ΘΕΜΑΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ 05/09/08

(α) Πως ορίζεται η διατμητική τάση τ yz (0.25)? Γιατί όταν ένα πραγματικό ρευστό (μ 0) βρίσκεται σε ισορροπία δεν αναπτύσσονται σε αυτό διατμητικές τάσεις? (0.25) ≠

(β) Να ορίσετε την πίεση 1 atm. Να εκφράσετε αυτή στο S.I. σύστημα μονάδων και να υπολογίστε το ύψος στήλης νερού, πυκνότητας που δημιουργεί αυτήν την πίεση όταν . Δίνεται 1

31000 /Kgr mρ =210 / secg m= 10Kp Nt= ( 0.75 ). Η πίεση του νερού

στην βρύση του μπάνιου είναι 4.5 atm. Πόση δύναμη χρειαζόμαστε για να την κλείσουμε με τον αντίχειρα όταν η διατομή του στομίου της είναι 2 ( 0.25 ). 2cm (γ) Να γράψετε την διανυσματική εξίσωση του Euler και στην συνέχεια, χρησιμοποιώντας για το δ.π. ταχυτήτων q την διανυσματική ταυτότητα

( ) ( ) ( )A B A B B A A curlB B curlA∇ ⋅ = ⋅∇ + ⋅∇ + × + × , να αποδείξετε την Υδροδυναμική Εξίσωση του Lamb (1.5) (δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του Lamb στην περίπτωση που η ροή είναι μόνιμη, αστρόβιλη , το ρευστό ομογενές και ασυμπίεστο και το πεδίο των εξωτερικών

δυνάμεων μηδενικό, ανάγεται στην εξίσωση 212

Pqρ

+ = σταθ. (0.75)

(ε) Πως ονομάζεται η ανωτέρω εξίσωση και ποια είναι η φυσική της σημασία?(0.50) (στ) Ποια είναι η συμβολή του Osborne Reynolds στην Μηχανική Ρευστών? (0.50) (ζ) Να ορίσετε την έννοια της «ροής» του διανυσματικού πεδίου ταχυτήτων δια μέσου μιας απλής ανοικτής επιφάνειας S. Να εξηγήσετε φυσικά την έννοια αυτή, να βρείτε τις διαστάσεις του μεγέθους αυτού καθώς και τις μονάδες του στο S.I. σύστημα ( 0.75)

q

(η) Με ποιες προϋποθέσεις για την ροή και το ρευστό υπάρχει το μιγαδικό δυναμικό

( )f z και ποια είναι η χρησιμότητά του (0.5 μ)? Από την έκφραση του μιγαδικού δυναμικού ( )f z i= Φ + Ψ να εξαγάγετε, με παραγώγιση, τις σχέσεις Cauchy – Riemann (0.5 μ). Με την βοήθεια των σχέσεων αυτών να αποδείξετε ότι το δίκτυο των καμπυλών και , τέμνεται ορθογώνια (0.5 μ). Να αποδείξετε επίσης ότι τόσο το δυναμικό όσο και η ρευματική συνάρτηση

1cΦ = 2cΨ =Φ Ψ είναι αρμονικές

συναρτήσεις (0.5 μ).

(θ) Το μιγαδικό δυναμικό μιας ροής δίνεται από την έκφραση ( )f z = 1(i zz− ) . Να

βρείτε, αν υπάρχουν, σημεία ανακοπής. (0.75) Να εξηγήσετε την ροή που περιγράφει η συγκεκριμένη έκφραση του ( )f z .(0.75) (ι) Ο Αριστοτέλης θέλησε κάποτε να εξακριβώσει αν ο αέρας έχει βάρος. Ζύγισε μιά ελαστική κύστη πρώτα γεμάτη αέρα και έπειτα ξεφούσκωτη. Η ζυγαριά έδειξε και τις δύο φορές το ίδιο βάρος, οπότε ο Αριστοτέλης οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι ο αέρας δεν έχει βάρος. Εξηγείστε, αναλυτικά, που οφείλεται η πλάνη του. (1.0)

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ 7/02/05

ΘΕΜΑΤΑ

(α) Να ορίσετε την έννοια της «ροής» του διανυσματικού πεδίου ταχυτήτων δια μέσου μιας απλής ανοικτής επιφάνειας S. Να εξηγήσετε φυσικά την έννοια αυτή, να βρείτε τις διαστάσεις του μεγέθους αυτού καθώς και τις μονάδες του στο S.I. σύστημα ( 0.75)

q

(β) Να ορίσετε την έννοια της «ολικής εισροής» μάζας ρευστού μέσα στον όγκο V που περικλείεται μέσα σε μια απλή κλειστή και σταθερή στον χώρο επιφάνεια S και να γράψετε την μαθηματική έκφραση της έννοιας αυτής (0.50)

(γ) Να αποδείξετε την εξίσωση συνέχειας tρ∂∂

+ ( )qρ∇ ⋅ =0 που ισχύει σε κάθε

σημείο του πεδίου ροής του ρευστού(0.75) (δ) Ποιος εισήγαγε για πρώτη φορά στην Ιστορία της Μηχανικής Ρευστών την αρχή διατήρησης της μάζας που οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας ? (0.50) (ε) Σε ένα μοντέλο ροής ομογενούς και ασυμπίεστου ρευστού (ρ=σταθ.) το πεδίο ταχυτήτων , σε κάθε σημείο του χώρου (πλην της αρχής Ο), δίνεται από την

έκφραση q =

q

3

k rr

, όπου θετική σταθερά και k r το διάνυσμα θέσης τυχόντος

σημείου του χώρου από την αρχή Ο. (1) αποδείξτε ότι μια τέτοια ροή είναι δυνατή (1) (2) υπολογίστε την Κυκλοφορία Γ κατά μήκος του κύκλου 2 2 1x y+ = (1) (3) υπολογίστε την «ροή» του q δια μέσου της επιφανείας της μοναδιαίας σφαίρας. Μεταβάλλεται η ποσότητα αυτή αν η ακτίνα της σφαίρας διπλασιασθεί? (1.25) (4) εξετάσατε αν υπάρχει δυναμικό ταχύτητας για αυτό το πεδίο ροής και αν υπάρχει να το υπολογίσετε (1.25) (στ) Να γράψετε την εξίσωση του Euler και στην συνέχεια να αποδείξετε την Υδροδυναμική Εξίσωση του Lamb (0.75) (ζ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του Lamb στην περίπτωση που η ροή είναι μόνιμη, αστρόβιλη , το ρευστό ομογενές και ασυμπίεστο και το πεδίο των εξωτερικών

δυνάμεων μηδενικό, ανάγεται στην εξίσωση 212

Pqρ

+ = σταθ. (0.75)

(η) Πως ονομάζεται η ανωτέρω εξίσωση και ποια είναι η φυσική της σημασία?(0.50) (θ) Ποια είναι η συμβολή του Osborne Reynolds στην Μηχανική Ρευστών? (0.50) (ι) Διατυπώστε (με λόγια) και αποδείξτε τον νόμο του Torricelli (0.50)

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΘΕΜΑΤΑ 7ης /02/06

(α) Πως ορίζεται η συμπιεστότητα ενός ρευστού και από τι μετρείται(0.25)? Δείξτε ότι στα αέρια το μέτρο ελαστικότητας είναι ίσο με την εκάστοτε αρχική πίεση του αερίου, όταν οι μεταβολές του είναι ισόθερμες. (0.50)

0P

(β) Πως ορίζεται η διατμητική τάση τ yz (0.25)? Γιατί όταν ένα πραγματικό ρευστό (μ 0) βρίσκεται σε ισορροπία δεν αναπτύσσονται σε αυτό διατμητικές τάσεις? (0.25) ≠

(γ) Ποιος εισήγαγε για πρώτη φορά στην Ιστορία της Μηχανικής Ρευστών τον όρο δυναμικό ταχύτητας? (0.50) Στην έκφραση q = −∇Φ ποια είναι η φυσική σημασία του προσήμου πλήν? (0.50) Με ποια έννοια της Μηχανικής των Ρευστών είναι συνυφασμένο το όνομα Ludwig Prandtl? (0.50) (δ) Να ορίσετε και να εξηγήσετε, από φυσική άποψη, την έννοια της «ολικής εισροής (μεταβολής)» μάζας ρευστού, ανά μονάδα χρόνου, μέσα στον όγκο V που περικλείεται μέσα σε μια απλή κλειστή και σταθερή στον χώρο επιφάνεια S (0.50) (ε) Ποια κατηγορία «ροών» περιγράφεται από την συνάρτηση μιγαδικού δυναμικού

( )f z = Φ + Ψi ?(0.50) Ποια είναι η μαθηματική (γεωμετρική) ερμηνεία και ποια η φυσική, της συνάρτηση μιγαδικού δυναμικού ( )f z i= Φ + Ψ ?(0.50)

(στ) Το μιγαδικό δυναμικό μιας ροής δίνεται από την έκφραση ( )f z = 1(i zz− ) . Να

βρείτε, αν υπάρχουν, σημεία ανακοπής. (0.75) Να εξηγήσετε την ροή που περιγράφει η συγκεκριμένη έκφραση του ( )f z .(0.75) (ζ) Να ορίσετε και να εξηγήσετε, από φυσική άποψη, τον τελεστή Stokes. (0.25) Να ορίσετε επίσης και να εξηγήσετε, από φυσική άποψη, την έννοια της κυκλοφορίας Γ, κατά μήκος οποιασδήποτε απλής κλειστής καμπύλης C μέσα στο πεδίο ροής. (0.25) Να αποδείξετε ότι η ολική ως προς τον χρόνο παράγωγος της κυκλοφορίας Γ, κατά μήκος οποιασδήποτε απλής κλειστής καμπύλης C, ενός ιδανικού ομογενούς και ασυμπιέστου ρευστού (ρ=σταθ.), που υπόκειται σε αστρόβιλο πεδίο εξωτερικών δυνάμεων (ανά μονάδα μάζας), είναι μηδενική. (1.5) (η) Νερό με ρ=σταθ. και μ=0, κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο υπό την επίδραση του βαρύτητας . Να αποδείξετε ότι, αν για κάποια χρονική στιγμή , το πεδίο ταχυτήτων

Oxz(0,0, )g = −g

0t t= ( , 0, )q u w= είναι αστρόβιλο, τότε θα παραμείνει αστρόβιλο για κάθε χρονική στιγμή t. (1.5) (ι) Κυλινδρικό δοχείο, ανοικτό στο επάνω άκρο του, έχει ύψος 20 cm και διάμετρο 10 .Το δοχείο αυτό έχει στον πυθμένα του κυκλική οπή εμβαδού 1 . Στο δοχείο αυτό χύνεται νερό με σταθερή παροχή 140 , οπότε η στάθμη του νερού, μέσα στο δοχείο, αρχίζει να ανέρχεται. Να υπολογιστεί το ύψος στο οποίο θα σταματήσει η στάθμη μέσα στο δοχείο.(0.75)

cm 2cm3 / seccm

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ (12.02.2008) 1. Από την σχέση που εκφράζει τον πειραματικό νόμο της τριβής του Newton να βρείτε τις διαστάσεις του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδους) μ και να γράψετε την μονάδα αυτού στο σύστημα C.G.S.( 0.5 )

2. Σε ένα σύστημα αξόνων, με άξονες την ταχύτητα παραμόρφωσης dudy

και την

διατμητική τάση τ , να σχεδιάσετε τρείς «καμπύλες» που να αντιπροσωπεύουν (α) ένα ιδανικό ρευστό (β) ένα πραγματικό Νευτώνειο ρευστό και (γ) ένα πραγματικό μη Νευτώνειο ρευστό. Δώστε συντομότατη εξήγηση. ( 0.5 ) 3. Να ορίσετε την πίεση 1 atm. Να εκφράσετε αυτή στο S.I. σύστημα μονάδων και να υπολογίστε το ύψος στήλης νερού, πυκνότητας που δημιουργεί αυτήν την πίεση όταν . Δίνεται 1

31000 /Kgr mρ =210 / secg m= 10Kp Nt= ( 0.75 )

4. Ποιες έννοιες της Μηχανικής Ρευστών αποδίδονται στους: Torricelli, Stokes, Hemholtz και Zoukowski? (0.5) Ποιος εισήγαγε για πρώτη φορά στην Μηχανική των Ρευστών την αρχή διατήρησης της μάζας που οδηγεί στην εξίσωση συνέχειας ? (0.5) Ποια είναι η συμβολή του Osborne Reynolds στην Μηχανική Ρευστών? (0.5) 5. Διατυπώστε, αποδείξτε και ερμηνεύστε, από φυσικής πλευράς, την διανυσματική εξίσωση της κίνησης του Euler.( 1.5) 6. Υποθέτουμε ότι η αντίσταση που αναπτύσσεται σε ένα σφαιρικό σώμα, διαμέτρου d, που κινείται με ταχύτητα V μέσα σε ένα ρευστό πυκνότητας

Fρ ,

εξαρτάται μόνον απο αυτά τα μεγέθη , ,d V ρ . Με την βοήθεια της Διαστατικής Ανάλυσης να βρείτε μία έκφραση για την αντίσταση . Ποιός πιστεύετε ότι πρωτοδιατύπωσε αυτήν την σχέση? ( 1 )

F

7. Με ποιές προϋποθέσεις για την ροή και το ρευστό υπάρχει το μιγαδικό δυναμικό

( )f z και ποια είναι η χρησιμότητά του (0.5)? Από την έκφραση του μιγαδικού δυναμικού ( )f z i= Φ + Ψ να εξαγάγετε, με παραγώγιση, τις σχέσεις Cauchy – Riemann (0.5). Με την βοήθεια των σχέσεων αυτών να αποδείξετε ότι το δίκτυο των καμπύλων και , τέμνεται ορθογώνια (0.5). Να αποδείξετε επίσης ότι τόσο το δυναμικό όσο και η ρευματική συνάρτηση

1cΦ = 2cΨ =Φ Ψ είναι αρμονικές

συναρτήσεις (0.5 ). 8. Νερό με ρ=σταθ. και μ=0, κινείται στο κατακόρυφο επίπεδο μόνο υπό την επίδραση του βαρύτητας . Να αποδείξετε ότι, αν για κάποια χρονική στιγμή , το πεδίο ταχυτήτων

Oxz(0,0, )g = −g

0t t= ( , 0, )q u w= είναι αστρόβιλο, τότε θα παραμείνει αστρόβιλο για κάθε χρονική στιγμή t. (1.5) 9.(α) Διατυπώστε (με λόγια) και αποδείξτε τον νόμο του Torricelli. Τι ονομάζεται ύψος Ολικής Ενέργειας, σε τι μετρείται και ποιά είναι η φυσική του σημασία? (0.75 )

1

ΘΕΜΑΤΑ

(α) Ποιος εισήγαγε για πρώτη φορά στην Ιστορία της Μηχανικής Ρευστών τον όρο δυναμικό ταχύτητας? Στην έκφραση q = −∇Φ ποια είναι η φυσική σημασία του προσήμου πλήν? Με ποια έννοια της Μηχανικής των Ρευστών είναι συνυφασμένο το όνομα Ludwig Prandtl? (1.5) (β) Ποια κατηγορία «ροών» περιγράφεται από την συνάρτηση μιγαδικού δυναμικού

( )f z = Φ + Ψi ? Ποια είναι η μαθηματική (γεωμετρική) και ποια η φυσική ερμηνεία της συνάρτησης αυτής?(1.0) (γ) Κυλινδρικό δοχείο, ανοικτό στο επάνω άκρο του, έχει ύψος =20 και διάμετρο =10 .Το δοχείο αυτό έχει στον πυθμένα του μικρή κυκλική οπή εμβαδού =1 . Στο δοχείο αυτό χύνεται νερό με σταθερή παροχή

h cmd cmS 2cm .Qεισ =140

, οπότε η στάθμη του νερού, μέσα στο δοχείο, αρχίζει να ανέρχεται. Να υπολογιστεί το ύψος

3 / seccm.zτελ στο οποίο θα σταματήσει η στάθμη μέσα στο δοχείο. Με τα

δεδομένα που έχετε, να υπολογίσετε τον ρυθμό με τον οποίο θα ανήρχετο η στάθμη του νερού μέσα στο δοχείο εάν δεν υπήρχε η οπή στο κάτω μέρος αυτού. Ο ρυθμός αυτός είναι ο ίδιος όταν υπάρχει η οπή ή όχι και γιατί?(1.5)

(δ) Το φυσικό μέγεθος Pgρ

, όπου η πίεση του ρευστού,P ρ η πυκνότητα και g η

επιτάχυνση της βαρύτητας τι διαστάσεις έχει, πως ονομάζεται και ποια είναι η φυσική του ερμηνεία?. Αποδείξτε, με την βοήθεια της Διαστατικής Ανάλυσης, ότι ο αριθμός Reynolds είναι αδάστατος και δώστε την φυσική του σημασία. (1.0) (ε) Εξηγείστε, με εφαρμογή των αρχών της Μηχανικής Ρευστών, γιατί η δέσμη νερού που εκρέει από την βρύση του νιπτήρα στενεύει καθώς το νερό κινείται από το στόμιο της βρύσης προς την λεκάνη του νιπτήρα (1.0) (στ) Σε ένα μοντέλο μόνιμης, επίπεδης ροής ιδανικού, ομογενούς και ασυμπίεστου ρευστού (ρ=σταθ.), χωρίς επίδραση εξωτερικού πεδίου δυνάμεων, το πεδίο ταχυτήτων q , σε κάθε σημείο του επιπέδου (πλην της αρχής Ο), δίνεται από την

έκφραση = q n

k rr

, όπου θετική σταθερά, k n R∈ και r το διάνυσμα θέσης

τυχόντος σημείου του επιπέδου από την αρχή Ο. (1) Για ποιά τιμή του μια τέτοια ροή είναι δυνατή? (1.0) n(2) Υπολογίστε την Κυκλοφορία Γ κατά μήκος του κύκλου 2 2 1x y+ = (1.0) (3) Υπολογίστε την «ροή» του q δια μέσου της κυλινδρικής επιφανείας που έχει βάση τον κύκλο και ύψος την μονάδα. Τι έκφράζει αυτή η «ροή»? Μεταβάλλεται η ποσότητα αυτή αν η ακτίνα του κύκλου διπλασιασθεί? (1.0) (4) Να αποδείξετε, με οποιονδήποτε τρόπο, ότι κατά την κίνηση του ρευστού αυτού η

ποσότητα 2

2

12

kPr

ρ+ , όπου η πίεση του ρευστού, παραμένει σταθερή (1.0) P