лабораторные работы
TRANSCRIPT
4
1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию построения мате-
матических выражений и выполнять элементарные вычисления в программе Maple 14. Для этого необходимо: а) познакомиться с математическими операция-ми в Maple 14, б) научиться задавать порядок вычислений в выражениях, в) познакомиться со встроенными константами Maple 14, г) научиться объявлять переменные и задавать их значения, д) познакомиться со встроенными математи-ческими функциями Maple 14.
2. Основные правила работы в Maple 14. Константы, переменные, опера-ции, функции
Внешний вид окна Maple 14 представлен на рис. 1.1. Работа с формулами про-водится по секциям «вход-выход». Каждая секция автоматически обозначается левой квадратной скобкой, объединяющей строку ввода (командную строку) и полученный результат.
Командные строки начинаются с оператора > и имеют красный цвет, а резуль-таты, автоматически выравниваемые по центру, окрашены в синий. Оператор на-чала ввода > вставляется на листовое поле щелчком по кнопке [> панели инстру-ментов Maple 14, причем одновременно появляется левая квадратная скобка, ме-няющая, по мере необходимости, свою длину [1].
Рис. 1.1. Окно программы Maple 14
5
Оператор ; (точка с запятой) выводит результаты вычислений на рабочий лист. Если командная строка заканчивается им, то в каком бы месте строки ни находил-ся курсор, после щелчка по кнопке ! (восклицательный знак) на панели инстру-ментов или нажатия <Enter> выполняются вычисления, результаты которых вы-водятся на рабочий лист. Например [1],
> 1 + 2; 3
> 2*3 + 1; 7
> sin( Pi/6 ); 12
В Maple 14 применяются круглые, квадратные и фигурные скобки. Назначение круглых скобок — задавать порядок при построении математических выражений и обрамлять аргументы функций и параметры в записи команд. Квадратные скобки нужны для работы с индексными величинами. Фигурные скобки используются для формирования множеств [2].
Последний, предпоследний и предпредпоследний результаты Maple 14 сохра-няет под именами %, %%, %%%, соответственно [1].
Например, > cos(Pi/3);
12
>%^2 14
Математические выражения составляются с использованием констант, пере-менных, знаков арифметических и других операций. Последовательность выпол-нения арифметических операций соответствует математическим правилам: снача-ла проводится возведение в степень ^, затем умножение * и деление /, а в конце — сложение + и вычитание –. Операции выполняются слева направо, для изменения порядка вычисления используются круглые скобки. Для операций отношения имеются знаки >, <, >=, <=, <>, =; для конструирования логических выражений используются операции not, or, and. Обратный слеш \ используется для переносов. Для комментариев в Maple 14 предусмотрен символ # (решетка), вся строка после этого символа не выполняется [2].
В Maple 14 представлены все математические константы (табл. 1.1). Имена констант являются зарезервированными, их значения не могут быть переопреде-лены в отличие от переменных.
6
Таблица 1.1
Математические константы
Имя Описание Pi Число π E Основание натурального логарифма (число e) I Мнимая единица (квадратный корень из –1) Infinity Бесконечность gamma Константа Эйлера true, false Логические константы (истина, ложь)
Имя переменной в Maple 14 — это набор символов, начинающихся с буквы,
причём большие и малые буквы различаются. Кроме букв могут употребляться цифры и знак подчеркивания (наример, Old, old, o_1d).
В качестве имен переменных запрещено использовать ключевые слова Maple 14: and, break, by, catch, description, do, done, elif, else, end, error, export, fi, finally, for, from, global, if, in, intersect, local, minus, mod, module, next, not, od, op-tion, options, or, proc, quit, read, return, save, stop, then, to, try, union, use, while. Кроме того, не рекомендуется в качестве имён переменных использовать имена встроенных функций Maple 14.
Для обозначения служебных констант используются имена, начинающиеся со знака подчеркивания. Неопределенные константы, возникающие при решении дифференциального уравнения, именуются _С1, _С2 и т. д. Произвольное целое число обозначается как _N1, _N2, и т.д., а комплексная величина соответственно как _Z1, _Z2 и т.д. [2].
Для присвоения значений переменной используется := (двоеточие и равно). Для просмотра содержимого переменной простого типа нужно лишь ввести имя переменной. Например,
> a := 1; 1
> a; 1
Степень ху вводится с использованием операции ^: > х^у;
xy Квадратный корень из неотрицательного числа х обозначается как sqrt(x). На-
пример, > sqrt(9);
3
Показатели степени, имеющие вид mn
, заключаются в круглые скобки [1]. На-
пример, > 27^ (1/3);
7
27(1/3) Вычисления числовых выражений проводятся c помощью функции evalf(a, n),
где a — числовое выражение; n — необязательный параметр, определяющий чис-ло значащих цифр. По умолчанию n = 10, значение n переустанавливается гло-бальной переменной Digits. В частности, продолжение приведенных выше вычис-лений дает
> evalf(%); 3.000000000
Необходимость скобок при вводе степени с показателем nm
объясняется тем,
что операция возведения в степень имеет приоритет выполнения высший, чем операции умножения и деления [1]:
> х/у^z;
z
xy
> x/y*z; xzy
В программе Maple 14 много встроенных функций. В табл. 1.2 представлен краткий перечень математических функций. С полным перечнем функций можно познакомиться, обратившись к справочной системе программы. Нажав <F1>, вы найдете необходимую информацию.
Таблица 1.2
Математические функции
Имя Описание 1 2
exp(x) Экспонента ex ln(x), log(x) Натуральный логарифм ln x log10(x) Десятичный логарифм ln x log[a](x) Логарифм loga x sqrt(x) Квадратный корень x n! Факториал n! abs(x) Модуль x round(x) Округление к ближайшему целому числу trunc(x) Округление путем отбрасывания дробной части числа floor(x) Округление к меньшему целому числу ceil(x) Округление к большему целому числу sin(x) Синус sin x cos(x) Косинус cos x
8
Окончание табл. 1.2
1 2 tan(x) Тангенс tan x arcsin(x) Арксинус arcsin x arccos(x) Арккосинус arccos x arctan(x) Арктангенс arctan x sinh(x) Гиперболический синус sinh x cosh(x) Гиперболический косинус cosh x tanh(x) Гиперболический тангенс tanh x
Тригонометрические функции работают в радианной мере. Для преобразова-
ния градусной меры в радианную используется функция convert(). Например, > convert(Pi, dergees);
180 degrees или обратное преобразование
> convert(90 degrees, radians); 1 π2
Логарифмы logа b набираются в виде log [a] (b), в частности: > log [2] (8);
3
Например, необходимо вычислить 8 2
1 1log 7 log 548 25+ . Решение следующее:
> (48^(1/log[8](7)) + 25^(1/log[8](7)))^(1/2); 3 (2) 3 (2)
(7) (5)48 25ln ln
ln ln+ > evalf(%);
9.684250641 3. Задания 3.1. Задайте переменную x и присвойте ей значение 0,5. 3.2. Задайте переменную y и присвойте ей значение 3. 3.3. Задайте переменную z и присвойте ей значение 5.
3.4. Вычислите 2 cos(60 )1
2
x−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
3.5. Найдите значение выражения log 57 xz+ . 3.6. Вычислите [5]: а) 24tgx + 24y + 6π – 4;
б) 2
2 2
27 75 5log ((5 5)(5 1)) log5 1
xx x
x− −
−
⎛ ⎞−− − + ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
;
9
в) 2( 1 ) ( 4 2 )
x z
y z x x
e −
+ + + + + .
3.7. Найдите значение выражения 557 1427 ⋅⋅ .
3.8. Найдите значение выражения 7 32 tg(37 )9 4
⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
.
3.9. Вычислите [5]:
а) 2log (4 )
22 2
147log ( log (sin(0,25 )))
x
x x+;
б) 2
2log (4 7 2 )
((2 cos 1)(7 3))!x z x
x z+ + −
− −;
в) 21
2
sin(1 2 )2 8
zxx x
−− −− −
;
г) 4
5 52 4 3 3+ ⋅ ;
д) 2 2 π1 ( 2 sin ).2yy x x z− − +
4. Контрольные вопросы 4.1. В каком порядке выполняются арифметические операции? 4.2. Каково назначение скобок при записи выражений? 4.3. Как записать степень числа в программе Maple 14? 4.4. Какое назначение имеет ! (восклицательный знак) на панели инструментов
Maple 14? 4.5. Как преобразовать градусы в радианы? 4.5. Как получить числовое значение выражения? 4.6. Как вычислить натуральный логарифм числа?
10
2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ»
1. Цель работы Цель данной лабораторной работы — освоить технологию построения и фор-
матирования графиков средствами пакета прикладных программ Maple 14. В па-кете Maple 14 имеется ряд функций двумерной и трехмерной графики. В настоя-щей лабораторной работе рассматриваются основные приемы построения графи-ков с помощью функций графической библиотеки plots.
2. Используемые функции Для построения двумерных графиков функций в Maple 14 используется гра-
фическая библиотека plots, и встроенная функция plot(выражение, диапазон зна-чений аргумента по горизонтальной оси, диапазон значений аргумента по верти-кальной оси, цвет, толщина линий). При этом обязательными параметрами явля-ются выражение и диапазон значений аргумента по горизонтальной оси. Диапа-зон значений аргумента по горизонтальной оси задается в виде min max..x x x= . Диа-пазон значений аргумента по вертикальной оси задается в виде min max..y y y= .
Например, пусть требуется построить график функции cos( )y x= на отрезке (–2π, 2π) [1]. Для построения указанного графика необходимо ввести
> plot(cos(x), x = –2*Pi..2*Pi); Результат выполнения функции plot() представлен на рис. 2.1.
Рис. 2.1
11
Выделив полученный график щелчком левой кнопкой мыши, можно изменить его размер. Если щелкнуть по графику правой кнопкой мыши, то появится кон-текстное меню для его форматирования. С помощью контекстного меню график можно заключить в рамку, изменить вид координатных осей, изменить толщину, тип или цвет линий, а также добавить заголовок графика и легенду.
Если функция принимает бесконечное значение в какой-либо точке, то в спи-ске аргументов встроенной функции plot() следует указать дополнительный пара-метр discont = true. Кроме того, может потребоваться ограничить диапазон ото-бражения графика по вертикальной оси [2]. Например, построим график функции
( )y tg x= на отрезке (–π, π). Для этого в командной строке вводим: > plot(tan(x), x = –Pi..Pi, discont = true); Полученный график представлен на рис. 2.2.
Рис. 2.2
Для построения графика функции, заданной параметрически, используется следующий формат функции plot():
plot([func1(t), func2(t), t = a..b], <options>), где func1(t), func2(t) — функции координат, зависящие от параметра; a, b — ин-тервал изменения параметра. Параметр options включает в себя дополнительные опции; например, numpoints — для указания числа точек при построении кривой; coords — для указания типа системы координат; title — для введения заголовка и т.д. При построении графика функции, заданной в полярных координатах, в спи-ске параметров указывается coords = polar [3].
Например, нам необходимо построить график функций
12
( ) sin 2 ,( ) cos3 .
x t ty t t
=⎧⎨ =⎩
Для этого в командной строке вводим [2]: > plot ([sin(2*t), cos(2*t), t = 0..4*Pi]); Полученный график представлен на рис. 2.3.
Рис. 2.3
Для доступа к другим встроенным функциям пакета plots в командной строке вводим:
> with(plots): — открываем пакет. На экране отобразится перечень графических функций паке-та plots, для изучения которых можно обратиться к справочной системе Maple 14. Выделив любую функцию списка и нажав <F1>, пользователь попадает на стра-ницу системы Help с описанием этой функции и примерами её применения.
Построение поверхностей происходит аналогично построению кривых на плоскости. Графическая функция ядра Maple 14, предназначенная для построения поверхностей, имеет следующий формат:
plot3d(f(x, y), x = a..b, y = c..d), где f(x,y) — функция, график которой требуется построить; диапазоны значений аргументов x и y задаются в виде x = a..b, y = c..d.
Параметрически заданные поверхности строятся с помощью функции plot3d(), имеющей формат:
plot3d([f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)], u = a..b, v = c..d),
13
где f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v) — функции координат, зависящие от параметра; a..b, c..d — интервалы изменения параметров [1].
Пусть требуется построить параболоид, заданный уравнением 2 2z x y= + . В командной строке Maple 14 вводим
> plot3d(x^2 + y^2, x = –1..1, y = –1..1); Полученный график представлен на рис.2.4.
Рис.2.4
Форматирование трехмерного графика осуществляется аналогично формати-рованию двумерного графика с помощью контекстного меню. Так, для добавле-ния координатных осей щелкаем правой кнопкой мыши по графику и, открыв контекстное меню, переходим на строку Axes, затем в ниспадающем меню выби-раем, например, вид координатных осей Normal. Заметим, что после щелчка левой кнопкой мыши по графику указатель мыши меняет свой вид на изогнутую стрел-ку. Удерживая левую кнопку мыши, можно повернуть трехмерный график так, чтобы получить наилучший угол обзора.
3. Задания 3.1. Постройте графики функций:
23а) ( ) (1 )( 2 2);f x x x x= + + −
2
2 9б) ( ) ;1
xf xx−
=−
3 2
2
4 3 2 2в) ( ) ;4
x x xf xx
+ − −=
−
14
г) ( ) 2 1 cos ;f x x x= + + д) ( ) 2sin(2 1);f x x= − е) ( ) 0,5 2 xf x x −= + на отрезке [0, 5]; ж) ( ) sin(3 2) 1;f x x= − + з) ( ) arcsin( 2);f x x= − и) ( ) 1 sin( 1);f x x x= + + − к) ( ) 2cos(2 1);f x x= − + л) ( ) 4f x x x= + − в области определения;
3
м) ( )3
x xf x −= на отрезке [–4, 4];
3н) ( ) 2( 1) .f x x= − 3.2. Постройте на плоскости кривую, заданную в полярных координатах
2( ) 2ctg , ( ) 5sin , ( ) 2 sin .3ϕ
ρ ϕ = − ϕ ρ ϕ = ρ ϕ = ϕ
3.3. Постройте на плоскости кривую, заданную в параметрическом виде 2( ) cos 2cos ,
( ) 2sin cos .x t t ty t t t
⎧ = +⎨
=⎩ 3.4. Постройте графики следующих двух функций в одной системе координат:
2( ) , ( ) 2 .xf x e g x x= = − 3.5. Постройте поверхность, заданную выражением
sin cos .z x y= + 3.6. Постройте поверхность [1]
2 2
2 2
( ) .xy x yzx y
−=
− 3.7. Постройте следующую поверхность, заданную параметрически [1]:
sin cos , sin sin , ln tg cos2uz u v y u v z u= = = + , где 2...10, 0... 2 .u v= = π
3.8. Постройте следующую поверхность, заданную параметрически [1]: ch cos , ch sin , ,x u u y u v z u= = = где ( 2, 2), (0,2 ).u v∈ − ∈ π
4. Контрольные вопросы 4.1. Перечислите основные функции Maple 14 для работы с двумерной графи-
кой. 4.2. Перечислите основные функции Maple 14 для работы с трехмерной графи-
кой. 4.3. Каким образом можно отобразить координатные оси на трехмерном гра-
фике? 4.4. Как изменить внешний вид координатных осей графика? 4.5. Какой формат имеет функция plot(), для построения графиков функций,
заданных параметрически.
15
3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию решения линейных
и нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных уравнений, а также не-равенств и систем неравенств. Для этого студентам необходимо познакомится со встроенной функцией решения уравнений и неравенств solve() и функцией про-верки правильности решения subs().
2. Используемые функции solve() и subs() В Maple 14 имеется встроенная функция solve(уравнение или неравенство, пе-
ременная), предназначенная для решения уравнений и неравенств. Если уравне-ние или неравенство имеет одну переменную, то имя переменной в функции мож-но опустить [1].
Например, необходимо решить алгебраическое уравнение [1] 2 21 1 23.
4 3x xx x+ −
− =− +
Для этого вводим уравнение: > (x^2 + 1)/(х – 4) – (x^2 – 1)/(x + 3) = 23;
2 21 1 234 3
x xx x+ −
− =− +
Уравнение набрано верно. С помощью функции solve() решаем уравнение: > solve(%);
55 ,516
−
Получили два корня: 55 и 5.16
−
Компактное решение этого уравнения следующее: > solve((x^2 + 1)/(х – 4) – (x^2 – 1)/(x + 3) = 23); Решим следующее уравнение с параметрами [1]:
2.b ax a x b
+ =− −
Вводим уравнение: > b/(х – a) + a/(x+b) = 2;
2b ax a x b
+ =− −
Поскольку переменных несколько, то необходимо указать переменную x, от-носительно которой решается уравнение:
> solve(%, x); 1 1,2 2
b a b a+ +
16
Получили два корня: 1 1и .2 2
b a b a+ +
Проверку правильности решения можно осуществить встроенной функцией subs(), которая вычисляет значение выражения. Функция subs(x = a, f) имеет не-сколько аргументов, где x — переменная в выражении f; a — значение перемен-ной x [1].
Например, решаем уравнение 25 7 13 0x x+ + − = .
> solve(5*x^2 + abs(x+7) – 13 = 0); 61,5
−
Сделаем проверку: > subs(x = 1, 5*x^2 + abs(x + 7) – 13 = 0);
8 8 0− + = > subs(x = –6/5, 5*x^2 + abs(x + 7) – 13 = 0);
29 29 05 5
− + =
Решение верное. Решим иррациональное уравнение
3 31 1 2x x+ + − = . > (1 + sqrt(x))^(1/3) + (1 – sqrt(x))^(1/3) =2;
( ) ( )1 13 31 1 2x x+ + − =
> solve(%); 0
С помощью функции solve() можно решать системы уравнений, при этом уравнения и неизвестные указываются в фигурных скобках {} через запятую [1].
Например, необходимо решить систему уравнений 2 2 6,
5.x y xyxy x y
⎧ − =⎨
+ + =⎩
Решение будет следующим: > solve({x^2*y – x*y^2 = 6, x*y + x + y = 5},{x, y});
2 2
{ 2, 1},{ 1, 2},{ (_ 2 _ 3) 2, (_ 2 _ 3)}
x y x yx RootOf Z Z y RootOf Z Z
= = = =
= − − + + = − +
Действительных решений системы уравнений два: (2, 1) и (1, 2). Для тригонометрического уравнения функция solve() по умолчанию возвраща-
ет только один корень. Для возвращения множества корней необходимо исполь-зовать необязательный аргумент AllSolutions. Например,
> solve(sin(x) = 1/2, x, AllSolutions);
17
1 2π π _ 3 ~ 2π _ 13 ~6 3
B Z+ +
Форма ответа здесь необычная, однако корни уравнения найдены правильно. Переменная _В, независимо от индекса, принимает значения из множества {0, 1}, а значения _Z принадлежат множеству целях чисел. Таким образом, полученное множество корней уравнения можно представить в виде
π 2 5ππ , 2π6 3 6
n n+ +
и записать в привычной форме π( 1) π ,6
n n n Z− + ∈
Решим тригонометрическое уравнение 23sin 2 7cos2 3 0x x+ − = .
> solve(3*sin(2*x)^2 + 7*cos(2*x) – 3=0, x, AllSolutions); 1 1 1 7 7π π _ 2 ~ π _ 12 ~, arccos arccos _ 2 ~ π _ 12 ~4 2 2 3 3
B Z B Z⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Решим ещё одно тригонометрическое уравнение sin3 4sin cos2 0x x x− = : > solve(sin(3*x) – 4*sin(x)*cos(2*x)=0, x, AllSolutions);
1 52π _ 17 ~,π; 2π _ 18 ~, π 2π _ 19 ~, π 2π _ 19 ~,6 6
1 5π 2π _ 20 ~, π 2π _ 20 ~6 6
Z Z Z Z
Z Z
+ + +
− + − +
Решим систему тригонометрических уравнений cos cos 3,
.3
x y
x y π
⎧ + =⎪⎨
+ =⎪⎩
Решение следующие: > solve({cos(x) + cos(y) = sqrt(3), x + y = Pi/3},{x, y});
1 1π 2 _ 10 ~, π 2 _ 10 ~ ,6 61 1π 2 _ 11 ~, π 2 _ 11 ~6 6
x Z y Z
x Z y Z
π π
π π
⎧ ⎫= − = +⎨ ⎬⎩ ⎭⎧ ⎫= − = +⎨ ⎬⎩ ⎭
Ответ π π( 2π , 2π ),6 6
n n n Z− + ∈ .
Теперь рассмотрим решение неравенств и систем неравенств. Например, решим иррациональное неравенство
224 10 4x x x− + > − . > solve(sqrt(24 – 10*x + x*x) > x – 4);
( )( ), 4RealRange Open−∞
18
Например, необходимо найти целые решения системы неравенств 1 2 3 52 ,
2 3 6 25 4 11 3 .
8 2 4
x x x x
x x xx
− + +⎧ − + < −⎪⎪⎨ + − +⎪ − + < −⎪⎩
Найдем все множество решений системы и выберем из него целые значения: > solve({(x–1)/2 – (2*x+3)/3 + x/6 < 2 – (x+5)/2, 1 – (x+5)/8 + (4 – x)/2 < 3*x – (x
+1)/4},x); 7 , 39
x x⎧ ⎫< <⎨ ⎬⎩ ⎭
Целое решение оказалось одно — 1. Решим неравенство
22log ( 5 6) 1.x x x− + <
> solve(log[2*x](x^2 – 5*x + 6) < 1, x);
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
10 , , 1 , 2 ,2
3 , 6
RealRange Open Open RealRange Open Open
RealRange Open Open
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Ответ: ( ) ( )10, 1, 2 3, 6 .2
⎛ ⎞ ∪ ∪⎜ ⎟⎝ ⎠
3. Задания 3.1. Решите систему уравнений [5]
1sin cos 1,2
6sin cos 6.
x y
x y
⎧ + =⎪⎨⎪ − =⎩
3.2. Решите неравенство [5] ( 3) 3 1 13 .
4 4x x x
x− − +
< − +−
3.3. Найдите корень уравнения [5] 4 3 12 0,125 .x x− +=
3.4. Решите систему уравнений [5] 4log ( )
4
5 5
4 3log 16,log log 1.
x y
x y
+⎧ =⎨
+ =⎩
3.5. Решите неравенство [5] ( 1) 5 1 4 3 .
2 21 1x x x
x− − − +
> −− −
3.6. Найдите корень уравнения [5] 2 3 22 4 2 64.x x+ − ⋅ =
19
3.7. Решите следующие системы уравнений [6]: 2 3 1,
а)3 5 4;
2 3 9,б) 3 5 4,
4 7 5.
a ba b
x y zx y zx y z
+ =⎧⎨ + =⎩
− + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ − + =⎩
3.8. Решите следующие уравнения [6]:
2 22
2 2
2 3 2
3 2 2
2 2
3 3 6 6а) ;1 1 2 2
7( 2)( 3)( 4)б) 2;(2 7)( 2)( 6)
6 5в) ;4 4
г) ;
д) 2;
е) 11 11 4;
ж) 3 18 3 6 0.
x x x xx x x x
x x xx x x
x xx x
x b b ba x a a
b ax a x b
x x x x
x x x x
− + + −+ = +
− + + −− − −
= −− + −
⎛ ⎞+ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
+ = +
+ =− −
+ + + − + =
+ − + + − =
3.9. Решите следующие системы уравнений [6]: 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
6 2 0,а)
8 0;
( 0,2) ( 0,3) 1,б)
0,9;
10 ,3в)
1 1 3 ;4
5 4 1 ,6
г)7 3 6 .
5
x y x yx y
x yx y
x yx y
x y
x xy y xy
x xy y xy
⎧ + + + =⎨
+ + =⎩⎧ + + + =⎨
+ =⎩⎧ +
=⎪ +⎪⎨⎪ + =⎪⎩⎧ + = −⎪ − −⎪⎨⎪ − =⎪ − −⎩
3.10. Решите следующие неравенства [6]:
20
2
2
2
2
1 5а) 1;2 2
б) ( 1)(3 )( 2) 0;3 10 3в) 0;
10 2517 5 2г) 0;
3
x xx x xx x
x xx x
x
+ <− ++ − − >
− +>
− +
− −>
+
2 1
2 2 3 2
22
д) 5 5 5 5 ;1 4 1 4е) ;
4 2 7 6 2 3 2 3 8 12ж) log ( 5 6) 1.
x x x
x
x x x x x x xx x
++ < +
+ ≤ +− + + + + − −
− + <
3.11. Решите следующие системы неравенств: 2 4 0,
а) 16 64lg 7 lg( 5);
4 7 ,б)
5 5 4.
xx x
x x
x x
x x
⎧ +>⎪ − +⎨
⎪ + > −⎩⎧ − <⎪⎨
+ + − >⎪⎩
4. Контрольные вопросы 4.1. Что такое уравнение? 4.2. Что такое неравенство? 4.3. Что такое алгебраическое уравнение? 4.4. Что такое уравнение с параметрами? 4.5. Что такое иррациональное уравнение? 4.5. Что такое тригонометрическое уравнение? 4.6. Как с помощью функции solve() получить множество решений для триго-
нометрических уравнений?
21
4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию вычисления конеч-
ных и бесконечных сумм и произведений с помощью встроенных функций sum() и product().
2. Используемые функции sum() и product() Для выполнения операции суммирования в Maple 14 используется функция
sum(f, k = m .. n), в которой f — выражение, зависящее от переменной суммирова-ния k; m и n — пределы суммирования. Пределы суммирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Функция sum() может быть использована для суммирования рядов [2].
Например, нам необходимо найти сумму 30
0
2 ( 1)!
n
n
nn=
+∑ .
> sum(2^n*(n+1)/n!, n=0 .. 30); 87617409000727554149125201 3952575621190533915703125
> evalf(%); 22.16716830
Вычислим сумму ряда
1 ( 1)!n
nn
∞
= +∑ .
> sum(n/(n+1)!, n=1..infinity); 1
Вычислим сумму ряда
1
( 2) n
n
n n x∞
=
+∑
с переменной x. > sum(n*(n+1)*x^n, n = 1 .. infinity);
3
2( 1)
xx
−−
Функции product(), выполняющая операцию умножения, аналогична функции sum(). Аргументы функции product(f, k = m .. n) следующие: f — выражение, зави-сящее от индекса k и являющееся k-м членом произведения; m и n — интервал из-менения k (интервал может быть конечным и бесконечным).
Например, докажем, что
22
1 1(1 )2n
∞
− =∏ .
> product(1 – 1/n^2, n = 1 .. infinity);
22
12
3. Задания 3.1. Выяснить сходимость рядов и найти их суммы [6]:
а) 1 1 1 1... ...1 2 2 3 3 4 ( 1)n n
+ + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
;
б) 1 1 1... ...2 5 3 6 ( 1) ( 4)n n
+ + + +⋅ ⋅ + ⋅ +
;
в) 1
1( 1)( 2)n n n n
∞
= + +∑ .
3.2. Исследовать сходимость рядов [6]:
21
41
21
1
21
2 3 1a) ... ...;3 5 2 1
1б) ;2
в) ;1
1г) ;1
1д) ln(1 );
1е) ln(1 ).
n
n
k
k
k
nn
n n
nn
k
k
k
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
++ + + +
+
+
+
+
+
+
∑
∑
∑
∑
∑
3.3. Найти сумму рядов [6]: 2
2 4 1 2 2
а) ... ...;2
б)1 2 ... ( 1) ...;в)1 3 5 ... ( 1) (2 1) ...
n
n
n n
x xxn
x n xx x n x− −
+ + + +
+ + + + +
− + − + − − +
3.4. Задайте переменной x значение 0,5, а переменной n значение 99. 3.5. Вычислите следующие суммы:
а) 1
1
1 ;(2 1)(2 1)
n
k k k
+
= − +∑
б) ( 1) ... ( 1);x x x n+ + + + + −
в) 3 2
1 1
( 1) ;n n
k i
k k= =
−∑ ∑
г) 2
0
( ) ;2 !
k
k
xk
∞
=
−∑
23
д) 20
4 ;5
in
ii
+=∑
е) 1 2 1
21
( 1) ;( 1)
k k
kk
xx
+ −∞
=
−+∑
ж) 2 21
1 .k k x
∞
= +∑
3.6. Вычислите 1 1 1 11 ... .2 3 9999 10000
− + − + +
3.12. Вычислите следующие произведения:
а) 1
( 1) (1 ) ;!
kn
k
kk=
− +∏
б) 1
1(2 );!
n
i i=
+∏
в) 1
1(2 );!
n
i i=
+∏
г) 21
! ;2 3
n
i
ii i= + +∏
д) 1 1 1 ...1 3 2 4 3 5
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
;
е) 1
cos ;2
n
kk
x kx=
+∏
ж) 1
( cos ).1
nk
k
k xk=
−+∏
4. Контрольные вопросы 4.1. Дайте определение числового ряда 4.2. Что означает сходимость ряда? 4.3. Какой ряд называют расходящимся? 4.4. Как задать бесконечный предел суммирования чисел? 4.5. Как задать интервал изменения индекса в функции умножения product()?
24
5. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию преобразования ал-
гебраических и тригонометрических выражений с помощью встроенных функций Maple 14.
2. Используемые функции преобразования математических выражений Maple 14 имеет следующие встроенные функции для преобразования матема-
тических выражений [1]: • simplify() — упростить; • expand() — раскрыть скобки; • factor() — разложить на множители; • normal() — привести к общему знаменателю; • combine() — преобразовать степени (или тригонометрическое выражение); • collect() — привести подобные члены. В скобках функций вводится аналитическое выражение или его имя — иден-
тификатор, а также параметры, часть которых может отсутствовать. Например, применяя collect(), для того чтобы не было сообщения об ошибке, необходимо указать переменную, по степеням которой приводятся подобные члены. В simplify() может быть добавлена встроенная функция assume(), задающая усло-вия, при которых происходит упрощение. Функция combine() также имеет необя-зательные параметры [1].
Рассмотрим примеры: > simplify((a^3 – b^3)/(a – b));
2 2a ba b+ + > expand((a – b)*(a^2 + a*b + b^2));
3 3a b− > factor(a^3 – b^3);
( )( )2 2a b a ba b− + + > normal(y/x + 1/(x^2));
2
1yxx+
> combine((x^(1/2))*x^(3/2)); 2x
> collect(x^2 + 3*x^2 + 4*x + 4*x + y, x); 24 8x x y+ +
> simplify(2*a/sqrt(a^2), assume(a < 0)); –2
Перечисленные встроенные функции упрощают алгебраические выражения с целыми степенями, но в случае рациональных степеней они, как правило, возвра-
25
щают заданное выражение. Например, ни одна из функций не упрощает выраже-ние
.x yx y−−
> simplify((x – y)/(sqrt(x) + sqrt(y))); x yx y−−
Поэтому, прежде чем упрощать алгебраическое выражение, содержащее сте-пени с дробными показателями, необходимо с помощью встроенной функции subs() перейти к алгебраическому выражению, содержащему степени с целыми показателями.
Допустим нам необходимо упростить
2
1 1: .xx x x x x x
++ + −
Выражение вводится как функция f(x): > f := ((sqrt(х) + 1)/(x*sqrt(х) + x + sqrt(х)))*(x^2 – sqrt(х));
( )( )2
3/2
1x x x
x x x
+ −
+ +
Переходим к степеням с натуральными показателями, для этого с помощью функции subs() и создаём новую функцию:
> q := subs(sqrt(х) = a, x^2 = a^4, x^(3/2) = a^3, x = a^2, f); ( )( )4
3 2
~ 1 ~ ~~ ~ ~
a a aa a a+ −
+ +
Знак тильда ~ при a указывает на то, что на переменную наложены ограниче-ния.
Упрощаем функцию q() и получаем следующее: > simplify(q);
2~ 1a − Делаем обратную подстановку и получаем ответ:
x – 1. Упростим
2
22
4 .4 4
2
a
aaa
+
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
Чтобы избавиться от квадратного корня, так как 2 4 0a + > при любом а, реше-ние разбиваем на две части:
> q := (x^2 + 4)/(a*sqrt(((a^2 – 4)/(2*a))^2 + 4)); > simplify(q, assume(a > 0));
2
26
> simplify(q, assume(a < 0)); –2
Ответ: 2, если a > 0; –2, если a < 0. Упростим выражение
( )2
3.
6x x
x x x−
− −
Посмотрим, что даст функция simplify(): > f := x*(x – 3)/((x ^2 – x – 6)*abs(x)); > simplify(f);
2
3
6
xxx
x x
−
− −
Упростить выражение не получилось. Если 0 3x< < , то под знаком модуля стоит отрицательное число, а если 0 или 0x x< > , то положительное. С помощью функции assume() зададим условия для x:
> simplify(f, assume(x>3)); 1
~ 2x +
> simplify(f, assume(x<0)); 1
~ 2x +
> simplify(f, assume(x>0,x<3)); 1
~ 2x−
+
Ответ: 1 1, если 0 3; , если 0 или 3.2 2
x x xx x
− < < < >+ +
3. Задания 3.1. Выполните следующие преобразования [1]:
2 2
2
2
2
а) cos sin 1;б) cos( ) cos cos sin sin ;в) sin( ) sin cos cos sin ;
tan tanг) tan( ) ;1 tan tan
д) cos2 2cos 1;1 1е) cos cos2 ;2 21 1ж) sin cos2 ;2 2
x xx y x y x yx y x y x y
x yx yx y
x x
x x
x x
+ =+ = −+ = −
++ =
−
= −
= +
= −
27
1 1з) sin cos sin( ) sin( );2 21 1и) sin sin cos( ) cos( ).2 2
x y x y x y
x y x y x y
= + + −
= − + +
3.2. Упростите следующие выражения [7]: ( )
( )
22
2 2 2
22
22
4 2 4 2
2
3 121 2 1а) ;3 2 4 3 5 6 2
1 1
б) ;1 1
2 4 12 11 30в) .
6
m n m
n m n
t ttt t t t t t
m nn m
n mm n
x x x xx
−
−
− +⎛ ⎞+ + ⋅⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ − + + +
+ 3.3. Упростить следующие выражения [7]:
( )( )
( )( )
( )
3 2
3 2
2
2
2
3 3
32 3
2
12 2 2 3
2
3 2
13
2 5 26а) ;5 17 13
2 2 4б) ;4 2
1 1 2 2 11 1в) ;
1 ( 1)
1 1 1 (1 )г) ;
2 1
4 2 6 8 12 2 4д) 2 ;4 2 4 2 4
2 2 1е) ;1 1 21 1
4ж)
a a aa a a
b bb b
x x x xx x
x x
x x x
x
x x x x x x xx x x
a a
a aa a
x
−
− + ++ + −
+ −
− + +
− ++ − + −
+ −
+ − −
+ − + − −
+ −
⎛ ⎞− + + + + ++ − +⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
+ −
⎛ ⎞− ++ +⎜ ⎟+ −⎝ ⎠
1
2
4 ;2 1
xx x x
−+ +− −
28
( )( )( )( )
11 2
2
2
3 51 3 1 5з) 6 1 ;
5 31
1 5 1 3
(3 2) 24и) .23
x xx xx x
x xx x
x x
xx
−⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+ +⎜ ⎟− + +⎜ ⎟− −⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠
+ −
−
3.4. Сделайте указанную подстановку и упростите результат [7]:
( )( )( )( )
21а) 2 , для ;1
7 5б) 1 2 3 4 , для .2
b bx x b xb b
x x x x x
−− + =
−
−+ + + + =
3.5. Разложите выражения на множители [7]:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
а) ( ) ( ) ( );б) ( ) ( ) ( ).
x y z y z x z x yx y z y z x z x y
− + − + −
− + − + − 3.6. Упростите тригонометрические выражения [7]:
( )( )2 1а) 1 cos 2α tg2α 1 cos 2α tg2α ;
1tg2αtg3βб) ;1 tg3β
tg2αв) cosα sinα cos3α sin3α;
sin 2α sin3α sin 4αг) ;cos2α cos3α cos4α
3πд)1 sin 4α ctg 2α cos4α;4
14π 8πе) sinα sin α sin α .3 3
−+ + − +
+
+
+ + +− +− +
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4. Контрольные вопросы 4.1. Какие функции преобразования математических выражений вы знаете? 4.2. Как упростить иррациональное выражение? 4.3. Как осуществить подстановку в выражении? 4.4. Как при преобразовании выражения указать диапазон изменения перемен-
ной? 4.5. Как проверить правильность преобразования выражения?
29
6. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию вычисления преде-
лов функций и числовых последовательностей с помощью встроенной функции limit() программы Maple 14.
2. Используемая функция limit() Предварительно подключаем библиотеку > with(limit): Для вычисления предела функции
0
lim ( )x x
f x→
и предела последовательности
lim ( )nxf x→∞
в Maple 14 существует встроенная функция limit(f, x = x0 ,dir), в которой
f — функция или n-й член последовательности, для которой вычисляется предел; x — аргумент функции f; x0 — значение, к которому стремится аргумент x ( 0x x→ ), a dir — необязательный аргумент, который для вычисления односторон-них пределов принимает следующие значения: left — предел функции слева; right — предел функции справа [3].
Вычислим предел
2
sin( !)lim .1n
n nn→∞ +
> limit(n*sin(n!)/(n^2 + 1), n = infinity); 0
Найдем предел
( )( )
2 2
0 2
ln 1lim .
ln 1x
nx n x
x x→
+ −
+ −
> limit(ln(n*x + sqrt(1 – n^2*x^2)/ln(x + sqrt(1 – x^2))), x = 0); 0
Вычислим односторонние пределы:
10
10
1a) lim ;1
1б) lim .1
xx
xx
e
e
→−
→+
+
+
Решение следующее: > limit(1/(1 + exp(1/x), x = 0, left);
1 > limit(1/(1 + exp(1/x), x = 0, right);
0
30
3. Задания 3.1. Найдите значения следующих выражений [4]:
2
20
2
21
2
2
0
20
20 30
50
2
23
1а) lim ;2 1
1б) lim ;2 1
1в) lim ;2 1(1 )(1 2 )(1 3 ) 1г) lim ;
(1 ) (1 )д) lim ( и — натуральные числа);
(2 3) (3 2)е) lim ;(2 1)5 6ж) lim ;8 15
з) lim
x
x
x
x
n m
x
x
x
x
xx xx
x xx
x xx x x
xmx nx m n
xx x
xx xx x
→
→
→∞
→
→
→∞
→
−− −−− −−− −
+ + + −
+ − +
− ++
− +− +
2
1
... .1
nx x x nx→
+ + + −−
3.2. Найдите пределы [4]:
3 4
4
2 2
0
3
47
а) lim ;1
б) lim ;2 1
1 2 3в) lim ;2
г) lim ( 0);
1 1д) lim ( — целое число);
2 20е) lim .9 2
x
x
x
x a
n
x
x
x x xx
x x xx
xx
x a x a ax a
x nx
x xx
→+∞
→+∞
→
→
→
→
+ ++
+ ++
+ −−
− + −>
−
+ −
+ − ++ −
3.3. Вычислите пределы функций [4]:
31
( )( )
3 2 3 23 3
3 2 23
1
а) lim 1 1 ;
б) lim 3 2 ;
в) lim ( )...( ) ;
x
x
nnx
x x x x
x x x x
x a x a x
→∞
→+∞
→+∞
+ + − − +
+ − −
⎡ ⎤− + −⎣ ⎦
0
0
π3
30
2
0
sinг) lim ;
sinд) lim ;
1 cos cos2 cos3е) lim ;1 cosπsin( )3ж) lim ;
1 2cos
1 1 sinз) lim ;
1 cosи) lim .1 cos
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x x xx
x
x
tgx xxxx
→
→∞
→
→
→
→
−−
−
−
+ − +
−−
3.4. Построить графики следующих функций [4]:
( )
2
2
1а) lim 0 ;1
б) lim 1 ;
в) limcos ;
ln(1 )г) lim .ln(1 )
n
n
nn
n
n
n
xt
tt
y xx
y x
y x
eye
→∞
→∞
→∞
→+∞
= ≥+
= +
=
+=
+
4. Контрольные вопросы 4.1. Что такое предел функции ( )f x в точке 0x ? 4.2. Что такое предел числовой последовательности? 4.3. Что такое односторонний предел функции? 4.4. Что такое предел функции ( )f x при x →∞ ? 4.5. Какая функция ( )f x называется бесконечно большой при 0x x→ ? 4.5. Какая функция ( )f x называется бесконечно малой при 0x x→ ?
32
7. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию выполнения вы-
числений над комплексными числами в программе Maple 14. 2. Используемые функции обработки комплексных чисел Комплексное число x + iy вводятся в командную строку в виде x + y*I. Напри-
мер, > 2 + 3*I;
2 + 3I Действительная и мнимая части комплексного числа находятся встроенными
функциями Re() и Im() [1]. Например, >Re(2 + 3*I); Im(2 + 3*I);
2 3
Для определения сопряженного комплексного числа применяется функция conjugate() [1]. Например,
> conjugate(2 + 3*I); 2 – 3I
Модуль и главное значение аргумента комплексного числа вычисляются встроенными функциями abs() и argument() [1]. Например,
> z: = 1 + sqrt(3)*I; : 1 3z I= +
> abs(z); argument(z); 21 π3
Модуль и главное значение аргумента комплексного числа можно также вы-числить с помощью функции polar(z):
> polar(1 + sqrt(3)*I); 12, π3
polar ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел выполняется как и над обычными числами [1]:
> (2 + 3*I)* (1 + 2*I); 4 7I− +
> (2 – I)/( 1 + I); 1 32 2
I−
> (1 + I)^10; 32I
33
Значения функций, у которых аргумент является комплексным числом, нахо-дятся с помощью встроенной функции evalc(). Например [1],
> evalc(cos(1 + I)); ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1cos cosh Isin sinh−
> evalc(exp(x + y*I)); ( ) ( )e ex xcos y I sin y+
> evalc(I*I); 1π2e
−
Функция evalc() возвращает только главное значение .n z Например, > evalc((–1)^(1/4));
1 12 22 2
I+
3. Задания 3.1. Найдите модули комплексных чисел [6]: a) 4 3 ;
б) 2 2 3 ;в) cosα sinα.
z i
z iz i
= +
= − += −
3.2. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа [6]: a) 1 3;
б) 2 2.
z i
z i
= − −
= − +
3.3. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа [6]: a) 2;б) ;
в) 1 3;πг) sinα cosα α π .2
zz i
z i
z i
= −=
= − −
⎛ ⎞= − < <⎜ ⎟⎝ ⎠
3.4. Вычислите [6]:
( )( )
60
6
4
4
a) 1 3 ;
б) 3 3 ;
1в) ;1
г) 1 .
i
i
ii
i
− +
−
−⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
−
3.5. Выполните вычисления [8]:
34
( )( )( )( )( )
2
3
a) 2 3 (3 2 );
б) ;
в) 3 2 ;
г) 1 ;1д) ;12е) .
1
i i
a bi a bi
i
iii
ii
+ −
+ −
−
+
+−
+
3.6. Решите уравнения: 2а) 25 0;x + = 2б) 2 5 0;x x− + = 2в) 4 13 0x x+ + = и проверьте подстановкой корней в уравнение [8].
3.7. Вычислите [8]:
( )( )
10
6
5
3
3
4
a) (1 ) ;
б) 1 3 ;
в) 1 ;
г) ;
д) 2 2 ;
е) 8 8 3.
i
i
i
i
i
i
+
−
− +
− +
− +
3.8. Найдите [8]: a) ln( 2);б) ln(1 );в) ln ;г) ln(2 2 ).
ii
i
−+
−
3.11. Решите уравнения [8]: 3
6
4
a) 8 0;б) 64 0;в) 81 0.
xxx
− =
+ =
− =
4. Контрольные вопросы 4.1. Что такое комплексное число? 4.2. Какие комплексные числа являются сопряженными? 4.3. Что такое модуль комплексного числа? 4.4. Что такое аргумент комплексного числа? 4.5. Что такое алгебраическая форма комплексного числа? 4.5. Что такое тригонометрическая форма комплексного числа? 4.6. Что такое показательная или экспоненциальная форма комплексного чис-
ла?
35
8. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «РАБОТА С МАТРИЦАМИ И ВЕКТОРАМИ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию работы с матрица-
ми и векторами с помощью встроенных функций Maple 14. 2. Используемые функции работы с матрицами и векторами Матрицей в Maple 14 считается двумерный массив, индексы которого изменя-
ются от единицы. Наибольшая часть функций для работы с матрицами и вектора-ми содержится в библиотеке линейной алгебры linalg. Для подключения этой библиотеки в командной строке Maple 14 следует набрать:
>with(linalg): Можно использовать два способа задания матриц, при помощи функций
matrix() и array(). Функция matrix() из библиотеки linalg имеет вид: matrix(n, m, [val1, val2…]),
где n — число строк; m — число столбцов матрицы; val1, val2, … — значения элементов матрицы.
Существуют другие формы описания матриц, например matrix(n, m, f), где f — функция двух целых переменных (индексов матрицы), с помощью которых при-сваиваются значения элементам матрицы [3].
Вектором в Maple 14 считается одномерный массив, который можно опреде-лить при помощи функции
array(1…n, [val1, val2…]), где n — его размерность; а val1, val2, … — значения его элементов.
Возможен еще один способ описания элементов вектора — с помощью функ-ции vector() из пакета linalg:
vector(n, [val1, val2…]), в которой n — размерность вектора; val1, val2, … — значения его элементов [3].
Значения элементов матриц и векторов можно задавать при помощи оператора присваивания. Например [3],
> : (4, 3, [[ , , ], [], [1, 2, 3], [ , , ]]);A matrix a b c x y z=
2,1 2,2 2,3:1 2 3
a b cA A A
A
x y z
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
> v : ([ , , ]);vector a b c= v : [ , , ]a b c=
Для определения размерности матриц имеются две функции: rowdim(A) — возвращает число строк матрицы А; coldim(A) — возвращает число столбцов этой матрицы.
Рассмотрим примеры.
36
Пусть требуется определить размерность матрицы: > : ([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]);A matrix=
1 2 3: 4 5 6
7 8 9A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
> rowdim(A); coldim(A); 3 3
Число элементов вектора можно узнать при помощи функции vectdim(V). Для изменения размерности матриц и векторов используются следующие
функции: delcols(А, i..j) — удаляет из матрицы А столбцы с номерами от i до j; delrows(А, i..j) — удаляет из матрицы А строки с номерами от i до j.
Примеры: > : ( , 2, 2);C delrows A=
1 2 3:
7 8 9C ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
> : ( , 2, 2);C delcols A= 1 3
: 4 67 9
C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Увеличить размерность матрицы можно при помощи функции extend(M, m, n, x), где m — число добавляемых строк; n — число добавляемых столбцов; x — значение заполнителя. При помощи функции concat(M1, M2) мож-но получить новую матрицу, являющуюся горизонтальным слиянием двух матриц M1 и M2. Для вертикального слияния матриц M1 и M2 используется функция stack(M1, M2) [3].
Например, выполним горизонтальное слияние двух матриц:
> 1 2
: ;2 3
A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
> : (2, 3, [3, 4, 5, 6, 7, 8]);B matrix= > ( , );concat A B
1 2 3 4 52 3 6 7 8⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Выполним вертикальное слияние двух матриц: > : (2, 2, [1, 2, 3, 4]);A matrix= > : (2, 2, [5, 6, 7, 8]);B matrix= > ( , );stackmatrix A B
37
1 23 45 67 8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Рассмотрим основные функции, реализующие все основные матричные и век-торные операции.
Для сложения двух матриц (векторов) одинаковой размерности можно исполь-зовать две функции: add(A, B) и evalm(A + B). Существует расширенный вариант функции add() — add(a, b, c, d) — сложение матриц (векторов) а и b со скалярны-ми множителями с и d (выражение с*a+d*b).
Умножение матрицы A на матрицу B реализуется с помощью функции multiply(A*B).
Возведение матрицы М в степень n осуществляется функцией eval(M^n). Об-ратную матрицу к матрице М можно вычислить двумя способами: функцией in-verse(M) или evalm(1/M). Транспонировать матрицу М можно при помощи функ-ции transpose(M).
Рассмотрим несколько примеров. 1. Выполним сложение матриц: > : (2, 2, [1, 2, 3, 4]);A matrix= > : (2, 2, [5, 6, 7, 8]);B matrix= > ( ) ;evalm A B+
6 810 12⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
2. Выполним умножение этих же матриц: > multiply(A, B);
19 2243 50⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
3. Выполним возведение в степень матрицы А: > evalm (A2);
7 1015 22⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
4. Для матрицы В вычислим обратную матрицу: > inverse(B);
4 37 52 2
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
5. Выполним транспонирование матрицы А: > transpose(A);
38
1 32 4⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Для вычисления определителя матрицы А используется функция det(A), на-пример:
> det(A); –2
Ранг матрицы вычисляется функцией rank(A). Например,
> rank(A); 2
Для вычисления собственных чисел матрицы А используется функция eigenvals(A). Результатом её выполнения является массив, содержащий собствен-ные числа. Для поиска собственных чисел и собственных векторов применяется функция eigenvects(A). Результат выполнения eigenvects(A) выдается в виде мас-сива, каждая строка которого состоит из собственного числа, его кратности и соб-ственного вектора [3].
Рассмотрим примеры: > : (2,2, [1, 2, 3, 4]);A matrix= > eigenvals(A);
5 1 5 133, 332 2 2 2+ −
> eigenvects(A);
5 1 1 1 5 133,1, 33 1 , 33,1,2 2 2 6 2 2
1 1 33 12 6
⎡ ⎤⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡+ − + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭⎣ ⎦⎤⎧ ⎫⎡ ⎤− −⎨ ⎬⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭⎦
Для определения характеристического многочлена матрицы А относительно переменной λ используется функция ( , lambda)charoly A . Например,
> ( , lambda)charoly A ; 2 5 2λ − λ − .
3. Задания 3.1. Сформируйте нулевые и единичные матрицы 3 1, 2 3 [2]. 3.2. Вычислите определитель
3 5 7 21 2 3 42 3 3 2
1 3 5 4− −
.
3.3. Вычислите определитель
39
3 5 7 21 2 3 42 3 3 2
1 3 5 4− −
.
3.4. Найдите сумму матриц А и В, где 3 5 72 1 04 3 2
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
А , 1 2 42 3 21 0 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
В .
В полученной матрице удалить второй столбец. 3.5. Найдите произведение матриц АВ и ВА, где
1 3 12 0 41 2 3
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
А , 2 1 01 1 23 2 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
В .
В любой из полученных матриц удалить первый столбец. 3.6. Найдите значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е, при
1 1 21 3 14 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
А ,
если Е — единичная матрица третьего порядка. 3.7. Найдите матрицу, обратную к данной:
3 2 21 3 15 3 4
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
А .
3.8. Найдите характеристические числа и собственные векторы матрицы 3 1 11 5 1
1 1 3
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
.
3.9. Выполнить горизонтальное и вертикальное слияние матриц А и В, где 5 8 74 5 61 2 3
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
А , 8 0 11 4 27 4 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
В .
3.10. Выполнить транспонирование матрицы 1 5 8 73 5 1 49 2 4 9
1 5 8 6
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎝ ⎠
В .
40
4. Контрольные вопросы 4.1. Перечислите основные функции Maple 14 для изменения размерности мат-
риц и векторов. 4.2. Как определить число элементов вектора? 4.3. Как определить ранг матрицы? 4.4. Как вычислить собственные числа и собственные векторы квадратной мат-
рицы? 4.5. Как вычислить определитель матрицы средствами Maple 14?
41
9. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию решения систем
линейных уравнений матричным методом с использованием функции linsolve(), входящей в пакет linalg.
2. Используемые функции linsolve() В пакете linalg имеются функции решения систем линейных уравнений, от-
личные от функции solve() из стандартной библиотеки. Для решения системы ли-нейных алгебраических уравнений вида =Mx b , где M — матрица, а b — вектор или матрица правых частей уравнений, имеются функции linsolve(M, B) [1].
Рассмотрим примеры решения линейных уравнений. Пусть требуется решить следующую систему уравнений [1]:
5 2 9,2 5 6.
x yx y+ =⎧
⎨ + =⎩
Запишем систему в матричном виде: 5 2 92 2 6
xy
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠.
Затем в командной строке Maple 14 вводим: > with(linalg): Определим матрицу правых частей уравнений: > A := matrix(2, 1, [9, 6]);
96⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Матрица коэффициентов уравнений имеет вид: > C := matrix(2, 2, [5, 2, 2, 2]);
5 22 2⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Решаем систему уравнений =Cx A : > linsolve(C, A);
12⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Ответ: 1, 2x y= = . Решим следующую систему уравнений [6]:
3 9,3 5 4,4 7 5.
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ − + =⎩
42
Представим эту систему в матричном виде: 1 1 3 93 5 1 44 7 1 5
xyz
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Решение данной системы в Maple 14 следующее: > with(linalg): > A := matrix(3, 3, [1, –1, 3, 3, –5, 1, 4, –7, 1]);
1 1 33 5 14 7 1
A−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
> B := matrix(3, 1, [9, –4, 5]); 94
5B
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
> linsolve(A, B);
84932
312
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ответ: 93 3184, ,2 2
x y z= − = − = .
Рассмотрим пример решения системы линейных однородных уравнений 4 0,
3 0,2 0.
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
В матричной форме система записывается следующим образом: 4 1 1 01 3 1 0 .1 1 2 0
xyz
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
В окне Maple 14 вводим: > with(linalg): > A := matrix(3, 3, [4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2]);
4 1 11 3 11 1 2
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
43
> С := matrix(3, 1, [0, 0, 0]); 000
C⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
> linsolve(A, С); 000
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Ответ: 0x y z= = = . Убедимся в правильности полученного решения — вычислим определитель: > det(A);
17 Действительно, det(A) ≠ 0, следовательно, данная система имеет только нуле-
вое решение. 3. Задания 3.1. Решите системы уравнений [6]:
1 2
1 2
3 4,а)
2 4 1;x xx x+ =⎧
⎨ + =⎩
1,б)
2;x yx y+ =⎧
⎨ − =⎩
2 3 9,в) 3 5 4,
4 7 5.
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ − + = −⎨⎪ − + =⎩
3.2. Путем преобразования расширенной матрицы выясните разрешимы ли системы уравнений и решите эти системы:
2 7 3 5,3 5 2 3,
а)5 9 8 1,
5 18 4 5 12;
x y z tx y z tx y z tx y z t
+ + + =⎧⎪ + + − =⎪⎨ + − + =⎪⎪ + + + =⎩
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3,2 3 2 7,
б)3 5,5 3.
x x xx x xx x xx x x
+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ − − =⎩
44
3.3. Решите системы уравнений [8]: 2 3 2 0,
а) 5 4 5 0,4 3 4 0;
x y zx y z
x y z
− + − =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − + =⎩
2 4 3 1,б) 2 4 3,
3 5 2;
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ − + =⎩
3 2 0,в) 2 3 0,
3 4 0;
x y zx y z
x y z
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
3 2 0,г) 2 3 0,
0;
x y zx y z
x y z
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
2 3 4,д) 2 4 6 3,
3 1;
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
2 3 4,е) 2 3,
3 3 2 10;
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩
2 2,ж) 3 2 2 2,
2 1;
x y zx y z
x y z
− + =⎧⎪ + + = −⎨⎪ − + =⎩
3 2 0,з) 2 3 5 0,
0;
x y zx y z
x y z
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + + =⎩
2 3 0,и) 2 5 0,
3 2 0;
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩
2 4,к) 2 3 3,
4 11;
x y zx y zx y z
− + =⎧⎪ + − =⎨⎪ − + =⎩
3 6 12,л) 3 2 5 10,
2 5 3 6;
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪ + + = −⎨⎪ + − =⎩
45
5 0,м) 2 3 14,
4 3 2 16;
x y zx y z
x y z
− − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
5 0,н) 6 0,
7 0;
x y zx y zx y z
− + + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
3 2 0,о) 2 9 0,
2 0;
x y zx y zx y z
+ − =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
2 8,п) 3 2 10,
4 3 2 4.
x y zx y zx y z
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + − =⎩
4. Контрольные вопросы 4.1. Что называется расширенной матрицей системы? 4.2. Какая система называется совместной, несовместной? 4.3. При каких условиях однородная система имеет ненулевые решения? 4.4. Какая система называется определенной, неопределенной? 4.5. Что такое ранг матрицы?
46
10. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию дифференцирова-
ния и интегрирования функций средствами Maple 14. 2. Используемые функции diff() и int() Вычисление производной функции f(х) выполняется с помощью встроенной
функции diff(f, x). Эта функция может использоваться и для вычисления частных производных функций многих переменных; в этом случае diff() имеет формат:
diff(f, x1$n1, x2$n2,…), где f — функция, зависящая от переменных x1, x2; n1, n2 — порядки дифференци-рования [3].
Вычислим производную функции ( ) 5sin 3cos .f x x x= +
> diff(5*sin(x) + 3*cos(x), x); 5 cos(x) – 3 sin(x)
Найдем частные производные функции x yu z= и вычислим вторую производ-ную функции по x [3]. Предварительно определим дифференцируемое выраже-ние — в командной строке Maple 14 вводим
> *: x yu z= ; а затем выполняем операции дифференцирования.
> u := z ^ (x * y); diff(u, x); diff(u, y); diff(u, z); * ( )x yz yln z (1) * ( )x yz xln z (2) *x yz xyz (3)
u := z ^ (x * y); diff(u, x$2); * 2 2( )x yz y ln z (4)
Здесь выражения (1)—(3) представляют собой частные производные , , ;u u ux y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
выражение (4) — вторую производную 2
2
uz∂∂
.
Для целей интегрирования в пакете Maple 14 предусмотрена функция int(f, par), которая в зависимости от параметров par может использоваться для по-иска неопределенных, определенных интегралов, аналитического или численного вычисления определенных собственных или несобственных интегралов [3].
Для вычисления неопределенных интегралов функция int() имеет следующий вид:
int(f, x),
47
где f — интегрируемая функция; x — переменная интегрирования. Для вычисления определенных интегралов функция int() имеет следующий
вид: int(f, x = a..b),
где (a, b) — отрезок интегрирования. Вычислим неопределенный интеграл [3]:
1 sin1 cos
xx e dxx
++∫ .
Результат интегрирования следующий: > int((1 + sin(x))*exp(x)/(1 + cos(x)), x);
12
xe tan x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Для вычисления двойных и тройных интегралов функция int() используется в следующем виде:
int(f, х = a..b, у = с..d), где (a, b), (c, d) — отрезки интегрирования.
Возможен и другой способ вычисления двойных и тройных интегралов — применением вложенных конструкций из функций int(). Рассмотрим пример вы-числения двойного интеграла
2
3 5
3 4
( 2 )y
dy x y dx− −
+∫ ∫ .
Результаты интегрирования перечисленными способами следующие: > int(int(x + 2*y, x = y^2 – 4..5), y = –3..3);
2525
> int(x + 2*y, x = y^2 – 4..5, y = –3..3); 2525
3. Задания 3.1. Найдите производные функций: а) ( ) ctg ;f x x x= − −
3
3
( 1)( 3)б) ( ) ln ;( 2) ( 4)
x xf xx x− −
=− −
в) ( ) 2cos sin 3cos ;f x x x x= + г) ( ) 5(tg );f x x x= − д) ( ) (3ln 2);f x x x x= −
sin cose) ( ) ;sin cos
x xf xx x−
=+
4tg 1 2 tgж) ( ) ln ;4tg 1 2 tg
x xf xx x+ −
=+ +
48
3з) ( ) arctg ;f x x x=
и) ( ) ln tg ;2xf x =
2
sin 1 sinк) ( ) ln ;cos cos
x xf xx x
+= +
2л) ( ) ln( 1);f x x x= + + 2tgм) ( ) ln cos .2
xf x x= +
3.3. Найдите определенные интегралы:
а) /4
0
sin ;1 cosx x dx
x
π ++∫
б) /3
3
0
cos sin 2 ;x x dxπ
∫
в) 3 2
23
sin 2 .1
x x dxx− +∫
3.4. Вычислите:
а) 2 2(cos sin ) , где 0 , 0 ;4 4D
x y dx dy х yπ π+ ≤ ≤ ≤ ≤∫∫
б) sin cos , где 0 , 0 ;
2x y
D
e y dxdy х y+ π≤ ≤ π ≤ ≤∫∫
2 2
1в) , где область определяется неравенствами 0 , 2 ,2
0 1 .T
z dxdy dz Т х x y x
z x y
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ − −
∫∫∫
4. Контрольные вопросы 4.1. Как вычислить частную производную функции средствами Maple 14? 4.2. Как вычислить производные высших порядков? 4.3. Перечислите основные функции интегрирования Maple 14. 4.4. Какой формат имеет функция int(), если требуется вычислить определен-
ный интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл? 4.5. Как численно определить интеграл?
49
11. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию решения диффе-
ренциальных уравнений с помощью встроенной функции dsolve() пакета Maple 14.
2. Используемая функции dsolve() Основной пакет методов решения дифференциальных уравнений DEtools сис-
темы Maple 14 вызывается следующим образом: > with(DEtools): При составлении уравнений для указания производной используется функция
diff(), а для обозначения производной в начальных и краевых условиях использу-ется оператор D [1].
Все методы решения дифференциальных уравнений и систем в Maple 14 реа-лизуются с помощью встроенной функции dsolve(уравнение, неизвестная функ-ция), причем по умолчанию решение ищется в неявном виде. Формы ответов, как и методы решения, выбираются автоматически или устанавливаются пользовате-лем. При неполном задании уравнения, когда отсутствует знак равенства или пра-вая часть, Maple 14 дополняет уравнение нулевой правой частью.
Для уравнений высоких порядков важна выделенность старшей производной: diff(x(t), x$) = f(t, x),
где функция f(t, x) может включать также производные от переменной x; знаком $ отмечается производная порядка n [3].
Пусть требуется найти общее решение дифференциального уравнения с разде-ляющимися переменными [1]
2 21 1y x y′ − = + . Решение следующее: > 2 2( ( ( ), ) (1 ) 1 ( ), ( ));dsolve diff y x x sqrt x y x y x⋅ − = +
( ) ( ( ) _ 1)y x tan arcsin x C= + Если требуется получить не общее решение, а общий интеграл обыкновенного
дифференциального уравнения, то к аргументам функции dsolve() добавляется экстра-аргумент implicit. Найдем общий интеграл последнего дифференциального уравнения:
> 2 2( ( ( ), ) (1 ) 1 ( ), ( ), );dsolve diff y x x sqrt x y x y x implicit⋅ − = +
( ) ( ( )) _ 1 0arcsin x arctan y x C− + = Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию, находится с помощью встроенной функции dsolve(), в кото-рой они объединяются фигурными скобками [1].
Например, необходимо найти частное решение дифференциального уравне-ния, отвечающее заданному начальному условию [1]:
50
tg , 1.2
y x y y π⎛ ⎞′ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Решение следующее:
> ( )( ), ( ) ( ), 1 , ( ) ;2Pidsolve diff y x x tan x y x y y x
⎛ ⎞⎧ ⎫⎛ ⎞⋅ = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭⎝ ⎠
( ) ( )y x sin x= Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения второго по-
рядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью [1]: 25 6 .x xy y y e e− −′′ ′+ + = +
> ( ( ( ), $2) 5 ( ( ), ) 6 ( ) ( ) ( 2 ), ( ));dsolve diff y x x diff y x x y x exp x exp x y x+ ⋅ + ⋅ = − + − ⋅
( )2 3 21( ) _ 2 _ 1 2 22
x x x xy x e C e C e x e− − −= + + + −
Системы дифференциальных уравнений решаются аналогично. Например, требуется решить следующую систему:
cos( ),2 sin cos .
x x y ty x y t t= + −⎧
⎨ = − − + +⎩
Решение следующее: ({ ( ( ), ) ( ) ( ) ( ), ( ( ), ) 2 ( ) ( ) ( )
( )},{ ( ), ( )});dsolve diff x t t x t y t cos t diff y t t x t y t sin t
cos t x t y t> = + − = − ⋅ − + +
{ ( ) ( ) _ 2 ( ) _ 1 ( ) , ( ) ( ) _ 2 ( ) _ 1 ( )( ) _ 2 ( ) _ 1 ( ) }
x t sin t C cos t C cos t t y t cos t C sin t C sin t tsin t C cos t C cos t t
= + − ⋅ = − + ⋅ −− + ⋅
С помощью функции collect() приводим подобные слагаемые: > (%, ) : (%, _ 1) : (%, _ 2);collect t collect C collect C { ( ) ( ) _ 2 ( ) _ 1 ( ) , ( ) ( ( ) ( )) _ 2 ( ( )
( )) _ 1 ( ( ) ( )) }x t sin t C cos t C cos t t y t cos t sin t C sin tcos t C sin t cos t t
= + − = − + − −− + +
Ответ: 2 1
2 1
sin cos cos ,(cos sin ) ( sin cos ) (sin cos ) .
x C t C t t ty t t C t t C t t t= + −⎧
⎨ = − + − − + +⎩
Если необходимо найти частное решение системы дифференциальных уравне-ний, то в первые фигурные скобки добавляются начальные условия. Найдем ре-шение последней системы при (0) 1, (0) 2x y= = [1]:
({ ( ( ), ) ( ) ( ) ( ), ( ( ), ) 2 ( ) ( ) ( )( ), (0) 1, (0) 2},{ ( ), ( )});
dsolve diff x t t x t y t cos t diff y t t x t y t sin tcos t x y x t y t> = + − = − ⋅ − + +
= =
{ ( ) 3 ( ) ( ) ( ) , ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) }x t sin t cos t cos t t y t cos t sin t sin t t cos t t= + − = − + + Если требуется представить компоненты решения степенными рядами, то до-
бавляется экстра-аргумент series. Для последней системы получим: ({ ( ( ), ) ( ) ( ) ( ), ( ( ), ) 2 ( ) ( ) ( )
( ), (0) 1, (0) 2},{ ( ), ( )}, );dsolve diff x t t x t y t cos t diff y t t x t y t sin t
cos t x y x t y t series> = + − = − ⋅ − + +
= =
51
2 4 5 6
3 4 5 6
1 1 1( ) 1 2 ( ),2 24 60
1 1 1( ) 2 3 ( )6 12 120
x t t t t t O t
y t t t t t O t
⎧ = + − + − +⎨⎩
⎫= − + − + + ⎬⎭
3. Задания 3.1. Решите уравнения: а) ln cos tg 0;y dx x x y dy+ =
2б) 3 tg (1 )sec 0; (0) ;4
x xe ydx e ydy y π+ + = =
в) sin( ) sin( );y x y x y′ + + = − ; 2 2г) 1 1 0;x y dx y x dy+ + + =
2 2д) 0;
1 1xdy ydx
y x+ =
− −
1 cos2е) 0;1 sin
x yy
+ ′+ =+
cos sin 1ж) ;cos sin 1
y yyx x− −′ =− +
2
з) 2 ;xy xy xe−′ + = 2и) ln , ( ) / 2.
lnyy x x y e e
x x′ − = =
3.2. Найдите общий интеграл уравнения: 2а) ( 2 ) 0;x xy dx xy dy+ + =
б) (2 1) ( 2 1) 0x y dx x y dy+ + + + − = ; в) ( 2) (2 2 1) 0;x y dx x y dy+ + + + − = г) ( 4) ( 2) 0.x y dy x y dx− − + + − = 3.3. Решите уравнения: а) sin ; (0) 0; (0) 0; (0) 2;y x x y y y′′′ ′ ′′= = = =
4б) sin sin 2 ;y x x′′′ = 2 3в) 2sin cos sin ;y x x x′′ = −
г) 2 0;y y y′′ ′− − = д) 4 4 0;y y y′′ ′− + = е) 6 25 2sin 3cos ;y y y x x′′ ′− + = +
5ж) 4 3 ; (0) 3, (0) 9.xy y y e y y′′ ′ ′− + = = = 3.4. Решите системы дифференциальных уравнений:
а) 2 , 2 ; (0) 1, (0) 3;dx dyx y x y x ydt dt
= + = + = =
52
3 3б) , 2 ;t tdx dye y e xdt dt
= − = −
в) 2 cos , 2sin .dx dyx y t x tdt dt
= + + = − +
4. Контрольные вопросы 4.1. Как задаются уравнения высших порядков в Maple 14? 4.2. Как найти общий интеграл дифференциального уравнения в Maple 14? 4.3. Каким образом в Maple 14 задаются начальные условия, которым должно
удовлетворять частное решение дифференциального уравнения? 4.4. Как представить компоненты решения степенными рядами? 4.5. Какая функция используется для указания производной в начальных и
краевых условиях?
53
12. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»
1. Цель работы Целью лабораторной работы является освоить технологию решения задач ли-
нейного программирования, используя функции minimize() и maximize() пакета Maple 14.
2. Используемые функции minimize() и maximize() Задача линейного программирования заключается в определении наибольшего
или наименьшего значений линейной функции при наличии линейных ограниче-ний.
Задачи линейного программирования решаются встроенными функциями mi-nimize() и maximize(), входящими в пакет simplex, который вызывается обычным образом:
> with(simplex): Вызов пакета обязателен, т.к. входящие в ядро системы Maple 14 встроенные
функции minimize() и maximize(), отличаются от рассматриваемых наборами пара-метров [1].
Структура у функций minimize() и maximize() следующая: • minimize(целевая функция, {ограничения}, NONNEGATIVE); • maximize(целевая функция, {ограничения}, NONNEGATIVE). Здесь параметр NONNEGATIVE показывает, что входящие переменные неот-
рицательны, следовательно, в такой конструкции включать условия неотрица-тельности переменных в ограничения не требуется.
Функция feasible({ограничения}, NONNEGATIVE), содержащаяся в пакете simplex, предназначена для выяснения вопроса о существовании решения для данной системы ограничений.
Например, > with(simplex):
({4 3 5, 3 4 4}, )feasible x y x y NONNEGATIVE> + ≤ + = true
Рассмотрим несколько примеров решения задач линейного программирования. Пример 1. Найти наименьшее значение функции 1 2 33z x x x= + + при ограниче-
ниях 1 2 3
1 2 3
1 2 3
4 3 12,3 2 6,
0, 0, 0.
x x xx x x
x x x
+ + ≤⎧⎪ − + ≥⎨⎪ ≥ ≥ ≥⎩
Решение: > with(simplex):
: 1 3 2 3;z x x x> = + ⋅ + : 1 3 2 3;z x x x= + +
54
( ,{ 1 4 2 3 3 12, 3 1 2 2 3 3}, );minimize z x x x x x x NONNEGATIVE> + ⋅ + ⋅ ≤ ⋅ − ⋅ + ≥ { 1 1, 2 0, 3 0}x x x= = =
> subs(%, z); 1
Ответ: 1 2 30, 0, 0,x x x= = = min 1.z = Пример 2. Найти наибольшее значение функции 1 25 3z x x= + + при ограниче-
ниях 1 2
1
2
10,6,8.
x xxx
+ ≤⎧⎪ ≥⎨⎪ ≥⎩
Решение: > with(simplex). > : 5 1 3 2;z x x= + + ⋅
: 5 1 3 2z x x= + + ⋅
> ( , { 1 2 10, 1 6, 2 8}, );maximize z x x x x NONNEGATIVE+ ≤ ≤ ≤ { 1 2, 2 8}x x= =
> subs(%, z); 31
Ответ: 1 22, 8,x x= = max 31.z = 3. Задания 3.1. Максимизируйте линейную функцию 1 22 2z x x= + при ограничениях
1 1 2 1 23, 3 2 6, 3 3.x x x x x≤ − ≥ − + ≥ 3.2. Максимизируйте линейную функцию 1 212 4z x x= + при ограничениях
1 2 1 1 212, , 0.2
x x x x x+ ≥ ≥ − ≤
3.3. Найдите наибольшее значение функции 1 2 33 3z x x x= + + при ограничени-ях 2 3 1 2 2 1 23, 0, 1, 3 15.x x x x x x x+ ≤ − ≥ ≥ + ≤
3.4. Найдите наибольшее значение функции 1 2 33 6 2z x x x= − + при ограниче-ниях 1 2 3 1 2 33 3 2 6, 4 8 8.x x x x x x+ + ≤ + + ≥
3.5. Найдите наибольшее значение функции 1 23z x x= + при ограничениях 1 2 1 2 24 4, 6, 2.x x x x x+ ≥ + ≤ ≤
3.6. Найдите наименьшее значение функции 1 2 32 3z x x x= − − + при ограниче-ниях 1 2 1 2 32, 3 6, 3.x x х х х+ ≥ + ≤ ≤
3.7. Найдите наибольшее значение функции 1 28 2z x x= − при ограничениях 1 2 1 2 2 1 2 1 23 4 18, 3 3, 6, 2 18, 4 24.x x x x x x x x x+ ≥ − ≥ ≤ + ≤ − ≤
55
3.8. Максимизируйте линейную форму 4 5z x x= − + при ограничениях 1 4 5 2 4 5 3 4 52 1, 2 2, 3 3.x x x x x x x x x+ − = − + = + + =
3.9. Максимизируйте линейную форму 2 3z x x= + при ограничениях 1 2 3 2 3 41, 2 2.x x x x x x− + = + + =
3.10. Максимизируйте линейную форму 1 42z x x= − при следующей системе ограничений:
1 2
2 4
1 2 3
20,2 5,
8.
x xx x
x x x
+ =⎧⎪ + ≥⎨⎪− + + ≤⎩
3.11. Найдите наибольшее значение линейной функции 1 27 5z x x= + на множе-стве неотрицательных решений системы уравнений:
1 2 3
1 2 4
2 5
1 6
2 3 19,2 13,3 15,3 18.
x x xx x xx xx x
+ + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + =⎪⎪ + =⎩
3.12. Найдите решения, минимизирующие линейную форму 1 3z x x= − , на множестве неотрицательных решений системы уравнений:
1 2 3
1 2 4
2 1,3 2.
x x xx x x− + =⎧
⎨ + + =⎩
3.13. Найдите решения, минимизирующие линейную форму 1 2 312 5 3z x x x= + + , на множестве неотрицательных решений системы уравнений:
1 2 3
2 3 4
4 3 180,4 9 12 900.
x x xx x x+ + =⎧
⎨ + + =⎩
4. Контрольные вопросы. 4.1. В чем заключается основная задача линейного программирования? 4.2. Что называется целевой функцией? 4.3. В чем заключается симплекс-метод? 4.4. Как с помощью Maple 14 выяснить существует ли решение для данной
системы ограничений? 4.5. Перечислите функции Maple 14 для решения задач линейного программи-
рования.
Электронное издание
Сергей Тимурович Касюк Александра Александровна Логвинова
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА НА КОМПЬЮТЕРЕ В ПРОГРАММЕ MAPLE 14
Учебное пособие
по лабораторным работам
Издательский центр Южно-Уральского государственного университета
__________________________________________________________________ Подписано в печать 14.03.2011. Формат 60×84 1/16.
Усл. печ. л. 3,49. Заказ 46. __________________________________________________________________