第九章 正弦稳态电路的分析
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第九章 正弦稳态电路的分析. 9.0 内容提要. 目录 9.1 阻抗和导纳 9.2 电路的相量图 9.3 正弦稳态电路的分析 9.4 正弦稳态电路的功率 9.5 正弦稳态电路的复功率 9.6 最大功率传输. +. +. 无源 线性. Z. -. -. 9.1 阻抗和导纳. 阻抗：. 正弦激励下. 欧姆定律的相量形式. 单位： . 电阻. 电抗. 阻抗模. X>0 ：感性阻抗 XTRANSCRIPT
第九章 正弦稳态电路的分析第九章 正弦稳态电路的分析
9.0 9.0 内容提要内容提要
• 目录– 9.1 阻抗和导纳– 9.2 电路的相量图– 9.3 正弦稳态电路的分析– 9.4 正弦稳态电路的功率– 9.5 正弦稳态电路的复功率– 9.6 最大功率传输
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 阻抗：
无源线性
I
U
+
-
正弦激励下正弦激励下
| | z
UZ Z φ
I
I
ZU
+
-欧姆定律的欧姆定律的相量形式相量形式
z u i
单位：
UZ
I 阻抗模阻抗模
阻抗角阻抗角
jZ R X
电阻电阻 电抗电抗
X>0X>0 ：感性阻抗：感性阻抗X<0X<0 ：容性阻抗：容性阻抗
Z Z —— 复阻抗；复阻抗；
||ZZ| | —— 复阻抗的模；复阻抗的模；
φφz z —— 阻抗角；阻抗角；
R R —— 电阻电阻 (( 阻抗的实部阻抗的实部 )) ；；
X X —— 电抗电抗 (( 阻抗的虚部阻抗的虚部 )) ；；关系：关系：
2 2 | |
arctgz
Z R X
Xφ
R
R=|Z|cosz
X=|Z|sinz
阻抗三角形
|Z|
R
Xz
z u i
UZ
I
当无源网络内为单个元件时有：
UZ R
I
j j L
UZ L X
I
1 1j j
j C
UZ X
C CI
I
RU
+
-
I
CU
+
-
I
LU
+
-Z 可以是实数，也可以是虚数
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• RLC 串联电路L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
I
jL
U
LU
CU1
j C
R
+
-
+
-
+ -+ -RU
由由 KVLKVL ：： 1j
jR L CU U U U R I L I I
C
1[ ( )] [ ( )]L CR j L I R j X X I
C
1z
UZ R j L j R jX Z
CI
（ 1 ） Z=R+j(ωL-1/ωC)=|Z|∠φZ 为为为为为为为为为
（ 2 ） X=XL-XC= ωL-1/ωC ，为电抗分量，是 ω 的函数
L L < 1< 1//CC ，， XX<0<0 ， ， ZZ <0 <0 ，电路为容性，电压落后电流；，电路为容性，电压落后电流；
L L = 1= 1//CC ，， XX=0=0 ， ， Z Z =0=0 ，电路为电阻性，电压与电流同，电路为电阻性，电压与电流同相；相；
LL > 1 > 1//CC ，， XX>0>0 ， ， ZZ >0>0 ，电路为感性，电压领先电流；，电路为感性，电压领先电流；
（ 3 ）相量图：选电流为参考向量，设 ωL > 1/ωC
三角形 UR 、 UX 、 U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即
CU
I
RU
LU
U
UX
0i
2 2R XU U U
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 导纳：
无源线性
I
U
+
-
正弦激励下正弦激励下
| | Y
IY Y φ
U
I
YU
+
-
Y i u
单位： S
IY
U 导纳模导纳模
导纳角导纳角
Y G jB
电导电导 电纳电纳
1 1 , Z Y
Y Z
Y Y —— 复导纳；复导纳；
||YY| | —— 复导纳的模；复导纳的模；
YY —— 导纳角；导纳角；
G G —— 电导电导 (( 导纳的实部导纳的实部 )) ；；
B B —— 电纳电纳 (( 导纳的虚部导纳的虚部 )) ；；关系：关系：
2 2 | |
arctgY
Y G B
Bφ
G
G=|Y|cosY
B=|Y|sinY
导纳三角形
|Y|
G
BY
Y i u
IY
U
当无源网络内为单个元件时有：
1IY G
RU
1L
IY jB
j LU
C
IY j C jB
U
I
RU
+
-
I
CU
+
-
I
LU
+
-Y 可以是实数，也可以是虚数
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• RLC 并联电路
由由 KCLKCL ：： 1j
jR L CI I I I GU U CU
L
1[ ( )] [ ( )]L CG j C U G j B B U
L
i
L CRu
iL iC+
-
iL
I
j LU
LI
CI
1
j C
RI
R
+
-
1Y
IY G j C j G jB Y
LU
（ 1 ） Y=G+j(ωC-1/ωL)=|Y|∠φY 为为为为为为为为为
（ 2 ） B=BC+BL= ωC-1/ωL ，为电纳分量，是 ω 的函数
C C < 1< 1//LL ，， BB<0<0 ， ， Y Y <0<0 ，电路为感性，电流落后电压；，电路为感性，电流落后电压；
C C = 1= 1//LL ，， BB=0=0 ， ， Y Y =0=0 ，电路为电阻性，电流与电压同，电路为电阻性，电流与电压同相；相；
CC > 1 > 1//LL ，， BB>0>0 ， ， YY >0>0 ，电路为容性，电流领先电压；，电路为容性，电流领先电压；
（ 3 ）相量图：选电压为参考向量，设 ωC > 1/ωL
三角形 IR 、 IX 、 I 称为电流三角形，它和导纳三角形相似。即
0u
2 2G BI I I
U
GI
LI
I
Y
CI
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 复阻抗和复导纳的等效变换
G jBYZR
jX
j | | zZ R X Z φ j | | YY G B Y φ
2 2
1 1 R jXY G jB
Z R jX R X
2 2 2 2 , R X
G BR X R X
1 , Y ZY φ φ
Z
一般情况 一般情况 GG11/R/R B B11/X/X 。。若若 ZZ 为为感性，感性， XX>0>0 ，则，则 BB<0<0 ，即仍为感性。，即仍为感性。
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 同样，若由 Y 变为 Z ，则有：
G jBY ZR
jX
j | | zZ R X Z φ j | | YY G B Y φ
2 2
1 1 G jBZ R jX
Y G jB G B
2 2 2 2 , G B
R XG B G B
1 , Z YZ φ φ
Y
一般情况 一般情况 R>0 R>0 ||φφZZ||
<<ππ/2/2
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
1Z
Y
1Y
Z 1
, Z YZ φ φY
2 2 2 2 , G B
R XG B G B
2 2 2 2 , R X
G XR X R X
1
RG
1L LX L B
L
，
1C CX B C
C
，
1G
R
1L
L
XL
B
1 C
C
BC
X
P223P223 注意事注意事项项
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 阻抗的串联
1 2 1 2( )n nU U U U I Z Z Z I Z
Z+
-U
I
Z1
+
Z2 Zn
－U
I
分压公式
1 1
( )n n
k k kk k
Z Z R jX
ii
ZU U
Z
9.1 9.1 阻抗和导纳阻抗和导纳
• 导纳的并联
Y1
+Y2 Yn
－U
I
Y+
-U
I
1 2 1 2( )n nI I I I U Y Y Y U Y
分流公式
1 1
( )n n
k k kk k
Y Y G jB
ii
YI I
Y
9.2 9.2 电路的相量图电路的相量图
• 相量图的意义：– 直观的显示各相量之间的关系，辅助分析计算– 按比例确定各相量的模，相对的确定各相量在图上
的方位• 相量图的绘制：
– 首先确定参考相量– 利用 VCR 关系、 KCL、 KVL ，通过相量平移法
则求其他相量（会相量图上的加减画法）
9.3 9.3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析• 电阻电路和正弦电路的分析比较
• 可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于正弦稳态的相量分析中。
:
KCL : 0
KVL: 0
:
i
u
u Ri
i Gu
电阻电路
元件约束关系或
:
KCL: 0
KVL: 0
:
I
U
U Z I
I Y U
正弦电路相量分析
元件约束关系
或
9.3 9.3 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析
• 引入相量法，把求正弦稳态电路微分方程的特解问题转化为求解复数代数方程问题。
• 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。
• 引入阻抗以后，可将所有网络定理和方法都应用于交流，直流（ f =0 ）是一个特例。
• 范例– 三要素法、一表法、二表法、三表法
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 瞬时功率
独立网络
+u
i
_
( ) 2 cos( )
( ) 2 cos( )
u
i
u i
u t U t
i t I t
φ Ψ Ψ
2 cos( ) 2 cos( )u ip ui U t I t
cos cos(2 )u iUI UI t
cos {(1 cos[2( )]} sin sin[2( )]u uUI φ t UI t
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
tO
UIUIcoscos (1(1＋＋ cos[2(cos[2( t+t+ψψuu)])]
UIUIsinsin sin[2(sin[2( t+ t+ψψii)]])]]
第二种分解方法：
p 有时为正 , 有时为负；
p>0, 电路吸收功率： p<0 ，电路发出功率；
不可逆分量。
为可逆分量。
tO
p
i
u UIcos
UIcos(2 t+ψu+ψi)
( ) cos cos(2 )u ip t UI UI t
( ) cos {(1 cos[2( )]} sin sin[2( )]u up t UI φ t UI t
Ri(t)
u(t) L+
- C
( ) 2 cos( ) i t I t
2 2 2 22 cos ( ) = (1 cos(2 ))Rp Ri RI t RI t
2 2
0
1(1 cos(2 ))d
T
RP RI t t RIT
= 2 cos( ) ( 2 sin( ))L L
dip iu iL I t L I t
dt
2 22 cos( )sin( sin(2 ))LI t t LI t 2
0
1sin(2 )d 0
T
LP LI t tT
1 1 1
d = 2 cos( ) ( 2 sin( ))C Cp iu i i t I t I tC C
2 22
= cos( )sin( ))=1
sin(2 ))CC
I t t I t
2
0
1 1sin(2 ))d 0
C
T
CP I t tT
2 21(1 cos(2 )) ( ) sin(2 )p RI t L I t
C
Ri(t)
u(t) L+
- C( ) 2 cos( ) i t I t
2 21(1 cos(2 )) ( ) sin(2 )p RI t L I t
C
cos ZR Z |Z|
R
Xz
1sin ZX L Z
C
cos (1 cos(2 )) sin sin(2 )Z Zp UI t UI t
不可逆部分不可逆部分 可逆部分可逆部分
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 平均功率
0 0
1 1d [cos cos(2 )]d
T T
u iP p t UI UI t tT T
cosP UI φ P 的单位： W （瓦）
=u-i ：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。
功率因数。cos φ
cos 1, 纯电阻0 ， 纯电抗
一般地 , 有 01
X>0, >0 , 感性 X<0, <0 , 容性
一般地 , 有 -π/2 π/2
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 有功功率
– 平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。单位为 w ，瓦。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别， 主要由于电压、电流存在相位差。
2 2cos cosP UI φ I Z RI
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 无功功率
– 表示交换功率的最大值，单位： var (乏 )。– Q>0 ，表示网络吸收无功功率； Q<0 ，表示网
络发出无功功率– Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。
是由储能元件 L、 C 的性质决定的• 视在功率
– 反映电气设备的容量。单位： VA （伏安）
2 2s nsin iQ UI XIφ I Z
S UI
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 有功、无功、视在功率的关系（ P236 ）– 有功功率 : P=UIcos 单位： W
– 无功功率 : Q=UIsin 单位： var
– 视在功率 : S=UI 单位： VA
2 2S P Q
S
P
Q Z
R
X U
UR
UX
RX
+
_
+ _
º
º
+
_U
RU
XU
功率三角形功率三角形 阻抗三角形阻抗三角形 电压三角形电压三角形
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 电压、电流的有功分量和无功分量：
RX
+
_
+ _
+
_U
RU
XU
I
cos RP UI U I
sin XQ UI U I
RU U
称 为 的有功分量
cos GP UI φ UI
I
U
BI
GI
G B
+
_
GI
I
BI
U
sin BQ UI φ UI
GI I
称 为 的有功分量
XU U
称 为 的无功分量
BI I
称 为 的无功分量
I
U
RU
XU
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• R、 L、 C 元件的有功功率和无功功率
u
i
R+
-
i
u L+
-
i
u C+
-
2 2
cos cos 0
RP UI UI
I R U R
sin sin 0 0RQ UI UI
cos cos90
0LP UI UI
sin sin 90
LQ UI UI
UI
cos cos( 90 )
0CP UI UI
sin sin( 90 )
CQ UI UI
UI
1 cos 2R up UI t sin 2L up UI t sin 2C up UI t
2S LI
S
21S I
C
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 无功的物理意义– 反映电源和负载之间交换能量的大小。
• 电感、电容的无功补偿作用– 当 L 发出功率时， C 刚好吸收功率，则与外电路交换功率为 pL+pC 。因此， L、 C 的无功具有互相补偿的作用。
2 2 2 2 L L L C C CQ UI I X U X Q UI I X U X
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ - i
t0 uL
uC
pLpC
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 功率因数的提高
– 功率因数低带来的问题：•设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容
量还有•当输出相同的有功功率时，线路上电流大
I=P/(Ucos) ，线路损耗大。
S
75kVA负载 设备容量 S (额定 ) 向负载送多
少有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos=Scos
9.4 9.4 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率
• 解决办法：– 并联电容，提高功率因数 ( 高压传输、改进自身设备 ) 。
– 并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。
L
RC
U
I
LI
CI
+
_ CI
U
LI
1
I2
并联电容的确定：
1 2sin sinC LI I I
补偿容量不同
全——不要求 ( 电容设备投资增加 , 经济效果不明显 )
欠
过——使功率因数又由高变低 ( 性质不同 )
CI
U
LI
1
I2
2 1
, cos cosLP PI I
U U 将 代入得
1 2(tg tg )CPI CUU
1 22(tg tg )PC
U
并联电容后，电源向负载输送的有功并联电容后，电源向负载输送的有功 UIUILL coscos11==UIUI cos cos22 不变，但是不变，但是电源向负载输送的无功电源向负载输送的无功 UI UI sinsin22<<UIUILLsinsin11 减少了，减少的这部分无功减少了，减少的这部分无功就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。改善。
9.5 9.5 复功率复功率
• 定义：
• 复功率的其他表达式
U
I
负载
+
_
*
VAS U I
单位
( )
cos j sin j u iS U Ψ I Ψ UI φ S φ
UI φ UI φ P Q
2* *
2 2 2 ZIS U I Z I I (R jX)I RI jXI
* ** * 2 * ( )S U I U U Y U U Y U Y
9.5 9.5 复功率复功率
• 注意：– 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；– 把 P、 Q、 S 联系在一起，它的实部是平均功
率，虚部是无功功率，模是视在功率；– 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路
的所有支路吸收的复功率之和为零。即
SS
*
= jS U I S φ P Q
1
1
0
0
b
kk
b
kk
P
Q
1 1
( j ) 0b b
k k kk k
P Q S
视在功率不守恒视在功率不守恒
9.6 9.6 最大（有功）功率传输最大（有功）功率传输
负载
有源网络
ocU Z
Zeq
I
+
-
等效电路
2 2,
( ) ( )
oc oc
eq eq eq
UUI I
Z Z R R X X
22
2 2
(
( ) )oc
eq eq
RUP RI
R R X X
有功功率：
eq eq eqZ R jX Z R jX
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 PPmaxmax 的条的条件件 ::(1) Z= R + jX 可任意改变
(a) (a) 先设先设 RR 不变，不变， XX 改变改变
显然，当 Xeq+ X=0 ，即 X =-Xeq 时， P获得最大值
(b) (b) 再讨论再讨论 RR改变时，改变时， PP 的最大值的最大值
当 当 RR= = RReqeq 时，时， PP获得最大值获得最大值
综合 (a)、 (b) ，可得负载上获得最大功率的条件是：
2
2 2( ) ( )oc
eq eq
RUP
R R X X
Z= Zeq*
R= Req
X=-Xeq最佳最佳匹配匹配
2oc
2eq( )
RUP
R R
2oc
maxeq4
UP
R
(2) 若 Z= R + jX 只允许X 改变
获得最大功率的条件是：获得最大功率的条件是： Xeq + X=0 ，即 X =-Xeq
2oc
max 2eq( )
RUP
R R
最大功率为
(3) 若 Z= R 为纯电阻
负载获得的功率为：负载获得的功率为：
oc oc
2 2eq eq eq
, ( )
UUI I
Z R R R X
电路中的电流为：电路中的电流为：
2
2 2( )oc
eq eq
RUP
R R X
2 2 0 eq eq eqL
dP
dR R X Z
R 获得最大功率条件：令
模匹配
作 业：作 业：
• 9-1 9-3
• 9-5 9-6 9-8
• 9-9 9-10 9-17
• 9-189-21
• 9-239-25 9-27
•思考：– 9-2 9-7 9-15– 9-24 9-26
例例 1 1 已知： R=15, LL=0.3mH=0.3mH, C=0.2F,
4
5 2 cos( 60 )
3 10 Hz .
u t
f
求 求 ii, , uuRR , , uuLL , , uuCC . .
解解 其相量模型为：
5 60 VU
1j jZ R L
C
4 3j j2 3 10 0.3 10 j56.5ΩL
4 6
1 1j j26.5Ω
j 2π 3 10 0.2 10C
15 j56.5 j26.5 o33.54 63.4 Ω
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
I
jL
U
LU
CU1
j C
R
+
-
+
-
+ -+ -RU
o
oo
5 600.149 3.4 A
33.54 63.4
UI
Z
则 0.149 2 cos( 3.4 ) Ai t
UULL=8.42>=8.42>UU=5=5 ，分电压大于总电压。，分电压大于总电压。
U
LU
CU
I
RU
-3.4°
相量图
o o15 0.149 3.4 2.235 3.4 VRU R I
o o oj 56.5 90 0.149 3.4 8.42 86.4 VLU L I
o o o1j 26.5 90 0.149 3.4 3.95 93.4 V
CCU I
2.235 2 cos( 3.4 ) VRu t
o8.42 2 cos( 86.6 ) VLu ωt o3.95 2 cos( 93.4 ) VCu ωt
注注
例例 22 RLRL 串联电路如图，求在串联电路如图，求在＝＝ 101066rad/srad/s 时的等效并联电时的等效并联电路。路。
解解 RL 串联电路的阻抗为：
050 60 78.1 50.2LZ R jX j
6 3 10 0.06 10 60LX L
00
1 10.0128 50.2
78.1 50.2 0.0082 0.0098
YZ
j S
''
1 1122
0.0082R
G
' 10.102
0.0098L mH
0.06mH
50
L’R’'2 2 2 2
50 = =0.0082
50 60
RG
R X
'2 2 2 2
60 0.0098
50 60
XB
R X
例例33
求图示电路的等效阻抗， ＝ 105rad/s 。
解解 感抗和容抗为：
21 2 1
2
( )//( )
100 (1
100 100)30 10 30
1000
L CL C
L C
jX R jXZ R jX R jX R
jX R jX
jj
j
5 3 10 1 10 100LjX j L j j
5 6
1 1100
10 0.1 10CjX j j jC
0.1F1mH
30 100
R1
R2
电路对外呈现感性 ( 等效电路参数是？ )
例例44
图示电路对外呈现感性还是容性？
解解 等效阻抗为：
3 j6 5 //(3 j4)Z 3
3
－ j6
j45
电路对外呈现容性
025 53.13 j6 5.5 j4.75
8 j4
5(3 j4)3 j6
5 (3 j4)
例例 55 图示为 RC 选频网络，试求 u1 和 u0 同相位的条件及
1
0
?U
U
jXC
－
R
－＋
＋
R uo
u1
jXC
解解 设： Z1=R+jXC, Z2=R//(jXC)
1 2
1 2
oU Z
UZ Z
1 1 2 1
2 2
1o
Z Z ZU
Z ZU
21
2
2 2 2 2
( )
( )
22
C C
C C C
C C C
C C
R jX R jXZ
Z jRX R jX jRX
R X j RX R Xj
jRX RX
实数
CR X 11 2 3
o
U
U
例例 66
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
uZ1
Z2U
R2+
_
R1
1I 2I
3I 1
j C
j L
画出电路的相量模型3
1
1
1
1( ) 1000 ( 318.47) 318.47 10 901 1000 318.47 1049.5 17.7
303.45 72.3 92.11 289.13
R j jCZjR j C
j
已知：,/314,100
,10,500,10,1000 21
sradVU
FCmHLRR
求 : 各支路电流。
解解
2 2 10 157Z R j L j
1 2
92.11 289.13 10 157
102.11 132.13
166.99 52.3
Z Z Z
j j
j
1100 0
166.99 52.3
0.6 52.3U
I AZ
2 1
1
318.470.6 52.3
1049
10.181 2
.5 17.70
1
j CI I AR j
C
j
13 1
1
10000.6 52.3
1049.5 17.70.57 70
1R
I I AR j
C
Z1Z2U
R2+
_
R1
1I 2I
3I 1
jC
j L
(100 )0U U
设 以 为参考相量
已知独立电源皆为同频正弦量，列写电路的回路电流已知独立电源皆为同频正弦量，列写电路的回路电流方程和结点电压方程方程和结点电压方程
例例 7 7
解解1 21 2 2 1( ) m m sZ Z I Z I U
1mI
2mI
3mI
回路电流方程 :
1 2 32 2 3 4 4 3( )m m m sZ I Z Z Z I Z I U
5sI
1sU
3sU
+
–
1Z
2Z
3Z
4Z
5Z–+
2 34 4 5( )m mZ I Z Z I U
U
+
-
3 5m sI I
5sI
1sU
3sU
+
–
1Z
2Z
3Z
4Z
5Z–+① ②
┻结点电压方程 :
1 31 2
1 2 3 3 1 3
1 1 1 1( )
s sn n
U UU U
Z Z Z Z Z Z
51 2 3
3 3 4 3
1 1 1 1( ) sn n sU U U I
Z Z Z Z
4I3I
列写电路的回路电流方程和结点电压方程列写电路的回路电流方程和结点电压方程例例 8 8
解解
+_ su
siL R1
R2
R3R4
C SI
+_
R1
R2
R3R4
j L1
j c
SU
1I
2I
网孔电流法 :
1 2 31 2 1 2( ) ( ) SR R j L I R j L I R I U
1 2 31 1 3 4 3( ) ( ) 0R j L I R R R j L I R I
1 2 3 42 3 2 3
1 1( ) 0R I R I R R I I
j C j C
4 sI I
1nU
2nU
3nU结点电压法 :
1n SU U
1 2 3
2 1 2 3 3
1 1 1 1 1( ) 0n n nU U U
R R j L R R R
1 2 3
3 3 4
1 1 1( ) Sn n nj CU U j C U I
R R R
SI
+_
R1
R2
R3R4
j L1
j c
SU
oS 1 2
3
4 90 A , j30 Ω
30 Ω , 45 Ω .
I Z Z
Z Z I
已知：
求：
方法一：电源变换方法一：电源变换
1 3
30( 30)// 15 15
30 30
jZ Z j
j
解解
例 9 Z2
SI
Z1 ZZ3
I
S1 3( // )Z Z I
Z2
Z1Z3
Z
I
+
-
s s 1 3
1 3 2 1 3 2
( // )// //
IUIZ Z
Z Z Z Z Z Z Z Z
j4(15 j15)15 j15 j30 45
o
oo5.657 45
5 -36.1.13 81
9.9 A
方法二：戴维宁等效变换方法二：戴维宁等效变换
1 3
o
( // )
84.86 45 V
SocU I Z Z
Zeq
Z
ocU
I
+
-
Z2
sI
Z1 Z3 ocU
求开路电压：
求等效电阻：
1 3 2//
15 j45Ω
eqZ Z Z Z
o
84.86 45
15 4
1.13 81.
5 45
9 A
oc
eq
UIZ Z j
例例1010
求图示电路的戴维宁等效电路。求图示电路的戴维宁等效电路。
01 1 1 1200 100 60 0 300 60 j300ocU I I I I
j300+
_060 0
ocU+
_
14 I
1I
5050 j300+
_060 0
ocU
+
_
1200 I
1I
100
＋ _
解解030 2 45ocU
求短路电流：
scI
0 060 0 100 0.6 0scI
00
0
30 2 4550 2 45
0.6 0oc
eq
sc
UZ
I
Zeq
ocU +
-
1
60 145
300 300 5 2I
j
例例11 11
用叠加定理计算电流用叠加定理计算电流 2
IZ2
SI
Z1
Z3
2I
SU
+
-
o
S
oS
o1 3
o3
: 100 45 V,
4 0 A,
50 30 Ω,
50 30 Ω .
U
I
Z Z
Z
已知
解解 :)( )1( SS
短路单独作用
UI
3
S22 3
' ZI I
Z Z
oo
o o
50 304 0
50 30 50 30
oo200 30
50 32.31 30 A
S 2
2 3
'' U
IZ Z
2 2 2
o o
' ''
2.31 30 1.155 135
I I I
oo100 45
50 31.155 135 A
o1.23 15.9 A
:)( )2( SS
开路单独作用
IU
'
2I"
2I
已知平衡电桥已知平衡电桥 ZZ11=R=R1 1 , Z, Z22=R=R2 2 , Z, Z33=R=R33++jjLL33 。。
求：求： ZZxx=R=Rxx++jjLLxx 。。
平衡条件： Z1 Z3= Z2 Zx 得
RR11((RR33++jjLL33))=R=R22((RRxx++j j LLxx))
∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
例例1212
解解Z1 Z2
Zx Z3
|Z|Z11||1 1 ••|Z|Z33||3 3 = = |Z|Z22||2 2 ••|Z|Zxx||x x
|Z|Z11| | |Z|Z33|| = = |Z|Z22| | |Z|Zxx||
1 1 ++3 3 = = 2 2 ++x x
11 2 3
xx
U UZ Z
Z Z Z Z
1 3 1 2x xZ Z Z Z Z Z
已知正弦电压已知正弦电压Us=380VUs=380V，， f=50Hzf=50Hz 。电容可调。。电容可调。当当 C=80.95ufC=80.95uf 时，电流表时，电流表 AA读读数最小为数最小为 2.59A2.59A ，求此时，求此时 AA11 的的读数。读数。
例13
sU +
_cI
1I
I
1
j C1j L
A A1
R1
解解 0380 0sU s U
以 为参考相量，
1sU
IR j L
c sI j CU
1 cI I I
sU
cI
1I
I
2.59I A
2 9.66c s sI CU fCU A
21
2 22 9.66 2.59 10cI I I A
画相量图辅助分析 分电流比总分电流比总电流大电流大
已知：已知： ZZ=10+j50=10+j50 , , ZZ11=400+j1000=400+j1000 。。o
1 90 ?Sβ I U
问： 等于多少时， 和 相位差
1S 1U Z I Z I
例例 1414（习题（习题9-79-7 ））
解解
I
1I
1β I
Z
Z1
+
_
SU
1
o
1
, 90
.
S SI U U Z
Z
I转
转
分析：
实部为零 相位差为
找出 和 关系： ，
S1
1
(1 ) 410 10 j(50 50 1000)U β Z Z β βI
410 10 0 41β β 令 ，
oS
1
j1000 90 .U
I
故电流领先电压
1 11(1 )Z β I Z I
若将若将 CCCSCCCS 换为可变电容换为可变电容 CC ，求 ωC
1 11 ( )s sU Z I Z I j cU
若若 RR11 未知，可通过测量未知，可通过测量 II 值值来计算，则为二表法来计算，则为二表法
I
已知： U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32, f=50Hz
求： 线圈的电阻 R2 和电感 L2 。方法－、 画相量图分析（一表法）
例例1515（似（似RLRL 实实验）验）解解
R1
R2
L2
+
_
1U
U
2U
+
_
+ _
I
1U
LU
2RU
2U
U
2 2 2
1 2 1 22 cosU U U U U
1 1/ 55.4 / 32 1.73AI U R
1 2 1 2R LU U U U U U
cos 0.4237 115.1
2 180 64.9
2 2 22
cos19.6RU U
RI I
2 22 2sin
= 41.8Ω /(2π ) 0.13 H 3L LU U θ
L XI
X fI
方法二、（似例 9-5 解法）
01 2 255.4 0 80 115U U U
255.4 80cos 115cos
280sin 115sin
02 2cos 0.424 64.93
其余步骤同解法一。
R1
R2
L2
+
_
1U
U
2U
+
_
+ _
I
U
用相量图分析，指定参考相量为
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例例1616
移相桥电路。当移相桥电路。当 RR22 由由 00 时，时，
ab ?U
如何变化
解解1U
CU
CI
CU
'
CI
; ,2
1 , , ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR
当 R2=0，为
为 R2，为
2U
RURU
1 2 1 2
1
2
ab RR C
UU U U U U
U U UU U U
abU
abU
a
bb
º ºa b
1U
2U
CU
CI
R2R1
R1
+
_U
abU
+
-+
-
+
-
RU
+
-
U
2 1( ) ( )ab C RU U U U U U U
3I
例例1717
图示电路，。、、、求：
、、、、212
132
,520021010
RXXIXRRVUAIAI
LCL
R1
R2jXL
+
_
CU
U
+ _
1I
jXC
3I
2I
解 2RU
045
CU
LU
090
2I
1I
用相量图分析，指定参考相量为0 0 0
1 2 13 10 135 10 2 0 1010 45 I AI I I
1 200 1505 10 CR C CU U U VU U
2 22
22 75 2C R L C R R LUU U U U UU
22
15015
10C C
C
UUX
Ij I
1RU
3I
150 45CU
2
75 2 7.5
10 2LR X
例例18 18
三表法测线圈参数。三表法测线圈参数。已知已知 ff=50Hz=50Hz ，，且测得且测得 UU=50V=50V，， II=1A=1A ，， PP=30W=30W 。 求。 求RR、、 LL 值。值。
解解R
L
+
_U
I
ZV
A W*
* 方法一
50 1 50S UI VA
2 2 2 250 30
40
Q S P
VAR
2
30
130
PR
I
2
4040
1L
QX
I 40
100 1
0. 27LX
L H
22
2
30 30Ω
1P I R
PR
I 方法二
5050Ω
1
UZ
I 2 2( )Z R L
22 22 1 4050 30
314 314
1| | 0.127HL Z R
方法三 cosP UI 30cos 0.6
50 1
P
UI
50
50Ω1
UZ
I
Z cos 50 0.6 30R
L | |sin 50 0.8 40ΩX Z
Z
R
X
大多数负大多数负载为感性载为感性
已知：电动机 PD=1000W，功率因数为0.8， U=220V， f =50Hz， C =30F 。
求负载电路的功率因数。
DD
D
1000 5.68Acos 220 0.8P
IU φ
+
_D CU
I
CI
DI
例例1919
解解
oD D cos 0.8 36.8φ φ
o 220 0U
设
o oD 5.68 36.8 , 220 0 j j2.08CI I C
oD 4.54 j1.33 4.73 16.3CI I I
ocos cos(0-( 16.3 )) 0.96φ
已知：已知： ff=50Hz, =50Hz, UU=220V, =220V, PP=10kW, cos=10kW, cos=0.6=0.6 ，，要使功率要使功率因数提高到因数提高到 0.90.9 , , 求并联电容求并联电容 CC ，，并联前后电路的总电并联前后电路的总电流各为多大？流各为多大？ (( 相量又是多少？相量又是多少？ ))
o1 1cos 0.6 53.13φ φ
例例2020
解解o
2 2cos 0.9 25.84φ φ
1 22
3
2
10 10 (tg53.13 tg25.84 ) 557 F
31
(t
4 220
g tg )P
C φ φU
L
RC
U
I
LI
CI
+
_
3
1
10 1075.8
cos 220 0.6L
PI I A
U
未并电容时：
并联电容后：3
2
10 1050.5
cos 220 0.9
PI A
U
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95 , 试问还应增加多少并联电容，此时电路的总电流是多大？
o2 2cos 0.95 18.19φ φ 解解 o
1 1cos 0.9 25.84φ φ
1 22
3
2
10 10 (tg25.84 tg18.19 ) 103 F
31
(t
4 220
g tg )P
C φ φU
310 1047.8
220 0.95I A
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9 即可。
例例 2121功率为功率为 6060WW ，功率因数为，功率因数为 0.50.5 的日光灯（感性）负载的日光灯（感性）负载与功率为与功率为 100100WW 的白炽灯各的白炽灯各 5050 只并联在市电上只并联在市电上（（ 220V220V，， f=50Hzf=50Hz ）。如果要把电路的功率因数提）。如果要把电路的功率因数提高到高到 0.920.92 ，应并联多大的电容？，应并联多大的电容？
解解1 22
(tg tg )P
C φ φU
S
P
Q
60 50 100 50 8000(W)P
cos 0.5 60 tan 3
60 50 tan 3000 3(W)Q
1
3000 3tan 0.6495
8000
Q
P
12tan tan(cos 0.92) 0.4260
2
8000(0.6495 0.4260)
314 220C
117.65μF
电路如图，求各支路的复功率。
o o10 0 236 ( 37.1 ) VU Z
例例 22 22 +
_U
10 0∠ o A
10
j255
-j15
1I
2I
解解 11 (10 25) //(5 j15)Z j
o o 236 ( 37.1 ) 10 0 1882 j1424 VAS 发
2 * 2 *11
1 236 ( ) 768 j1920 VA10 25
S U Yj
吸
2 *22 1113 j3345 VAS U Y 吸
1 2 S S S 吸 吸 发
o o1
5 j1510 0 8.77 ( 105.3 ) A
10 j25 5 j15I
解解 22
o2 1 14.94 34.5 ASI I I
2 21 11 8.77 (10 j25) 769 j1923 VAS I Z 吸
2 22 22 14.94 (5 j15) 1116 j3348 VAS I Z 吸
*o
1 1 10 8.77 ( 105.3 )(10 j25)
1885 j1423 VA
SS I I Z
发
+
_U
10 0∠ o A
10
j255
-j15
1I
2I
电路如图，求（电路如图，求（ 11 ）） RRLL=5=5 时其消耗的功率；时其消耗的功率；（（ 22 ）） RRLL=?=? 能获得最大功率，并求最大功率；能获得最大功率，并求最大功率；（（ 33 ）在）在 RRLL 两端并联一电容，问两端并联一电容，问 RRLL和和 CC 为多大时能与内为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。阻抗最佳匹配，并求最大功率。
oo10 0
(1) 0.89 ( 26.6 )5 5 5
I Aj
例例 23 23
解解5 65 10 50 10 5 5
i LZ R jX
j j
+
_U 10 0∠ o V
50
RL
5 I
=105rad/s2 20.89 5 4WL LP I R 2 2 2 2(2) 5 5 7.07 L eq eqR R X 当 ＋ 获最大功率
oo10 0
0.766 ( 22.5 )5 5 7.07
I Aj
2 20.766 7.07 4.15WL LP I R
+
_U
10 0∠ o V
50
RL
5I
=105rad/s
C
1 (3)
L
Y j CR
2
2 2
1
1
1 ( ) 1 ( )
LL
L
L L
L L
RZ
Y j CR
R CRj
CR CR
2
2
2
51 ( )
51 ( )
L
L
L
L
R
CR
CR
CR
当 10
1 LR
C F
获最大功率
o10 01
10I A
22
max 1 5 5W4
oceq
eq
UP I R
R
注意：并联串联不同
1//L LZ R
j C
电路如图，求电路如图，求 ZZLL=?=? 时能获得最大功率，并求最大功率时能获得最大功率，并求最大功率 ..例例 24 24
I
4 90∠ o A
ZL
－ j30
30-j30
ocU ZL
Zeq
I
+
-
解解 30 ( 30 // 30) 15 45eqZ j j j
04 ( 30 // 30) 60 2 45ocU j j
* 15 45L eqZ Z j 当
2
max
(60 2) 120
4 15P W
有
例例 9-11 9-11 电路如图，负载电路如图，负载 ZZLL 可任意变动，求可任意变动，求 ZZLL 可能获得的可能获得的最最大大功率（功率（ g=0.5S,-0.5Sg=0.5S,-0.5S和和 1S1S 三种情况下）三种情况下） ..
10 -45∠ o ZL
1
+
_sU
-j1
j1
2
10gU
00
11 22
I
解解1 2
1 1 1 1( )1 2 2 1
sn n
UU U
j j j
1 2 1
1 1
2 2n n nU U gU I
U
+
_I
2
1 2 1 j3
j( 1) j( 1)n s
gU U U I
g g g g
ocU ZL
Zeq
I
+
-
1 2
j( 1)oc s
gU U
g g
1 j3
j( 1)eqZg g
10 -45∠ o ZL
1
+
_sU
-j1
j1
2
10gU
00
11 22
I
1 1
1 1( )1 1
sn n
UU gU
j j j
1
1
j(1 )n sU Ug g
1 12oc n nU U gU
1 2
j( 1)oc s
gU U
g g
+
_U
I
XI
12 j (3 )
1x x x
jU I I j I
j j
10
1= [ ]
1x x
jI I gU I g j I
j j
1
( 1) jxI Ig g
3
( 1) j
jI
g g
1 j3
j( 1)eq
UZ
g gI
1 2
j( 1)oc s
gU U
g g
1 j3
j( 1)eqZg g
ocU ZL
Zeq
I
+
-
1) g=0.5S1) g=0.5S 2
0.5 j0.5oc sU U
1 j3
0.5 j0.5eqZ
2 4j
2 4jL eqZ Z 当2 2
max
(20 2)100W
4 4 2oc
eq
UP
R
210 20 2
0.5 2ocU
2) g=-0.5S2) g=-0.5S 0ocU
1 j3
20.5 j1.5eqZ
无功率输出无功率输出
3) g=1S3) g=1S 3
1oc sU U
30ocU 1 j3
1eqZ
1 3j
1 3jL eqZ Z 当2 2
max
30225W
4 4 1oc
eq
UP
R