Приложение дифференциального исчисления

Исследование функций и построение графиковЗадачи на отыскание максимума или минимума

Приложения дифференциального исчисленияИсследование поведения функций

С. Лабовский

Институт Компьютерных ТехнологийМЭСИ

12 февраля 2013

С. Лабовский Приложения дифференциального исчисления


Содержание лекции

1 Исследование функций и построение графиков

2 Задачи на отыскание максимума или минимума



Возрастание и убывание

Теорема (Лагранж)

Пусть f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] а такжедифференцируема в (a,b). Тогда для некоторой точки c ∈ (a,b)имеет место формула Лагранжа

f (b)− f (a) = f ′(c)(b − a). (1)

Теорема имеет простой геометрический смысл: если графикфункции гладкий, то для любой хорды существует касательнаяпараллельная данной хорде.



Example

Доказать неравенство ex > 1 + x , если x > 0.Применим теорему Лагранжа к функции f (x) = ex на отрезке[0,b]: для некоторой точки c ∈ (0,b)

eb − e0 = ec(b − 0).

Отсюда eb = 1 + ecb. Так как ec > e0 > 1, имеем eb > 1 + b.



Определение

Функция f (x), определенная в некотором интервале (a,b),называется возрастающей, если из x1 < x2 следует f (x1) < f (x2)(для любых x1, x2 из данного интервала).

С помощью теоремы Лагранжа легко доказывается следующееутверждение

Теорема

Пусть функция f (x) имеет положительную производную винтервале (a,b). Тогда функция возрастает в этом интервале.

Совершенно аналогично доказывается

Теорема

Пусть функция f (x) имеет отрицательную производную винтервале (a,b). Тогда функция убывает в этом интервале.



Максимум и минимум

Определение

Точка x0 называется точкой максимума функции f (x), еслифункция определена в некотором интервале, содержащем x0, и вэтом интервале выполняется неравенство f (x0) > f (x), x 6= x0.

Аналогично определяется точка минимума. Общее название дляминимума и максимума – экстремум.

Теорема (Необходимое условие)

Если в точке x0 функция f (x) дифференцируема и имеетэкстремум, то f ′(x0) = 0.

Это условие не является достаточным для экстремума.



Выпуклость и вогнутость графика функции

Часть графика y = f (x) называется выпуклой (кверху), еслилюбая ее хорда лежит ниже стягиваемой ею дуги, и вогнутой(выпуклой книзу), если любая ее хорда расположена вышестягиваемой ею дуги.

Теорема

Если вторая производная f ′′(x) функции положительна винтервале (a,b), соответствующая часть графика y = f (x)вогнута, а если f ′′(x) < 0, a < x < b, то график выпуклый.



Исследование и построение графика функции

При исследовании функции можно выделить следующие этапы.1 Является ли функция четной или нечетной? В случае

положительного ответа достаточно исследовать функциютолько для положительных x .

2 Находят область определения, пределы функции набесконечности и односторонние пределы в точках разрываили на концах интервалов области определения. Этопозволяет построить эскиз графика вблизи точек разрыва ивыяснить существование горизонтальных асимптот.

3 С помощью производной находят интервалы монотонности иточки экстремумов.

4 С помощью второй производной находят интервалывыпуклости и вогнутости и точки перегиба.

5 Находят значения функции в наиболее важных точках истроят график.



−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

y = x3

2(x−1)2

Рис. : График функции



Пример решения задачи

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Из листажелеза размерами 10 м на 8 м требуется изготовитьпрямоугольную коробку. Для этого по углам вырезаютодинаковые квадраты, после чего сгибают четыреобразовавшихся прямоугольника. Требуется найти размерыполучившейся открытой коробки, которая имеет наибольшийобъем.Пусть x сторона вырезаемого квадрата. Тогда объем коробкиV = (10− 2x)(8− 2x)x . Итак, необходимо найти максимумнайденной функции в интервале 0 ≤ x ≤ 4.Для этого находим производную функцииV (x) = 80x − 36x2 + 4x3:

V ′ = 80− 72x + 12x2.



В точке максимума производная равна нулю

80− 72x + 12x2 = 0.

Решая это квадратное уравнение находим x1 = 3 +√

213 ,

x2 = 3−√

213 . Первый корень не входит в интервал 0 ≤ x ≤ 4,

поэтому остается только корень x = 3−√

213 ≈ 1.47. Зная это

значение, легко найти размеры коробки.



Общая схема

Во всех задачах такого рода схема решения такова.1 Сначала выбирается некоторый параметр, от которого

зависит искомая величина. В нашем случае это размерстороны вырезаемого квадрата. Чаще всего это параметрвозникает естественным путем. Здесь же нужно определитьинтервал изменения параметра.

2 На втором шаге находится аналитическое выражениезависимости искомой величины от параметра.

3 Находится максимум (минимум) полученной функции внужном интервале.


Приложение дифференциального исчисления

Documents