Методы вычислительного эксперимента

Введение

0. Введение. Общие сведения.

Объем курса – 34 часа лекции72 часа лабораторные занятия

Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica

Форма отчетности – экзамен (5 семестр)

Преподавание обеспечивает кафедра кибернетики

Лектор – Воротницкий Юрий Иосифович

0. Введение. Цели и задачи дисциплины.

Ознакомить с фундаментальными основами дисциплины «Методы вычислительного эксперимента»

Дать необходимые знания в области построения конструктивных вычислительных алгоритмов для решения типовых задач математического моделирования в радиофизике и электронике

Сформировать навыки формализации, разработки математических моделей и реализации вычислительных алгоритмов задач поиска оптимальных решений

0. Введение. Литература.

Основная1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука,

1980, 536 с.2. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974.3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986,

318 с.4. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:Наука,

1985, 334 с.5. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в

физике. М.: Наука, 1983, 235 с.6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –

М.: Мир, 1982.7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975

Дополнительная1. Таха Х. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. – М.: Издательский

дом «Вильямс», 2001. 2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.- М.:Мир, 1975, 392 с.3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.

0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.

Вычислительный эксперимент – методология исследования сложных научных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемых объектов.

Суть эксперимента: исследование объекта с целью изучения его характеристик в зависимости от условий эксперимента.

Цели эксперимента: Проверка гипотез, установление новых законов и

закономерностей окружающего нас мира. Целенаправленный поиск параметров объекта,

обеспечивающих наилучшие (заданные) характеристики

0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.

Что позволяет вычислительный эксперимент: Расширение области экспериментальных

исследований Исследование недоступных объектов Исследование несуществующих объектов Возможность изменения физических законов

Расширение сферы теоретических исследований: Новые методы описания моделей (алгоритмическое

описание) Применение методов оптимального проектирования

для поиска параметров объекта исследования с наилучшими характеристиками

0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента

Абстрагирование объекта исследования

Построение математической модели

Построение вычислительного алгоритма

Разработка программного обеспечения

Проведение вычислений и анализ результатов


Абстрагирование объекта исследования: Определение главных (учитываемых) и второстепенных

(отбрасываемых) факторов. Формулировка физических законов, на основании которых будет

строиться модель. Оценка границ применимости модели.

Результат - физическая модель

Построение математической модели: Формализация – представление модели в математической

форме Предварительное исследование математической модели

(корректность, существование и единственность решения). Оценка границ применимости модели.

Результат - математическая модель


Построение вычислительного алгоритма: Дискретизация математической модели Разработка алгоритма Предварительное исследование алгоритма (выполнимость,

конечность, вычислительная сложность, устойчивость и др.) Результат – алгоритмическая модель

Разработка программного обеспечения: Выбор технологий и средств проектирования и

программирования Проектирование Кодирование (написание текста программы) Верификация, отладка, тестирование.

Результат - программная модель


Проведение вычислений и анализ результатов: Планирование вычислительного эксперимента. Проведение расчётов на ЭВМ. Анализ расчётов с целью установления новых следствий

из законов поведения объекта, оптимизация его параметров.

Уточнение границ применимости физической и математической моделей, алгоритмов и программных средств

Результат - завершение исследований, либо корректировка физической, математической, алгоритмической, программной моделей и повторение цикла вычислительного эксперимента

0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента

Существенные параметры объекта:Входные

объект на явоздействи внешние - ),...,,( 21T

ltttt

модели параметры входные - ),...,,( 21T

lnyyyy

параметры внутренние енезависимы - ),...,,( 21T

nxxxx

Выходные:

Tk),...,,( 21

yB

• Прямая задача: по известным входным параметрам найти значения выходных


),...,,( 21T

lnyyyy

Tk ),...,,( 21

1By

• Обратная задача: по известным выходным параметрам восстановить значения выходных

- известны

- полностью или частично неизвестны

• При невозможности построения обратного оператора B-1 обычно строится итерационный процесс


),...,,( **2

*1

* Tnxxxx

Tk ),...,,( **

2*

1*

**1 ),( txB

• Задача оптимизации: найти значения независимых внутренних параметров, приближающих выходные характеристики к заданным

- известны

- заданы

Tltttt ),...,,( 21

- требуется найти

**1 ),( txB


**1 ),( txB

k

f

Модели. Дискретизация

1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи


Будем рассматривать двухпроводные линии передачи

Ограничимся квазистатическим приближением (поперечная ТЕМ – волна) Описывать волновой процесс будем в терминах токов и

напряжений в линии как функций координаты и времени Потерями на излучение пренебрегаем

В качестве входных параметров модели можно использовать обобщенные параметры: погонные емкость, сопротивление, индуктивность, проводимость

Модель линейная Параметры линии не зависят от величин токов и

напряжений Анализ границ применимости


V t( )

x + d xx x0

L R

G C R н


Существенные параметры объекта:

Входные:

Выходные:

)(),(),(),(R , xLxGxCxl

HR ),(tV

),(),,( txItxUНезависимые

Внешние воздействия:

Физические законы:Закон сохранения электрического зарядаЗакон Ома для участка цепи

1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии

)(),(),(),(R , xLxGxCxlHR ),(tV

),(),,( txItxU

V t( )

x + dxx x0

L R

G C R н


V t( )

x + dxx x0

L R

G C R н

dxtxUtdxxUtxUU x ),(),(),(

dxxLtxIdxxRtxIdxtxUU tx )(),()(),(),(

=0


V t( )

x + dxx x0

L R

G C R н

=0

]),([])([ dttxUdxxCUCQCUQ t

dxxCtxUdttxUdxdttxGtxUdxdttxIQ x )()],(),([),(),(),(

dxdtxCtxUdxdttxGtxU t )(),(),(),(


dxdtxCtxUdxdttxGtxU

dxdttxIQ

t

x

)(),(),(),(

),(

dxxLtxIdxxRtxI

dxtxUU

t

x

)(),()(),(

),(

)()(

)()(

xCUxUGI

xLIxIRU

tx

tx


V t( )

x + dxx x0

L R

G C R н =0

)()0,(

)()0,(

0

0

xIxI

xUxU

[,0[ ];,0[

)()(

);()(

tlx

xCUxUGI

xLIxIRU

tx

tx

0),(

)(),0(

tlU

tVtU


)()(

)()(

xCUxUGI

xLIxIRU

tx

tx

0),(

)(),0(

tlU

tVtU

0

const

const

GR

C

L

ttxxttxt

xtxx

tx

tx LCUUCUI

LIU

CUI

LIU

CxIxU

xUxU

xt /)()0,(

)()0,(

0

0

[;,0[ ];,0[

;

tlx

LCUU ttxx

1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным

диэлектрическим заполнением

x

l0

)cos()(),(

)cos()(),(

2

1

txItxI

txUtxU

a

a

0

),(),(

),(),(

)cos()(

H

a

R

xLLxGG

xRRxCC

tVtV



2

1

)(

)(

ia

ia

exI

exU

I

U

])(Re[),(

])(Re),(ti

ti

extxI

extxU

I

[U

)()(

)()(

xCUxUGI

xLIxIRU

tx

tx

)()()()()(

)()()(

xCeixxGexex

LeixRexextititi

x

tititix

UUI

IIU



)()()()()(

)()()(

xCixxGxx

LixRxx

x

x

UUI

IIU

)()()( xCixGxg

constLiRr

)()(

)(

xxg

xr

x

x

UI

IU

0)(

)0(

lU

VU iVeV



)()(

)(

xxg

xr

x

x

UI

IU

0)(

)0(

lU

VU

)()()()(

/

xxrgxxg

rr

xxx

xxxxxx

UUUI

UIIU

0)(

)0(

)(

l

xxx

U

VU

UU

2. Дискретизация2.1. Метод сеток (Метод конечных разностей)

;

;),...,,(

);()(

321

Dx

xxxxx

xfxUT

n

L

[;,0[ ];,0[

;

tlx

LCUU ttxx

t

x0 li

j(I, j)

2. Дискретизация2.2. Проекционные методы

;

;),...,,(

);()(

321

Dx

xxxxx

xfxUT

n

L

N

iii

iii xaxxaxxU

10

10 )()()()()(

2. Дискретизация2.3. Замена физического объекта дискретным аналогом

],0[

0

0

lx

U(l)

V)U(

(x)UU xx

x

l0

xixii

xx

xx

ii eCeCU

eCeCxU

UU

21

21)(

3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных

],0[

0

0

lx

U(l)

V)U(

(x)UU xx

xx0

X=0

x1 … xk-1 xk xk+1 … xn

X=l

h=l/n

k

k

k

k

xxkxx

x

xkxx

kk

UxUdx

Ud

UxUdx

dUUxU

)(

)( ;)(

2

2


;2

1

2

22

1

dx

Udh

dx

dUhUU

kxkk 11 kk xx

)(

2

21

12

hO

kkx

x dx

Udh

h

UUU

dx

dUk

k

h

UUU

dx

dU kkx

xk

k

1


;2

2

2

22

1

dx

Udh

dx

dUhUU

kxkk kk xx 21

)(

2

21

22

hO

kkx

x dx

Udh

h

UUU

dx

dUk

k

h

UUU

dx

dU kkx

xk

k

1


kk xx 21

11 kk xx ;62

1

3

33

2

22

1

dx

Udh

dx

Udh

dx

dUhUU

kk xxkk

;62

2

3

33

2

22

1

dx

Udh

dx

Udh

dx

dUhUU

kk xxkk

21

3

3

3

33

11 62

dx

Ud

dx

Udh

dx

dUhUU

kxkk

-


21

3

3

3

33

11 62

dx

Ud

dx

Udh

dx

dUhUU

kxkk

21

3

3

3

3211

122 dx

Ud

dx

Udh

h

UU

dx

dU kk

xk

h

UUU

dx

dU kkx

xk

k2

11


h

UUU

dx

dU kkx

xk

k2

11

h

UUU

dx

dU kkx

xk

k

1

h

UUU

dx

dU kkx

xk

k

1


U

xxk-1xk+1xk0

1

2

34


kk xx 21

11 kk xx

+

;2462

1

4

44

3

33

2

22

1

dx

Udh

dx

Udh

dx

Udh

dx

dUhUU

kkk xxxkk

;2462

2

4

44

3

33

2

22

1

dx

Udh

dx

Udh

dx

Udh

dx

dUhUU

kkk xxxkk

21

4

4

4

44

2

22

11 242

dx

Ud

dx

Udh

dx

UdhUUU

kx

kkk


21

4

4

4

44

2

22

11 242

dx

Ud

dx

Udh

dx

UdhUUU

kx

kkk

21

4

4

4

42

211

2

2

24

2

dx

Ud

dx

Udh

h

UUUU

dx

Ud kkkxx

xk

k

211

2

2 2

h

UUUU

dx

Ud kkkxx

xk

k

3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток

211

2

2 2

h

UUU

dx

Ud kkk

xk

],0[

0

0

lx

U(l)

V)U(

(x)UU xx

xx0

X=0


X=l

h=l/n


],0[

0

0

lx

U(l)

V)U(

(x)UU xx

xx0

X=0


X=l

h=l/n

.0

;

;1,...2,1 ;)(2

0

211

n

kkkkkkk

U

VU

nkUUxh

UUU


.0

;

;1,...2,1 ;2

0

211

n

kkkkk

U

VU

nkUh

UUU

0

1,...,2,1 ;0)2(

0

12

1

n

kkkk

U

VU

nkUUhU


0

1,...,2,1 ;0)2(

0

12

1

n

kkkk

U

VU

nkUUhU

0

...

0

...

21...0

1...10

...121

0012

1

2

1

12

22

12 V

U

U

U

h

h

h

nn

3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы

x

U

0 l

v

0

0

U(l)

V)U(

(x)UU xx

],0[

0

0*

lx

Y)(U

V)U(

(x)UU

x

xx

*)0( YUtg x


0)( ,

],0[

0

0

*

lUчтотакоеYНайти

lx

Y)(U

V)U(

(x)UU

x

xx

x

U

0l

v


],0[

0

0

lx

Y)(U

V)U(

(x)UU

x

xx

Алгоритм метода стрельбы сводится к численному решению относительно Y нелинейного уравнения

0),( lx

YxU

при этом значения функции U вычисляются путем численного решения задачи


],0[

0

0*

lx

Y)(U

V)U(

(x)UU

x

xx

Найдя решение нелинейного уравнения Y=Y*, автоматически получают приближенное решение исходной задачи, так как решения задач

],0[

0

0

lx

U(l)

V)U(

(x)UU xx

совпадают (разумеется, с некоторой точностью, определяемой точностью решения нелинейного уравнения и точностью численного интегрирования

3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений

Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат

2

2

2

2

,0yx

U

квадратасторонахна),(

10

10

0

yxgU

y

x

UU yyxx

х

y

1

1


х

y

Хn=1

y0=0

Х1 Хk

y1

yj

yn=1

Х0=0

Uk,j(k,j)

h=1/n

2

,1,,1

,

2

h

UUUU jkjkjk

yxxxjk

2

1,,1,

,

2

h

UUUU jkjkjk

yxyyjk


U k j, + 1

U k j + 1 ,

U k j, 1

U k j, U k 1 j ,

022

2

1,,1,

2

,1,,1

h

UUU

h

UUU jkjkjkjkjkjk

04 ,1,1,,1,1 jkjkjkjkjk UUUUU

)1,(

)0,(

),1(

),0(

,

0,

,

,0

knk

kk

ijn

ij

xgU

xgU

ygU

ygU 1,1,1,1 njnk

1,1,,1,1, 4

1 jkjkjkjkjk UUUUU


U k j, + 1

U k j + 1 ,

U k j, 1

U k j, U k 1 j ,

)1,(

)0,(

),1(

),0(

,

0,

,

,0

knk

kk

ijn

ij

xgU

xgU

ygU

ygU

1,1,1,1 njnk

1,1,,1,1, 4

1 jkjkjkjkjk UUUUU

Разностное уравнение – уравнение, полученное путем замены производных в исходном ДУ конечно-разностными аппроксимациями

Разностная схема – разностное уравнение + дискретные аналоги граничных (и начальных) условий

Вычислительный шаблон – совокупность узлов сетки, участвующих в аппроксимации производных в одном из узлов

3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби

nkksnk

kks

k

jnjsjn

jjsj

gxgU

gxgU

gygU

gygU

,)1(

,

0,)1(

0,

,)1(

,

,0)1(

,0

)1,(

)0,(

),1(

),0(

1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks

)(1,

)(1,

)(,1

)(,1

)1(, 4

1 sjk

sjk

sjk

sjk

sjk UUUUU

Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й

итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.

Метод Якоби (метод одновременных смещений):

1

1

1

1,,0,0,

)0(, )()(

)1(4

1 n

k

n

jjnjnkkjk gggg

nU

nknk

kk

jnjn

jj

gU

gU

gU

gU

,)0(

,

0,)0(0,

,)0(

,

,0)0(

,0 Начальные значения на 0-й итерации:


1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].

2. Положить v:=0;

3. Для i=1..n-1 выполнить

x:=i*h; y:=i*h;

Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,n]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,n]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);

4. Положить v:= v/4/(n-1)

5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v


Ua Ub


1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].



x:=i*h; y:=i*h;

Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,1]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);


5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v


6. Выполнять в цикле

Положить δ:=0;

Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить

Ub[k,j]:=(Ua[k-1,j]+ Ua[k+1,j]+Ua[k,j-1]+ Ua[k,j+1])/4;


Ua[k,j]:=(Ub[k-1,j]+ Ub[k+1,j]+Ub[k,,j-1]+ Ub[k,,j+1])/4. Если δ<| Ua[k,j]-Ub[k,j]|, положить δ:=| Ua[k,j]-Ub[k,j]|

До тех пор, пока δ> ε

7. Вывести массив Ua

8. Завершить работу


Ua Ub

0-я итерация


Ua Ub


Ua Ub

0-я итерация 1-я итерация


Ua Ub


Ua Ub

δ


Ua Ub


Ua Ub

2-я итерация 1-я итерация

3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана

nkksnk

kks

k

jnjsjn

jjsj

gxgU

gxgU

gygU

gygU

,)1(

,

0,)1(

0,

,)1(

,

,0)1(

,0

)1,(

)0,(

),1(

),0(

1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks

)1(1,

)(1,

)1(,1

)(,1

)1(, 4

1

sjk

sjk

sjk

sjk

sjk UUUUU

Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й

итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.

Метод Либмана (метод последовательных смещений):

1

1

1

1,,0,0,

)0(, )()(

)1(4

1 n

k

n

jjnjnkkjk gggg

nU

nknk

kk

jnjn

jj

gU

gU

gU

gU

,)0(

,

0,)0(0,

,)0(

,

,0)0(

,0 Начальные значения на 0-й итерации:


1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],



x:=i*h; y:=i*h;

U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);


5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v


U


1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],



x:=i*h; y:=i*h;

U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);


5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v


6. Выполнять в цикле

Положить δ:=0;


Положить q:=U[k,j]

U[k,j]:=(U[k-1,j]+ U[k+1,j]+U[k,j-1]+ U[k,j+1])/4 Если δ<| U[k,j]-q|, положить δ:=| U [k,j]-q]|

До тех пор, пока δ> ε

7. Вывести массив U

8. Завершить работу.


U

3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)

1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks

)(,

)1(,

)(,

)1(,

sjk

sjk

sjk

sjk UUUU

Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й

итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.

Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:

s

Uk,j

3. Метод сеток3.7. Экстраполяция по Ричардсону

1)/(

)/(

;

);(

);(

;

221

221

22

21

2

1

222

211

12

2

1

2

1

21

hh

UhhUU

h

h

UU

UU

hOUU

hOUU

UиUВведем

hh

h

h

h

h

hh

3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы

DyxgU

Dx

yxfUU yyxx

границена),(

),(

х

y

3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы

0),(4 ,

1,1,,1,1

jkjk

jkjkjkjk

yxfU

UUUU

2

,1,,1

,

2

h

UUUU jkjkjk

yxxxjk

2

1,,1,

,

2

h

UUUU jkjkjk

yxyyjk

y

Хn=1

y0=0

Х1 Хk

y1

yj

yn

Х0=0

Uk,j(k,j)

h=1/n

jkjkjk

jkjk

jk fUU

UUU

,1,1,

,1,1

, 4

1

3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

xxt UU

,10 x 0t),( txUU

)()0,( xgxU

)](),1([),1(

)(),0(

tqtUtU

ttU

x

t

x


xxt UU

,10 x 0t),( txUU

)()0,( xgxU

)](),1([),1(

)(),0(

tqtUtU

ttU

x

t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

2

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

xx jk

kjjk

t

UUU

jk

1,

,

h

UUU jkjk

x jk

,1,

,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

2

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

xx jk

kjjk

t

UUU

jk

1,

,

h

UUU jkjk

x jk

,1,

,

jjj

kkk

tU

gxgU

)(

)(

,0

0,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

2

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

xx jk

kjjk

t

UUU

jk

1,

,

2

,1,,11,

h

UUUUU jkjkjkkjjk

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

h

UUU jkjk

x jk

,1,

,

11,1,11,

jjk

jkjk qUh

UU

h

UUU jkjk

x jk

1,11,

1,

h

UhqU jkj

jk

1

1,111, h

UhqU jnj

jn

1

1,111,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

h

UhqU jnj

jn

1

1,111,

jjj

kkk

tU

gxgU

)(

)(

,0

0,

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,

k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

jjj

kkk

tU

gxgU

)(

)(

,0

0,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

jkjkjk

jkjk

UUUh

UU

,1,,1

2,1,

j=0, k=1,2,,,n-1


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

h

UhqU jnj

jn

1

1,111,


t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

j=1, k=1,2,,,n-1


h ,

0

о ш и б ка о к р у гл е н и я

с у м м а р н а я о ш и б к а

о ш и б каа п п р о кс и -м а ц и и

3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость

0 )()(~

:

).()(~

;),()(~

L

);()( );( ;LL

;,...,2,1,0 ,:

;),()(L

h

h

hприxUxU

сходимость

xUxU

GxxfxU

xUxUxf)xf(

nkGxh

GxxfxU

khkh

khkh

hkkhkh

khkh

hk


. ;0)(lim

,

~

);()(~

)(

:

0hkkh

h

h

h

khkhkh

Gxxz

еслиUточномук

сходитсяUрешениеоеПриближенн

xUxUxz

схемыразностнойьПогрешност

;)(max kk

h xff

,)(21

2

hkk

kh Gxxfhf


h

k

h

hkkhh

h

h

Gнаhzчтотакие

hhkkkесли

малостипорядокйk

имеетсхемыразностнойьПогрешност

GxxzеслиUточномук

сходитсяUрешениеоеПриближенн

,

)(,0),(,0

,

. ;0)(lim ,

~

0


);()(~

)(

:

khkhkh xUxUxz

схемыразностнойьпогрешност

hhh zUU ~

hhhhhhhhhhhhhh UfzfzUfzU LLLLL

;~

Lh hh fU

hhhhhhhh UUzfU LLLL

hL LL цииаппроксимаошибкаUU hhhh


еслиGнаfLUисходнуюруетаппроксими

fULзадачаРазностная

цииаппроксимаошибкаUU

h

hhh

hhhh

,

~

L LL h

. ;0)(lim0

hkkhh

Gxx

цииаппроксимапорядокйkимеет

схемаразностнаятоGнаhM

hMMMhkkkесли

h

k

h

,

:)(,0),(,0

Разностная схема называется корректной, если:

1. её решение существует и оно единственно при любых ограниченных правых частях.

2. такое m > 0, m m(h), что для любой


)(xfh

hh fmU

Теорема: Пусть исходная задача

поставлена корректно, разностная схема

корректна, и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи (1), причём порядок малости погрешности совпадает с порядком аппроксимации (2).


;),()(L GxxfxU

hkkhkh GxxfxU

),()(~

Lh


Доказательство (1):

тиустойчивосизxzL hhh ,)(

hh mz

0)(lim)(lim)(lim

)( 0)(lim

000

0

khh

khh

khh

khh

xmxmxz

цияаппроксимаx


Доказательство (2):

цииаппроксимапорядокйkhMk

h

, , MmобозначимhMmzk

h

тьустойчивосmz hh -

k

h hz

3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник

t

t j

t 1

x 1 x k 1 x

h

h

UhqU jnj

jn

1

1,111,

jjj

kkk

tU

gxgU

)(

)(

,0

0,

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,

k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,


xxt UU

1

)()(),(l

lll tTxXatxU

xil

lexX )( tl

letT2

)( khxk jt j

1

2

),(l

txil

jlkl eeatxU


llkl ikll

khixi ehee j

ljt qee ljl 22

1

),(l

jl

ikljkh qeatxUU l

Условие устойчивости: |ql| 1.


1

),(l

jl

ikljkh qeatxUU l

2

,1,11, 2

h

UUUUU jkkjjkkjjk

2

)1()1(1 2

h

eqeqeqeqeq kijikjkijikjikj

22

2cos2

2cos

21

h

ee

h

eeq iiii


2

sin412

sin21cos1cos21 22

22

hh

q

2sin41 2

2

h

q

12

sin0 2

2

11

2

hq

2

2

1h

3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.

xxt UU 0 < x < 1, t > 0

)()0,( xqxU

)(),0( 1 tgtU

)(),1( 2 tgtU

t

t j

t 0x 0 x k 1 x


kkk qxgU )(0

jjj gtgU 110 )(

jjkj gtgU 22 )(

2

1,11,1,11, 2

h

UUUUU jkjkjkkjjk

k, j+1k-1, j+1 k+1, j+1

k, j


2hr

1,11,1,11, 2 jkjkjkkjjk UUUUUr

kjjkjkjk rUUUrU 1,11,1,1 2

1,21,

1,11,0

jjn

jj

gU

gU

1,...,2,1 nk,...2,1,0j

kk qU 0


2

,1,11, 2 :

h

UUUUUU jkkjjkkjjk

kj

2

1,11,1,11,1,

2 :

h

UUUUUU jkjkjkkjjk

jk

2

,1,1

2

1,11,1,11,

21

2

h

UUUh

UUUUU

jkkjjk

jkjkjkkjjk

где 0 1


При = 1/2

jkkjjk

jkjkjkkjjk

UUU

UUUUUr

,1,1

1,11,1,11,

2

22

jkjkkj

jkjkjk

UUUr

UUrU

,1,1

1,11,1,1

12

12

1,...,2,1 nk ,...2,1,0j

k, j+1

k, j

3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией

xxt UU 0 < x < 1, t > 0

)()0,( xqxU

)(),0( 1 tgtU

)(),1( 2 tgtU

khxk

t

x 0 x k 1 x


)(),( tVtxU kk

211

1122

2

)()(2)(

),(),(2),(1),(

h

tVtVtV

txUtxUtxUhx

txU

kkk

kkkk

dt

tdV

x

txU kk )(),(2

2

211 )()(2)()(

h

tVtVtV

dt

tdV kkkk

211 )()(2)()(

h

tVtVtV

dt

tdV kkkk

)()( 10 tgtV

)()( 2 tgtVn

)()(0 ktk xqtV

1,...,2,1 nk


4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция

)(xU

),(~

axU

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

)(~

)(min xUxUa

2/1

2)~

(min

Da

dvUU DxUUxa

,~

maxmin


N

iii xaxaxU

10 )()(),(

~

ГГxUx )()(0

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

0)( Гi x


],0[ ;sin)()(~

)(1

0 lxl

xiaxxUxU

N

ii

2/1

0

2)),(~

)(()(~

)(min

l

adxaxUxUxUxU

l

i dxl

xiU

la

0

0 sin)(2


],0[ );,(~

)( lxaxUxU jjj Nj ,...,2,1

)()()( 01

jj

N

ijii xxUxa

)()(

...

)()(

)()(

...

)(...)()(

.........

)(...)()(

)(...)()(

0

202

101

2

1

21

22221

11211

NNNNNNN

N

N

xxU

xxU

xxU

a

a

a

xxx

xxx

xxx

)1( xxii xii sin

,

N

iii xaxaxU

10 )()(),(

~

4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок

),(~

)(),( axUxUaxR

)(xU

),(~

axU

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

D

dvxfxfxfxf )()()(),( 2121

UU ~0)(0

D

dvxwRRDx

UU ~)(xj

0)(),( D

j dvxaxR, Nj ,...,2,1


),(~

)(),( axUxUaxR

)(xU

),(~

axU

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

D

dvxfxfxfxf )()()(),( 2121

UU ~0)(0

D

dvxRRDx

UU ~)(xj

0)(),( D



UU ~)(xj

0)(),( D


)()(),(~

10 xaxaxU

N

iii

0)(

0)~

(0

10

D

N

iiij

D

j

D

j

dvaU

dvUUdvR

D

j

D

N

iiji dvUdva )( 0

1

Nj ,...,2,1


D

j

N

i D

iji dvUdva )( 01

Nj ,...,2,1

ba

B

TNaaaa ),...,,( 21

D

ijij dvB D

jj dvUb )( 0

Nji ,...,2,1,

4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина

jj

D

ijij dvB

D

jj dvUb )( 0

2/1

2)~

(min

Da

dvUU


l

xii

sin

22

12cos

2

1sin

000

2 ldxdx

l

xidx

l

xiB

lll

ii

jiBij ,0

D

i dxl

xiUb

sin)( 0

l

i dxl

xiU

la

0

0 sin)(2


D

N

iii

aD

advaUdVUU

jj

2

10

2/1

2 min)~

(min

02

10

D

N

iii

j

dvaUa

021

0

2

1

20

D

N

iii

N

iii

j

dvaUaUa


021

0

2

1

20

D

N

iii

N

iii

j

dvaUaUa

021

0

2

1

D

N

iii

jD

N

iii

j

dvaUa

dvaa

j

N

iii

j

Uaa

U 01

0


021

0

2

1

D

N

iii

jD

N

iii

j

dvaUa

dvaa

N

i

N

iijiiji

N

kkjk

N

ikik

N

ki

j

N

iii

j

aaa

aaa

aa

1 11

1 1

2

1

2


021

0

2

1

D

N

iii

jD

N

iii

j

dvaUa

dvaa

001

D

j

D

N

iiji dvUdva

001

D

j

N

i D

iji dvUdva Nj ,...,2,1

D

ijij dvB D

jj dvUb 0

4. Проекционные методы4.3. Аппроксимация функций методом коллокаций

jj xx

)()(

,

,0

j

D

j

jj

jj

xfdvxxxf

xxxx

xxxx

)( ji

D

ji

D

jiij xdvxxdvB

)()()()( 000 jj

D

j

D

jj xxUdvxxUdvUb

4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений

)()( xfxU

L DxT

nxxxx ),...,,( 21

)()( xxU

J x

N

iii xaxaxU

10 )()(),(

~ U~J

)(),(~~~

),( xfaxUUUUUaxR

LLLL

0)( xi

J Ni ,...,1 x

)()(0 xx

J


)(xj

0)(),( D

j dvxxaR

01

0

D

j

N

iii

D

j dvfadvR LL

D

j

N

i D

jii dvfdva 01

)( LL


)(),(~

),( xfaxUaxR

L Dx

)(),(~

),( xaxUaxr

J x

0

drvdVR j

D

j


dvdVdV ji

D

ji

D

ji 321)( LLLL

02

2

xdx

Ud 1,0x VU )0( 0)1( U

N

iii xaxaxU

10 )()(),(

~

1

020

2

dxdx

dxb jj


dvdVdV ji

D

ji

D

ji 321)( LLLL

02

2

xdx

Ud 1,0x VU )0( 0)1( U

1

02

2

)()(

dvxdx

xdB j

iij

1

001

dvdx

d

dx

d

dx

d

dx

dB ji

x

ij

x

ijij

4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации

U(x), 0 ≤ x ≤ l

в N точках x1, x2,…, xN, U(xj)=Uj.

N

iii xaxU

1

)()(~ 0)(0 x

NjxUxU jj ,...,2,1 );()(~

N

i

ii xaxU

1

1)(~

)(1

1j

N

i

ii xUxa

Nj ,...,1


U(x)

x1 xN 1 xx2 x l = N


baxU j )(

~ Njxxx jj ,...,2;1

11

11

1

1

11

jjj

jjj

jj

jj

jj

jj

xxx

UUUb

xx

UUa

Ubax

Ubax

)()()(~

111

1)(

jjj

jj

jj

jj xU

xx

xxxU

xx

xxxU


],(,0

),()(

),()(

)(

11

111

111

ii

iiiii

iiiii

i

xxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

)()()(~

11 xaxaxU iiii ii xxx 1

0)(0 x 0)(1 xN


x1 x N 1 xx 2 x l = N

( )xi

N

3

2

1

x3


В методе коллокаций

baB

)( jiij xB )( jj xUb

)(,0

,1)( iiji xUaIB

ji

jix

)()()(~



)()()(~


],(,0

),()(

),()(

)(

11

111

111

ii

iiiii

iiiii

i

xxx

xxxxxxx

xxxxxxx

x

)( ii xUa

)()()(~

111

1)(

iii

ii

ii

iii xU

xx

xxxU

xx

xxxU

Ni ,...,2

4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ

)()( xfxU

),(),( yxfyxU Dyx ),(

D

Udxdyfy

U

x

U2min

2

2

2

2


)(xfLU

)(xUU

Dx

LULU ,, DD

dvLUdvLU

0U 0, ULU

UfULUUF

xfLUUFU

,2,)(

)()(min:


N

iiiaU

10

~

D

N

iii

D

N

iii

N

iii dvafdvaaLL

10

10

10 2

021

01

01

0

D

N

iii

D

N

iii

N

iii

j

dvafdvaaLLa

021

01

0

D

N

iii

N

iii

j

dvafaLLa


0221

00

D

j

N

ijiijj dvfLaLL

021

01

0

D

N

iii

N

iii

j

dvafaLLa

01

0

D

j

N

ijiij dvfLaL

D

j

N

i D

jii dvLfdvLa 01

Nj ,...,1

Методы вычислительного эксперимента

Documents