األول الباب

المائع كينماتيكا

Kinematics of fluid

مقدمة:

� معا التطبيقية العلوم ومن النظرية العلوم من الموائع ميكانيكا علم يعتبر

. وسكونها الموائع حركة بدراسة العلم هذا ويختص

تلعب التي الخواص توضيح من البد الموائع ميكانيكا دراسة وفي

اإلطالق على تؤثر ال قد التي والخواص أهمية األقل والخواص � مهما � دورا

للمشاكل الحلول أبسط على للحصول ضروري وهذا الحركة على

التطبيقية.

الموائع: وتعرف

األوعية بشكل التشكل وعلى االنسياب على قادرة مواد بأنها

ولجميع مماسية قوى عليها أثرت إذا ساكنة الموائع تظل وال لها المحتوية

تغيير أي تقاوم ال تكاد � جميعا ولكنها لإلنضغاط ضئيلة ولو قابلية الموائع

. الشكل في

أو مؤينة تكون قد والموائع وسوائل غازات إلى الموائع وتقسم

محددة � أحجاما وتشغل لالنضغاط قابلة غير � عمليا والسوائل مؤينة غير

وإن لالنضغاط قابلة فهي الغازات أما حرة أسطح لها يكون أن ويمكن

قابلة غير الصغيرة السرعات في اعتبارها يمكن األحيان بعض في كانت

. لها المحتوي الوعاء أجزاء كافة لتمأل غازية كتلة أي وتتمدد لالنضغاط

قوة تحديد مشكلة بحل � تاريخيا الموائع ديناميكا علم ارتبط وقد

. فيه جسم حركة مائع بها يقاوم التي المقاومة

الموائع: ديناميكا الدراسة: في - مجاالت2

1

مجال في العاملون بها يهتم المسائل من هائلة أعداد توجد

: المسائل هذه بعض يلي وفيما الحاضر الوقت في الموائع ديناميكا

السرعة- 1 الفائقة الطائرات ألجسام األمثل الشكل تحديد مسائل

. والغواصات والقذائف والصواريخ وأشكالها أنواعها بكافة والسفن

2 . والتوربينات- النفاثة المحركات لمكونات األمثل الشكل مسائل

المواد- 3 من وغيرها والنفط الماء نقل لخطوط األمثل التصميم

المواد ومساحيق واألتربة الحبوب نقل � أيضا وكذلك السائلة،

. الشفط باستخدام مواسير في الصناعة في الداخلة الصلبة

المصحوبة- 4 للغازات الزمن على المعتمدة الحركة خصائص

أو الهواء في االحتراق عند تحدث التي كتلك كيماوية بتفاعالت

. واآلالت المحركات داخل

5 . والبحار- األنهار في الموجيه الحركة خصائص

المسامية- )6 األوساط في الموائع حركة وكيفية( Porousخصائص

المياه أو النفط عن البحث أو السدود تصميم عند بها االستفادة

الجوفية.

7 . الجوي- الغالف في الهواء حركة خصائص

عدة- 8 إلى حرارتها درجة تصل قد والتي البالزما حصر مسائل

ماليين.

بدراستها يهتم التي المسائل من العينة هذه في المعروضة واألمثلة

التطبيق حدود في نظرية دراسة الموائع ديناميكا حقل في العاملون

بعض. في المرضية اإلنجازات من الكثير إلى التوصل تم ولقد العملي

. الله إنشاء المستقبل في أكثر نجاحات في ونأمل المجاالت هذه

الموائع: حركة لوصف المختلفة - المداخل3

: وهما الموائع حركة إلى للنظر أساسيان مدخالن يوجد

2

جزئيات- 1 بين الفراغات تهمل وفيها متصلة � أوساطا الموائع اعتبار

في الميكانيكا وتسمى االتصال بفرض الفرض هذا ويسمى المائع

. المتصلة األوساط بميكانيكا الحالة هذه

انتقالية- 2 حركة تتحرك منفصلة جسيمات من مكونة الموائع اعتبار

بالمدخل المدخل هذا ويسمى الفراغات في وتذبذبية ودورانية

اإلحصائي.

فقط � ضروريا يكون اإلحصائي المدخل أن وجد العملية الناحية ومن

المخلخلة األوساط حالة المناسب Rarefied gasفي من يكون بينما

األخرى الحاالت في الحركة لوصف المتصلة األوساط ميكانيكا استخدام

حركة القادمة الفصول في نعتبر وسوف اإلحصائي، المدخل تعقيد لشدة

. متصلة كأوساط الموائع

- تعاريف: 4

: Fluid particle المائع - جسيم1

إذا � جدا الصغير الحجمي العنصر ذلك بأنه مائع في الجسيم يعرف

الجزيء بحجم قورن ما إذا � نسبيا والكبير المتحرك المائع بحجم قورن ما

. الفراغ في نقطة ويشغل

: Density مائع في نقطة عند - الكثافة2

مثل ما نقطة عند مائع كثافة من Aإليجاد � جدا � صغيرا � عنصرا نعتبر

بالنقطة يحيط العنصر )المائع هذا حجم (D mوكتلته( )D وليكن

. ما لحظة في

النســــبة ) ( تسمى عند( ) الكثافة متوسط أو المتوسطة Aبالكثافة

اللحظة، هذه في

النهاية عند أما المائع بكثافة بالرمز Aفتسمى لها وسنرمز

.

3

الكثافة أن النقطة ويالحظ إحداثيات في الزمن Aدالة وفي

كانت فإذا النقطة )Aكذلك الفراغ( x, y, zهي في ثابتة لمحاور بالنسبة

t: فإن الزمن

: Incompressible fluid لالنضغاط قابل الغير - المائع3

يكون : لالنضغاط قابل الغير المائع حالة في

بمرور تتغير وال المائع نقط جميع عند ثابتة تكون عندئذ الكثافة أن إذالزمن.

: ideal )perfect( fluidالتام( المائع )أو المثالي - المائع4

لزج غير مائع بأنه المثالي المائع بين inviscidيعرف يوجد ال أي

) قاصة ) مماسية قوى أو shearing forcesجزيئاته صغيرة كانت مهما

يوجد ال الحركة أثناء أو االتزان أثناء سواء جزيئاته بين فإن أخرى بعبارة

. العمودي الضغط قوى سوى

تؤثر جزيئاته فإن حركته أثناء الذي المائع فهو اللزج المائع أما

بقوى � أيضا بل العمودي الضغط بقوى فقط ليس البعض بعضها على

. الداخلي باالحتكاك تسمى والتي مماسية

: Volume and surfaces forces السطحية والقوى الحجمية - القوى5

-: القوى من مختلفان نوعان يؤثر أن يمكن مائع جسيم على

i -أو حجمية قوى وتسمى الوزن قوة مثل نقطة كل في تؤثر قوى

جسمية.

ii -سطحية قوى وتسمى المائع من عنصر أي سطح على تؤثر قوى

الذي الجسيم سطح على المائع باقي بها يؤثر التي القوى وتتمثل

حالة في العنصر سطح على عمودية تكون القوى وهذه ندرسه،

4

السطح على عمودية إحداهما مركبتان لها يكون بينما المائع سكون

. � متحركا المائع يكون حينما فقط تظهر مماسية والثانية

: Pressure مائع في ما نقطة عند - الضغط6

ما نقطة عند مائع ضغط أن Aإليجاد مساحة Dsنفرض عنصر

بالنقطة هي Aيحيط عليه المؤثرة القوى محصلة أن نتيجة Dfولنفرض

النسبة تسمى الخارجي الوسط أو المائع بقية بالضغط تأثير

النقطة عند النهاية Aالمتوسط أما

عند بالضغط فتسمى وجدت بالرمز Aإذا له أن Քويرمز دالة Քويالحظ

إحداثيات أن Aفي أي كذلك الزمن )Ք = Ք )x, y, z, tوفي

المساحة على � عموديا الضغط يكون المثالي المائع حالة Dsوفي

كان فإن فإذا الخارج إلى السطح على العمودي المتجه Ք = -p nوحدة

. فقط المثالي المائع حالة في

المائع: لجسيم السرعة - متجه7

A A`

+

o

اللحظة في أنه الموضع tنفرض في المائع جسيمات أحد Aكان

( o، حيث اللحظة ) وفي المائع في وليس الفراغ في ثابتة نقطة،

5

(t + Dt) الموضع تشغل خالل. حيث `Aصارت أنه أي

الزمنية بالمتجه Dtالفترة تعرف المائع لجسيم الخطية اإلزاحة فإن

عند المائع سرعة اللحظة Aتعرف لها tفي سنرمز والتي

qبالرمز

كاآلتي :

السرعة متجه أن الواضح الوضع ومن متجه في دالة ،

أن أي كذلك الزمن أو وفي

النقطة (x, y, z)حيث إحداثيات لمحاور Aهي بالنسبة

هي األصل ونقطة الفراغ في . oثابتة

كانت المحاور (u, v, w)وإذا اتجاهات في السرعة مركبات هي

: فإن الكارتيزية

يكون : ثم ومن

السرعة متجه أخذ نقط وإذا من نقطة كل عند محددة قيمة

المتجه أن قيل qالمائع

� مجاال . fieldيعرف السرعة مجال يسمى

نتصور االتجاهي السرعة لمجال طبيعي معنى على وللحصول

صورة ونأخذ المائع مع تتحرك مضيئة مادة من صغيرة دقائق وجود

النقط مسار أن فنجد صغيرة زمنية فترة خالل للمائع فوتوغرافية

التي المسافة على طولها يعتمد قصيرة خطوط عن عبارة المضيئة

نجد الحقيقية وللموائع التصوير، فترة خالل المضيئة النقط هذه تقطعها

الحركة وتسمى منتظمة لخطوط أجزاء هي الصغيرة المسارات هذه أن

6

انسيابية خطية حركة (. streamline motionعندئذ رقائقى ) )سريان

Laminar flow)

k k k k k k k k k

منتظم غير � توزيعا موزعة الصغيرة المسارات هذه كانت إذا أما

أو فوضوية أو عفوية حركة بأنها الحالة هذه في توصف المائع حركة فإن

. turbulent motionاضطرابية

steady motion الالزمنية - الحركة8

وكذلك السرعة مركبات �من كال فإن مائع لحركة العامة الحالة في

) وفي ) الموضع �في دواال تكون لالنضغاط القابل للمائع والكثافة الضغط

أن أي الزمن

u = f1 )x, y, z, t( , v = f2 )x, y, z, t(

w = f3 )x, y, z, t( , = f4 )x, y, z, t(

P = f5 )x, y, z, t(

الفراغ في ثابتة النقطة أن مركبات (x, y, z)واحداثياتها أي فإن

مرور مع تتغير أنها أي الزمن في � دواال تكون والضغط والكثافة السرعة

الزمنية بالحركة تسمى الحركة هذه مثل إذا unsteady motionالزمن أما

مرور مع ما نقطة عند تتغير ال والكثافة والضغط السرعة مركبات كانت

زمنية ال حركة تسمى الحركة هذه فإن وعندئذ steady motionالزمن

تكون :

u = f1 )x, y, z( v = f4 )x, y, z(

w = f3 )x, y, z( = f4 )x, y, z(

P = f5 )x, y, z(

يكون : الالزمنية الحركة في أنه أي

7

Streamlinesاالنسيابية: - الخطوط9

أن بحيث المائع في مرسوم منحنى بأنه االنسيابي الخط يعرف

اتجاه ) المائع حركة اتجاه على ينطبق عليه نقطة أي عند له المماس

. النقطة( نفس عند السرعة

z

x

M

o y

x

أن نفرض االنسيابي للخط التفاضلية المعادلة عنصر وإليجاد

النقطة عند منه عند Mطولي السرعة متجه حيث من هو Mعليه

السرعة متجه أن نالحظ للخط التعريف المماس على ينطبق

عند أن :Mاالنسيابي أي

.

-: يكون ذلك وعلى

للخطوط التفاضلية بالمعادالت تسمى األخيرة المعادالت هذه

هذه موضع على المائع من نقطة أي سرعة تعتمد وعندما االنسيابية

ألخرى لحظة من تتغير االنسيابية الخطوط فإن الزمن وعلى النقطة

يسمى ما تكون لحظة أي عند االنسيابية الخطوط هذه ومجموعة

االنسيابية . flow patternبالحزمة اللحظة نفس عند

8

Stream tubes االنسيابية - األنابيب10

المنحنى خالل االنسيابية الخطوط السطح cبرسم يحدد sالذي

مقطع يكون وعندما االنسيابية األنبوبة باسم يعرف ما على نحصل

األنبوبة باسم تعرف االنسيابية األنبوبة فإن � جدا صغير االنسيابية األنبوبة

فإن stream filamentالشعرية زمنية ال المائع حركة تكون وعندما

. خاللها المائع ينساب المادية كاألنابيب تكون االنسيابية األنابيب

لألنبوبة المنحنى السطح خالل ينساب ال المائع فإن التعريف ومن

حركة فإن ذلك وعلى الفراغ في ثابتة المنحنية السطوح وهذه االنسيابية

المنحنية السطوح استبدلنا لو تتغير ال االنسيابية األنبوبة داخل المائع

. ) صلبة ) مادة من بسطوح المائع في � تصورا المرسومة

: Pathlines المسارية - الخطوط11

نقط ترسمها التي المنحنيات بأنها المسارية الخطوط تعرف

للخطوط التفاضلية المعادالت فإن ذلك وعلى حركتها أثناء المائع

: هي المسارية

اتجاه في � دائما يكون المائع من نقطة حركة اتجاه أن وحيث

المسارية الخطوط فإن المسار اتجاه في أي اللحظة هذه عند السرعة

. المائع لنقط اللحظي الموقع نفس عند االنسيابية الخطوط تمس

زمنية ال المائع حركة تكون االنسيابية steadyوعندما الخطوط فإن

. المسارية الخطوط على تنطبق

زمنية المائع حركة كانت إذا االنسيابية unsteadyأما الخطوط فإن

. المسارية الخطوط على تنطبق ال

9

c

s

الخارجية: والمسائل الداخلية - المسائل12

. األجسام داخل المائع فيها يتحرك التي هي الداخلية المسائل

حول المائع فيها يتحرك التي المسائل فهي الخارجية المسائل أما

األجسام.

المحاضرة** نهاية

المائع: حركة دراسة - طرق5

: يلي فيما نلخصها الموائع حركة لدراسة طريقتان توجد

. Euler's method أويلر - طريقة1

سوف والتي الموائع حركة لدراسة األساسية الطريقة وهي

حركة دراسة في ليس تتلخص الطريقة هذه المقرر هذا في نستخدمها

) بالمائع ) المشغول منه جزء أو الفراغ دراسة في بل نفسه المائع

المتحرك.

المشـــغول الفراغ في ما نقطة نختار الطريقة هذه ففي لذلك

: � مثال باحداثياتهـــا الفراغ (x, y, z)بالمائـــع في ثابتة لمحاور بالنسبة

السرعة ) – – الضغط الحركة لعناصر تحدث التي التغيرات وندرس

دراسة( وكذلك ألخرى الفراغ في نقطة من االنتقال عند ، وغيرها

. الزمن مرور مع الفراغ في ثابتة نقطة عند العناصر هذه في التغيرات

هي متغيرات األربع دالة اعتبارها يمكن � مثال فالسرعة هذا ,x, y, z)وعلى

t) حيثt . أويلر بمتغيرات تسمى المتغيرات وهذه الزمن

الكارتيزية المحاور من مجموعة لدينا كان إذا ذلك وعلى

لها بالنسبة السرعة مركبات وكانت : ,(u, v, w)المتعامدة فإن

u = u )x, y, z, t( = f1 )x, y, z, t(

v = v )x, y, z, t( = f2 )x, y, z, t(

w = w )x, y, z, t( = f3 )x, y, z, t(

10

الدوال فإن متصلة حركة المائع حركة دواال f1, f2, f3وبإعتبار تكون

المائع من نقطة مسار إليجاد الحالة هذه وفى القيمة ووحيدة متصلة

بالصورة : السابقة المعادالت نكتب

التكامل بعد اآلتية الصورة تأخذ حيث

x = j1 )t, a, b, c(; y = j2 )t, a, b, c(; z = j3 )t, a, b, c(

هي اختيارية ثوابت ثالث على تشتمل المعادالت a, b, cوهذه

وبحذف ، االبتدائية بالشروط تعيينها الثالث tيمكن المعادالت هذه بين

. من جسيم عجلة مركبات وتعرف المسار معادلة على نحصل األخيرة

-: كاآلتي أويلر متغيرات في المائع

يكون ذلك وعلى

وبالمثل :

الجرانج: - طريقة2

المائع من معينة جسيمات حركة ندرس الطريقة هذه في

عند المائع في ما نقطة احداثيات كانت فإذا مسارها على المتحرك

11

لحظة (a, b, c)هي t = oاللحظة أي في النقطة هذه إحداثيات tفإن

�في (x, y, z)وهي دواال الزمن (a, b, c)ستكون المتغيرات tوفي وتسمى

:- (a, b, c, t)األربعة فإن ذلك وعلى الجرانج بمتغيرات

x = Y1)a, b, c, t(; y = Y2)a, b, c, t(; z = Y3)a, b, c, t(

بالتكامل أويلر طريقة في المسار معادالت على نحصل وبينما

وتكون األخيرة المعادالت من عليها نحصل الجرانج طريقة في فإننا

-: كاآلتي الجرانج طريقة في والعجلة السرعة مركبات

equation of continuity االتصال - معادلة6

مصب أو منبع أي الدراسة تحت منه جزء أو المائع يحوي ال عندما

) بسطح) المحاط المائع كتلة فإن بعد فيما والمصب المنبع سنعرف

. المادة ثبوت بمبدأ � عمال ثابتة تكون مقفل

S

ds

Ω

باسم يعرف فيما � رياضيا المبدأ هذا صياغة سنحاول يلي وفيما

االتصال، معادلة

� مقفال � سطحا تعتبر االتصال معادلة المائع sإليجاد في � ثابتا

المائع من � حجما ويحد فيه � كتلة Ωمرسوما ازدياد معدل ونعتبر داخله

12

السطح خالل المائع sالمائع من � حجميا � عنصرا نعتبر ومساحة dΩلذلك

به المحيط اللحظة dsالسطح في المائع كثافة . هى tولتكن

اللحظة السطح tعند داخل المائع كتلة هي :sتكون

اللحظة t + Dtعند

تصبح المائع هذا كتلة فإن

السطح خالل الكتلة ازدياد هو sمعدل

فإنه : ناحيةأخرى ومن

كانت ما على وإذا الخارج إلى العمودي المتجه وحدة هي

dsالسطح

خالل المائع انسياب معدل هو sفإن الفيض أو

العنصر، حيث نظرية سرعة حسب وذلك المساحة متجه

-: الحجمي والتكامل السطحي التكامل بين للعالقة جاوس

\ : هي االتصال معادلة

13

الحجم إن : Ωوبما هي تكون االتصال معادلة فإن اختياري

المعادلة الكتلة بقاء أو حفظ مبدأ تمثل التي المعادلة هي وهذه

-: كاآلتي أخرى صورة في وضعها يمكن األخيرة

الحجمي- التكامل بين العالقة بإستخدام اإلتصال معادلة استنتج

السطحي . والتكامل

: الصورة تأخذ االتصال معادلة فإن لذلك

: الصورة االتصال معادلة تأخذ وبذلك

فإن لالنضغاط قابل غير المائع كان إذا وما

: الصورة تأخذ لالنضغاط قابل الغير للمائع االتصال معادلة فإن وعندئذ

فإن : زمنية ال الحركة كانت وإذا

14

بالصورة عندئذ االتصال معادلة وتكون

. الصورة في أو

الحركة وتكون عامة حركة يتحرك ال المائع أن يتبين هذا ومن

. االتصال معادلة تحققت إذا إال ممكنة

� لزجا المائع كان سواء صحيحة االتصال معادلة أن أو viscousكما

. لزج غير

اإلتصال- لمعادلة المختلفة الصيغ أكتب

: Velocity Potential السرعة - جهد7

السرعة- جهد عرف

اللحظة عند المائع سرعة محاور هي tلتكن اتجاهات في ومركباتها

هي : كاتيزية

(u, v, w) المقدار إلى نظرنا u d x + v d y + w d zإذا

الكلي التفاضل المقدار هذا يمثل لكي إنه البحتة الرياضة من نعرف فإننا

ما :- )j )x, y, zلدالة يكون أن هو لذلك والكافي الضروري الشرط فإن

: القياسية الدالة تعريف أمكن :)j )x, y, zفإذا يكون بحيث

u d x + v d y + w d z = - d j

الدالة السرعة تسمى jفإن جهد .بدالة قياسية دالة وهي

ولكن:

15

يكون : ثم ومن

……………..

)2(

: 2العالقة ) بالصورة( كتابتها يمكن

……………………… )3(

والكافي ) الالزم بالصورة( :1الشرط كتابته يمكن

…………… )4(

ويمكن .j = constوالسطوح الجهد تساوي بسطوح تسمى

. التعامد على االنسيابية الخطوط تقطع السطوح هذه أن إثبات

الشرط ) يتحقق . 4وعندما جهدية( حركة المائع حركة أن يقال

جهدية- . المائع حركة تكون أن شرط هو ما

أن : وبما

: dsحيث لكن المسار منحنى من طولي عنصر

16

يكون : وبذلك

التفاضلي المعامل تساوي ما اتجاه في السرعة مركبة أن أي

االتجاه لهذا المناظر لإلحداثي بالنسبة السرعة جهد لدالة الجزئي

سالبة . وبإشارة

التفاضلي المعامل تساوي ما اتجاه في السرعة مركبة أن إثبت

االتجاه لهذا المناظر لإلحداثي بالنسبة السرعة جهد لدالة الجزئي

سالبة وبإشارة

باستخدام المستوية الحركة حالة وهى خاصة حالة وفي

: يكون القطبية اإلحداثيات

j = j )r, q(

تزايد اتجاه في السرعة مركبة هي :rوتكون

17

على عمودي اتجاه في السرعة تزايد rومركبة هي :qجهة

المركبة فإن الكرية، اإلحداثيات باستخدام الفراغ في الحركة حالة وفي

: هي للسرعة الثالثة

يكون : الحالة هذه في حيث

j = j )r, q, Y(

الصورة : تأخذ االتصال معادلة فإن الجهدية الحركة حالة وفي

الجهدية- . الحركة حالة في اإلتصال معادلة إستنتج

لالنضغاط قابل غير المائع كان فإذا

إلى : تؤول االتصال معادلة فإن

18

الدالة وتسمى البالس بمعادلة تسمى األخيرة المعادلة التي jهذهالتوافقية بالدالة البالس معادلة . harmonicتحقق

دالة تكون لالنضغاط قابل غير لمائع الجهدية الحركة فإن وبذلكدورانية الغير بالحركة كذلك الجهدية الحركة وتسمى توافقية، دالة الجهد

irrotational .

دالة تكون لإلنضغاط قابل غير لمائع الجهدية الحركة حالة في أنه - إثبت

توافقية دالة الجهد

: Vorticity Vector الدوامة - متجه8

المتجه :

الدوامة ) أو الدوامة متجه ( .vortexيسمى

الدوامة- . متجه عرف

كان : إذا دورانية غير أو جهدية الحركة تكون ذلك وعلى

كان : إذا دورانية أما تكون الحركة . rotationalفإن

الدوامي الخط مرسوم Vortex lineويعرف منحنى بأنه مائع في

على � منطبقا عليه نقطة أي عند له المماس اتجاه يكون بحيث المائع في

النقطة . هذه عند الدوامي المتجه اتجاه

الدوامي- . الخط عرف

كانت الدوامة ,(zx , zy , zz)وإذا متجه مركبات فإن هي : هي الدوامية للخطوط التفاضلية المعادالت

الدوامية- . للخطوط التفاضلية المعادالت أكتبينطبقان ال االنسياب وخط الدوامي الخط فإن العامة الحالة وفي

الخطوط رسم أمكن وإذا المائع، من النقطة نفس عند بعضها علىيسمى ما يتكون فإنه المائع في مرسوم مقفل، منحنى من الدوامية

الدوامية . Vortex tubeباألنبوبة

c

19

: Circulation - الدوران9. المائع دوران - عرف

c

كان المائع، cإذا داخل � مرسوما الفراغ في � ثابتا � مقفال � منحنيا

المقفل sوكانت المنحنى داخل السطح مساحة الدوران cهي فإن

المائع :-لسرعة كاآلتي يعرف

المنحنى حيث من طولي ، cعنصر dS المساحة من مساحة Sعنصر

.

. الدوامة متجه هي هنا

من الدوران فإن مغلق غير المنحنى كان النقطة Aوإذا على Bإلى

-: كاآلتي يعرف المنحنى

الشمال على المساحة بقيت إذا � موجبا الدوران يكون الحالتين كال وفي

-: فإن جهدية الحركة فيها تكون التي الحالة وفي الدوران أثناء

: حيث السرعة جهد دالة

الدوران : يكون وعندئذ

20

S

ال- الجهدية الحركة حالة في منحنى أي على لمائع الدوران أن إثبت

المنحنى . شكل على يتوقف

منحنى أي على الدوران أن معناه الحركة A Bوهذا حالة في

الجهد دالة بين الفرق ويساوي المنحنى شكل على يتوقف ال الجهدية

الدوران فإن � مقفال المنحنى كان إذا ثم ومن النهائيتين، النقطتين عند

كانت إذا � صفرا إذا يساوي صحيح غير ذلك ويكون القيمة وحيدة دالة

تكن .لم القيمة وحيدة دالة

10 : أمثلة-

: 1مثال

: هي مائع في ما لنقطة السرعة مركبات كانت إذا

u = - k y , v = k x , w = o

: kحيث االنسيابية الخطوط فأوجد ثابت

الحل

نستنتج ثم ومن الزمن على تتوقف ال السرعة مركبات أن واضح

فإن كذلك االنسيابية الخطوط معادلة على تنطبق المسار معادلة أن

ألن مستوية الحركة االنسيابية w = oهذه للخطوط التفاضلية المعادلة

هي:-

أن : نجد وبالتكامل

21

x2 + y2 = c2

. cحيث ثابت

تكون عندما ذلك عن o < cوعلى عبارة تكون االنسيابية الخطوط فإن

األصل . نقطة هو الذي المركز المتحدة الدوائر من مجموعة

: 2مثال

المحاور اتجاهات في متحرك مائع في ما نقطة سرعة مركبات كانت إذا

هي:

u = x + t , v = - y + t , w = o

فأوجد

i -بالنقطة المار االنسيابي الخط معادلة ثم االنسيابية الخطوط معادلة

A )-1, -1(

اللحظة . (t = o)في

ii -النقطة الموضع Mمسار تشغل كانت اللحظة )A )-1, -1التي في

(t = o) .

الحل

. زمنية مستوية الحركة أن واضح

: هي االنسيابية للخطوط التفاضلية المعادلة

باعتبار أن tوبالتكامل نجد ثابت

Lin )x + t( = - lin )-y + t( + lin c

: cحيث التكامل ثابت

)x + t( )-y + t( = c

22

من مجموعة تمثل لحظة كل في االنسيابية الخطوط مجموعة أن أي

بالنقطة يمر الذي االنسيابي الخط وإليجاد الزائدة )A )-1, -1القطوع

اللحظة :- (t = o)في أن. نجد األخيرة المعادلة في بالتعويض فإنه

هي المطلوب االنسيابي الخط فمعادلة هذا x y = 1وعلى

: أن فبما المسار معادلة وإليجاد � زائدا � قطعا تمثل وهي

المجموعة ) معادالت نكامل أن يجب ( 1لذلك

المعادلة :

هو : تكاملها عامل خطية معادلة

: هو حلها يكون وبذلك

يكون t = oعندما x = -1ولكن ثم c1 = oومن

\ x = - t – 1 ………………. )2(

: أن بما بالمثل

أن يكون : c2 = oفإن t = o عندما y = -1وبما وبذلك

y = t – 1 ………………….. )3(

23

أن : (3)، (2)بين tوبحذف x + y = - 2نجد

. � مستقيما � خطا تمثل أنها وواضح المطلوبة، المسار معادلة هي وهذه

على تعتمد أنها أي زمنية الحركة كانت إذا أنه يتضح المثال هذا ومن

الخطوط معادالت عن تختلف االنسيابية الخطوط معادالت فإن الزمن

المسارية.

: 3مثال

الكروية باإلحداثيات االتصال معادلة األولية المبادئ من استنتج

القطبية.

الحل

-: هي أحرفه أطوال الشكل في كما المائع من � عنصرا نأخذ لذلك

dY dr

r sin q dY

q r d q

dr , r d q , r sin q dY

السرعة مركبات qr , qq , qY هى

ولتكن

24

. السابقة العناصر اتجاهات في

الوجه \ انسياب r2 sin q d Y d qخالل زيادة تكون له المقابل والوجه -: هو الزمن وحدة في الخارج عن الداخل المائع

للوجه هي r sin q d Y d rوبالنسبة الزيادة تكون له المقابل والوجه

الوجه : r d q d rوخالل هي الزيادة تكون له المقابل والوجه

: هي العنصر كتلة ازدياد معدل فإن كذلك

: هي االتصال معادلة

فإن : مستوية الحركة كانت وإذا

باستخدام للمائع المستوية للحركة االتصال معادلة فإن ذلك وعلى

: هي القطبية اإلحداثيات

25

الثاني الباب

لالنضغاط قابل غير مائع لحركة األساسية المعادالت

اإلجهاد- 1 : Stress tensorممتد

باألتجاهات . مرتبطة عناصرها مصفوفة هو الممتد

الممتد- اإلجهاد .–عرف عرفممتد y

Pxx pxz Pzx pz z

Pxy pyz pzy

Pzx Pxy M Pxy Pyx pyz

dy dz pyy

dx x

z

هيئة على الصغر في � متناهيا المائع من حجمي عنصر باعتبار

هي أحرفه أطوال مستطيالت توازي dx, dy, dzمتوازي وأوجهه

. لزج المائع هذا ان بفرض وذلك الشكل في كما اإلحداثيات مستويات

) سطوحه ) أوجه من وجه أي من المساحات وحدة على المؤثرة القوة

اللزج المائع حالة في السطح على عمودية ليست وهي باإلجهاد تسمى

26

السطح على عمودية إحداها مركبات ثالث إلى تحليلها يمكن وإنما

وتسمى السطح مستوى في واألخريان العمودي باإلجهاد وتسمى

بالرمز لإلجهاد نرمز وسوف المماسية، الرمز pباإلجهادات وفي أو

االعتبار تحت الوجه على العمودي للمحور ترمز األولى الحقتان أسفلة

حلل الذي لالتجاه أي المركبة التجاه ترمز والثانية اإلجهاد عليه يؤثر الذي

اليسار إلى الوجه على تؤثر الموضح الرسم في � فمثال اإلجهاد، فيه

محور عليه اإلجهاد xوالعمودي الذي pxx, pxy, pxzمركبات الوجه وعلى

محور هو عليه اإلجهـــادات yالعمودي الوجه. pyx, pyy, pyzتؤثر وعلى

محور هو عليه العمودي اإلجهادات zالذي pzx, pzy, pzzتؤثر

اإلجهادات أن باقي pxx, pyy, pzzوواضح بينما عمودية إجهادات هي

وهي وعند pxy, pxz, pyx, pyz, pzx, pzyاإلجهــــادات مماسية، إجهادات هي

متوازي أوجه على المماسية واإلجهادات العمودية اإلجهادات توزيع

اتجاه يكون أن نشترط سوف المستطيالت

وعلى الخارج إلى الوجه على العمودي اتجاه في العمودية اإلجهادات

بالنقطة المار أوجه لإلجهاد )M )x, y, zالثالثة المماسية المركبات تأخذ

األخرى الثالثة األوجه على بينما اإلحداثيات لمحاور السالب االتجاه في

شرطي االختيار هذا اإلحداثيات لمحاور الموجب االتجاه في ها نأخذ

. وبذلك اللزج المائع لحركة التفاضلية المعادالت الستنتاج أنسب ولكنه

النحو على كتابتها يمكن مركبات تسع العنصر سطح على لإلجهاد يكون

التالي:-

في - متناهي المائع من حجمي عنصر على اإلجهاد مركبات وزع

مستطيالت . متوازي هيئة على الصغر

والمماسية- .- العمودية اإلجهاد مركبات هي ما

المثالي- .- المائع حالة في اإلجهاد مركبات أكتب

27

يتحدد مائع في ما نقطة عند اإلجهاد بأن القول يمكن ثم ومن

. الثانية الرتبة من ممتد وهو اإلجهاد بممتد يسمى ما تكون كميات بتسع

) قطرية ) الغير العناصر تكون لزج الغير المثالي المائع حالة في

وال � مقدارا متساوية القطرية العناصر وتكون الصفر مساوية الممتد في

. المحاور اتجاهات على تعتمد

2 : اإلجهاد- ممتد تماثل

متماثل- . اإلجهاد ممتد أن إثبت

y pyx + dpyx

Pxy pxy + d pxy

pyx

x

z

مجموع ونوجد السابق البند في المذكور العنصر ندرس سوف

محور يوازي محور حول العنصر على المؤثرة القوى بمركز zعزوم مار

الرابعة cالعنصر الدرجة من الصغر في المتناهية المقادير إهمال مع

العنصر) بمركز تمر ألنها الجسمية القوى عزوم إهمال يمكن ثم ومن

.) ( ) الرابعة ) × الدرجة من ألنها العجلة الكتلة القصور قوى وعزوم

بالشكل مبينة المذكور المحور حول � عزما تسبب التي اإلجهادات قوى

-: أن نجد ثم ومن

28

أن : إثبات يمكن وبالمثل

. متماثل اإلجهاد ممتد أن أي

بند ) من المذكور التسعة اإلجهادات مركبات بين من أن يتضح ذلك ومن

1 . مستقلة( فقط ستة يوجد

ثالث تحددها منه نقطة أي عند لمائع اإلجهاد حالة فإن أخرى بعبارة أو

مساحات ثالث على مماسية أخرى وثالثة عمودية إجهاد مركبات

. النقطة هذه عند تتقاطع متعامدة

بداللة- 3 لالنضغاط قابل غير لزج مائع حركة معادالت

اإلجهادات:

اإلجهادات- . بداللة لإلنضغاط قابل غير لزج مائع حركة معادالت إستنتج

فقط يظهر ال اللزوجة تأثير أن توضح اللزج المائع حركة دراسة إن

) في ) � أيضا بل الداخلي االحتكاك قوي المماسية اإلجهادات وجود في

المائع حالة في مقاديرها مع بالمقارنة العمودية اإلجهادات مقادير تغيير

حالة. في منها صعوبة أكثر الحركة معادالت صورة يجعل وهذا المثالي

. تكاملها عند وذلك المثالي المائع

� متناهيا المائع من � عنصرا نعتبر اللزج المائع حركة معادالت والستنتاج

اإلحداثيات محاور توازي أحرفه مستطيالت متوازي هيئة على الصغر فى

29

:- ) dx, dy, dzوأطوالها العنصر شكل نوعان العنصر على المؤثرة القوى

بند في (. 1مرسوم

الجسمية- 1 القوى مركبات أن ولنفرض حجمية أو جسمية لوحدةقوى

هي الكتل المحاور اتجاهات في العنصر على . X, Y, Zالمؤثرة

ويمثلها- 2 العنصر على المائع بقية تأثير عن والناشئة سطحية قوى

. العنصر أوجه على اإلجهادات

محور اتجاه في الحركة معادلة � أوال .xنكتب

محور اتجاه في اإلجهاد مركبات حسابنا في ندخل الحالة هذه في

x هي الثانية الالحقة فيها . xالتي

: العمودية بالمركبات � أوال لنبدأ

العمودية القوة تؤثر األيسر الوجه المقابل (pxx dy dz)-على الوجه على

القوة هي تؤثر القوتين هاتين ومحصلة

االعتبار في فقط نأخذ المماسية اإلجهادات ,pzxومن

pyx اتجاه في الخلفي الوجه على المؤثر المماس اإلجهاد قوة مركبة

[pzx dy dx] -هي : xمحور

األمامي : الوجه وعلى

هي القوتين هاتين ومحصلة

السفلي الوجهين على المؤثرتين المماستين القوتين محصلة وبالمثل

محور اتجاه في : xوالعلوي وهي

محور اتجاه في الحركة هي xمعادلة

30

-: هي الثالثة المحاور اتجاهات في الحركة معادالت تكون ثم ومن

المائع u, v, wحيث عنصر سرعة . مركبات كثافته

اإلجهادات (1,2,3)المعادالت بداللة لزج لمائع الحركة بمعادالت تسمى

. االتصال معادلة وهي رابعة معادلة المعادالت هذه إلى ويضاف

4) ( : الريهولوجى- هو به المقصود المعمم نيوتن قانون

لإلنضغاط- . قابل الغير اللزج للمائع ستوكس نافيير معادالت أستنتج

ثالث ) أربعة عددها اإلجهاد مركبات باستخدام الحركة معادالت

) وهي المجاهيل بينما االتصال ومعادلة حركة ,u, v, w, pxx, pxyمعادالت

pxz, pyz, pyy, pzz حتى جديدة معادالت إضافة يلزم لذلك تسعة عددها

. عن المعادالت هذه وتأتي المجاهيل لعدد � مساويا المعادالت عدد يكون

تكون أي النيوتيني الفرض أشهرها ومن جديدة فروض وضع طريق

الحالة هذه وفي السرعة وتفاضالت اإلجهاد مركبات بين خطية العالقة

-: التالي النحو على العالقة � مثال فنفرض النيوتوني، بالمائع المائع يسمى

لمائع- والسرعة اإلجهاد مركبات بين للعالقة النيوتوني الفرض أكتب

لإلنضغاط . قابل غير لزج

31

على نحصل بالجمع

: أن فنجد االعتبار في االتصال معادلة بأخذ

الحسابي المتوسط أخذه يمكن اللزج المائع في الضغط أن أيبإشارة ولكن متعامدة مساحات ثالث أية على العمودية لإلجهادات

فتوضع المماسية اإلجهاد مركبات بينما مخالفة،

هي مجاهيل وأربعة معادالت أربع لدينا . u, v, w, pوبذلكاتجاه في الحركة معادلة في الفروض بهذه :- xبالتعويض أن نجد

-: أن نجد االتصال معادلة باستخدام

معادلة المقدار وبالمثل الديناميكي اللزوجة بمعامل ويسمى ثابت

اتجاه في : y, zالحركة تصبح

32

قابل الغير اللزج للمائع ستوكس نافيير بمعادالت تسمى المعادالت وهذه

: االتجاهية الصورة في كتابتها يمكن والتي لالنضغاط

الكتل، حيث لوحدة الحجمية ومركباته القوة السرعة ,u, v)متجه

w) هذه وحلول حدية وكذلك ابتدائية شروط يلزمنا المعادالت هذه لحل

توجد ولكن اآلن حتى إليه التوصل يتم لم العامة الصورة في المعادالت

جزئية تفاضلية معادالت ألنها وذلك منها الخاصة الحاالت لبعض حلول

-: كاآلتي تفصيلها يمكن خطية غير

: حيث الكينماتيكي اللزوجة بمعامل يسمى

: الصلبة السطوح على الحدية والشروط االبتدائية الشروط

الصلبة- . السطوح على الحدية والشروط اإلبتدائية الشروط أكتب

المجاهيل قيم معرفة كذلك يلزم السابقة المعادالت على عالوةوفي للمسألة، االبتدائية بالشروط يسمى ما وهذا الزمن بدء لحظة عند

فإن مسامية وغير صلبة متحركة غير أنابيب في لزج مائع حركة حالةسرعة ) الصفر تساوي أن يجب الجدار عند المماسية السرعة مركبات

) عدم بشرط هذا ويسمى الجدار سرعة تساوي الجدار عند المائعأن يجب والجدار المائع لسرعتي العمودية المركبة فإن كذلك االنزالق

بشرط الشرط هذا ويسمى الجدار خالل المائع نفذ وإال واحدة تكون . المماسية السرعة بين فرق يوجد المخلخلة الغازات في النفاذية عدم

بالسرعة يسمى بينهما الفرق وهذا الجدار سرعة وبين الجدار عند للمائعاالنزالقية.

اإلنزالق- عدم شرط النفاذية –أذكر عدم اإلنزالقية .–شرط السرعة

33

جزئية تفاضلية معادالت هي ستوكس نافيير معادالت أن ويالحظ

مجاهيل أربعة في خطية أربعة (u, v, w, p)غير في دالة منها وكل

وهي (x, y, z, t)متغيرات

في إال معروفة غير المضبوطة وحلولها التعقيد شديدة معادالت

مثل ) � تقريبا حلها إلى نلجأ العملية المسائل معظم وفي معدودة حاالت

) حل إلى يلجأ قد أخرى أحوال وفي العددية والطرق االضطراب نظرية

. المعامل في تجارب بإجراء المسائل

الموائع حركة مسائل بعض حلول

لالنضغاط قابلة الغير اللزجة

اللزج، المائع لحركة ستوكس نافيير لمعادالت عام حل يوجد ال

بالحركة مرتبط ومعظمها حلها أمكن محددة مسائل فهناك ذلك ورغم

كبيرة ليست ولسرعات أسطواني تماثل وجود حالة في أو واحد بعد في

. المسائل هذه بعض يلي فيما ندرس وسوف الرقائقي السريان حالة في

1: الالزمني- كويت سريان

الالزمني- . كويت أدرسسريان

y

u =

h

u = o x

بعد في الحركة وهو الطول نهائية ال مستوية قناة في السريان وهو

أحدهما متوازيين نهائيين ال مستويين بين لزج مائع حركة ويناظر واحد

34

ثابتة بسرعة يتحرك واآلخر وعلى ثابت الزمن على تعتمد ال والحركة

ستوكس نافيير معادالت في نضع فإننا ذلك

p = const , v = w = o

تؤو لالنضغاط قابل غير المائع حيث االتصال إلى :ومعادلة ل

محور \ اتجاه في ستوكس نافيير : xمعادلة تصبح

هي الحدية أن y = oعندما u = oوالشروط نجد ، c2 = oومنها

u = عندماy = h : أن نجد وعليه : c1 =/hومنها

: هو عندئذ واإلجهاد

في المتوسطة والسرعة المستويين بين الفراغ كل في ثابت أنه ويالحظ

: هي الحالة هذه

مائع- 3 نهائيفي ال لمستوى الزمن على المعتمدة الحركة

: لالنضغاط قابل غير لزج

النهائىفى- لمستوى الزمن على المعتمدة ادرسالحركة

لالنضغاط قابل غير لزج مائع

35

نهائي ال مستوى حركة حالة بالضبط معالجتها الممكن الحاالت من

مائع في مستواه في تذبذب أو ثابتة بسرعة مستواه في فجأه تحرك

الحالة هذه في الزمن على معتمدة ولكن واحد بعد في حركة وهي لزج

: )u = u )y, tوالدالة v = w = o يكون الصورة تأخذ الحركة ومعادلة

المفاجئة الحركة u )y, o( = o at y > oوفي

u )o, t( = uo , u) , t( = oكذلك

بوضع : عادية معادلة إلى الجزئية المعادلة تحويل ويمكن

المعادلة : 1فتصبح الصورة على الحالة هذه في

: الحدية الشروط تحت

المعادلة تكامل : 2ويمكن على فنحصل مرتين

36

. حيث الخطأ دالة هي

: Similar solutions التماثلية - الحلول3

التماثلية- الحلول ماهى

المعادالت تحويل فنستطيع الحظ يسعدنا ما األحيان من كثير في

. � وطبعا المتغيرات بتحويل عادية تفاضلية معادلة إلى الجزئية التفاضلية

مع التعامل من � جدا بكثير أسهل العادية التفاضلية المعادلة مع التعامل

. التماثلية بالحلول المعادلة هذه حلول وتسمى الجزئية المعادلة

: اآلتية الخطوات إتباع في الطريقة هذه وتتلخص

مجهولة ) دالة لدينا أن تفاضلية( نفرض معادلة تحقق

جزئية.

37

جديدين ) متغيرين (واستخدمنا

المتغيرين ) �من : x, yبدال أن( بحيث

تفاضلية معادلة على نحصل فإننا الجزئية التفاضلية المعادلة في وعوضنا

المجهولة ) الدالة تفاضالت على تحوي التفاضالت( fعادية هذه ومعامالت

في ) دوال بمقادير( xتكون المعادلة هذه معامالت عن التعبير أمكن إذا

تماثلي ) حل يوجد أنه ونقول عادية تفاضلية المعادلة تصبح (fثابتة

بالصورة : التحويل يكون األحيان بعض وفي للمشكلة،

4: المستوى- نصف حول سريان لحالة التماثلية المعادلة

المستوى- نصف حول سريان لحالة التماثلية المعلدلة استنتج

الشروط تحت

u = v= oيكون ( y = oعندما )

v = o, u = Uيكون y = عندما

أخذنا فإذا

المعادلة ) تماثلي( 2فإن حل عن البحث يمكن ،� أوتوماتيكيا تحققت

: ) التعويض) باستخدام وذلك تشابهي

38

المعادلة ) في ( : 1بالتعويض

الشروط تحت

At y = o = o, f = o, f ` = o

At y = = , f ` = 1

وأعطي المعادلة لهذه عددي تكامل بإجراء بالزيوس قام ولقد

المعادلة ) ألن � نظرا جداول صورة في وال( 3الحل خطية غير معادلة

. لها مضبوط تحليلي حل يوجد

39