מבוא לסטטיסטיקה-אייל רבין

מחקר כמותי וסטטיסטיקה

איל רבין

[email protected]

7.10.2010איל רבין - מבוא לסטטיסטיקה eyal.rabin [at] gmail.com

מה אנחנו הולכים לעשות היום?

?מהי סטטיסטיקהסטטיסטיקה תיאורית והסקיתהצגה בלוחות ובגרפיםמדדי מרכז ופיזורמדדי מיקום יחסיהתפלגות נורמאלית

איל רבין - מבוא לסטטיסטיקה eyal.rabin [at] gmail.com

מהי סטטיסטיקה

מדע העוסק בנתונים כמותיים והסקת , הצגתם, עיבודם, באיסופםעוסקת

מסקנות.


חוקר שואל שאלה לגבי האוכלוסייה

תכנון המחקר

החוקר דוגם תת קבוצה מהאוכלוסייה

תהליך ביצוע המחקר


מדגם ואוכלוסייה אוכלוסייה – כלל המקרים בתופעה אותה

חוקריםמדגם – תת קבוצה מתוך האוכלוסייה

קב' קטנה של אנשים, שאם היא נדגמת היטב, אפשרלהסיק ממנה על כלל האוכלוסייה.

:שיטות הסתברותיות לדגימהדגימה מקרית פשוטה דגימה מקרית שיטתיתדגימת שכבות פרופורציונליתדגימת אשכולות


נתייחס באופן נפרד למדדים בסטטיסטיקה )למשל הממוצע( כאשר הם באוכלוסייה או במדגם.

ומסומן באותיות סטטיסטי נקרא במדגםמדד לועזיות

ומסומן באותיות פרמטר נקרא באוכלוסייהמדד יווניות

ממוצע

שונות

מתאם פירסון

פרופורציה

פרמטרסטטיסטי

x

2S

r

p

2

μ

ρ

P


חוקר שואל שאלה לגבי האוכלוסייה

תכנון המחקר

החוקר דוגם תת קבוצה מהאוכלוסייה

איסוף נתונים

סטטיסטיקה הסקיתסטטיסטיקה תיאורית

קיבוץ הנתונים

בהתאם לשאלה המחקרית,

לסוג האינפורמציה

ולטיבה של התופעה

החוקר מסיק מהמשתנים

במדגם למשתנים באוכלוסיה-

אמידה בדיקת השערותניבוי

מסקנות ודיון

תהליך ביצוע המחקר


משתנים ,פרמטר/ מאפיין/ היבט שיכול לקבל ערכים שונים

ערכים שיכולים להשתנות. ערכים - האפשרויות השונות "לתשובה" לכל

משתנה

- הבחנות בין משתניםאיכותי / כמותימשתנה כמותי – בדיד ורציףסולמות מדידה.משתנה בלתי תלוי ומשתנה תלוי


סוגי משתנים

איכותי / כמותיאיכותי: צבע עיניים, ארץ לידה כמותי: מספר שעות האזנה לחדשות ביום, דרגת

מעורבות פוליטית

כמותי: בדיד / רציף בדיד: מספר פעמים של זכייה בפרס פוליצר, מספר

מנויים לעיתון, מספר ילדים רציף: שעות צפייה בטלוויזיה, הכנסה


סולמות מדידה

שמי/ נומינליסדר / אורדינלירווח / אינטרוולי מנה / יחס / רציונלי



שמי/ נומינלי איכותי, קטגוריות מוציאות, ללא סדר אבחנה, למספרים

הניתנים לקטגוריות אין משמעות מין, דת, ארץ מוצא

סדר / אורדינלי כמותי/איכותי, יודעים מי גדול ממי, אך לא בכמה מידת הסכמה - מסכים מאוד, מסכים, נייטרלי, לא

מסכים, מאוד לא מסכים ; דרגות בצבא; מידת דתיות



רווח / אינטרוולי ,שרירותי 0יודעים מי גדול ממי ובכמה .טמפרטורה, גובה של הרים

מנה / יחס / רציונלי משמעותו אין(0 מוחלט )כלומר, ה- 0נקודת – שנות לימוד, מרחק, הכנסה

אין לי הכנסה 0כאשר ההכנסה שלי היא



סולם קוואזי-רווח.סולם הנמצא בין סולם הסדר וסולם הרווח בעל תכונות של סולם סדר אבל מתנהגים אליו )מבצעים ניתוחים

סטטיסטיים( כאילו הוא סולם רווח

נבדקים.30 רמות לפחות ומעל 5שני תנאים: סולם בעל לדוגמא: עד כמה אתה מאמין לחדשות בטלוויזיה

12345

מאוד לא מסכים

מסכיםבמידה בינונית

מסכיםמאוד



מנה –

רציו

מרווחי - אינטרוולי

סדר - אורדינלי

שמי - נומינלי

הסולם

זהות

סדר

רווח )בכמה(

יחס ) פי כמה(

מוחלט0

זהות

סדר

רווח )בכמה(

שרירותי0

זהות

סדר

תכונוזהותת


סולמות מדידהדרך הצגה

גראפית מתאימהמדד הפיזור

המתאיםהסולםדוגמא

מיןשכיחויותעוגהארץ לידה

שמינומינלי

שכיח גרף עמודותחציון

רבעוניםעשירונים

קטגוריית גילמהו גילך?

18פחות מ-1.

.218-35

.336-64

ומעלה465.דרוג עדיפות של אמצעי תקשורת

סדראורדינלי

גרף עמודות גרף קו

היסטוגרמה

הנ"ל ובנוסףממוצע וסטיית

תקן

מעלות צלסיוסIQ

מרווחיאינטרוולי

הכנסה חודשיתשנות לימוד

יחסרציו



? האם ניתן לומר שהאחד גדול מהשנישמילא :

? האם ניתן לסדר אותם מהגדול לקטןאורדינלי ומעלהכן :

? האם ניתן לומר בכמה האחד גדול מהשניאינטרוולי ומעלה.כן: אורדינלי; לא :



מוחלט ? 0האם יש מנה.כן: אינטרוולי, לא :

?האם יש משמעות כמותית למספריםכמותי.כן: איכותי; לא :

? האם ניתן להכניס ערך בין כל שני ערכיםרציף.כן: בדיד, לא :



ניתן להעביר משתנה מסולם גבוה לנמוך לדוגמא, אם נשתמש בסולם מנה נוכל תמיד לקבץ

קטגוריות ולהוריד אותו לסולם סדר. אבל לא להפך


השערת המחקר והגדרת המשתנים קובעים את דרךשל המשתנים ובחינת המדדים הסטטיסטיים מדידתם

משתנה זהה יכול להימדד בדרכים שונות)לפי סולם המדידה(

:לדוגמא - צפייה בטלוויזיה



השערת המחקר והגדרת המשתנים קובעים את דרךהצגתם של הנתונים

אופן ההצגה של נתונים בהתאם לסולם המדידה של המשתנה


סולם נומינלי – שמי

דיאגראמת פאי דיאגראמת פאי

איל רבין - מבוא לסטטיסטיקה 21eyal.rabin [at] gmail.com

22

סולם אורדינלי - סדר בר-עמודותבר-עמודות

תדירות צפייה בז'אנרים שונים בטלוויזיהתדירות צפייה בז'אנרים שונים בטלוויזיה


23

סולם אורדינלי -סדר

תדירות צפייה בחדשות ותכניות אקטואליה תדירות צפייה בחדשות ותכניות אקטואליה בטלוויזיהבטלוויזיה

פאי / עוגה )פחות מקובל כי העיגול לא ממחיש את הסדר בין הערכים(


24

סולם כמותי )רווח ומנה( בדיד

בר, עמודות או קו המתאר מגמה

משך צפייה ממוצע בז'אנרים שונים בטלוויזיה )בדקות( משך צפייה ממוצע בז'אנרים שונים בטלוויזיה )בדקות( במהלך תהליך והאינתיפאדה השנייהבמהלך תהליך והאינתיפאדה השנייה


סולם כמותי )רווח ומנה( רציף

25

4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50

parents' mean collectivism

0

10

20

30

40

Fre

qu

en

cy

Mean = 5.4012Std. Dev. = 0.43715N = 249

היסטוגרמה

שכיחות רמת הקולקטיביזם של ההורה


מדדי מרכז ופיזור


מדדי נטייה מרכזית:ערכים מרכזיים שאמורים לאפיין את כל

= הערך שמופיע מספר הפעמים modeשכיח / ההתפלגותהרב ביותר בהתפלגות.

/אמצע טווחMR ממוצע שני הערכים =הקיצוניים ביותר

/ חציוןmedian הערך שעד אליו ו/או כולל = מההתפלגות ומעליו ו/או כולל 50%אותו ישנם מההתפלגות.50%אותו ישנם

/ ממוצעmean סכום הערכים לחלק = למספרם בהתפלגות.


מדדי פיזור ומיקום מרכזי

?מהו פיזור:מדדים

אחוז השגיאות – סולם סדרטווחטווח בינרבעוניממוצע ריבועי הסטיותשונות וסטיית תקן


מדדי מיקום יחסי - מאונים: חלוקת ההתפלגות לפי אחוזים

קיימת אפשרות להציג את ההתפלגות שלנו לפיחלוקה למאונים.

ב"מאונים" הכוונה היא שהמדגם שלנו כולו נחשב )מאון = אחוז(, וכך נוכל לחלקו. 100%ל-


ציוני תקן והתפלגות נורמאלית


ציוני תקןציוני תקןמדד למיקום יחסי מדד למיקום יחסי

של היחידשל היחיד

ציוני תקןציוני תקןמדד למיקום יחסי מדד למיקום יחסי

של היחידשל היחיד


לממוצע. יחסית היחיד את ממקם התקן ציון ניתן לדעת אם הנבדק נמצא מעל הממוצע או

מתחתיו ובכמה הוא רחוק מהממוצע.

במדגמים יחיד לכל הניתן ציון הוא תקן ציון שונים ועוזר לקבוע מי מבין שני ציונים גבוה או

נמוך יותר.


:נוסחת ציון התקן

ציון התקן שמחושב לכל נבדק הממוצע של המדגם ציונו הגולמי של הנבדק סטיית התקן של המדגם

Zi

X

Xi

S

Zi=Xi - X

S


דוגמה לחשיבות השימוש בציוני התקן

בתנ"ך במבחן קיבל ו- 75תלמיד במבחן 70, התלמיד מקצוע באיזה לקבוע רוצים אנו במתמטיקה.

טוב יותר. בהשוואה בתנ"ך יותר טוב שהתלמיד נראה לכאורה

למתמטיקה. אולם, אם נתחשב בממוצע הכיתה ובסטיית התקן נקבל

תמונה מדויקת יותר.

הציוןהמקצוע

75תנ"ך

70מתמטיקה

Zi= Xi - XS


דוגמה לחשיבות השימוש בציוני התקן

בתנ"ך במבחן קיבל ו- 75תלמיד במבחן 70, התלמיד מקצוע באיזה לקבוע רוצים אנו במתמטיקה.

טוב יותר. בהשוואה בתנ"ך יותר טוב שהתלמיד נראה לכאורה

למתמטיקה. אולם, אם נתחשב בממוצע הכיתה ובסטיית התקן נקבל

תמונה מדויקת יותר.

XSהציוןהמקצוע

75705תנ"ך

70652.5מתמטיקה

Zi= Xi - XS


חישוב ציוני התקן...

Zi=Xi - X

Sציון תקן

בתנ"ך

75-70

5= 1=

Zi=Xi - X

Sציון תקן

במתמטיקה

70-65

2.5= 2=

XSהציוןהמקצוע

75705תנ"ך

70652.5מתמטיקה איל רבין - מבוא לסטטיסטיקה eyal.rabin [at] gmail.com

XSZהציוןהמקצוע

757051תנ"ך

70652.52מתמטיקה

Zi= Xi - XS


לציון התקן שני מאפיינים:

הסימןמראה את הכיוון יחסית לממוצע

הערך המספרימציין את המרחק מהממוצע

סימן שלילי = הנתון קטן מהממוצע סימן חיובי = הנתון גדול מהממוצע

אפס = הנתון שווה לממוצע

התקן ציון של שהערך ככל המוחלט בערך יותר גדול

שלו )חיובי או שלילי(,

יותר רחוק הנתון מהממוצע.


תכונות ציוני התקן -0ממוצע ציוני התקן של מדגם כלשהו תמיד שווה ל . -1סטיית התקן של ציוני תקן במדגם כלשהו שווה ל .

לצורת דומה תקן ציוני של ההתפלגות צורת ההתפלגות המקורית שממנה הם חושבו.

אם ההתפלגות המקורית הינה נורמלית גם התפלגותציוני התקן תהיה נורמלית.


התפלגות נורמלית


התפלגות נורמלית

לתופעות רבות בטבע התפלגות הדומה לצורת פעמון:

- משקל

- גובה

- מנת משכל

התפלגויות אלה ניתנות לקירוב טוב ע"י מודל מתמטי –

ההתפלגות הנורמלית.

ככל שהמדגם גדול יותר, כך הקירוב להתפלגות הנורמלית יהיה טוב יותר


2000 2500 3000 3500 4000 4500

0.0

0.0

00

20

.00

04

0.0

00

60

.00

08

Weight

היסטוגרמה )שכיחויות יחסיות( של משקל תינוקות:


2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0.0

0.0

00

20

.00

04

0.0

00

60

.00

08

Weight


התפלגות נורמלית)מקרה פרטי של התפלגות פעמון(

משפחה של התפלגויות סימטריותחד-שיאיתדמויות פעמוןהממוצע=חציון= שכיחהתפלגות אסימפטוטיתNormal Densities

-4 -2 0 2 4 6 8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

N)0,1(N)3,1(N)0,4(N)0,0.25(


( -Zהתפלגות נורמלית סטנדרטית )בציוני תקן

(100% )או 1שטח כולל מתחת לעקומה הוא=1 סטיית התקן=0ממוצע 1 ל- 0הסתברות מבוטאת בערכים בין

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Standard Normal Density


ציוני תקן וגלם בהתפלגות נורמליתM=70 S=10

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 1 2 31-2-3-

70 80 90 100

605040

ציוני תקן

ציוני גלםאיל רבין - מבוא לסטטיסטיקה eyal.rabin [at] gmail.com

0ההתפלגות סימטרית סביבמודל המתאים לאוכלוסייה אין-סופית בגודלה 0הוא הממוצע באוכלוסייה1 היא סטיית התקן באוכלוסייה ביןZ=1 ל Z=-1 ( מהמקרים0.6826 )68.26% נמצאים ביןZ=2 ל Z=-2 ( מהמקרים0.9544 )95.44% נמצאים ביןZ=3 ל Z=-3 ( 0.9974 )99.74% נמצאים

מהמקרים

תכונות התפלגות נורמלית בציוני תקן:


2%

2%

34%

14%

מיקום יחסי והעקומה הנורמלית

ממוצעסטייתת

34%קן

50%84%

16%

98%

14%2%


התפלגות נורמלית - דוגמא

סנטימטרים. סטיית 163ממוצע הגובה לנשים באוכלוסיה הוא .14התקן של ההתפלגות היא

מה המיקום היחסי )כמה נשים מעל וכמה מתחת( של אשה ס"מ?177בגובה


:בדוגמא הנ"ל135 סטיות מעל 2- סטיות תקן מתחת לממוצע )2 ממוקם

לממוצע(149 סטיות מעל 1- סטיות תקן מתחת לממוצע )1 ממוקם

לממוצע(163 סטיות תקן מעל לממוצע0 ממוקם 177 סטיות תקן מעל לממוצע1 ממוקם 191 סטיות תקן מעל לממוצע2 ממוקם

ניתן להמיר כל ציון לציון התקן על ידי החסרת הממוצע וחלוקהבסטיית התקן:

Zi= Xi - XS


ניתן לחשב לכל ערךZ את השטח המתאים לו מתחת להתפלגות הנורמלית על ידי שימוש בלוח

Z.

:לדוגמא80סטודנט שציון המבחן שלו =

75ממוצע הכיתה =

9.0955.0סטיית התקן=09.9

7580

z

Zi= Xi - XS


Zטבלת


השוואת ציונים מהתפלגויות נורמליות שונות

.שני סטודנטים משתתפים בכיתות תרגול שונות

באחד הבחנים.80שניהם קיבלו ציון 10 וסטיית התקן 70בכיתת תרגול א', הממוצע היה 5 וסטיית התקן 70בכיתת תרגול ב' הממוצע היה

בהנחה שציוני הסטודנטים בשתי הכיתות מתפלגיםנורמלית, מה המיקום של שני הסטודנטים האחד

לעומת השני?


המשך דוגמא – השוואת ציונים

:'ציון א X=70; sd=10:'ציון ב X=70; sd=5

80 בקבוצה א' אינו מקביל לציון 80ברור שציון בקבוצה ב'

70 8070 80


המשך דוגמא – השוואת ציונים

כדי להשוות, יש ראשית להפוך את הציונים לציוני תקן

:'ציון ב':ציון א 110

7080

z

25

7080

בz

0 1 2

84%98%

14%


דוגמא

750משקל כיכר לחם מתפלג נורמלית עם ממוצע של גרם.10גרם וסטיית תקן של

740מה הסיכוי שכיכר מקרית תשקול פחות מ- 1.גרם?

מהכיכרות שוקלים פחות 5%מהו המשקל שרק 2.ממנו ?


פתרון את המשקל של כיכר מקרית. מהנתונים:Xנסמן ב-

גרם ?740מה הסיכוי שכיכר מקרית תשקול פחות מ- 1.

מהשטח0.8413 מתפלגים Z=1עד ערך מהשטח0.1587=1-0.8413 מתפלגים Z=-1לכן עד ערך

15.87% גרם היא לכן 740ההסתברות שכיכר תשקול פחות מ- מהכיכרות שוקלים פחות ממנו ?5%. מהו המשקל שרק 2

(100,750)~ NX

(1)10

750740

Z

733.5x

750(/10-x65.1

/x)

5.73310*65.175065.1 05.005.0 95.0

Z

xzz


תרגיל

התפלגות מנת המשכל של אוכלוסיה שואפת 1. וסטיית תקן 100להתפלגות נורמלית עם ממוצע

15 .חשב את אחוז המקרים בעלי מנת משכל:

120א. מתחת ל-130ב. מעל

115 ל-90ג. בין ד. מהו התחום הסימטרי סביב הממוצע בו מרוכזים

מהמקרים באוכלוסיה?95%


תרגיל

מועמדים נרשמים ללמוד רפואה, אך 2000. 2 הטובים ביותר על פי בחינת 200מתקבלים רק

81מיון שנערכת. הציון הממוצע בבחינה הוא . בהנחה שהתפלגות הציונים 5וסטיית התקן היא

שואפת לנורמלית, מהו הציון המנימלי כדי להתקבל ללימודי רפואה?


תרגיל

. באוניברסיטה מסוימת הציון הממוצע של התואר 5. 5 וסטיית התקן של הציונים היא 85הראשון הוא

נדבן מסוים מעוניין לקדם את החינוך והעניק סכום כסף לצורך חלוקת מלגות. הוא דרש שהכסף

הסטודנטים שציוניהם הטובים 3%יחולק בין ביותר. מהו ציון הגלם הנמוך ביותר של מקבלי

המלגות )החל מאיזה ציון זכאים למלגה(?


תרגיל

מן הכיתה. ממוצע 25%. מורה החליט להכשיל 3 6 עם סטיית תקן של 72הציון בבחינה היה

נקודות. מהו ציון המעבר?

ק"ג.X. משקלם של מגויסי צה"ל יסומן ב- 4

( 25 ; 70 ) N ~ X .

כמה מגויסים משקלם:

74 > X


מבוא לסטטיסטיקה-אייל רבין

Education