円柱、円錐以外の、展開図の描ける曲面...
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円柱、円錐以外の、 展開図の描ける曲面 第5回 プログラマのための数学勉強会
2015/11/21 落合雄介(@taro_x)
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本スライドの内容
• 展開図の作れる曲面「可展面」とは？ • 円柱、円錐以外の可展面の例 • 可展面による非可展面の近似 • 展開図を印刷してみた
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曲面には2種類ある
• 展開図が作れる曲面：可展面
• 展開図が作れない曲面
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球面
円錐面 円柱面
曲面が可展面であるための条件は？
1. 紙の性質として、一方向に曲げたら、別の方向には同時に曲げられない
曲面上の任意の点に対し、その点を含む曲面上の直線が存在する • 言い換えると、「直線で構成される曲面」ということ
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青い矢印の方向に曲げたとき、赤い線が、 この曲面の上に乗る直線になる。
もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面？ → No!
※「直線で構成される曲面」を、「線織面」という
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円柱面や円錐面は良い
もう一つの条件
• 「直線で構成される曲面」は可展面？ → No!
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棒を真ん中で束ねたものをねじった曲面 →これはダメ
もう一つの条件
• 各棒の中心同士は 近いが、端同士が 離れてしまっている。 紙は伸び縮みしないので このような曲面は作れない。
• 可展面であるための もう一つの条件とは、 「隣り合う直線」が、 ねじれの位置にないこと
• 「任意の点における ガウス曲率がゼロの曲面」とも言える
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円柱、円錐以外の可展面
• 線織面を構成する直線が、 1. 全て平行 → 柱面
2. 1点で交わる → 錐面
3. ある曲線の接線の集まり → 接線曲面
• 全ての可展面は、これらのどれか、 またはそれらの組み合わせである
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接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面
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接線曲面の例
• つるまき線の接線曲面 円柱に巻きつけた紐を、 引っ張りながら ほどいていくときに 掃く曲面。 これは展開図を 作ることができる。
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作ってみた
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作ってみた
• 上から見ると、 インボリュート曲線が 現れる
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曲面部分の展開図は？
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• 実はこれも、インボリュート曲線と円の一部で囲まれた図形になる。
元のつるまき線が、 仰角αで半径1の円柱上に 巻きついているとき、
R
β
Rβ
R= 1
cos α 2
β= 2π cos α
展開図
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つるまき線の接線曲面 その２
• 円柱に巻きついた紐を、 「下から」ほどいていったときに掃く曲面と、 「上から」ほどいていったときに掃く曲面を、 組み合わせたものを作ることもできる。
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つるまき線の接線曲面 その２
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展開図
• 何枚も切って つなげる
中心の円と外側の円の 半径の比率と、 どの位置で 合わせるかが重要
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可展面の応用
• 可展面を応用して、何かを作ってみよう 紙で作ることができるので、
材料の調達も作成も簡単なはず！
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可展面を作る
• 空間内に2つの曲線があったとき、 それらを両方含むような可展面を 作れる場合がある
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可展面を作る
• 両方の曲線に接する平面との接点同士を 結んだ直線の集まりで曲面を構成すると、 可展面になる。 (接平面包絡面)
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球面の可展面による近似
• 球面上に、らせん状の曲線を引く • この曲線を通る可展面を計算する
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これはつまり、 りんごの皮むきの厳密な計算
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計算した可展面と展開図
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世界地図を印刷してみた
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地球儀ができた！
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のりやテープが要らないよう、一工夫
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出っ張りを作って、 互い違いにひっかける。 形を工夫した結果、 5分程度で組み立てられるようになった！！
りんごの皮むき風近似球面展開図 のメリット
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• 少ないパーツで、 比較的球に近い立体を 作ることができる
• 印刷が容易 せっかくなので、 地球儀以外も 印刷してみよう
Google Street View のような、 全方向の写真を球面に印刷
Photo by Takehiko YOSHIDA https://theta360.com/s/Xhl 28
RICOH THETA
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• シャッターを押すと、両側についた魚眼レンズが同時に撮影して、画像を貼り合せてくれる
Panono
• 36個のカメラを搭載したボール型カメラ
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正距円筒図法（Equirectangular） の画像を変換するサイトを作った！
• 全天球パノラマ画像を扱う際の標準的な形式 • 大体この形式で画像をエクスポートできる
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http://print-sphere.com にアップロード
販売も してるよ！
可展面を楽しもう！
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おまけ
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球面以外も作れる
• またそのうち機会があれば発表します
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おまけ その２
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切り絵もやってます http://kirie.xyz
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