Ⅵ. 도형의 기초

1. 기 본 도 형

2. 작도와 합동

점 , 선 , 면

1. 선분 : 두 점을 곧게 이은 선

2. 직선 : 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선

3. 예각 : 0 도 보다 크고 90 도 보다 작은 각

4. 직각 : 90 도인 각

5. 둔각 : 90 도 보다 크고 180 도 보다 작은 각

6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90 도를 이룰 때

7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때

점 , 선 , 면 , 각

1. 점이 움직인 자리는 선이 된다 .

2. 선이 움직인 자리는 면이 된다 .

3. 평면도형은 선으로 , 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다 .

- 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선

- 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점

교선

교점

주사위에서 다음 물음에 답하여라 .

1. 교점의 개수는 ?

2. 교선의 개수는 ?

1. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 몇 개인가 ?

AB 의 길이

오직 하나 뿐이다 .

A B A B A B

AB AB AB

직선 AB 반직선 AB 선분 AB

2. 직선 , 반직선 , 선분

3. 두 점 A, B 사이의 거리 :

선분 AB의 중점

선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB 의 중점이라 함 .

A BM

ABBMAM2

1

각 이란 ?

점 O 를 각의 꼭지점 반직선 OA, OB 를 각의 변이라 한다 .

< 기 호 >

∠AOB, BOA, O, ∠ ∠ ∠a

한 점 O 에서 그은 두 반직선 OA 와 OB 로이루어지는 도형

O A

B

a

각의 분류

예각 : 0 도 보다 크고 , 90 도 보다 작은 각

직각 : 90 도인 각 (∠R)

둔각 : 90 도 보다 크고 180 도 보다 작은 각 평각 : 180 도인 각

60

11'

'"

60

11 R

90

11

수직 교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각

직교 : 교각이 직각일 때 , 기호 : l ⊥ m

수직 : 두 직선 l 과 m 이 직교할 때, l , m 은 서로

수직 이라 하며 직선 l 을 직선 m 의 수선이라

한다.

l

m

맞꼭지각

두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서

서로 마주 보는 각

a

b

c

d

맞꼭지각의 크기는 서로 같다

∠a = ∠c

∠b = ∠d

한 점에서 만난다 만나지 않는다 일치한다

l,m

m

l

l

m

< 평면에서 두 직선의 위치 관계 >

공간에서 두 직선의 위치 관계

1) 만난다 .

lm

2) 평행하다 .

l

m

3) 일치한다 .

l=m l

m

4) 꼬인 위치

다음 각기둥에서 모서리 AB 와

1) 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 ?

2) 선분 BD 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 ?

A

B C

D

E

F G

H

A

B C

D

E F

< 공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계 >

1) 한 점에서 만난다 . 2) 평행하다 . 3) 포함된다 .

l

P

l

P

l ∥ P

P

l

평면의 결정 조건

1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점

2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점

3) 만나는 두 직선

4) 평행한 두 직선

공간에서 두 평면의 위치관계

1) 일치한다 .

2) 만난다 .

3) 평행하다 .

평행

한 평면 위에서 두 직선 l, m 이 만나지 않을 때 ,

두 직선 l, m 은 평행 ( 기 호 : l∥m )

평행선 : 평행한 두 직선

l

m

동위각 : 같은 위치에 있는 두 각

l

m

n

a

e

∠a 와 ∠ e

b

f

∠b 와 ∠ f

d

h

∠d 와 ∠ h

c

g

∠c 와 ∠ g

l

m

n

엇 각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각

b

h

∠b 와 ∠ h

e

c

∠c 와 ∠ e

평행선의 성질서로 다른 두 직선이 평행하고 , 다른 한 직선과 만날 때

1. 동위각의 크기는 서로 같다 .

2. 엇각의 크기는 서로 같다 .

m

la

b

c

a

b

l m ∥ 이면 ∠ a = ∠b

c

b

l∥ m 이면 ∠ b = ∠c

평행선의 성질

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

1. 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다 .

2. 한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다 .

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

1. 두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다 .

2. 한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다 .

x115

다음 그림은 직사각형 모양의 종이를 접은 그림이다 .

∠x 의 크기를 구하여라 .

m

l

x

50

30

다음 에서 직선 l 과 m 이 서로 평행일 때 ,

1) x ∠ 의 크기를 구하여라 .

2) a+ b+ c+ d ∠ ∠ ∠ ∠ 의 값을 구하여라 .

m

l a

30

b

cd

도형의 작도

작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여

도형을 그리는 것

-자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할 때

사용

-컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의 길이를

옮길 때 사용

선분의 수직이등분선의 작도

A B

① ①②① 두 점 A, B 를 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 두 점에서 만나도록 그린다 .

② ① 의 두 교점을 지나는 직선을 긋는다 .

수직이등분선의AB

각의 이등분선의 작도

O B

A

① C

D

③ 반직선 OE 를 긋는다 .

① O 를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선 OA 와 OB 가 만나는 점을 각각 C, D 라 한다 .

②

②

③E

② C, D 를 각각 중심으로 반지름의 길이가 같은 원을 그려서 만나는 점을 E 라고 한다 .

각 의 이 동

O A

B

③D

O´ A´

④D´

⑤

C

①

C´

②

점 P 를 지나면서 직선 l 에 수직인 직선의 작도

①

P

l

②③

3 대 작도 불능 문제

(1) 주어진 정육면체의 2 배의 부피를 갖는

정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제

(2) 임의의 각을 삼등분하는 문제

 

(3) 임의의 원과 면적이 같은

정사각형을 작도하는 문제

직각의 3 등분 작도

다음 중 작도할 수 없는 각은 ?

① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°

정 3, 4, 5 각형은 작도 가능한 정다각형이다 . 가장 손쉬운 정다각형 작도방법은 원을 이용하는 것으로 모든 꼭지점이 원 위에 있도록 작도하는 방법이다 . 원을 이용하여 정삼각형을 그린 뒤 , 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 정삼각형의 꼭지점과 연결하면 정육각형을 작도할 수 있다 . 마찬가지로 정육각형의 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 연결하면 정십이각형을 작도할 수 있다 .  원을 이용하여 정사각형을 작도한 뒤 , 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 이용하면 정팔각형을 그릴 수 있고 , 한 번 더하면 정십육각형을 작도할 수 있다 . 마찬가지의 방법으로 원을 이용하여 그린 정오각형에서 정십각형을 그릴 수 있고 , 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그린 뒤 , 정이십각형을 작도할 수 있다 . 작도에 대해 많은 관심과 연구를 진행했던 고대 그리스의 수학자들은 정 7, 9, 11, 13 각형의 작도방법을 알아내기 위해 많은 노력을 기울였지만 , 끝내 알아내지 못하였다 . 1796 년이 되어서야 당시 18 세였던 수학자 가우스 의해 정 7, 9, 11, 13 각형은 작도 불가능함이 증명되었다 . 가우스에 의해 밝혀진 홀수 개의 변을 가진 정다각형에 대한 작도 가능함에 대한 정리는 다음과 같다 .

1.  작도가 가능한 정 n 각형(1).   의 꼴이면 가능하다 .(2). n 이 꼴인 서로 다른 두 소수의 곱이면 , 작도 가능하다 .(3). 정 n 각형을 작도할 수 있다면 , 정 2n 각형은 작도가 가능하다 .2. 의 꼴인 경우(1) k=0 이면 , 3=2+1 이므로 정 3 각형은 작도가능하다 . (2) k=1 이면 , 5=4+1 이므로 정 5 각형은 작도가능하다 . (3) k=2 이면 , 17=16+1 이므로 정 17 각형은 작도가능하다 . (4) k=3 이면 , 이므로 정 257 형은 작도가능하다 .

  3, 5, 17 이 가능하므로 에서 정 15 각형은 작도가 가능하고 , 에서 정 51 각형은 작도가 가능하다 . 에서 정 85 각형도 작도가 가능하다

선택학습 ( 심화과정 )

122 k

n122

k

n

122 k

n

삼각형에 대한 용어

세 선분 AB, BC, CA 로 둘러싸인 삼각형 ABC 를 기호로 △ ABC 와 같이 나타낸다 .

∠A, B, C∠ ∠ 를 △ ABC 의 내각이라고 한다 .

∠A 와 마주 보는 변 BC 를 ∠ A 의 대변 ,

∠A 를 변 BC 의 대각이라고 한다 .

A

B C

c

a

b

삼각형의 변의 길이

삼각형의 두 변의 길이의 합은

나머지 다른 한 변의 길이보다 크다 .

세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의

합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다 .

삼각형의 결정조건

1. 세 변의 길이가 주어질 때

2. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때

3. 한 변의 길이와 그 양끝각의 크기가 주어질 때

위의 세 가지 조건 중에 어느 한 가지만 주어지면

삼각형의 모양과 크기가 한 가지로 결정된다 .

다음 조건을 만족하는 △ ABC 를 그릴 때 ,

삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 고르면 ?

①

②

③

④

⑤

⑥

cmACcmBCcmAB 8,5,3

30,5,4 AcmBCcmAB

45,15,7 CAcmAB

55,20,10 BAcmAB

110,50,20 CBA

45,4,6 BcmBCcmAB

합동의 뜻한 평면도형 P 를 그 모양이나 크기를 바꾸지 않고 다른 평면도형 Q 와 포갤 수 있을 때 ,

P 와 Q 를 서로 합동이라고 한다 .

< 기 호 >△ABC≡△A’B’C’

합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점 , 변 , 각은

서로 대응한다고 한다 .

B ´

A

B C

A ´

C´

합동인 도형의 성질

합동인 두 도형은

1. 대응하는 변의 길이는 서로 같다 .

2. 대응하는 각의 크기는 서로 같다 .

삼각형의 합동조건

1. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS 합동 )

2. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고 , 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 합동 )

3. 대응하는 한 변의 길이가 같고 ,

그 양 끝각의 크기가 같을 때 (ASA 합동 )

≡

≡

≡

A

BO

C

DA

B

O

C

D

A

B

C D

D

다음 각 그림에서 합동인 삼각형을 찾아서 기호로 나타내고 , 합동조건을 말하여라 .

(1) (2)

(3)

두 쌍의 변의 길이가 같고 한 쌍의 각의 같의 크기가같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 할 수 있나 ?

한 쌍의 변의 길이가 같고 두 쌍의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 말 할 수 있나 ?

A B C

D

EP

x

그림에서 △ EAB, △DBC 는 정삼각형일 때 ,

∠x 의 크기는 ?

a

a

b

b60120

각의 이등분선의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라 .

O B

A

① C

D

②

②

③E

크기가 같은 각의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라 .

O A

B

③D

O´ A´

④D´

⑤

C

①

C´

②