Подход к управлению водными ресурсами.

Потоковые модели

Хранович И.Л.

Ситуациями, типичными при согласовании интересов водопользователей,

претендующих на водные ресурсы общего водного объекта, являются

явления «free rider» (буквально, «свободный наездник»; по-нашему

«безбилетный заяц»). В обстановке «free rider», наряду с собственными

целями субъектов, присутствуют цели, отражающие коллективные блага.

Стремление к созданию общих благ ограничивает возможности

удовлетворения интересов отдельных субъектов. Возникает соблазн

воспользоваться коллективными благами, не затрачивая для этого своих

усилий. Например, все водопользователи заинтересованы в том, чтобы вода в

реке была чистой, однако склонность проводить весьма затратные

мероприятия по очистке сточных вод у них отсутствует.

Ситуация использования водных ресурсов

2

3

Проблемы

В проблеме функционирования предполагаются известными: структура

системы, параметры элементов и их характеристики, а также различные

условия и требования, предъявляемые к ВХС как составной части

хозяйства и элементу окружающей среды.

При выборе параметров, наряду с существующими структурой,

параметрами и характеристиками ВХС, предполагаются известными также

избыточный набор реконструируемых и вновь строящихся элементов с их

возможными параметрами и характеристиками. Каждому варианту

развития элемента соответствует свой момент ввода, этапность изменения

параметров не учитывается.

Проблема развития ВХС отличается от проблемы выбора параметров

учетом в ней этапности ввода вариантов.

Анализ и решение сформулированных проблем осуществляется в

ситуациях сравнения огромного числа возможных альтернатив режимов и

параметров и выделения из них приемлемых. Для проведения таких

исследований естественно обращение к математическим моделям,

отражающим основные особенности функционирования и развития ВРС.

4

ВХС – природно-технический комплекс

ВХС являются элементами инфраструктуры по обеспечению

водными ресурсами производства и общества и их опережающее

развитие требуется для создания условий устойчивого развития

водоемких отраслей экономики и общества. Стратегии развития

ВХС должны охватывать достаточно длительный расчетный период,

ориентированный на 20-, 30-летнюю и более отдаленную

перспективу. Такие стратегии приходится вырабатывать в условиях

порождающей риск принятия неоправданных решений

значительной неопределенности о структуре, формах и масштабах

водопользования, обусловленной научно-техническим прогрессом и

коренным преобразованием всего хозяйственного механизма.

Неопределенность проявляется также в характеристиках водных

ресурсов, показатели которых могут существенно

трансформироваться, например, в связи с возможными изменениями

климата.

5

Стохастические условия

Рассматривается функционирование и развитие ВХС в неопределенных

условиях, которые описываются как «стохастические». Информация о

ситуациях в будущем является неопределенной, она либо обладает, либо не

обладает стохастической устойчивостью. Неопределенные условия, о

которых удалось получить данные наблюдений, достаточные для

применения объективно-вероятностного подхода, рассматриваются как

объективно стохастические. Если непосредственное использование данных

прошлых наблюдений недостаточно, чтобы выявлять закономерности

поступления ресурсов, на помощь приходит субъективно вероятностный

подход, основанный на экспертных оценках различных возможных

условий хозяйственной деятельности. Будучи нормированы, эти оценки

обладают всеми свойствами вероятностей: они неотрицательны, их сумма

равна единице, оценка значимости совокупности возможных условий

равна сумме оценок значимостей условий, входящих в эту совокупность.

Субъективные и объективные вероятности совместно включаются в

комплекс оценок возможных ситуаций функционирования и развития

систем в «стохастических» условиях.

6

Стохастика и неопределенность порождают риск снижения эффективности

использования водных ресурсов из-за возможного несоответствия принятых

решений реальным условиям функционирования и развития ВХС. С целью

снижения такого риска в управлении водным хозяйством разработаны методы,

ориентированные на высокую степень неопределенности. Были предложены

понятия надежности (обеспеченности) располагаемых водных ресурсов,

гарантированного водопользования (гарантированной отдачи) и его надежности, а

также гарантированного качества водных ресурсов и его надежности. При

гарантированном водопользовании устанавливается расчетное количество

(расходов и/или объёмов)водных ресурсов, предоставляемое пользователю, оно

выполняет функцию ориентировочного планового показателя. Надежность

гарантированного водопользования – вероятность того, что фактическое

поступление водных ресурсов не меньше гарантированного.

Термин гарантированное водопользование не вполне соответствует содержанию

обозначаемого понятия. На самом деле в рассматриваемых ситуациях никаких

гарантий в системе централизованной плановой экономики, когда он был введен, не

предполагалось. В случае отклонения текущих значений водопользования от

гарантированных в нежелательную для потребителя сторону он не получал

никаких экономических компенсаций – ни непосредственно от государства, ни от

его представителя – ВХС. Несмотря на ее неадекватность, наряду с понятием

ориентир будем пользоваться также традиционной терминологией.

7

Производственные функции

Появляется возможность перенести методологию гарантированного

водопользования и его надежности на построение производственных

функций, оценивающих результаты использования ресурсов в условиях

неопределенности. Значения этих функций зависят от двух групп

переменных, соответствующих используемым в хозяйственной

деятельности ресурсам x и их ориентирам X. Количество используемых

ресурсов может принимать значения при различных реализациях

стохастических условий функционирования системы из множества

возможных условий Ω . С ориентировочными количествами используемых

ресурсов связано планирование необходимых подготовительных работ и

других ресурсов, не учитываемых явно при оценке результатов

производства. Величина X одна и та же при всех . Отклонение ∆xω= xω–X

реализуемого количества ресурсов от ориентира приводит к

необходимости корректировки принятых решений и потерям в результатах

хозяйственной деятельности.

8

Функцию f(X, x), оценивающую результат использования ресурсов, без

нарушения общности можно представить в виде сумм функций

).,()(),( 21 xXfXfxXf (1)

Функция f1 характеризует результат использования ресурсов в объеме,

равном ориентиру. Зависимость f2 - функция ущерба, описывает потери

результата, обусловленные отклонениями объемов используемых ресурсов

от их ориентировочных величин. Для определенности под функцией f2

будем понимать математическое ожидание ущербов, обусловленных

функционированием потребителей ресурсов в различных стохастических

условиях

),,(),(),( 22

xXfpxXfxXf

(2)

где pω – вероятность исхода стохастических условий ω. Множество

стохастических условий Ω полагаем конечным.

9

Таким образом, производственная функция представима в виде:

)].,()([),(),( 21

xXfXfpxXfpxXf

(3)

Функции вогнуты по каждому из переменных Xn и

в силу закона об убывающей эффективности. Однако, это не гарантирует

выпуклость по их совокупности.

),( xXf

nx

),( xXf

10

Рис. 1 Производственная функция Терско-Кумскойоросительной системы

11

Рис. 2 Параметрическое представление производственной функции Терско-Кумской оросительной системы

12

Выпуклое множество Невыпуклое множество

Выпуклая функция Вогнутая функция Многоэкстремальная функция

13

Риск и шанс

Различия между результатами использования ресурсов в различных

стохастических условиях порождают риск снижения результата

деятельности вследствие неполного (в сравнении с ориентиром)

обеспечения ресурсами R(X, x) и шанс повышения результата D(X,x),

обусловленный получением дополнительного (относительно ориентира)

количества ресурсов. Под риском понимается математическое ожидание

ущерба, он определяется через введенную производственную функцию

в виде:

),,()],([),( 2

xXrpxXfpxXR

(4)

14

Шанс D(X, x) представляет собой математическое ожидание увеличения

результата деятельности вследствие использования дополнительного

количества ресурсов и также выражается через введенную

производственную функцию:

),,()],([),( 2

xXdpxXfpxXD

(5)

Из определений риска и шанса (4) и (5) следует, что производственную

функцию f(X, x) можно представить в виде

f(X, x) = f1(X) + D(X, x) R(X,x) (6)

15

Производственные функции могут быть применены также для оценки

надежности ориентировочного количества ресурсов. Надежность

определяется как вероятность того, что объем предоставляемых ресурсов

будет не меньше их ориентировочной величины:

Надежность

,),(

pxXP (7)

В частности, надежность гарантируемого объема водных ресурсов

Х=360 млн м3 оросительной системы, производственная функция

которой представлена на рис. 1 и 2, при равновероятных реализуемых

объемах xω=0, 180, 360, 540, 720 и 900 млн м3 составляет Р(360, х)=2/3.

16

Потоковая структуризация

Формализованное описание ВХС основывается на существовании сети с

потоками в ней воды. С потоками связаны зависимости, характеризующие

условия и качество функционирования. ВХС изображается сетью Г(J,S),

геометрическое начертание которой согласуется со схематическим

изображением моделируемой системы. Элементы Г(J,S) обладают

собственными параметрами и характеристиками, соответствующими

параметрам и характеристикам элементов ВХС. Они представляют собой

объекты, состояния которых определяются функцией двух групп

переменных, соответствующих гарантированным и реализуемым объемам

и расходам водных ресурсов.

Потоковое моделирование позволяет наглядно представить проблему и

формализовать её в виде “прозрачной” модели. Наглядность потокового

формализма помогает пользователю видеть структуру задачи, выделять

вносимые упрощения, вскрывать взаимосвязи, оценивать и

совершенствовать модель. Простота структуры допустимого множества

задачи, которой описывается модель, помогают анализировать задачу и

строить эффективные методы ее решения в виде последовательного

преобразования потоков.

17

Рис. 3 Сеть ВХС Терско-Кумского региона

18

Элементы сети

В моделях расчетный период разбивается на дискретные интервалы ( в

статике интервал один). Участки русел рек, каналы и пользователи

изображаются дугами с усилением и запаздыванием. Дуги исходят из

вершин Г(J,S), соответствующих створам, из которых вода поступает

пользователям, и заходят в вершины, соответствующие створам, в которые

вода возвращается. Поток на входе дуги моделирует расход воды,

поступающей пользователю, поток на выходе – расход возвращаемой воды.

Зависимость между расходами поступления и возврата воды в модели

аппроксимируется линейной зависимостью с постоянным запаздыванием.

19

Поток на входе, моделирующий интенсивность поступления воды при

реализации стохастических условий, связан с потоком в ее конце,

моделирующим интенсивность отведения воды, равенством

)t(x)t(k)t(x sss

k

s

(8)

с неотрицательным запаздыванием и коэффициентом усиления, значения

которого находятся в пределах от 0 до 1.

Требования пользователей и ограничения на объемы воды

порождают множества возможных значений потоков дуг

)()()(ωωω

txtxtx sss (9)

20

Кроме потоков, величины которых при различных исходах стохастических

условий могут принимать различные значения, на входах дуг

рассматриваются потоки, принимающие одни и те же значения при всех

исходах. Они соответствуют гарантированным объемам водных ресурсов. Их

величины принадлежат диапазону

,Ss),t(X)t(X)t(X sss (10)

Источники воды с неуправляемыми расходами (например, речной сток)

в модели изображаются источниками потока заданной интенсивности,

располагаемыми в вершинах. Так же в модели изображаются

фиксированные отъемы воды.

21

Источники воды с управляемыми расходами в модели изображается в виде

фрагментов сети, которые содержат вершины, с располагаемыми в них

источниками потока заданной интенсивности. Вершины соединяются с

остальной частью сети исходящими дугами s1 и s2 с коэффициентами

усиления 0 и 1. Поток s1-ой дуги моделирует мощность источника, поток s2-

ой изображает неиспользуемую часть мощности.

22

Водохранилища и моря рассматриваются как единое целое с

расположенными на них пользователями, использующими воду

водохранилищ и морей без ее отведения, изображаются располагаемыми в

вершинах складами, запасы которых соответствуют объемам воды в

водохранилищах и морях. Ограничения на объемы воды порождают

множества возможных значений запасов в складах

)t(x)t(x)t(xω

iω

i

ω

i

,Ji),t(X)t(X)t(X iii

)t(x)t()t(x iii

(11)

23

Закон сохранения массы воды описывается системой уравнений

неразрывности потоков в вершинах сети

),t(b)t(x)t(x)t(x)t(k)t(x ω

i

Ss

ω

s

k

s

Ss

iii

ii

01

(12)

Начальные условия на величины потоков в дугах и запасов в складах

характеризуют особенности поступления и накопления воды в элементах

ВХС. При управлении с большим расчетным периодом

)()( 0

0

0 TxTx ii (13)

При регулировании стока в пределах рассматриваемого периода

);()( 10 TxTx ii

),()( 0 txtx ii ),[ 00 TTt s

24

Статическая модель

Модель описывается задачей, в которой определяются потоки,

удовлетворяющие уравнениям баланса масс в вершинах сети

Jibxxk i

Ss

s

Ss

ss

ii

,0 (14)

Ограничения на величины потоков и их гарантированные значения:

SsXXxxx sssss ,,(15)

Максимизируется математическое ожидание эффективности

использования водных ресурсов

Ss

sss xXfpxXf ),(),(

(16)

25

Динамическая модель

В задаче выработки стратегий управления во времени максимизируется:

)w,W(f)x,X(fp)x,w,X,W(f ititit

J,Si,s Tt

ststst

Ω

(17)

на множестве, выделяемом уравнениями баланса масс воды

,)1(

it

Ss

st

Ss

ststttiitit bxxkhwkw

ii

(18)

и ограничениями на величины потоков

stststststststststst WWXXwwwxxx ,,, (19)

и начальными условиями (13)

26

Преобразование сети

Описанное представление в виде соотношений (17)–(19) и (13)

предоставляет возможность интерпретировать функционирования ВХС в

динамических условиях в виде функционирования эквивалентной потоковой

системы в статических условиях. Для этого исходная сеть

трансформируется в расширенную сеть, которая формируется из неё

повторением её по числу временных сечений – концов отрезков времени, на

которые разбит расчетный период. Каждому складу, расположенному в

вершине исходной сети, в преобразованной сети соответствует набор дуг,

которые связывают подсети различных временных сечений. Потоки в них

моделируют объемы воды в водохранилищах в различные моменты; потери

воды из водохранилищ учитываются коэффициентами усиления этих дуг.

Эффективность использования водных ресурсов оценивается функцией,

каждое слагаемое которой оценивает результативность использования

водных ресурсов на своем временном отрезке.

27

Рис. 4 Трансформация сети

28

Выбор параметров (статика)

При рассмотрении реконструкции существующих и строительства новых

элементов ВХС выделяются альтернативные варианты их развития,

отличающиеся параметрами элементов и технологиями использования

водных ресурсов. Предполагается, что множества вариантов элементов

конечны. Для существующих элементов, реконструкция которых не

предполагается, множества одноэлементные; они включают только один

вариант – исходный. Для вновь строящихся элементов в множество

включается также вариант, соответствующий отказу от строительства

элемента. В модели каждый вариант развития элемента изображается как

отдельный элемент, выбор которого описывается характеристической

функцией, равной 1, если вариант принимается, и равный 0 – в

противоположном случае. Так как элементы могут функционировать только

по одному из альтернативных вариантов, в модели изображаемых

множествами параллельных дуг сети Г(J,S).

29

Характеристические функции вариантов связаны условиями

},1;0{s

sas

s

1 (20)

В формировании множества допустимых векторов участвуют ограничения

на значения потоков в дугах

,

sssss xxx , sssss XXX (21)

уравнения неразрывности потоков в вершинах

.0ωωωω

i

Ss

ss

Ss

s bxxk

ii

(22)

30

Зависимости эффективности вариантов развития элементов включают,

наряду с оценками результативности функционирования слагаемые –

затраты на ввод вариантов, которые в эти зависимости входят со знаком

минус. Максимизируется суммарная эффективность элементов ВХС,

связанная с вводом новых вариантов их развития и функционирования

системы, которая принимает вид

sM

sas

sssss

Ss

xXfpMxXF

),(),,( ω

ω

ωω

(23)

31

Выбор параметров (динамика)

Преобразования потоков в дугах описывается соотношениями

)t(x)t(k)t(x sss

k

s

(24)

Величины потоков в дугах и запасов в складах принадлежат диапазонам

),t(x)t(x)t(x ω

rr

ω

r

ω

rr (25)

),t(X)t(X)t(X rrrrr

Законы сохранения масс представлены уравнениями

,)t(b)t(x)t(xh)t(xk)t(x ω

i

Ss

ω

s

k

s

Ss

tiii

ii

01

(26)

32

Начальные условия

),()( 0 txtx ss ,T,Tt s 100

(27)

Результативность выбора параметров ВХС оценивается суммой

эффективностей элементов

).),(),((η),,η( ωω

t

r ttxtXfpMxXf rrr

T

rrrrr

(28)

В равенствах и неравенствах, выделяющих допустимое множество,

переменные и принимают значения только в своем

временном отрезке. Целочисленные переменные от времени не зависят.

Исходная ситуация выбора параметров в динамических условиях в

результате перехода от исходной сети к расширенной, заменяется

эквивалентной структурой согласования стратегий в статических

условиях.

)t(xr

)t(X r

33

Развитие ВХС

Проблема развития ВХС отличается от проблемы выбора параметров учетом

в ней этапности ввода вариантов. В модель потребовалось включить

описанием возможных переходов от одних вариантов водопользования к

другим. Такое описание осуществляется с использованием

характеристических функций, , которые в этом случае являются

функциями времени, а также функций ввода , и

вывода вариантов водопользования. Функции ввода принимают

значение 1 в момент начала функционирования соответствующего

варианта,н в остальные моменты времени tТ они принимают значение 0.

Функции вывода равны 1 в момент окончания функционирования варианта и

0 – во все остальные моменты времени tТ. Они взаимосвязаны с

характеристическими функциями вариантов развития равенствами

)t(s)t(s

)t(s

tгдеtt sss ,)1()()( (29)

34

Эффективность использования водных ресурсов оценивается функциями

Tt

sssxsss

Tt

sss tMttxtXfWf

,

s )()),(),(,η(),η(

Tt

sssx ttxtXfp

,

)()()( )),(),(( (30)

Так же, как в случае выборе параметров водопользования

преобразования потоков в дугах, законы сохранения масс воды и

начальные условия выделяются теми же соотношениями, что и при

определении параметров. Отличие состоит в том, что

характеристические функции вариантов технологий использования

водных являются функциями времени.

35

Спасибо за терпение.