розташуванням зубців відносно твірних коліс – прямозубі,

косозубі, шевронні і з криволінійним зубцем;

Рисунок 1.1 - Види зубчастих передач.

5

в) за розташуванням зубців у передачі і колесах – зовнішнє (при

зачепленні коліс із зовнішніми зубцями), внутрішнє (при зачепленні коліс,

одне з яких має внутрішні зубці, а інше – зовнішні зубці, рис. 1.1, д і рейкове

зачеплення, рис. 1.1, г);

г) за профілем зубців коліс – з евольвентним зачепленням, в якому

профілі зубців окреслені евольвентами кіл; з циклоїдальним зачепленням, в

якому профілі зубців окреслені по епі- і гіпоциклоїдам; із зачепленням

Новікова, в якому взаємодіє опуклий профіль зубця одного колеса і угнутий

профіль зубця другого колеса;

д) за конструктивним оформленням – відкриті (не захищені від впливу

зовнішнього середовища і працюють без змащування) і закриті (ізольовані

від зовнішнього середовища);

е) за числом ступенів – одно - і багатоступеневі;

ж) за коловою швидкістю: тихохідні (V≤ 3м/с), середньо-швидкісні

(V=3…15 м/с), швидкісні (V=15…40 м/с), зверхшвидкісні (V > 40 м/с).

з) за характером руху осей: звичайні передачі, які мають нерухомі вісі

всіх коліс; планетарні і диференціальні, у яких вісі одного або декількох

коліс рухомі.

Рисунок 1.2 - Схеми зубчастих передач.

6

Схеми зубчастих передач, які показані на рис.1.1, наведені на рис.1.2.

Коротка характеристика цих передач: передачі зубчасті циліндричні між

паралельними валами (а – з прямими і косими зубцями; б – з шевронними

зубцями; в – внутрішнього зачеплення; г – рейкові); передачі зубчасті конічні

між валами, осі яких пересікаються (д – з прямими, косими і коловими

зубцями; е – гіпоїдна); передачі зубчасті (циліндричні) між перехресними

валами (ж – гвинтова).

Зубчасті передачі можуть знижувати або підвищувати частоту

обертання веденого вала. У понижувальній передачі частота обертання

веденого вала (колеса) менша, а у підвищувальній передачі – більша частоти

обертання ведучого вала (шестірні).

Агрегат з понижувальною передачею (передачами) називають

редуктором, агрегат з підвищувальною передачею називають

мультиплікатором (прискорювачем).

Вибір тієї або іншої передачі обумовлений загальною схемою

механізму, а також технологічними і економічними особливостями. У точних

механізмах застосовують, в основному, такі ж типи зубчастих передач, як і у

загальному машинобудуванні, однак умови їх роботи різні. Зубчасті колеса

силових зубчастих передач працюють при великих навантаженнях на зубцях,

тому при їх проектуванні роблять розрахунки на міцність і довговічність.

Зубчасті колеса приладів і інших подібних механізмів використовують для

передачі і перетворення руху, силові ж навантаження в них малі. У таких

передачах розрахунки на міцність мають другорядне значення, параметри

коліс призначаються за умови технології виготовлення, отримання

необхідних загальних розмірів, повільності ходу і кінематичної точності.

7

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Завдання даної курсової роботи полягає в дослідженні контактних

тисків та напружень на прикладі зубчастого зачеплення (рис. 2.1). Для цього

необхідно розглянути зубчасте зачеплення у трьох положеннях: у полюсі,

вхід у контакт та вихід з контакту.

Етапи роботи:

- Створення геометрії колеса і шестерні в програмному комплексі

Pro/ENGINEER Wildfire 5.0.

- Створення збірки зубчастого зачеплення у першому положенні

(контакт у полюсі) в програмному комплексі Pro/ENGINEER Wildfire 5.0.

- Створення збірки другого і третього положень в CAD системі

SolidWorks 2008 x64 Edition SP4.

- Імпортування збірок моделей в програмний комплекс ANSYS

Workbench 13.0 .

- Створення скінченно-елементної сітки в програмному комплексі

ANSYS Workbench 13.0 .

- Дослідження контактних взаємодій зубчастого зачеплення.

- Порівняння результатів у трьох положеннях.

Моделі передавались з однієї системи в іншу у форматі IGES(.igs).

Перед початком виконання курсової роботи, в якості початкових даних

був отриманий файл з точками, за допомогою якого була побудована

евольвента профілю зуба.

8

Рисунок 2.1 - Загальний вид конструкції зубчастого

зачеплення (перше положення).

Рисунок 2.2 – Профіль зубчастого колеса.

Рисунок 2.3 - Профіль шестерні.

9

3 ТЕОРЕТИЧНІ ДАННІ

3.1 Основні положення методу скінченних елементів (МСЕ)

Метод скінченних елементів (МСЕ) — це числова техніка

знаходження розв'язків інтегральних та часткових диференціальних рівнянь

(ЧДР).

Метод скінченних елементів (МСЕ) виник з потребою розв'язування

складних задач еластичності та структурного аналізу в цивільній, морській та

авіаінженерії. Його розвиток можна відслідковувати ще в роботах

Олександра Хренікова (1941) та Річарда Куранта (1942). При тому, що

бачення двох науковців були неймовірно різними, вони усе ж таки сходились

на найважливішому: розподілення великої неперервної області на менші

домени, які як правило називаються елементами.

У своїй роботі Хреніков розподіляв домен використовуючи принцип

решітки. В той самий час Курант розділяв область на скінченну кількість

трикутних підобластей, які відповідають розв'язкам еліптичних ЧДР другого

порядку, які постають від проблеми скручення циліндра. Внесок Куранта був

еволюційним, тобто спирався на великий багаж знань про такі ЧДР, який

накопичили Рейліг, Рітц та Гальоркін.

Розвиток методу скінченних елементів почався в середині 1950-х років

для потреб аеротруби та структурного аналізу і дістав свого найбільшого

розвитку в Штутгартському університеті в роботі Джона Аргеріса та в

університеті Берклі, а точніше в роботі Рея В. Клафа в 1960-х для

використання у цивільній інженерії. До кінця 1950-х ключові концепції

матриці жорсткості та збір елементів вже існували практично в таких само

формах, в яких вони застосовуються і зараз. В 1965 році на замовлення

НАСА була написана програма NASTRAN, як програмне забезпечення

побудоване для реалізації МСЕ. Сам метод був строго доведений в 1973 році

в публікації Стренга та Фікса — «Аналіз методу скінченних елементів», і з

10 того часу був узагальнений в окрему галузь прикладної математики та

математичного моделювання фізичних систем в великій кількості

інженерних дисциплін, таких як електромагнетизм чи рідинна динаміка.

3.2 Основна ідея МСЕ

Метод скінченних елементів (МСЕ) безумовно являє собою

ефективний чисельний метод розв'язування інженерних та фізичних задач.

Більшість робіт, що описують цей метод, можна умовно розділити на два

напрями, які часто взаємодоповнюють один одного. Перший (теоретичний)

стосується математичного обґрунтування МСЕ. Другий – застосування

методу для розв'язування складних технічних задач.

Метод скінченних елементів є числовим методом вирішення

диференціальних рівнянь, що зустрічаються у фізиці і техніці.

Фундаментальний принцип МСЕ полягає в розбитті вивчаємої області

на елементарні області кінцевих розмірів (скінченних елементів). В кожному

такому елементі невідома функція апроксимується поліномом, ступінь якого

змінюється в залежності від апроксимації задачі, але залишається найчастіше

невисокою. Для кожного елементу апроксимуючий поліном визначається

його коефіцієнтами. Коефіцієнти можуть бути визначені значенням функції в

часних точках, що називаються вузлами елемента. Якщо відома функція в

кожному з вузлів, то є можливість її апроксимації по всій області.

Основна ідея полягає в тому, що будь-яку безперервну величину,

визначену на довільному просторі, наприклад таку, як напруга, переміщення,

тиск, температура можна апроксимувати дискретною моделлю, що будується

на безлічі кусково-безперервних функцій, визначених на кінцевому числі

підобластей. Кусково-безперервні функції визначаються за допомогою

значень безперервної величини в скінченному числі точок даної області.

11

У загальному випадку безперервна величина заздалегідь невідома і

потрібно визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках

області. Дискретну модель, проте, дуже легко побудувати, якщо спочатку

передбачити, що числові значення цієї величини в кожній внутрішній точці

області відомі. Після цього можна перейти до загального випадку. Отже, при

побудові дискретної моделі безперервної величини поступають таким чином:

- в даній області фіксується скінченне число точок. Ці точки

називаються вузловими точками або просто вузлами;

- значення безперервної величини в кожній вузловій точці вважається

змінним, яке має бути визначене;

- область визначення безперервної величини розбивається на скінченне

число підобластей, які називаються елементами. Ці елементи мають

загальні вузлові точки і в сукупності апроксимують форму області;

- безперервна величина апроксимується на кожному елементі

поліномом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї

величини. Для кожного елементу визначається свій поліном, але

поліноми підбираються так, щоб зберігалася безперервність величини

уздовж кордонів елементу.

В моделюванні механічних тіл та конструкцій МСЕ реалізується саме так:

Конструкція розбивається на частини, у яких геометрія легко описується

математично, а саме: прямі лінії, трикутники, прямокутники, піраміди,

призми. Отримані підобласті мають малі кінцеві розміри, звідки й виникла

назва «скінченні елементи». Тоді задаються граничні умови у вузлах

скінченних елементів. Після того, всередині кожного елемента шукане

рішення апроксимується поліномами першого, другого, третього, четвертого

ступеня. При цьому невідомі коефіцієнти при апроксимуючих поліномах

шляхом простих математичних перетворень виражаються через величини, що

мають ясний фізичний смисл.

12

Безперервне тіло представляється у вигляді сукупності скінчених

елементів, жорсткісні властивості кожного з яких розглядаються незалежно

від інших. На границях між скінченними елементами обираються точки –

вузли. Переміщення вузлів приймають в якості основних невідомих.

Для знаходження переміщень, а також деформацій та напружень,

всередині кожного скінченного елементу (СЕ), при цьому знаючи

переміщення вузлів, необхідно вибрати деяку сукупність функцій, яка

дозволить апроксимувати поле переміщень всередині кожного СЕ. Тепер

деформований та напружений стан елемента буде визначатися вузловими

переміщеннями. Тому під СЕ розуміють область тіла в сукупності заданих в

ній апроксимуючих функцій. Це все може призводить до таких проблем, як:

вибір апроксимуючих функцій (визначає точність рішення) та об’єднання СЕ

в єдину систему.

3.3 Контактні взаємодії

У рівняння для контактної взаємодії, у порівнянні зі звичайними

рівняннями МСЕ, необхідно додати кінетичні і кінематичні умови контакту.

Основною умовою є умова непроникності: а саме умова, яка визначає, що два

тіла не можуть взаємопроникати. Загальна умова непроникності не може

бути виражена в якості одного простого для використання рівняння, так що

необхідно розглянути кілька підходів до розробки спеціальних форм для

умов контакту. Розглянемо дві такі форми: форму нормування, яка буде

корисна для методів явної динаміки і форми засновані на проекції

найближчої точки, причому остання в першу чергу корисна для неявних

методів. Тертя трактується як у вигляді класичної моделі кулонівського

тертя, так і у вигляді складних моделей, в яких тангенціальні зусилля

виражені з нормальних і дотичних швидкостей взаємодіючих поверхонь.

Розроблені рівняння для моделі слабкої взаємодії. Існує чотири підходи

13 до вирішення умов контактної поверхні: а) метод множників Лагранжа; б)

метод штрафу; в) розширений метод Лагранжа; г) метод Лагранжа в

збудженнях.

Слабка форма контакту-удару для методів множників Лагранжа

відрізняється від слабкої форми для окремих тіл наявністю нерівностей, які

називають слабкими нерівностями або варіаційними нерівностями. У

методах штрафу, ці нерівності вводяться за допомогою функції Хевісайда.

Дискретизація для контактних задач подібна завданням без контакту за

винятком того, що в методах множників Лагранжа, поля множників

Лагранжа повинні бути апроксимовані. Поля множників Лагранжа являють

собою області, для яких перевіряється умова нерівності на позитивний для

всього контактного сполучення (знак нерівності залежить від виду слабкої

форми; при цьому на множники Лагранжа також можна накласти умови

негативно). Ці обмеження на множники Лагранжа в кінцевому рахунку

припускають, що нормальні сили зчеплення будуть стискаючими. У методі

штрафу нерівності для зчіпних сил з'являються завдяки функції Хевісайда,

яка включена в штрафну силу.

Контактно-ударні задачі відносяться до одних з найбільш складних

нелінійних задач у зв'язку з тим, що відповідна реакція при контактній

взаємодії не є гладкою функцією. Швидкості, перпендикулярні контактному

сполученню, перериваються, коли виникає зіткнення. При використанні

моделі кулонівського тертя, дотичні швидкості також мають розрив уздовж

контактного сполучення, коли враховується стрибкоподібний рух при терті.

Ці характеристики контактно-ударних завдань вносять суттєві труднощі при

часовому інтегруванні визначальних рівнянь і погіршують продуктивність

чисельних методів. Тому правильний вибір методології й алгоритму є

важливим для успішного вирішення даних задач. Такі техніки, як

регулювання, дуже важливі для одержання стійких процедур рішення, але

потрібно розуміти на що вони впливають, щоб не втратити важливі аспекти

14 відповіді контактної реакції.

Реалізація контактно-ударних завдань для загальних задач досить

складна, тому почнемо розгляд з найпростіших прикладів одиничної

розмірності, на яких добре видно як накладаються контактні нерівності.

3.3.1 Рівняння контактного сполучення

Попередні зауваження та умовні позначення. Контактно-ударні

алгоритми в загальновживаних розрахункових програмах можуть обробляти

взаємодію багатьох тіл одночасно, але обмежимося розглядом тіл,

наведених на рисунку 3.1. Побудова контактної моделі для багатьох тіл

аналогічна послідовній побудові моделі взаємодії для кожної з пар тіл.

Позначимо конфігурацію кожного з цих двох тіл окремо як AΩ та BΩ , а

сукупну як Ω . Межі цих тіл позначимо AΓ та BΓ . Також ці тіла

взаємозамінні у тому числі і по механічним властивостям, так як іноді

зручно виражати рівняння в термінах одного тіла, яке називають основним;

тіло A позначимо основним, а тіло B підлеглим. Коли потрібно розділити

змінні поля, які відносяться до конкретного тіла, будемо застосовувати

надрядковий індекс A або B; коли індексу немає, змінні поля відносяться до

об'єднання цих двох тіл.

Таким чином, поле швидкостей ),( tXv відноситься до поля

швидкостей обох тіл, а ),( tA Xv відноситься до швидкостей тіла A.

Контактне сполучення складається з перетину поверхонь двох тіл і

позначається cΓ .

BAc Γ∩Γ=Γ . (3.3.1)

Воно складається з двох фізичних поверхонь, які знаходяться в

контакті, але оскільки теоретично вони співпадають, позначимо їх як

Під час запису рівнянь

компонент контактної поверхні

кожній точці основної контактної

кожної точки ми можемо

основного тіла A

x

A ∧∧

≡ ee 1

На поверхні контакту

тому що нормалі двох тіл

Рисунок 3.1 – Модельна

задача для системи позначень

контактно-ударного завда

поверхню контакту cΓ

рішенні зазвичай ці дві поверхні

збігатися. У таких випадках

буде належати до основної

того, ці два тіла можуть

кількох роздільних поверхнях

все одно будемо позначати

Контактне сполучення є функцією

пошук це одна з важливи

контактно-ударного завдання

час запису рівнянь зручно виражати вектор у вигляді

контактної поверхні. Локальна система координат

точці основної контактної поверхні, зображена на

точки ми можемо записати одиничні вектора, які дотичні

A

y

AA

u∧∧

≡ ee 2 . Нормаль до тіла A можна записати

AA

A2

^

1

^

een ×= .

поверхні контакту справедлива рівність:

BA nn −= , (

нормалі двох тіл спрямовані в протилежних напрямках

Модельна

системи позначень

ударного завдання

15

c . При чисельному

зазвичай ці дві поверхні не будуть

таких випадках позначення cΓ

до основної поверхні. Більш

тіла можуть контактувати по

роздільних поверхнях контакту, але

будемо позначати їх сукупність cΓ .

сполучення є функцією часу і її

з важливих частин рішення

ударного завдання.

вектор у вигляді локальних

система координат, яка задається у

зображена на рисунку 4.3. Для

вектора які дотичні до поверхні

можна записати як

. (3.3.2)

, (3.3.3)

тилежних напрямках.

16

Поля швидкостей можуть бути

виражені в локальних координатах

контактної поверхні:

AT

AAN

AAAAN

A vnenv +=+=∧∧

ννν αα ; (3.3.4)

AT

BAN

ABABN

B vnenv +=+=∧∧

ννν αα , (3.3.5)

де інтервал виміру грецьких підстрочних

індексів дорівнює 2 для тривимірних задач.

Якщо завдання двовимірне, то контактна поверхня вироджується в лінію,

відповідно ми одержимо одиничний вектор x

∧∧

≡ee1 дотичний до цієї лінії;

ранг грецьких підстрочних індексів в рiвняннi (3.3.4), (3.3.5) в даному

випадку 1, а дотична компонента – скаляр. Як було показано вище,

компоненти виражаються в локальній системі координат основної поверхні.

Нормальні швидкості можна записати як

ABBN

AAAN nvnv ⋅=⋅= νν , (3.3.6)

що легко перевірити, виконавши векторне множення для вираження (3.3.4),

підставив туди An і враховуючи той факт, що нормаль ортогональна

одиничному вектору A

i

^

e , дотичному до площини.

Тіла підкоряються стандартним рівнянням. До цього слід додати умови

контакту: тіла не можуть проникати одне в одне і сили зчеплення повинні

задовольняти умові постійності моментів на контактному сполученні. Більш

того, нормальна сила зчеплення на всьому контактному сполученні не може

бути розтягуючою. Можемо класифікувати вимоги до переміщення і

Рисунок 3.2 – Контактне

сполучення із зазначеними

локальними одиничними

векторами на основній

поверхні А

17 швидкостей як кінематичні умови, а до сил зчеплення як кінетичні умови.

Умова непроникності. Для задачі, сформульованої для декількох тіл,

тіла повинні задовольняти умові непроникності. Для пари тіл можемо її

записати у вигляді:

0=Ω∩Ω BA , (3.3.7)

перетин двох тіл являє собою нульову множину. Тобто двом тілам

заборонено частково збігатися, що також можна розглядати як умову

спільності. Умова непроникності сильно нелінійна для задач з великими

переміщеннями, і в загальному випадку не може бути записана у вигляді

алгебраїчного або диференціального рівняння для переміщень. Труднощі

виникають тому, що при довільному русі неможливо передбачити в яких

точках будуть контактувати два розглянутих тіла. Наприклад, як показано на

рисунку 6, якщо тіла обертаються, то точка P може вступити в контакт з

точкою Q, в той час як при довільному відносному русі точка P вступить в

контакт з точкою S. Тому рівняння, яке виражає той факт, що точка P не

проникає в тіло A не може бути записано в загальному вигляді, як це

записано в (3.3.7).

Так як неможливо переписати вираз (3.3.7) для переміщень, зручно

задавати умову непроникності у формі відносних виразів або у формі

приросту на кожному кроці контактного процесу. Відносна форма умов

непроникності застосовується для тих частин тіл A і B, які вже знаходяться в

контакті, тобто для точок на контактній поверхні cΓ . Тоді можемо записати:

( ) cBN

AN

ABAN íà Γ≤−≡⋅−= 0ννγ nvv , (3.3.8)

де B

NAN u νν вводяться

взаємопроникнення двох

які знаходяться в контакті

менш, еквівалентність між

ведеться спостереження

більшості чисельних методів

можливо для точок, які

різних часових інтервалів

Рівняння (3.3.8) може

До контакту нормальні

компоненти повинні

неоднорідності ускладнюють

Рівняння (3.3.8)

контакті або на малій відстані

взаємопроникнення точно

збігаються. Тим не менше

досить репрезентативне

між ними малий. Коли

використовується як основа

(3.3.8) не рекомендується

інтегрована і залежить

Рисунок 3.3 – Термінологія

швидкостей на контактній

поверхні

вводяться в вираз (3.3.7). Тут (N Xγ

взаємопроникнення двох тіл (рис. 3.3). Умова непроникності

ступінь взаємопроникнення

точки на контактній поверхні

щоб вона була негативною

рівняння (3.3.8) виражає той

два тіла знаходяться в

або повинні й далі в ньому

( 0=Nγ ) або повинні розділитися

Коли (3.3.8) виконується

знаходяться в контакті, умови непроникності виконуються

еквівалентність між (3.3.8) і (3.3.7) не дотримується

ереження в декількох окремих точках з плином

чисельних методів, тому що в такому випадку взаємопроникнення

для точок, які близькі, але не лежать на контактній

часових інтервалів.

8) може вносити зосереджені неоднорідності

нормальні швидкості не рівні, в той час як після

повинні задовольняти рівнянню (3.3.

неоднорідності ускладнюють інтегрування дискретних рівнянь

8) корисно тільки для пари точок, які

на малій відстані одна від одної, тому що воно

взаємопроникнення точно тільки в тому випадку, коли

Тим не менше, воно дає точний знак для взаємопроникн

репрезентативне для швидкості відносного руху поверхонь

малий. Коли взаємопроникнення помірно

використовується як основа для обчислення зчіпних сил в контакті

рекомендується використовувати, тому що

і залежить від шляху взаємопроникнення. Далі

Термінологія для

швидкостей на контактній

18

)t,X – це ступінь

непроникності (3.3.8) обмежує

взаємопроникнення будь-якої

контактній поверхні від того,

була негативною. Наприклад

виражає той факт, що коли

знаходяться в контакті, вони

й далі в ньому залишатися

повинні розділитися ( 0<Nγ ).

виконується для всіх точок,

непроникності виконуються точно. Тим не

дотримується, коли за (3.3.8)

точках з плином часу для

випадку взаємопроникнення

на контактній поверхні, для

зосереджені неоднорідності в швидкості.

той час як після зіткнення їх

.8). Ці тимчасові

дискретних рівнянь.

пари точок, які знаходяться в

тому що воно визначає ступінь

випадку, коли дві поверхні

знак для взаємопроникнення і

відносного руху поверхонь коли зазор

взаємопроникнення помірно велике або

зчіпних сил в контакті, рівняння

тому що ступінь Nγ не

взаємопроникнення. Далі ми розглянемо

19 формули, які застосовуються до відносно великого взаємопроникнення.

Відносна дотична швидкість вводиться як:

BT

ATyTxTT YX

vvee −=−=∧∧∧∧

γγγ . (3.3.9)

Середній вираз введено для того, щоб врахувати той факт, що відносні

дотичні швидкості в тривимірному просторі представляють собою

двокомпонентний вектор.

3.4.1 Класифікація моделей тертя

Моделі, які використовуються для підрахунку дотичних зусиль

називають моделями тертя. Існує три основних типи моделей тертя:

кулонівські моделі тертя, які базуються на класичних теоріях тертя;

визначальні рівняння сполучення, які наближають поведінку дотичних сил

рівняннями, подібними до визначальних рівнянь, які використовуються для

опису матеріалу; моделі шорсткості та мастил, які моделюють поведінку

фізичних характеристик сполучення, ґрунтуючись на мікромасштабі.

Немає чіткої межі між цими моделями, багато з них містять у собі

властивості з декількох типів.

3.4.2 Розширений метод Лагранжа

В розширеному методі Лагранжа слабкі умови контакту можна

записати у вигляді

∫Γ

Γ

+=c

dGAL2

2γαλγδδ . (3.4.0)

Використовуючи апроксимацію для швидкості ),( tXv і множника

20 Лагранжа ),( tξλ , отримаємо

∫Γ

Γ

+Λ=c

dG TTTTAL vvv φφαφλδδ

2. (3.4.1)

Візьмемо похідні:

vPvGvGv )(αδλδδλδ CTTTT

ALG ++= , (3.4.2)

де )(αCP визначається з рівняння

∫Γ

Γ= dHTC )(1 γφφβP . (3.4.3)

Після запису слабкої форми

0≥+= ALAL GPP δδ (3.4.4)

та використовуючи рівняння (3.4.0 – 3.4.1), отримаємо

0int =+++− vPGMaff CText λ ; (3.4.5)

0≤Gv . (3.4.6)

Порівнюючи рівняння (3.4.5), (3.4.6) з рівняннями для звичайного

методу множників Лагранжа

0int..

=+−+ λText GffdM ; (3.4.7)

0≤Gv , (3.4.8)

21 і рівняннями для методу штрафних функцій

( ) extC fdPK =+ , (3.4.9)

можна помітити, що розширений метод Лагранжа дає контактні зусилля у

вигляді суми контактних зусиль методу Лагранжа та методу штрафу. Умова

непроникності (3.4.6), така ж, як і у методі множників Лагранжа.

Для статично пружних задач з малими переміщеннями використовуємо

таку саму процедуру, як була наведена вище. Замінюємо залежні змінні

переміщеннями, тобто замінюємо вузлові швидкості вузловими

переміщеннями, і використовуючи відомі співвідношення для методу

множників Лагранжа

≤=

00

extT fd

G

GKλ

(3.5.0)

рівняння (3.4.4 – 3.4.6) можна переписати у вигляді

≤=

+00

extT

C fd

G

GPK

λ. (3.5.1)

Що ще наочніше демонструє той факт, що розширений метод Лагранжа

являє собою синтез методу множників Лагранжа та методу штрафних

функцій.

22

4 СТВОРЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНОЇ МОДЕЛІ

4.1 Створення спрощеної геометричної моделі

Похідні данні для виконання дипломної роботи:

1. Твердо тільна модель зубчастого зачеплення, виконана в CAD

системі Pro/ENGINEER Wildfire 5.0 (рис. 4.1.а).

2. Імпортована модель зубчастого зачеплення в систему ANSYS

Workbench 13.0 (рис. 4.1.б).

а) б)

Рисунок 4.1 – Твердотільна модель зубчастого зачеплення.

Твердотільна модель складається з двох деталей.

Розрахунок твердотільної моделі потребує багато часу та апаратних

ресурсів комп'ютера, ця проблема виникає через необхідність використання

дрібної скінченно-елементної сітки, тому було прийнято рішення розрізати

кожну з деталей на 3-5 частин (рис. 4.2 (а - колесо, б – шестерня)), після

цього частини для сумісної сітки необхідно об’эднати у MultiBody, та

зробити дрібну СЕ сітку беспосередньо в місцях контактів, а також прийняти

до розрахунків не цілу модель, а ії частину (рис. 4.3).

23

а) б)

Рисунок 4.2 – Розрізана модель (перше положення).

Рисунок 4.3 – Частина моделі (перше положення).

а) б)

Рисунок 4.4 – Розрізана модель (а-друге положення, б-третє положенння)

24

4.2 Задання параметрів матеріалу.

У нашому випадку ми не змінюєму тип матеріалу, а залишаемо той що

є – Structural Steel (рис. 4.5). Для того щоб подивитись характеристики

матеріалу необхідно повернутись у вікно проекту та зайти в Engineering Data,

що зображено на рис. 4.6.

Рисунок 4.5 – Вибір матеріалу. Рисунок 4.6 – Характеристика матеріалу.

4.3 Створення СЕ сітки.

Наступним етапом рішення поставленої задачі є розбиття об’єкту на

скінченні елементи. Усі частини деталей будемо бити на сіку методом Sweep,

та за допомогою різноманітних Sizing.

Таблиця 4.1 - Характеристика СЕ сітки.

Кількість вузлів Кількість елементів

1 положення 166883 36737

2 положення (вхід) 215176 48133

3 положення (вихід) 239059 53511

25

Рисунок 4.7 - СЕ сітка для першого положення.

Рисунок 4.8 – СЕ сітка для другого положення.

26

Рисунок 4.9 – СЕ сітка для третього положення.

4.4 Закріплення розрахункової моделі.

Для успішного рішення контактної задачі в скінченно-елементній

постанові, крім створення скінченно-елементної сітки, необхідно коректно

закріпити модель. Етап задання граничних умов – дуже відповідальний, він

потребує розуміння дослідником суті розв’язуваної задачі.

В усіх трьох розрахунках однакові граничні умови:

- Фіксуємо колесо (Fixed Support) (рис.4.10);

- Прикладаємо крутний момент до шестерні проти годинникової стрілки

=3000 Н*м (Moment) (рис.4.11);

- Фіксуємо шестерню, залишаючи 1 обертальну ступінь свободи навколо

осі Z (Joint) (рис.4.12);

27

Рисунок 4.10 – Закріплення колеса.

Рисунок 4.11 - Обертальний момент.

28

Рисунок 4.12 - Закріплення шестерні.

4.5 Задання контактних пар.

Наступним етапом рішення задачі є задання контактних пар. В кожному

із трьох положень, розглянемо по 3 контакти, проаналізуємо тиски і

напруження в них.

Нижче приведені данні по контактам.

Рисунок 4.13 – Для контактів праворуч та ліворуч.

29

Рисунок 4.14 – Для контакта у полюсі.

Рисунок 4.13 - Контакти в першому положенні конструкції.

30

Рисунок 4.14 – Контакти у другому положенні.

Рисунок 4.14 – Контакти у третьому положенні.

31

5 РОЗРАХУНКИ

В приведенній курсовій роботі проводився статичний аналіз, у якому

розраховувались контактні тиски та напруження у трьох положеннях

конструкції: контакт у полюсі, вхід у контакт та вихід із контакта.

У результаті аналізу розрахунків контактних тисків та напружень, були

вилучені данні приведені в табл. 5.1.

Equivalent

Stress, МПа

Total

Deformation, м Pressure, МПа

Frictional

Stress, МПа

Перше

положення 483 0,000162 418,35 4,8

Друге

положення 763,6 0,000178 983,35 139,3

Третє

положення 697,2 0,000229 954,5 127,7

Розлянемо результати детальніше на кожному з положень.

Перше положення (контакт у полюсі). Коефіцієнт перекриття к =2.

Рисунок 5.1 – Еквівалентні напруження.

32

Рисунок 5.2 – Деформації.

Рисунок 5.3 – Сила тертя.

33

Рисунок 5.4 – Тиск у полюсі.

Рисунок 5.5 - Контактний тиск зліва від полюса.

34

Рисунок 5.6 – Праворуч від контакта у полюсі.

Друге положення (вхід у контакт). Коефіціент перекриття к = 2.

Рисунок 5.7 – Єквівалентні напруження.

35

Рисунок 5.8 – Деформації.

Рисунок 5.9 – Сила тертя.

36

Рисунок 5.10 – Тиск при вході в контакт.

Рисунок 5.11 – Зліва від входу.

37

Рисунок 5.12 – Контактний тиск зліва від входу.

Третє положення (вихід з контакту). Коефіцієнт перекриття к = 2.

Рисунок 5.13 – Єквівалентні напруження.

38

Рисунок 5.14 – Деформації.

Рисунок 5.15 - Сила тертя.

39

Рисунок 5.16 – Контактний тиск.

Рисунок 5.17 – Контактний тиск праворуч від виходу.

40

Рисунок 5.18 – Праворуч від виходу.

41

ВИСНОВКИ

В результаті курсової роботи був більш успішно вивчений програмний

комплекс ANSYS Workbench 13.0. Були побудовані зубчасте колесо та

шестерня з евольвентним профілем, з яких склали три положення зубчастого

зачеплення: з контактом у полюси, при вході в контакт та при виході з нього.

Також ці моделі були спрощені в программному комплексі ANSYS

Workbench 13.0 та на розрахунок прийняли частину моделі.

Геометрія колеса та шестерні, а також збірка першого положення

(контакт у полюсі) будувалась в CAD системі Pro/ENGINEER Wildfire 5.0.

Друга та третя збірки моделі зубчастого зачеплення будувались у CAD

системі SolidWorks 2008 x64 Edition SP4. Створена геометрія була корректно

імпортована в ANSYS Workbench 13.0.

В ході роботи проведений розрахунок напружено-деформованого стану

моделі зубчастого зачеплення у трьох положеннях.

Порівнюючи результати між собою було виявлено, що при кожному з

положень, мають місце два контакти з трьох передбачуваних, також

встановили, що найнебезпечніше положення, це положення входу в контакт,

напруження складає 764 МПа.

Таким чином, усі поставлені завдання були виконані. В подальшому

планується проводити більш детальні дослідження.

42

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ІНФОРМАЦІЇ

1. T. Belytschko, Introduction, December 16, 1998.

2. Джонсон К. «Механика контактного взаимодействия». – перевод с

английского М.: Мир, 1989. – 510с., ил.

3. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир,1975.