기술통계 - 자료의 중심과 퍼진정도

자료의 생김새를

숫자로 나타내보자

R과 함께하는 기초통계

R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

표기 방법


중심?


자료의 중심은…

균형점

가운데


(산술) 평균

• 자료들의 무게 중심

• 이해를 위한 헛소리.

– 각 자료들은 1만큼의 측정 비용을 갖는다.

• 가중 평균의 경우 모두 1이 아닌 측정비용을 갖는다.

– 모든 자료들의 측정값을 합한다.

• 얼마나 측정되었는지 확인

– 합해진 측정값을 총 측정비용으로 나눈다.

• 단위 측정 비용(여기서는 1)당 얼마만큼 측정될지 기대함.


(산술) 평균 – R로 구하기

168 174 171 165 177

• 자료 입력

> h = c(168, 174, 171, 165, 177)

• 전체 지불 비용 : 자료 h의 원소의 갯수

• 전체 측정값 구하기

> sumH = sum(h)

> sumH

[1] 855

> length(h)

[1] 5


(산술) 평균 – R로 구하기

• 전체 측정값을 지불비용의 총합으로 나누기

> sumH / length(h)

[1] 171

• R에서의 평균 함수 : mean()

> mean(h)

[1] 171


(산술) 평균

• 앞선 예제 자료를 순서대로 나열해 보자.

165 168 171 174 177

1 1 1 1 1

측정비용은 무게와 같아서 모두 1로 동일


(산술) 평균

• 다음 변화에서 무게 중심점은 어떻게 움직일까?

165 168 171 175 177

1 1 1 1 1

165 168 171 174 177 … 195

1 1 1 1 1


(산술) 평균

• 평균은 양쪽 끝값의 변화에 민감하다.

– 보완사항 : x% 절사평균(Trimmed Mean)

• 작은 쪽과 큰 쪽을 각각 전체 자료중 (x/2)%의 자료를 제거하

고 남은 값들로 평균 측정

• 작은 쪽과 큰 쪽의 변화에 민감한 평균의 성질 보완

• 체조 점수의 예


중앙값


중앙값

• 5개의 자료가 있을 경우 그 순위만 나열해 보자.

1 2 3 4 5

중앙값보다 작은 자료의 수가

전체 자료의 반 이상

중앙값보다 큰 자료의 수가

전체 자료의 반 이상

이 두 조건을 동시에 만족하는 값


중앙값

• 자료의 개수가 짝수일 때

1st

112nd

153rd

174th

20


평균과 중앙값의 관계

• 다음과 같은 자료가 있다고 하자.

평균 : 3, 중앙값 : 3

– 자료가 좌우대칭(중심을 기준으로 작은 쪽과 큰 쪽의

개수가 서로 같은 경우)이면 평균과 중앙값이 같다.

1 2 3 4 5

2 3 4

3



• 앞선 자료가 다음과 같이 변한다면?

1 2 3 4

2 3 4

3

1

중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3)

평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?



• 다음과 같은 자료라면?

2 3 4

2 3 4

3

중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3)

평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?

5

5



• 평균이 양쪽 끝값의 변화에 민감한 반면 중앙값은

민감하지 않다.

• 평균과 중앙값의 위치 만으로 대략 자료의 형태를

유추해 볼 수 있다.

– 최빈값을 같이 알면 더 수월하게 파악할 수 있다.

• 대표값

– 어떤 관찰집단의 특징을 대표한다.

– 약점 : 정보가 한 점으로 수렴한다.

• Ex) 평균이 사람 잡는다.

• 퍼진 정도를 같이 나타내어 정보의 손실을 줄인다.


자료의 퍼진 정도

• 대표값(평균 혹은 중앙값)을 중심으로 하여 얼마

나 자료들이 퍼져 있는지를 나타낸다.

• 기본적인 퍼진 정도

– 범위(range) :최대값(max) – 최소값(min)

– 편차(deviation)

• 개별 관찰값 – 평균

• 편차의 합은 0이다 ← 평균의 중요 성질

– 평균에서 사용한 자료를 이용하여 R을 통한 확인

> dev = h - mean(h)

> sum(dev)

[1] 0


자료의 퍼진 정도 - 표준편차

• 편차를 뜯어 보자.

• 다음은 앞선 평균자료에서 사용한 개별 편차이다.

– 평균의 입장에서 볼 때 -3이나 3은 모두 거리는 3만큼

떨어져 있다.

– 음수와 양수는 방향을 나타낼 뿐 평균의 입장에서는 얼

마만큼 멀리 떨어져있는지 궁금하다.

– 절대값을 취해도 되지만 계산시 고려할 점이 많으니 다

른 방법을 생각해 보자.

> h - mean(h)

[1] -3 3 0 -6 6



• 각 편차들을 제곱해 보자.

• 자 이제 각 편차들에 대해 평균을 구해보자.

– 평균의 다른말로 기대값이라는 용어를 앞서 이야기 하였다.

– 개별 자료들이 평균에 대해 얼마만큼 떨어질지 기대하는 값을 구

해보자는 의미로 생각해 보자.

– 개별 편차 제곱들 역시 측정 비용으로 1만큼 갖고 있다고 생각하

고 편차 제곱 합을 편차들의 개수인 5로 나누자.

> (h - mean(h)) ^ 2

[1] 9 9 0 36 36

> sum((h - mean(h)) ^ 2) / 5

[1] 18



> var(h)

[1] 22.5

> sd(h)

[1] 4.743416


자료의 퍼진 정도 - 사분위수범위


자료의 퍼진 정도 - 사분위수범위

• R에서의 사분위수와 사분위수범위

• 간략한 요약값들의 정보

> quantile(h)

0% 25% 50% 75% 100%

165 168 171 174 177

> IQR(h)

[1] 6

> summary(h)

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

165 168 171 171 174 177


기술통계 - 자료의 중심과 퍼진정도

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