03.기술통계 자료의 중심과 퍼진정도

자료의 생김새를 숫자로 나타내보자

한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

표기 방법

• 개별 관찰값 – i번째 관찰값 : 𝑥𝑖

• 모집단의 특성 – 전체 자료의 개수 : 𝑁 – 평균 : 𝜇 (𝑚𝑢)

• 표본의 특성 – 전체 자료의 개수 : 𝑛 – 평균 : 𝑥

• 최빈값 – 관찰값중 관찰의 빈도가 가장 높은 값

R과 통계 한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72

중심?


자료의 중심은…

균형점

가운데


(산술) 평균

• 자료들의 무게 중심

• 이해를 위한 헛소리. – 각 자료들은 1만큼의 측정 비용을 갖는다.

• 가중 평균의 경우 모두 1이 아닌 측정비용을 갖는다.

– 모든 자료들의 측정값을 합한다. • 얼마나 측정되었는지 확인

– 합해진 측정값을 총 측정비용으로 나눈다. • 단위 측정 비용(여기서는 1)당 얼마만큼 측정될지 기대함.


(산술) 평균 – R로 구하기

168 174 171 165 177

• 자료 입력

> h <- c(168, 174, 171, 165, 177)

• 전체 지불 비용 : 자료 h의 원소의 갯수

• 전체 측정값 구하기

> sumH <- sum(h) > sumH [1] 855

> length(h) [1] 5


(산술) 평균 – R로 구하기

• 전체 측정값을 지불비용의 총합으로 나누기

> sumH / length(h) [1] 171

• R에서의 평균 함수 : mean()

> mean(h) [1] 171


(산술) 평균

• 앞선 예제 자료를 순서대로 나열해 보자.

165 168 171 174 177

1 1 1 1 1

측정비용은 무게와 같아서 모두 1로 동일


(산술) 평균

• 다음 변화에서 무게 중심점은 어떻게 움직일까?

165 168 171 175 177

1 1 1 1 1

165 168 171 174 177 … 195

1 1 1 1 1


(산술) 평균

• 평균은 양쪽 끝값의 변화에 민감하다. – 보완사항 : x% 절사평균(Trimmed Mean)

• 작은 쪽과 큰 쪽을 각각 전체 자료중 (x/2)%의 자료를 제거하고 남은 값들로 평균 측정

• 작은 쪽과 큰 쪽의 변화에 민감한 평균의 성질 보완

• 체조 점수의 예


중앙값

• 자료를 순서대로 늘어놓고 전체 자료 갯수중 50%가 되는 값 – 중앙 위치로써의 값

• 중앙값 계산하기 – 자료의 수가 홀수 : 𝑥𝑛+1

2

– 자료의 수가 짝수 : 𝑥𝑛2 + 𝑥 𝑛

2 +1

2


중앙값

• 5개의 자료가 있을 경우 그 순위만 나열해 보자.

1 2 3 4 5

중앙값보다 작은 자료의 수가 전체 자료의 반 이상

중앙값보다 큰 자료의 수가 전체 자료의 반 이상

이 두 조건을 동시에 만족하는 값


중앙값

• 자료의 개수가 짝수일 때

1st 11

2nd 15

3rd 17

4th 20

𝑥42 + 𝑥 4

2 +1

2=𝑥2 + 𝑥3

2

15 + 17

2 = 16

R에서는 median() 을 이용하여 구한다. > median(c(11, 15, 17, 20)) [1] 16


평균과 중앙값의 관계

• 다음과 같은 자료가 있다고 하자.

평균 : 3, 중앙값 : 3 – 자료가 좌우대칭(중심을 기준으로 작은 쪽과 큰 쪽의

개수가 서로 같은 경우)이면 평균과 중앙값이 같다.

1 2 3 4 5

2 3 4

3



• 앞선 자료가 다음과 같이 변한다면?

1 2 3 4

2 3 4

3

1

중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3) 평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?



• 다음과 같은 자료라면?

2 3 4

2 3 4

3

중앙값은 여전히 3 (5번째 위치에 있는 값이 3) 평균은 왼쪽으로 이동할까? 오른쪽으로 이동할까?

5

5



• 평균이 양쪽 끝값의 변화에 민감한 반면 중앙값은 민감하지 않다.

• 평균과 중앙값의 위치 만으로 대략 자료의 형태를 유추해 볼 수 있다. – 최빈값을 같이 알면 더 수월하게 파악할 수 있다.

• 대표값 – 어떤 관찰집단의 특징을 대표한다.

– 약점 : 정보가 한 점으로 수렴한다. • Ex) 평균이 사람 잡는다.

• 퍼진 정도를 같이 나타내어 정보의 손실을 줄인다.


자료의 퍼진 정도

• 대표값(평균 혹은 중앙값)을 중심으로 하여 얼마나 자료들이 퍼져 있는지를 나타낸다.

• 퍼진 정도 – 범위(range) :최대값(max) – 최소값(min)

– 편차(deviation) • 개별 관찰값 – 평균

• 편차의 합은 0이다 ← 평균의 중요 성질 – 평균에서 사용한 자료를 이용하여 R을 통한 확인

> dev <- h - mean(h)

> sum(dev)

[1] 0


자료의 퍼진 정도 - 표준편차

• 편차를 뜯어 보자.

• 다음은 앞선 평균자료에서 사용한 개별 편차이다.

– 평균의 입장에서 볼 때 -3이나 3은 모두 거리는 3만큼

떨어져 있다.

– 음수와 양수는 방향을 나타낼 뿐 평균의 입장에서는 얼마만큼 멀리 떨어져있는지 궁금하다.

– 절대값을 취해도 되지만 계산시 고려할 점이 많으니 다른 방법을 생각해 보자.

> h - mean(h) [1] -3 3 0 -6 6



• 각 편차들을 제곱해 보자.

• 자 이제 각 편차들에 대해 평균을 구해보자. – 평균의 다른말로 기대값이라는 용어를 앞서 이야기 하였다.

– 개별 자료들이 평균에 대해 얼마만큼 떨어질지 기대하는 값을 구해보자는 의미로 생각해 보자.

– 개별 편차 제곱들 역시 측정 비용으로 1만큼 갖고 있다고 생각하고 편차 제곱 합을 편차들의 개수인 5로 나누자.

> (h - mean(h)) ^ 2 [1] 9 9 0 36 36

> sum((h - mean(h)) ^ 2) / 5 [1] 18



• 우리가 이야기 한 것을 식으로 나타내 보자. – 편차 : 𝑥𝑖 − 𝑥

– 편차 제곱 : (𝑥𝑖 − 𝑥 )2

– 편차 제곱합 : (𝑥𝑖 − 𝑥 )2𝑛𝑖=1

– 편차 제곱의 평균(분산) : (𝑥𝑖−𝑥 )

2𝑛𝑖=1

𝑛

– 하! 지! 만! 표본분산은 다르다!!! • 표본분산은 모집단의 분산을 추론하기 위하 추정값

• 추정값은 불편성이라는 무서운 녀석을 만족하여야 한다.

• 이를 위해 분모를 n-1로 수정한 것이 표본분산



• 표준편차는 분산의 제곱근으로 측정값과 단위가 같다.

– 표본표준편차 : (𝑥𝑖−𝑥 )

2𝑛𝑖=1

𝑛−1

• R에서의 표본분산과 표본표준편차

> var(h) [1] 22.5 > sd(h) [1] 4.743416


자료의 퍼진 정도 - 사분위수범위

• 사분위수 – 자료를 순서대로 늘어놓고

• 25% 되는 위치의 수 : 일사분위수(𝑄1)

• 50% 되는 위치의 수 : 이사분위수(𝑄2) = 중앙값

• 75% 되는 위치의 수 : 삼사분위수(𝑄3)

• 100% 되는 위치의 수 : 사사분위수(𝑄4)

라 하고 이들을 사분위수라고 한다.

• 사분위수 범위 – 삼사분위수(𝑄3) - 일사분위수 (𝑄1)

– 전체 자료중 50%가 모여있는 범위를 이야기 한다.



• R에서의 사분위수와 사분위수범위

• 간략한 요약값들의 정보

> quantile(h) 0% 25% 50% 75% 100% 165 168 171 174 177 > IQR(h) [1] 6

> summary(h) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 165 168 171 171 174 177


한림대학교 이윤환, http://fb.com/yoonani72 R과 통계


> weight <- c( + 72, 74, 73, 76, 66, 86, 70, 71, 77, 71, + 70, 72, 71, 72, 70, 72, 79, 74, 70, 74, + 72, 77, 78, 72, 69, 68, 76, 67, 69, 73, + 72, 73, 66, 67, 72, 68, 68, 67, 71, 67, + 69, 75, 70, 68, 73, 70, 68, 69, 70, 71 + ) > boxplot(weight)

03.기술통계 자료의 중심과 퍼진정도

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