حلول تمارين الكتاب المدرسى جبر للصف الثالث الثانوى

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

http://www.pdffactory.com


٢

: فإن و أمكن إجراء عملية أخرى بطرق عددها إذا أمكن إجراء عملية ما بطرق عددها × =د طرق إجراء العمليتين معًا عد

/ أشخاص على هذه المقاعد ؟ ٣ جلوس فما عدد طرق مقاعد مختلفة ، ٥ إذا كان لدينا

$ D ٤لشخص الثانى بطرق عددها ، يمكن جلوس ا٥ يمكن جلوس الشخص األول بطرق عددها

٣ ، يمكن جلوس الشخص الثالث بطرق عددها E طريقة٦٠ = ٣ × ٤ × ٥ يمكن جلوس األشخاص الثالثة بطرق عددها

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/

: إذا كان ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١يمكن تكوينه من األرقام كم عددًا مكونًا من رقمين آحاد عشرات تكرارإذا سمح بال: غير مسموح بتكرار أى رقم فى العدد ثانيًا : أوًال

$ ٤ ، خانة العشرات يمكن شغلها بطرق عددها ٥ خانة اآلحاد يمكن شغلها بطرق عددها D: أوًال

E عددًا ٢٠ = ٤ × ٥ = عدد األعداد أوًال أيضًا ٥مكن شغلها بطرق عددها ، خانة العشرات ي٥ خانة اآلحاد يمكن شغلها بطرق عددها D: ثانيًا

ثانيًا عددًا ٢٥ = ٥ × ٥ =عدد األعداد E "حيث يسمح بالتكرار " ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ .تعطى مدرسة ثالث جوائز أوالها فى القسم األدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات على التوالى ، فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟٤ ، ٧ ، ٨فإذا كان عدد المتسابقين $ D ٨يمكن توزيع الجائزة األولى بطرق عددها

٧ الثانية بطرق عددها الجائزة، و يمكن توزيع ٤ الجائزة الثالثة بطرق عددها ، و يمكن توزيع

E طريقة ٢٢٤ = ٤ × ٧ × ٨ = يمكن توزيع الجوائز الثالثة بطرق عددها

العدد




٣

/ العدد ؟٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ رقام يمكن تكوينه من األختلفةأرقام مكم عددًا من أربع

آالف مئات آحاد عشرات دون تكرار للرقم ؟٥و كم عدد هذه األعداد التى يبدأ كل منها بالرقم $ :األعداد المكونة من أربع خانات:أوًال D خانة المئات ، ٤ بطرق عددها اختيارهايمكن ، خانة العشرات ٥ بطرق عددها يارهااخت خانة اآلحاد يمكن

٢ بطرق عددهااختيارها ، خانة اآلالف يمكن ٣ بطرق عددها اختيارها يمكن E عددًا ١٢٠ = ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = عدد األعداد المكونة من أربع خانات من األرقام المعطاة أوًال : و مكونة من أربع خانات دون تكرار للرقم ٥األعداد التى تبدأ بالرقم :يًا ثانD ٤ بطرق عددها اختيارها بطرق عددها طريقة واحدة ، خانة العشرات يمكن اختيارها خانة اآلحاد يمكن

٢ ها بطرق عدداختيارها، خانة اآلالف يمكن ٣ بطرق عددها اختيارها و خانة المئات يمكن Eدون تكرار للرقم ٥ عدد األعداد التى تبدأ بالرقم و مكونة من أربع خانات = ٢ × ٣ × ٤ × ١

ثانيًا عددًا ٢٤ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

خروج منها بشرط أال يسمح لهحديقة لها ثمانية أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و ال ] ١[ قد دخل منه ؟الباب الذى بالخروج من ، Y = ،: ، S، b ٦ ( سG ٢ ط ، س : س S = إذا كانت ] ٢[

Y أوجد عدد عناصر : يأتى أوجد بفرض عدم السماح بتكرار أى رقم كل مما ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، S = ٣إذا كانت ] ٣[

S أرقام يمكن تكوينه من عناصر ٥كم عدد مكون من : أوًال ٥ أو ٤ بشرط أّال يكون رقم آحاده S أرقام يمكن تكوينه من عناصر ٥كم عدد مكون من : ثانيًا ٥رقم عشراته و ٤ بشرط أّال يكون رقم آحاده S أرقام يمكن تكوينه من عناصر ٥كم عدد مكون من : ثالثًا

و بفرض عدم السماح بتكرار أى رقم أوجد عدد كل من األعداد٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، S = ١إذا كانت ] ٤[ أرقام بالضبط٣ األعداد التى تحتوى على :أوًال S اآلتية المكونة من عناصر

أرقام على األقل٣ األعداد التى تحتوى على :ثالثًا قام على األكثر أر٣ األعداد التى تحتوى على :ثانيًا ؟ ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١كم عددًا من خمس خانات تبدأ برقم فردى يمكن تكوينها من األعداد ] ٥[ من أربعة و تتكون١ بحيث تبدأ بالرقم ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١كم عددًا يمكن تكوينه من األرقام ] ٦[

أرقام دون تكرار للرقم ؟




٤

;

; R

. بأخذها كلها أو بعضها فى كل مرة األشياء هى كل ترتيب يمكن تكوينه من مجموعة من العناصر

عدد األشياء المطلوبة 'عدد األشياء المتاحة = R ' ; التبديلة

١ + × ...... ×; R ٣ ; ٢ ; ١ R = ; ; ' ; :مل قانون العوا ] ١[

و يساوى عدد العوامل الدليل : R ، العلم : ; حيث من ، كل ; ، R L X + ١ بحيث G R G ;

* إذا كانت; ' R = إذا أردنا إيجاد قيمة ** قيمة عددية; ' R ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١ × ٢ × ٣× ...... × ٣ ; ٢ ; ١ ; ; = ;= ; ' ; :مضروب العدد ] ٢[

١ و ينتهى بالعدد ; يبدأ بالعدد ;مضروب العدد * ** ; = ; ; ١ = ; ; ١ ; ٢ = ; ; ١ ; ٢ ; ٣

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــ = R ' ; :قانون المضروبات ] ٣ [

* عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم ** عندما يكون الدليل رمز فى إثبات العالقات الجبرية ***

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :المضروبات التباديل و مالحظات هامة على ] ٤[ ١ ; ' ١ = ; ٢ ; ' ١ = ٠ ٣ ١= صفر = ١

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ R = , ' R ' ;: إذا كان ] ٥[

صفر = s Rصفر = الدليل ٢ : أو , = ; sالعلم = العلم ١: فإما /

, ، ; فأوجد قيم كٍل من ٧٢٠ = , ، ٢٤ = ٣ ' ; إذا كان $ D ; ' العلم= إلى ثالثة عوامل متتالية مرتبة تنازليًا أكبرها ٢٤ نحلل العدد ٢٤ = ٣ E ; ' ٢ × ٣ × ٤ = ٣ E ; = ٤ D , = ٧٢٠ E ١ إلى عوامل متتالية تنتهى بالعدد ٧٢٠ نحلل العدد E , = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ E , = ٦




٥

٧ ١٠

٧ ١٠

٧ ١٠

٢ ١ + ; ٢ ;+٢ ;+١

٧ ١٠

٢ + ; ٤ ;٢ + ; ٣ + ٢

٧ ١٠

- ٢ ٧

/ ٥إذا كان ' = ١٠ ، ١٢٠ ' = فأوجد قيمة كل من ٥٠٤٠ ، $ D ٥ ' = ١٢٠ E ٥ إلى عوامل متتالية أكبرها ١٢٠ نحلل العدد E ٥ ' = ٢ × ٣ × ٤ × ٥ E = عدد العوامل " ٤"

"عدد العوامل " ٥ = E ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ = ' ٥ أو s = أو ٤ = ٥

D ١٠ ' = ٥٠٤٠ E ١٠ إلى عوامل متتالية أكبرها ٥٠٤٠ نحلل العدد E ١٠ ' = ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ E = عدد العوامل " ٤"

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ ١٤ = ٤ ' ;إذا كان × ; ؟; فما قيمة ٣ ' ٢ $ D ; ' ١٤ = ٤ × ; ٣ ' ٢ E ; ; ١ ; ٢ ; ٣ = ١٤ ; ٢ ; ٣; ٤ E ; ; ١ = ١٤ ; ٤ E ;٢ ; = ١٤ ; ٥٦ E ;٢ ٠ = ٥٦+ ; ١٥ E ; ٧ ; ٨ = ٠ s ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٨ = ; أو ٧

/٤ ــــــــــــ ــــــــ :اختصر

$ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ =; ٣ ; ٢ = ;٦ + ;٥ + ٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ ١ + ; ٢: إذا كان ' ; ٢ : ١ ; ١ ' ; = ؟ ;يمة فما ق ١٠ : ٧ $ D ١ + ; ٢ ' ; ٢ : ١ ; ١ ' ; = ١٠ : ٧ Eــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــ ـ ÷ـــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــ = ـــــــــــــــــــــ× ــــــــــــــــــــــEــــــــ= ــــــــــــــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــ

E ــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــE ـــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــــ

E ٧ ;٢ + ;٣ + ٢ = ١٠ ٢ + ; ٤ E ١٤ + ; ٢١ + ٢; ٧ –٤٠ ;–٠ = ٢٠ E ٢; ٧ ١٩ ; ٠ = ٦ E ٢ + ;٧ ; - ٣ = ٠

٣ = ; s ٠ = ٣ ; أو +M X مرفوض ــــــــ = ; s ٠ = ٢ + ; ٧إما

; + ٣ ; + ١

; + ٣ ; + ١

; ٣ ; ٢ ; ١ ; ١

١ + ; ٢ ١ + ; ٢ ; + ١

٢ ; ١ ٢ ; ١ ;

٢ ; ١ ; + ٢

; ١ ٢ ; ١

١+;٢٢; ٢; ١ ;+٢;+١; ; - ١

; ١ ٢ ; ١




٦

١ ٥

١ ٤

١ ٢

١٠ + ٥ + ٤ ٢٠

١٩ ٢٠

/ أن أثبت :; ' R : ; ' R ١ = ; R + ١ $

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ× ــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ ÷ ــــــــــــــ ــــــ= الطرف األيمن

= ; R + ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ١٠ : أن أثبت = ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١ × ٥ ٥ ٢ $ ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ × ٩ × ١٠ = ١٠

= ٢ × ٤ × ٦ × ٨ × ١٠ × ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩ = ١ × ٢ × ٢ × ٢ × ٣ × ٢ × ٤ × ٢ × ٥ × ٢ × ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩ = ٥ × ٥ ٢ × ١ × ٣ × ٥ × ٧ × ٩

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كانتS = س : سL X ، ٣ G ٥ ( س ، Y = A ، ، { A : ، ، { L S، A b b { أوجد عدد عناصر Y $ D S = ٣ ، ٢ ، ٤ ،٣ ، ٢ ، ١ ، ٠ ،١

E عناصر عددY = عنصر ٣٣٦ = ٦ × ٧ × ٨ = ٣ ' ٨ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ٦: إذا كان ' R =٦ × ٤ ' R ١

ــــــــــــــــــ ـ + ـــــــــ ـ ــــــــ + ــــــــــــــــــــ: فأوجد قيمة

$

D ـــــــــــــــــــــــــــــــ × ٤= ـــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــ E ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

E ـــــــــــــــــ = ١ s ٧ R = ٤ E R = ٣ E ـــــــــــــ+ ــــــــــــــ + ــــــــــــــ = ــــــــ+ ــــــــ + ــــــــ = المقدار

ـــــــ= ـــــــــــــــــــــــــ= ـــــــ + ـــــــ + ـــــــ =

; ; - R

; ; - R+١

; ; - R

;) R + ١ ; R ;

R + ١ R + ٢

R ٢ R ١

R R + ١

٦ ٦ R

٦ ٦ R + ١

١ ٦ R

٤ ٧ R

١ ٦ R

٤ ٧ R ٦ R

٤ ٧ R

٤ ٥

٣ ٤

١ ٢

٤ ٤ ٥

٣ ٣ ٤

١ ١ ٢




٧

بكم طريقة يمكن انتخاب حرف صحيح و آخر معتل من أربعة حروف صحيحة و ثالثة معتلة ؟ ] ١[ .تعطى مدرسة ثالث جوائز أوالها فى القسم األدبى و الثانية فى القسم العلمى و الثالثة فى قسم الرياضيات ] ٢[

على التوالى فبكم طريقة يمكن توزيعها ؟٤ ، ٧ ، ٨ن عدد المتسابقين فإذا كا ؟" انتخبوه " حروف من كلمة ٥ما عدد التراتيب المختلفة التى يمكن تكوينها إذا أخذنا ] ٣[ اء عددها مأخوذة ثالثًا ثالثًا يساوى خمسة أمثال تراتيب أشي;أشياء عددها إذا كان أربعة أمثال تراتيب ] ٤[ ; ١ مأخوذة ثالثًا ثالثًا فأوجد ;. ؟ ٦٥٤٣٢١ ما عدد التراتيب الممكن عملها من أرقام العدد ] ٥[ دون تكرار ؟٥ و ينتهى بالرقم ١ و ما عدد ما يبتدئ منها بالرقم ؟٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١كم عددًا من أربع خانات يمكن تكوينه من األعداد ] ٦[

دون تكرار الرقم ؟٥ مبالرقاألعداد التى يبدأ كل منها و كم عدد هذه ؟٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١كم عددًا من خمس خانات تبدأ بعدد فردى يمكن تكوينها من األعداد ] ٧[ ن شجرتين دون تكرار ؟كم ترتيبًا يمكن تكوينه من خمسة أنواع من األشجار كل ترتيب منها مكون م ] ٨[ و تتكون من أربعة ١ بحيث تبدأ بالرقم ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١كم عددًا يمكن تكوينه من األعداد ] ٩[

أرقام دون تكرار للرقم ؟ ;٢ فأوجد ٢٤ = ;إذا كان ] ١٠[

' ٣ ١ + R فأوجد ٦٧٢٠ = R ' ٨إذا كان ] ١١[ ؟; فأوجد قيمة ٣ ' ٢ ; × ١٤ = ٤ ' ;إذا كان ]١٢[ ٧٢ = ١ ; : ١+ ; : إذا علم أن ٢ ' ; + ١ ' ; + ' ;: أوجد قيمة ] ١٣[ ١ R ' ١ + ;: فأوجد قيمة ٧٢٠ = R ، ٦٠٤٨٠ = R ' ; كان إذا ] ١٤[ ١ R ' ١ R + R ; ' ١ R = ; ' ;: أن أثبت] ١٥[ ; فأوجد ٥ : ٧٢ = ٣ ' ١ ; ٢ : ٤ ' ١ + ; ٢إذا كان ] ١٦[ R فأوجد ٦٠٤٨٠ = R ' ٩إذا كان ] ١٧[ ٥ ٥ ٢ × ٩ × ٧ × ٥ × ٣ × ١ = ١٠: أثبت أن ] ١٨[ ; ;٢ × ١ ; ٢ ×..... × ٥ × ٣ × ١ = ; ٢: أثبت أن ] ١٩[ س ' ص أوجد ٥٠٤٠= ص + س ٢ ، ٣٦٠ = ٤ 'ص + س إذا كان ] ٢٠[




٨

; ; R

ــ ــــــــــــــــ+ ـــــــــــــــــ + فأوجد قيمة ــــــــــــــــــ ١ R ' ٦ × ٤ = R ' ٦إذا كان ] ٢١[

٧ G س G ١ ، { Lس : س S = إذا كانت ] ٢٢[ ؟X عدد عناصر كم X = A ، A : ، L S، A b و كانت

٤ G س G ٣ L X ، س : س S = إذا كانت ] ٢٣[ ، Y = A ، ، { A : ، ، { L S، A b b { كم عدد عناصر Y؟

؟; فما قيمة ٧ = ــــــــــــــــــ : ٣ ' ١ + ; إذا كانت ] ٢٤[ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:أوجد قيمة كل من ] ٢٥[ ) A ( ٤ + ٢ ' ٨ ' ٣ ' ٥ ) ( ٦ ٤

) { ( ٣ ' ٥ ٤ ) ( ٠ ' ٨ + ١ ' ٨ ) ( ٣ + ٢ + ١ + ٠

R فأوجد قيمة ٦٠٤٨٠= ١ + R ' ٩: إذا كان ] ٢٧ [ R فأوجد قيمة ٧٢٠= R ' ١٠: إذا كان ] ٢٦[ ' ; , فأوجد قيمة ٣٠ = ٢ ' ;، ٩٠ = ٢ ' , :إذا كان ] ٢٩ [ ; فأوجد قيمة ٣٣٦= ٣ ' ; :إذا كان ] ٢٨[ فأوجد قيمة س٥٠٤٠= س : إذا كان ]٣٠[ R ، ; فأوجد قيمة كل من ٦٠٤٨٠ = R ' ; ، ٧٢٠ = R: إذا كان ] ٣١[ ; فأوجد قيمة ٦٠= ٢ ; ' ;: إذا كان ] ٣٢[ ; فأوجد قيمة ٥٦ = ١ ; ' ٥ + ;: إذا كان ] ٣٣[ ٣ ; فأحسب قيمة ٦٥ = ٢ ' ; + ١ ' ; + ' ;: إذا كان ] ٣٤[ ص' ; فأحسب قيمة ٥٠٤٠= ص + ، س ٦٧٢٠ = س' ٨ ، ٢١٠ = ' ;: إذا كان ] ٣٥[ ; فأوجد قيمة ' ٨ × ٩٠ = ٥ ;' ;: إذا كان ] ٣٦[ ;يمة فأوجد ق١٢٠= ١ - ; ١ + ; ;: إذا كان ] ٣٧[ ٩٩× ..... × ٥ × ٣ × ١ ٥٠ ٥٠ ٢ = ١٠٠: أثبت أن ] ٣٨[ :إذا كان R ، ;ــــــــــــــــ و استخدم ذلك فى إيجاد قيمة = R ' ١ R : ; ' ;: أثبت أن ] ٣٩[

; ' R : ; ١ ' R : ; ٢ ' R = ٢ : ٤ : ٧

R + ١ R + ٢

R ٢ R ١

R R + ١

; ; ٢




٩

; Q R ; Q R - ١

; - R + ١ R

الدليل األصغر-العلم الدليل األكبر

; Q R هى عدد طرق اختيارR من األشياء المختلفة; من العناصر المختلفة من بين

بدون ترتيب العناصر التى نختارها

عدد األشياء المطلوبة Qعدد األشياء المتاحة = Q R ; وفيقةالت

:ة بين التباديل و التوافيق قانون العالق ] ١[

; Q R = ــــــــــــــ

G R G ; ١ بحيث + R L X ، ; ، كٍل من الدليل : Rالعلم ، : ;حيث * إذا كانت; Q R = إذا أردنا إيجاد قيمة ** قيمة عددية; Q R ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :قانون المضروبات ] ٢[

; Q R = ــــــــــــــــــــــــــــــــ

* عندما يكون الدليل عدد كبير معلوم** عندما يكون الدليل رمز ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ فى إثبات العالقات الجبرية ***

:قانون تبسيط الدليل ] ٣[

; Q R = ; Q ; - R

إذا زادت قيمة الدليل R عن نصف قيمة العلم ; * : إذا كان :; Q س = ; Q فإما ص :١ ص أو = س :٢ص + س =;

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :قانون النسبة بين توفيقتين متتاليتي الدليل ] ٤[

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــ ــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ :مالحظات هامة على التوافيق ] ٥[

]١[ ; Q ٢[ ١ = صفر[ ;

Q ٣ [ ; = ١[ ; Q ; = ٤ [ ١ [;

Q R +; Q R + ١+ ;= ١ Q R + ١

; ' R R

; ; R R




١٠

٣ × ٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤ ٤ × ٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣ × ٤

٥×٦×٧ ١×٢×٣

١٠ × ١١ × ١٢ ١ × ٢ × ٣

; R + ١ R

; Q R ; Q R ١ ; Q R ; Q R ١

; R + ١ R

/ ٦: من لأوجد قيمة ك Q ٧ ، ٤ Q ١٢ ، ٤ Q ٥٠ ، ٩ Q ١

$ * ٦ Q ١٥= ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــ = ٤

* ٧ Q ٧ أو ٣٥ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ = ٤ Q ٧ = ٤ Q ٣٥= ــــــــــــــــ = ٣

* ١٢ Q ١٢ = ٩ Q باستخدام قانون التبسيط " ٢٢٠= ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ =٣"

* ٥٠ Q ٥٠ = ١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ـــــــــــــــــــــــــــــ= ـــــ ــــــــــــــــ: ثبت أن أ

$ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ÷ ــ ــــــــــــــــــــــــــــــ= ــــــــــــــــــــ= الطرف األيمن

ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كان :; ' R = ٧٢٠ ، ; Q R =فما قيمة ١٢٠ ; ، R؟

$ D ; Q R =١٢٠ E١٢٠= ـ ـــــــــــــــ s ١٢٠= ـــــــــــــ

E R = ـــــــــE R = ١ × ٢ × ٣ = ٦ s R = ٣

، D ; ' R = ٧٢٠ E ; ' ٨ × ٩ × ١٠ = ٣ s ; = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١٠ / إذا كان :; Q ١٢٠ = ٣ ، ; Q R ٢+ ٢ R = ; Q ٢ R + فما قيمة ٥; Q ٧R + ٣

$ D ; Q ١٢٠ = ٣ E ١٢٠= ــــــــــــ E ; ' ٨ × ٩ × ١٠ = ٧٢٠ = ٣ E ; = ١

،D ; Q R ٢+ ٢ R = ; Q ٢ R + ٥

Eإما R ٢ + ٢ R = ٢ R + ٥ s R ٢ = ٥ s R = مرفوض

R أو ٢ + ٢ R + ٢ R + ١٠ = ٥ E R

٤ + ٢ R ٠ = ٥ E R ١ R + ٥ = ٠ s R = أو ١ R = مرفوض ٥ M X +

E ; Q ٧R + ١٠ = ٣ Q ١٠ = ٣ + ٧

Q ١ = ١٠

٤ ' ٦ ٤

٤ ' ٧ ٤

٣ ' ١٢ ٣

; ; R R

; ; R + ١ R ١

; ; R × R R ١

; )R+١ ( ;R R ١ ;

; ' R R

٧٢٠ R

٧٢٠ ١٢٠

; '٣ ٣

٥




١١

; Q R ; Q R ١

; R + ١ R

; Q R + ٢ ;

Q R + ١

٤ ٥

; R ١ + ٢ R + ٢

٤ ٥

٢R ٢ R + ٢

٤ ٥

; Q R ٢ ;

Q R + ٤ ١٤ ١٤

; Q R ٢ ;

Q R ١٤ ٣

; Q R ٢ ;

Q R + ١

; Q R ١ ;

Q R ١٤ ٣

; R ١ + ٢ R + ٢

; R ١ + ١ R + ١

١٤ ٣

R + ٥ R + ٢

R + ٦ R + ١

١٤ ٣

٣١ ١١

/ إذا كان :; Q ; ؟; ، فما قيمة ٣٦ = ٢

$ D ; Q ; ٣٦ = ٢ E باستخدام قانون التبسيط نجد أن :; Q ٣٦ = ٢ E ٣٦= ــــــــــــ E ; ' ٨ × ٩ = ٧٢ = ٢ E ; = ٩

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كان :;

Q R : ; Q ; ٢ = ١ ، ; Q R + ٢ :; Q ; ٥ : ٤ = ١

؟ R ، ; فما قيمة كل من

$ D ٢= ـــــــــــــــــــــ ـ E باستخدام قانون النسبة s ٢= ــــــــــــــــــــــــ

E ; ٣ R + ٠ = ١ o ١ ،Dـــــــ = ــ ــ ـــــــــــــــــــE باستخدام قانون النسبة sــــــ= ـ ــــــــــــــــــــ ــــــــــــ

ــــــ= ـــــــــــــــــــ E ١ R ٣ = ;عن ) ١( ، بالتعويض من

E ١٠ R ٤ = ١٠ R + ٨ E ٦ R = ١٨ E R = ٨ = ; و منها ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ إذا كان :; Q R : ; Q R ٢: ;

Q R + ١٤ : ١٤ : ٣ = ٤ ؟R ، ; من فما قيمة كل

$ D ١= ــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ E ; Q R ٢ = ; Q R + ٤

E إما R + ٤ = R + ٢ s مرفوض٢ = ٤ ١ o ٦ + R ٢ = ; s ; = ٢ + R + ٤ + R أو

،D ــــــ = ـــــــــــــــــــــــE ــــــ= ـــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ

E و بالتعويض من ـــــــ= ـ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ× ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ١

E ـــــــ = ـــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــs ١١ R ٩+ ٢ R ٠ = ٦٢

E ١١ R + ٣١ R ٢ = ٠ + M Xــــــــــ مرفوض = s R ٠ = ٣١ + R ١١ إما

١٠ = ; E ١ و بالتعويض فى ٢ = s R ٠ = ٢ R أو

; '٢ ٢




١٢

; Q ١٢ ; Q ١١

; ١ + ١٢ ١٢

; R

R Q ٥ R + ١

Q ٦

R Q ٤ R Q ٥

R + ١ Q ٦

R Q ٥

R Q ٥ R Q ٤

R + ١ ٦

R ٤ ٥

/ إذا كان ; Q ١٢ ( ; Q ٢٣ ) ;: أثبت أن ١١

$D ; Q ١٢ ( ; Q باستخدام قانون النسبة و ذلك بقسمة الطرفين على ١١ ; Q ١١ E ١ ) ــــــــــــــــ E ١ ) ــــــــــــــــــــــــــ E ; ١٢ ) ١١ E ; ( ٢٣

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ أثبت أن :;

Q R = ـــــــ ×; ١ Q R ــو من ثم أوجد قيمة ـــــــــــــــــــــــــــــــ ١ $

;= ـــــــ ــــــــــــــــــــــــ= ــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ× ـــــــ = الطرف األيسر Q R

٢٤ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ بالقسمة بسطًا و مقامًا على = ومن ثم المقدار Q ٣

E ــــــــــــــــ + ١ ÷ ١+ ــــــــــــــ = المقدار

ـــــــ = ـــــــــــــــــ= ـــــــ + ١ ÷ ١+ ـــــــ = المقدار Eو باستخدام اإلثبات ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ٩: إذا كان Q R ( ١ ، R Q ٨: أوجد قيمة ١ ) ٧ ' R $D ٩ Q R ( ١ E ٩ ( R o ١

، D R Q ١ ) ٧ E R ( ٧ o ٢ ٨ = D R L X + s R ، ٩ ( R ( ٧ E ٢ ، ١ من E ٨ ' R = ٤٠٣٢٠ = ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥ × ٦ × ٧ × ٨ = ٨ = ٨ ' ٨

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كانR + ١

Q ٦ ، R Q ٥ ، R Q فى تتابع هندسى ، فما قيمة ٤ R؟

$ D R + ١ Q ٦ ، R Q ٥ ، R Q فى تتابع هندسى ٤

E ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــsــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ Eـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــEـــــــــــــــــ = ــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــ E ـــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــ E ٦ R ٥ = ٢٤ R + ٥ s R = ٢٩

; R

٢٥ Q ٢٤+ ٤ Q ٣

٢٤ Q ٢٣ + ٣

Q ٢ ; ١

; ١ R + ١ R ١

;

; R R ٢٥ Q ٢٤+ ٤

Q ٣ ٢٤

Q ٢٣ + ٣ Q ٢٥ ٢ Q ٤

٢٤ Q ٣

٢٣ Q ٢ ٢٤ Q ٣

٣ ٢٤

٢٥ ٤

٢٤ × ٢٩ ٢٧ × ٤

٥٨ ٩

R + ٥ × ١ R ٥ ٦ R ٥ × R

R ١ + ٥ ٥

R + ١ R ٥ ٥ ٦ R

R ٤ ٥




١٣

٣ × ٤ × ٥ ١ × ٢ × ٣

١٧×١٨×١٩×٢٠ ١×٢×٣×٤

٩ × ١٠ ١ × ٢

١٠×١١×١٢ ١×٢×٣

٧×٨×٩ ١×٢×٣

/أعلنت شركة عن وجود ثالث وظائف بها ، تقدم لهذه الوظائف خمسة أشخاص أشخاص ؟٣ريقة يمكن اختيار ط بكم

$ ٥= عدد الطرق Q طرق١٠ = ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ طالبات ١٠ طالبًا ، ٢٠أعضاء من بين ٦بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة للطلبة بها طالب و طالبتين ؟٤ بحيث تتكون اللجنة من

$ ٢٠= طالبًا بطرق عددها ٢٠ طالب من بين ٤يمكن انتخاب Q ٤٨٤٥= ــــــــــــــــــــــــــــ = ٤

٤٥= ـــــــــــــ = ٢ Q ١٠= ات بطرق عددها طالب١٠و يمكن انتخاب طالبتين من

E طريقة ٢١٨٠٢٥ = ٤٥ × ٤٨٤٥= عدد الطرق الممكنة النتخاب اللجنة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ يوجد ستة شوارع تؤدى من المكان إلى المكان و أربعة شوارع تؤدى من المكان ، إلى المكان كم طريقة يمكن اختيارها لتؤدى من ، إلى مكان بحيث تمر بال؟

$ " من إلى " ٦= شوارع بعدد من الطرق ٦اختيار شارع من يمكن Q ٦ = ١

" من إلى " ٤= شوارع بعدد من الطرق ٤يمكن اختيار شارع من Q ٤ = ١

E طريقة٢٤ = ٤ × ٦= عدد الطرق الممكنة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ شخصًا١٢ أشخاص من بين ٣بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين كل منهما تتكون من بحيث ال يدخل شخص فى كلتا اللجنتين ؟

$ ١٢= يمكن انتخاب اللجنة األولى بعدد من الطرق Q طريقة ٢٢٠= ــــــــــــــــــــ = ٣

ق للجنة الثانية بعدد من الطر٣ أشخاص ينتخب منهم ٩يتبقى " اللجنة األولى " فإذا انتخبنا ثالثًا

=٩ Q طريقة ٨٤= ــــــــــــــــــــ = ٣

E طريقة١٨٤٨٠ = ٨٤ × ٢٢٠= عدد الطرق التى يمكن بها انتخاب اللجنتين

٣ × ٤ × ٥ ٣




١٤

١ ٣

١٧ Q ١٧ + ٦

Q ٥ ١٨ Q ٥

٢٥ Q ٢٤+ ٤ Q ٣

٢٤ Q ٢٣ + ٣

Q ٢

; R

:احسب قيمة كل مما يأتى ] ١[ ١٣

Q ٦ ٢٠ Q ٤ ٢٠

Q ٧ ١٠٠ Q ٩٨

;: إذا كان ] ٢[ Q فأوجد قيمة ٤٣٥ = ٢ ;

;: إذا كان ] ٣[ Q فأوجد قيمة ; ٣٠ــــــ = ٣ ;

Q ١٠

; + ,: إذا كان ] ٤[ Q ٥٦ = ٣ ، ,

Q فأوجد قيمة ٣ = ٢ ; ,

;: إذا كان ] ٥[ Q ٢ فأوجد قيمة ١٢٠ = ٣;

Q ; +٥

; : إذا كان ] ٦[ Q R ٢+ ٢ R = ;

Q ٢ R + و كان ٥ ، :; Q أوجد ١٢٠ = ٣ ، ;

Q ٧R + ٣ ;: أثبت أن ] ٧[

Q R + ; Q R + ١+ ; = ١

Q R +ومن ثم ١ :

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ: ة أوجد قيم

أثبت أن : ;

Q R + ٢ + ١ ; Q R + ;

Q R ٢ + ; = ١ Q R + ١

; أن أثبت ] ٨[ Q R : ; ١

Q R و من ثم أوجد ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــ = ١

;إذا علم أن ] ٩[ Q R : ;

Q R ٢ : ;

Q R + فأوجد قيمة كل من ١٤ : ١٤ : ٣ = ٤ ; ، R

بكم طريقة يمكن انتخاب لجنتين تتكون كل منها من أربعة أشخاص من بين عشرة أشخاص بحيث ال يدخل ] ١٠[ شخص فى كلتا اللجنتين ؟

من سبعة أعضاء من بين تسع بنات و خمسة أوالد بحيث يحتوى الفريق علىبكم طريقة يمكن تكوين فريق ] ١١[ ثالثة أوالد فقط ؟

طالبات بحيث تتكون اللجنة من٨ طالبًا و ١٥بكم طريقة يمكن انتخاب لجنة بها ثمانية أعضاء من بين ] ١٢[ خمسة طلبة و ثالث طالبات ؟

; + ,كوك أكتب مف ] ١٣[ Q ; ٥ ٧ يقبل القسمة على ١٢: ومن ثم أثبت أن




١٥

١٤ R ١٥ R R R ١

; Q ٢ × ١;

Q ٢ ٣;

Q ٣ ٢;

Q ٢ ٣ ; ١

Q ٢

;ـــــــــــــ فأوجد قيمة = إذا كان ـــــــــــــــــــ ] ١[

ـــــــــــــــــــــ= ــ ـــــ ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــ أثبت أن ] ٢[

١ + × ١٠ = ٣ ' ١ + حل المعادلة ] ٣[ Q حيث ٥ L مجموعة األعداد الطبيعية

١ + ;أثبت أن ] ٤[ Q R + ١ - ;: ١ Q R + ١ = ; ; + ١ : ; R ; R ١

١٨ و من ثم أوجد Q ١٦ : ٦

Q ٦

;إذا كان ] ٥[ ' ٢ = ٢ ، ,

+;

, فأوجد قيمة ٩٠ = ٢ '

+; Q , ;

;إذا كان ] ٦[ ' R = ٢١٠ ، ;

Q R = فأوجد قيمتى ١٠٥ ; ، R

;إذا كان ] ٧[ ' R = ١٢٠ ;

Q R١٢أوجد قيمة ف Q ٢R

و التى تجعل هذه العالقة صحيحة ; ثم أوجد أقل قيمة للعدد ,إذا كان ] ٨[

Q , ٣٥ = ٤ ، ; Q , = ;

Q , + ؟; ، , فما قيمة ١

١ × ٠٠٠ × ٧ × ٩ × ١١ × ٥ ٥ ٢ = ١١أثبت أن ] ٩[

;ا كان إذ ] ١٠[ Q ٧ =;

Q ١٣ فما قيمة كل من; Q ١٨ ،٢٣

Q ;؟ ١٣أثبت أن ] ١١[

Q R =١٣ ×ـ ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــ Q R ٢

٢ + ; إذا كان ] ١٢[ Q R + ١ + ; × ٩ = ١

Q R =٩٠ × ; Q R - ١

R ، ;ل من فأوجد قيمة ك

ـــــــــــــــــــــــ= أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ] ١٣[

٢٤إذا كان ] ١٤[ Q ٢ R ٢٤= ١

Q R فما قيمة ٤ R ؟ ٢ '

;إذا كان العامل األوسط فى مفكوك ] ١٥[ و كان س٩يساوى ٧ '

٤ = ; ــ ٢ + L X فأوجد س حيث س

٣ ــ ;٣

٥ ٢ ــ ;

١ ــ R ــ ;R ; ١ ــ

١ ــ R ــ ;R ١ ــ ;

R ــ ;; R




١٦

٧ ٦

١ ٦

; + ١ ; + ٢ × ٢ × ٠٠٠٠٠٠ ; ٠٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ × ١ ــ ; ٢

سإذا كان ] ١٦[ Qس = ص

Qس ، ١ + صQس × ٢ = ص

Qفأوجد قيمة س ، ص ١ ــ ص

;إذا كان ] ١٧[ Q ٥ G ;

Q ٤ ، ; L X + فأوجد قيمة ;

٢ + ;إذا كان ] ١٨[ ' R : ; + ٢

Q R = ١ : ٢ ، ; Q R + ١ : ;

Q R = ٣ : ٥

;٢ فأوجد Q ; ــ R

٣٠ إذا كان ] ١٩[ Q R = ٣٠

Q R + ١٠ ، ;٢ــ ; × ٩٠ = ٧ '

R ــ ; فأوجد قيمة ٥ '

;أثبت أن ] ٢٠[ Q R : ;

Q R ٢ ــ = ; ــ R + ١ ; ــ R + ٢ : R R ١ ــ

١٥ من ذلك أوجد قيمة و Q ١٥ : ١٠

Q ٨

; إذا كان ] ٢١[ Q R : ;

Q R + ١ : ; Q R + فما قيمة كل من ٣ : ٢ : ١= ٢ ;، R؟

;إذا كان ] ٢٢[ Q R = ;

Q R + ١ ، ; Q R + ١ : ;

Q R ــــــــ = ١ ــ ؟ R ،; فما قيمة كل من

) ١ ــ ; ٢ × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ( ; ٢= اثبت أن ــــــــــــــ ] ٢٣[

٩ G س G ٥ ، { Lس : س S = إذا كانت ] ٢٤[

، Y = A ، ، { A : ، ، { L S كم عدد عناصر Y؟

;إذا كان ] ٢٥[ ' ٨ ( ;

تحقق المتباينة السابقة; فأوجد أقل قيمة للعدد ٧ '

٧إذا كان ] ٢٦[ Q R ( ١ ، R

Q ــ ٦ فما قيمة ١ ) ٥ R

;إذا كان ] ٢٧[ Q R + ٢ × ;

Q R F ; Q R + ١ × ;

Q R ١ ــ ١ + R ٢ F ; فأثبت أن

;إذا كان ] ٢٨[ Q ــ ٣ ;

Q ــــــ = ٢; ;ــ ٣

; فأوجد قيمة ٥ + ٢

٥ ٧ ١٣ تقبل القسمة على ٢٥أثبت أن ] ٢٩[

; ٢ = ــــــــــــــــــــــ أثبت أن ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ] ٣٠[

٢ ; ;




١٧

٢ ٣

٣ ٤

١ ٢

:مسائل على قوانين التباديل فقط

:أوجد قيمة كًال مما يأتى ] ١[ ٨ ) أ (

٨+ ٠ ل ٨+ ٢ ل

٩) ب ( ٤ ل ٩ــ ١ ل

٩ــ ٣ ل ٢ ل

٧) جـ ( ٦ــ ٤ ل

٥ــ ٣ ل ١٠) د ( ٢ ل

١٢ــ ٣ ل ١٣+ ٤ ل

]١٤٣٢٨٠ ، ٧٠٠ ، ٤٤١ ، ١٧٣٧[ ٥ ل :أختصر كًال مما يأتى ] ٢[

]٠,٠١ ، ٢٧٣٠ ، ٢١٠[ ــــــــــ ، ــــــــــ ، ـــــــــــ ) أ (

] ١ + ; ، ــــــ ١ + ; ;[ ــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، ــــــ) ب (

:أثبت أن ] ٣[ ٦) أ (

١٢ ( ٢ ل ١٩ ــ ٥ ل

٩) = ٤ ل ١٠= ـــــــــــ × ـــــــــــ ) ب ( ٦ ل

:أثبت أن ] ٤[

ــــــــ= ـــــــــــــــ + ـــــــــــــــ + ــــ ــــــــــــ

١١ :أثبت أن ] ٥[ ٢٩ × ٥ ل

ــــــــــــــــــ = ٧ ل

; ــ ١ + ; = ; ١ ــ ; + ١ ــ ; ;: أثبت أن ] ٦[

R ل; = ١ ــ R ل ١ ــ ; ;= ١ ــ R ل; ١ + R ــ ; : أثبت أن ] ٧[ ٥٠ ٥٠ ٢ × ٩٩× ..... × ٥ × ٣ × ١ = ١٠٠: أثبت أن ] ٨[

]٦ [ ;ـــــــ أوجد = إذا كان ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ] ٩[

]١٠[ ; أوجد قيمة ٩٠= ٢ ل;إذا كان ] ١٠[ مإذا كان ] ١١[

]٨[ م أوجد قيمة ١٦٨٠ = ٤ ل

٢إذا كان ] ١٢[

]٧٢٠[ ; أوجد قيمة ٩٩٠ = ٣ ل ١ــ ;

٢ فأوجد قيمة ٢٤ = ;إذا كان ] ١٣[

; ]٣٣٦[ R ل

٧ ٤

١٥ ١٢

٩٩ ١٠٠

; + ١ ١ ــ ;

; + ٢ ٢; + ٢ ;

٥ ١٣

١٦ ٨

٤ ٥ ٦

٠ ٦ ٤

٣ ٥ ٥

٢٩ × ٦ ١٩

; ــ ١ + ;; + ١ + ;




١٨

٢ ٣

]٤[ ; فأوجد قيمة ٥٠٤٠ = ١ ــ ; ٢ إذا كان ] ١٤[ ٨إذا كان ] ١٥[

]٢٤[ ١ ــ R فما قيمة ٦٧٢٠= R ل

إذا كان ] ١٦[ ;٢ ــ ; × ١٤ = ٤ ل

]٨ أو ٧[ ; أوجد قيمة ٣ ل

;إذا كان ] ١٧[

+ ١١ ــ ; × ٣٠ = ٥ ل

]٥[ ; أوجد قيمة ٣ ل

٢ إذا كان ] ١٨[

;

+ ١٢ : ٤ ل

;

١ ــ ]٥[ ; فأوجد قيمة ٥ : ٧٢ = ٣ ل

]٦٥[ ٢ ل; + ١ ل; + ٠ ل; ، أوجد قيمة ٧٢ = ١ ــ ; : ١ + ;إذا كان ] ١٩[

]١٢[ ;ــــــــــــــــــــ فأوجد قيمة = ـــــــــــــــــــ + إذا كان ـــــــــ ] ٢٠[ ]٨[ ;ــــــــــ فأوجد قيمة = ـــــــــــــــــــ + إذا كان ــــــــــــــــــ ] ٢١[

٢ إذا كان ] ٢٢[

;

+ ١٢ : ١ ــ ; ل

;

١ ــ

]٣[ ; فأوجد قيمة ١٠ : ٧ = ; ل

٩إذا كان ] ٢٣[ ٩ : ١ ــ R ل

]٣[ R فأوجد قيمة ٤٢ : ١ = ١ + R ل

٦إذا كان ] ٢٤[ ٤ = R ل

٦ : ثم أثبت أن R فأوجد قيمة ١ ــ R ل

]٣[ ـــــــــ = ـــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ + ــــــــــــــــــــ ;إذا كان ] ٢٥[

]٩ ، ٦ [ ; ، R فأوجد قيمة كل من ٧٢٠ = R ، ٦٠٤٨٠ = R ل

ص+ س إذا كان ] ٢٦[ ]١ ، ٧ [ فأوجد قيمة كل من س ، ص ٧٢٠= ، س ــ ص ٦٧٢٠ = ٥ ل

; × ٣إذا كان ] ٢٧[ ; ٢= R ل ١ + ;، ١ــ R ل ١ ــ ; × ٥= ١ــ R ل

R ل ]٣ ، ٥ [ R ، ; أوجد قيمة كل من

) ١ ــ ; ٢ × ٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١( ; ٢= ــــــــــــــ : أثبت أن ] ٢٨[

;: أثبت أن ] ٢٩[ ١ــ R ل ١ ــ ; R + R ل ١ ــ ; = R ل

;: أثبت أن ] ٣٠[

١ + R ــ ; : ; = ١ــ R ل ١ ــ ;: ١ــ R ل

١ ;

٢ ; + ١

٢١٠ ; + ٢

٣ ٢ ــ ;

٥ ١ ــ ;

٢٠٨ ;

R + ١ R + ٢

R + ٢ R + ٣

R ١ ــ R

٢ ; ;




١٩

٥ G س G ٢ L X ، س : س S = إذا كانت ] ٣١[ ، Y = A ، A : ، L S، A b أوجد عدد عناصر Y ]٥٦[

١٥ G س G ٤ ، ط Lس : س S = إذا كانت ]٣٢[ ،X = A ، ، { A : ، ، { L S ،A b b { عدد عناصر أوجد X ]١٣٢٠[

حديقة لها سبعة أبواب ، بكم طريقة يمكن لشخص الدخول إلى الحديقة و الخروج منها بشرط أن ال يسمح له بالخروج ] ٣٣[ ]٤٢[ من أى باب دخل منه ؟

فبكم طريقة يمكن توزيع هؤالء السياح على هذه الحجرات بشرط أن يشغل ، حجرات خالية٩ سياح بفندق به ٥نزل ] ٣٤[ ]١٥١٢٠[ كل منهم حجرة على انفراد ؟

خطوط أتوبيس من مصر الجديدة ٥ارًا بميدان التحرير أن يأخذ إلى الجيزة ميستطيع المغادرة لمصر الجديدة ] ٣٥[ صرفبكم طريقة يمكن لشخص االنتقال من م. خطوط أتوبيس من التحرير إلى الجيزة ٧ و أخذ إلى التحرير

]٨٤٠[ ؟ الجديدة و العودة إليها مارًا بالتحرير فى الذهاب و اإلياب بشرط عدم استخدام أى أتوبيس أكثر من مرة واحدة

: فى الحاالت اآلتية دمنهور أوجد عدد التباديل التى يمكن تكوينها من أحرف كلمة ] ٣٦[ أوًال ١٢٠[ أحرف فقط ٣على إذا كان كل تبديل يحتوى[

ثانيًا ٧٢٠[ أحرف بالضبط ٦ إذا كان كل تبديل يحتوى على[ ثالثًا ٢٤[ " و " وينتهى بحرف " م " ل يبدأ بحرف إذا كان كل تبدي[

: أوجد بفرض عدم السماح بتكرار أى رقم كل مما يأتى ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ S = إذا كانت ] ٣٧[ أوًال أرقام يمكن تكوينه من عناصر ٥كم عدد مكون من S ]١٢٠[ ثانيًا أرقام يمكن تكوينه من عناصر ٥كم عدد مكون من S ٧٢[ ٥ أو ٤بشرط أن ال يكون رقم آحاده[ ثالثًا أرقام يمكن تكوينه من عناصر٥كم عدد مكون من S ١١٤[ ٥ورقم عشراته ٤ آحاده بشرط أن ال يكون رقم[

رقم أوجد عدد كل من األعداد و بفرض عدم السماح بتكرار أى ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١ S =إذا كانت ]٣٨[ :S المكونة من عناصر اآلتية

أوًال ٦٠[ أرقام بالضبط ٣األعداد التى تحتوى على[ ثانيًا ٨٥[ أرقام على األكثر٣ األعداد التى تحتوى على[ ثالثًا ٣٠٠[ أرقام على األقل ٣األعداد التى تحتوى على[




٢٠

٥ ٣

١١ ٣

: فقط وافيقمسائل على قوانين الت

٨ :منأوجد قيمة كًال ] ١[ Q ١٥ ، ٣

Q ٢٠ ، ٤ Q ٥٠ ، ١٨

Q ١ + ; ، ٤٩ Q ;

] ١ + ; ، ٥٠ ، ١٩٠ ، ١٣٦٥ ، ٥٦[ ٥ : أثبت أن ] ٢[

Q ٥ + ٠ Q ٥+ ١ Q ٥ + ٢ Q ٥+ ٣

Q ٥ + ٤ Q ٣٢ = ٥

٨ : أثبت أن ] ٣[ Q ٩ + ٤ Q ٢ ٢ ــ ٦

Q ٧ + ٢ Q ٣ = ٦

٢٥: أثبت أن ] ٤[ Q ٢٣ ٥+ ٢٢

Q ٧٠= ٢٢ Q ٦٨

;إذا كان ] ٥[ Q ٩ = ;

Q فأوجد قيمة ٦ ;

Q ; ٢ + ; ، ١ ــ Q ; ]١٣٦ ، ١٥[

إذا كان ] ٦[ ;

٣ ــ

Q ١٣ = ;

٣ ــ

Q أوجد ٥ ; Q ٢١ ، ١٩

Q ; ]١ ، ٢١٠[

إذا كان ] ٧[ ٢٠ Q ٥ R =

٢٠ Q ٢ R ١٢فما قيمة ٨ ــ

Q R ١٢[ ٣ ــ [

٤٢إذا كان ] ٨[ Q ٢ R ٤٢ = ٥ ــ

Q ٣ R +قيمة فأوجد ٧ R Q ١٢ ، ٥

Q R ]٤٩٥ ، ٥٦[

;إذا كان ] ٩[

Q ; ٢ ــ ; فما قيمة ٣٦ = ٢ ــ Q ٢٨[ ٢ [

١ + ;إذا كان ] ١٠[ Q ; ٢ فما قيمة ٢١ = ١ ــ

٣ ــ ; Q ٨٤[ ٣ [

;إذا كان ] ١١[

Q م ، ٣٥ = ٣ Q ; = م

Q ; +١٧ ، ٧[ م ، ; أوجد ٣[

]١٢ [ : إذا كان ;

Q ; ١ + ; أوجد ١٢٠= ٣ ــ Q ٣٣٠[ ٤ [

١+ س ٢ ] ١٣[ Q ١+ س ٢ = ٤+ س

Q ١٠ أو ٣[ ٧ [

]١٤[ ; Q ــــــ = ٣;

Q ٧[ ٥ [

]١٥ [ : ; + ١ Q ; ٦[ ; ٧ = ٧+ ٢ ــ [

]٢ ] ١٦

; Q ٣ : ;

Q ٤[ ٣ : ٢٨= ٢ [

]١٧ [ ;

Q ٢ ــ ; : ٤ Q ٨ أو ٧[ ٢ : ٧ = ٣ [

]١٨ [ ;

Q ١ ــ ; + ٤ Q ١ ــ ;ـــــــ = ٣

Q ٧[ ٢ [




٢١

٣ ٢

٣ ٥

٣ ٢

٧ ٣

٧ ٦

٣ ٥ ٢

٦

; R ــ ;

٢٧Q ٢٦ + ١٩

Q ١٩ ٢٦

Q ١٩ ٣٥ ٨

]١٩ [

i١٩Q ١٩ : ٨

Q ٧ ii٢٣Q ٢٣ : ٨

Q ٩ iii٢٩Q ٢٩ : ١٢

Q ١٨

iv١٣Q ١٣ + ٥

Q ٧ : ١٣ Q ــــــ ، ــــــ ، ــــــ ، ــــــ [ ٨ [

١ + ;إذا كان ] ٢٠[ Q ١ + ; : ٥

Q ١٢ [ ; أوجد قيمة ٤ : ٣ = ٦ [

١٣إذا كان ] ٢١[ Q R +١٣ : ٢

Q R +أوجد قيمة ٥ : ٩ = ١ R ]٣ [

;٢ إذا كان ] ٢٢[

+ ١ Q ; :٢;

+ ١

Q ; ٩[ ; أوجد قيمة ٩ : ١١ = ١ ــ [

;إذا كان ] ٢٣[ Q R ١ ــ :;

Q R = ٣ : ١ ، ; Q ٣ = ;

Q أوجد كل من ١٢ ; ، R ]٤ ، ١٥ [

] ٢٤ [ : إذا كان ; Q R :

; Q R ٧ ، ٣ : ٨ = ١ ــ

Q R =٧ Q ٣ R ٥ ــ

] ٣ ، ١٠[ R ، ;أوجد كل من ;إذا كان ] ٢٥[

Q ٩ ( ;

Q ١٧ ) ; أثبت أن ٨

;إذا كان ] ٢٦[ Q ٨ × ;

Q ٦ F ; Q ٧ × ;

Q أثبت أن ٥ ; F ١٣

]٢٧ [ : إذا كان ;

Q R : ;

Q R ـــــــ ، =١ ــ ; Q R =

; Q R + ١

] ١٢ = R ، ٢٥ = ; [ R ، ;كل من قيمة أوجد ]٢٨ [ : إذا كان

; Q R :

; Q R + ٣ : ٢ =١

، ; Q R ٢ ــ : ;

Q R فما قيمة ٤ : ١ = ١ ــ ; ، R ٣ ، ٩[ ؟ [

]٢٩ [ : إذا كان ; Q R :;

Q R + ١ : ; Q R + ٤ : ٣ : ٢ = ٢

] ١٣ ، ٣٤[ R ، ; أوجد قيمتى ]٣٠ [ : إذا كان

; Q وسط حسابى بين ٤

; Q ـــــــ ٥ ،

; Q ٩ أو ٨[ ; أوجد قيمة ٣ [

]٣١ [ : ١٢× ـــــــ كونت الكميات إذا Q R ،١٢ × ٤

Q R ١٢ × ٢٧، ١ ــ Q R ٢ ــ

] ٩ أو ٥[ ؟ R متتابعة هندسية ، فما قيمة

;أثبت أن ] ٣٢[ Q R : ;

١ ــ

Q R = ــــــــــــــــ حيث; ( R ( ١

]ـــــ [ و من ثم احسب قيمة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ




٢٢

; Q R + ;

Q R + ١ ; Q R

; + ١ R

٩ ٧

; + ١ R + ١

; Q ٩ + ;

Q ٨

; Q ٨

٧ ٣

١٧ Q R +١٧

Q R + ١ ١٧

Q R + ١٧+ ١ Q R + ٢

٧ ١٢

١ + ;أثبت أن ] ٣٣[ Q R : ;

Q R ١ + ; ـــــــــــــــــ حيث = ١ ــ ( R

١ + ;٢ و إذا كان Q R = ٢ــــــ;

Q R ١ ــ ، ; Q R ٣ ــ = ;

Q R ٧ ــ ] ٧ ، ٤[ R ، ; أوجد قيمتى

ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ أثبت أن ] ٣٤[

] ٢٠[ ـ ـــــــ= ــــ ـــــــــــ و استخدم ذلك فى حل المعادلة ــــــــــــــــــــــ

;أثبت أن ] ٣٥[ Q R +;

Q R + ١ + ; = ١ Q R + و من ثم ١ :

i أثبت أن ; Q R +٢ ;

Q R ١ ــ + ; Q R ٢ + ;= ٢ ــ

Q R

ii ــــــــ = ـــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حل المعادلة ــــــــ ]R = ٥ [ ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ S = إذا كانت ] ٣٦[

] ٦٤[ S أوجد عدد جميع المجموعات الجزئية للمجموعة

:أوجد عدد طرق االختيار فى كل من الحاالت اآلتية ] ٣٧[ i سحب ورقتان معًا من كوتشينة كاملة العدد ٥٢ ii تكوين فريق كرة قدم العب ١١ العب ١٥من بين iii سيدات ٥ رجال ، ٧رجال و سيدتين من ٣ن لجنة بها تكوي iv ٢٥٢٠ ، ٣٥٠ ، ١٣٦٥ ، ١٣٢٦ [ أشخاص ٤ جوائز بالتساوى على ٨ توزيع [

. أفراد من هذا الفصل ٥و المطلوب اختيار فريق مكون من بنات٨ ولد ، ١٢فصل مختلط به ] ٣٨[ : كل من الحاالت اآلتية فما هو عدد طرق اختيار هذا الفريق فى

i إذا كان أعضاء الفريق من أى جنس] ١٥٥٠٤[ ii إذا كان أعضاء الفريق من األوالد فقط ] ٧٩٢[ iii إذا كان أعضاء الفريق من البنات فقط] ٥٦[ iv فريق من نفس الجنس إذا كان أعضاء ال] ٨٤٨[

v أوالد وبنتان ٣إذا كان الفريق المختار به ] ٦١٦٠[




٢٣

.واحدة فقط منها حمراء و الكرات الباقية من ألوان أخرى كرات ٧صندوق يحتوى على ] ٣٩[ : كرات معًا من الصندوق فى كل من الحاالت اآلتية ٤ بكم طريقة يمكن اختيار

i إذا كانت الكرات األربعة من أى لون ] ٣٥[ ii إذا كانت واحدة فقط من الكرات األربعة حمراء ] ٢٠[ iii يست حمراء إذا كانت الكرات األربعة ل] ١٥[ iv إذا كانت الكرات األربعة تحتوى على واحدة على األكثر حمراء ] ٣٥[

. معطوبة و الباقى سليمة ٦ برتقالة منها ١٥ يحتوى على صندوق ] ٤٠[ : برتقاالت من الصندوق بحيث أن ٤ ما هو عدد الطرق التى نختار بها

i برتقالتين منها معطوبتين بالضبط ] ٥٤٠[ ii برتقالة واحدة منها على األقل معطوبة ] ١٢٣٩[ iii البرتقاالت المعطوبة منها ال تزيد عن ثالثة ] ١٣٥٠[

خمس نقط فى مستوى واحد ، ، ، ، حيث S = ، ، ، ، إذا كانت ] ٤١[ :أوجد . و أى ثالث منها ليست على استقامة واحدة

i قطع المستقيمة التى طرفا كل منها ينتميان إلى عدد الS ii عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى S iii عدد المثلثات التى رؤوس كل منها تنتمى إلى S وتشترك جميعًا فى الرأس ] ٦ ، ١٠ ، ١٠[

، فبكم طريقة يتم هذا االختيار ؟من بينهم وزراء ٤ أشخاص الختيار ١٠ ُرِشـح ] ٤٢[ و إذا اشترط وجود شخص معين فى أى اختيار فبكم طريقة يتم االختيار ؟

]١٢٦ ، ٨٤ ، ٢١٠ [طريقة يتم االختيار ؟ و إذا استبعد شخص معين فبكم

. للهجوم ٨ للدفاع ، ١٠ لحراس المرمى ، ٢ العبًا منهم ٢٠إذا كان فريق كرة القدم بالنادى األهلى به ] ٤٣[ ]١٣٤٤٠ [ للهجوم٣ للدفاع ، ٧ العبًا بحيث يحتوى على حارس مرمى ، ١١بكم طريقة يمكن تكوين فريق مكون من

. نساء ٤ رجال ، ٥عة مكونة من أشخاص معًا من مجمو٣اختير ] ٤٤[ : أوجد بكم طريقة يمكن اختيار األشخاص الثالثة فى كل من الحاالت اآلتية

i كان األشخاص الثالثة من أى جنس إذا ii كان األشخاص الثالثة من نفس الجنس إذا iii ا اثنان فقط من نفس الجنسكان األشخاص الثالثة فيه إذا iv إذا كان األشخاص الثالثة فيها اثنان على األقل من نفس الجنس] ٨٤ ، ٧٠ ، ١٤ ، ٨٤[




٢٤

٢ ٣

منها بشرط أن يتضمن االختيار سؤالين٦ أسئلة و على الطالب أن يجيب على ٨ ورقة أسئلة على تحتوى ] ٤٥[ األخيرة ، فبكم طريقة يمكن للطالب اختيارةعلى األقل من األربعة األولى ، و سؤالين على األقل من األربع

]٢٨ [ هذه األسئلة ؟

: وافيقت ال التباديلعلىعامة مسائل

]١ [ : إذا كان ;

١ + ; فما قيمة٢١٠= ٣ ل Q ٧٠ [ ؟ ٤[

]٢ [ : إذا كان ; Q ; أوجد ٥٦ = ٣ ــ

; ]١٦٨٠ [ ٤ ل

]٣ [ : إذا كان ;

١ ــ ; × ٤= ٣ ل Q ١٢ [ ; أوجد قيمة ٢[

]٤ [ : ٦ إذا كان × ; Q ; ٣ ــ = ;

]٥ [ ؟ ;فما قيمة ٢ ــ ; ل

]٥ [ : ١ + ; ٢ إذا كان ]٤ [ ؟ ; فما قيمة ١ ــ ;ــــــ = ١ + ; ل ; ٢ : ١ ــ ; ل

]٦ [ : إذا كان ;

; × ١٢٠ = R ل Q ; ــ R فما قيمة R ٥ [ ؟[

]٧ [ : إذا كان ;; ، ٣٦٠ = R ل

Q R =٢قيمة فما ١٥

R Q ; ٢٨ [ ؟[

]٨ [ : إذا كان ; Q R =١ ، R = أوجد قيمة ١٢٠ ; ، R ] ٥ ، ٥[

]٩ [ : إذا كان R = ٢٤ ، ; Q R =أوجد ١٥ ; + R

]٩٠ [ ٢ ل

]١٠ [ : إذا كان ; Q R + ٣ = ;

Q ــ ٧ R ،; ٧٢٠ = R ل

]٣ ، ١٠ [ R ، ; أوجد قيمة كل من

]١١ [ : إذا كان + ;; ،٧٢٠ = ٣ ل

Q أوجد قيمة ٣ = ١ Q ــ ;

] ٣٥[

]١٢ [ : إذا كان ;; ٨ = R ل

; ٣ ، ١ ــ R ل Q R = ٨ ;

Q R ١ ــ ]٣، ١٠ [ R ، ; أوجد قيمة كل من

]١٣ [ : ٣ إذا كان

+ ٢

;٢ ، ١٥٦ = ٢ ل

ــ ;

Q ٣ أوجد ٦ = ٢ Q +٢ ;

] ٣٦[

]١٤ [ : ١ + ; إذا كان١ + ; : ١ + R ل

Q R + ٥٠٤٠ = ١

، ; + ١ Q R : ; + ١

Q R أوجد قيمتى ف٣ : ٢= ١ ــR ، ; ] ٨ ، ٦[




٢٥

٢ × ٣ ١ × ٢

٣ × ٤ ١ × ٢

: هى قانون إليجاد ما يساويه أى مقدار ذى حدين مثل + أسِفـع إلى أى إذا ُر . بدون إجراء عمليات الضرب بشرط أن يكون األس عددًا صحيحًا موجبًا

] ١+ قيمة األس = عدد الحدود : أى أن " ١ + ;= عدد حدود المفكوك ] ١" ١ بمقدار ج متزايدة بالتدري ، و أسس الحد الثانى ١ متناقصة بالتدريج بمقدار أسس الحد األول ] ٢ [

;= فى أى حد ، بحيث يكون مجموع أسس ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ أوجد مفكوك ص ٢+ س٣

$ ص ٢+ س٣ + ٣س= ٣ Q ١ ص ٢٣ + ٢ س

Q ٢ ص ٢س ٢ + ص ٢٣

٢ ص٤ ــــــــــــ + ٢ سص ٢ ٣ + ٣س = ٣ ص٨+ س

ص١٢ + ٢ ص س٦ + ٣س = ) = ( ٣ ص٨+ س ٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ / أوجد مفكوك ص ٣ ــ س٢٤

$ص ٣س ــ ٢٤ = س ٢٤ + ٤ Q ١ ص ٣ ــ س ٢٤ + ٣ Q ٢ ص ٣ ــ٢ س ٢ ٢

+ ٤ Q ٣ ص ٣ ــ٣ س ٢ + ص ٣ــ ٤

٤ ص٨١+ س ٢ × ٣ ص٢٧ × ٤ــ ٢ س٤ × ٢ ص٩× ـــــــــــــــ + ٣ س٨× ص ٣ × ٤ ــ ٤س ١٦=

ص٢١٦ + ٣ س ص٩٦ ــ ٤س ١٦= ص٢١٦ ــ ٢ س٢

) =( ٤ ص٨١+ س ٣

: عدد صحيح موجب فإن ; عددين حقيقيين ، ، إذا كان + ; = ; + ;

Q ١

١ ; ١ ــ + ; Q ٢

٢ ; ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ + ٢ ــ+ ;

Q R

R ; ــ R + ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ +

;




٢٦

٤ × ٥ × ٦ ١ × ٢ × ٣

٥ × ٦ ١ × ٢

: إذا كانت إشارة الحد الثانى سالبة تكون الحدود الناتجة تبادلية اإلشارة

ــ ; = ;; ــ

Q ١ ١ ; ــ

١

+ ; Q ٢

٢ ; ــ٢ ــ ; Q ٣

٣ ; ٣ ــ + ٠٠٠٠٠

;

سالبة" الزوجية الرتبة "٠٠٠٠٠، ٦& ، ٤& ، ٢&بينما تكون الحدود ، موجبة" الفردية الرتبة "٠٠٠٠٠، ٥& ، ٣& ، ١&تكون الحدود و ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

=١ :

١ + ; = ١ + ; Q ١

+ ; Q ٢

٢+ ; Q ٣

٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ + ;

١ + ; = ـــ ١ ; Q ١

+; Q ٢

; ـــ ٢ Q ٣

٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ;

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كان س + ١; = ١ + ;

Q س ١ +; Q س + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٢س ٢ ;

٦٤تقبل القسمة على ١ ــ ;٨ ــ; ٩ : أثبت أن

$D ١ ــ ; ٨ ــ ; ٩= ٨ + ١ ; ١ ــ ;٨ ــ = ١ + ;

Q ٨× ١ + ; Q ١ ــ ;٨ ــ ; ٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٢ ٨× ٢

= ; Q ٢ ٨× ٢ + ;

Q ٨ + ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣ ٨× ٣ ;

= ٢ ٨ × ; Q ٢ + ;

Q ٢ ــ ; ٨ + ٠٠٠٠٠٠٠٠ + ٨× ٣ E ٦٤ المقدار يقبل القسمة على

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ أوجد قيمة ١٠١ باستخدام نظرية ذات الحدين٣

$ ١٠١ ٣ = ١٠٠ + ١ ٣ + ١ = ٣ Q ١ ١٠٠ + ٣

Q ٢ ١٠٠ ٢ + ١٠٠ ٣ = ١٠٣٠٣٠١ = ١٠٠٠٠٠٠ + ٣٠٠٠٠ + ٣٠٠ + ١

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة ٠,٩٨ الثة أرقام عشرية مقربًا الناتج لث٦

$D ٠,٩٨ ٦ = ٠,٠٢ ــ ١ ٦

E ٠,٩٨ ٦ ــ ١ = ٦ Q ١ ٠,٠٢ + ٦

Q ٢ ٠,٠٢ ٦ ــ ٢ Q ٣ ٠,٠٢ ٠٠٠٠٠٠٠ + ٣

٠٠٠٠٠٠ + ٠,٠٠٠٠٠٨× ـــــــــــــــ ـــــ ــ ٠,٠٠٠٤× ـــــــــــــ + ٠,٠٢ × ٦ ــ ١ =

٠,٠٠٠١٦ ــ ٠,٠٠٦ + ٠,١٢ ــ ١ = تقريبًا٠,٨٨٦ = ٠,٨٨٥٨٤ = ٠,١٢٠١٦ ــ ١,٠٠٦ =




٢٧

١ ٢

س٣

٣ س

س٢

:ى باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد مفكوك كل مما يأت ] ١[

١ + ٧ ٢ ــ ٨ ٣ ٢س ــ

٦ ٤ س ــ ص ٢ ٧ ٥ ـــــــ ــ ـــــــ ٦ ٦ ١ ــ س+ س

٦

٧ س +١ ٤ ٨ س ــ ١ ٦ ٩ س ـــــ +١ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:التنازلية س أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى ]٢[

١ ٢ س ــ ٤ ٢ ٢ س ــ٣ ٣ ٣ ١+ س ٢ ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: التصاعدية أوجد مفكوك كل مما يأتى حسب قوى س ] ٣[

١ س٢ ــ ١ ٥ ٢ س٣ +٢ ٤ ٣ ــ ـــــ ٢ ٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:رية ذات الحدين أوجد قيمة باستخدام نظ ] ٤[

١ ١٠١ ٤ ٢ ١,٠٥ ٣ ٣ ٠,٩٨ ألربعة أرقام عشرية ٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

حسب قوى س التصاعدية ٥ س +١ أكتب الحدود األربعة األولى فى مفكوك ] ٥[

٥ ١,٠٢ و باستخدام هذه الحدود أوجد قيمة تقريبية للعدد

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ;

& R + ١ = ; Q R × R × ; ــ

R حيث R + ١ قيمة رتبة الحد

;= ١ + R &: أى أن Q R × الحد الثانى بإشارته الدليل × الحد األول بإشارته الدليلــالعلم

;= ١ + R &معامل : كما أن Q R × معامل الحد الثانى R × معامل الحد األول ; ــ R

دون إيجاد المفكوك كله و باستخدام هذا القانون يمكن إيجاد أى حد فى المفكوك ;مختلفة من صفر إلى قيمًا R ، و ذلك بإعطاء




٢٨

٧×٨×٩×١٠ ١×٢×٣×٤

١ ٢

٣ س

ص٢

١ ٢

٦×٧×٨ ١×٢×٣

١ ٣٢

١٨٩ ٤

٦ × ٧ ١ × ٢

/ أوجد الحد السابع فى مفكوكص ٢+ س ٣١٠

$D & R + ١ = ; Q R × الثانى R × األول ; ــ R

E & ١٠ = ١ + ٦ & = ٧ Q ٦ × ص ٢ ٦ × س ٣ ٤

E & ١٠ = ٧ Q ص٦٤ × ٤

س٨١ × ٦

ص٨١ × ٦٤× ـــــــــــــــــــــــ = ٤

٦ ص١٠٨٨٦٤٠ = ٤ س

٦ ٤ س

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ معامل الحد السادس فى مفكوكأوجد ـــــــ ــ ــــ ـــ ٨

$Dمعامل & R + ١ = ; Q R × معامل الحد الثانى R × معامل الحد األول ; ــ R

E ٨ = ١ + ٥ &معامل = ٦ & معامل Q ٥ × ــ ــــــ ٥ × ٣ ٨ = ٣

Q ٣ × ــ ــــــ ٥ × ٣ ٣ ــ ــــــــ = ٢٧ × ــ ــــــ × ــــــــــــــــــ =

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ أوجد الحد الثالث من النهاية فى مفكوكص ٢ ــ ١٧

$ الحد الثالث من النهاية فى مفكوك ص ٢ ــ ١الحد الثالث من البداية فى مفكوك = ٧ ص٢ــ +١ ٧

٧ = ٧ ١+ ص٢ــ فى مفكوك ١ + ٢ & = Q ٢ × ١ ٢ × ص ٢ ــ ٥

ص٣٢ــ × ــــــــــــــ =

ص٦٧٢ ــ =٥

٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

* + ; + ــ ; =٢ × & ٠٠٠٠٠٠٠ + ٥ &+ ٣ &+ ١ ; + ضعف الحدود فردية الرتبة فى مفكوك =

_ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ** + ; ــ ــ ; =٢ × & ٠٠٠٠٠٠٠ + ٦ &+ ٤ &+ ٢

; + الرتبة فى مفكوك زوجيةضعف الحدود = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ المعادلة أوجد قيم س التى تحقق ٣+ س ــ ٤ ٣+ س س٣ ٩٦ = ٤

$D ٣+ س ــ ٤ ٣+ س ٢ = ٤ &٤ & + ٢

E ٢= س ٩٦ ٤ Q ١ س

٤ + ٣ Q ٣ س٣ ٢÷ بالقسمة

E س٤= س ٤٨

٤÷ س بالقسمة ١٢ + ٣

٣ ٣ ٣

٣ ٣ ٣ ٣




٢٩

١ س

٣ س٢

س٢٣

٣ س٢

٣ س

٢ س١ ٢

س

E س ٣ + ٣ س= س ١٢s ٠= س ٩ ــ ٣ س

E س ٩ ــ ٢ س = ٠ s س ٣ ــ س ٣ + س = ٠ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ٣ــ = أو س ٣= أو س ٠= إما س

/ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة ١,٠٢ ٥ + ٠,٩٨ ربًا لخمسة أرقام عشريةمق ٥

$ D ١,٠٢ ٥ + ٠,٩٨ ٥ = ٠,٢ + ١ ٥ + ٠,٠٢ ــ ١ ٥ = ٢ × & ٥ & +٣ & +١

= ٢ ١+ ٥Q ٢ ٠,٠٢ ٥ + ٢

Q ٤ ٠,٠٢ ٤ = ٢ ٠,٠٠٠٠٠٨ + ٠,٠٠٤ + ١ = ٢,٠٠٨٠١٦ g ٢,٠٠٨٠٢

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

;

٩ــــــ + س فى مفكوك ٥ &أوجد ] ١[

١٠ــــــــــ ــ ــــــــــ فى مفكوك ٦ & أوجد ]٢[

١١ـــــــــ ــ ـــــــــ فى مفكوك ٤ &أوجد ] ٣[

٨ ٢س ــ ٣ فى مفكوك ٦ &أوجد معامل ] ٤[

٩ ــ ــــــــــ ٢ س٢ فى مفكوك ٧ &أوجد معامل ] ٥[

٧ــــــــــ ــ ــــــــ فى مفكوك ٥ &أوجد ]٦[

;٢ــــــ + س أوجد معامل الحد الرائى فى مفكوك ]٧[

١ــ ;٢ ٢ــ س + ٢ سأوجد معامل الحد النونى فى مفكوك ]٨[

٥ ٢س ــ ــ ٥ ٢+ س أوجد مفكوك ] ٩[

٦ ــ س ١ ــ ٦س + ١أوجد مفكوك ] ١٠[

مقربًة لخمسة أرقام عشرية ١٠ ٠,٩٩٨أوجد قيمة ] ١١[

مقربًة لخمسة أرقام عشرية ٥ ٠,٩٨ــ ٥ ١,٠٢أوجد قيمة ] ١٢[

٢ س

س٢




٣٠

; + ٢ ٢

; + ١ ٢

; + ٣ ٢

١ س٢

٢ + ١٢ ٢

١ س٢

٧×٨×٩×١٠×١١×١٢ ١×٢×٣×٤×٥×٦

١ س٢

١ + ١١ ٢

٣ + ١١ ٢

١ س٢

٢٨ ٢٧

٢ + ١٠ ٢

١ س٢

٦ ×٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤ × ٥

٢٨ ٢٧

١ س٢

٢٨ ٢٧

س٢

س٢

١ س ٣

٢ ١ ٣

٢ ٣

;

ـــــ ــــــــ يوجد حد أوسط واحد فقط رتبته ـــE عدد زوجى;األس إذا كان *

ــــــــــــــــ، ــــــــــــــــ يوجد حدان أوسطان رتبتاهما E عدد فردى;األس إذا كان **

/ أوجد قيمة الحد األوسط فى مفكوكــــــــ + ٢ س٢١٢

$ ٧ = ـــــــــــــــ= رتبة الحد األوسط

E & ١٢ = ٧ Q ٦ × ٦ × ٢ س٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ٦ × ٢ س٢× ـــــــــ

=س٩٢٤

٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ أوجد قيمتى الحدين األوسطين فى مفكوك س ــ ص١١

$ ٧ & ، ٦ &تى الحدين األوسطين هما ــــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــ أى رتب

E & ١١ = ٦ Q ٥ × ــ ص ٥ × س ٦ س ٥ ص ٤٦٢ــ = ٦

،& ١١ = ٧ Q ٦ × ــ ص ٦ × س ٥ س ٦ ص ٤٦٢= ٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ كانت قيمة الحد األوسط فى مفكوك إذا ــــــــ + ٢ س١٠

يساوى ـــــــ فأحسب قيمة س

$ ٦ & الحد األوسط فى المفكوك هو الحد الذى ترتيبه ــــــــــــــــ أى

E & ١٠ = ٦ Q ٥ × ـــــــــــ ٥ × س

٢ ٥

Eـــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــ ٢ س× ـــــــــ ــــــــ = ٥

E ٢٥٢ × ــــــــ ــــــــ = ٥ E ــــــــ ٥ = ــــــــ ٥ E ــــــــ

ــــــــ =

E ٢= س ٣ s ـــــــ = س




٣١

١ س٢٣

ص س٢

١ س

س٢٣

٣ س٢

!

٢ س٢

٣

٣ س٢

١ س٣

م ٦٣ س

٨

س٢٣

٣ ٢ س٢

٧ ١٦

٤ ٥

;

١٠ ١ ــ س+ س أوجد قيمة الحد األوسط فى مفكوك ] ١[

١٢ ــــــــــ + ٣ س٢ أوجد قيمة الحد األوسط فى مفكوك ] ٢[

٩ ـــــــ ــ ـــــــ وك أوجد الحدين األوسطين فى مفك ] ٣[

حسب قوى س التنازلية ١٥ س ــ ـــــ هما الحدان األوسطان فى مفكوك ، إذا كان ] ٤[

س + فأثبت أن

صفر = ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ثم أوجد النسبة بينه و بين الحد الثامن ١٦ ــــــــــــ + ــــــــــــ أوجد الحد األوسط فى مفكوك ] ٥[

فأوجد قيمة س٥ : ١ كنسبة ٢٧ س+ ١ نسبة بين الحدين األوسطين فى مفكوك إذا كانت ال ] ٦[

٣= عندما س ١٠ ــــــــ + ـــــــــ أوجد النسبة بين الحد األوسط و الحد الثالث فى مفكوك ] ٧[

١١٢٠ يساوى ٨ ـــــــــ + ٢ س٣ إذا كان الحد األوسط فى مفكوك ] ٨[

العددية ٥ س + ٢ فأوجد قيمة

١٠٢٤ = ١٠ ١+ م ٢ : ـــــــ فأثبت أن = كان الحد األوسط إذا ١٠ ــــــ + س فى مفكوك ] ٩[

٢ ص + س أثبت أن معامل الحد األوسط فى مفكوك ] ١٠[

يساوى مجموع معاملى الحدين األوسطين ;

٢ ــ ص س مفكوك فى

١ ــ ;

، فأوجد قيمة س١٤ يساوى ـــــ ١٢ ـــــــــ + ـــــــــ فى مفكوك إذا كان الحد األوسط ] ١١[

ــــــ ص= متساويين فأثبت أن س ٧ ص ٤+ س ٥ إذا كان الحدان األوسطان فى مفكوك ] ١٢[




٣٢

١ س

١ س

٧ × ٨ × ٩ × ١٠ ١ × ٢ × ٣ × ٤

س٣

٣ س٢

س٣

٣ س٢

س

س

١س على نفرض أن الحد المشتمل العام هو الحد & R + ١ ٢ نوجد الحد العام & R + فى أبسط صورة ١ ٣ نوجد قيمة R س الناتجة من و ذلك بمساواة قوة & R + بالقوة المطلوبة ١

٤ نعوض بقيمة R التى حصلنا عليها فى & R + س فنحصل على الحد المشتمل على ١ ٥ س إذا كان المطلوب إيجاد معامل الحد المشتمل على نوجد معامل& R + ١

ال تظهر فى المفكوك المعطى س فإن أكبر من قيمة األس أو سالبة أو كسرية التى حصلنا عليها Rإذا كانت قيمة ]١ [

حيث س" بالصفر ١ + R & من س فإننا نساوى قوة س الناتجة من إليجاد الحد الخالى ] ٢ [

"١ = صفر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ الحد الذى يشتمل على سأوجد

١٠ ـــــــــ + ٢ س٢ فى مفكوك ٨

$ الذى يشتمل على س أن الحدنفرض

١ + R & هو ٨

& R + ١ = ١٠ Q R ــــــــ R

٢ س٢ ــ ١٠R = ١٠ Q R × ــ س

R × ــ ١٠ ٢ R ×٢ــ ٢٠ سR

s & R + ١ = ١٠ Q R × ــ ١٠ ٢ R ×٣ــ ٢٠ س

R

D هذا الحد يشتمل على س

٨ E ٣ ــ ٢٠ R = ٨ E ٣ R = ١٢ = ٨ ــ ٢٠ E R = ٤

Eالحد الذى يشتمل على س

٥ &أى ١ + ٤ & هو ٨

E & ١٠ = ١ + ٤ & =٥ Q س٦٤× ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٢ــ ٢٠ س× ٤ ــ ١٠ ٢ × ٤

س١٣٤٤٠ = ٨

٨ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ سمعاملأوجد

٨ـــــــ ــ ـــــــــ فى مفكوك ٦ ــ

$ أن الحد الذى يشتمل على سنفرض ١ + R & هو ٦ــ

E & R + ١ = ٨ Q R ـ ــــــــ ــ R

ــــــ ــ ٨R




٣٣

٣ ٢

١ ٣

٣ ٢

١ ٣

٣ ٢

١ ٣

١ ٣

٧ ٣

٧ ٢ ٦ ٣

٤ ٢ ٧٢٩ ١٦

٧٢٩ ١٦

١ ٣س٤

١ ٣س٤

١ ٤ ١

٤

١ ٤

١٣ × ١٤ × ١٥ × ١٦ ١ × ٢ × ٣ × ٤

١ ٢٥٦

٤٥٥ ٦٤

E & R + ١ = ٨ Q R ــ ـــــ R

Rــ ٨ س × Rــ ٨ ــــــ R × ــ س ×

s & R + ١ = ٨ Q R × ــ ـــــ R

× ــــــ ــ ٨R × ٢ــ ٨ سR

D هذا الحد يشتمل على س

٧ = E R ١٤ = R ٢ E ٦ــ = R ٢ ــ ٨ E ٦ ــ

E الحد الذى يشتمل على س

٨ & أى ١ + ٧ & هو ٦ ــE & ٨= ١ + ٧ & = ٨

Q ٧ × ــ ـــــ ٧ × ــــــ ١٤ــ ٨ س × ٧ــ ٨

ــ ــــــــ س = ١٤ــ ٨ س× ـــــــ × ــ ــــــــ × ٨ =

ــ ـــــــــ س = ٦ــ

٦ــ

Eمعامل س

ــ ــــــــ = ٦ــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ فى مفكوك الحد الخالى من سأوجد ـــــــــ + س١٦

$ الخالى من س هو أن الحد نفرض & R + ١

E & R + ١ = ١٦ Q R ـــــــــ R

س ــ ١٦R = ١٦ Q R ــــــ R

٣ــ س ×

R × ــ ١٦ س R

s & R + ١ = ١٦ Q R × ــــــ R

٤Rــ ١٦ س ×

D & R + خالى من س ١ Eس فهو يشتمل على

٤ = E Rصفر = R ٤ ــ ١٦ E صفر

٥ & أى ١ + ٤ & أى أن الحد الخالى من س هو

E ١٦ = ١ + ٤ & = ٥ & هو الحد الخالى من س Q ٤ × ــــــ ٤

ـــــــــ= ــــــــ× ـــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــ=

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ س فى مفكوك أوجد الحد الخالى من ٢ + ٢ــ س+ ٢ س ٥

$ إلى مقدار ذى حدين ، و بمالحظة أنه مقدار ثالثى مربع كامل ٢ + ٢ــ س+ ٢ س المقدار يجب تحويل

٢ + ٢ــ س+ ٢ س = ٢ــ س + ٢+ ٢ س = ١ــ س+ س ٢

E ٢ + ٢ــ س+ ٢ س ٥ = ١ــ س+ س ١٠




٣٤

١ ١ س

س

٢

٢

١ س

٢١ ٤

س٢

٢ ٢ ٣ س

٢ ٣ س

س٢

٢

١ ٢

١ + R & أن الحد الخالى من س هو نفرض

E & R + ١ = ١٠ Q R س

R ١ ــ س ١٠

١٠ = Rــ

Q R × ــ سR × س

١٠

Rــ

s & R + ١ = ١٠ Q R × س

١٠

٢ــ

R

D & R + خالى من س ١ E يشتمل على س فهو

٥ = E Rصفر = R ٢ ــ ١٠ E صفر

E ١٠ = ١ + ٥ & = ٦ & الحد الخالى من س هو Q ٢٥٢ = ٥

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ فى مفكوك ٦أوجد معامل س ــ ــــــ + س٩ س ــ ــــــــ٩

و أثبت أنه ال يحتوى على ســ

٣

$ ث يمكن تحويل هذين المفكوكين إلى مفكوك واحد حي: ــــــــ + س٩ س ــ ــــــــ٩ = ــــــــ + س س ــ ــــــــ ٩ = ــ ــــــــ ٢ س ٩

١ + R & هو ٦ أن الحد المشتمل على سنفرض

E & R + ١ = ٩ Q R ــــــــ R

س

٢ ــ ٩R =

٩ Q R × ١ ــ R× س

٢ــ

R × ١٨ س

٢ــ

R

s & R + ١ = ٩ Q R × ١ ــ R × س

٤ــ ١٨

R

٣ = E R ٤ ÷ ١٢ = E R ٦ ــ ١٨ = R ٤ E ٦ = R ٤ ــ ١٨ نضع ٦إليجاد معامل س

E٩ = ١ + ٣ &معامل = ٤ &معامل = ٦ معامل س Q ٣ × ١ ــ ٣ E ٨٤ــ = ٦ معامل س ١

و إليجاد الحد الذى يحتوى على س ــ

٢١ = ٣ + ١٨ = R ٤ E ٣ــ = R ٤ ــ ١٨ نضع ٣

E R = ــــــــM X + Eالمفكوك ال يحتوى على س ــ

٣ ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ س٣٢ فى مفكوك ١٤أوجد معامل س

٤ ــــــــ + ــــــــ ١٥

$ هو ١٤ أن الحد المشتمل على سنفرض & R + ١

E & R + س٣٢= ١

٤× ١٥ Q R ــــــــ R

ــــــــ ــ ١٥R

س٣٢ =

٤× ١٥ Q R ٢ R ـــ ـــ ــ ١٥

R × ٣ ــ س

R ×٢ ــ ٣٠ س

R

١ ١ س

١ س ١ س

١ س س




٣٥

١ ٢

١ ٢

١ ٢

١٢ × ١٣ × ١٤ × ١٥ ١ × ٢ × ٣ × ٤

١ ١٢٨

١٣٦٥ ٤

٢ ٣ س

٢ ٣ س

٢٢ ٥

١٩ ٥

٧×٨×٩×١٠×١١ ١×٢×٣×٤×٥

= ١٥ × ٣٢ Q R ٢ R ــــــ ــ ١٥

R × ٣ــ ٤ س R + ٢ــ ٣٠ R

s & R + ١٥ × ٣٢ = ١ Q R ٢ R ــــــ ــ ١٥

R × ٥ــ ٣٤ س R

٤= E R ٢٠ = R ٥ E ١٤ = R ٥ ــ ٣٤ نضع ١٤ و للحصول على معامل س

E ١٥ × ٣٢ = ١ + ٤ &معامل = ٥ & هو معامل ١٤ معامل س Q ٤ ٢ ٤ ــــــ ١١

E ــــــــــــ = ـــــــــ × ـ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ١٤ معامل س ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ مفكوك أثبت أنس ال يحتوى على حد خالى من س ، كما ال يحتوى ١١ ــــــــ + ٢

على حد مشتمل على س ، و لكنه يحتوى على حد يشتمل على س٣

ــ

٣

$ أن الحد العام هو نفرض & R + ١

E & R + ١١= ١ Q R ــــــــ R

٢ س ــ ١١R = ١١ Q R ٢ Rس

ــ

٣

R × ٢٢ س

ــ

٢

R

s & R + ١١ = ١ Q R ٢ R × ٥ ــ ٢٢ س

R

صفر = R ٥ ــ ٢٢: إذا كان المفكوك يحتوى على حد خالى من س فيجب أن يكون * E ٥ R = ٢٢ E R = ــــــــ M X +

Eال يوجد حد خالى من س

إذا كان المفكوك يحتوى على حد مشتمل على س ** ٣ = R ٥ ــ ٢٢: فيجب أن يكون ٣

E ٥ R = ١٩ E R = ــــــــ M X + Eال يوجد حد يشتمل على س

٣

إليجاد رتبة الحد الذى يشتمل على س*** ــ

٣ــ = R ٥ ــ ٢٢ نضع ٣

E ٥ R = ٢٥ E R = ٥ L X +

Eمل على س يوجد حد يشت ــ

٦ & أى ١ + ٥ & هو ٣

& ١١= ١ + ٥ & = ٦ Q ٥ ٢ ٥ ــ ٢٢ س × ٥

٥

س × ٣٢ × ـــــــــــــــــــــــــــــــ =

ــ

٣

s & ــ س ١٤٧٨٤ = ٦

٣




٣٦

١ س

١ س

R R ــ ٦

١ ٣ س

١ ٣ س

٤ ; ٧

٧ × ٤ ٧

٥ × ٦ × ٧ ١ × ٢ × ٣

/ فى المفكوكس + ــ ــــــ حيث ٦ عدد صحيح موجب ، أوجد قيم التى

تجعل للمفكوك حدًا خاليًا من س

$ أن الحد الخالى من س هو نفرض & R + ١

E & R + ١ = ٦ Q R ـــــــــ R

س ــ ٦R = ٦ Q R × ــ سR × ٦ س ــ

R

s & R + ٦ = ١ Q R × ٦ س ــ

R

Rــ

صفر R = ــ R ــ ٦إليجاد رتبة الحد الخالى من س نضع

E ــ ٦ R = R E = ـــــــــــــــــ

، D L X + E R F ــ ٦ R E ٢ R F ٦ E R F ٣

٦ ( E R صفر ) R ــ ٦ ، E قيم R = ٥ ، ٤ ، ٣ s قيم = ٥ ، ٢ ، ١

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ إذا كان مفكوك ـــــــــ + ٤ س ; ٧ = ;يحتوى على حد خالى من س فأثبت أن

٧ = ;د الخالى من س عندما ، و أوجد الح٧أو مضاعفًا للعدد

$ هو العام أن الحد نفرض & R + ١

D & R + ١ = ; Q R ـــــــــ R

٤ س ; ــR

= ; Q R × ــ س

٣

R× ــ ; ٤ س

٤

R

s & R + ١ = ;

Q R × ــ ; ٤ س

٧

R

Dيحتوى على حد خالى من س المفكوك E ٧ ــ ; ٤ R = صفرE R = ـــــــــــ D R يجب أن تكون عددًا صحيحًا موجبًا E ; ٧ يجب أن تقبل القسمة على

E ; = ٧ أو مضاعفًا للعدد ٧

٥ & أى ١ + ٤ &أى يكون الحد الخالى من س هو ٤= ـــــــــــــــ = R تكون ٧ = ;و عندما

= ١ + ٤ &= ٥ &و يكون ٧ Q ٧= ٤

Q ٣٥= ـــــــــــــــــــــــــ = ٣

٣٥= أى أن قيمة الحد الخالى من س




٣٧

س ٢٣

٣ س١

٢ س س

٢ ١ ٤ س

١ ٢ س

٣ س

٣ ٢ ٢ س

١ ٢ س٢

٣ س

١ ٢ س

٣ س س

٢

٣ ٢ س٢

١ ٢ س

١ س

س

أوجد معامل س ] ١[ ١٢ ـــــــــ ــ ــــــــ فى مفكوك ٨

أوجد معامل س ] ٢[ ١٠ ـــــــــ ــ ــــــــ فى مفكوك ١١

أوجد معامل س ] ٣[ س فى مفكوك ٩

٣ ١٠ ــ ــــــــ

أوجد معامل س ] ٤[ ٨ ــ ــــــــ س فى مفكوك ٤ ــ

١٠ ـــــــــ ــ ــــــــ أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٥[

١٠ ــ ــــــــــ سأوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٦[

٣ س ٢ أثبت أنه ال يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ٧[ ٩ ــ ــــــــ

١٣ ــــــــ + سوجد معامل س فى مفكوك أ ] ٨[

أثبت أنه ال يوجد حد يحتوى على س ] ٩[ ١١ ـــــــــ ــ ــــــــ فى مفكوك ٦

: أوجد ١٢ ــــــــــ + سفى مفكوك ] ١٠[

i معامل س ٦ ii رتبة الحد الخالى من س

سفأثبت أنه ال يوجد حد خالى من س فى مفكوك عددًا صحيحًا موجبًا; إذا كانت ]١١[ ; ــــــــ + ٥

١٤ = ; و أوجد الحد الخالى من س عندما ٧أو مكررًا للعدد ٧ = ; إال إذا كان

س ك أثبت أن مفكو ] ١٢[ ٣ مضاعفًا للعدد ;خالى من س إذا كانت يحتوى على حد ; ــــــــ + ٢

١٢ = ; ثم أوجد الحد الخالى من س عندما




٣٨

& R + ١ & R

١ + R ــ ;R

& R + ١ & R

األس ــ أقل من الرتبة الصغرى بواحد الرتبة الصغرى

الحد الثانى الحد األول

١ + R &معامل R &معامل

١ + R ــ ;R

ثانىمعامل الحد ال معامل الحد األول

٢ س

& ٦ & ٥

١ + ٥ ــ ٨٥

٢ س

١ ٢ س

٢٥ ٨

٢٥ ٨

٨ ٣ س ٥

٦٤ ١٢٥

٤ ٥

٢ ٣

& ١٠ & ٩

٢ ٣

١ + ٩ ــ ;٩

٣ س

٢ ٣

;

:فإن ; + حدين متتاليين فى مفكوك ١ + R ،& R &إذا كان

ـــــــــ× ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــ× ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = أى أن ــــــــــــــــــ

١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــ× ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ ــــــــــــ ٢ إذا كان الحدان غير متتاليين نستخدم قاعدة التسلسل

/ إذا كانت النسبة بين الحدين الخامس و السادس فى مفكوكس تساوى ٨ ـــــــــ + ٢

فأوجد قيمة س٢٥ : ٨ $ D & ٢٥ : ٨ = ٦ &: ٥ E & ٨ : ٢٥ = ٥ & : ٦

E ــــــــ= ــــــــــ × ــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــ

Eــــــــــــ = ــــــــ ـEس ـــــــ= ــــــــــ و منها س = ٣

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ فى مفكوك س + ٣ ; ٩ &ـــــــ = ١٠ &حسب قوى س التنازلية ، وجد أن،

، س;أوجد قيمة كل من . ١٥ & ٤ = ١٤ &

$ D المقدار س + ٣ ; مرتب حسب قوى س التصاعدية التنازلية وليس

E نعيد ترتيب المقدار ليصبح مرتبًا حسب قوى س التنازلية ، فيكون س +٣ ;

D ــــــــ = ــــــــــــE ــــــــ= ــــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ




٣٩

٨ ــ ;٩

٣ س

٢ ٣

١٣ ــ ;١٤

٣ س

١ ٤

& ١٥ & ١٤

١ ٤

١ + ١٤ ــ ;١٤

٣ س

١ ٤

١٤ ; ٨ ــ ٩ ; ١٣ ــ

٨ ٣

& ٤ & ٣

١ + ٣ ــ ;٣

ص س

٤٤٨ ١١٢

ص س

٢ ــ ;٣

& ٥ & ٤

١ + ٤ ــ ;٤

ص س

١١٢٠ ٤٤٨

ص س

٣ ــ ;٤

٥ ٢

٢ ــ ;٣

٤ ٣ ــ ;

٢ × ٤ ٥

٢ ــ ٨٣

ص س

٧ × ٨ ١ × ٢

E ـــــــــ= ــــــــــ × ــــــــــــــــــ ١

، D ــــــــ = ـــــــــــــEــــــــ= ــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ

E ـــــــــ = ــــــــــ × ــــــــــــــــــ ٢

ــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــ: ينتج أن ٢ ÷ ١ بقسمة المعادلتين

E ١٤ × ٣ ; ٨ ــ = ٩ × ٨ ; ١٣ ــ E ٧ ; ٨ ــ = ١٢ ; ١٣ ــ ٦ = ينتج أن س ; عن قيمة ١ و بالتعويض فى ٢٠ = ; و منها ١٠٠ = ; ٥ أى


/ إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ص+ س ; هى على الترتيب ؟;فما قيمة كل من س ، ص ، . ١١٢٠ ، ٤٤٨ ، ١١٢

$ Dــــــــــ= ـــــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ E ٤= ــــــــ × ــــــــــــــــ ١

D ــــــــــ = ـــــــــ × ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــE ـــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــ ٢

ــــــــــــ = ــــــــــــــ × ــــــــــــــ: ينتج أن ٢ ÷ ١ و بقسمة

E ٥ ; ٢ ــ = ٦ ; ٣ ــ s ; = ٨

٣ س ٢= ص E ٤= ـــــــــ × ــــــــــــــ : ينتج أن ; عن قيمة ١ و بالتعويض فى

٨ = ٣ &و لكن Q ٢ ص ٢

٤ ٦ س

٦ س × ٢ س ٢ ــــــــــــــــ = ١١٢ : ينتج أن ٤ س فى ٢= و بالتعويض عن ص

Eس ١ = ٨ s س = ١

E ٢= ص × ١ s ص = ٢ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ إذا كانت معامالت ثالثة حدود متتالية فى مفكوك س + ١ ; ٧ ، ٢١ ، ٣٥ هى الحدود ؟ ؟ و ما رتب هذه ; فما قيمة




٤٠

١+ R &معامل R &معامل

٢+ R &معامل ١+ R &معامل

١ + R ــ ;R

١+ ١ + R ــ ;

R + ١

١ ١

١ ١

٢١ ٣٥

٧ ٢١

٥ ٤

٥ ٤

& R + ٢

& R + ١

٤ ٥

& R + ١ ٥ R &ـــــــ

٤

& R + ١ & R

& R + ٢

& R + ١

& R + ١ & R

١ + R ــ ;R

& R + ١ & R

١ + R ــ ٢٠R

R ــ ٢١R & R + ٢

& R + ١

١ + ١ + R ــ٢٠R + ١

R ــ ٢٠R + ١

٤ ٥

R ــ ٢١R

R ــ ٢٠R + ١

R ــ ٢٠R + ١

٤ ــ ٢١ R R

$ نفرض أن الحدود الثالثة هى & R ، & R +١ ، & R +٢ :معامله فيكون = فى أى حد فإن قيمة الحد ١= و بمالحظة أنه عند التعويض عن س

١ ٥ــ = R ٨ ــ ; ٥ Eــــــــ = ـــــــ × ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــ

٢ ١ = R ٤ ــ ; ٣ E ــــــــ= ـــــــ × ـــــــ ـــــــــــــــــــ= و يكون ــــــــــــــــــــــــــــ

٧& ، ٦& ، ٥& الحدود الثالثة هى E ٥ = R ، ٧ = ;: نجد أن ٢ ، ١ و بحل المعادلتين ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ فى مفكوك + حسب قوى ٢٠ التنازلية إذا كان:

& R + ١+ ١ ـــــــ = ٢& R × & R + فأوجد قيمة ٢ R

$ D & R + ١+ ١ ـــــــ = ٢& R × & R + ٢

E ـــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــE ــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ × ــــــــــo ١

،D ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــ E ــــــــ× ـــــ ــــــــــــــ= ــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ o ٢

٣ o ــــــــ × ــــــــــــــــــ = ـــــــ × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ، ـــــــــــــــــــ

١ فى ٣ ، ٢ بالتعويض من E ــــــــ × ــــــــــــــــــــ = ــــــــ × ــــــــــــــــــ × ـــــــE ــــــــــــــــــ= ــــــــــــــــــــــــ E ٤ ــ ٢١ R R + ١ = ٥ R ــ ٢٠ R E ٤ ٢٠ + ٢١ R ــ R

٢ = ١٠٠ R ٥ ــ R ٢

E ٨٠ + ٨٤ R ٤ ــ R ١٠٠ = ٢ R ٥ ــ R

٢ E R ٠ = ٨٤+ R ٢٠ــ ٢

E R ٦ ــ R ١٤ ــ = ٠ s R =أو ٦ R =١٤




٤١

;

فما قيمة س ؟. متساويين ١٧ ٣+ س ٢ فكوك إذا كان الحدان األوسطان فى م ] ١[

،١٥٣٦٠ ، ١١٥٢٠ الترتيب هى على ; ص + س و الرابع و الخامس فى مفكوكالحدود الثالثإذا كانت ] ٢[ ;أوجد قيم كل من س ، ص ، . ١٣٤٤٠

الترتيبعلى ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠هى ; ص + س إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع فى مفكوك ] ٣[ ؟; فما قيم س ، ص ،

؟;فما قيمة . ١١٤٠ ، ١٩٠ ، ٢٠ هى ; س + ١ إذا كانت ثالثة معامالت لحدود متتالية فى مفكوك ]٤[ و ما ترتيب تلك الحدود ؟

٢٨ : ٢٤ : ١٥ كنسبة ; س + ١ فى مفكوك إذا كانت النسبة بين معامالت ثالثة حدود متتالية ] ٥[ ؟ و ما ترتيب هذه الحدود ؟; فما قيمة

تساوى النسبة بين الحدين الثالث ; ب + إذا كانت النسبة بين الحدين الثانى و الثالث فى مفكوك ] ٦[

؟ ; فما قيمة ٣ + ; ب + و الرابع فى مفكوك

٤ : ١ إذا علم أن نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد السادس تساوى ; س م + ١ فى مفكوك ] ٧[ ; ، م ، فأوجد قيمة كل من ٤ : ٧ و نسبة معامل الحد السادس إلى معامل الحد الثامن تساوى

التاسع و العاشر متساويين و النسبة بين الحد السادس إذا كان الحدان ; + س ٢ فى مفكوك ] ٨[

. و أثبت أنه ال يوجد حد خالى من س فى المفكوك ; ، فأوجد قيمة ١٥ : ٨ و الحد السابع كنسبة

الحد التاسع ،= وجد أن الحد العاشر . حسب قوى س التنازلية ; ٣ + س فى مفكوك ] ٩[

، س ;أوجد قيمة كل من . ١٤ & = ١٥ &

وجد أن الحد الرابع الحد الثانى ،. حسب قوى س التصاعدية ; س + ١ فى مفكوك ] ١٠[ ، س ;أوجد قيمة كل من . و الحد الخامس يساوى الحد السادس

٣ ٢ س

٢ ١ ٣

٤ ٢٥ ٣




٤٢

! !

٢ ٣ + س ٢ فى مفكوك إذا كان الحدان األوسطان ] ١[

;متساويين فأوجد قيمة س بفرض أن ١ + ; عدد صحيح موجب

٥ ١ ــ ٢ ــ ٥ ١ + ٢ أوجد قيمة ] ٢[

١٠ ــ س و الحد الخامس فى مفكوك ١١ + س فى مفكوكالنسبة بين الحد السادسأوجد ] ٣[

و إذا كانت هذه النسبة تساوى فأوجد قيمة س

٢ س ٢ فى مفكوك ] ٤[ + أوجد قيمة الحد الخالى من س و بين أن هذا المفكوك ال يحتوى على١٠

حد يشتمل على س٥

أوجد كًال من الحد األوسط و الحد الذى يحتوى على س ] ٥[ ــ

٣ ١٢ + فى مفكوك

الحد الذى يحتوى على س: الحد األوسط و إذا كانت النسبة بين هذين الحدين ــ

٣ ٩ : ٧ تساوى

فما قيمة س ؟

١١ : ٢٤ : ٤٠ النسبى بين الحدود الخامس و السادس و السابع كنسبة ; + فى مفكوك ] ٦[

، س ثم أوجد الحد األوسط أو الحدين األوسطين فى هذا المفكوك ; أوجد قيمة كل من

فأوجد قيمة ص٩: ٤هى ١٢ ص + ٢ النسبة بين الحدين السادس و الثامن فى مفكوك إذا كانت ] ٧[

; فأوجد قيمة ٥ : ٣ : ١ كنسبة ; س + ١ حدود متتالية فى مفكوك معامالت ثالثةإذا كانت النسبة بين ] ٨[ و ترتيب هذه الحدود

٢ س٤ فى مفكوك ] ٩[ + أوجد ١٥ ١ معامل س

٩ ٢ الخالى من س قيمة الحد ٣ قيمة س التى تجعل الحدين األوسطين فى المفكوك متساويين

]١٠ [ إذا كان الحد األوسط فى مفكوك س + ١ ضعف الحد السابع فما قيمة س ؟ ١٠

ب إذا كان فى مفكوك ٢س + ; تكون مضاعفًا يجب أن ; حد خالى من من س فأثبت أن

١٢ = ; ثم أوجد الحد الخالى من س فى المفكوك عندما ٣ للعدد

١ ٢ س

١ س

٨٨ ٦٢٥

١ ٢ س

٣ ٢ س٢

س ٢٣

س ٣٢

٢ س٣

١ س٢

١ س




٤٣

٢س فى مفكوك ] ١١[ + ٣

يحتوى على سيساوى معامل الحد الذى من س أثبت أن الحد الخالى ;

٣

; مل الحد األوسط فأوجد نسبة الحد الخالى من س إلى معا٦ =; و إذا كانت هو عدد صحيح موجب ; حيث حسب قوى س التصاعدية ; س + ١ الحد الثالث فى مفكوك ] ١٢[

س٢٨ ، س; أوجد قيمة كل من ١١٢٠ و الحد الخامس فى نفس المفكوك ٢

س٢ + س ١ + ٠ = ١٤ س ــ إذا كانت ] ١٣[ ٢ + س٣

٠٠٠٠٠٠ + ٣ + س١٤ ١٤

٢ = : صفر فأثبت أن = ٢ + ٣ ١١ + ٤ ٤ و كان

، ، ١ حسب قوى س التصاعدية هى ; س م ــ ١ الحدود الثالثة األولى فى مفكوك ] ١٤[ ; ، م على الترتيب أوجد كًال من


;: فى إثبات أن ; س + ١ استخدم مفكوك ] ١[ Q ٠ + ;

Q ١ +; Q ٠٠٠٠ + ٢ + ;

Q ; = ٢ ;

٢س من النهاية فى مفكوك سأوجد الحد الخام ] ٢[ حسب قوى س التنازلية ٢٠ ــ

إذا كان معامال س ] ٣[

، س٧

٢س فى مفكوك ٤ + متساويين حسب قوى س التنازلية ١١

١ = ب فأثبت أن

٢س إذا كان فى مفكوك ] ٤[ ٣ تقبل القسمة على ;حد خالى من س فبين أن ; ــ

٢س ٢ أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٥[ ١٢ ــ

أوجد معامل س ] ٦[

١٠ــ ١٥ ــ فى مفكوك

; س٢ + من النهاية فى مفكوك R & من البداية ، R &أوجد ] ٧[

أوجد معامل س ] ٨[

٢ س فى مفكوك م + ٢

حسب قوى س التنازلية حيث م عدد صحيح موجبم

١ س

س ٢٥١٠٠

س ٣١٠٠

٢

١ س

١ س ب

١ س

١ س

٢ ٢ س

س٢

٢

١ س




٤٤

حدود الثالثة األولى من المفكوك حسب قوى س التصاعدية ، و بأخذ ال٥ س + ٢ أكتب مفكوك ] ٩[

مقربًا الناتج لخمسة أرقام عشرية٥ ٢,٠٠١ أوجد قيمة ٠,٠٠١= و وضع س

٢٠ ٣+ س ٢ فى مفكوك ٦ و الحد المشتمل على س٥أوجد النسبة بين الحد المشتمل على س ] ١٠[

حسب قوى س التنازلية ، و احسب قيمته عندما٨ ص ٢+ س ٣ أكتب الحد السادس فى مفكوك ] ١١[ = ، ص = س

مقربًا الناتج ألقرب مائة ٥ ٩,٥ و استخدم المفكوك إليجاد قيمة ٥ ب ــ أكتب مفكوك ] ١٢[

١٠ ص + س٦ أوجد الحد األوسط فى مفكوك ] ١٣[

٢ س + ١ فى مفكوك ; س أوجد معامل ] ١٤[

سو أثبت أنه ضعف معامل ;

٢ س + ١ فى مفكوك ;

١ــ ;

عدد صحيح موجب ; حيث ; فأوجد قيمة ٨ &× ٤ & ١٨ = ٢ ٦ & ٥ إذا كان ; س + ١ فى مفكوك ] ١٥[

; على الترتيب فما قيمة كًال من م ، ٦٣ ، ١٢ هما ٢، سمعامال س إذا كان ; س م+ ١ فى مفكوك ] ١٦[

حسب قوى س التصاعدية متساويين س + ١ فى مفكوك س ، بإذا كان معامال س ] ١٧[

+ ب = : فأثبت أن

٤٥٥ ، ١٠٥ ، ١٥ حسب قوى س التصاعدية هى; س + ١ إذا كانت معامالت ثالثة حدود متتالية فى مفكوك ]١٨[ ، و رتب هذه الحدود ;فأوجد قيمة . على التوالى

١٤ & = ١٥ & ، ١٢ &= ١٣ & حسب قوى س التنازلية كان ; ٢+ س فى مفكوك ] ١٩[ ، س; فما قيمة كل من

س٢ + س ١ + ١= ; س + ١ إذا كان ] ٢٠[

٢ + س٣

٣ + س٤

٠٠٠٠٠ + ٤

، ;أوجد قيم كل من ٢ ٤ = ٤ ، ١٢ = ١ : عدد صحيح موجب وكان ; حيث

: حسب قوى س التصاعدية يساوى ١٠ س م+ ١ إذا كان مفكوك ] ٢١[

+ ب س +س

س١٥ + ٢

، ب ، م ، فأوجد قيم كل من٠٠٠٠٠٠ + ٣

١ ٢

١ ٣

١ ٣

٢ ٣




٤٥

الحد الثانى يساوى معامل الحد السادسإذا كان معامل ، حسب قوى س التصاعدية ; س + ١ فى مفكوك ] ٢٢[

; ــ ١: فأثبت أن Q ٢ + ;

Q ــ ٤ ; Q ٠ = ٦

: استنتج قيمة كًال من ; س + ١ فى مفكوك ] ٢٣[

أوًال ١٠+ ١ Q ١٠+ ١

Q ١٠ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢ Q ١٠

ثانيًا ١٥ × ٢ + ١ Q ١٥ × ٢ ٢ + ١

Q ٢+ ٠٠٠٠٠٠+ ٢ R × ١٥ Q R +١٥ × ١٥ ٢ + ٠٠٠٠٠٠

Q ١٥

١١ــ فى مفكوك ٧أوجد معامل ] ٢٤[

٢ :١حسب قوى س التنازلية هى ١٥ ص٢ + س ن معاملى حدين متتاليين فى مفكوك إذا كانت النسبة بي ]٢٥[ . فأوجد رتبتى الحدين

٢ ساثبت أنه ال يوجد حد خالى من س فى مفكوك ] ٢٦[ و أوجد الحد المشتمل على س٨ ــ

٤

تساوى ١٠ ص٣ + س٢ خامس فى مفكوك إذا كانت النسبة بين الحد األوسط و الحد ال ] ٢٧[ .ص ٦= س ٥ فأثبت أن

فأوجد قيمة ٨ ب + فى مفكوك ٦ & + ٤ & = ٥ & ٢إذا كان ] ٢٨[

١٤س + ٠٠٠٠٠٠ + ٥ س + ٢ ٤س + ٦ س + ٢ ٢ س٧ + ٧ س + ٢ ضع المفكوك ] ٢٩[ على صورة مقدار ذى حدين ، و إذا كان الحدان األوسطان متساويان فأوجد قيمة س

فوجد أن نسبة مجموع معاملى الحدين األول و الثانى من٢٠ س + ١ حدود متتالية فى مفكوك ٣أخذت ] ٣٠[ ، فما هذه الحدود ؟ ٣ : ٥ الثالث منها كنسبة هذه الحدود إلى مجموع معاملى الحدين الثانى و

٨ س + ١ ٨ س ــ ١ أكتب مفكوك ] ٣١[

ــ س١ + ١ أكتب مفكوك ] ٣٢[

٢ ٥ ــ س١ ــ ١

٢ ٥

٢ ٣ : باستخدام نظرية ذات الحدين أثبت أن ] ٣٣[

٦٤ القسمة على تقبل١ ــ ; ٨ ــ ;

، م مجموع الحدود زوجية الرتبة مجموع الحدود فردية الرتبة إذا كان ل هو ; ب + فى مفكوك ] ٣٤[

ل أوًال : فأثبت أن

م ــ ٢

٢ = ٢٢ ب ــ

;

ثانيًا ل م ٤ = + ب ــ ;٢ ب ــ ٢;

س ص

ص٢ س

س ٢ ٢ ص٢

٢ س

٣ ٢

ب

٦ × ٧ ١ × ٢




٤٦

بين أن الفرق بين معاملى س ] ٣٥[

R + س ١ ،

R فى مفكوك س + ١ ; +يساوى الفرق بين معاملى١

س

R + س ١ ،

R

ــ

; س + ١ فى مفكوك ١

;٢ س ٢ يساوى ;٢ س + ١ أثبت أن الحد األوسط فى مفكوك ] ٣٦[

٦ ٢ س+ س + ١ فى مفكوك ٣أوجد معامل س ] ٣٧[

; + س٢ إذا علم أن الحد الثالث فى مفكوك ] ٣٨[ حسب قوى س التنازلية خالى من س

٣٠ ٣ ص + ١ تجعل هذا الحد مساويًا للحد الثانى فى مفكوكفأوجد قيمة ص التى حسب قوى ص التصاعدية

فى مفكوك س ] ٣٩[

٥ ٣ س + ١٢ أوجد الحد المشتمل على س

٩

٢ س × = R & : ٢ + R &: أثبت أن ; س + ١ فى مفكوك ] ٤٠[

٥ : ٨هى ٥ & معامل إلى ٧ & إذا كانت نسبة معامل ; س م + ١ فى مفكوك ] ٤١[

م ثم أوجد قيمة ٨ = ;: فأثبت أن ١ & معامل ١١٢= ٣ & ، قيمة معامل

; ص + س ك إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع من المفكو ] ٤٢[ على ١٠٨٠ ، ٧٢٠ ، ٢٤٠ هى

;فأوجد قيم س ، ص ، . الترتيب

أوجد معامل س ] ٤٣[

٦ فى مفكوك س + ٩ ــ س ٩

و أثبت أن هذا المفكوك ال يشتمل على س

ــ

٣

متساويين + L X ; حيث ١ + ; ب + س سطان فى مفكوك إذا كان الحدان األو ]٤٤[ فأوجد قيمة س

١١٢٠= ٥ & ، و معامل ٤ = ٣ & حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان ٨ س + ١ فى مفكوك ] ٤٥[

، س فأوجد قيمتى

٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ ١ ــ ;٢ ٠٠٠٠٠ × ٣ × ٢ × ١ × ;

١ ٢ س

١ س

; ــ R + ١ ; ــ R R R + ١

١ س

١ س




٤٧

! !

! !

:مفكوك ذات الحدينمسائل على

:باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد مفكوك كل مما يأتى ــ

١ + ب ٧ ٢ ــس ٦ ٣ ٢ + ب ٣ ٥

٤ ص٢ ــ س٣ ٤ ٥ ٢ ــ س ٧ ٦ س٢ + ١ ٨

٧ ٣ ــ ١ ١٠ ٨ ــ س٢ ٧ ٩ ــ ٦

١٠ س٢ + ٥ ١١ س٢ + ٣ ٦ س٢ ــ ٣ ٦

١٢ ــ س٣ + ٢ ٥ ــ س٣ ــ ٢ ٥ : أرقام عشرية ٣ــ باستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة كل مما يأتى مقربًا الجواب إلى

]١٣ [ ١,٠٢ ١٤ [ ١٠ [ ٠,٩٩

١٥ [ ٧ [ ٠,٩٦ ٠,٨١٥ ، ٠,٩٣٢ ، ١,٢١٩ [ ٥ [

٦ باستخدام ذات الحدين ثم استخدم المفكوك إليجاد قيمة ٦ ٢+ س أوجد مفكوك ] ١٦[ ] ٦٥,٩٤٤[ مقربًة لثالثة أرقام عشرية

ص٣س ــ ٢ أوجد مفكوك ] ١٧[ ١,٩٧ باستخدام نظرية ذات الحدين و استخدم المفكوك فى إيجاد قيمة ٥

٥ ] ٢٩,٦٧١[ أرقام عشرية ٣ مقربًا الجواب إلى

] ٢[ فما قيمة س ؟ ٢١٨٧= ٧ س + ٠٠٠٠٠+ ٢ س + س ٧ + ١: إذا كان ] ١٨[

س٧٢٩: إذا كان ] ١٩[

ص س٢٤٣ × ٢ × ٦ــ ٦

ص٨١ × ٤× + ٥

٢ ص٦٤ + ٠٠٠٠٠ ــ ٤ س

٦ ] ٦٤[ ٢= ص = فما هو ذلك المقدار ؟ و ما قيمته العددية عندما س هو مقدار ذى حدين

س٢٥٦ + ٠٠٠٠٠ + ٦ ســ ١ ٢ س ١١٢ + ٧ ســ ١س ١٦ + ٨ ســ ١: إذا كان ] ٢٠[

٠ = ٨ ] ١ ــ[ فما هى قيمة س ؟

١ س

٣ س

س٢

! !

! !

١ ! س٢

٢٠١ ١٠٠

٦ × ٧ ١ × ٢

٥ × ٦ ١ × ٢




٤٨

! ! ! ! !

! ! ! ! !

! ! !

!

!

!

:أوجد قيمة كل مما يأتى باستخدام نظرية ذات الحدينــ

]٢١[ ٥ + ١ ٤ + ٥ ــ ١ ٤ ]١١٢ [

]٢٢ [ ٢ ٢ + ١ ــ ٦ ٢ ٢ ــ ١ ٦ ]٢ ٢٢٠٠ [

]٢٣ [ ٢ ٣ + ٣ ٢ ــ ٥ ٢ ٣ ــ ٣ ٢ ٥ ]٢ ٢٢٠٠ [

]٢٤ [ ١,٠٢ ١٢ + ٠,٩٨ أرقام عشرية ٣ مقربًا إلى ١٢ ]٢,٠٥٣ [

]٢٥ [ ١,٠٠٣ ــ ٦ ٠,٩٩٧ أرقام عشرية ٣ مقربًا إلى ٦ ]٠,٠٣٦ [

] ١ #[ أوجد قيمة س ١٦ = ٤ ١ ــ س + ٤ ١+ س : إذا كان ] ٢٦[

] ٢ ، ــ ٢ ، ٠[ أوجد قيمة س ٢ س ٥٦٠ = ٦ ٢ ــ س ـــ ٦ ٢+ س : إذا كان ] ٢٧[

٨ = ٨ س+ ١: إذا كان ] ٢٨[ Q ٨ + ٠

Q ٨+ س ١Q ٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢ س ٢

Q ٨ س ٨

i٨

Q ٨ + ٠Q ٨ + ١

Q ٨ + ٠٠٠٠٠٠ + ٢Q ٢٥٦[ ٨ [

ii٨Q ٨ــ ٠

Q ١ + ٨Q ٨ــ ٢

Q ٣ + ٠٠٠٠٠٠ + ٨Q ٨ــ ٧

Q ٨ ]صفر [

iii ٨Q ٨ ٢ + ٠

Q ٨ ٤ + ١Q ٨ ٨ + ٢

Q ٨ ٢٥٦ + ٠٠٠٠٠٠ + ٣Q ٦٥٦١[ ٨ [

:الحدينالحد العام و الحد األوسط فى مفكوك ذات مسائل على

:أوجد قيمة الحد المطلوب فى مفكوك كًال مما يأتىــ

٤ س ١١٢٠[ ١٠ ١س ــ ٢ فى ٧ & ، ٨ س٢+ ١ فى ٥ & ]١[ ٤ س ٣٣٦٠،

[

٣ س ١٦٠[ ٩ ــ ٣ فى ٦ & ، ٦ س+ ٢ فى ٤ & ] ٢[ ٥ س ــ ،

[

س فى ٧ & ، ٨ س ــ فى ٥ & ] ٣[

٤ص٢ س [ ٩ ــ ٢ ، [

٢ ــ س، [ ١٢ س ــ ٢ فى ٩ & ، ١٠ ــ فى ٧ & ] ٤[ [

][ ٨ + أوجد معامل الحد الرابع فى مفكوك ] ٥[

٤ ــ س = ٥ &[ ١٣ ــ أوجد الحد العاشر من النهاية فى مفكوك ] ٦[ [

س٣

١١ ٤

س ص٢

٣٥ ٨

٣ ٢

١ س٣

٧ ١٨ س

س٢

٢

٢ ٢ س

١ ! س٢

٤٤٨٠ ٢٧

٤٩٥ ١٦

١٨٩ ٤

س٣

٢

٣ ٢ س

س٢

٤ ٢ س

٧١٥ ٢




٤٩

! !

:أوجد رتبة و قيمة كًال من الحدود اآلتية ] ٧[

الحد األوسط فى مفكوك ــ س١ ٦ س ٩٢٤[ ١٢ [

ب ألوسطان فى مفكوك الحدان اس + ١٢ ٤ س ٥٠٤ = ٥ &[ ٩٥ س ٢ ٥٠٤ = ٦ & ،

[ :أوجد رتبة و قيمة كًال من الحدود اآلتية ] ٨[

الحد األوسط فى مفكوك س + ٨٠٦٤ [ ١٠ [

ب الحدان األوسطان فى مفكوك + ٦ س ١٩٣٠٥ = ٩ & ، ٩ س ٢١٤٥ = ٨ &[ ١٥ [ :أوجد رتبة و قيمة كًال من الحدود اآلتية ] ٩[

الحد األوسط فى مفكوك س٢ + ٤ س ٧٠ [ ٨٤ ص

[

ب الحدان األوسطان فى مفكوك + ٧ & ، س ٣ ٢١٤٥ = ٦ &[ ١١ = [

] ٣٠ : ٧ [ ١٦ ٣+ س فكوكالحد التاسع فى م، ١٤ ١س ــ ٣ الحد السابع فى مفكوكأوجد النسبة بين ] ١٠[

] ١٦٠ : ٢١ [ ٣= عندما س ١٠ + أوجد النسبة بين الحد األوسط و الحد الرابع فى مفكوك ] ١١[

]٢ #[ ؟ فما قيمة ٥٦٠ = ٥ & إذا كان معامل ٧ ص + س فى مفكوك ] ١٢[

]٢ #[ فما قيمة س ؟ ١٧٩٢٠يساوى ٨ +٢ س٣إذا كان الحد األوسط فى مفكوك ] ١٣[

ص٢= س ٣: أثبت أن . متساويين ١٣ ص ٢+ س ٣إذا كان الحدان األوسطان فى مفكوك ] ١٤[

بة الحد التاسع إلى الحد األوسط تساوى حسب قوى س التصاعدية وجد أن نس١٠ س + ١فى مفكوك ] ١٥[ ]٢[ أوجد قيمة س ٧ : ١٠

]١٦ [ الحدان األوسطان فى مفكوك إذا كان ب+ س عدد ; متساويين بفرض ١ + ;٢ ] [ صحيح موجب فأوجد قيمة س

]١٠[ أوجد عدد حدود هذا المفكوك ٢٧ يساوى ; + س فى مفكوك ٣ & إذا كان معامل ]١٧[

يساوى١٤ س ــ فى مفكوك ٥ & ، ١٥ + س فى مفكوك ٦ & ت النسبة بين إذا كان ]١٨[ ] [ ، أوجد قيمة س ٩ : ٨

٢ س

٣ س

س٣

٢

ص٢

١ س٣ ! ! س٣ !

! ٣ ١٥٤

س!

س٢٣

٣ س٢

٢ س٣

ب س٣

٢ !

٢ ٣

١ س

١ ٢ س




٥٠

٥٤ : ٧ تساوى ٩ ٢ + ٢ س فى مفكوك ٨ & ، ٩ + س ٢ك فى مفكو ٦ &بين النسبة إذا كانت ] ١٩[

] [ أوجد قيمة

] ٤ س ١٨١٤٤٠[ ٨ س٢ ــ ٣ + ٨ س٢ + ٣أوجد قيمة الحد األوسط فى مفكوك ] ٢٠[ أوجد قيمة الحد األوسط فى مفكوك ] ٢١[

س + ١ س ٦ + ٦س + ١ ٢ س١٥ + ٥ س + ١ ٣ س ١٦٠ = ٤ &[ ٦ س + ٠٠٠٠٠+ ٤ [ ]٢٢ [ أثبت أن الحد األوسط فى مفكوك

س + ١ س × ; ٢× يساوى ;٢ ;

]٢٣ [ فى مفكوك س + ١ ; ــ = حسب قوى س التصاعدية كان الحد الثانى

] ــ ، ــ ، ٥[ ، س ثم أوجد الحد الرابع;أوجد قيمتى = و الحد الثالث

]٢٤[ الحد الثالث فى مفكوك س + ١ ; عدد صحيح;حسب قوى س التصاعدية حيث

] ٢ # ، ٨ [ ، س ;أوجد قيمة كل من . ١١٢٠المفكوك و الحد الخامس فى نفس ٢ س٢٨ موجب هو

]٢٥ [ األولى فى مفكوك الحدود الثالثة س م ــ ١ ; حسب قوى س التصاعدية هى :

س٠,٠٣ ، ــ س ، ١

] ٠,٠١ ، ٢٥ [ ; ، م على الترتيب أوجد ٢

]٢٦ [ فى مفكوك ٣س ــ ٢ ية وجد أن بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التنازل١٥:

] ٤,٥ أو ٠,٥ [ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم ٠ = ٥ & + ٤ & ١٠+ ٣ & ١٣

معامل سمسائل على

:فى مفكوك ذات الحدينوالحد الخالى من س &

]٢٥٢ــ = ٦ &[ ١٠ س ــ أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ١[

]٢[ أوجد معامل س فى مفكوك + ١١ ] ٦٩٣ [

]٣ [ فى مفكوك ٢ س + أوجد معامل كل من س١٠

، س٢

] ١٢٠ ، ٢١٠ [ ١ــ

سأوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٤[

] [ ٩ ــ ٢

٢ ٣

٠٠٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ × ١ ــ ;٢ ;

١٠ ٣

٤٠ ٩

٢ ٣

٨٠ ٢٧

١ ٤

١ س س٣

٢ ١

س

٢ س٣

٣ ٢

١ س٣

٧ ١٨




٥١

!

!!

أوجد معامل س ] ٥[

و كذلك قيمة الحد الخالى من س فى هذا المفكوك٨ + فى مفكوك ٤ ] ، [

]٦ [ أوجد معامل س

١٥ + ، معامل فى مفكوك ٢٥

]& ٤٠٠٤٠ = ١٠ & ، = ٦ [

فى مفكوك س١٤ سأوجد معامل ] ٧[

٤ + ١٥ ] [

أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك س ] ٨[

٩ ــ ٢ س ١٧١٦ ــ [ ١٣ [

] ٣٣٦٠ [ ١٠ س ــ ٢ أوجد معامل الحد المشتمل على فى مفكوك ] ٩[

] ٧٥٦ [ ٩ ــ أوجد الحد الخالى من س فى مفكوك ]١٠[

] ١٩٢٠ [ ١٠ + فى مفكوك ( )د معامل الحد الذى يشتمل على أوج ] ١١[

] [ ثم أوجد معامل ، أثبت أنه ال يوجد حد خالى من س ١٠ ــ فى مفكوك ] ١٢[

]١٣ [ إذا كان الحد الخامس فى مفكوك س ــ ٢ ; خاليًا من س فأوجد قيمة ;

ثم أوجد معامل س

] ١٠١٣٧٦ــ ، ١٢ [ ٣ــ

]١٤ [ فى مفكوك ٣ س + الحد الذى يحتوى هو معامل س أثبت أن الحد الخالى من ;٥

على س

أوجد قيمة معامل س ٤ & و إذا كان الحد الخالى من س هو ;٥

١٠ [ ;٥ [

]١٥ [ أوجد معامل س

فى مفكوك ٩

س + ٢ ١٠ + ١٠ س + ٢ ٩ س + ١ + س + ٢ ٨ س + ١ ٠٠٠٠٠ + ٢ + س + ١ ١٥٣٦٠ [ ١٠ [

] ٧٠ [ ٨ ــ ٢س ٨ + ٢س فى مفكوك ٨ س صأوجد معامل ] ١٦[

١٨٩ ٤

٢٨٣٥ ٨

٣٠٠٣ ٣٢

س٢

٢

س٢

٤

٣ ٢ س

٢ ٣ س

١ ٣ س

س٢

٢ ٢ ٣ س

١٣٦٥ ١٢٨

١ ٣ س

١ ! س

س٧ ١ ٢

س

٢ ٣ س

٣ س

س٣

٢

س ص

س٢ ٤ ص

ص س٢

١٠٥ ٢

١ ٦ س

س٢

٢ ٣ س

١ ٢ س

١ ٢ س

٩×١٠ ١×٢

! ص

٢ ! ص

٢




٥٢

]١٧ [ أنه ال يوجد حد خالى من س فى مفكوك عددًا صحيحًا موجبًا فأثبت;إذا كان ٥ س + ٢;

] ١٠٠١ = ١١ &[ ٧ = ;أوجد الحد الخالى من س عندما . أو مكررًا لها ٧ = ; إال إذا كانت

]١٨ [ إذا كانت نسبة معامل الحد الذى يحتوى على س

إلى معامل الحد الذى يحتوى على س٤

٢

] ٨ [ بفرض أنها عدد صحيح موجب ; فأوجد قيمة ٥ : ٨ بنظرية ذات الحدين تساوى ; س ٤ ــ ٥ فى مفكوك

]١٩ [ يمة أوجد قالتى تجعل معامل س

معامل س = ٥

١٠ + ٢ س٢ فى مفكوك ١٥

] [ موجبة حيث

سإذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٢٠[

٢ + يساوى معامل س ١٥

فى نفس المفكوك٥ ] [ أوجد قيمة ك

معامل سمسائل على

& س + ١ فى مفكوك & :

] [ أوجد قيمة س٧٠ = ٤ & و إذا كان ، متساويان ١٦ س+ ١ فكوكفى م ١٣ & ، ٥ & أثبت أن معاملى ] ١[

، الحد الثالث٧٠حسب قوى س التصاعدية ، إذا كان معامل الحد الخامس يساوى ; س+ ١ فى مفكوك ] ٢[ ] # ، ٨ [ ، س; ، أوجد قيمتى ٦٣ يساوى

حسب قوى س التصاعدية يساوى معامل الحد الثالث عشر ; س+ ١ إذا كان معامل الحد الرابع فى مفكوك ] ٣[

] # ، ١٥ [فى نفس المفكوك ، أوجد قيمة س ٧ & ٤ = ٩ & ٧و إذا كان . ; أوجد قيمة

؟; فما قيمة ٧ : ٢ هى ; س+ ١ إذا كانت النسبة بين معاملى الحدين الثالث و الخامس فى مفكوك ] ٤[ ] ، ٩ [ و إذا كان الحد السادس فى هذا المفكوك يساوى الحد السابع ، أوجد قيمة س

ترتيبه يساوى معامل الحد الذى٢٥ س+ ١ فى مفكوك ١ + ٢R إذا كان معامل الحد الذى ترتيبه ] ٥[

R + ٥ ١٥ &، ١٢ & [ ، أوجد ترتيب هذين الحدين [

]٦ [ أثبت أن :; Q R = × ; ١ ــ

Q R حيث ١ ــ ; ( R ( ١

يساوى ثالثة أمثال معامل الحد العاشر; س+ ١ إذا كان ضعف معامل الحد الحادى عشر فى مفكوك

] ١٥ [ ; فأوجد قيمة ١ــ ; ص+ ١ فى مفكوك

١ ٢ س

٣ س

ك ٣ س

١ ٣ !

٣ ٥٨

١ ٢

٣ ٢

٢ ٣

٣ ٢

; R




٥٣

و معامل الحد الرابع فى مفكوك ١+ ; س+ ١ لخامس فى مفكوك إذا كانت النسبة بين معامل الحد ا ] ٧[

س+ ١ ; و إذا كان الحد السابع فى المفكوك األول يساوى الحد; ، أوجد قيمة ٤ : ٩ يساوى ، ] ، ٨ [ السادس فى المفكوك الثانى ، أوجد قيمة س

;: أثبت أن ] ٨[ Q R + ;

Q R + ١ + ; = ١ Q R + ١

يساوى معامل الحد التاسع فى مفكوك٢٠ س+ ١ و إذا كان مجموع معاملى حدين متتاليين فى مفكوك

س + ١ ١٤ &، ١٣ & أو ٩ &، ٨ & [ ، أوجد ترتيب هذين الحدين ٢١ [

]٩ [ س ، سإذا كان معامال

١٦ ، ٦ حسب قوى س التصاعدية هما ; س + ١ فى مفكوك ٢

] ٩، [ ; ، على الترتيب ، فما قيمة كل من

]١٠ [ الحد األوسط فى مفكوك أثبت أن معامل س+ ١ يساوى مجموع معاملى الحدين ;٢

١ ــ ;٢ س+ ١ فى مفكوك األوسطين

]١١ [ كونت معامالت الحدود التى رتبها إذا R ، R + ١ ، R + فى مفكوك ٢ س+ ١ ;

] ٥ ، ٧ [ R ، ;أوجد قيمتى ٥ &معامل = ٤ &عة حسابية و كان معامل متتاب ]١٢ [ أثبت أن : =

سR + ٢ س Q + ط س + ١ = ; س + ١ : إذا كان

ل س + ٣

; س + ٠٠٠٠٠ + ٤

= + : فأثبت أن : قانون النسبة بين حدين متتاليينمسائل على

: أوجد ١٥ ص٣ +س ٤ فى مفكوك ] ١[

، ، ، ، ] ، ، ، ، [

٢ ٣

٢ ٣

; Q R + ;

Q R + ١ ;

Q R

; + ١ R + ١

ط Q+ ط

R R + ل

٢Q Q+ R

& ٧

& ٦

١٢ &معامل

١١ & معامل

& ٤

& ٥

& ٩

& ٧

٦ &معامل

٨ & معامل

ص٥ ٢ س٤

١٥ ٤٤

س٤ ص٩

ص٨١ ٢ س١١٢

١١٢ ١٣٥




٥٤

]٢ [ فى مفكوك س+ ٢ حسب قوى س التصاعدية وجد أن النسبة بين الحد الحادى عشر ١٣ ] [ أوجد قيمة س ١٠ : ٣ و الحد العاشر هى

]٣ [ فى مفكوك ٩ &، ٨ &إذا كانت النسبة بين معاملى س+ ٣ ; فما قيمة٢ : ٣تساوى ; ] ٢٣ [

حسب قوى س التصاعدية ; + فى مفكوك ٤ & ، ٦ & إذا كانت النسبة بين معاملى ] ٤[ ] ٩ [ ; ، أوجد قيمة ٢٧ : ٨ تساوى

] ٥ : ٧ [متساويين ، أوجد قيمة س ، ص ١٣ ص٧ + س ٥ الحدان األوسطان فى مفكوك إذا كان ] ٥[

متساويين ، أوجد قيمة س علمًا١ + ;٢ ٥ + س ٣ إذا كان الحدان األوسطان فى مفكوك فى مفكوك ] ٦[ ] [ عدد صحيح موجب ; بأن

١٨ س ٢ + ٣ إذا كانت النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ]٧[ ] ٩ &، ٨ &[ ذين الحدين أوجد رتبتى ه٥ : ٢ تساوى

فى هذا ٦ & ، ٨ &بة بين ، النس ٩ & يساوى معامل ; س+ ١ فى مفكوك ٦ &إذا كانت معامل ] ٨[ ] # ، ١٣ [ ، س ; أوجد قيمتى ٤ : ٣ المفكوك تساوى

]٩ [ فى مفكوك الرابع و الخامس و السادس إذا كانت الحدود س + ١ حسب قوى س التصاعدية ٨ ] ٢ أو ٠,٥ [ تكون متتابعة حسابية لقيم خاصة للمتغير س فأوجد هذه القيم

]١٠ [ و الثالث فى مفكوك إذا كان الحد األول و الثانى ص+س ;فى تتابع حسابى ] ٨ [ ; ص فأوج قيمة ٢= و كانت س

٠= ٥ & ٢+ ٤ & ١٠+ ٣ & ١٥حسب قوى س التنازلية إذا كان ٨ ٣س ــ ٢ فى مفكوك ] ١١[ ] أو [ لقيم خاصة للمتغير س أوجد هذه القيم

]١٢ [ فى مفكوك ٣ + س ; الحد التاسع = حسب قوى س التنازلية وجد أن الحد العاشر

] ٦ ، ٢٠ [ ، س ; أوجد قيمة كل من ١٤ & = ١٥ & ،

]١٣ [ إذا كان الحد السادس فى مفكوك س+ ١ ;حسب قوى س التصاعدية يساوى ضعف ] ، ١١ [ ، س; فأوجد قيمة كل من٤ : ١٥اوى الحد السابع ، و كانت النسبة بين الحدين الرابع و الثانى تس

]١٤ [ فى مفكوك ٤ & ، ٣ & إذا كانت النسبة بين ص + س و كان الحد٤ : ١تساوى ٨ ] ٢ # ، ١ # [ فأوجد كًال من س ، ص ١١٢٠= األوسط

٣ ٢

٣ ٢

س٢٣

٥ ٣

٣ ٤

١ ٢

٣ ٢

٢ ١ ٣

٤

١ ٢




٥٥

]١٥ [ فى مفكوك س + ١ ; فأوجد قيمة٦ :١٤ : ٢١ يساوى ٨ & : ٧ &: ٦ & إذا كان ] ٩ ، ١ [ ; كل من س ،

ب ٤= على الترتيب و كانت ٦٠ ، ٩٦ هما ; ب + كان الحدان الثانى و الثالث فى مفكوك إذا ] ١٦[

] ٦ ، # ، ٢ # [ ; ، ب ، فأوجد قيمة

]١٧ [ لحدود الخامس و السادس و السابع فى مفكوك ات إذا كونت معامال س + ١ ;متتابعة ثم أذكر رتب الحدود األخرى فى المفكوك التى تكون معامالتها نفس المتتابعة الحسابية السابقة;حسابية فأوجد

] )٤ &، ٣ &، ٢ & ، ) ٧ ، ١٤ [

٢+ R & ٣= ٣+ R & ٤ ، ٢+ R &= ١+ R & : ، إذا كان ; ص + س٢ فى مفكوك ] ١٨[ ] ٦ ، ١٣ [ R ، ; س ، أوجد قيمتى ٢= ، ص

] # ، ١٠ [ ، س; فأوجد قيمة كل من ٧٥ = ٤ & × ٢ & ، ٤٥ = ٣ & ٤: إذا كان ; س+ ١ فى مفكوك ] ١٩[

تكون متتابعة٦ & ٤٤ ، ٤ & ٩ ، ٢ & ٩حسب قوى س التنازلية وجد أن ; ص +س ٢ فى مفكوك ] ٢٠[ ] ١٣ [ ؟ ; حسابية فما قيمة

بنظرية ذات الحدين حسب قوى س التصاعدية وجد فى ثالثة حدود متتالية أن ; س٢ + ١ فى مفكوك ] ٢١[ و كذلك أوجد رتب هذه الحدود الثالثة ; أوجد قيمة ٢٠ : ٥ : ١ أولها إلى ثانيها إلى ثالثهاتنسبة معامال ] ٨ &، ٧ &، ٦ & ، ٢٠ [

٥٦٧٠ ، ١٥١٢ ، ــ ٢٥٢ هى ; ص ــ س إذا كانت الحدود الثالث و الرابع و الخامس فى مفكوك ] ٢٢[ ] ٨ ، ٣ # ، ١ # [ ; على الترتيب فأوجد قيم س ، ص ،

: عامة على نظرية ذات الحدين مسائل

س٢ فى مفكوك ] ١[

٢ + أوجد ٩ :

د الخالى من س قيمة الح) أوًال ( ] ، = ٧ &[قيمة س التى تجعل الحدين األوسطين فى هذا المفكوك متساويين ) ثانيًا (

١ ٢

١ ٢

١ س٤

١ ٢

٢١ ١٢٨




٥٦

٤ = ; أثبت أن الحد الخالى من س هو الحد األوسط و أوجد قيمته عندما ;٢ + س فى مفكوك ] ٢[ ] ٧٠ [

، و إذا كانت ١٢ + فى مفكوك ٣ــسأوجد قيمتى الحد األوسط و الحد المشتمل على ] ٣[

] ، ٣ ــ س٣٥٢، ٦ ــ س٩٢٤ [ أوجد قيمة س ٩ : ٧ النسبة بين هذين الحدين تساوى

]٤ [ مفكوك أوجد رتبة الحد الخالى من س فىس

٢ + حسب قوى س التنازلية١٢

] ٢,٥ ، = ٩ &[ أوجد قيمة س من الحد السابق له مباشرة ف٠,٠٢ ثم عين قيمته و إذا كان هذا الحد يساوى

أثبت أن هذا الحد يساوى هو الحد السابع ، ; +س ٢ إذا كان الحد الخالى من س فى مفكوك ] ٥[ أوجد قيمة سالحد األوسط ، و إذا كان الحد الثامن فى هذا المفكوك يساوى أربعة أمثال الحد السادس معامل ] # [

أوجد قيمة١١ : ٢٤ : ٤٠تساوى ; + فى مفكوك ٧ & ،٦ & ،٥ &إذا كانت النسبة بين ] ٦[

] ١٢٨٧٠ = ٩ & ،# = ، س ١٦ = ;[ يمة الحد األوسط أو الحدين األوسطين فى هذا المفكوكثم أوجد ق ، س ;

س = :، أثبت أن ; س+ ١ فى مفكوك ] ٧[

تساوى ٨ & ،١٠ & ، إذا كانت النسبة بين معاملى ةحسب قوى س التنازلي ١ + ; ٢ ٤ + س٣ فى مفكوك ] ٨[ ] ، ٨ [ ، س ; ، الحدان األوسطان فى هذا المفكوك متساويان ، أوجد قيمتى ٩ : ٢٠

] ١٥ــ [ ٥ س٢ ــ ١ ١٠ س+ ١ فى حاصل ضرب ٢ سأوجد معامل ] ٩[

]١٠ [ أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب س+ ١ ٢ س ــ ٧ ] ٧٠ [

ب أوجد الحد الخالى من س فى حاصل ضرب س+ ٢

٢ ٢ ١ + ٣٤ [ ٥ [

] ١٠ ، ــ ٥ [ ٥ ٢ س ــ س + ١ فى مفكوك ٣ س ، ٢ سأوجد معامل كل من ] ١١ [

١ س

٣ ٢

٣ ٢ س٢

س٢٣

١ س٢

٤٩٥ ٢٥٦

١ س

١ ٢

٢ س٣

س٣٢

٤ ٣

& R +١ +& R +٢

& R +١

١ + ; سR + ١

٤ ٣

١ س١

٢ س




٥٧

٢ ت ٣ ت

ت: أى أن ت ١يعرف العدد التخيلى ت على أنه العدد الذى مربعه يساوى ــ

١ ــ =

ت :

١ = ٤ ت ت ــ = ٣ ت ١ ــ = ٢ ت

+ L X م حيث الباقى من خارج قسمة ت = م ت

/١٠١ ت ،٤٢ ت ،١٥ ت ،٨ ت ، ٧ ت: صورة أختصر ألبسط ، $ *ت

ــ ت = ٣ ت = ٣+ ٤ ت= ٧ ت*

١ = ٤ × ٢ ت= ٨ ت*

ــ ت = ٣ ت = ٣+ ١٢ ت= ١٥ ت*

١ــ = ٢ ت = ٢+ ٤٠ ت= ٤٢ ت*

ت = ١+ ١٠٠ ت= ١٠١

ــ ت= ت × ١ــ = ت × = = =* ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

، ت+ L X ت ص حيث س ، ص + س = ع العدد المركب هو ما كان على الصورة

١ ــ = ٢ التخيلىالجزء : الجزء الحقيقى ، ص : و يسمى س

١ س =ع : صفر فإن = ت ص إذا كانت ص + س = فى العدد المركب ع و يقال أن العدد حقيقى صرف

٢ ت ص =ع : صفر فإن = ت ص إذا كانت س + س = فى العدد المركب ع صرف و يقال أن العدد تخيلى

م٤

١ ت

١ ت

ت ت

٤




٥٨

ت ص + س =ع ١ ١ ١

ت ص + س =ع ٢ ٢ ٢

س١

س٢

ص١

ص٢

W:

W = } س ، ص : ت ص +سL Hت ،

٢ }١ ــ =

: : يقال لعددين ، أنهما متساويان إذا كان

التخيلى= الحقيقى ، التخيلى =الحقيقى : أى أن = ، =

: صفر = صفر ، ص = س : صفر فإن = ت ص + س = إذا كان ع

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ أوجد قيمة س ، ص الحقيقية التى تحقق المعادالت اآلتية:

١ ت ٢ + ١ س ــ ت ٦ + ٢ ت٤ ــ ١ = ص ٢ صفر=ت + ــ ت س ١٢ ت ص ــ ٤ + س ٥

$ ١ D ت ٢ + ١ س ــ ت ٦ + ٢ ت٤ ــ ١ = ص

E ت ٤ ــ ١ = ص ت ٦ ص ــ ٢ س ت ــ ٢ +س

E ص ٢ س ــ + ص٦ س ــ ٢ نساوى الجزء الحقيقى بالحقيقى ، التخيلى بالتخيلى ت ٤ ــ ١ = ت

s ١ = ص ٢ س ــ o ١ ، ص ٦ س ــ ٢ = ٤ ــ s ٢ ــ = ص ٣س ــ o ٢

٧ = س ١ E و بالتعويض فى ٣ = ص ١ ، ٢ Eبطرح المعادلتين

٢ D صفر =ت + ــ ت س ١٢ ت ص ــ ٤ + س ٥

E ١٢ ــ س٥ + ١ +س ــ ص ٤ صفر =ت نساوى الجزء الحقيقى بالصفر ، و الجزء التخيلى بالتخيلى

s صفر = ١٢ ــ س٥ E س =

= ١ ــ = ص ٤ E ١ ــ س = ص ٤ E صفر = ١ +س ــ ص ٤ ،

s ص = × E ص =

١٢ ٥

١٢ ٥

٧ ٥

٧ ٥

١ ٤

٧ ٢٠




٥٩

ت ص+ س =ع ١ ١ ١

ت ص+ س =ع ٢ ٢ ٢

١ ع

٢ ١ ١ ت ص+ س ع

ت ص+ س ٢ ٢ س + س ٢ ١ ص + ص ٢ ١

٢ ١

٢ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٢ ع

٣ ع

١ ع

٢ ع

٣ ع

ت ص+ س =ع ١ ١ ١

ت ص+ س =ع ٢ ٢ ٢

١ ع

٢ ١ ١ ت ص+ س ع

ت ص+ س ٢ ٢ س

١ س

٢ ص

١ ص

٢ س

١ ص

٢ س

٢ ص

١

٢ ١ ٢ ع

١ ع

: : فإن ، : إذا كان

+ = +

ت= +

/ اجمع العددين ع= ت ٥ + ٣ ع ، = ت ٣ ــ ١٠ $

= + ت ٥ + ٣ + ت ٣ ــ ١٠ = ١٠ + ٣ + ٣ ــ ٥ ت٢+ ١٣ = ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: ١ عملية الجمع إبدالية فى W حيث + = +

٢ الجمع دامجة فى عمليةW حيث + + = + + ٣ الصفر هو العدد المحايد الجمعى: المحايد الجمعى ٤ لكل عدد مركب ع يوجد : المعكوس الجمعى ــ ع بحيث ع + ــ ع = صفر

: : فإن ، : إذا كان

× = ×

= ــ + + ت

/ اضرب العددين ع= ت ٢ + ٣ ع ، = ت ٤ + ١ $ = ت ٢ + ٣ ت ٤ + ١

ت٨ + ت ٢ + ت ١٢ + ٣ =

٢

٨ــ ت ١٤ + ٣ =

ت١٤ + ٥ــ =




٦٠

٢ ع

١ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٢ ع

٣ ع

١ ع

٢ ع

٣ ع

١ ع

٢ ع

٣ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٣ ع

: ١ عملية الضرب إبدالية فى Wحيث × = ×

٢ عملية الضرب دامجة فى W حيث × × = × × ٣ الواحد هو العدد المحايد الضربى: المحايد الضربى

٤ ت ص يوجد ع+ س =لكل عدد مركب ع : المعكوس الضربى = ١ ــ

٥ التوزيع :# = #

: س ــ ت ص= ع = ت ص فإن مرافق العدد ع + س = إذا كان ع

: ١ مجموع أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى

"عدد حقيقى " س ٢ = س ــ ت ص + ت ص + س = ع + ع ٢ حاصل ضرب أى عددين مترافقين هو عدد حقيقى

س ــ ت ص × ت ص + س = ع × ع

٢ص ــ ت ت س+ص ــ ت س٢س = ٢ص

= ٢ ص + ٢ س + ص س+ص ــ س ت = ٢ ص + ٢س " عدد حقيقى"

٣ أى أن العدد نفسه =مرافق مرافق العدد المركب : ع = ع

٤ أى أن مجموع مرافقيهما=مرافق مجموع عددين مركبين : + = +

٥ أى أن حاصل ضرب مرافقيهما = حاصل ضرب عددين مركبينمرافق : =

: مرافق المقام بسطًا و مقامًا ، و ذلك حتى نجعل المقام× عند قسمة عددين مركبين فإننا نضرب المقدار . عددًا صحيحًا ، ثم نوزع البسط على المقام

١ ت ص+س

ع١

ع٢ ع

١ ع

٢ ع

٢ ع

١

ع٢

ع١




٦١

٢ ت٣ ــ ٤ = ع ١ ت٥ + ٣ = ع

٢

٢ ٢ ٢

٢ ٢

٢ ٢

٢

ع١

ع٢

٢

ع٣

ع٤

/ أوجد ، :إذا كان

$ = × =

ت + = = = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ مترافقان; أثبت أن م ، = ; ، = م : إذا كان

$ D ت ــ ٣ = = × = م

مترافقان ; م ، E ت + ٣ = = × = ;، ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ع :إذا كان W صفر = ع + فأوجد مجموعة حل المعادلة ع

$ ت ص + س =ع : نفرض أن E ت ص ــ س = ع

E ت ص + س + صفر = ت ص ــ س E صفر = ت ص ــ س +ت ص س ٢ + س ــ ص

E س ــ ص + س + ص ــ ص س ٢ صفر = ت

E صفر = الجزء الحقيقى E صفر= س ــ ص + س o١

o٢ صفر = ص ــ ص س ٢ E صفر =، الجزء التخيلى

= صفر أو س = ص s صفر = ١ س ــ ٢ ص ٢ E و من

صفر= س + س ١ E صفر بالتعويض فى =ا ص عندم

١ ــ = ، ٠ = العدد هو E ١ ــ = صفر ، س = س s صفر = ١ + س س

# = ص E ص = ١E + بالتعويض فى =عندما س

E األعداد األخرى هى = ، =

E ١، ــ . { = ح . م ، ، {

ع ع

١ ٢

ع ع

١ ٢

ت٥ + ٣ ت٣ ــ ٤

ت٣ + ٤ ت٣ + ٤

ت١٥ + ت ٢٠ + ت ٩ + ١٢ ت٩ ت ــ ١٢ ت ــ ١٢ + ١٦

٢ ٢

١٥ ــ ١٢ + ٢٠ + ٩ ت ٩ + ١٦

ت٢٩ + ٣ــ ٢٥

٣ــ ٢٥

٢٩ ٢٥

ت+ ١ ت+ ١

٤ + ت ٤ ت ــ ٢ + ٢١ + ١

ت٤ ــ ٢ ــ ت١

ــ ت٧ ــ ت٢

ت٤ ــ ٢ ــ ت١

ــ ت٧ ــ ت٢

ت+ ٢ ت+ ٢

١ + ت ٢ ت ــ ٧ + ١٤١ + ٤

١ ٢

١ ٢

١ ٤

١ ٢

٣ ٢ !

١ ت + ٢

٣ ٢ ١ ت ــ !

٢ ٣ ٢ !

١ ت + ٢

٣ ٢ ١ ت ــ !

٢ ٣ ٢ !




٦٢

٣ ٢

٢ ٣

١٥ +س ــ س + س ٢ ٣

٢ ٢

٣٥ــ ٢٢ــ ١١٧ ٦٥ ٧ +; ٨ ٤٣

! !

/ إذا علمت أن ٣ ــ ١٥ +س ــ س + س : جذر للمعادلة =. فأوجد الجذرين اآلخرين

$ D ٣ ــ ١٥ +س ــ س + س : جذر للمعادلة = .

E ٣ + س عامل من عوامل المقدار و يمكن الحصول على العوامل األخرى بإجراء عملية القسمة المطولة

E ٣ + س ٥ + س ٢ س ــ = . s ٥ + س ٢ س ــ = .

E ت٢ # ١ = = = س

E ت٢ ــ ١ ت ، ٢ + ١ ، ٣ــ : جذور المعادلة هى ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:أكتب فى أبسط صورة ] ١[ عدد صحيح ;، ت ، ت ، ت ، ت ، ت حيث ت

ت =: أثبت أن ] ٢ [

:اختصر ألبسط صورة كل مما يأتى ]٣ [ ت ٣ + ٤ + ــ ت ٢ ] ٤ [ ت ٥ + ٣ ــ ت ٣ ــ ٢

]٥ [ ٢ ــ ٢ ــ ٣ + ٢ ــ + ٥ ] ٦ [ ت ٢ + ٣ ــ ت ٥ ــ ٤

: ت ص +ضع كًال مما يأتى على الصورة س

]٨ ] [ ٧ [

]١٠ [ ] ٩[

]١٢ ] [ ١١ [

٥ × ١× ٤ ــ ٤ # ٢٢

١٦ ــ # ٢٢

٣ ت + ت ٤ + ١

ــ ٢ ــ ت ــ ٢

٢ ت

٢ ت

ت٢ + ٣ ت٣ + ٤

ت٢ ــ ٥ ت٥ + ١٢

ت٢ ــ ت ١ ٢

ت + ٣ ــ ت ٣ ت٤ ــ ٣

٥ ت+ ٣

ت+ ٣

ت٢ + ١ ت٤ + ٣ ــ

ت + ٢ ت ٣ + ١




٦٣

٢ ٢

٢ ٢

! ٥

٣ ٣

ص + ت أوجد قيمة س ــ س ص ٤ ــ ٣ = ت ، ص ٤ + ٣ =إذا كانت س ] ١٣[

: فأثبت أن = ، ص =إذا كانت س ] ١٤[

ص+ س ص + س ، ص مترافقان ثم أوجد قيمة المقدار س

: فى كل مما يأتى Hأوجد قيم س ، ص

٢ ت ــ ٦ + ٤ + ص ٣ ت س ــ ٢ ] ١٥[

ت٢ ــ ٨ = ص ٢ + ت س ٥ + ت ٣ ] ١٦[

]١٧ [ + =

٢ ــ ت ١ = ت ص +س ] ١٨[

٧ = ب + ٢: ت فأثبت أن + ٢ = ــ ت ١ ت ب + إذا كان ] ١٩[

: مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية Wأوجد فى

.= ع + ٢ ع ] ٢٠[

. = ٥ ت ع ــ ٢ ــ ٢ ع ] ٢١[

. = ١٣ + س ٦ ــ ٢ س ] ٢٢[

٥ = ع ٣ + ع٢ ] ٢٣[

١ــ ع = ١ــ ع : ، فأثبت أن Wإذا كانت ع ] ٢٤[

أحد جذور المعادلة س ١ ــ إذا كان ] ٢٥[

ــ س ٣

٢ + ٢ =. . فبين أن الجذرين اآلخرين مترافقان

٢٦ ــ ت٥

٢ ت ٢ + ٣ ت+ ١

ت ص٢ +س ــ ت٢

ت ص+ س ٣ ت+ ٢

٢٣ ٥




٦٤

ت ص+ س = ع

ــ س ــ ت ص =عــ

٢ ١

١ ١ ٢ ٢

١ ٢

ت ص يتكون من جزء حقيقى س ، و جزء تخيلى ص+ س = العدد المركب ع

S س على محور ىبشكل آرجاند بحيث يمثل الجزء الحقيق ت ص + س = ع يمكن تمثيل العدد المركب X و الجزء التخيلى ص على محور

العدد المركب و معكوسه الجمعى يمثالن بيانيًا ــ بطرفى قطعة مستقيمة تكون نقطة األصل فى منتصفها

العدد المركب و مرافقه يمثالن بيانيًا بنقطتين ــ ات متماثلتين بالنسبة لمحور السين

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ت ٢ــ ٣ = للعدد المركب ع ب المعكوس الجمعى و المرافقتأك

ثم مثل هذه األعداد بشكل آرجاند$ D ت ٢ ــ ٣ =ع

E ت ٢ + ٣ ــ = المعكوس الجمعى ــ ع ت ٢ +٣ = ، المرافق ع


:ل أيضًا على نفس الشكل كًال منمث ت ، ٣ + ١ = ع ت ، + ٣ = عمثل على شكل آرجاند األعداد ] ١[

|ع | = |ع | ع ، ع ، و بين أن

ت ٤ + ١ــ = ع ت ، ٢ + ٣ = عمثل على شكل آرجاند األعداد ] ٢[

س ـــ ت ص= ع

٢ ١ ١

١ــ ٢ــ

٢ــ

ت٢ ــ ٣ =ع

S

X ت٢ + ٣ = ع ت٢ + ٣ــ = ــ ع

٣

٢

٣ــ ١ــ




٦٥

٢ ٢

! ٣ ٢ ١

!

١ ٢ ٢

١

س ل

ص ل

ط ط ٣

٣ ط٣

١ ٢

٣ ٢ !

على شكل آرجاند س ، ص = ت ص تمثله النقطة + س=إذا كان العدد المركب ع

ل: هو العدد الحقيقى ل الذى يدل على بعد العدد ع عن نقطة األصل

ص + س =| ع| = ل θ:

الموجب ، محور السينات الذى يدل على قياس الزاوية بين و θهو العدد الحقيقى

:أو بطريقة أفضل نجد أن : و من الشكل نجد أن

ل = ت ص هى ع + س = ع جتا θ+ ت جا θ

هى سعة العدد عθ ، | ع | =حيث ل مقياس العدد ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ منها فى الصورة المثلثيةأوجد المقياس و القيمة األساسية للسعة لكل من األعداد المركبة اآلتية ثم أكتب كًال ت ٥ ــ =ع ] جـ [ ــ ت ١ ــ =ع ] ب [ ت ٣ + ١ =ع ] أ [

$ ] ٣ = ، ص ١ =س ] أ

E | ٢ = ٤ = ٣ + ١ = ص + س = ل = | ع

، D جتا θ = ــــــــ ، جا = ـــــــــ θ = ــــــــ = ـــــــــ

E θ السعة األساسية = ٦٠ ــــــــ= ٥

E ٢ = ع ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ

ص ل

ــــــــــــــــــــــــــــ=ـــــــــ =θجتا

ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــ =θ، جا

س ل

ص ٢ ٢ ص+س

س ٢ ٢ ص+س

ـــــــــــ =θظا مع مراعاة إشارتى س ، ص

θو ذلك لتحديد الربع الذى تقع فيه

ص س

S

X = س ، ص

θ و

ل

س

ص




٦٦

٢ ١ــ ٢ !

١ــ ٢ !

ط٥٤

ط٥٢ ٤

ط٥٤

٣ ٥ــ ٥

ط٣ ط٣ ٢

٣ ٢ ط٣

٢

ع ١

ع ٣ ط٣

٤ ط ! ع ٢ ٢

ط٢

ط ط ٢

٢ ع ١

ع ٢

ع ٣

ط٣٤

ط٣ ط٣ ٤

٤

! ! !

! !

١ ١ ! ٢

٢ !

٢ = ١ + ١ = ل = | ع | E ١ ــ = ، ص ١ـ ـ=س ] ب [

D جتا θ = ـــــــــ ، جا θ = ـــــــــ

E θ السعة األساسية = ١٨٠ ٤٥ + ٥

٢٢٥ = ٥ ـــــــــ = ٥

E ٢ = ع ت جا ــــــــــ +ـــ جتا ـــــــ

٥ = ل = | ع | E ٥ ــ =، ص . =س ] جـ [

D جتا θ = . جا ،θ = ١ ــ = ـــــــــ E θ السعة األساسية = ٢٧٠ ــــــــــ= ٥

E ٥ = ع ت جا ــــــــــ + جتا ــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ أكتب الصورة الجبرية لكل من األعداد المركبة اآلتية: وسعته ــــــــ٢ ٢الذى مقياسه ] ب [ و سعته ــــــــــ٣الذى مقياسه ] أ [ و سعته ط٤الذى مقياسه ] جـ [

$

.= . × ٣ = جتا ـــــــ ٣ = θ ل جتا = س E ــــــــ = θ ، ٣ =ل ] أ [

٣ = ١ × ٣ = جا ـــــــ ٣ = θ ل جا = ، ص

E = ت ٣ = ت٣ + . = ت ص + س

٢ ــ = ــ ــــــــــ × ٢ ٢ = جتا ـــــــ ٢ ٢ = س E ـــــــ = θ ، ٢ ٢ =ل ] ب [

٢ = ــــــــــ × ٢ ٢ = جا ـــــــ ٢ ٢ = ، ص

E = ت ٢ + ٢ ــ = ت ص + س

٤ ــ = ١ ــ × ٤ = جتا ط ٤ = س E ط = θ ، ٤ =ل ] جـ [

.= . × ٤ = جا ط ٤ = ، ص

E = ٤ ــ = . × ت + ٤ ــ = ت ص + س




٦٧

! ! ! !

ع ١ ع ٢

ع ٢ ع ١ ع ٢ ع ١

ع ٢ ع ١

ط٢

ط٢

ط٧٦

ط٧٦

١ ع

:أوجد المقياس و السعة األساسية لكل من األعداد اآلتية ، و مثل كًال منها على شكل آرجاند ] ١[ ــ ت ) ٤( ت ) ٣ ( ١ــ ) ٢ ( ١ ) ١ ( ت٢ + ٣ ) ٨( ت ٣ + ٢ــ ) ٧( ت ٣ ــ ٢ ) ٦ ( ت ٣ + ٢ ) ٥ (

ت+ ١ ) ١٢ ( ت ٥ ــ ١٢ــ ) ١١ ( ٥ ت ــ ٤ ) ١٠( ت ٢ + ٣ــ ) ٩ (

ت+ ٣ــ ) ١٦( ت ٣ ــ ١ ) ١٥ ( ت ٣ + ١ ) ١٤ ( ت ــ ١ــ ) ١٣ ( ــ ت٢,٤ ) ١٨ ( ــ ت ٣ــ ) ١٧ (

ت ، و مثل أيضًا على نفس الشكل ٣ + ١ = ت ، + ٣ = مثل على شكل آرجاند األعداد ] ٢[

| | =| | : كًال من ، و بين أن

ت ٤ + ١ ــ = ت ، ٢ + ٣ =مثل على شكل آرجاند األعداد ] ٣[

:أكتب الصورة الجبرية لكل من األعداد المركبة اآلتية ] ٤[ ) ١ ( ٢ ٤٥ ت جا + ٤٥ جتا ) ١٥٠ ت جا + ١٥٠جتا ) ٢

) ٣ ( ٣ ت جا ــــــــ + جتا ـــــــ ) ت جا ط+جتا ط ) ٤

) ٥ ( ١٠ جتا ١٠٠ ــ + ت جا ١٠٠ ــ ) ٦ ) ٦ ت جا ــــــــــ + جتا ـــــــــ

: فأكتب الصورة المثلثية لكل من األعداد θ جا + θ جتا ل = ذا كان ع إ ] ٥[

١ ــ ع ، ع ، ـــــــــ ، ــــــــــ ع




٦٨

ع ١ ع ٢

ع ٣

ع ٦ ع ٤

ع ٥

ع ١

ع ١

ع ٢

ع ٣

ع ٢

ع ٣

: ١ المقياس ل موجبًا ٢ كًال من إشارتى الجزء الحقيقى و الجزء التخيلى موجبًا

: ١ المثلثية ذلك بالتعويض عن قيم الدوال و ت ص + س = ع نحول العدد المركب إلى الصورة الجبرية ٢ ًال من المقياس و السعة لهذا العدد نوجد ك ٣ ل = نضع العدد المركب على الصورة المثلثية ع جتا θ + ت جا θ

/حيث أوجد السعة األساسية لكل من األعداد المركبة اآلتية θ L . ] ــــــ ،]

) ١ ( = جتا θ ــ ت جا θ ) ٢ ( = ــ جتا θ ــ ت جا θ

) ٣ ( = جا θ + ت جتا θ ) ٤ ( = جا θ ــ ت جتا θ

) ٥ ( = ــ جا θ ــ ت جتا θ) ٦ ( = ــ جا θ + ت جتا θ $ [ ط ٢ ، . [ θ Lحيث θ ت جا + θ جتا ل رفة السعة األساسية للعدد المركب يجب أن نضعه على الصورةلمع

١ D = جتا θ ــ ت جا θ

تقع فى الربع الرابع s θ و إشارة الجزء التخيلى ــ +إشارة الجزء الحقيقى

Eط ــ ٢ =لعدد السعة األساسية ل θ

٢ D = ــ جتا θ ــ ت جا θ تقع فى الربع الثالث s θإشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ

E ط = السعة األساسية للعدد + θ

٣ D = جا θ + ت جتا θ

] مع تبديل حرف ت [ تقع فى الربع األول s θ + و إشارة الجزء التخيلى +جزء الحقيقى إشارة ال

E ــــــــ ــ = السعة األساسية للعدد θ

ط٢

ط٢




٦٩

ع ٤

ع ٥

ع ٦

ع ٤

ع ٦

ع ٥

٤ D = جا θ ــ ت جتا θ

] مع تبديل حرف ت [ تقع فى الربع الرابع s θ و إشارة الجزء التخيلى ــ +إشارة الجزء الحقيقى

E ــــــــ = السعة األساسية للعدد + θ

٥ D = ــ جا θ ــ ت جتا θ ]ت مع تبديل حرف [ تقع فى الربع الثالث s θإشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى ــ

E ــــــــ ــ = السعة األساسية للعدد θ

٦ D = ــ جا θ + ت جتا θ

] مع تبديل حرف ت [ تقع فى الربع الثانى s θ +إشارة الجزء الحقيقى ــ و إشارة الجزء التخيلى

E ـ ـــــــ= السعة األساسية للعدد+ θ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: نفرض أن ، عددان مركبان حيث

= جتا θ ت جا + ١θ ١ ، = جتا θ ت جا + ٢θ ٢

E = ] جتاθ ت جا +١ θ ١ جتا θ ت جا + ٢θ ٢ [

= ] جتاθ جتا ١θ ــ جا ٢ θ جا ١θ ٢ +ت جاθ جتا ١θ ٢ + جتاθ جا ١θ ٢ [

] ٢ θ + ١ θ جا ت+ ٢ θ +١ θجتا [ =

: حاصل ضرب مقياسيهما= مقياس حاصل ضرب عددين مركبين

مجموع سعتيهما= ، سعة حاصل ضرب عددين مركبين

: ل =إذا كان ع جتا θ + ت جا θ

ل=ع . ع = ٢ ع: فإن

٢ ٢ جتا θ + ٢ ت جا θ

ل= ; ع: و بصفة عامة فإن

; جتا ; θ + ت جا ; θ

ط٢

ط٣٢

ط٣٢

ع١

ع٢

ع ١ ل ١

ع ٢ ل ٢

ع١

ع ٢ ل ١ ل ٢

٢ ل ١ ل ٢ ل ١ ل




٧٠

/ ــ ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة ١ضع العدد ــ ت ١ ٦ $

D ١ ــ = ، ص ١ =س E ٢ = ١ + ١ = ل

D جتا θ = ـــــــــ ، جا =ـــــــ θ = ـــــــــ = ـــــــ

E θ = ٣١٥ = ٤٥ ــ ٣٦٠

E ٢ = ــ ت ١ ٣١٥ ت جا + ٣١٥ جتا

E ــ ت ١ ٦ = ٢ ٦ ٣١٥ × ٦ ت جا + ٣١٥ × ٦ جتا

= ٨ ١٨٩٠ ت جا + ١٨٩٠ جتا

= ٨ ٩٠ ت جا + ٩٠ جتا = ٨ ت + ٠ = ت٨ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ١٠ =إذا كان جتا θ + ت جا θ ، = ــــــ ٢ جا θ + ٢ ت جتا θ

[ـــــــ ، . [ θ Lــــــــ ، = θ حيث ظا ب فأوجد الصورة المثلثية و كذا الصورة الجبرية لحاصل الضر $

θ و سعته ١٠ العدد مقياسه θ ت جا + θ جتا ١ أما العدد فمقياسه ــــــ و إليجاد سعته يجب أن يوضع على الصورة المثلثية ل

] θ ٢ ــ ٩٠ ت جا + θ ٢ ــ ٩٠ جتا [ ـــــــ =العدد : لذلك فإن

θ ٢ ــ ٩٠ =و بذلك تكون سعته

E = جتا [ ــــــ × ١٠θ + ٢ ــ ٩٠ θ + ت جا θ + ٢ ــ ٩٠ θ [

] θ ــ ٩٠ ت جا + θ ــ ٩٠ جتا [ ٥ =

= ٥ جا θ + ت جتا θ ه هى الصورة المثلثية و هذ

= ٥ ــــــ ت + ــــــ

ت و هذه هى الصورة الجبرية٤ + ٣ =

س ل

ص ل

١ ٢ !

١ــ ٢ !

ع١

ع٢

١ ٢

٣ ٤

ط ع ٢

١ ع

٢

ع١ ع

٢ ١ ٢

ع١ ٢

٢ ع

٢ ع

١ ع

١ ٢ ٢

٣ ٥

٤ ٥

٣ θ

٤

٥




٧١

ط٧٤

ط٧٤

ط٤

ط٤

ط٤

ط٤

ط٧٤

ط٧٤

ط٣٢

ط٣٢

ط٣٢

ط٣٢

: نفرض أن ، عددان مركبان حيث

= جتا θ ت جا + ١θ ١ ، = جتا θ ت جا + ٢θ ٢ ، ≠ صفر

E =

= ×

= ×

] ٢ θ ــ ١ θ ت جا + ٢ θ ــ ١ θ جتا [ × =

: د المقسوم عليه مقياس العد÷ مقياس العدد المقسوم = مقياس خارج قسمة عددين مركبين

سعة العدد المقسوم ــ سعة العدد المقسوم عليه= ، سعة خارج قسمة عددين مركبين

/ أوجد قيمة $

: ت على الصورة المثلثية فنجد أن + ١ ــ ت ، ١نضع كل من العددين

ت جا ـــــــــ + جتا ـــــــــ ٢ = ــ ت ١

ت جا ـــــــــ + جتا ـــــــــ ٢ = ت + ١ ،

E = جتا [ ١ـــــــــ ــ ـــــــــ + ت جا ـــــــــ ــ ـــــــــ [

ـــــــــ ت جا + ـــــــــجتا =

E = جتا ـــــــــ× ٤ + ت جا ـــــــــ× ٤

١ =. ت جا +. جتا = ط ٦ ت جا + ط ٦ جتا =

ع١

ع٢

ع ١ ل ١

ع ٢ ل ٢

ع٢

ع١ ع

٢

١ ل ٢ ل

جتاθ ت جا +١ θ ١

جتا θ ت جا + ٢θ ٢

٢ ل

١ θ ت جا +١ θجتا ١ ل

جتا θ ت جا + ٢θ ٢

جتاθ ــ ت جا ٢θ ٢

جتا θ ت جا ــ ٢θ ٢

٢ ل

٢ θجا ١ θــ جتا ٢ θجتا ١ θجا ت + ٢ θجا ١ θ جا +٢ θجتا ١ θجتا ١ ل

جتا

٢ θ جا +٢

٢ θ ٢

٢ ل

١ ل

ــ ت١ ت+ ١

ــ ت١ ت+ ١

ــ ت١ ت+ ١

٤

٤




٧٢

ع١

ع٢

ع٢

ع١

ع ط ١

٢ ط٢

ط٣٤

ط٣٤

ط٤

ط٤

ط٣

ط٣

ط٦

ط٦

ط٨

ط٨

ط٣٨

ط٣٨

٣ ٤

١ ٦

١ ع

ط٣

ط٣

ط٣٢

ط٣٢

أ٢

أ٢

! ١ ٢

١ ٢ !

: إذا كان ÷ ، ×أوجد الصورة المثلثية لكل من

] ٢ = ] ١ ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ ، = ٣ ت جا +. جتا .

] ٢ = ] ٢ ت جا ـــــــ +ـــــ جتا ــ ، = ٢ ت جا ــــــ + جتا ــــــ

] ٢ = ] ٣ ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ ، = ٦ ت جا ــــــ + جتا ــــــ

] ٢ = ] ٤ ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ ، = ٦ ت جا ــــــــ + جتا ــــــــ

] أ ــ ب ت جا + أ ــ ب جتا [ ٣ =، ] ب + أ ت جا + ب + أ جتا [ ٢ = ] ٥ [

] ٣ = ] ٦ أ ٢ ت جا + أ ٢ جتا ، = ـــــــ جتا أ ــ ت جا أ

أ ٣ أ ــ ت جتا ٣ جا ٨ = ، أ ٤ ت جا + أ ٤ جتا ــــــــ = ] ٧ [

: ، ــــــــ إذا كان ٢أوجد الصورة المثلثية لكل من ع

ت جا ـــــــ +ـــــــ جتا ــــــــ =ع ] ٩ [ ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ ٣ =ع ] ٨[

جا أ ــ ت جتا أ ٢ =ع ]١١ [ جتا ـــــــ ــ ت جا ـــــــ =ع ] ١٠[ :أكتب الصورة المثلثية لكل من العددين المركبين ] ١٢[

٣ ــ ت ١ ــ ــــــــ = ، ٣ ت + ١ ــ ــــــــ = : ثم أثبت أن

١ = =) ثانيًا ( = ، =) أوًال (

٥ ت + ١ ت على الصورة المثلثية ، ثم أوجد قيمة + ١ضع العدد ] ١٣[

ع٢

ع١

ع٢

ع١

ع٢ ع

٢ ع

١ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٢

١ ٢ !

ع١

ع٢

ع١ ع ٢

٢ ع

٢ ع ٢

١ ع

١ ع ٣

٢ ٣




٧٣

ت جا ـــــــ+ جتا ـــــــ =ع ١

ط٤

ط٤

ـــ ت جا ــــ+ جتا ـــــــ =ع ٢

ط٣

ط٣

ت جا ـــــــ+ جتا ـــــــ =ع ٣

ط٦

ط٦

ع١

ع ٦٢ ع ٥

٣ ٤

٥ ١٢

ط٢

ا ك

ا ط٢R +θ ك

K θ+ ٢Rط

K

ص ! س

. ١ــ

إذا كان ، ، ] ١٤[

÷ × فأوجد

٥ ت٣ + ١ على الصورة المثلثية ثم أوجد قيمة ت ٣ + ١ضع العدد ] ١٥[

θ ت جا + θ جتا ٢ = ، θ ٢ ت جا + θ ٢تا ج ٦ =إذا كان ] ١٦[

÷ فأوجد ٠,٦ = θ، جا [ ١٨٠ ، ٩٠[ θ L حيث

θ ٢ ت جتا + θ ٢ جا = ، θ ت جا + θ جتا ١٣ =إذا كان ] ١٧[

ــــــــ فأوجد = θ، ظا [ ـــ ، ـــ[ . θ L حيث

ت على الصورة المثلثية + ١ ت ، ٢ضع كًال من العددين ] ١٨[

و استخدم ذلك فى إيجاد ـــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

; : جتا θ + ت جاθ ; = جتا ; θ+ ت جا ; θ

" تعطى قيمة واحدة " θ ; ت جا +θ ; جتا = ; θ ت جا + θ جتا : فإن L X ; إذا كانت

: فإن كسر حقيقى ـــــــــ = ; إذا كانت

جتا θ + ت جاθ " من القيم&تعطى " ت جا ـــــــــــــــــــ+ جتا ــــــــــــــــــــ = ـــــــ

١ ــ K، ..... ، ٢ ، ١، . = R: حيث

/أوجد مجموعة حل المعادلة س

L W حيث س . = ١ + ٤

$ Dس

١ + ٤ = . Eس

١ ــ = ٤

.= ، ص ١ ــ = المثلثية س إلى الصورة١ ــ = نحول العدد ع

٥ ١٨٠ =s θ ـــــــــ = ـــــــــ =θ ، ظا ١ = ١ = | ع |

! ! ع

١ ع

٢ ع

١ ع

٢

ع١

ع٢

ع ع ١

٢

! ت٢ ٦

ت + ١!




٧٤

E ١٨٠ ت جا + ١٨٠ جتا = ١ ــ sس

١٨٠ ت جا + ١٨٠ جتا = ٤

sس = ١٨٠ ت جا + ١٨٠ جتا E س ) ( ت جا + ) ( جتا =

ت + ١ = + = ت جا + جتا = سR= : . Eبوضع

ت + ١ ــ = + = ت جا + جتا = سE :١ =Rبوضع

ــ ت ١ ــ = ــ = ت جا + جتا = سE :٢ =Rبوضع

ــ ت ١ = ــ = ت جا + جتا = سE :٣ =Rوضع

E ح . م= } ت + ١ ، ت + ١ ــ ، ــ ت ١ ــ ، ــ ت ١ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ٣جا : استخدم نظرية ديموافر للتعبير عن كل منθ ٣ ، جتاθ بداللة جا θ جتا ، θ

$ D ٣ جتاθ + ٣ ت جاθ = جتا θ + ت جاθ

٣

ات الحدين ص و استخدم مفكوك ذ= θ س ، جا = θجتا و بوضع

E ٣ جتاθ + ٣ ت جاθ = ص ت + س ٣ ــ ت ص٢ س ص٣ ص ــ ٢ ت س٣ + ٣ س= ٣

= ٣ س ٣ص ص ــ٢ س٣ ت + ٢ س ص٣ ــ

E ٣ جتاθ =٣ س ٢ س ص٣ ــ

٣ س= ٢ ا حيث ج ٢س ــ ١ س ٣ ــ

θ = ــ جتا ١

٢ θ

٣ س= ٣س٣ + س ٣ ــ

s ٣جتاθ = ٤جتا٤ = س ٣ ــ ٣س

٣ θ جتا ٣ ــ θ

٢ س٣ = ٣θ، جا ٣ ص ــ ص

حيث جتا ٣ص ــ ١ ص ٣ =

٢ θ = ــ جا ١

٢ θ

٣ ص ــ٢ ص٣ ص ــ ٣ =

s ٣جاθ = ٤ ــ ص٣جا ٣ = ٣س θ جا٤ــ

٣ θ

١ ٢ + ١٨٠ ٤ Rط

٤ ٢ + ١٨٠ Rط

٤ ١٨٠ ٤

١٨٠ ٤

١ ٢ !

ت٢ ! ت٢ !

١ ٢ !

١ ٢ !

٥٤٠ ٤

٥٤٠ ٤

ت٢ !

١ــ ٢ !

١ ٢ !

٩٠٠ ٤

٩٠٠ ٤

١ ٢ !

١ــ ٢ !

ت٢ !

١ ٢ !

١٢٦٠ ٤

١٢٦٠ ٤

١ ٢ !

١ ٢ !

١ ٢ !

١ ٢ !




٧٥

طR ٦ +ط ٦

طR ٦ +ط ٦

٣ ٢ !١

٢

٣ ٢ !١

٢

/و مثل على شكل آرجاند كًال من العدد و جذوره ت ٣ ٢ + ٢ = ع أوجد الجذور التربيعية للعدد

$ ة المثلثية نضع العدد ع على الصورÅ ٣ ٢ = ، ص ٢ = س

Ä | ٤ = ١٦ = ١٢ + ٤ =| ع

Ä جتا θ = = جا ، θ = = Ä θ = ٦٠

السعة األساسية = ٥

Ä ٤ = ع ت جا + جتا

Ä ٢ = الجذور التربيعية للعدد ع ت جا + جتا

= ٢ ت جا ـــــــــــــــــــــــــــــــ + جتا ـــــــــــــــــــــــــــــــ حيث R = ١ ، ٠

= ٢ ــــــــ ت جا ـــــــــــــــــ+ جتا ـــــــــــــــــــــــــ حيث R = ١ ، ٠

ت جا + جتا ٢ = أحد الجذرين التربيعيين للعدد ع Ä :٠ = Rبوضع

= ٢ ــــــــــ +تــــــ = ت+ ٣

ت جا + جتا ٢ =اآلخر ع الجذر التربيعى للعدد Ä : ١ = Rبوضع

= ٢ ــ ــــــــــ ــ تــــــ = ــ ت + ٣

Ä الجذور التربيعية للعدد ع = ± ت + ٣

$ ت ص هو أحد الجذور التربيعية للعدد ع+ نفرض أن س

Ä ت ص + س ت٣ ٢ + ٢ = ٢

Äت٣ ٢ + ٢ = س ص ت ٢ + ٢ ــ ص٢ س

Ä٢ = ٢ ــ ص٢ س ← u ، ٣ ٢ = س ص ٢ ← v u ، vو بتربيع

Ä٤ = ٤ ص+ ٢ص٢ س٢ ــ ٤ س ← w ، ١٢ = ٢ص٢ س٤ ← x w ، x بجمع المعادلتين و

Äأى ١٦ = ٤ ص+ ٢ص٢ س+ ٤ س س ص+ ٢

٢ ١٦ = ٢ Äس

ص+ ٢٢= ٤ ← y

!

! !

٢ ٤

١ ٢

٣ ٢ ٤

! ٣ ٢ ط !

٣ ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

١ ٢

ط٦

ط٦

طR ٢ +ــــــــ ٢

ط٣

طR ٢ +ــــــــ ٢

ط٣

!

ط٧٦

ط٧٦

! !

! !

!

١ب

S

X A

٢ب




٧٦

٢ ت + ١ ــ ت١

ت٦ + ٢ ــ ت٣

ــ ت٩ ت + ١

٢ ت

ت٤ + ٣ ت٤ ــ ٣

ت١٧ + ٣١ ــ ت١

ت٢ + ١١ ت٢ + ١

ت+ ١ ــ ت١

ــ ت١ ت+ ١

u ، yو بجمع المعادلتين Ä س٢

٦ = ٢ Äس ٣ = ٢ Ä٣ ± = س

y من uو بطرح Ä ص٢

٢ = ٢ Ä ١ = ٢ ص Ä١ ± = ص أى س ، ص موجبتان معًا أو سالبتان معًا . )س ص : نالحظ أن vو من

Ä١ ــ = ، ص ٣ ــ = ، س١ = ، ص ٣ = س

Ä الجذران التربيعيان للعدد ع هما ± ت + ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:استخدم نظرية ديموافر إليجاد الجذرين التربيعيين لكل من األعداد اآلتية ــ ت ] ٢[ ت ] ١[ ]٣ [ ٤ ت جا + جتا ] ٤ [ جتا ــ ت جا

ت جا + جتا ٩ ] ٦[ ت ٣ + ١ ] ٥[

:أوجد الجذرين التربيعيين لكل من األعداد اآلتية دون التحويل للصورة المثلثية ت ٩ ــ ٤٠ ] ٩[ ت ٨ ] ٨[ ت ١٢ + ٥ ] ٧[

ـــــــــــــــــــ ] ١٢[ ــــــــــــــــــــــ ] ١١ [ ت ٤ ــ ٣ ] ١٠[

ـــــــــــــــــــــــ ] ١٥ [ ـــــــــــــــــــــــ ] ١٤[ ـــــــــــــــــــ ــ ـــــــ ] ١٣[

ت ص + س إذا كان ] ١٦[ ـــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ، ص الحقيقية= ٢

س٣ ــــــــــــــ فأوجد قيم = ـــــــــــــــ ، ص =إذا كانت س ] ١٧[

ص٤ + ١٢

١٥

ت ص ٤+ س ٣ فأوجد قيم . = ت ٢ + ت + ١ ص + ــ ت ١ إذا كان س ] ١٨[

ت فأوجد قيم س٦ ــ ٨ =إذا كان س ] ١٩[

ت فأوجد قيم س١٥ + ٨ =إذا كان س ] ٢٠[

!

! ! !

ط٢٣

ط٢٣

ط٣

ط٣

ط٥ !٣

ط٥٣

١ ٢

١ ٢

٣ ٢

١ــ ٢




٧٧

١ ٢

ط٢٣

ضع المقدار ــــــــــــــــــــــــ على الصورة المثلثية ثم أوجد جذريه التربيعيين ] ٢١[

ـــــــــــــــــــــــــــــ فأوجد قيم س ، ص الحقيقية= ت ص + س إذا كان ] ٢٢[

θ ، جا θ بداللة جتا ٢θ ، جا ٢θاستخدم نظرية ديموافر إليجاد جتا ] ٢٣[

ت + ٣ أكتب الصورة المثلثية لقيم المقدار ] ٢٤[

ــ ت دار أكتب الصورة المثلثية لقيم المق ] ٢٥[

حل المعادلة س ] ٢٦[ L W و مثل الحلول على شكل آرجاند علمًا بأن س . = ١ + ٨

:إذا كان س عددًا مركبًا ، فحل المعادالت اآلتية

.= ٤ + س ٢ ــ ٢ س ] ٢٧[

]٢٨ [ ت + ١ س . = ت ٣ ــ ٢ ٢ + س ت ٣ + ١ ــ ٢

] ٢٩ [ ت + ٢ س ت ٢ ــ ١ ٤ = س ت ٣ + ١ ٣ ــ ٢


ل = ت ص هى ع + س = ع ت هθ

هى سعة العدد ع بالتقدير الدائرىθ ، | ع | =حيث ل مقياس العدد

/ ت ه ٢ = ع ضع على الصورة الجبرية

$ ٢ = ت ه ٢ = ع جا ت + جتا = ٢ ٣٠جا ت + ٣٠ جتا

= ٢ + ت = + ت ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ت فضع ع على الصورة األسية+ ١ ــ =إذا كان ع

$ Å ت + ١ ــ = ع Ä ٢ = ٣ + ١ = ل

ـــــــــ = θ = Ä θ ــ ـــــ ، جا = θ، جتا

،Å ل = ع ت هθ Ä ٢ = ع ت ه

٨ــ ١ ! ت٣ + ١

ت٣ ٤ + ١ ٢ ت٣ ٤ ــ ١

! !

! ٢ ٣

١ ٥

ط٦

ط ط ٦

٦ ط٦

١ ٢

٣ ٢ !

! ٣

! ٣

! ٣ ٣ ٢ !

ط٢٣




٧٨

θت هـ ١ ل

١ θت هـ ٢ ل

٢

١ ل ٢ ل

θ + ط ٢ R ;

ط٤

ط٥٣

ط٤

ط٥٣

ط٢٣١٢

/ ٢ ه ــ ١ = ط تــ ه ــ ط ت + ٢ هأثبت أن

$ Å ٢ ه = ط ت + ٢ ه ت جا ط +جتا ط = ه ٢ ١ــ + . = ٢ ه ــ b ١

،Å ط تــ ه = جتا ــ ط + ت جا ــ ط = جتا ط ــ ت جا ط = ١ ــ b ٢

٢ ه ــ ١ = ١ ــ ــ ٢ ه ــ = ط تــ ه ــ ط ت + ٢ ه Ä ١ من ٢ بطرح ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

:

١ ه ١ ل θت

ه ٢ ل× ١

θت

ه ٢ ل١ ل= ٢ θت

١ + θ

٢

٢ ت ه ـــــــــ =ــــــــــــــــــــ ــــ θ

θ ــ ١

٢

٣ ) ت ه لθ( ; =ل θ ;ت ه ;

٤ ت ه لθ = ت× ــــــــــــــــــــــــ ه ل

/ ت بالصورة األسية ــ ١ = ، ت+ ١ = ضع كًال من

: و من ذلك أوجد فى الصورة األسية لكل من

، ،

$ Å = ت+ ١ Ä | | =

ـــــ ت ه = Ä = ١ Ä θ ــــــــــ = ١ θ، جا ــــــــــ = ١ θ، جتا

Å = ــ ت ١ Ä | | = ٢ = ٣ + ١

ــ تــــــ ه ٢ = Ä = ٢ Ä θــــــــــــ = ٢ θـــــــ ، جتا = ٢ θ، جتا

=

ــ تــــــ + ـــــ ت ه ٢

= أوًال# ـــ تـــــــ ه ٢

; ;

ع١

ع٣ ! ٢

ع١

ع٢

ع ع ١٢

ع١ ٦

ع١

ع٢ ! ١

١ ! ٢

١ ! ٢

ع ط ٢ ! ١

٤

ع ع ٣ ! ٢

٢ ١

٢ ط٥

٣ ٣ــ ٢

ع !٢

ع١

ع٢ ! ٢

! ٢




٧٩

ت ط٦٤

ت ط٣٢

٢ ت + ١ ــ ت١

٢ ت + ١ ــ ت١

٢ ت + ١ ــ ت١

ت+ ١ ت + ١

٢ ت + ١ ٢

٢ ط٢

ط٢

ت ط٢

٢ ت + ١ ــ ت١

ت ط٧٢

ت ط٧٢

١ ٥

ط ٢R +ط ٥

ط ٢R +ط ٥

٢R +ط ط ٥

ط ت٥

ط ت٥

ط ت٣٥

ط ت٣٥

ط ت٧٥

ط ت٧٥

ط ت٩٥

ط ت٩٥

ثانيًا# ـــ ــــــــ ــــــــــ هـ = ـــــــــ ط ت ــــــــــ هـ = ــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــ

٦ = ثالثًا# ـــــــــــــ ه ٨ = ـــــــــــــ ه ٦ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ضع فى الصورة األسية العدد ــــــــــــــــــــــ ٧

$ ت ٢ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ ×ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ

= ٢ ت جا ـــــــ + جتا ـــــــ = ـــــــــــ ه ٢

Ä ــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ ه ١٢٨ = ـــــــــــــ ه ٧ ٢ = ٧ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/حل المعادلة س

و ضع الحل فى الصورة األسية . = ١ + ٥

$ Åس

١ + ٥ = . Äس

سÄ ١ ــ = ٥

ت جا ط+ جتا ط = ٥

Äس = ت جا ط + جتا ط ـــــــ

٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١، . = R ت جا ـــــــــــــــــــــــ حيث + جتا ـــــــــــــــــــــــ =

ــــــــــــــــــــــــ ت ه = حيث R = . ،٥ ، ٤ ، ٣ ، ٢ ، ١

سR = . Äبوضع ه =

ــــــــــــ

سÄ ١ = Rبوضع ه =

ـــــــــــــــ

سÄ ٢ = Rبوضع ه =

ط ت

سÄ ٣ = Rبوضع ه =

ــــــــــــــ

سÄ ٤ = Rبوضع ه =

ـــــــــــــــ

Ä ـــــــــــــــ ه ، ـــــــــــــــ ه ، ط ت ه ، ـــــــــــــــ ه ، ــــــــــــ ه { = مجموعة الحل {

ع ع ١٢

ــــــــــ هـ

ـــــــــــــــ هـ ٢! ٢

ط ت٤

ط ت٥٣

٢ ١٧ــ ٢ !

١٢ ٢ ت ط٧ ٢ !

١٢

ع٢ ! ١




٨٠

ط٤

ط٣

ط٢

ط٣٤

ــ ت٥ ت٢+ ٣

ت ط٣٢

١ ٢

ت ط٥١ ٢

ع ط٣

ط٣

: ضع كًال مما يأتى فى الصورة المثلثية ] ١[

A ه ه ب ـــــــ ت

ه O ـــــــ ت ه " ـــــــ ت

ـــــــــ ت

:ضع فى الصورة األسية كًال من ] ٢[ A ت ٣ + ٣ ــ = ع ب ـــــــــــــــــــــــ= ع

O ــــــــــــــــــــــــــ = ع " ـــــــــــــــــــــــــــ= ع

ه ـــــــــــــــــــ = ع

: فى الصورة األسية ، ثم احسب ت + ١ = ت ، + =ضع كًال من ] ٣[

، ، ، ،

ـــــــــــــــ ه ٨ = ٦ ت + ١: أثبت أن ] ٤[

ــــــــــــــــ ه ـــــــ =ــــــــ : فأثبت أن ت جا ـــــــ +جتا ـــــــ ٢ =إذا كان ع ] ٥[ فأوجد العدد المركب ع على الصورة المثلثية١ ــ = ٢ ت حيث ٢ع ــ ت = ٢ +إذا كان ع ] ٦[

ثم أوجد الجذرين التربيعيين للعدد ع فى الصورة األسية : فأوجد ١ ــ = ٢ ــــــــــــــــــــ حيث ت=إذا كان ع ] ٧[

المقياس و السعة األساسية للعدد المركب ع: أوًال الجذور التكعيبية للعدد المركب ع فى الصورة األسية: نيًا ثا

! ٨ ٣ ٣ ! ــ ت١

! ٣ ت+ ٢

ت٢ ــ ! ٣

! ٣ ت٥ + ١

ت٤ ــ ! ٣

ع ع ٣ ! ١

٢ ! ٢

ع١

ع٢

ع ع ٢١

ع١ ٤

ع ٣ ! ع ٤ ! ١

٢

! ٣ ــ ت

ت+ ! ٣




٨١

٢

٢ Rط ٣

٢ Rط ٣

ط٢٣

ط٢٣

ط٤٣

ط٤٣

ω ٢

ω ٢ ω ٢ ω ٣

١ωω

نوجد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح باستخدام نظرية ديموافر . ا ت ج+. جتا = فإن الصورة المثلثية للعدد ع هى ع ١ =بفرض أن ع

Ä ١ = ت جا ــــــــــــــ + جتا ــــــــــــــ حيث R = . ،٢ ، ١

١ = . ت جا +. أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح هو جتا R = . Äو بوضع

ــــــــــ ت+ ــ ـــــ = ت جا ــــــــ + الجذر التكعيبى الثانى هو جتا ــــــــ Ä ١ = Rو بوضع

ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت= ت جا ــــــــ + الجذر التكعيبى الثالث هو جتا ــــــــ Ä ٢ = Rو بوضع

Ä :

١ ، ω =ــ ـــــ ــ ــــــــــ ت= ــــــــــ ت ، + ــ ـــــ


و اآلخران مركبان و مترافقان ،١الجذور التكعيبية الثالثة للواحد الصحيح أحدها حقيقى و هو : أوًال ١٢٠ ، ٥ ٠ و الجذور الثالثة لها نفس المقياس و هو الواحد و قياسات زوايا سعتها األساسية

٢٤٠ ، ٥ ٥

مربع أى جذر من الجذرين المركبين يساوى الجذر المركب اآلخر: ثانيًا مجموع الجذور التكعيبية الثالثة للواحد الصحيح يساوى صفر: ثالثًا ١حاصل ضرب الجذرين المركبين يساوى : رابعًا

u ١ + ω + = صفر ç = ١ é ω ــ = ت

١ ٣

١ ٢

٢ ! ٣

١ ٢

٢ ! ٣

١ ٢

٢ ! ١ ٣

٢ ٢ ! ٣

! ٣




٨٢

ط٢٣

ط٢٣

ط٢٣

ط٤٣

ط٤٣

ط٤٣

ω م

ω ;ــ

١ ω

١ ω ٢

ω ω

٢ ٣ ω ٢ ω ω

٣

: å الصور المختلفة للجذور التكعيبية للواحد الصحيح هى :

ــ ـــــــــ ت ــ ــــــ ـــــــــ ت ، + ، ــ ــــــ ١ :الصورة الجبرية ) ١ (

ت جا ــــــــ+ ت جا ــــــــ ، جتا ـــــــ + ، جتا ـــــــ ١ :الصورة المثلثية ) ٢ (

ـــــــ ت ه ، ـــــــ ت ه ، ١ :الصورة األسية ) ٣ ( ------------------------------------------------------------------------------

ç قوىω: = حيث م L X + ------------------------------------------------------------------------------

é مباشرًة; و يكون أكبر من ٣نضيف إلى األس عدد يقبل القسمة على : إليجاد ------------------------------------------------------------------------------

è ـــــــــ = ، ــــــــ = ـــــــــ = ــــــــ = ω

/ أكتب كًال من :ω ٤٦ ، ω ٣٢ــ ، ω ٧١ ، ω فى أبسط صورة١٠٢ــ

$ ■ ω ٤٦ = ω ١ + ٤٥ = ω ■ ω ٣٢ــ = ω ٣٣+ ٣٢ــ = ω

■ ω ٧١ = ω ٢ + ٦٩ = ω ٢ ■ ω ١٠٢ــ = ω ١٠٢+ ١٠٢ــ = ω ١ = صفر ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/قدار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ أثبت أن ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للم

$ Å ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ، = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ Å ω + ω ١ ــ = ٢

Ä ــــــ ت= ــــــــ =ـــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢ = ــــــ ت ٢

Ä ــــــ ت هى أحد الجذرين التربيعيين للمقدار المعطى

١ ٢

٢ ! ١ ٣

٢ ٢ ! ٣

ω م ــــــالباقى من خارج قسمة

٣

٣ ٢

١٠ + ١ ω + ١٠ ω ٢ ٢ ω ٣ ــ ω ٣ ــ ١

١٠ + ١ ω + ١٠ ω ٢ ٢ ω ٣ ــ ω ٣ــ ١

١٠ + ١ ω + ω ٢ ٢ ω + ω ٣ ــ ١

١٠ + ١ ω + ١٠ ω ٢ ٢ ω ٣ ــ ω ٣ ــ ١

١٠ ــ ١٣ + ١

٩ــ ٤

٩ ٤

٣ ٢

٣ ٢




٨٣

/ أثبت أن :ω ــ ٢ ω = ت

ة المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ثم أوجد قيم

$ Å ω ــ ٢ ω ٢ = ω ٢ ــ ٤ ω ٣ + ω ٢ ، Å ω ٤ = ω ، ω ١ = ٣

Ä ω ــ ٢ ω ٢ = ω ٢ + ω حيث ٣ ــ = ٢ ــ ١ ــ = ٢ ــ ω ٢ + ω = ١ ــ

Ä ω ــ ٢ ω ت ω = ــ ٢ Ä ω ٢ ت ٣ = ٢

ــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــ =المقدار ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ

٤ ت = ω ٤ ــ ٢ ω = ــــــــــــــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــــــــــ =

٩ = ٤ ت٩ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ع٩ ــ ٦ ع: أوجد مجموعة حل المعادلة L Wحيث ع . = ٨ + ٣

$ عملية التحليل نجد أن بإجراء : ١ ــ ٣ع ٨ ــ ٣ع = .

٨ = ٣ع أو ١ = ٣ع إما

Ä ع = Ä ٢ = = ع

Ä ١ = ع ، ω ، ω ٢ Ä ٢ ، ٢ = ع ω ، ٢ ω ٢

Ä ١ { مجموعة الحل هى ، ω ، ω ٢ ، ٢ ، ٢ ω ، ٢ ω ٢ { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ +ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ : أثبت أن

$ بالتعويض عن ω ــ ١ ــ = ٢ ω

Ä ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــ= المقدار

! ٣ ٢ ω ٣ ــ ٥ ٤

٥ ω ٣ ــ ω ٧ ــ ٢٢ ω ٧ ــ ٢

! ٣

٢ ω ٣ ــ ٥ ٤٥ ω ٣ ــ

ω ٧ ــ ٢٢ ω ٧ ــ ٢

٥ ٤ ω ٣ ــ ٣ ω ٢ ٥ ω ٣ ــ

٢ ω ٧ ــ ٣ ω ٢ ω ٧ ــ ٢

٤ ω ٢ ٥ ω ٣ ــ

٥ ω ٣ ــ ω ٢ ω ٢

٧ــ ٢ ω ٢

٧ ــ ! ٣

٣ ! ١ ٣ ! ٨ ٣ ! ١

ω ٥ + ٣ ω + ٢ ω ٢

ω ٢

٢ + ٣ ω + ٥ ω ٢ ٥ ٧

ω ٥ + ٣ ω + ٢ ــ ١ــ ω

ω ٢

٢ + ٣ ω + ٥ ــ ١ــ ω




٨٤

ـــــــــــــــــــــــ+ ـــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ + ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــ ـــــــــــــــ ـــــــــ=

ــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =

ـــــــــ = ـــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: هى الجذور التكعيبية للواحد الصحيح فأثبت أن ٢ ω، ω ، ١فيما يلى إذا كانت

]١ [ ١ + ω ٢٨ = ω ٢ ] ٢ [ ــ ١ ω٢٧ــ = ٦

]٣[ ــ١ ω+ ω ٢ ١ + ωــ ω ٢ = ٤ [ ٤ [ ــ ١ ω ــ ١ ω

٢ ــ ١ ω ٤ ــ ١ ω

٥ = ٩

]٥ [ ــ١ ω ٢+ ω ٤٢ + ١ + ω ٢ + ω ٤ = ٤ ω

]٦ [ ٥ + ٢ ω+ ٢ ω ٢

٦ = ٢ + ٢ ω+ ٥ ω ٢

٧٢٩ = ٦

]٧ [ ــ١ ω + ω ٢ ــ١ ω ٢ + ω ٤ ــ١ ω

٤ + ω ٨ × ...... ٢ ٢ = من العوامل ; ٢ إلى;

: ــــــــــــــــــــــــــــ فأثبت أن =إذا كانت س ] ٨[

س+ ٨ س: أوًال س+ ١٠ س: ثانيًا . = ١ + ٤

١ + ٥ = .

ω ب+ ٢ A ω = ، ع ٢ ω ب + A ω = ب ، ص + A = إذا كانت س ] ٩[

A =س ص ع : أوًال : فـأثبت أن ٣ ب+ ٣

ص+ ٢ س: ثانيًا ع+ ٢

٦ = ٢ A ب أحد الجذور التكعيبية للواحد الصحيح ωأوجد الجذرين التربيعيين للعدد ] ١٠[

ω ٥ + ٣ ω ٢ ــ ٢ــ ω

ω ٢

٢ + ٣ ω ٥ ــ ٥ــ ω ω

٥ + ٣ ω ٢ ــ ٢ــ ω ω ٢

٢ + ٣ ω ٥ ــ ٥ــ ω ω

٣ + ١ ω ω ٢

ω ٣ ــ ٢ــ ω

٣ + ١ ω ω ٢

٣ + ٢ ω

ω ٣ + ٢ ω ــ ω ٢ ٣ + ١ ω

٣ + ١ ω ٣ + ٢ ω ٢ ω+ ٣ω ــ ٢ ω ٣ ــ ٢ω٣

٣ + ٢ ω+ ٦ ω+ ٩ ω٢ ٢ ω+ ٢ω ٣ ــ ٢

٩ + ٢ ω+ ٩ω ٢

٢ω+ ω ٢ ٣ ــ

٩ + ٢ ω+ ٩ ــ ١ــω ٢ ١ــ ٣ ــ

٩ + ٢ ω ٩ ــ ٩ ــω ٣ ــ ٢ــ ٩ ــ ٢

٥ــ ٧ــ

٥ ٧

ت ٣ + ١ــ ٢

!




٨٥

ــ ــــــــ=ـــــــــــــــــــ ــ ــــــــــــــــــــ : أثبت أن ] ١١[ ١ =ــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ+ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ : أثبت أن ] ١٢[

:أوجد قيمة كل مما يأتى

ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــــــــــــــــ ] ١٤ [ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ] ١٣[ ــــــــــــــــــــ +ـــــــــــــــــــــ ] ١٦ [ ـــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ ــ ـــــ ] ١٥[ ]١٧ [ ــ ــــــــ ١ + ω ٢ ١ + ω ــ ـــــــــ :كون المعادلة التربيعية التى جذراها ] ١٨[

١ + ω ــ ω ٢ ٣ ، ــ ١ ω + ω ٢

٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: مسائل العمليات على األعداد المركبة و خواصها

١ ٢ + ١ ω

١ ٢ + ١ ω ٢

٤ ٢ ٣

١ ٣ + ٤ ω+ ٢ω ٢

١ ٣ + ٥ ω+ ٤ω ٢

ω ٢ ω ١ ــ ω ١ ــ ٢

٢ ω+ ١ ω ٢ + ١

٢ ω ٣ ــ ٥ ٥ ω ٣ ــ

ω ٧ ــ ٢ ٢ ω ٧ ــ ٢

٤

١ ٣ + ١ ω

١ ٣ + ١ ω ٢

٢ ω

٢ + ١ ω ٢ ω٢

٢ + ١ ω ٢ ٢

٢ ω ٢

٥ ω




٨٦




٨٧




٨٨




٨٩




٩٠

: فى كل من التمارين اآلتية أوجد قيم س ، ص الحقيقية




٩١

: أوجد العدد المركب ع الذى يحقق كًال من المعادالت اآلتية




٩٢

: لمثلثية للعدد المركب مسائل على الصورة ا




٩٣




٩٤

: مسائل على حاصل ضرب و خارج قسمة عددين مركبين فى الصورة المثلثية




٩٥




٩٦




٩٧

: مسائل على نظرية ديموافر




٩٨




٩٩

: مسائل على جذور العدد المركب




١٠٠




١٠١




١٠٢

: للعدد المركب و العمليات على الصورة األسية مسائل على الصورة األسية




١٠٣




١٠٤




١٠٥




١٠٦

: مسائل على خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح




١٠٧




١٠٨




١٠٩

: مسائل عامة على األعداد المركبة




١١٠




١١١




١١٢

;: هو ترتيب من األعداد بحيث يكون عدد الصفوف

: مساويًا عدد األعمدة ، و يكون على الصورة

: هى عدد الصفوف أو األعمدة فى المحدد


: يتكون من صفين و عمودين و يكتب على الصورة

:

١ h٢ ٢ h١ ــ ٢ h٢ ١ h١: فإن : إذا كان

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/ أوجد قيمة كل من المحددات اآلتية:

j = ٢ ــ = ١٢ ــ ١٠ = ٤ × ٣ ــ ٥ × ٢

k = ٥ = ١٥ ــ ٢٠ = ٥ × ٣ ــ ٢ × ١٠

l = صفر= ١٨ ــ ١٨ = ٩ × ٢ ــ ٣ × ٦

m =س ــ جا×س جاس ــ جتا ×٢ جا=س جتا٢ جتا+س

١ =س ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: أعمدة و يكون على الصورة ٣ صفوف ، ٣ يتكون من

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١ ....h١ ;

h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢ ....h٢ ;

h; ١ h; ٢ h; ٣ ....h; ;

; =

٢ = h١ ١ h٢ ١

h١ ٢ h٢ ٢

٢ = h١ ١ h٢ ١

h١ ٢ h٢ ٢ ٢ =

٣ ٢ ٥ ٤ ٣ ١٠ ٢ ٥ ٢ ٦ ٣ ٩ س س ــ جتا جا

جا س س جتا

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١

h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢

h١ ٣ h٢ ٣ h٣ ٣

٣ =




١١٣

٣ =

٣ =

: : ع فإن و العمود ص الذى يقع فى الصف ع صhو ليكن العنصر ٣ إذا أخذنا أى عنصر فى المحدد ١ للعنصربالمحدد األصغر الذى ينشأ عن حذف الصف ص و العمود ع يسمى ٢المحدد من الدرجة hع ص

ع ص و يرمز له بالرمز

٢ إذا ضربنا المحدد األصغر ص ع × ١ ــ فإن الكمية الناتجة وهى ع ص ١ ــ ص ع × ص ع ع صh للعنصر بالعامل المرافق تسمى

< :

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ:

: إذا كان

٣ h١ + ٢ h١ ــ ١ h١: فإن

= h١ ١ h٢ ٢ hــ ٣ ٣h٣ ٢ h٢ ٣ ــ h٢ ١ h١ ٢ hــ ٣ ٣h٣ ٢ h١ ٣ + h٣ ١ h١ ٢ hــ ٢ ٣h٢ ٢ h١ ٣ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: إذا كان

٣ h٣ ١ h٢ ٢ h١ + ٢ h٣ ٣ h٢ ١ h١+ ١ h٣ ٢ h٢ ٣ h١ ــ ٢ h٣ ١ h٢ ٣ h١ + ١ h٣ ٣ h٢ ٢ h١+ ٣ h٣ ٢ h٢ ١ h١: فإن

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/

أوجد قيمة المحدد

$ ٣ + ٢ ــ ٤ = المحدد

= ٤ ــ ٧ × ٣ ٢ــ × ٢ ٢ ــ ــ ٧ × ٥ ــ ٢ــ × ٣ + ٣ ٣ × ٣ ــ ٢ × ٥ ــ

= ٤ ٢١ +٤ ٢ ــ ٣٥ــ +٦ + ٣ ٩ ــ ١٠ ــ = ٤ ٢٥ ٢ــ ٢٩ــ + ٣ ١٩ ــ = ١٠١ = ٥٧ ــ ٥٨ + ١٠٠

+ ـــ + ـــ+ـــ

+ ـــ +

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١

h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢

h١ ٣ h٢ ٣ h٣ ٣

٣ =

h٢ ٢ h٣ ٢

h٢ ٣ h٣ ٣

h١ ٢ h٣ ٢

h١ ٣ h٣ ٣

h١ ٢ h٢ ٢

h١ ٣ h٢ ٣

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١

h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢

h١ ٣ h٢ ٣ h٣ ٣

٣ =

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١ h١ ١ h٢ ١ h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢ h١ ٢ h٢ ٢

h١ ٣ h٢ ٣ h٣ ٣ h١ ٣ h٢ ٣

٣ ٢ ٤ ٢ــ ٣ ٥ــ ٧ ٢ ٣

٢ــ ٣٧ ٢

٢ــ ٥ــ ٧ ٣

٣ ٥ــ ٢ ٣

+ +




١١٤

$ Å المحدد =

Ä المحدد = ٧ × ٣ × ٤ + ٢ × ٥ــ × ٣ + ٣ × ٢ــ × ٢ ــ ٣ × ٣ × ٣ + ٧ × ٥ــ × ٢ + ٢ × ٢ــ × ٤

= ٨٤ ٣٠ــ ١٢ــ ــ ٢٧ ٧٠ــ ١٦ــ = ــ ٤٢ ٥٩ــ = ٥٩ + ٤٢ = ١٠١ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/

H صفر حيث س =: أوجد مجموعة حل المعادلة $

صفر= + س Ä: بفك المحدد

Ä س ١ ســ ٢ ســ + ٢ س + ــ س ٨ــ = صفر

Ä صفر = ٢ س + ــ س ٨ــ ٢ س ــ ٣ ســ س Ä صفر = ٨ــ ٣ س ــ

Ä و بأخذ الجذر التكعيبى للطرفين ٨ ــ = ٣ س Ä ٢ ــ = س Ä ٢ ــ { =ح . م { ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٣ ٢ ٤ ٢ــ ٣ ٥ــ ٧ ٢ ٣

٢ ٤ ٣ ٢ ٤ ٣ ٥ ــ ٢ــ ٣ ٥ــ ٢ ٣ ٧ ٢ ٣

١. س ــ س ــ س١ ٨

س+ ١ ١س ــ

ــ س ــ س١ س+ ١ ١ ــ

ــ س ١ ٨ ١س ــ




١١٥




١١٦


١ : فى أى محدد إذا ُبدلت الصفوف باألعمدة و األعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإن قيمة المحدد ال تتغير

صفر + ــ صفر ٣ = =: فمثًال

= ٣ ٣ ــ ٨ = ١٥ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٢ : بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه قيمة المحدد ال تتغير أو أعمدته

/ م : أوجد قيمة المحدد=

باستخدام عناصر العمود الثالث) ثانيًا ( باستخدام عناصر الصف الثانى ) أوًال (

٥ ١ــ ٣ ٣ ــ ٢ .

٤ ١ــ .

٣ . . ١ ــ ٢ ١ ــ ٤ ٣ ــ ٥

١ــ ٢ ٤ ٣ ــ

٥ ١ــ ٣ ٣ ــ ٢ .

٤ ١ــ .




١١٧

$ :باستخدام عناصر الصف الثانى ) أوًال (

٣ ــ ــ ٢ + صفر = م

= ٢ ــ ١٢ . + ٣ ــ ٣ ــ . = ١٥ :باستخدام عناصر العمود الثالث ) ثانيًا (

٤ + ٣ ــ ــ ٥ = م

= ٥ . + ٣ ــ ٣ ــ . + ٤ ــ ٦ . = ١٥ = ٢٤ + ٩ ــ ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٣ : إذا كانت عناصر أى صف أو أى عمود ى محدد كلها أصفار ف قيمة المحدد تساوى صفر فإن

صفر= بفك المحدد باستخدام عناصر العمود األول ينتج أن م =إذا كان م : فمثًال

صفر= هر الصف الثانى ينتج أن بفك المحدد باستخدام عناص= ه و إذا كان ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٤ : إذا تبادل صفان أو عمودان من صفوف أو أعمدة المحدد وضعيهما ١ ــ قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد األصلى مضروبًا فى فإن

/ بدون فك المحددات أثبت أن :=

$ =ــ و ذلك لتبديل العمودين األول و الثالث

و ذلك لتبديل الصفين الثانى و الثالث ١ ــ ــ =

=

٥ ٣ . ٤

١ ــ ٣

١ ــ .

١ ــ ٣ . ٢

. ٢

١ ــ .

١ ــ ٣ ١ ــ .

٩ ٢ــ . ٣ــ ٧ .

٨ ١ــ .

٣ ٧ ٤ . . .

٢ ١ــ ٦

٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢

١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧

٣ ٢ ١ ٧ ٦ ٥ ٤ ١ ٢

١ ٢ ٣ ٥ ٦ ٧ ٢ ١ ٤

١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧

١ ٢ ٣ ٢ ١ ٤ ٥ ٦ ٧




١١٨

٣ ١

٥ : إذا تساوى صفان أو عمودان قيمة المحدد تساوى صفر فى أى محدد فإن

٣ ، ص ١ صفر وذلك لتساوى الصفين ص= فإن م =فمثًال إذا كان م ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٦ : فى جميع عناصر أى صف &إذا وجد عامل مشترك أو عمود فى محدد : فإن هذا العامل يمكن أخذه خارج المحدد و يكون

بعد أخذ العامل المشترك المحدد الناتج × & = المحدد األصلى

/ صفر=بدون الفك أثبت أن المحدد

$ عامل مشترك من عناصر العمود الثالث ٥ بأخذ

Ä صفر= صفر × ٥ = × ٥ = المحدد ، ع و ذلك لتساوى عناصر ع

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٧ : تحويل محدد إلى مجموع محددين: كمجموع عنصرين أو عمود فى أى محدد إذا كتبت جميع عناصر أى صف

تها كمجموع قيمتى محددين فإن قيمة المحدد يمكن كتاب

/أكتب المحدد على صورة مجموع محددين قيمة أحدهما يساوى صفر $ = ] كتبنا كل عنصر من عناصر الصف األول كمجموع

] محددين أحدهما يساوى العنصر بالصف الثانى

" ٣ ، ص ١ ألن ص" صفر=يالحظ أن المحدد الثانى فى الطرف األيسر + =

٨ ٥ ٢ ٧ ٤ ٣ــ٨ ٥ ٢

١٥ ٢ ــ٣ ٢٠ ١ ــ٤٥٥ ٦ ١١

٣ ٢ ــ٣ ٤ ١ ــ٤١١ ٦ ١١

٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ ٢ ــ ١ ــ ٣

٤ ٣ ٥ ١ ٢ ٤ ٢ ــ ١ ــ ٣

١ + ٣ ٢ + ١ ٤ + ١ ١ ٢ ٤ ٢ ــ ١ ــ ٣

٣ ١ ١ ١ ٢ ٤ ٢ ــ ١ ــ ٣

١ ٢ ٤ ١ ٢ ٤ ٢ ــ ١ ــ ٣




١١٩

: أو األعمدة يمكن جمع محددين ال يختلفان إال فى عناصر أحد الصفوف

و بقاء بقية العناصر كما هى أو العمودين و ذلك بجمع العناصر المتناظرة فى الصفين

/ صفر = + : بدون فك المحددات أثبت أن

$ع بمالحظة أن المحددين فى الطرف األيمن يتساوى فيهما نفس العمودين ع ،

الطرف األيسر = صفر = = =الطرف األيمن

" أصفار كلهاألن عناصر العمود األول" ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

٨ : إذا أضيفت لعناصر أى صف أو عمود فى محدد مضاعفات نظائرها من عناصر قيمة المحدد ال تتغير فإن أو عمود آخر صف آخر

ألى محدد أو عمود ار فى أى صف و تستخدم هذه الخاصية للحصول على أكبر عدد ممكن من األصف و بالتالى يسهل علينا فك المحدد

/ استخدم خواص المحددات لتسهيل إيجاد قيمة المحدد

$ و إضافتها إلى عناصر العمود الثانى١ ــ × بضرب عناصر العمود األول

Äد المحد= =

و إضافتها إلى عناصر العمود الثالث٣ ــ ×بضرب عناصر العمود األول

Ä المحدد= =

= ٢ = × ١

; ل م ــ س ص ع

Q & R

; ــ ل م س ص ع

Q & R ــ

٣ ٢ ; ل ــ ل م

س ص ع+ ــ س Q ــ Q & R

;م . عص .

. & R

٣ ١ ١ ١٤٩ ٥١ ٥٠

٧٠ ٢٤ ٢٣

٣ ١ ــ ١ ١ ١٤٩ ٥٠ ــ ٥١ ٥٠

٧٠ ٢٣ ــ ٢٤ ٢٣

٣ . ١ ١٤٩ ١ ٥٠

٧٠ ١ ٢٣

٣ ــ ٣ . ١ ١٥٠ ــ ١٤٩ ١ ٥٠

٦٩ ــ ٧٠ ١ ٢٣

١. . ١ ــ ١ ٥٠

١ ١ ٢٣

١ ــ ١ ١ ١




١٢٠

٩ : فى أى محدد يكون مجموع حواصل ضرب عناصر أى صف أو عمود فى العوامل المرافقة آخر يساوى صفر أو عمود للعناصر المناظرة فى أى صف

:فإن =إذا كان م : فمثًال

٣ ٧ العامل المرافق للعنصر + ٥ ــ ٣ ــ العامل المرافق للعنصر + ٤ ٢ ــ العامل المرافق للعنصر

١٠ + ٣ ــ × ٤ + ٨ ــ ٩ ٥ ــ + ٤ ــ ١٥ ــ ــ × ٣ =

صفر= ٥٢ ــ ٥ ــ ٥٧ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: القطر الرئيسى كلها أصفار يسمى محدد على الصورة المثلثة أو فوق المحدد الذى جميع عناصره تحت

١٠ : قيمة المحدد على الصورة المثلثة تساوى حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسى

١٠ ــ = ٥ × ١ ــ× ٢ =قيمة المحدد : فمثًال

٢١ = ٣ × ١ ــ× ٧ ــ = ،

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ/

رة المثلثة ، ثم أوجد قيمته على الصو ضع المحدد

$الصف الثانى و إضافتها إلى عناصر٤ ــ × عناصر الصف األول بضرب

الصف الثالث و إضافتها إلى عناصر٣ ــ × عناصر الصف األول بضرب و كذلك

Ä الصف الثالثضافتها إلى عناصر و إ١ ــ × ثم بضرب عناصر الصف الثانى =المحدد

Ä ٦ــ = ١ ــ × ٦ × ١ = قيمته فى الصورة المثلثة =المحدد

٤ ٥ ــ٣ ٢ ــ٣ ــ٧٣ ١ ٢

٢. . .١ ــ ٣٥ ٢ ٤ ٢ ٩ ٧ــ

٦ ١ــ . . .٣

٢ ١ ــ١١ ٢ ٤ ٢ ــ٣ ٣

٢ ١ ــ١ ٧ ــ٦. ٨ ــ٦.

٢ ١ ــ١ ٧ ــ٦.

١ ــ. .




١٢١




١٢٢




١٢٣




١٢٤




١٢٥




١٢٦




١٢٧




١٢٨




١٢٩




١٣٠




١٣١




١٣٢




١٣٣

: h س ١ ١+ h ١ . =ص ٢ ١ ، h س ١ ٢+ h ٢ . =ص ٢ ٢

" محدد المعامالت ]و يسمى " صفر يب = ] حيث

ـــــــــــ =ـــــــــــ ، ص =س : دلتين هو فإن حل المعا

= ٢ ] ، = ١ ] حيث

: h س ١ ١+ h ص ٢ ١+ h ١ . =ع ٣ ١ ، h س ١ ٢+ h ص ٢ ٢+ h ٢ . =ع ٣ ٢

h س ١ ٣+ h ص ٢ ٣+ h ٣ . =ع ٣ ٣

"لمعامالت محدد ا]و يسمى " صفر يب = ] حيث

ـــــــــــ =ـــــــــــ ، ع =ـــــــــــ ، ص =س : فإن حل المعادالت الثالثة هو

= ٣ ] ، = ٢ ] ، = ١ ] حيث

h١ ١ h٢ ١

h١ ٢ h٢ ٢

[ ١ [

[ ٢ [

. ١ h٢ ١

. ٢ h٢ ٢

h١ . ١ ١

h٢ . ١ ٢

[ ١ [

[ ٢ [

h١ ١ h٢ ١ h٣ ١

h١ ٢ h٢ ٢ h٣ ٢

h١ ٣ h٢ ٣ h٣ ٣

[ ٣ [

. ١ h٢ ١ h٣ ١

. ٢ h٢ ٢ h٣ ٢

. ٣ h٢ ٣ h٣ ٣

h١ . ١ ١ h٣ ١

h٢ . ١ ٢ h٣ ٢

h٣ . ١ ٣ h٣ ٣

h١ ١ h١ .٢ ١

h١ ٢ h٢ .٢ ٢

h١ ٣ h٣ .٢ ٣




١٣٤

:

:حدوث إحدى الحاالت االتية ٣ ]، ٢ ]، ١ ]، ] يتوقف على قيم كل من

}س ، ص ، ع {صفر فيكون للمعادالت حل واحد فقط عبارة عن يب ]إذا كانت ] ١ [

لها حل صفر فإن مجموعة المعادالت ليس يب ٣ ]، ٢ ]، ١ ] صفر ، = ]إذا كانت ] ٢ [

فإن مجموعة المعادالت لها عدد ال نهائى من الحلول صفر = ٣ ] = ٢ ] = ١ ] = ]إذا كانت ] ٣ [ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ ٦ = ص ٢ ، س ــ ١ = ص ٣ +حل المعادلتين س

$ [ = = ١ × ٢ ــ ٥ ــ = ٣ ــ ٢ ــ = ١ × ٣ ــ

[ ١ = = ١ × ٢ ــ ٢٠ ــ = ١٨ ــ ٢ ــ = ٦ × ٣ ــ

٥ = ١ ــ ٦ = ١ × ١ ــ ٦ × ١ = = ٢ ]

١ ــ = ــــــــــــــ = ــــــــــــ = ، ص ٤ = ــــــــــــــ = ــــــــــــ =س

} ١ ، ــ ٤ { = مجموعة الحل ∴ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

/ باستخدام طريقة كرامر أوجد مجموعة حل المعادالت:

١ ــ = ع + ص ٢ ، س ــ ٤ =ع ٣ + ص ٥ + ، س ٧ = ع + ص ٢ +س ٣

$ [ = = ٣ ٦ + ٥ ٢ ــ ٣ ــ ١ + ٥ ــ ٢ ــ

٣٠ = ٧ ــ ٤ + ٣٣ = ٧ ــ ٢ ــ × ٢ ــ ١١ × ٣ =

[ ٧ = = ١ ٦ + ٥ ٢ ــ ٣ + ٤ + ٥ + ٨ ــ

٦٠ = ٣ ــ ١٤ــ ٧٧ = ٣ ــ ٧ × ٢ ــ ١١ × ٧ =

٣ ١ ٢ ــ ١

٣ ١ ٢ ــ ٦

١ ١ ٦ ١

[ ١ [

٢٠ــ ٥ــ

[ ٢ [

٥ ٥ــ

١ ٢ ٣ ٣ ٥ ١ ١ ٢ ــ ١

١ ٢ ٧ ٣ ٥ ٤ ١ ٢ ــ ١ــ




١٣٥

[ ٣ = = ٢ ٣ + ٤ ٧ ــ ٣ــ ١ + ٤ ــ ١ ــ

٣٠ = ٥ ــ ١٤ + ٢١ = ٥ ــ ٢ ــ × ٧ ــ ٧ × ٣ =

[ ٣ = = ٣ ٨ + ٥ ــ ٢ ــ ٤ــ ١ ــ + ٧ ٥ ــ ٢ ــ

٣٠ ــ = ٤٩ ــ ١٠ + ٩ = ٧ ــ ٧ + ٥ ــ × ٢ ــ ٣ × ٣ =

١ ــ = ــــــــــ = ـــــــــ = ، ع ١ = ـــــــ = ـــــــــ = ، ص ٢ = ـــــــ = ـــــــــ =س

} ١ ، ــ ١ ، ٢ { = مجموعة الحل ∴ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

١ ٧ ٣ ٣ ٤ ١ ١ ١ ــ ١

٧ ٢ ٣ ٤ ٥ ١ ١ ــ ٢ ــ ١

[ ١ [

٦٠ ٣٠

[ ٢ [

٣٠ ٣٠

[ ٣ [

٣٠ــ ٣٠




١٣٦




١٣٧




١٣٨




١٣٩




١٤٠




١٤١




١٤٢




١٤٣




١٤٤

مع تحياتى ........ أصدق األمنيات بالتفوق الباهر




حلول تمارين الكتاب المدرسى جبر للصف الثالث الثانوى

Education