آزمون فرضهای آماری پارامتریک

آزمون فرضهای آماری پارامتریکسینا باقری نژاد

دانشکده مدیریت

مراحل شش گانه آزمون فرض ها

نتیجه گیریتعیین مقدار

بحرانیمحاسبه آماره

آزمون

نمونه گیری و مشخص کردن

تعداد نمونه

مشخص کردن سطح خطای

آزموناتعیین فرض ه

آزمون میانگین جامعه: سوال اول

یک.استبودهساعتواتکیلو2000حداقلکرجشهرماهبهمنبرقمصرفمیانگینکهاستشدهادعاو1890آنهامصرفیبرقمعیارانحرافومیانگینکهشدهانتخابخانوار100تعدادبهتصادفینمونه.نماییدبررسیرافوقادعایصحتدرصد،5خطایسطحدر.استبودهساعتکیلووات330

i. 𝐻0: 𝜃 ≥ 2000 ادعا𝐻1: 𝜃 < 2000 ادعا نقیض

ii. 𝛼 = 0.05

iii. N=100 , 𝑋 = 1890 , 𝑆𝑋 = 330

iv. 𝑍 = 𝑋− 𝜇

𝑆 𝑋=

1890−2000330

100

=−110

33= −3.33

v. 𝑍𝛼 = 1.645

آزمون میانگین جامعه: سوال اول

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

-1.645

0.05

0Z = -3.33

Distribution PlotNormal; Mean=0; StDev=1

.شود و ادعا مورد قبول نیسترد می𝐻0فرض پس. قرار گرفته است𝐻1در منطقه Zهمانطور که مشخص است

𝑆𝑖𝑔 < 𝛼

آزمون میانگین جامعه با نمونه کوچک : سوال دوم

هزار700ربرابشعبهاینمشتریانحسابماندهمتوسطکهاستکردهادعامهرشهرشعبهپارسیانبانکرئیسوینمیانگکهاستشدهانتخابتصادفبهحسابصاحبانازتایی16نمونهیکادعااینبررسیجهت.استتومان

حسابماندهتوزیعکهاستذکربهالزم.استتومانهزار300و600برابرایشانحسابماندهمعیارانحرافبررسیرصددپنجخطایسطحباراشعبهرئیسادعایدرستی.کندمیتبعیتنرمالتوزیعازشرکتمشتریان

.نمایید

i. 𝐻0: 𝜃 = ادعا 700𝐻1: 𝜃 ≠ 700 ادعا نقیض

ii. 𝛼 = 0.05

iii. N=16 , 𝑋 = 600, 𝑆𝑋 = 300

iv. 𝑡 = 𝑋− 𝜇

𝑆 𝑋=

600−700300

16

=−100

75= −1.33

v. 𝑡𝛼2,15 = 2.131

آزمون میانگین جامعه با نمونه کوچک : سوال دوم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

-2.131

0.025

2.131

0.025

0t = -1.33

Distribution PlotT; df=15

شود و ما رد نمی𝐻0پس فرض . قرار گرفته است𝐻0بدست آمده در منطقه tهمانطور که در شکل فوق مشخص است مقدار .دلیلی برای رد ادعای فوق نداریم

𝑆𝑖𝑔 >𝛼

2

آزمون نسبت جامعه: سوال سوم

استامناسبندانشگاهغذایکیفیتکهباورنداینبرمدیریتدانشکدهدانشجویاناکثراستشدهادعا.بینازنفره225تصادفینمونهیکادعااینبررسیجهت.(استدرصد50ازبیشترهاناراضیدرصد)

شکایتدانشگاهغذایکیفیتازآنهاازنفر105کهاستشدهانتخابمدیریتدانشکدهدانشجویان.نماییدبررسیرافوقادعایدرستیدرصد1خطاسطحدر.اندداشته

i. 𝐻0: 𝑃 ≤ نقیض ادعا 0.5𝐻1: 𝑃 > ادعا 0.5

ii. 𝛼 = 0.01

iii. N=225 , 𝑋 = 105

iv. 𝑍 = 𝑃− 𝑃0

𝑃0(1−𝑃0)

𝑛

=105

225−0.5

0.5×0.5

225

=−0.033

0.017= −2

v. 𝑍𝛼 = 2.326

آزمون نسبت جامعه: سوال سوم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

2.326

0.01

0Z = -2


.شودمیردونیستقبولقابلفوقادعایپسشودنمیرد𝐻0فرضپس.استگرفتهقرار𝐻0منطقهدرZمقداراستمشخصهمانطور

𝑆𝑖𝑔 ≫ 𝛼

.گرفتبود، ادعا مورد قبول قرار مینفر می122نکته قابل توجه این است که در نمونه فوق اگر تعداد افراد ناراضی حداقل . شاید شکل فوق کمی عجیب بیاید: نکته

آزمون انحراف معیار جامعه: سوال چهارم

انحرافکهتاسداشتهاعالمتوزچیتجارینامبااسنکهایانواعکنندهتولیددیناغذاییصنایعشرکتمختلفبسته36ادعااینبررسیجهت.استگرم7ازکمترشرکتاینچیپسکتلهایبستهوزنمعیار

بودهگرم6و97هابستهاینوزنمعیارانحرافومیانگین.ایمکردهانتخابتصادفبهراهاچیپساینراشرکتادعایدرصد99اطمینانسطحدر.کندمیپیروینرمالتوزیعازچیپسهایبستهوزن.است

.کنیدبررسی

i. 𝐻0: 𝜎 ≥ نقیض ادعا 7𝐻1: 𝜎 < ادعا 7

ii. 𝛼 = 0.01

iii. N = 36, 𝑋 = 97, 𝑆𝑋 = 6

iv. 𝑋2 =(𝑛−1)𝑆𝑋

2

𝜎2=

35×62

72=

2240

49= 25.71

v. 𝑋21−𝛼 ,35 = 18.51

آزمون انحراف معیار جامعه: سوال چهارم

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

De

nsit

y

18.51

0.01

X2 = 25.71

Distribution PlotChi-Square; df=35

قبولقابلفوقادعایپسشودنمیرد𝐻0فرضپس.استگرفتهقرار𝐻0منطقهدر𝑋2مقداراستمشخصهمانطور.شودمیردونیست

𝑆𝑖𝑔 > 𝛼

آزمون اختالف دو میانگین: سوال پنجم

نفره100فیتصادنمونهیکمدرستربیتدانشگاهوتهراندانشگاهدانشجویانعلمیسطحمقایسهجهتشرحهبدانشجویانایننمراتکلمیانگینمعیارانحرافومیانگین.استشدهانتخابدانشگاههراز

.اییدنمبررسیرادانشگاهدوعلمیسطحبودنبرابرفرضیهدرصد2خطایسطحبا.باشدمیذیلجدول

i. 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 ادعا𝐻1: 𝜇1 ≠ 𝜇2 نقیض ادعا

ii. 𝛼 = 0.02

iii. نمونه گیری مطابق جدول فوق

iv. 𝑍 =( 𝑋1− 𝑋2)−(𝜇1−𝜇2)

𝑆12

𝑛1+𝑆22

𝑛2

=16.82−15.97

1.642

100+2.262

100

=0.85

0.279= 3.047

v. 𝑍𝛼

2= 2.326

دانشگاه تربیت مدرسدانشگاه تهران

𝑛1 = 100n2 = 100

𝑋1 = 16.82𝑋2 = 15.97

𝑆1 = 1.64𝑆2 = 2.26

میانگیناختالف دو آزمون : سوال پنجم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

-2.326

0.01

2.326

0.01

0 Z = 3.047


.شود و ادعا مورد قبول نیسترد می𝐻0فرض پس. قرار گرفته است𝐻1در منطقه Zهمانطور که مشخص است

𝑆𝑖𝑔 <𝛼

2

با نمونه کوچکمیانگینآزمون اختالف دو : ششمسوال

بررسیجهت.استبیشترتومانهزار360یزدشهرخانوارهایدرآمدمتوسطازتهرانشهرخانوارهایدرآمدمتوسطاستشدهادعارابربترتیببهتهرانشهرهاینمونهدرآمدمعیارانحرافومیانگین.استشدهانتخابخانوار25تصادفیطوربهشهرهرازادعااین

فرضبا.باشدمیتومانهزار230و640برابرترتیببهیزدشهرهاینمونهدرآمدمعیارانحرافومیانگینوتومانهزار350و930.نماییدبررسیدرصد5خطایسطحبارافوقادعایصحت،خانوارهادرآمدواریانسبودنبرابر

i. 𝐻0: 𝜇1 − 𝜇2 = ادعا 360𝐻1: 𝜇1 − 𝜇2 ≠ 360 ادعا نقیض

ii. 𝛼 = 0.05

iii. N = 25, 𝑋1 = 930, 𝑆𝑋1 = 350, 𝑋2 = 640, 𝑆𝑋2 = 230

iv. 𝑆𝑝 =𝑛1−1 𝑆1

2+(𝑛2−1)𝑆22

𝑛1+𝑛2−2=

24×3502+24×2302

48= 296.142

𝑡 =( 𝑋1 − 𝑋2) − (𝜇1 − 𝜇2)

𝑆𝑝1𝑛1

+1𝑛2

=290 − 360

296.142 ×125

+125

=−70

83.76= −0.826

v. 𝑡𝛼2,48 = 2.011

با نمونه کوچکآزمون اختالف دو میانگین: سوال ششم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

-2.011

0.025

2.011

0.025

0t = -0.826


-نمیرد𝐻0فرضپس.استگرفتهقرار𝐻0منطقهدرآمدهبدستtمقداراستمشخصفوقشکلدرکههمانطور

نداریمفوقادعایردبرایدلیلیماوشود

𝑆𝑖𝑔 >𝛼

2

آزمون مقایسه زوجی: هفتمسوال

ایعاتضمیزاناستقادرنگهداریوتعمیربرنامهیکارائهباکهاستکردهادعاصنعتیمشاورهشرکتیکماشیننجپرویراپیشنهادینتبرنامهشرکت،اینادعایبررسیجهت.دهدکاهشراماشرکتصنعتیماشینهای

اجرایزابعدوقبلماشینپنجاینهفتهدرضایعاتتعداددهندهنشانزیرجدول.کردیماجراآزمایشیطوربه.نماییدبررسیدرصد5خطایسطحبارامشاورهشرکتادعای.باشدمینتبرنامه

i. 𝐻0: 𝜇𝑑 ≤ نقیض ادعا 0𝐻1: 𝜇𝑑 > ادعا 0

ii. 𝛼 = 0.05

iii. .نمونه گیری مطابق جدول فوق انجام شده است

𝑆 𝑑2 =

(𝑑𝑖 − 𝑑)2

𝑛 − 1=18

4= 4.5

iv. 𝑡 = 𝑑

𝑆 𝑑=

1

4.5= 0.222

v. 𝑡𝛼,4 = 2.132

12345دستگاه

152346719قبل

132442818بعد

𝒅𝒊21-41-1

(𝒅𝒊 − 𝒅)𝟐14940

آزمون مقایسه زوجی: سوال هفتم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

2.132

0.05

0 t = 0.22


شود و رد نمی𝐻0پس فرض . قرار گرفته است𝐻0بدست آمده در منطقه tهمانطور که در شکل فوق مشخص است مقدار .ادعای شرکت مشاوره مورد قبول نیست

𝑆𝑖𝑔 > 𝛼

آزمون اختالف نسبت دو جمعیت: سوال هشتم

خونیگروهدارایافراددرصد"استشدهادعاABاینبررسیجهت".استخانمهاازبیشترآقایاندرABخونیگروهدارایافرادتعداد.استشدهگرفتهخانم130وآقا100شاملتصادفیهاینمونهادعارافوقادعایدرستیدرصد5خطایسطحدر.استبوده34و28برابرترتیببهخانمهاوآقایاندر

.نماییدبررسی

i. 𝐻0: 𝑃1 ≤ 𝑃2 نقیض ادعا𝐻1: 𝑃1 > 𝑃2 ادعا

ii. 𝛼 = 0.05

iii. 𝑛1 = 100, 𝑋1 = 28, 𝑝1 = 0.28, 𝑛2 = 130, 𝑋2 = 34, 𝑝2 = 0.26

iv. 𝑍 =( 𝑝1− 𝑝2)−(𝑃1−𝑃2)

𝑝1𝑞1𝑛1

+𝑝2𝑞2𝑛2

=0.02

0.28×0.72

100+0.26×0.74

130

=0.02

0.059= 0.34

v. 𝑍𝛼 = 1.645

آزمون اختالف نسبت دو جمعیت: سوال هشتم

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

1.645

0.05

0 Z = 0.34


-میردونیستقبولقابلفوقادعایپسشودنمیرد𝐻0فرضپس.استگرفتهقرار𝐻0منطقهدرZمقداراستمشخصهمانطور

.شود

𝑆𝑖𝑔 > 𝛼

آزمون نسبت واریانس دو جمعیت: سوال نهم

باکهاندختهساتراشیماشینکهاستکردهادعاتلفنیتماسطیتبریزسازیماشینبازاریابیمدیروشدهانجامهایبررسیازپس.دهیمکاهشراخودتولیدیمحصوالتواریانسمیتوانیمآنازاستفاده

.استآمدهبدستمترمیلی0.2برابرنمونهمعیارانحرافمقدارجدیدتراشماشینازتایی16نمونهاخذشدهذکرمترمیلی0.27بابرابرشرکتکنونیتراشماشینتایی10نمونهازآمدهبدستمعیارانحراف

.نماییدبررسیراتبریزسازیماشینمدیرادعایصحتدرصد5خطایسطحدر.است

i. 𝐻0: 𝜎12 ≤ 𝜎2

نقیض ادعا 2𝐻1: 𝜎1

2 > 𝜎2ادعا 2

ii. 𝛼 = 0.05

iii. 𝑛1 = 10, 𝑆1 = 0.27, 𝑛2 = 16, 𝑆2 = 0.2

iv. 𝐹 =𝑆12

𝑆22 =

0.272

0.22= 1.82

v. 𝐹𝛼,9,15 = 2.588

آزمون نسبت واریانس دو جمعیت: سوال نهم

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

2.588

0.05

0 F = 1.82

Distribution PlotF; df1=9; df2=15

.شودمیردونیستقبولقابلفوقادعایپسشودنمیرد𝐻0فرضپس.استگرفتهقرار𝐻0منطقهدرFمقداراستمشخصهمانطور

𝑆𝑖𝑔 > 𝛼

آزمون فرضهای آماری پارامتریک

Business