本章主要内容

5.1 正弦信号与相量 5.2 电路的相量模型 5.3 阻抗与导纳 5.4 相量分析的一般方法 5.5 正弦稳态电路的功率 5.6 三相电路

第五章 正弦交流电路

5.1 正弦信号与相量 正弦交流电：各量（电压、电流、电动势）随时间按正弦规 律变化。

以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般

解析函数式为

i(t)=I m sin(ωt+φ)  

一、正弦量的三要素

1. 振幅（最大值）

正弦量瞬时值中的最大值 , 叫振幅值 , 也叫峰值。 用大写字母带下标“ m”表示 , 如 Um 、 Im 等。

fT

22

其中“ T”表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期。单位为秒 (s) 。

“f”表示正弦量每秒钟变化的周数，称为频率。单位为赫兹 (Hz) 。 f=50 Hz ，称为我国的工业频率，简称“工频”。

周期和频率互成倒数， 即

Tf 1

3. 初相

i(t)=I m sin(ωt+φ) ， 正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角。

t=0 时， 相位为φ， 称其为正弦量的初相。

2. 角频率ω 角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数 , 即

单位为 rad/s 或 1/s

u

0

U m

tT

2( ) T

如下图正弦量的三要素：幅值为 Um 、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　角频率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　初相为０

fT

22

二、相位差

相位差指两个同频率正弦量的相位之差。 如：

两个同频率的正弦量 u 1(t)=U 1m sin(ωt+ φ1)  

u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)

φ12 =(ωt+ φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2相位差

相位差＝初相之差由此得：

同频率正弦量的几种相位关系：

（１）超前关系

φ12= φ 1 -φ 2>0 且 |φ12|≤π 弧度，称第一量超前第二量。

（２）滞后关系

φ12= φ 1 -φ 2 <0 且 |φ12|≤π 弧度，称第一量滞后第二量，

即，称第二量超前第一量。

φ12= φ 1 -φ 2 =0, 称这两个正弦量同相。

（３）同相关系

（４）反相关系

φ12= φ 1 -φ 2 ＝ π, 称这两个正弦量反相。

例：判断下图正弦量的相位关系：

(a ) (b ) (c ) (d )

t t tt0 0 0 0

i

i

u

u u

u 1

u 2

i

i2

i1

iu

i

u

u

i 1

2

12

2

解： (a)u 和 i 同相； 　　 (b)u1 超前 u2 ；

　　 (c)i1 和 i2 反相；

　　 (d)u 和 i 正交。

三、正弦量的有效值

一直流电流 I和一交流电流 i分别通过同一电阻 R, 在同一个周期 T内所产生的热量相等， 那么这个直流电流 I的数值就叫做交流电流 i的有效值。

T

T

T

dtuT

U

dtiT

I

dtRiRTI

0

2

0

2

0

22

1

1

由此得出

交流电流的有效值为

同理， 交流电压的有效值为

正弦交流电流的有效值为

2)0(

2)2cos(

2

2

2cos1sin

1

2

0 0

2

0

2

0

22

mI

TT

Itdtdt

T

I

dtt

T

ItdtI

TI

mT T

m

Tm

T

m

mm

mm

UU

U

II

I

707.02

707.02

由此得出有效值和最大值关系：

例：电压有效值为２２０ V ，则最大值为：

VUm 3112220

四、正弦量的相量表示法 1 、复数的运算规律

22222

11111

rjbaA

rjbaA

复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。如：

相加、减的结果为： A1±A2= （ a1+jb1 ） ±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)

复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加； 两个复数相除，将模相除，辐角相减。如：

2121)(

2121212121 rrerrererAA jjj

212

1

2

1

2

1

2

1

rr

erer

j

j

A

A

复数有两种表示法：实部与虚部的形式；模与辅角的形式。

je j 90

je j 90

sincos je j 欧拉公式：

1/j=-j

2. 正弦量的相量表示 设有一复数它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复

指数函数。因为

)()( tjeAtA

tjtjjtj AeeeAeAtA )()(

)sin()cos()( )( tAjtAeAtA tj

可见 A(t) 的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。

tjmm

tjm

tjjm

ttjmu

eUIeUI

eUeI

UeItUtu

u

u

..

)(

2

2

]2[)sin(2)(

式中

同理

...

2UUUeU mj u 或

...

2 IIIeI mj i 或

把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。

mUU..

和

例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V ， u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。 求：⑴ 求相量 ； (2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （ 3 ） 画出相量图

。和 2

.

1 UU

VjeU

VjeU

j

j

)35.3535.35(50455042

7.70

)6.8650(1006010032

141

452

601

＝＝＝

解（ 1 ）

Vttu

e

jjUUUj

)31sin(255.99)(

55.993155.99

)35.3535.35()6.8650(31

21

（ 2）

（ 3 ） 相量图如图所示

3. 两个同频率正弦量之和

设有两个同频率正弦量

)sin(2)sin()(

)sin(2)sin()(

22122

11111

tUtUtu

tUtUtu

m

m

方法：

(1) 写出相应的相量， 并表示为代数形式。

(2) 按复数运算法则进行相量相加， 求出和的相量。

(3) 作相量图， 按照矢量的运算法则求相量和。

5.2 电路的相量模型

一、 KCL 和 KVL 的相量模型

0U

0I

二、基本元件的相量模型 1 、 电阻元件 根据欧姆定律得到

)sin(2)sin(2 iu tRItU

上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的，相量、波形图如图所示。

其相量关系为：

iu IIUU

IRU

IRU

,

22

其中

即

图 电阻元件的电压、电流相量及波形图

2 、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：

..

ILjU

由上式可得 U= ωLI =XLI

90iu

上式表明电感上电流滞后电压为 90°。

通常把 XL=ωL 定义为电感元件的感抗，它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL 。对于一定的电感 L ，当频率越高时，其所呈现的抗感越大，反之越小。在直流情况下，频率为零， XL=0 ，电感相当于短路。

图 电感元件的波形、相量图

电感元件的波形、相量图如图所示。可以看出，电感上电流滞后电压为 90°。

3 、 电容元件 电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：

..

UCjI

将上式改写为：

90

1

90

ui

C

uui

IXICC

IUCUI

CUCUjI

或即

I

通常把 XC= 定义为电容的容抗。电容元件上，电流振幅为电压振幅的ωC倍 。

C1

图 电容元件的波形、相量图

以上表明电容电流超前电容电压 90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图所示。

1. 复阻抗

设由 R、 L、 C串联组成无源二端电路。如图 4-8所示，流过各元件的电流都为 I， 各元件上电压分别为uR(t) 、 uL(t) 、 uC(t) ，端口电压为 u (t) 。

5.3 阻抗与导纳

ZI

jXRI

XXjRI

jXIjXIRIUUUU

CL

CLCLR

)(

)]([

)()(

Z

UI

＝即：

jXReZeI

U

I

UZ Ziu

jj

)(

上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律。 Z为该无源二端电路的复阻抗（或阻抗），它等于端口电压相量与端口电流相量之比，当频率一定时，阻抗 Z是一个复常数，可表示为指数型或代数型，即：

式中∣ Z∣称为阻抗的模，其中 X=XL-XC 称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即

22 XRI

UZ

Z

R

XXarctg

R

Xarctg CL

iuZ

i

u

I

UZZ

I

U

|Z| 称为该电路的阻抗，是复阻抗的模。

iu

I

UZ

Z 是一个复数 , 所以又称为复阻抗。

φ 为阻抗角，是复阻抗的幅角复阻抗、阻抗的单位都为 Ω 。

Z 是一个复数 , 所以又称为复阻抗

jXRZ 复阻抗的另一形式

R

X

XRZ

arctan

22

它们之间符合阻抗三角形。Z 的实部为 R, 称为“电阻” , Z 的虚部为 X, 称为“电抗”，

R

X| Z |

阻抗三角形

2. 复导纳

图 RLC 并联电路

对于如图所示 R 、 L 、C 并联电路，根据相量形式得 KCL ，得到：

CLR IIII

UY

UjBG

UBBjG

UjBUjBUG

UjBUjBUGI

CL

CL

CCLLR

][

)]([

)(

)(

zuiYm

m

jjj

j

ZU

I

U

IY

eYeU

I

Ue

Ie

U

IY Yui

u

i

,1

. )(

＝＝所以

由于

Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。∣ Y∣称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。 称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。

y

相量法的实质是将正弦稳态的电压和电流用相量表示，元件的参数用阻抗或导纳表示，在复数领域内分析正弦稳态电路。所以，对于一般网络，前面各章介绍的各种方法和定理也都完全适用。（即把电阻性网络分析方法中的电阻换成阻抗或导纳）

5.4 相量分析的一般方法

5.5 正弦稳态电路的功率

一、瞬时功率 p

ZU

.

I.

)]2cos([cos

)]cos()[cos(2

12

sin)sin(2`

sin2)sin(2

)sin(2

sin2

tUI

ttttUI

ttUI

tItUuip

tUu

tIi

R 、 L、 C元件的功率和能量

1 . 电阻元件的功率

正弦稳态电路中，在关联参考方向下，设电阻元件电流电压：

IR (t)=Im sinωt A

uR(t)=Im R sinωt =Um sinωt V

则瞬时功率为

pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt=URIR （ 1-cos2ωt ） W

由于 cos2ωt≤1, 故

pR （ t ） =URIR （ 1-cos2ωt ）≥ 0

其瞬时功率的波形图如 4-10 所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR （ t）≥ 0 ，说明电阻元件是耗能元件。

电阻的平均功率（与直流电路相似）

R

URIIU

dttIUIUT

dttpT

P

RRR

T

RRRR

T

R

22

002cos

1)(

1

2.电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为

则电感电压为：

VtU

VtXItu

L

LLL

)2

sin(2

)2

sin(2)(

tAIti LL sin2

其瞬时功率为

tIU

ttIU

titutp

LL

LL

LLL

2sin

sin)2

sin(2

)()()(

上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且 pL(t) 的值可正可负，其波形图如图所示。

图 电感元件的瞬时功率

从图上看出，当 uL(t) 、 iL(t)都为正值时或都为负值时， pL

(t) 为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。

02sin1

)(1

00 tdtIU

Tdttp

Tp L

T

L

T

LL

电感消耗的平均功率为：

电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。

3 ．电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流、电

压为 : tAIti cc sin2)(

VtU

VtXItu

C

ccc

)2

sin(2

)2

sin(2)(

其瞬时功率为：

tIU

ttIUtitutp

cc

ccccc

2sin

sin)2

sin(2)()()(

图 电容元件的瞬时功率

从图上看出， pc(t) 、与 pL(t) 波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零，即：

T

cc

T

c dttIUT

dttpT

p00

0)2sin(1

)(1

电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。

二、有功功率 P（平均功率）

RIIUP

IUPUIP

UIUIP

UI

dttUIT

dtUIT

dttUIT

pdtT

P

R

RR

TT

TT

2

00

00

cos

cos

cos

)]2cos([1

)cos(1

)]2cos([cos11

三、无功功率 Q

CL QQQ

UIQ

sin

四、视在功率 S

UIS

五、功率因数

S

P cos

单位：伏 · 安 (V·A) ， 常用的单位还有千伏 · 安 (kV·A)

22

222

QPS

QPS

SQ

P

功率三角形

P、 Q、 S之间存在如下关系

P

Qarctg

UIQPS

SUIQ

SUIP

Z

ZZ

ZZ

22

sinsin

coscos

工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复数，称为复功率，用 表示复功率，即 = P + j Q

~

S

~

S

六、共轭匹配（与最大功率传输相似）

Z S

Z L

£«

£

U S

.

I.

)()(

...

LSLS

S

LS

S

XXjRR

U

ZZ

UI

22 )()( LSLS

S

XXRR

UI

22

22

)()( LSLS

LSLL XXRR

RURIP

只改变 XL ，保持 RL 不变， 当 XS+XL=0 时，即 XL=－ XS ， PL 可以获得最大值

sss jXRZ LLL jXRZ 令

2

2

)( LS

LSL RR

RUP

改变 RL ， 使 P L 获得最大值的条件是

0L

L

dR

dP

得 RL=RS

所以负载获得最大功率的条件为

SL

SL

RR

XX

ssSL jXRZZ

即

最大功率为

S

S

R

UP

4

2

max

例：一 R 、 L 串联的电感线圈，用电压表测端口的电压为50V ，电流表读数为 1A ，功率表的读数为 30W ，工频情况下求 R 、 L 值。

解：

13.53)50

30arccos(

30cos

501

50

UIpI

UZ

mHL

R

jZ

12740

30

)4030(13.5350

mHL

L

I

ULRZ

RRIP

12740

403050

50)(

3030

22

22

2

另解：

一、 三相对称正弦交流电压

N

S

120°

W1

V2

U2

W2V1

U1

1. 1. 三相电源及其连接三相电源及其连接

三相正弦电压源是三相电路中最基本的组成部分， 由三相交流发电机的三相绕组产生。

5.6 三相电路

三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合，且单相交流电源的频率相等，幅值（最大值）相等，相位彼此相差 120°。

三相正弦电压的解析式

)120sin(

)120sin(

sin

tUu

tUu

tUu

pmW

PmV

pmU

为相电压的有效值2

pmp

UU

U V

.U W

.U U

.£« £½£

U V

.

U W

.

U U

.

三相正弦电压的向量图

三相正弦电压的向量关系

0

0

WVU

WVU

uuu

UUU

1201200 pWpVpU UUUUUU

三相正弦电压的波形

uuW uU uV

t360°240°120°

0-120°

t2t1

三相电源的连接 将三相电源按一定方式连接之后，再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图所示。低压配电系统中，采用三根相线和一根中线输电，称为三相四线制；高压输电工程中，由三根相线组成输电，称为三相三线制。每相绕组始端与末端之间的电压，也就是相线和中线之间的电压，叫相电压，其瞬时值用 u1 、 u2 、 u3表示，通用 up表示。

图 星形连接

任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用 u12 、 u23 、u31 表示，通用 ul 表示。

由于 u12=u1-u2

u23=u2-u3

u31=u3-u1

其次，作出线电压和相电压的相量图，如图所示。

图 星形连接线电压相电压的相量图

所以

同理

01

.00

1

.

12

.

30330cos302 UUU

03

.

31

.

02

.

23

.

303

303

UU

UU

一般写为 0..

303 pl UU

作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前 30°。

3

由于 构成等腰三角形，所以

1221 UUU 、、

2. 三相负载的星形连接 三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。

负载的星形连接

图 三相负载的星形连接

在负载星形连接时，线电流等于相电流，即

若三相负载对称，即 Z1=Z2=Z3=Zp ，因各相电压对称，

所以各相电流相等，即：

I1=I2=I3=IYP=

YPYl II

P

YP

Z

U

由基尔霍夫电流定律知 　

同时，三个相电流的相位差互为 120°，满足

00 321321

iiiIII 或

321 iiiiN

略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即：3

YPl UU 3

UYP 为星形联接负载相电压。

三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，即 I1 、 I2 、 I3 ，

用 表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用 IYP 表示，其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用 IN 表示，其方向规定由负载中点 N/ 流向电源中点 N。

YlI

这样，对称的三相负载作星形联接时，中线电流为零。这时，可以省略中线而成为三相三线制，并不影响电路工作。 如果三相负载不对称，各相电流大小就不相等，相位差也不一定是 120° ，中线电流不为零，此时就不能省去中线。否则会影响电路正常工作，甚至造成事故。所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外，中线上不准安装熔丝和开关。

负载的三角形连接

如图所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。

图 三相负载的三角形连接

对于对称三相负载，相电压等于线电压，即

Lp UU P

PP Z

UI

同时，各相电压与各相电流的相位差也相同。即三相电流的相位差也互为 120°。各相电流的方向与该相的电压方向一致。

由 KCL知

23313

12232

13121

iii

iii

iii

作出线电流和相电流的相量，如图所示。

相电流：

图 三角形连接线电流和相电流的相量图

从图中看出：各线电流在相位上比各相电流滞后 30°。由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差 120°。

可以看出 Il=2I12cos30=

1212 32

32I

I

所以 pL II 3

这些说明：对称三相负载呈三角形连接时，线电流的有效值为相电流有效值的 倍，线电流在相位上滞后于相电流 30°。3

3. 　三相电路的功率 三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和： P=P1+P2+P3

Q=Q1+Q2+Q3

S=S1+S2+S3

当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相功率的三倍。

通常，相电压和相电流不易测量，计算三相电路的功率时，是通过线电压和线电流来计算。不论负载作星形连接还是三角形连接，总的有功功率、无功功率和视在功率，计算三相负载总功率的公式是相同的，即：

ll

Zll

Zll

IUS

IUQ

IUP

3

sin3

cos3

即：

ppp

Zppp

Zppp

IUSS

IUQQ

IUPP

33

sin33

cos33

例 三相四线制电路中 , 星形负载各相阻抗分别为 ZU=8+j6Ω,

ZV=3 － j4Ω,ZW=10Ω, 电源线电压为 380V, 求各相电流及中线电流。

VUVU

U Ul

p

02202203

解 设电源为星形连接 , 则由题意知：

AjZ

UI

U

U

U

9.36229.3610

0220

68

0220

AZ

UI

AjZ

UI

W

WW

V

VV

12022010

120220

10

120220

9.66441.535

120220

43

120220

AIIII WVUN

4.5542

例 对称负载接成三角形 , 接入线电压为 380V 的三相电源 , 若每相阻抗 Z=6+j8Ω, 求负载各相电流及各线电流。

解 设线电压为：

AIZ

UI

AIZ

UI

jZ

UI

UVWU

WU

UVVW

VW

UVUV

9.6638)1201.53(38120

1.17338)1201.53(38120

1.53381.5310

0380

86

0380

VU UV

0380

负载各相电流：

负载各线电流为：

AII

AII

AII

UW

UV

UVU

9.36661201.8366120

9.156661201.8366120

1.8366301.53383303

例 一台三相异步电动机，输出功率为 7.5kW 。接在线电压为 380V 的线路中，功率因数为 0.86 ，效率为 86% 。试求正常运行时的线电流。

cos3 11IUPP 入出

则：

解 三相异步电动机是对称三相负载， 输出功率为：

4.1586.086.03803

7500

cos3 1

1 U

PI