Напряженное состояние в точке

1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне

b

h

поперечное сечение

наклонное сечениеNN N

N

AA x

n

P - полное напряжение на наклонной площадке

P

N = ·A N = P·A

2coscos P

cos

cos

A

AP

P

2sin2

1sincossin P

Поперечное сечение:

Наклонное сечение:

= 00, = = max, = 0

при = 450, ≠ 0, max = ½

Напряженное состояние в точке

1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне

Вывод: Нормальные напряжения достигают экстремальных значений на площадках, где касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными.

Напряженное состояние в точке

2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.

x

z

y

dx

dz

dy

Вырежем из тела прямоугольный параллелепипед

Напряженное состояние в точке

2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.

Объемное

x

y

z

x

y

z

xy

yz

zy

zxxz

yx

Внимательнее с индексами!

Всего 9 неизвестных: 3 нормальных напряжения и 6 касательных

Напряженное состояние в точке

2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.

Плоское

x

y

z

x

y xy

yx

Смотрим с конца оси z:

пусть две грани ┴ оси z

свободны от напряжений

4 неизвестных.

Из условия равновесия:

yxxy Закон парности касательных напряжений

Напряженное состояние в точке

2. Виды напряженных состояний. Система обозначений.

Линейное

x

y

z

x

x

1 неизвестная

Напряженное состояние в точке

3. Анализ плоского напряженного состояния.

Правило знаков:

а) Растягивающие нормальные напряжения, направленные от площадки, считаем положительными;

б) Касательные напряжения считаем положительными, если они вращают элемент против хода часовой стрелки.

А

С В

dА

dАsindАcos

Зададим положительные напряжения

x

y x1y1

x

y

Px

Py

y1x1

yx

xy

Определим напряжения на наклонных площадках

Fkx = 0; PxdA - xdAcos - xydAsin = 0,

Px = xcos + xysin (1) Fky = 0; PydA - ydAsin + yxdAcos = 0,

Py = ysin - yxcos (2)

x

y x1y1

x

y

Px

Py

y1x1

yx

xy

Определим (сумма проекций Px и Py на нормаль)

= Pxcos + Pysin =

xcos2 + xysincos +

ysin2 - yxsincos

Учитывая xy = - yx

= xcos2 + ysin2 - yxsin2 (3)

Определим (сумма проекций Px и Py на ось y1)

y1x1 = Pxsin - Pycos = xcossin + xysin2 - ysin

cos + yxcos2

y1x1 = ½(x - y) sin2 + yxcos2 (4)

Таким образом, уравнения (3) и (4) показывают изменение нормальных и касательных напряжений при

повороте площадки на угол .

А теперь посмотрим, что происходит с напряжениями на ортогональной площадке.

Введем формальную замену: = + 900

x1

x

y1

y1 = xcos2 + ysin2 - yxsin2

x1y1 = ½(x - y) sin2 + yxcos2

y1

x1y1 y1x1

cos(900+) = -sinsin(900+) = cossin(1800+2) = - sin2cos(1800+2) = -cos2

y1 = xsin2 + ycos2 + yxsin2

x1y1 = ½(x - y) (-sin2) + yx(-cos2)

x1

Рассмотрим выражение:

x + y = x1 + y1

Таким образом, сумма нормальных напряжений по двум перпендикулярным площадкам не

зависит от угла (инвариант)

Напряженное состояние в точке

4. Главные напряжения

При изменении угла будем получать разные , yx .

Экстремальные значения нормальных напряжений

называются главнымиглавными (min , max).

= xcos2 + ysin2 - yxsin2

;Od

d

22 11 xyd

d

-2(xcossin - ysincos - yxcos2) =

= -2[1/2(x - y)sin2 + yxcos2]

Т.о. = 0 на главных площадках

= ½(x - y) sin20 + yxcos20 =0yx

yxtg

2

2 0